《三角函数》高考真题文科总结及答案

历年高考文科数学真题汇编+答案解析专题3三角函数与解三角形（2021年版）考查频率：一般为3个小题（2020年1卷、2020年2卷、2019年3卷为1个小题1个大题，2017年1卷为2个小题）考试分值：15分~17分知识点分布：必修4、必修5一、选择题和填空题（每题5分）1.（2020全国I 卷文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C2.（2020全国II 卷文13）若2sin 3x =-，则cos 2x =____.【解析】2221cos 212sin 1239x x ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.【答案】193.（2020全国III 卷文5）已知πsin sin 13θθ++=（，则πsin =6θ+（A ．12B．3C ．23D ．22【解析】∵π1sin sin cos 322θθθ+=+（），∴π31sin sin sin cos sin cos 132222θθθθθθ⎫++==+=+=⎪⎪⎭（，∵1πsin cos sin 226θθθ+=+（），∴π16θ+=（），故πsin 63θ+==（.【答案】B4.（2020全国III 卷文11）在ABC ∆中，2cos 3C =，4=AC ，3=BC ，则tan B =A．．．【解析】解法一：由余弦定理得，2222cos 9=+-⋅⋅=AB AC BC AC BC C ，即3=AB ，∴22299161cos 22339+-+-===⋅⨯⨯AB BC AC B AB BC ，∵(0,π)∈B，∴sin 9==B，sin tan cos ==BB B.解法二：3=AB ，所以△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形.过B 作BD ⊥AC，易得tan 2=B，所以22tan2tan 1tan 2==-BB B .【答案】C5.（2020全国III 卷文12）已知函数1()sin sin f x x x=+，则A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图像关于y 轴对称C ．f (x )的图像关于直线π=x 对称D ．f (x )的图像关于直线π2=x 对称【解析】A ：1sin 1(sin 0)-≤≤≠x x ，当1sin 0-≤<x ，()0<f x ，故A 错误.B ：1()sin ()sin -=--=-f x x f x x，f (x )为奇函数，故B 错误.C ：1(2π)sin ()()sin -=--=-≠f x x f x f x x，故C 错误.D ：11(π)sin(π)sin ()sin(π)sin -=-+=+=-f x x x f x x x，故D 正确.【答案】D6.（2019全国I 卷文7）tan255°=A ．2--B ．2-+C ．2D ．2+【解析】3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(75tan )75180tan(255tan +=-+=+==+=.【答案】D【考点】必修4正切函数，三角恒等变换7.（2019全国I 卷文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】∵a sin A -b sin B =4c sin C ，∴由正弦定理可得2224a b c -=，即2224a b c =+.又由余弦定理有：222222224331cos =22224b c a b c c b c c A bc bc bc b +-+----====-，∴6b c =.【答案】A【考点】必修5解三角形8.（2019全国I 卷文15）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________．【解析】函数23π()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+，∵cos [1,1]x ∈-，∴当cos 1x =时，f (x )取最小值，即min ()2314f x =--+=-.【答案】−4【考点】必修4三角恒等变换9.（2019全国II 卷文8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．12【解析】由正弦函数的图像可知，函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点的差值等于函数周期的一半，即函数f (x )=sin x ω(ω>0)的周期πππ=-⨯=)443(2T ，所以22==Tπω.【答案】A【考点】必修4三角函数的图象和性质10.（2019全国II 卷文11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．55C ．33D ．255【解析】利用三角公式12cos 2sin 2+=αα化简得ααα2cos 2cos sin 4=ααcos sin 2=所以2cot =α，设α所对得边为1，则临边为2，斜边为5，所以55sin =α.【答案】B【考点】必修4三角恒等变换11.（2019全国II 卷文15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =__________.【解析】由正弦定理有A b B a sin sin =，∵0cos sin =+B a A b ，∴0cos sin =+B a B a ，即0cos sin =+B B .由此可得1tan -=B .∵),0(π∈B ，∴43π=B .【考点】必修5解三角形12.（2019全国III 卷文5）函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解法一：由()2sin sin22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=得sin 0x =或cos 1x =.∵[0,2π]x ∈，∴0x =、πx =或2πx =.即函数()f x 在[0，2π]内有3个零点.解法二：设12sin y x =，2sin2y x =，画出函数y 1与y 2的图像，如图所示，函数()f x 的零点个数即为y 1与y 2图像的交点个数，由此可知函数()f x 在[0，2π]内有3个零点.【答案】B【考点】必修4三角函数的图象和性质，三角恒等变换13.（2018全国I 卷文8）已知函数()222cos sin 2=-+f x x x ，则A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4【解析】∵()222cos 21352cos (1cos )23cos 131cos 2222+⎛⎫=--+=+=+=+⎪⎝⎭x f x x x x x ，∴f (x )的最小正周期为2ππ2=，最大值为35422+=.【答案】B【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质14.（2018全国I 卷文11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1，A a ，()2，B b ，且2cos 23=α，则-=a b A ．15B ．55C ．255D ．1【解析】有题意可知，cos 0α≠，且tan 2ba α==，∴2b a =.∴2222222222cos sin 1tan 12cos 2cos sin cos sin 1tan 13a a ααααααααα---=-====+++，即223322a a -=+，解得215a =，即5||5a =.∴5|2|||5a b a a a -=-==.【答案】B【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质15.（2018全国I 卷文16）△ABC 的内角，，A B C 的对边分别为，，a b c ，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228+-=b c a ，则△ABC 的面积为________．【解析】由正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，由于0πB <<，0πC <<，即sin sin 0B C ≠，∴1sin 2A =，∴π6A =或5π6A =.∵2228b c a +-=，∴22284cos 22b c a A bc bc bc+-===.①当π6A =时，4cos 2A bc ==，解得3bc =，∴1sin 23ABC S bc A ∆==.②当5π6A =时，4cos 2A bc =-=，解得3bc =-（不合题意），舍去.故△ABC【答案】【考点】必修5解三角形16.（2018全国II 卷文7）在ABC △中，cos2C ，1BC =，5AC =，则AB =A ．B C D ．【解析】设边BC 、AC 、AB 分别为a 、b 、c ，则由余弦定理有2222212526cos 221510a b c c c C ab +-+--===⨯⨯.又∵23cos 2cos 125C C =-=-，∴2263105c -=-，解得c =.【答案】A【考点】必修5解三角形17.（2018全国II 卷文10）若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【解析】∵π()cos sin )4f x x x x =-=-，∴πππ[2π,2π]()422x k k k Z -∈-++∈，即π3π[2π,2π]()44x k k k Z ∈-++∈时，()f x 为减函数.取0k =，得到()f x 的一个减区间为π3π[,44-.∴3π4a ≤，即a 的最大值为3π4.【答案】C【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质18.（2018全国II 卷文15）已知5π1tan(45α-=，则tan α=__________．【解析】5ππtan 11tan(tan()44tan 15--=-==+αααα，解得3tan 2=α.【答案】32【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的性质19.（2018全国III 卷文4）若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-【解析】227cos212sin 199αα=-=-=.【答案】B【考点】必修4三角恒等变换20.（2018全国III 卷文6）函数2tan ()1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【解析】∵222222tan tan cos sin cos 1()sin cos sin 21tan (1tan )cos cos sin 2x x x x x f x x x x x x x x x ⋅=====++⋅+，∴()f x 的最小正周期为π.【答案】C【考点】必修4三角恒等变换21.（2018全国III 卷文11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为4222c b a -+，则C =A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】由已知和△ABC 的面积公式有，4sin 21222c b a C ab -+=，解得C ab c b a sin 2222=-+.∴C abCab ab c b a C sin 2sin 22cos 222==-+=，又∵1cos sin 22=+C C ，∴22sin cos ==C C ，4π=C .【答案】C【考点】必修5解三角形22.（2017全国I 卷文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解析】∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+，∵sin sin (sin cos )0B A C C +-=，∴sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=，即sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，化简得(cos sin )sin 0A A C +=.∵0πC <<，∴sin 0C ≠，cos sin 0A A +=，即tan 1A =-，∵0πA <<，∴3π4A =.由正弦定理有，221sin sin 222==⨯=c C A a ，∴π6C =或5π6C =（舍去，πA C +<）.【答案】B【考点】必修5解三角形23.（2017全国I 卷文15）已知π(0)2a ∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________.【解析】∵π(02a ∈，，tan α=2，∴sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=，又∵22sin cos 1αα+=，解得sin 5α=，cos 5α=.∴πππcos (cos cos sin sin (cos sin )44422510ααααα-=+=+=⨯=.【答案】31010【考点】必修4三角恒等变换24.（2017全国II 卷文3）函数π()sin(2)3=+f x x 的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【解析】2π2ππ2T ω===.【答案】C【考点】必修4三角函数的性质25.（2017全国II 卷文13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为.【解析】∵255()2cos sin 5(cos sin ))55f x x x x x x ϕ=+=+=-，其中1tan 2ϕ=，∴函数()f x .【考点】必修4三角恒等变换26.（2017全国II 卷文16）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos =+b B a C c A ,则=B .【解析】由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+，即2sin cos sin()B B A C =+.∵π()B A C =-+，∴2sin cos sin()sin B B A C B =+=.∵0πB <<，∴sin 0B ≠，1cos 2B =，∴π3B =.【答案】π3【考点】必修5解三角形27.（2017全国III 卷文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=A ．79-B ．29-C ．29D ．79【解析】∵4sin cos 3αα-=，∴216(sin cos )12sin cos 1sin 29ααααα-=-=-=，∴7sin 29α=-.【答案】A【考点】必修4三角恒等变换28.（2017全国III 卷文6）函数1()sin(cos(536f x x x ππ=++-的最大值为A ．65B ．1C ．35D ．15【解析】∵πππππcos()cos()cos[(sin()66233x x x x -=-+=-+=+，∴16()sin(cos(sin(53653f x x x x πππ=++-=+，∴函数()f x 的最大值为65.【答案】A【考点】必修4三角函数的诱导公式、三角函数的性质29.（2017全国III 卷文15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.【解析】由正弦定理得，sin 6sin 602sin 32b C Bc === ，∵ 1200<<B ，∴ 45=B .∴ 754560180=--=A .【答案】75°【考点】必修5解三角形30.（2016全国I 卷文4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a =，c =2，2cos 3A =，则b =A.B. C.2 D.3【解析】由余弦定理有2222452cos 243b c a b A bc b +-+-===，解得3b =或13b =-（舍去）.【答案】D【考点】必修5解三角形31.（2016全国I 卷文6）若将函数π2sin(26y x =+的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为A.π2sin(2)4y x =+ B.π2sin(2)3y x =+C.π2sin(24y x =- D.π2sin(23y x =-【解析】函数π2sin(26y x =+的周期为πT =，∴函数π2sin(2)6y x =+的图像向右平移14个周期后所得图像对应的函数为πππ2sin[2()]2sin(2463y x x =-+=-.【答案】D【考点】必修4三角函数的图象变换32.（2016全国I 卷文14）已知θ是第四象限角，且π3sin()45θ+=，则πtan()4θ-=.【解析】∵θ是第四象限角，∴π2π<2π()2k k k Z θ-+<∈，则πππ2π<2π()444k k k Z θ-++<+∈，∵π3sin(45θ+=，∴π4cos(45θ+=，∴πππππ3cos()cos()cos[()]sin(442445-=-=-+=+=θθθθ，πππππ4sin(sin()sin[()]cos(442445-=--=--+=-+=-θθθθ，∴π4tan()43-=-θ.【答案】43-【考点】必修4三角函数的诱导公式33.（2016全国II 卷文3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则A.2sin(26y x π=- B.2sin(23y x π=-C.2sin(2+6y x π= D.2sin(2+)3y x π=【解析】由函数图像可以得到振幅A=2，周期π6π3π2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即2=ω，∴)2sin(2ϕ+=x y .∵函数图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23π，，∴2|3π==x y ，即2π3π2=+ϕ，6π-=ϕ.【答案】A【考点】必修4三角函数的图象34.（2016全国II 卷文11）函数π()cos 26cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为A.4B.5C.6D.7【解析】函数22π311()cos26cos 12sin 6sin 2sin 222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵sin [1,1]x ∈-，∴当sin 1x =时，函数取最大值，2max311()21522f x ⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭.【答案】B【考点】必修4三角恒等变换35.（2016全国II 卷文15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.【解析】∵3sin 5A =，12sin 13C =，∴3541263sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=，由正弦定理得631sin 21653sin 135⨯===a Bb A.【答案】2113【考点】必修5解三角形36.（2016全国III 卷文6）若tan θ=13，则cos2θ=A.45-B.15-C.15D.45【解析】22224cos 22cos 11111tan 519θθθ=-=-=-=++.【答案】D【考点】必修4三角恒等变换37.（2016全国III 卷文9）在△ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =A.310B.10C.5 D.10【解析】设BC 边上的高为AD ，且AD=a ，则BC =3a .∵π4B =，根据勾股定理可得，AB =，AC =.由△ABC 的面积可得11sin 22AD BC AC AB A ⨯⨯=⨯⨯⨯，即3sin a a A ⋅=⋅，解得310sin 10A =.【答案】D【考点】必修5解三角形38.（2016全国III 卷文14）函数sin y x x =的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.【解析】∵πsin 2sin(3y x x x ==-，且其周期为2π，∴函数y =2sin x 的图像至少向右平移π3个单位长度即可得到函数sin y x x =的图像.【答案】π3【考点】必修4三角恒等变换、三角函数的图象二、简答题（每题12分）39.（2020全国II 卷文17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2π5cos cos 24A A ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：ABC ∆是直角三角形.【解析】（1）由三角函数诱导公式可得22πcos sin 2A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此由已知得已知得25sin cos 4A A +=，即21cos cos 04A A -+=，所以21(cos 02A -=，解得1cos 2A =．由于0A <<π，故3A π=．（2）由正弦定理及已知条件可得sin sin 3B C A -=．由(1)知23B C π+=，所以2sin sin()sin 333B B ππ--=，即11sin 222B B -=，化为1sin(32B π-=．由于03B 2π<<，故2B π=．从而ABC △是直角三角形．40.（2020全国I 卷文18）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知150B =.（1）若a =，b =，求△ABC 的面积；（2）若sin 2A C =，求C .【解析】（1）由余弦定理得2222222cos 3()282b ac ac B c c =+-=+-⨯-=，化简为24c =，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =.ABC △的面积为11sin 2sin15022S ac B ==⨯⨯︒=（2）在ABC △中，∵150B =︒，∴30A C +=︒，即30A C =︒-，∴1sin sin(30)cos sin 22A C C C =︒-=-，∴1sin cos sin=sin(30)222A C C C C+=+︒+=，而030C<<︒，所以3045C︒+=︒，故15C=︒.41.（2019全国III卷文18）ABC△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin sin2A Ca b A+=．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin2A CA B A+=．因为sin A≠0，所以sin sin2A C B+=．由180A B C︒++=，可得sin cos22A C B+=，故cos2sin cos222B B B=．因为cos02B≠，故1sin22B=，因此B=60°．（2）由题设及（1）知ABC△的面积13sin24ABCS ac B a==△．由正弦定理得()cos cos1sinsin120sin sin120120sin122sin sin sin sin2tan2Cc AaC C CCCCCCC︒︒︒+--=====+．由于ABC△为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故330<<2tan2C，所以122a<<，从而842a<<，即82ABCS<<△．因此，ABC△面积的取值范围是3382⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【考点】必修5解三角形。

三角函数 历年高考文科题1、 （全国Ⅰ卷文1）cos 300︒=（ ）A ．2-B ．-12C ．12D ．22、 （福建卷文2）计算12sin 22.5- 的结果等于( )A ．12B ．2C 3D 23、 （全国Ⅱ卷文3）已知2sin 3α=，则cos(2)πα-=（ ）A ．3- B ．19- C ．19D 34、 （陕西卷文3）函数f (x)=2sinxcosx 是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数5、 （浙江卷理4文6）设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6、 （江西卷文6）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．[1,1]-B ．5[,1]4-- C ．5[,1]4-D ．5[1,]4-7、 （辽宁卷理5文6）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A ．23B ．43C ．32D ．38、 （重庆卷文6）下列函数中，周期为π，且在42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数的是（ ） A ．sin(2)2y x π=+ B ．cos(2)2y x π=+C ．sin()2y x π=+D ．cos()2y x π=+9、 （四川卷理6文7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ．sin(2)10y x π=- B ．sin(2)5y x π=-C ．1sin()210y x π=-D ．1sin()220y x π=-（天津卷文8）5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ． 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ． 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10、（福建卷文10）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

高考文科数学试题分类汇编：三角函数一、选择填空题1.[2014·全国新课标卷Ⅰ2]若tanα＞0，则()A．sinα＞0B．cosα＞0C．sin2α＞0D．cos2α＞0【答案】C2.[2014·全国卷2]已知角α的终边经过点(－4，3)，则cosα＝()A.B.C．－D．－【答案】D3.[2014·陕西卷2]函数f(x)＝cos的最小正周期是()A.B．πC．2πD．4π【答案】B4.[2014·四川卷3]为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点()A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度【答案】A5.[2014·浙江卷4]为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图像，可以将函数y＝cos3x的图像()A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【答案】A6.[2014·福建卷7]将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是()A．y＝f(x)是奇函数B．y＝f(x)的周期为πC．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称D．y＝f(x)的图像关于点对称【答案】D7.[2014·全国新课标卷Ⅰ7]在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③【答案】A8.[2014·天津卷8]已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A.B.C．πD．2π【答案】C9.[2014·安徽卷7]若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是()A.B.C.D.【答案】C10.[2014·辽宁卷11]将函数y＝3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】B11．[2014·江苏卷5]已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐π标为的交点，则φ的值是________．【答案】612．[2014·山东卷12]函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．【答案】π13．[2014·重庆卷13]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图像，则f＝________．【答案】214．[2014·新课标全国卷Ⅱ14]函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcos x的最大值为________．【答案】115．[2014·全国卷14]函数y ＝cos2x ＋2sin x 的最大值为________．【答案】3216．[2014·全国卷16]直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43 二、解答题：1．[2014·江苏卷15]已知α∈，sin α＝.(1)求sin 的值；(2)求cos 的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π，，，∴cos α== ()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=； （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-= 2．[2014·江西卷16]已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ＝－，α∈，求sin 的值．解：（1）因为()f x ()()22cos cos 2a x x θ=++而y 1=a+2cos 2x 为偶函数，所以y 1=()cos 2x θ+为奇函数，又()0,θπ∈，得.2πθ=所以()f x =2sin 22cos x x a -⋅+（）由04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，得-（a+1）=0，即 1.a =-（2）由（1）得：()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3cos ,5α=-因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭ 3.[2014·四川卷17]已知函数()sin(3)4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值。

各地解析分类汇编:三角函数（1）1 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】已知()cos tan 2,cos 2πααπα+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭则的值为A.12-B.2-C.12D.2【答案】C 【解析】()cos cos 11sin tan 2cos 2πααπααα+-===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，选C.2 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试数学文】已知cos()||,tan 222ππϕϕϕ+=-<则=A．3-B．3C．D【答案】D【解析】由cos()22πϕ+=-得sin 2ϕ=，所以,3πϕ=所以tan ϕ= D. 3 【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试 数学文】若△ABC 的内角A 、B 、C 满足s i n :s i n:s i n 2:3:3,A B C B =则A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】根据正弦定理知sin :sin :sin ::2:3:3A B C a b c ==，不妨设2,0a k k =>，则3b c k ==，所以22222224991cos 2123a cb k k k B ac k +-+-===，选B.4 【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试 】若0sin2<θ，则角θ是（ ）A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角 【答案】D【解析】因为sin22sin cos 0θθθ=<，则角θ是第二或第四象限角，选D5 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，则B =A.6π B. 4π C. 3π D. 23π【答案】C【解析】因为cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列，所以cos cos 2cos a C c A b B +=，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C CA BB +=，即s i n()2s i n c o s A C B B+=，即s i n2s i n c o s B B B =，所以1cos 2B =，即3B π=，选C. 6.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】 若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan 6πa 的值为（ ）【答案】D【解析】因为点(,9)a 在函数3xy =的图象上，所以39a =，解得2a =，所以2tantan 33a ππ== D. 7 【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 文科】已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则( )A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 【答案】A 【解析】由26T ππω==，所以13ω=，所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+，当2x π=时，函数取得最大值，即12322k ππϕπ⨯+=+，所以23k πϕπ=+，因为πϕπ-<≤，所以3πϕ=，1()2sin()33f x x π=+，由1222332k x k πππππ-+≤+≤+，得56622k x k ππππ-+≤≤+，函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++，当0k =时，增区间为5[,]22ππ-，所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数，选A.8 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。

三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。

第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

2015《三角函数》高考真题总结1．(2015·四川卷5)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin (2x ＋)B ．y ＝cos (2x ＋)π2π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．(2015·陕西卷9)设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4．（2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋D ．y ＝x 2＋sin x 12x 6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2，cos A ＝且b <c ，则b ＝( )332A ．3 B ．22C ．2 D.37．（2015·福建卷6）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α513的值等于( )A.B ．－C.D ．－1251255125128．（2015·重庆卷6）若tan α＝，tan(α＋β)＝，则 tan β＝( )1312A.B.C.D.171657569.（2015·山东卷4）要得到函数y ＝sin(4x －)的图象，只需将函数π3y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位π12π12C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位π3π310.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )(2015·新课标8)A.，k ∈Z (k π－14，k π＋34)B.，k ∈Z (2k π－14，2k π＋34)C.，k ∈Z (k －14，k ＋34)D.，k ∈Z (2k －14，2k ＋34)11.(2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为17________．12.（2015·北京卷11）在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠A ＝，则62π3∠B ＝________.13.（2015·安徽卷12）在△ABC 中，AB ＝，∠A ＝75°，∠B ＝45°，6则AC ＝________.14.(2015·福建卷14)若△ABC 中，AC ＝，A ＝45°，C ＝75°，则3BC ＝___________．15.（2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．16.（2015·重庆卷13）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________.1417.(2015·浙江卷11)函数f (x )＝sin 2 x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．18.(2015·湖北卷13)函数f (x )＝2sin x sin－x 2的零点个数为(x ＋π2)__________19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则3ω＝________.20．(2015·陕西卷17)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a, b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．3(1)求A ；(2)若a ＝，b ＝2，求△ABC 的面积．721.(2015·浙江卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan(＋A )＝2.π4(1)求的值；sin 2Asin 2A ＋cos2A (2)若B ＝，a ＝3，求△ABC 的面积．π422.(2015·江苏卷15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长；(2)求sin 2C 的值．23.(2015·广东卷16)已知tan α＝2.(1)求tan的值；(α＋π4)(2)求的值．sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－124.(2015·湖南卷17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝，且B 为钝角，求A ，B ，C .3425.(2015·新课标I 卷17)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝，求△ABC 的面积．226.(2015·天津卷16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为3，b －c ＝2，cos A ＝－.1514(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos的值．(2A ＋π6)27．(2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC .(1)求；sin B sin C(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .28.（2015·山东卷17）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝，sin(A ＋B )＝，ac ＝2，33693求sin A 和c 的值．29.(2015·四川卷19)已知A ，B ，C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根．3(1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝，求p 的值．630.（2015·安徽卷16）已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，]上的最大值和最小值．π231．（2015·北京卷15）已知函数f (x )＝sin x －2sin 2.3x2(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[0，]上的最小值．2π332.(2015·重庆卷18)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x .123(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈时，求g (x )的值域．[π2，π]33．(2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，(ω>0，|φ|<π2)如下表：ωx ＋φ0π2π3π22πx π35π6A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到π6y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．34.(2015·福建卷21)已知函数f (x )＝10sin cos ＋10cos 2.3x 2x 2x2(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，再向下平移a (a >0)π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)>0.2015《三角函数》高考真题答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】D6.【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，及b c <，可得2b =7.【答案】D 【解析】由，且为第四象限角，则，5sin 13α=-α12cos 13α==则sin tan cos ααα=512=-8.【答案】A 【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯9.【答案】【解析】因为，所以，只需要将函数B sin(4sin 4()312y x x ππ=-=-的图象向右平移个单位，故选.4y sin x =12πB 10.【答案】D11.【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-12.【解析】由正弦定理，得sin sin a bA B ==sin B =.4B π∠=13.【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC 14.【解析】由题意得．由正弦定理得，则0018060B A C =--=sin sinAC BCB A=，sin sin AC ABC B=所以．BC ==15.【答案】－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos 2α＝22222sin cos cos 2tan 1411sin cos tan 141ααααααα----===-+++16.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，3sin 2sin A B =32a b =2a =2b =由余弦定理得：，所以;22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=4c =17.【答案】π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+，所以；.3)42x π=-+22T ππ==min 3()2f x =18.【答案】219.【答案】2πω=【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为, 距离最短的两个交点一定在同12211154242k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，一个周期内， .(22221522442πππωω∴=-+--∴=（）（），20.试题解析：(I)因为，所以//m nsin cos 0a B A -=由正弦定理，得，sin sin cos 0A B B A -=又，从而，sin 0B ≠tan A =由于0A π<<所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得，而，，2222cos a b c bc A =+-2a b ==3A π=得，即2742c c =+-2230c c --=因为，所以，0c >3c =故面积为.ABC ∆1sin 2bc A =2sin B=从而sin B =又由知，所以a b >A B >cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=所以面积为.ABC ∆1sin 2ab C =21.【答案】(1)；(2)259试题解析：(1)由，得，tan(A)24π+=1tan 3A =所以.22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2)由可得，.1tan 3A=sin A A ==，由正弦定理知：3,4a B π==b =又，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=所以.11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=22.【答案】（1223.【答案】（1）3-；（2）1．（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭-（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan tan tan 2ααα=+- 222222⨯=+- 1=24.【答案】（I ）略；(II) 30,120,30.A B C ===25.【答案】（I ）（II ）114试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得.22b ac =又，可得,,a b =2b c =2a c =由余弦定理可得.2221cos 24a cb B ac +-==（II ）由(1)知.22b ac =因为90°，由勾股定理得.B =222a c b +=故，得.222a c ac +=c a =所以ABC 的面积为1.D26.【答案】（I ）a =8,（II .sin C =试题解析:（I ）△ABC 中,由得 由,得1cos ,4A =-sin A =1sin 2bc A = 又由解得 由,可得a =8.由24,bc =2,b c -=6, 4.b c ==2222cos a b c bc A =+-,得sin sin a cA C=sin C =(2),)2πππcos 2cos 2cos sin 2sin 2cos 1sin cos 666A A A A A A ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭=27.【解析】（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD ==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠=28.【解析】在中，由ABC ∆cos B =sin B =因为，所以，A B C π++=sin sin()C A B =+=因为，所以，为锐角，sin sin C B <C B <C cos C =因此.sin sin()sincos cos sin A BC B C B C =+=+==由可得，又，所以.,sinsin a c A C=sinsin c A a C ===ac =1c =29.【解析】(Ⅰ)由已知，方程x 2px －p ＋1＝0的判别式△＝p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0所以p ≤－2或p ≥23由韦达定理，有tanA ＋tanB ＝－p ，tanAtanB ＝1－p于是1－tanAtanB ＝1－(1－p )＝p ≠0从而tan (A ＋B )＝tan tan 1tan tan A B A B +==-所以tanC ＝－tan (A ＋B )所以C ＝60°(Ⅱ)由正弦定理，得sinB＝sin AC C AB ==解得B ＝45°或B ＝135°(舍去)于是A ＝180°－B －C ＝75°则tan A ＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝000tan 45tan 3021tan 45tan 30+==+-所以p(tanA ＋tanB )＋1)＝－130.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最大值为0π1【解析】（Ⅰ）x x x x x x x x f 2cos 2sin 12cos cos sin 2cos sin )(22++=+++=142sin(2++=πx 所以函数的最小正周期为.)(x f ππ＝＝22T（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果，1)42sin(2)(++=πx x f 当 时，2,0[π∈x ]45,4[42πππ∈+x 由正弦函数在上的图象知，x y sin =]45,4[ππ当，即时，取最大值；242ππ=+x 8π=x )(x f 12+当，即时，取最小值.4542ππ=+x 4π=x )(x f 0综上，在上的最大值为，最小值为.)(x f [0,]2π12+031.解析（Ⅰ）∵=+cos －=2(+)－()f x x sin 3x 3sin x 3π3∴的最小正周期为2.()f x π（Ⅱ）∵，∴.203x π≤≤33x πππ≤+≤当，即时，取得最小值.3x ππ+=23x π=()f x∴在区间上的最小值为.()f x 2[0,]3π2(3f π=32.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为，最小值为，（Ⅱ）.()f x p -试题解析： (1) 211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x =-=-+,1sin 22sin(2)23x x x p =--=--因此的最小正周期为，最小值为()f x p -(2)由条件可知：.g()sin()3x x p=--当时，有，[,]2x pp Î2[,]363x pp p -Î从而的值域为，sin(3x p-1[,1]2那么的值域为.sin(3x p--故在区间上的值域是.g()x [,]2pp 33.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得5A =32ππωϕ+=5362ππωϕ+=. 数据补全如下表：π2,6ωϕ==-且函数表达式为.π()5sin(2)6f x x =-（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .因π()5sin(26f x x =-πππ()5sin[2(]5sin(2)666g x x x =+-=+为的对称中心为，. 令，解得，.即sin y x =(π,0)k k ∈Z π2π6x k +=ππ212k x =-k ∈Z 图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为()y g x =ππ0212k -（（（k ∈Z O . π(,0)12-34.【解析】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数，使000(2,2)x k k παππα∈++-得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．04sin 5x >。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

新课标近三年三角函数文科高考题（解析版）1、（2011.11）．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ D ）A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称2、（2011.15）ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为___4315______． 3、（2012.9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ A. ）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π44、(2012.16)设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =__2.__5、（2012.17）（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA (1) 求A(2) 若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c (Ⅰ)由3sin sin c a C c A =-及正弦定理得3s i n s i n s i n s i n s i nA C A C C -= 由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ) ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3,故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8，解得b c ==2.6、(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 答案：D 解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15.∵cos A＝2364926bb+-⨯，∴b＝5或135b=-(舍)．故选D.7、(2013课标全国Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______.解析：∵f(x)＝sin x－2cos x＝5sin(x－φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55.当x－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，θ＝2kπ＋π2＋φ(k∈Z)．∴cos θ＝πcos2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝255-.。

各地解析分类汇编:三角函数（2）1【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】已知点P ()tan ,cos αα在第三象限，则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】因为点P 在第三象限，所以tan 0cos 0αα<⎧⎨<⎩，所以α在第二象限，选B.2 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】已知cos 21,054x x π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜x ＜π，则tan x 为 A.43-B.34-C.2D.2-【答案】A【解析】22cos 2cos sin 1cos sin cos sin 54x x x x x x x x π-==+=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以21(c o s si n )12s i n c o s25x x x x +=+=，即12sin cos 025x x =-<，所以cos 0,sin 0x x <>，所以2x ππ<<，所以cos sin 0x x -<，所以249(cos sin )12sin cos =25x x x x -=-，所以7cos sin 5x x -=-，解得3cos 5x =-，4sin 5x =，所以4tan 3x =-，选A.3【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】在ABC ∆中，解A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值是A.6πB.3π或23πC.6π或56πD.3π【答案】B【解析】由()222tan a c bB +-=得，222a c b +-=根据余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，所以222cos 2a c b B ac +-==，即t a n c o s B B =，即sin B =3B π=或23B π=，选B.4【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，则下列说法正确的是A ．该函数的值域是[]1,1-B ．当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 【答案】B【解析】sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x <⎧=⎨⎩≥由图象知，函数值域为1⎡-⎢⎣⎦，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z，C 错；最小正周期为2π，D 错．故选B ． 5【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测 （文）】.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移3π个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A.1sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.1sin2y x =D.1sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到1s i n ()23y x π=-，再将所得图象向左平移3π个单位，得到11sin[()]sin()23326y x x πππ=+-=-，选D.6 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为]21,1[-，则a b -的最大值与最小值之差等于A. π4B. 38πC. π2D. 34π【答案】C【解析】由正弦函数的图象知32)2(6)(m in πππ=--=-a b ，,3465613)(m ax πππ=-=-a b 所以和为π2.故选C.7 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222222c a b ab =++，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】由222222c a b ab=++得，22212a b c a b +-=-，所以222112c o s 0224ab a b c C ab ab -+-===-<，所以090180C << ,即三角形为钝角三角形，选A.8【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】将函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为 A.1)42sin(+-=πx y B.x y 2cos 2=C.x y 2sin 2= D.x y 2cos -= 【答案】C【解析】函数x y 2sin =的图象向右平移4π个单位得到s i n 2()s i n (2)c o s 242y x x x ππ=-=-=-，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为22cos 21(12sin )12sin y x x x =-+=--+=，选C.9 【山东省潍坊市四县一区2013届高三11月联考（文）】ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a A b B A a c b a 3cos sin sin ,,,2=+，则=abA.2B.3C.22D.32【答案】B【解析】根据正弦定理可知222sin sin cos sin cos a A B b A b A b A b +=+=，即b =，所以ba= B. 10【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试 文】将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，则ϕ等于A ．6π B ．56π C ．76π D ．116π【答案】D【解析】将函数sin y x =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤<个单位后，得到函数sin()6y x π=-的图象，即将sin()6y x π=-向右平移(02)ϕϕπ≤<，得到sin()sin 6y x x πϕ=--=，所以26k πϕπ+=，所以2,6k k Z πϕπ=-∈，又02ϕπ≤<，定义当1k =时，11266ππϕπ=-=，选D. 11【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知53)4cos(=-x π，则x 2s i n = A.2518 B.257 C.-257 D.2516- 【答案】C【解析】因为2s i n 2c o s (2)c o s 2()2c o s (244x x x x πππ=-=-=--，所以23187s i n 22()1152525x =⨯-=-=-，选C.12 【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学文】已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于A.552 B.1053- C.552- D.10103- 【答案】C【解析】22sin22cossin()4αααπα--，由21)4tan(-=+πα得tan11=1tan2αα+--，解得tan=3α-，因为παπ<<2，所以解得cos=α，所以2sin22cos(105sin()4αααπα----，选C.13 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】为得到函数cos2y x=的图象，只需将函数sin2y x=的图象A.向左平移2π个长度单位 B.向右平移2π个长度单位C.向左平移4π个长度单位 D.向右平移4π个长度单位【答案】C【解析】因为sin2cos(2)cos(2)cos2()224y x x x xπππ==-=-=-，所以为了得到函数cos2y x=的图象，只需将函数sin2y x=的图象向左平移4π个单位，选C.14 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】在ABC∆中，c o s c o s c o s s i n s i n c o s s i nA B A B A B A B⋅+⋅++⋅=，则ABC∆是A.等边三角形B.等腰非等边的锐角三角形C.非等腰的直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】由cos cos cos sin sin cos sin sin2A B A B A B A B⋅+⋅++⋅=得cos()sin()2A B A B-++=,因为1c o s()1,1s i n(A B A B-≤-≤-≤+≤，所以必有c o s()1A B-=且sin()1A B+=，所以A B=且2A Bπ+=,所以2Cπ=,即ABC∆是等腰直角三角形，选D.15 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】函数()()2sinf x xωϕ=+的图像，其部分图像如图所示，则()0f=_________.【答案】【解析】由图象可知3133244T πππ=-=，所以周期2T π=，又22T ππω==，所以1ω=。