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《微分几何》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：06122001课程名称：微分几何英文名称：Differential Geometry课程性质：限选适用专业：数学与应用数学开课学期：春期总学时：34总学分：2课程简介：微分几何是数学与应用数学专业的基础课, 内容包括曲面论、曲线论、活动标架法、整体微分几何初步。
本课程的教学目的是使学生掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础，同时培养学生直观分析能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，培养其理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
本课程主要教学内容是曲线的切向量与弧长、曲率与扰率、Frenet标架与Frenet公式、曲线的局部结构、曲线论基本定理、曲面的表示、切向量、法向量、旋转曲面、直纹面与可展曲面、曲面的第一基本形式与内蕴量、曲面的第二基本形式、曲面上的活动标架与基本公式、Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线、Gauss曲率和平均曲率、曲面的局部结构、Gauss映照与第三基本形式、全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面、曲面论基本定理、测地曲率与测地线、向量的平移、曲面上的Gauss-Bonnet公式、向量场与孤立奇点的指标、球面的刚性、极小曲面中的Bernstein定理、完备曲面与Hopf-Rinow定理等等。
课程英文描述：Differential geometry is a basic course of applied mathematics subject. The content includes surface theory, curve theory, method of moving frames, and introduction to global geometry. The purpose of this course is to introduce the students to some basic geometrical concepts, and to some common methods in the study of curves and surfaces, so as to lay the foundation for the further study of modern geometry. Meanwhile it is contented to cultivate their intuitive analysis capabilities, the ability to solve geometric problems by analysis, algebra and other tools, and to develop the ability to conform theory with practice, so as to develop the skill to analyze and solve problems.This main content of this course is tangent vectors and arc length of curves, curvature and torsion, Frenet frames and Frenet formulas, local structure of a curve, fundamental theorem of curve theory, representation of a surface, tangent vector, normal vector, surface of revolution, ruled surfaces, developable surfaces, the first basic form of a surface, intrinsic quantities of a surfaces, the second basic form of a surface, moving frames on a surface and basic formulas, Weingarten transform, asymptotic curves and conjugate curves of a surface, normal curvature, main directions, main curvatures, Gauss and mean curvature, the local structure of a surface, Gauss mapping and the third basic form, totally umbilical surfaces, minimal surfaces, surfaces with constant Gauss curvature, the fundamental theorem of surface theory, geodesic curvature and geodesics, vector translation, Gauss-Bonnet formula on a surface, indicator of a vector fields with isolated singularities, rigidity of the sphere, Bernstein Theorem for minimal surfaces, complete surfaces and the Hopf-Rinow theorem, etc.推荐教材：《微分几何》（第四版），梅向明黄敬之编，高等教育出版社，2008.5《微分几何》，苏步青等编，高等教学出版社，1979参考书目：1.《微分几何》，彭家贵等编，高等教育出版社，20022.《微分几何初步》，陈维桓编，北京大学出版社，20043.《微分几何讲义》，吴大任编，高等教育出版社，19814.《微分几何讲义》，虞言林等编，高等教育出版社，1989二、课程总目标1．在知识理论方面，本课程教学要求学生掌握曲线的切向量与弧长、曲率与挠率，掌握Frenet标架与Frenet公式，熟悉曲线的局部结构，理解曲线论的基本定理，掌握曲面的表示、切向量、法向量，熟悉旋转曲面、直纹面与可展曲面，掌握曲面的第一基本形式与内蕴量，掌握曲面的第二基本形式，掌握曲面上的活动标架与基本公式，熟悉Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线、法曲率、主方向、主曲率与曲率线，掌握Gauss曲率和平均曲率，熟悉曲面的局部结构，熟悉Gauss映照与第三基本形式，了解全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面，理解曲面论的基本定理，掌握测地曲率与测地线，掌握向量的平行移动，掌握曲面上的Gauss-Bonnet公式，理解向量场与孤立奇点的指标，理解球面的刚性，了解极小曲面中的Bernstein定理，熟悉完备曲面与Hopf-Rinow定理。
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。
通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。
《微分几何》教学大纲一、总则1、本课程的教学目的和要求：微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。
微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
2、本课程的主要内容：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。
主要内容有：（1）曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。
（2）曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。
3教学重点与难点：本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。
难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。
4本课程的知识范围及相关课程的关系：本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。
而微分几何又是现代微分方程和现代实、复分析的重要基础。
5教材的选用：根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的《微分几何》。
二、课程内容及学时分配。
第一章曲线论第一节向量代数复习1、教学内容。
复习解析几何中向量的基本概念和运算。
2、教学目的及要求。
熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。
3、教学重点与难点。
向量的基本运算及其性质。
4、教学时间分配及进度安排。
2学时。
5、主要教学环节的组织。
课堂讲授。
第二节向量函数1、教学内容。
向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。
2、教学目的及要求。
熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
微分几何A课程教学大纲一、课程基本信息课程编号：201411281课程中文名称：微分几何A课程英文名称：Differential Geometry A课程性质：专业选修课开课专业：数学与应用数学开课学期：7总学时：36（其中理论36学时）总学分：2二、课程目标讲授微分几何中最基础的部分——三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，通过这部分的基础学习，使学生能够基本了解微分几何这门课程的实质：用向量函数来描述曲线与曲面，通过微分的思想来研究向量函数，从而从另一个角度来研究曲线与曲面的形态。
并且可以通过课堂的学习，能够培养出运用课堂上所教授的新方法进一步自学微分几何的后面的近代内容的自学能力。
三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求）(1)要求学生对三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论基础知识应该掌握得扎实一些；(2)要求学生具备由向量分析过渡到张量分析，通过课堂的学习，可以运用课堂上所教授的新方法可以进一步自学微分几何的近代内容的能力；(3)要求学生了解这门学科对自然科学中其他学科的影响，能够初步达到用理论知识解决实际问题的素质。
四、教学内容与学时分配教学内容：讲授微分几何中最基础的部分——三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论，通过这部分的基础学习，使学生能够基本了解微分几何这门课程的实质：用向量函数来描述曲线与曲面，通过微分的思想来研究向量函数，从而从另一个角度来研究曲线与曲面的形态。
学时分配：1 曲线论（14学时）1.1 向量函数（3学时）1.2 曲线的概念（3学时）1.3 空间曲线（6学时）1.4 习题课（2学时）2 曲面论（22学时）2.1 曲面的概念(3学时)2.2 曲面的第一基本形式（5学时）2.3 曲面的的第二基本形式（7学时）2.4直纹面和可展曲面（2学时）2.5曲面论的基本定理（3学时）2.6 习题课（2学时）五、教学方法及手段（含现代化教学手段及研究性教学方法）主要结合幻灯片及讨论式的教学方法进行理论教学六、实验（或）上机内容无七、前续课程、后续课程前续课程：《微积分》、《常微分方程》、《解析几何》等等后续课程：《近世代数》、《泛函分析》八、参考教材及学习资源[1]《微分几何》（第三版）高等教育出版社，作者梅向明黄敬之；[2]《微分几何学习指导与习题选解》高等教育出版社，作者梅向明王汇淳九、考核方式撰写人签字：院（系）教学院长（主任）签字：。
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。
第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。
．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
