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常微分方程教学大纲1. 引言1.1 课程背景1.2 课程目标2. 基本概念与分类2.1 常微分方程的定义2.2 一阶常微分方程与高阶常微分方程2.3 线性与非线性常微分方程2.4 齐次与非齐次常微分方程3. 解常微分方程的基本方法3.1 可分离变量法3.2 齐次方程法3.3 线性方程法3.4 变量替换法3.5 常系数线性齐次方程法3.6 常系数线性非齐次方程法4. 常微分方程的应用领域4.1 数学建模与科学研究4.2 物理学中的应用4.3 生物学中的应用4.4 工程学中的应用5. 常微分方程的求解工具5.1 MATLAB在求解常微分方程中的应用5.2 WolframAlpha在求解常微分方程中的应用5.3 相关软件与工具的介绍6. 常微分方程的数值解法6.1 欧拉法6.2 改进的欧拉法6.3 龙格-库塔法6.4 迭代法6.5 数值解法的误差分析7. 常微分方程的稳定性与解的存在唯一性7.1 稳定性的定义与判定7.2 解的唯一性的定理与证明7.3 线性方程与非线性方程的稳定性比较8. 常微分方程教学的案例与实例8.1 简单案例的解析解与数值解比较8.2 复杂案例的数值解求解8.3 应用案例的数学建模与解决9. 课堂教学安排与评估方式9.1 教学活动与教学资源准备9.2 课堂教学流程设计9.3 学习目标与评估方式10. 总结与展望10.1 课程内容总结10.2 教学方法总结10.3 未来发展与深化的方向通过本门课程的学习，学生将了解常微分方程的基本概念与分类，掌握常微分方程的基本解法，并能够运用所学知识解决实际问题。
课程还将介绍常微分方程在数学建模、物理学、生物学和工程学中的应用，并通过案例与实例帮助学生更好地理解和掌握所学内容。
课程中将介绍常微分方程的基本解法，包括可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、常系数线性齐次方程法和常系数线性非齐次方程法。
此外，还将介绍常微分方程的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法和迭代法，并讨论数值解法的误差分析。
218．111．1常微分方程教学大纲(Ordinary Differential Equations)学分数 3 周学时 3+1一.说明1.课程名称: 常微分方程 (一学期课程)一学期： 4*18.2.教学目的和要求:(1)课程性质:本课程是数学系二年级必修课。
本课程是数学系的一门基础课，一般安排在第三学期。
它的前续课程是：数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等。
本课程是数学应用于物理、力学等的桥梁，是运用数学工具解决实际问题的重要工具和基础。
也是加深理解数学分析、高等代数等课程的重要课程。
(2)基本内容:本课程主要内容为常微分方程的理论与计算。
包括以下内容:常微分方程问题的来源，简单常微分方程的初等解法，常系数线性方程解的结构（以及解法），线性微分方程组理论与解法，微分方程基本理论，微分方程定性理论初步。
(3)基本要求: 通过本课程的学习,学生对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法、常系数线性方程的解法和线性微分方程组的知识（对于低阶方程组、简单的高阶方程组要会解），掌握微分方程（组）的基本理论，对微分方程（组）的定性理论有一定的了解。
3.教学方式:课堂授课。
4.考试方式:考试（笔试）。
5.教材: 《常微分方程》，金福临，李训经等编，上海科学技术出版社，1984。
参考书:《常微分方程》 V. I. 阿诺尔德著, 沈家骐，周宝熙，卢亭鹤译，科学出版社， 2001。
其他院校，例如北京大学、南京大学编写的常微分方程教材。
二.讲授纲要第一章引论(10学时+4学时)§1.1. 常微分方程问题的来源(1学时)§1.2. 简单常微分方程的初等解法(4学时)§1.3. 高阶方程的降阶(3学时)§1.4. 两体问题 (2学时)本章教学要求:对微分方程在实际问题（包括数学本身以及物理、力学、经济、生物等各个领域）中的应用有较好的认识，熟练掌握简单常微分方程的初等解法和一些可以利用降阶解决的高阶常微分方程的求解。
常微分方程课程教学大纲（Ordinary Differential Equation）课程性质：学科基础课适用专业：信息与计算科学先修课程：数学分析、高等代数、普通物理后续课程：微分方程数值解总学分：3教学目的与要求：微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景。
通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法。
并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。
教学内容与学时安排第一章绪论（4学时）1、微分方程的产生；2、基本概念。
第二章一阶微分方程的初等解法（12学时）1、变量分离方程与变量变换；2、线性方程与常数变易法；3、恰当方程与积分因子；4、一阶隐方程与参数表示。
本章重点：各种初等解法。
难点：一阶隐方程与参数表示。
第三章一阶微分方程解的存在定理（6学时）1、解的存在唯一性定理与逐步逼近法；2、解的延拓。
本章重点：解的存在唯一性定理与逐步逼近法。
难点：解的延拓。
第四章高阶微分方程（10学时）1、线性微分方程的一般理论；2、常系数线性方程的解法；3、高阶方程的降阶和幂级数解法。
本单重点：常系数线性方程的解法。
难点：高阶方程幂级数解法。
第五章线性微分方程组（10学时）1、存在唯一性定理；2、线性微分方程组的一般理论；3、常系数线性微分方程组。
本章重点：线性微分方程组的一般理论。
第六章非线性微分方程和稳定性（10学时）1、引言；2、相平面；3、按线性近似决定微分方程组的稳定性；4、李雅普诺夫第二方法；5、周期解和极限环。
常微分方程课程教学大纲一、课程说明1、课程性质本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。
常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。
微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。
通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。
并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。
2、教学目的要求目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。
了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。
3、先行或后继课程先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。
后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。
微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。
4、教学时数分配表5、使用教材王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。
教学大纲1、课程基础：本课程是数学学科的专业基础课，需要数学分析，线性代数和普通物理中的力学部分作为学习基础。
2、教材及主要参考书：教材：[1] 常微分方程，伍卓群、李勇，高等教育出版社, 2004。
主要参考书：[2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，1963。
[3] 常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982。
[4] 常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。
3、教学内容和要点：第一章初等积分法一、学习目的要求掌握微分方程的相关概念；能熟练应用初等积分法求解典型类型方程；能灵活应用各种变换求方程的解；掌握一阶隐方程的解法。
二、主要教学内容1. 例子与概念2. 典型方程的解法3. 解题的灵活性4. 一阶隐方程，高阶方程与黎卡提方程第二章线性方程一、学习目的要求理解并掌握线性方程的一般理论，包括初值问题解的存在与唯一性、齐次和非齐次线性方程的通解的结构、边值问题解的存在性和马赛拉准则，掌握求解高阶线性微分方程的降阶法和复值解的概念。
二、主要教学内容1. 解的存在性与唯一性2. 齐次线性方程的通解的结构3. 非齐次线性方程的通解的结构4. 边值问题和周期解5. 线性微分方程的一些求解方法6. 线性方程的复值解第三章常系数线性方程一、学习目的要求掌握常系数齐次线性方程（组）的解法；能熟练应用算子解法求解非齐次线性方程；了解拉氏变换法；二、主要教学内容1. 常系数齐次线性方程的解法2. 常系数齐次线性方程组的解法3. 算子解法4. 拉氏变换法*第四章一般理论一、学习目的要求理解并掌握一般非线性微分方程的一般理论：包括初值问题的皮卡存在与唯一性定理、皮亚诺存在定理、柯西存在与唯一性定理、解的延展与解的整体存在性以及解对初值与参数的连续性与可微性，了解求解非线性方程的连续性方法。
二、主要教学内容1. 皮卡存在与唯一性定理2. 皮亚诺存在定理3. 柯西存在与唯一性定理*4. 解的延展与解的整体存在性5. 解对初值与参数的连续性6. 解对初值与参数的可微性7. 解非线性方程的连续性方法*第五章定性理论一、学习目的要求理解李雅普诺夫意义下解的稳定性定义，会运用第一近似方法和李雅普诺夫第二方法判别方程平衡解的稳定性；掌握一般定性理论的基本概念；掌握平面动力系统的奇点类型和闭轨附近的动力学行为；了解系统的结构稳定性，分支与浑沌等概念；掌握首次积分的定义和性质；了解守恒系统的基本性质。
《常微分方程》课程教学大纲
课程代码： 090131009
课程英文名称：Ordinary Differential Equations
课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0
适用专业：信息与计算科学
大纲编写（修订）时间：2017.11
一、大纲使用说明
（一）课程的地位及教学目标
本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。
通过本课程的学习，学生将达到以下要求：
1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
（二）知识、能力及技能方面的基本要求
1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。
2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。
了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。
培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。
3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。
（三）实施说明
1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。
2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。
（四）对先修课的要求
本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。
本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。
（五）对习题课、实践环节的要求
1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。
2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。
主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
（六）课程考核方式
1．考核方式：考试
2．考核目标：在考核学生对常微分方程基本知识、基本原理掌握的基础上，重点考核学生的运用适当解法的能力和对问题的分析能力。
3．成绩构成：本课程的总成绩主要由三部分组成：平时成绩（包括作业情况、出勤情况等），期中成绩（中期大作业或小测验），期末考试成绩。
其中平时成绩和期中成绩共占20-30%，期末考试成绩占70-80%。
（七）参考书目
《常微分方程》（第三版），王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松编，高等教育出版社，1983.
《常微分方程教程》（第二版），丁同仁，李承治编，高等教育出版，1991.
《常微分方程》（第二版），叶严谦编，高等教育出版社，1982.
《常微分方程》，东北师范大学数学系编，高等教育出版社，1982.
二、中文摘要
《常微分方程》是高等学校数学专业的一门必修的专业基础课程。
本课程通过对各种类型的常微分方程理论和解法的研究，使学生掌握常微分方程基础知识、基本计算方法以及如何解决实际问题的能力。
课程主要内容包括一阶及高阶线性常微分方程基本解法及理论、常微分方程组理论等。
本课程将为后续课程的学习奠定重要的基础。
三、课程学时分配表
四、教学内容及基本要求
第1部分绪论
总学时(单位：学时):2 讲课:2 实验:0 上机:0
第1.1部分常微分方程模型、基本概念和发展历史（讲课2学时）
具体内容：
1）了解常微分方程典型模型；
2）了解微分方程解的形式、方程的阶；理解微分方程线性与非线性区别；
重点:
微分方程的阶
难点：
线性微分方程与非线性微分方程的判断
习题：
此部分应布置一次至少两道题的课后习题，内容可覆盖微分方程的阶、线性微分方程与非线性微分方程的判断。
第2部分一阶微分方程的初等解法
总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0
第2.1部分变量分离方程与变量变换（讲课2学时）
具体内容：
1)理解变量分离方程、齐次微分方程和可化为变量分离方程的形式之间的转化关系；掌握此类微分方程的求通解方法。
2）会用适当的变量变换求解微分方程。
第2.2部分线性微分方程与常数变易法（讲课2学时）
具体内容：
1）理解常数变易法；掌握线性微分方程求通解方法。
2）掌握n阶伯努利微分方程求通解方法。
第2.3部分恰当微分方程与积分因子（讲课4学时）
具体内容：
1）理解恰当微分方程成立的条件、积分因子概念；
2）掌握恰当微分方程求解方法
3）利用积分因子求解非恰当微分方程
4）会做关于积分因子的证明问题。
第2.4部分一阶隐式微分方程与参数表示（讲课2学时）
具体内容：
1）理解四种隐式方程形式，掌握四种隐式方程求解方法及相互关系。
重点：
常数变易法、一阶隐式方程求解。
难点：
非恰当微分方程的积分因子解法。
习题：
此部分应布置至少两次至少八道题的课后习题，内容覆盖各类微分方程。
第3部分一阶微分方程解的存在定理
总学时(单位：学时):12 讲课:12 实验:0 上机:0
第3.1部分解的存在唯一性定理与逐步逼近法（讲课4学时）
具体内容：
1)理解利普希茨条件、解的存在唯一性定理；
2)掌握构造皮卡序列的方法。
第3.2部分解的延拓（讲课2学时）
具体内容：
1)理解解的延拓的几何意义、延拓区间；
2)掌握初值问题解的存在区间求法。
第3.3部分解对初值的连续性和可微性定理（讲课4学时）
具体内容：
1)理解解对初值的连续性和可微性定理；
2)掌握关于初值的偏导在确定点处的表达式求法。
重点：
解对初值的连续性和可微性定理证明。
难点：
关于初值的偏导表达式应用。
习题：
此部分应布置至少一次至少两道题的课后习题，内容覆盖对称性定理、对初值的偏导计算
等。
第3.4部分习题课（讲课2学时）
具体内容：
1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。
2）课后题及各类题型讲解。
第4部分高阶微分方程
总学时(单位：学时):10 讲课:10 实验:0 上机:0
第4.1部分线性微分方程的一般理论（讲课2学时）
具体内容：
1）理解函数线性相关性与朗斯基行列式的关系、n阶齐次线性微分方程通解的结构、n阶非齐次线性微分方程的常数变易法；
2）掌握相关性的证明题、给定基本解组会求n阶非齐次线性微分方程的通解。
第4.2部分常系数线性微分方程的解法（讲课4学时）
具体内容：
1)理解复值函数与复值解、欧拉待定指数函数法、比较系数法、拉普拉斯变换法；
2)掌握齐次方程、欧拉方程、非齐次方程的通解求法。
第4.3部分高阶微分方程的降阶和幂级数解法线性微分方程的一般理论（讲课4学时）
具体内容：
1)理解特殊方程降幂方法、幂级数解法；
2)掌握特殊方程降幂求解过程、二阶线性微分方程的幂级数解法。
.
第5部线性微分方程组
总学时(单位：学时):14 讲课:14 实验:0 上机:0
第5.1部分存在唯一性定理（讲课2学时）
具体内容：
1）掌握存在唯一性定理，理解存在唯一性定理证明过程。
第5.2部分线性微分方程组的一般理论（讲课4学时）
具体内容：
1）理解线性微分方程组的矩阵表示；掌握n阶线性微分方程的初值问题与矩阵表示的方程组间的相互转化。
2）理解方程组的相关性与向量函数的朗斯基行列式的关系、基解矩阵相关定理；
3）掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法应用。
第5.3部分常系数线性微分方程组（讲课6学时）
具体内容：
1）理解矩阵指数性质；掌握基解矩阵计算公式。
2）掌握系数矩阵的特征根法应用及与矩阵指数的关系。
第5.4部分习题课（讲课2学时）
具体内容：
1）本章基本内容总结、本章基本题型及拓展题型总结。
2）课后题及各类题型讲解。
重点：
非齐次线性微分方程组求通解。
难点：
基解矩阵与矩阵指数的关系。
习题：
此部分应布置至少两次至少六道题的课后习题，内容覆盖相关性证明题，求基解矩阵、求通解问题等。
