最新复旦大学微分几何教学大纲

复旦大学课程教学大纲课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I）英文名称 Mathematical Analysis（I）学分数 5 周学时 6任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。

课程性质：本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。

从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。

总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。

在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。

本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。

教学目的：2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。

以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。

✧虽然数学分析是数学课程，但我们学习的是“认识自然的系统的思想和方法”——许多实践和成就表明，数学对于我们认识自然是极其有效的——许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景。

复旦大学教学大纲教学目标：本课程旨在通过系统性学习，培养学生的综合素质，为他们的学术和职业发展奠定坚实的基础。

具体目标包括：1. 提供全面深入的学科知识和理论；2. 培养学生的创造思维和解决问题的能力；3. 培养学生良好的沟通能力和团队合作精神；4. 培养学生的自主学习和持续学习的能力；5. 培养学生的道德情操和社会责任感。

课程设置：1. 课程名称：XXXXX学时安排：总学时XX，理论学时XX，实践学时XX，实验学时XX。

考核方式：笔试、实验报告、小组讨论及课堂表现等。

先修课程：无2. 主要内容：模块一：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块二：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块三：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块四：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料3. 教学方法：本课程采用多种教学方法以促进学生的全面发展。

- 讲授：老师依据教学大纲进行系统的讲解，引导学生理解和掌握相关知识；- 讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的见解和观点，培养分析问题和解决问题的能力；- 实践：通过实际案例、实验、实地考察等方式，帮助学生将理论知识应用到实际问题中；- 小组合作：通过小组项目、案例分析等活动，培养学生的团队协作和沟通能力；- 自主学习：鼓励学生主动探索、独立思考，通过自主学习来加深对知识的理解。

4. 教材及参考资料：教材：- 主教材：XXXXX- 辅助教材：XXXXX参考资料：- XXXXX- XXXXX5. 考核方式与评分比例：- 平时表现：XX%- 期末考试：XX%- 实验报告/作业：XX%- 小组讨论/项目：XX%- 其他：XX%6. 作业要求：- 每周必须完成的作业内容及提交要求；- 作业要求内容的合理性和创意性；- 作业评分标准。

《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。

微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。

（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。

【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。

【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。

微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。

通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

复旦大学数学类基础课程复旦大学数学类基础课程《数学分析II》教学大纲数学分析（I ）学分数5 周学时4+2总学时96（讲课64，习题课32）数学分析（II ）学分数5 周学时4+2总学时96（讲课64，习题32）数学分析（III ）学分数4 周学时3+2总学时80（讲课48，习题32）课程性质与基本要求课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。

本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I ），数学分析（II ），数学分析（III ）。

基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

教学方式与指导思想教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。

指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。

数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。

教学内容，教学要求与学时分配学时（含习题课）数学分析（II ）第七章定积分（§4 —§6）15 §4.定积分在几何中的应用§5.微积分实际应用举例§6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。

“微分几何”课程教学大纲英文名称：课程编号：学时：学分：适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：维恒著，《微分几何初步》，北大梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。

二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。

三、教学容及要求第一章预备知识标架向量值函数第二章曲线论参数曲线曲线的弧长曲线的曲率和标架挠率和公式曲线论基本定理曲线在一点的标准展开平面曲线重点掌握：曲线的标架及公式第三章曲面的第一基本形式曲面的定义切不面及切向量曲面的第一基本形式曲面上正交参数曲面网的存在性保长对应和保角对应可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。

第四章曲面的第二基本形式第二基本形式法曲率映射和映射主方向和主曲率的计算标形和曲面在一点的近似展开某些特殊曲面。

重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。

第五章曲面论基本定理自然标架的运动公式曲面一唯一性定理曲面论基本议程曲面的存在定理定理。

重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。

第六章测地曲率和测地线测地曲率和测地挠率测地线测地坐标系常曲率曲面向量场的平行移动公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。

大纲制定者：洪军执笔大纲审定者：红斌大纲批准者：胜利大纲校对者：洪军“数学分析”课程教学大纲英文名称：课程编号：课程类型：必修课学时：学分：适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生先修课程：高中数学使用教材及参考书：．传璋等，《数学分析》，高等教育。

．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年．一、课程性质、目的和任务本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

微分几何大纲《微分几何》教学大纲课程名称：微分几何课程编号：0641010课程类别：专业必修课程适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科）总学时数：54学分：3一、课程性质和教学目标1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程；2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。

二、教学要求和教学内容第一章曲线论（12学时）【教学要求】1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积；2. 理解向量分析的基本内容；3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。

4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。

5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。

6. 掌握曲线论的基本定理。

7. 了解曲线在一点邻近的结构。

【教学内容】●讲授内容1. 向量分析的基本内容；2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数；※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理；5．曲线在一点邻近的结构。

第二章曲面的第一基本形式 (10学时)【教学要求】1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线；2. 理解曲面上的曲线族和曲线网；3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积；4．掌握曲面间的保长变换和保角变换；5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。

“微分几何”课程教学大纲英文名称：Differntial Geometry课程编号：B09043学时：54 学分：3.5适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何使用教材及参考书：陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社梅向明著，《微分几何》虞言林著，《微分几何》一、课程性质、目的和任务本课程主要介绍3-维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。

二、教学基本要求本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解Gauss绝妙定理的重要意义。

三、教学内容及要求第一章预备知识1．标架2．向量值函数第二章曲线论1．参数曲线2．曲线的弧长3．曲线的曲率和Frenet标架4．挠率和Frenet公式5．曲线论基本定理6．曲线在一点的标准展开7．平面曲线重点掌握：曲线的Frenet标架及Frenet公式第三章曲面的第一基本形式1．曲面的定义2．切不面及切向量3．曲面的第一基本形式4．曲面上正交参数曲面网的存在性5．保长对应和保角对应6．可展曲面重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。

第四章曲面的第二基本形式1．第二基本形式2．法曲率3．Gauss映射和Weingarten映射4．主方向和主曲率的计算5．Duppin标形和曲面在一点的近似展开6．某些特殊曲面。

重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。

第五章曲面论基本定理1．自然标架的运动公式2．曲面一唯一性定理3．曲面论基本议程4．曲面的存在定理5．Gauss定理。

重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。

第六章测地曲率和测地线1．测地曲率和测地挠率2．测地线3．测地坐标系4．常曲率曲面5．向量场的平行移动6．Gauss-Bonnet公式重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。

复旦大学课程教学大纲“微积分的一流化进程”涉及的知识体系及其所属课程按上所述，我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次的学习以及研究等具有基础性的深远作用。

在明确目标后，结合复旦现有的课程及其学分设置，我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径，现研究及实践的主要内容如上图所示：①大学一年级必修“数学分析”，主要涉及Euclid空间上微积分→②大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》（有关微积分的深1本文涉及的数理知识体系，可以理解为：微积分＋线性代数→常微分方程，偏微分方程；复变函数；概率统计等知识体系。

此知识体系，力学、数学、物理等理工专业均涉及，仅是要求程度有所不同。

2此事例引述自菲赫金哥尔茨所著《微积分教程》（俄罗斯数学教学选译之一）。

基本要求:.数学（数理知识体系）可理解为，按量化观点（包括定量与定性刻画），认识自然及非自然世界系统的思想和方法。

另一方面，对于数学作为的认识，取决于对数学自身的认识。

按上述观点，对于《数学分析（Ⅰ）》课程，需要学生系统、深入地掌握以一元函数为基本对象所开展的一元微分学与积分学，以及常微分方程基础，具体归纳为以下主要方法：1.数列极限的计算方法，包括典型的分析方法（涉及分部估计、Abel和式估计等）；引入无穷小量的做法；处理带有和式的数列极限（Stolz定理、化为定积分）；转为为函数极限处理。

2.无限小分析方法，主要为获得函数的局部高阶多项式逼近，以此可有效处理函数极限、数列极限。

方法主要包括基本初等函数的展开；技术性引理（逐项求导、逐项求积）；Landau 符号的性质（表现为抓住主要矛盾忽略次要矛盾）。

如图6所示。

3.函数导数的计算方法，包括充分性方法（四则运算、链式求导）；极限分析方法（针对分段函数）。

4.函数的定性作图方法，用于定性绘制平面Monge型曲线、一般参数曲线，涉及确定渐近线、单调区间、凹凸区间等。

5.一致连续性的分析方法，分为有界区间与无界区间上连续函数二类情形。

《微分几何》教学大纲一、总则1、本课程的教学目的和要求：微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。

微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

2、本课程的主要内容：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。

主要内容有：（1）曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。

（2）曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。

3教学重点与难点：本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。

难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。

4本课程的知识范围及相关课程的关系：本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。

而微分几何又是现代微分方程和现代实、复分析的重要基础。

5教材的选用：根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的《微分几何》。

二、课程内容及学时分配。

第一章曲线论第一节向量代数复习1、教学内容。

复习解析几何中向量的基本概念和运算。

2、教学目的及要求。

熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。

3、教学重点与难点。

向量的基本运算及其性质。

4、教学时间分配及进度安排。

2学时。

5、主要教学环节的组织。

课堂讲授。

第二节向量函数1、教学内容。

向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。

2、教学目的及要求。

熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。