第二十二章-二次函数-过关自测卷

第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。

二次函数自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. y =2x ＋lB. y =（x ﹣l ）2﹣x 2C. y =5x 2D. y =22x 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数y =x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. y =（x +3）2+1B. y =（x ﹣3）2﹣1C. y =（x +3）2﹣1D. y =（x ﹣3）2+13. 某抛物线的形状、开口方向与y =12x 2﹣4x +3相同，顶点坐标为（﹣2，1），则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =12（x ﹣2）2+1 B ．y =12（x +2）2﹣1C ．y =12（x +2）2+1D ．y =-12（x +2）2+14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，可知关于x 的方程ax 2+bx +c =0的所有根的积为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣5 D ．5第4题图 第8题图 第9题图 第10题图 5. 关于二次函数y =3（x +1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是x =1 B. 当x =﹣1时，y 取得最小值，且最小值为﹣7 C. 顶点坐标为（﹣1，7） D. 当x <﹣1时，y 随x 的增大而增大6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件．若想获得最大利润，则售价x 应定为（ ）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元7. 一次函数y =bx +a （b ≠0）与二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D8. 板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A 处击出，落地前的点B 处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为y =132x 2+14x +1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）A. 1B.32C.83D. 49. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4 cm ，BC =8 cm ，动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动（不与点C 重合）.当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，m ），与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣m =2没有实数根；③3a +c ＞0.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y =x 2+2x +c 的对称轴是 . 12. 当a = 时，函数y =（a ﹣1）21a x＋x ﹣3是二次函数.13. 若二次函数y =x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n = .14. 点P 1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .15. 如图，将抛物线y 1=（x +1）2﹣3向右平移2个单位长度得到抛物线y 2，则阴影部分的面积为 .第15题图 第16题图16. 圆形喷水池中心O 处有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的C ，D 为水柱的落水点.已知雕塑OA 的高为116米，水柱最高点与OA 的水平距离为5米，落水点C ，D 之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（6分）已知二次函数y =x 2﹣4x +c 的图象经过点（3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '，若点P ′落在该二次函数的图象上，求n 的值． 18.（6分）已知二次函数y =x 2-4mx +3m 2（m ≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）若m>0，且两交点间的距离为2，求m 的值．19.（8分）购进一款防护PM 2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式； （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润. 20.（8分）如图，抛物线y =2x 2+bx ﹣2过点A （﹣1，m ）和B （5，m ）． （1）求b 和m 的值；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．第20题图 第21题图 21.（8分）如图，已知抛物线L 1：y 1=34x 2，将抛物线平移后经过点A （﹣1，0），B （4，0）得到抛物线L 2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）已知P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，7）．（1）求b，c的值；（2）已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围．23.（10分）图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在到点D的距离为6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m.以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m．①求出其中一条钢缆抛物线的解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．①②①②第23题图第24题图24.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点为C（1，﹣1），E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，求正方形CDEF的面积；（3）如图②，连接DF，与CE交于点M，与y轴交于点N.若P为抛物线上一点，Q为直线BN上一点，且P，Q两点均位于直线DF下方，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．题报第②期 二次函数自我评估参考答案答案详解三、17. 解：（1）将（3，0）代入y =x 2﹣4x +c ，得9﹣12+c =0，解得c =3. 所以该二次函数的解析式为y =x 2﹣4x +3.（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '（4，n +2）. 将P ′（4，n +2）代入y =x 2﹣4x +3，得16﹣16+3= n +2，解得n =1．18.（1）证明：令y =0，则x 2-4mx +3m 2=0（m ≠0）.因为Δ=（-4m ）2﹣4×3m 2=4m 2>0，所以方程x 2-4mx +3m 2=0（m≠0）有两个不等的实数根.所以无论m 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. （2）解：解方程x 2-4mx +3m 2=0，得x 1=m ，x 2=3m .所以函数y =x 2-4mx +3m 2的图象与x 轴两个交点的坐标为（m ，0），（3m ，0）.因为m >0，两交点间距离为2，所以3m-m =2，解得m =1． 19. 解：（1）根据题意，得y =（x ﹣5）105050.1x -⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）.所以每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式是y =﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）. （2）由（1），知y =﹣50x 2+800x ﹣2750=﹣50（x ﹣8）2+450.因为﹣50<0，5≤x ≤10，所以当x =8时，y 有最大值，最大值为450. 所以销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大利润是450元．20. 解：（1）因为A （﹣1，m ），B （5，m ）是抛物线y =2x 2+bx ﹣2上的两点，所以对称轴为x=15222b -+-=⨯，得b =﹣8.所以抛物线的解析式为y =2x 2﹣8x ﹣2.将A （﹣1，m ）代入y =2x 2﹣8x ﹣2，得m =2+8﹣2=8.（2）令x=0，得y =﹣2，所以点C 的坐标为（0，﹣2）.所以OC =2. 因为A （﹣1，8），B （5，8），所以AB =6.所以S △ABC =12×6×（2+8）=30． 21. 解：（1）设抛物线L 2的解析式为y=34x 2+bx+c. 将A （﹣1，0），B （4，0）代入，得3041240b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，，解得943.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以抛物线L 2的解析式为y=34x 294-x-3.（2）存在PD =2OC ． 理由：设P 239344a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，D 234a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以PD=223933444a a a ---=934a +，OC=3．由934a +=2OC=6，解得a=43或a=-4.所以点P 的坐标为41433⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或（﹣4，18）． 22. 解：（1）因为抛物线y =﹣x 2+bx +c 的顶点坐标为（2，7），所以对称轴为x=()21b-⨯-=2，解得b =4.所以y =﹣x 2+4x +c.将（2，7）代入y =﹣x 2+4x +c ，得﹣4+8+c =7，解得c =3.所以b 的值是4，c 的值是3. （2）因为y =﹣x 2+4x +3的顶点坐标为（2，7），所以抛物线开口向下，对称轴为x =2.令x =0，得y =3，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.所以点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3）. 因为点A ，B 落在抛物线上，点A 在第二象限，点B 在第一象限，点B 的纵坐标比点A 的纵坐标大3，所以将y =6代入y =﹣x 2+4x +3，得﹣x 2+4x +3=6，解得x =1或x =3.所以m 的取值范围是0<m <1或3<m <4.第22题图（共享2021-2022学年第二学期答案页第8期大报第20期“专项五”3题答案） 23. 解：（1）由题意，得F （6，-1.5）. 设抛物线的解析式为y 1=a 1x 2.将F （6，-1.5）代入，得62·a 1=-1.5，解得a 1=124-. 所以抛物线的解析式为y 1=124-x 2.当12x =时，y 1=-6，所以桥拱顶部离水面的距离为6 m ． （2）①由题意，得右侧抛物线的顶点为（6，1）.设右侧抛物线的解析式为y 2=a 2（x-6）2+1.将H （0，4）代入，得a 2（0-6）2+1=4，解得a 2=112. 所以右侧抛物线的解析式为y 2=112（x-6）2+1. ②设彩带的长度为h m ，则h =y 2-y 1=112（x-6）2+1-2124x ⎛⎫-⎪⎝⎭=18x 2–x+4=18（x–4）2+2. 因为18>0，所以h 有最小值.当x=4时，h 取得最小值，为2.所以彩带长度的最小值是2 m ．24. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）2﹣1.将A （﹣1，0）代入，得a =14，所以y =14x 2-12x -34.（2）如图①，过点F 作FR ⊥EC 于点R . 设F 2113424t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则R 2113424t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1，，所以RC =2111424t t -+，RF =t ﹣1. 因为四边形CDEF 是正方形，所以RF =RC .所以2111424t t -+=t ﹣1.所以t =1（舍去）或t =5.所以F （5，3）.所以RF =4.所以CF 2=32.所以正方形CDEF 的面积是32. （3）令y=0，则14x 2-12x -34=0，解得x=-1或x=3.所以B （3，0）. 由（2）可得N （0，3），M （1，3），所以直线BN 的解析式为y =﹣x +3.设Q （m ，3﹣m ），如图②，过点Q 作QG ⊥DF 于点G ，作PT ⊥DF 于点T .因为△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，所以MP =QM ，∠TMP +∠GMQ =90°，∠TMP +∠TPM =90°.所以∠TPM =∠GMQ .所以△MTP ≌△QGM .所以PT =MG ，MT =QG .所以PT =MG =m ﹣1，MT =QG =m.所以P （1﹣m ，4﹣m ）.因为点P 在抛物线上，所以4﹣m =14（1﹣m ）2-12（1﹣m ）-34，解得m =﹣2±因为m ＞0，所以m =﹣2+所以P (3--.所以当△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形时，点P 的坐标为(3--．① ② 第24题图。

第二十二章 二次函数一、选择题（每题3分，共24分）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．y =1x 2B ．y =x 2+1x +1C ．y =2x 2−1D ．y =x 2−12．下列抛物线中，与y =−3x 2+1抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(−1,2)的是（ ）A ．y =−3(x +1)2+2B ．y =−3(x−1)2+2C ．y =3(x +1)2+2D ．y =−3(x +1)2+23．在平面直角坐标系中，将二次函数y =3x 2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A ．y =3x 2−1B ．y =3x 2+1C ．y =3x 2−3D ．y =3x 2+34．若A (−1,y 1)，B (1,y 2)，C (4,y 3)三点都在二次函数y =−(x−2)2+k 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 1<y 2D ．y 3<y 2<y 15．二次函数y =−x 2−2x +c 2−2c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值为−5，则c 的值（ ）A ．3或−1B ．−1C ．−3或1D ．36．已知二次函数y =x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m =0的两实数根是（ ）A ．x 1=0，x 2=−1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=37．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m ，水面宽6m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）A ．y =−13x 2B ．y =13x 2C ．y =−3x 2D ．y =3x 28．如图，已知经过原点的抛物线y =a x 2+bx +c(a ≠0)的对称轴是直线x =−1，下列结论中：①ab >0，②a +b +c >0，③当−2<x <0时y <0.正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每题4分，共20分）9．抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线 ．10．若y=(m−2)x m2−2+x−3是关于x的二次函数．则m的值为 ．11．抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是 ．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．13．如图，在平面直角坐标中，抛物线y=a x2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A，则不等式a x2 +bx<kx的解集为 ．三、解答题（共56分）14．如图所示，二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图保与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−1，0)，M(2，9)为抛物线的顶点.（1）求抛物线的函数表达式.（2）求△MCB的面积.15．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+4x−3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后的图象所对应的二次函数的表达式. 16．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．17．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+900．（1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．（2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？（3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．18．如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象交x轴于A(−1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，−2).（1）求二次函数的解析式；（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值；（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB−PC|最大，求点P的坐标。

2023-2024学年九年级上册第二单元二次函数A卷•达标检测卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1．（2023•仓山区校级开学）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）A．y＝ax2+bx+c B．C．y＝50+x2D．y＝（x+2）（x﹣3）﹣x2【答案】C【解答】解：A、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；B、不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣4【答案】A【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是y＝（x﹣3）2+4．故选：A．3．（2023•怀宁县一模）抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ ）A．（3，4）B．（﹣3，4）C．（3，﹣4）D．（﹣3，﹣4）【答案】B【解答】解：抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标（﹣3，4），故选：B．4．（2022秋•平度市期末）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（4，0）D．函数的最小值为﹣9【答案】D【解答】解：A、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴图象的对称轴x＝﹣1，故A 不正确，不符合题意；B、∵图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8），∴B不正确，不符合题意；C、∵y＝x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），∴图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故C不正确，不符合题意；D、∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，顶点坐标为（﹣1，﹣9），a＝1＞0，∴函数值有最小值为﹣9，故D正确，符合题意；故选：D．5．（2022秋•未央区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为（ ）A．3或1B．﹣3或1C．3或﹣3D．﹣3或﹣1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+m＝﹣（x+1）2+m+1，∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，由图象可知：二次函数y＝﹣x2﹣2x+m与x轴的一个交点为（﹣3，0），∴该函数与x轴的另一个交点为（1，0），∴当y＝0时，0＝﹣x2﹣2x+m对应的x的值为﹣3或1，故选：B．6．（2023•营口一模）抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）A．c＝4B．c＝﹣4C．c≤4D．c≥﹣4【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣c与x轴只有一个公共点，∴方程x2+4x﹣c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1•（﹣c）＝0，∴c＝﹣4．故选：B．7．（2023•婺城区校级模拟）抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是（ ）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝2D．直线x＝﹣2【答案】A【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴为x＝﹣＝1，故选：A．8．（2023春•东营期末）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）x…﹣3﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1【答案】C【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．9．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y1），B（4，y2）是抛物线上两点，若a＜0，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法比较【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y2）到对称轴的距离为4﹣2＝2，又∵2＜4，∴点B（4，y2）到对称轴的距离近．∴y1＜y2，故选：B．10．（2023•太平区二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（ ）A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴abc＜0，故A、B错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣2，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（4，0），∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，故C错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），∴4a﹣2b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，即8a+c＝0，故D正确，故选：D．二、填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。

第二十二章二次函数（测能力）——2022-2023学年人教版数学九年级上册单元闯关双测卷【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是关于x的二次函数，则m的值为( )A.-2B.-2或1C.1D.不存在2.今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增.某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长.若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是( )A. B.C. D.3.二次函数的图像如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为( )A.3B.-3C.-6D.94.在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是( )A. B.C. D.5.抛物线的函数解析式为,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为( )A. B.C. D.6.关于抛物线，下列说法错误的是( )A.开口向下B.顶点坐标是C.当时，y随x的增大而增大D.对称轴是直线7.将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有3个公共点，则b的值为( )A.或-12B.或2C.-12或2D.或-128.在抛物线和直线上有三点,则的结果是( )A. B.0 C.1 D.29.如图，在中，，cm，cm.动点P从点A出发，沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动（不与点C重合）.当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为( )A.1 sB.2 sC.3 sD.4 s10.已知抛物线(a，b，c为常数，且)的图象如图所示，有下列结论：①；②若，则；③.其中，正确结论的个数是( )A.0B.1C.2D.3二、填空题（每小题4分，共20分）11.若抛物线与x轴没有交点,则m的取值范围是______.12.如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在x轴的正半轴上，C，D两点在抛物线上.设（），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为_________.13.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m.若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为__________m.14.如图，已知二次函数的图像经过，两点，且图像的对称轴与x 轴交于点C，连接BA，BC，则的面积为___________.15.已知抛物线与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程无实数根；③；④的最小值为3.其中正确的结论是__________.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款免洗洗手液”的销售单价为x （元），每天的销售量为y（瓶）.（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大？最大利润为多少元？17.（8分）抛物线与直线交于.(1)求m和n的值;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)对于二次函数,当x在什么范围时,y随x的增大而减小?(4)抛物线与直线还有其他交点吗?若有,请求出来;若没有,说明理由.18.（10分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为.（1）求抛物线的表达式；（2）求梯形COBD的面积.19.（10分）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…-3-2-10123…y…3m-10-103…其中，_________.（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有___________个交点，所以对应的方程有___________个不相等的实数根；②方程有__________个不相等的实数根；③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________.20.（12分）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.某运动员进行了两次训练.（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离02581114 x/m竖直高度20.0021.4022.7523.2022.7521.40y/m根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为；第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）.21.（12分）如图,抛物线的顶点为,与y轴交于点,点为其对称轴上的一个定点.(1)求这条抛物线的函数解析式.(2)已知直线l是过点且垂直于y轴的定直线,若抛物线上的任意一点到直线l的距离为d,求证:.(3)已知坐标平面内的点,请在抛物线上找一点Q,使的周长最小,并求此时周长的最小值及点Q的坐标.答案以及解析1.答案：A解析：若是关于x的二次函数，则解得.故选A.2.答案：B解析：该药店三月份销售口罩枚数y与x的函数关系式是.3.答案：A解析：由图像可得二次函数的最小值是-3.一元二次方程有实数根，，解得，m的最大值是3.4.答案：D解析：观察函数图象可知，，，二次函数的图象开口向上，对称轴，与y轴的交点在y轴负半轴.故选D.5.答案：C解析：根据题意知,将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,则所得抛物线的解析式为.故选C.6.答案：C解析：抛物线，该函数图象开口向下，故选项A不符合题意；该函数图象的顶点坐标是，故选项B不符合题意；当时，y随x的增大而减小，故选项C符合题意；对称轴是直线，故选项D不符合题意.故选C.7.答案：A解析：如图所示，过点B的直线与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到A、B之间的抛物线只有C一个公共点时，直线与新抛物线也有三个公共点.令，解得：或6，即点B坐标.当一次函数过点B时，将点B的坐标代入，得，解得.将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，，解得：.综上，b的值为或，故选A.8.答案：D解析：如图,在抛物线和直线上有三点, ,.,∴抛物线的对称轴为直线,.在直线上,,.故选D.9.答案：B解析：设运动时间为x s，四边形APQC的面积为y，则cm，cm，cm，，即，当时，y有最小值，为12，故选B.10.答案：D解析：抛物线开口向下，.，，，故①正确；设二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别是和，，则.，，故②正确；，，，.时，，，.，，，，，，，故③正确.故选D.11.答案：解析：∵抛物线与x轴没有交点,,即,解得.12.答案：解析：，，点D的横坐标为m.把代入抛物线中，得，.把代入抛物线中，得，解得，，点C的横坐标是，故，矩形ABCD的周长，即.13.答案：14解析：设平行于墙的一边长为x m，则垂直于墙的一边长为m，总面积，当时，建成的饲养室面积最大.故答案为14.14.答案：6解析：把，代入，得解得所以抛物线的表达式为.因为抛物线的对称轴为直线，所以.又因为，，所以，，所以的面积为.15.答案：①②③④解析：，，①正确.抛物线与x轴最多有一个交点，抛物线开口向上，抛物线与直线没有交点，关于x的方程无实数根，②正确.及抛物线与x轴最多有一个交点，x取任何值时，，当时，，③正确.当时，，，，，④正确.故答案为①②③④.16.答案：（1）.（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.解析：（1）由题意得.（2）设每天的销售利润为w元，则有，，二次函数的图象开口向下.当时，w有最大值，最大值为360.当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元.17.答案：(1);(2)(0,-5)；y轴(3)(4)(-1,-3)解析：(1)∵抛物线与直线交于,∴将代入得,解得.将(2,3)代入得,解得.(2)根据(1)得出,∴抛物线的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴.(3)抛物线开口向上,当时,y随x的增大而减小.(4)由题意得,解得,,故抛物线与直线还有其他交点,交点坐标为(-1,-3).18.答案：解：（1）把的坐标代入，得，.（2）令，得，.抛物线的对称轴是直线，...19.答案：（1）0（2）图见解析（3）见解析（4）①3，3，②2；③解析：（1）把代入得，即，故答案为0.（2）如图所示.（3）（答案不唯一）由函数图象知，①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大.（4）①由函数图象知，函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根；②如图，的图象与直线有两个交点，有2个不相等的实数根；③由函数图象知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是.故答案为①3，3，②2；③.20.答案：（1）（2）<解析：（1）该运动员竖直高度的最大值为23.20 m.由表格中的数据可知该抛物线的顶点坐标为，故该抛物线的解析式为，将代入，得，解得，.（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，，解得：或，根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：或，根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，，，，故答案为：<21.答案：(1)(2)见解析(3)解析：(1)设抛物线的解析式为.由题意,得抛物线的顶点为.又抛物线与y轴交于,,解得.∴抛物线的解析式为.(2)证明:如图,过点P作垂直于对称轴于点M.在中,.由勾股定理,得.∵点在抛物线上,,即...又.(3)如图,作于点G,交抛物线于点Q,则点Q即为所求,此时的周长最小.由(2)可知,,.又,周长的最小值为,此时点Q的横坐标为4,纵坐标,即点Q的坐标为.。

单元过关练习卷：《二次函数》一．选择题1．若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax（）A．有最大值．B．有最大值﹣．C．有最小值．D．有最小值﹣．2．矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1），一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A．y＝x2+8x+14B．y＝x2﹣8x+14C．y＝x2+4x+3D．y＝x2﹣4x+3 3．飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机着陆后滑行到停止下来，滑行的距离为（）A．500米B．600米C．700米D．800米4．设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y25．如图，抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C（0，3），连结AC，现有一宽度为1，长度足够的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（）A．2+B．6C．2D．2+36．如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点．若AB＝3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2D．7．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）A．h＜1B．h＝1C．1＜h＜2D．h＞28．当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2+c10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1．下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＞﹣；④b2+8a＞4ac中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为．12．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根是．13．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x部分取值和对应函数值如表若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则实数m最小值为．14．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则P A+PC的最小值是15．如图，已知抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴负半轴交于点C．D是抛物线上一点于点，且AD∥CB，作∠DAE＝∠ADB交射线CB 于点E，则点E的坐标为．16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣+3，由此可知铅球达到的最大高度是m，推出的距离是m．17．如图，为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（长方形ABCD，AB＝10m，BC＝20m）上进行绿化，中间的一块（图中四边形EFGH）上种花，其他的四块（图中的四个直角三角形）上铺设草坪，并要求AE＝AH＝CF＝CG，当四边形EFGH（中间种花的一块）面积最大时，AE＝．三．解答题18．抛物线C1：y1＝a1x2+b1x+c与抛物线C2：y2＝a2x2+b2x+c中，若，则称抛物线C1，C2为“窗帘”抛物线．（1）已知y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，①b的值为；②在如图的坐标系中画出它们的大致图象，并直接写出它们的交点坐标．（2）设抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0）的顶点分别为D，E，F，①判断它们是否是“窗帘”抛物线？答：（填“是”或“不是”）②若EF＝3DE，求n的值．19．若已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，（1）求证：二次函数始终与x轴有2个交点；（2）若a＞0且b＝2a﹣2，①当x≥﹣3时，y≥﹣a恒成立，求a的取值范围；②当a，n都为正整数时，若在﹣n﹣2≤x≤﹣n﹣1范围内，函数的值有且只有13个整数，求a的值．20．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A、B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相同．（1）求A、B两种型号汽车的进货单价；（2）销售中发现A型汽车的每周销量y A（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y A＝﹣x+20，B型汽车的每周销量y B（台）与售价x（万元/台）满足函数关系y B＝﹣x+14，A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台．问A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？21．我县某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包田地种植“黄金梨”，已知该黄金梨的成本价为8元/千克，到了收获季节投入市场销售时，通过调查市场行情发现销售该黄金梨不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当黄金梨定价为多少元时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某农户今年共采摘黄金梨4800千克，若黄金梨的保质期为40天，则按（2）中的方式进行销售，能否销售完这批黄金梨？请说明理由．22．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．23．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D，交y轴为E．（1）求二次函数的解析式；（2）求的值．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+c经过点D（﹣2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧）与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）已知点M在抛物线上，点N在该抛物线的对称轴上，①当∠ACM＝90°时，求点M的坐标；②是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数y＝ax2﹣ax有最大值﹣，故选：B．2．解：∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，∴矩形ABCD关于坐标原点对称，∵A点C点是对角线上的两个点，∴A点、C点关于坐标原点对称，∴C点坐标为（﹣2，﹣1）；∴透明纸由A点平移至C点，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位；∵透明纸经过A点时，函数表达式为y＝x2，∴透明纸经过C点时，函数表达式为y＝（x+4）2﹣2＝x2+8x+14故选：A．3．解：s＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，则当t＝20时，s取得最大值，此时s＝600，故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m．故选：B．4．解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m的开口向下，对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x 的增大而增大，∵点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m上的三点，∴点C关于对称轴x＝1的对称点是（0，y3），∵﹣1＜0＜1，∴y2＞y3＞y1，故选：A．5．解：如图，∵OA＝OC＝3，作正方形AOCM，连接OM、作MN∥AC，使得MN＝DE，连接ON交AC于E，此时OD+OE的值最小．∵MN＝DE，MN∥DE，∴四边形MNED是平行四边形，∴DM＝EN，∴△ODE的周长＝OD+DE+EO＝DM+DE+OE＝NE+OE+DE＝ON+DE，∵AC⊥OM∴MN⊥OM，∴∠NMO＝90°，∵MN＝DE＝，OM＝3，∴ON＝＝＝2，∴△ODE的周长的最小值为2+，故选：A．6．解：∵抛物线y＝（x﹣h）2与x轴只有一个交点M，∴M（h，0），对称轴为x＝h，∵抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，∴点A和B的纵坐标相等，设为a，则a＝（x﹣h）2时，x﹣h＝±，∴点A的横坐标为h﹣，点B的横坐标为h+，∵AB＝3，∴h+﹣（h﹣）＝3，解得：a＝；即点M到直线l的距离为；解法二：把抛物线往左平移，使点A落在y轴上，则点A的横坐标为0，又因为AB＝3，所以对称轴x＝，所以平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣3x+c，又因为抛物线与x轴只有一个交点，所以△＝b2﹣4ac＝32﹣4c＝9﹣4c＝0，即c＝9/4当x＝0时，y＝c＝9/4，所以点M到直线l的距离为．故选：B．7．解：由题A，B，C均在抛物线y＝x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A（﹣，b），B（，b），C（a，a2），D（0，b）则因斜边上的高为h，故：h＝b﹣a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD＝∴＝方程两边平方得：（b﹣a2）＝（a2﹣b）2即h＝（﹣h）2因h＞0，得h＝1，是个定值．故选：B．8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m＝﹣，m＝（舍去）；③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或﹣．故选：C．9．解：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x＝2，即＝2，得b＝﹣4a，再根据图象知当x＝1时，y ＝a+b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y＝ax2+bx+c＝，∵＝2，∴原式＝，∴向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．10．解：∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，∴﹣1＜﹣＜0，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜b，即2a﹣b＜0，所以②正确，③错误；∵y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，∴c＝2﹣a+b，∴b2+8a﹣4ac＝b2+8a﹣4a（2﹣a+b）＝b2﹣4ab+4a2＝（b﹣2a）2，而2a＜b，∴b2+8a﹣4ac＞0，即b2+8a＞4ac，所以④正确．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a+2的图象与两坐标轴共有两个交点，∴当a﹣1＝0时，得a＝1，此时y＝﹣2x+1与两坐标轴两个交点，当a﹣1≠0时，则或，解得，a＝2或a＝﹣2，由上可得，a的值是1，2或﹣2，故答案为：1，2或﹣2．12．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（1，0）、（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1，x2＝3，故答案为x1＝1，x2＝3．13．解：∵x＝0，x＝2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，根据表格得，自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x＝1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，顶点为（1，﹣4），若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则二次函数y＝ax2+bx﹣m 与x轴有交点，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3向上最大平移4个单位与x轴有交点，∴ax2+bx﹣m＝ax2+bx﹣3+4，解得m＝﹣1，∴实数m最小值为﹣1故答案为：﹣1．14．解：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为：x＝1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P为所求，则P A+PC的最小值＝BC＝3，故答案为：3．15．解：当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则A（﹣1，0），B（4，0），当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），易得直线BC的解析式为y＝x﹣4，∵BC∥AD，∴设AD的解析式为y＝x+b，把A（﹣1，0）代入得﹣1+b＝0，解得b＝1，∴直线AD的解析式为y＝x+1，解方程组得或，∴D（5，6），作DH⊥x轴于H交AE于F，易得△ADH为等腰直角三角形，∴∠DAH＝∠ADH＝45°，∵∠DAE＝∠ADB，∴∠EAH＝∠BAH，∴Rt△AFH∽Rt△DBH，∴＝，即＝，∴FH＝1，∴F（5，1），易得直线AE的解析式为y＝x+，解方程组得∴E点坐标为（5，1）．故答案为（5，1）．16．解：∵y＝﹣+3，∴抛物线的顶点坐标为（4，3），∴当x＝4时，铅球达到的最大高度为3米，令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），答：铅球推出的距离是10m．故答案为：3；10．17．解：存在．设AE＝AH＝CG＝CF＝xm，则BE＝DG＝（10﹣x）m，BF＝DH＝（20﹣x）m，∴四边形EFGH的面积：S＝10×20﹣2×x•x﹣2×（10﹣x）（20﹣x），S＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，∵﹣2＜0∴x＝7.5时，S有最大值．故答案为：7.5米三．解答题（共7小题）18．解：（1）①∵y＝x2+2x﹣3与y＝2x2+bx﹣3是“窗帘”抛物线，∴，∴b＝4，故答案为：4．②在坐标系中它们的大致图象如图所示，由图象可知交点坐标为（0，﹣3），（﹣2，﹣3）．（2）①∵抛物线y＝x2+2x﹣3，y＝nx2+2nx﹣3，y＝3nx2+6nx﹣3（n＞0），∴，，∴它们是“窗帘”抛物线；故答案为：是；②∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴抛物线y＝x2+2x﹣3顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵y＝nx2+2nx﹣3＝n（x+1）2﹣3﹣n，∴抛物线顶点E的坐标为（﹣1，﹣3﹣n），∵y＝3nx2+6nx﹣3＝3n（x+1）2﹣3﹣3n，∴抛物线顶点F的坐标为（﹣1，﹣3﹣3n），∴EF＝|﹣3﹣n+3n+3|＝|2n|，DE＝|﹣4+3+n|＝|﹣1+n|，∵EF＝3DE，∴|2n|＝3|n﹣1|，当2n＝3（n﹣1）时，解得n＝3，当2n＝﹣3（n﹣1）时，解得n＝，故n的值为3或．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点但不关于y轴对称，∴b≠0，把（0，0）代入y＝ax2+bx+c，得c＝0，∵△＝b2﹣4ac＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴始终有2个交点；（2）函数对称轴为x＝﹣1+，①当a＜﹣1时，函数在x≥﹣1时，函数值y随x的增大而增大，∴（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+2≥a，即1+2a+2≥a，解得a≥﹣3，②当a≥﹣1时，函数的最小值在x＝a时取得，∴a2﹣2a•a+2≥a，解得﹣2≤a≤1，综上所述，﹣3≤a≤1．故答案为：a的取值范围是：﹣3≤a≤1．20．解：（1）设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得＝，解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根．答A、B两种型号汽车的进货单价为：10万元、8万元．（2）设两种汽车的总利润为w万元，根据题意，得w＝（x+2﹣10）（﹣x+20）+（x﹣8）（﹣x+14）＝﹣2x2+50x﹣272＝﹣2（x﹣12.5）2+40.5∵﹣2＜0，当x＝12.5时，w有最大值为40.5．答：A、B两种型号的汽车售价各为14.5万元、12.5万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是40.5万元21．解：（1）设y与x的函数关系为y＝kx+b，将（10，200），（15，150）代入，得，，∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300（8≤x≤30）．（2）设每天销售获得利润为w元，根据题意，得w＝（x﹣8）（﹣10x+300）＝﹣10x2+380x﹣2400＝﹣10（x﹣19）2+1210∵﹣10＜0，当x＝19时，w有最大值为1210，答：黄金梨定价为19元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1210元．（3）根据题意，得40y＝4800，即﹣10x+300＝120，解得x＝18．答：能销售完这批黄金梨．22．解：（1）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣3）（x +1）＝（x ﹣1）2﹣4，∴当y ＝0时，x 1＝3，x 2＝﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣3，该函数的顶点坐标为（1，﹣4）， ∴点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3）；（2）连接OC ，如右图所示，∵点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（1，﹣4），点D 的坐标为（0，﹣3），∴四边形ABCD 的面积是：S △AOD +S △ODC +S △OCB ＝＝9．23．解：（1）设该函数的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）则3＝a （0+3）（0﹣1），解得，a ＝﹣1，∴y ＝﹣（x +3）（x ﹣1）＝﹣x 2﹣2x +3， 即二次函数的解析式；是y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，∵点C （0，3），点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，∴点D的坐标为（﹣2，3），设过点B（1，0）、点D（﹣2，3）的直线的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线BD的解析式为y＝﹣x+1，当x＝0时，y＝﹣0+1＝0，即点E的坐标为（0，1），作DF⊥AB于点F，∵DF⊥AB，EO⊥AB于点O，∴△BEO∽△BDF，∴，∵点B（1，0），点F（﹣2，0），∴BO＝1，BF＝3，∴，∴＝．24．解：（1）将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，令y＝0，则x＝﹣3或1，故点A、B的坐标为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）①直线AC的倾斜角为45°，∠ACM＝90°时，则点M所在的直线表达式为：y＝﹣x＝3…②，联立①②并解得：x＝0或﹣1（舍去0），故点M（﹣1，4）；②存在，理由：设点M的坐标为：（m，n），n＝﹣m2﹣2m+3，点N（﹣1，s），当AC是平行四边形的边时，点A向右平移3个单位向上平移3个单位得到C，同样点M（N）向右平移3个单位向上平移3个单位得到N（M），即m±3＝﹣1，解得：m＝2或﹣4，故点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）；当AC是平行四边形的对角线时，则﹣3＝m﹣1，解得：m＝﹣2，故点M（﹣2，3），综上，点M（﹣4，﹣5）或（2，﹣5）或（﹣2，3）．。

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。

第22章《二次函数》过关测试一．选择题（共10小题）1．抛物线y=x2+1的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=0D．直线y=1 2．抛物线y=2（x﹣2）2﹣1关于x轴对称的抛物线的解析式为（）A．y=2（x﹣2）2+1B．y=﹣2（x﹣2）2+1C．y=﹣2（x﹣2）2﹣1D．y=﹣（x﹣2）2﹣13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：x…﹣10123…y…﹣23676…当y＜6时，x的取值范围是（）A．x＜1B．x≤3C．x＜1或x＞0D．x＜1或x＞3 4．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（）A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣2）2+4C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣1）2+3 5．若关于x的函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞26．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，下列结论中正确的是（）A．ab＞0B．b=2a C．4a+2b+c＜0D．a+c＜b7．（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点，则y 1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y38．如图，当ab＞0时，函数y=ax2与函数y=bx+a的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7B．7.5C．8D．9＜1）．下10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示（1＜x=h＜2，0＜xA 列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③若OC=2OA，则2b﹣ac=4；④3a﹣c＜0．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）11．在二次函数y=ax2+2ax+4（a＜0）的图象上有两点（﹣2，y1）、（1，y2），则y 1﹣y20（填“＞”、“＜”或“=”）．12．已知函数y=ax2﹣（a﹣1）x﹣2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是．13．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x…357…y… 2.5 2.5﹣1.5…则a+b+c= ．14．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交子点C，且OB=OC=3OA，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．求∠DBC﹣∠CBE= ．15．一个二次函数的图象经过A（0，0）、B（2，4）、C（4，0）三点，该函数的表达式是．16．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG 周长的最小值为．17．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽m．18．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣，y1），C（﹣，y2）为图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0，其中正确的结论是．三．解答题（共7小题）19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5的顶点为A．（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段OˊAˊ．①直接写出点Oˊ和Aˊ的坐标；②若抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOOˊAˊ有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围．20．如图1所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2，已知y 与t 的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC 的长为 cm ．（2）当运动时间t=2.5秒时，P 、Q 之间的距离是 cm ．21．如图，一个滑道由滑坡（AB 段）和缓冲带（BC 段）组成，滑雪者在滑坡上滑行的距离y 1（单位：m ）和滑行时间t 1（单位s ）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t 1/s 0 1 2 3 4 滑行距离y 1/s4.51428.548滑雪者在缓冲带上滑行的距离y 2（单位：m ）和滑行时间t 2（单位：s ）满足：y 2=52t 2﹣2t 22，滑雪者从A 出发在缓冲带BC 上停止，一共用了23s ． （1）求y 1和t 1满足的二次函数解析式； （2）求滑坡AB 的长度．22．如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．24．如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？25．如图，抛物线y=ax2+2x﹣3a经过A（1，0）、B（b，0）、C（0，c）三点．（1）求b，c的值；（2）在抛物对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．【解答】解：∵抛物线y=x2+1，∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴，故选：C．2．【解答】解：抛物线y=2（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1），而（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1），所以所求抛物线的解析式为y=﹣2（x ﹣2）2+1．故选：B．3．【解答】解：∵当x=1时，y=6；当x=3时，y=6，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，∴二次函数图象的顶点坐标是（2，7），∴当y＜6时，x＜1或x＞3．故选：D．4．【解答】解：y=x2﹣2x+4=（x2﹣2x+1）+3，=（x﹣1）2+3，所以，y=（x﹣1）2+3．故选：D．5．【解答】解：∵函数y=（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故选：B．6．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，对称轴为x=﹣=1，得2a=﹣b，∴a、b异号，即b＞0，即ab＜0，b=﹣2a，A、B选项错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故C错误；∵二次函数y=ax2+bx+c图象可知，当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故D正确；故选：D．7．【解答】解：∵（﹣1，y1），（2，y2）与（3，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5图象上的三点，∴把函数y=﹣x2﹣4x+5变形为：y=﹣（x+2）2+9，∴由函数图象可知当x=2时此函数有最大值为9，当x＞﹣2时，y的值随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3，故选：B．8．【解答】解：A、根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；B、根据一次函数得出a＞0，b＜0，根据二次函数得出a＞0，则ab＜0，故本选项错误；C、根据一次函数得出a＜0，b＜0，根据二次函数得出a＜0，则ab＞0，故本选项正确；D、根据一次函数得出a＜0，b＞0，根据二次函数得出a＜0，则ab＜0，故本选项错误；故选：C．9．【解答】解：设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，∴解得，∴y=﹣x2+5x﹣4，设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y=kx+m解得，即直线BC的直线解析式为：y=x﹣4，设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）∴=﹣2（x﹣2）2+8，∴当x=2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．故选：C．10．【解答】解：①∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴﹣＞1，∴b＞﹣2a，即2a+b＞0，①成立；②∵b＞﹣2a，a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，②错误；③∵OC=2OA，∴A（﹣，0），∴ac2﹣bc+c=0，整理得：2b﹣ac=4，③成立；④∵抛物线的对称轴1＜﹣＜2，∴﹣2a＜b＜﹣4a，∵当x=1时，y=a+b+c＞0，∴a﹣4a+c＞0，即3a﹣c＜0，④正确．综上可知正确的结论有3个．故选：C．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：把点（﹣2，y1）、（1，y2）代入y=ax2+2ax+4得y 1=4a﹣4a+4=4，y2=a+2a+4=3a+4，所以y1﹣y2=3a+4﹣4=3a，而a＜0，所以y1﹣y2＜0．故答案为＜．12．【解答】解：根据题意得：当a＜0时，﹣≥3，解得：﹣≤a＜0；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，∵1＞0，∴y随x的增大而增大，∴a=0符合题意；当a＞0时，﹣≤0，解得：a≤1．综上所述：a的取值范围是﹣≤a≤1．13．【解答】解：∵x=3，y=2.5；x=5，y=2.5，∴抛物线的对称轴为直线x=4，∴当x=1和x=7时函数值相等，而x=7时，y=﹣1.5，∴x=1时，y=﹣1.5，即a+b+c=﹣1.5．故答案为﹣1.5．14．【解答】解：由题意得：OC=3则：以下各点的坐标分别为：A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），直线y=﹣x+1与y轴交于点D，知D坐标为（0，1），易证△ACO≌△DBO（SAS），∴∠DBO=∠ACO，而∠ABC=∠ACB=45°，∴∠DBC=∠ACB，则二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3，则顶点E的坐标为（1，﹣4），=2，由点B、E坐标可知，BE所在的直线的kBE过点C作OF∥BE，则∠FCB=∠CBE，∴∠DBC﹣∠CBE=∠ACF，=2，方程为y=2x﹣3，则直线CF所在的方程的k=kBE∴点F的坐标为（，0），在△ACF中，由A、C、F的坐标可求出：则AC=，CF=，AF=，过点A作AH⊥CF，设：CH=x，则根据AH2=AC2﹣CH2=AF2﹣FH2，解得：x=，则cos∠ACH==，∴∠ACH=45°，∴∠DBC﹣∠CBE=∠ACH=45°，故答案为45°．15．【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得，解得．所以这个二次函数的解析式为y=﹣x2+4x．故答案为：y=﹣x2+4x．16．【解答】解：如图，在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，即点C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴为x=1，顶点D（1，4），则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′=DE+D′E′=+=+，∴四边形EDFG的周长的最小值为： +．故答案是： +．17．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O 且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，故答案为：4．18．【解答】解：①∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，结论①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴﹣1﹣（﹣）＜﹣﹣（﹣1）．又∵抛物线的开口向下，B（﹣，y1），C（﹣，y2）为图象上的两点，∴y1＞y2，结论②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，即2a﹣b=0，结论③正确；④∵抛物线的顶点纵坐标在x轴上方，∴＞0，结论④错误．故答案为：①③．三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）∵y=mx2﹣4mx+4m+5=m（x2﹣4x+4）+5=m（x﹣2）2+5，∴∴抛物线的顶点A的坐标为（2，5）．（2）由（1）知，A（2，5），∵线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．∴A'（4，5），O'（2，0）；（3）如图，∵抛物线y=mx2﹣4mx+4m+5与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，∴m＜0．由图象可知，抛物线是始终和四边形AOO'A'的边O'A'相交，∴抛物线已经和四边形AOO′A′有两个公共点，∴将（0，0）代入y=mx2﹣4mx+4m+5中，得m=﹣．∴﹣＜m＜0．20．【解答】解：（1）根据图2可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s，∴BC=BE=5cm．故答案是：5；（2）如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB==，∴PF=PB•sin∠PBF=2.5×=2，∴在直角△PBF中，由勾股定理得到：BF===1.5，∴FQ=2.5﹣1.5=1．∴在直角△PFQ中，由勾股定理得到：PQ===．故答案是：．21．【解答】解：（1）设y1=at+bt1，把（1，4.5）和（2，14）代入函数解析式得，，解得：，∴二次函数解析式为：y1=2.5t12+2t1；（2）将y=52t﹣2t2与y=2.5t2+2t联立，解得：t=，即：B点位置时用的时间，把t=代入函数：y1=2.5t12+2t1，则AB=y1≈330.86≈331m，答：滑坡AB的长度331m．22．【解答】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；（2）∵直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，当n=时，S△OPB的最大值为．此时y=﹣n2+2n=，∴P（，）；（3）∵直线OA的解析式为y=x，∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，联立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D两点间的横坐标的差为1，∴CD=．23．【解答】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC =S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF+QP•OF=×4×3+（﹣x2+3x）×3=﹣（x﹣）2+．当x=时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），∵O（0，0），C（0，﹣3），∴OC=3，QC==|m|，QO=．△QOC为等腰三角形分三种情况：①当OC=QC时，3=|m|，解得：m=±，此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；②当OC=QO时，3=，解得：m=3或m=0（舍去），此时点Q的坐标为（3，0）；③当QC=QO时，有|m|=，解得：m=，此时点Q的坐标为（，﹣）．综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．24．【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得y=x（25﹣2x+1）=﹣2，∵2x＞14，7≤x≤13，所以当x=7米时，即矩形猪舍的长、宽分别为12米、7米，猪舍的面积最大，最大面积是84平方米．25．【解答】解：（1）把A（1，0）代入抛物线y=ax2+2x﹣3a，可得：a+2﹣3a=0解得a=1．∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；把B（b，0），C（0，c）代入y=x2+2x﹣3，可得：b=1或b=﹣3，c=﹣3，∵A（1，0），∴b=﹣3；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣1，连接BC，如图1所示，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣3，当x=﹣1时，y=1﹣3=﹣2，∴P（﹣1，﹣2）；（2）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，C（0，﹣3），（﹣2，﹣3）；∴N1②当点N在x轴上方时，如图2，过点N'作N'D⊥x轴于点D，在△AN'D与△M'CO 中，∴△AN'D≌△M'CO（AAS），∴N'D=OC=3，即N'点的纵坐标为 3．∴3=x2+2x﹣3，解得x=﹣1+或x=﹣1﹣，∴N'（﹣1+，3），N“（﹣1﹣，3）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3），（﹣1+，3）或（﹣1﹣，3）．21 / 21。

第二十二章二次函数一、单选题（共20题；共40分）1.将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A. y=2（x+1）2B. y=2（x-1）2C. y=2x2+1D. y=2x2-12.与抛物线y=−13x2+2x−7的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（）A. B.C. D.3.对于抛物线y=−4(x−5)2+3，下列说法正确的是（）．A. 开口向下，顶点坐标(5,3)B. 开口向上，顶点坐标(5,3)C. 开口向下，顶点坐标(−5,3)D. 开口向上，顶点坐标(−5,3)4.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A. y=（x﹣4）2+7B. y=（x+4）2+7C. y=（x﹣4）2﹣25D. y=（x+4）2﹣255.记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数.已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A. y＝﹣（x﹣60）2+1825B. y＝﹣2（x﹣60）2+1850C. y＝﹣（x﹣65）2+1900D. y＝﹣2（x﹣65）2+20006.函数y＝23x2+1与y＝23x2图象不同之处是（）A. 对称轴B. 开口方向C. 顶点D. 形状7.将二次函数y=2x2的图像先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图像的解析式为（）A. y=2(x−4)2+3B. y=2(x+4)2−3C. y=2(x+4)2+3D. y=2(x−4)2−38.抛物线y＝﹣（x+3）2﹣7的对称轴是（）A. y轴B. 直线x＝3C. 直线x＝﹣3D. 直线x＝﹣79.抛物线y=﹣（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A. （2，3）B. （﹣3，2）C. （3，2）D. （﹣3，﹣2）10.二次函数y = x2+2的对称轴为（）A. x=2B. x=0C. x=−2D. x=111.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x＝−12时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a< 83．其中，正确结论的个数是（）.A. 1B. 2C. 3D. 412.已知二次函数y=﹣x2+x+2，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣3、m+3时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A. y1＞0、y2＞0 B. y1＜0、y2＜0C. y1＜0、y2＞0 D. y1＞0、y2＜013.若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）A. -2B. -√2C. 1D. √214.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A. 无实根B. 有两相等的实根C. 有两不相等且同号的实根D. 有两不相等且异号的实根15.已知关于x的方程|x2+ax|=4有四个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<−4或a>4B. a=4或a=−4C. −4<a<4D. 0<a<416.如图,函数y=ax2−2x+1和y=ax−a ( a是常数,且a≠0 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A B. C. D17.如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1.对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ①②③④D. ①③④⑤18.已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A. x1=1，x2=﹣1 B. x1=1，x2=2 C. x1=1，x2=0 D. x1=1，x2=319.点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，那么该抛物线的对称轴为（）A. x=﹣baB. x=1C. x=0D. x=320.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（）A.﹣1≤t≤0B.﹣1≤t ≤−12C.−12≤t≤0 D.t≤﹣1或t≥0二、填空题（共20题；共21分）21.函数y=2（x﹣1）2图象的顶点坐标为________．22.若抛物线y=x2+（k-1）x+（k+3）经过原点，则k=________.23.如果关于x的二次函数y=x2−2x+k与x轴只有1个交点，则k= ____.24.二次函数y=-（x-6）2+8的最大值是________。

第22章二次函数综合检测试卷题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共9小题）1．对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（）A．图象的开口向下B．函数的最大值为1C．图象的对称轴为直线x=﹣2 D．当x＜2时y随x的增大而减小2．抛物线y=﹣3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（）A．y=﹣3（x﹣2）2+5 B．y=﹣3（x﹣2）2﹣5C．y=﹣3（x+2）2﹣5 D．y=﹣3（x+2）2+53．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④2a+b=0，其中错误的结论有（）A．②③B．②④C．①③D．①④5．如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△PAQ的最大面积是（）A．8cm2B．9cm2C．16cm2D．18cm26．在抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a上有A（﹣0.5，y1）、B（2，y2）和C（3，y3）三点，若抛物线与y轴的交点在负半轴上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y2＜y3＜y1D．y1＜y2＜y37．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能取0；⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（）A．1554 B．1556 C．1558 D．15609．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=1，则下列有四个判断：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=﹣1，x2=3；②a﹣b+c=0；③若抛物线上有三个点分别为（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），则y1＜y2＜y3；④当OC=3时，点P为抛物线对称轴上的一个动点，则△PCA的周长的最小值是+3，上述四个判断中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题）10．抛物线y=x2﹣8x+1的顶点坐标是．11．经过原点的抛物线与x轴交于另一点，该点到原点的距离为2，且该抛物线经过（3，3）点，则该抛物线的解析式为．12．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为．13．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．要使月销售利润达到最大，销售单价应定为元．14．已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为﹣2，则k= ．15．抛物线y=x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y=kx+2交抛物线于E、F 两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为．三．解答题（共8小题）16．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．（1）求BC的长；（2）求圆心到BC的距离．17．已知二次函数y=2x2﹣4x﹣6．（1）求这个二次函数图象的顶点坐标及对称轴；（2）指出该图象可以看作抛物线y=2x2通过怎样平移得到？（3）在给定的坐标系内画出该函数的图象，并根据图象回答：当x取多少时，y 随x增大而减小；当x取多少时，y＜0．18．在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点的坐标：A ，B ，C ，，AD的中点E ；（2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；（4）△PEB的面积S△PEB 与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．19．某商店按进货价每件6元购进一批货，零售价为8元时，可以卖出100件，如果零售价高于8元，那么一件也卖不出去，零售价从8元每降低0.1元，可以多卖出10件．设零售价定为x元（6≤x≤8）．（1）这时比零售为8元可以多卖出几件？（2）这时可以卖出多少件？（3）这时所获利润y（元）与零售价x（元）的关系式怎样？（4）为零售价定为多少时，所获利润最大？最大利润是多少？20．如图，一元二次方程x2+2x﹣3=0的两根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点C，B的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点G，则P点坐标为，G点坐标为；（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求点M的坐标．21．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C 重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．（1）试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；并指出当点D在BC上运动（不与B、C重合）时，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．22．如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C 点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N 运动时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD．（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．D．2．D．3．B．4．C．5．C．6．C．7．A．8．B．9．B．二．填空题10．（4，﹣15）．11．y=x2﹣2x或y=x2+x．12．4．13．70．14．﹣1．15．﹣4．三．解答题16．解：（1）连接CA、CD；根据折叠的性质，得： =；∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；∴BE=BD+DE=9.5；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE•AB=9.5×12=114；故BC=．（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r=6，由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，∴，∵，∴h=，故圆心到BC的距离为．17．解：（1）∵y=2x2﹣4x﹣6，而顶点坐标为（﹣，），对称轴方程x=﹣，∴顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；（2）y=2x2﹣4x﹣6=2（x﹣1）2﹣8．该图象可以看作抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度得到；（3）如图：当x≤1时，y随x增大而减小；当﹣1＜x＜3时，y＜0．18．解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），C（4，﹣1），D（4，1），E（2，1）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线经过点B（0，﹣1），∴a（0﹣2）2+1=﹣1，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，经验证，抛物线y=﹣（x﹣2）2+1经过点C（4，﹣1）；（3）直线BD的解析式为y=x﹣1，解方程组得点P的坐标：P（3，）；（4）S△PEB =S△PBC•S△PBC=×4×=3，S△PEB=×（1×2+1×1）=，∴S△PEB =S△PBC．19．解：（1）可以多卖（8﹣x）÷0.1×10=100（8﹣x）（件）；（2）可以卖100+100（8﹣x）=900﹣100x（件）；（3）y=（x﹣6）（900﹣100x），即y=﹣100x2+1500x﹣5400；（4）∵﹣100＜0，∴函数y有最大值．当x=﹣=7.5元时，y最大==225，即当零售价定为7.5元时，所获利润最大，最大利润是225元．20．解：（1）解方程x2+2x﹣3=0得x1=﹣3，x2=1．∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（﹣3，0），B（1，0），设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1）．∵A（3，6）在抛物线上，∴6=a（3+3）•（3﹣1），∴a=，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣．（2）由y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴抛物线顶点P的坐标为（﹣1，﹣2），对称轴方程为x=﹣1．设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，6），C（﹣3，0）在该直线上，∴，∴直线AC的解析式为：y=x+3．将x=﹣1代入y=x+3得y=2，∴G点坐标为（﹣1，2）．（3）作A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），连接A′G，A′G与x轴交于点M即为所求的点．设直线A′G的解析式为y=kx+b．∴，∴直线A′G的解析式为y=﹣2x，令x=0，则y=0．∴M点坐标为（0，0）．21．解：（1）△ABD与△DCE相似∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE∴=∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y∴=，y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，当x=时，y有最小值，最小值为；（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，∴BD=CE，∴x=1﹣y，即x﹣x2=x，∵x≠0，∴x=﹣1∴AE=1﹣x=2﹣，当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE=；当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；综上，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．22．解：（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；则AE=4﹣3=1，BE=CD=2；由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；∴Rt△COD≌Rt△BAE；∴OD=AE=1，即C（1，2）；设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；∴直线AC的解析式为：y=﹣x+；（2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；∴tan∠CAD=；∵BN=t，OM=3t，∴CN=2﹣t，AM=4﹣3t；∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2﹣t）；∴PQ=NP﹣NQ=2﹣（2﹣t）=；设△AMQ的面积为S，则有：S=（4﹣3t）•=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2）∴当t=时，S值最大，且最大值为；（3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；QP=，PM=3﹣4t，AP=t+1；由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；∴PM=PA，即3﹣4t=t+1，解得t=；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即：（t+1）2=（3﹣4t）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；QP=，PM=4t﹣3，AP=t+1；若△PQM与△PQA相似，则有：（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；此时M、A重合，∴≤t≤2；（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即（t+1）2=（4t﹣3）（t+1），解得t=，t=﹣1（舍去）；综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．23．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y=x2+3x．（2）当y=4时，有x2+3x=4，解得：x1=﹣4，x2=1，∴点C的坐标为（﹣4，4），∴AC=1﹣（﹣4）=5．∵A（1，4），D（4，0），∴AD==5．取点E（﹣1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图1所示．∵AC=5，DE=4﹣（﹣1）=5，AC∥DE，∴四边形ACED为平行四边形，∵AC=AD，∴四边形ACED为菱形，∴CD平分∠ACQ．设直线CE的表达式为y=mx+n（m≠0），将C（﹣4，4）、E（﹣1，0）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线CE的表达式为y=﹣x﹣．联立直线CE与抛物线表达式成方程组，得：，解得：，，∴点Q的坐标为（﹣，﹣）．（3）设直线CD的表达式为y=kx+c（k≠0），将C（﹣4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：，解得：，∴直线CD的表达式为y=﹣x+2．设点N的坐标为（x，x2+3x），则点G的坐标为（x，﹣x+2），∴NG=﹣x+2﹣（x2+3x）=﹣x2﹣x+2=﹣（x+）2+，∵﹣1＜0，∴当x=﹣时，NG取最大值，最大值为．以NG为直径画⊙O′，取GH的中点F，连接O′F，则O′F⊥BC，如图2所示．∵直线CD的表达式为y=﹣x+2，NG∥y轴，O′F⊥BC，∴tan∠GO′F==，∴==，∴GH=2GF=O′G=NG，∴弦GH的最大值为×=．（4）取点E（﹣1，0），连接CE、AE，过点E作EP1⊥AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2⊥AD于点P2，交CD于点M2，如图3所示．∵四边形ACED为菱形，∴点A、E关于CD对称，∴AM=EM．∵AC∥x轴，点A的坐标为（1，4），∴EP1=4．由菱形的对称性可知EP2=4．∵点E的坐标为（﹣1，0），∴点P1的坐标为（﹣1，4），∴CP1=DP2=﹣1﹣（﹣4）=3，又∵AC=AD=5，∴t的值为3或7．。

第二十二章 二次函数 （基础过关）一、选择题（每小题3分，共36分）1. 抛物线y=x 2﹣6x +5的顶点坐标为﹣ ﹣A. ﹣3﹣﹣4﹣B. ﹣3﹣4﹣C. ﹣﹣3﹣﹣4﹣D. ﹣﹣3﹣4﹣【答案】A【解析】【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．【详解】解：∵y =x 2-6x +5=（x -3）2-4，∴抛物线顶点坐标为（3，-4）．故答案为（3，-4）．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式为y =a （x -h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是直线x =h ．也考查了配方法．2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A. 4米B. 3米C. 2米D. 1米【答案】A【解析】 【详解】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m ．故选A ．3. 一个二次函数的图像的顶点坐标为()31-,，与y 轴的交点()0,4-，这个二次函数的解析式是（ ﹣ A. 21y x 2x 43=-+ B. 21y x 2x 43=-+- C. 21(3)13y x =-+- D. 2612y x x =-+- 【答案】B【解析】【分析】由于已知顶点坐标﹣则可设顶点式231()y a x =--﹣然后把（0﹣﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式﹣【详解】解:设抛物线解析式为231()y a x =--﹣把（0﹣﹣4）代入得﹣ 2•(3)14a --=-﹣解得﹣a =﹣13﹣ 所以抛物线解析式为y =﹣13﹣x ﹣3﹣2﹣1=﹣13x 2+2x ﹣4﹣ 故选：B﹣【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式﹣解题的关键是设出二次函数的顶点式.4. 已知函数221y ax ax =--（a 是常数，0a ≠），下列结论正确的是（ ）A. 当a ＝1时，函数图象经过点（－1，0）B. 当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C. 若a <0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D. 若a >0，则当1≥x 时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】【分析】A 、将1a =代入原函数解析式，令1x =-求出y 值，由此得出A 选项不符合题意；B 、将2a =代入原函数解析式，令0y =，根据根的判别式△80=>，可得出当2a =-时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，即B 选项不符合题意；C 、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a 的取值范围，由此可得出C 选项不符合题意；D 、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D 选项符合题意．此题得解．【详解】解：A 、当1a =时，函数解析式为221y xx =--，当1x =-时，1212y =+-=，∴当1a =时，函数图象经过点(1,2)-， A ∴选项不符合题意；B 、当2a =-时，函数解析式为2241y x x =-+-，令22410y x x =-+-=，则△244(2)(1)80=-⨯-⨯-=>，∴当2a =-时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，B ∴选项不符合题意；C 、2221(1)1y ax ax a x a =--=---，∴二次函数图象的顶点坐标为(1,1)a --，当10a --<时，有1a >-，C ∴选项不符合题意；D 、2221(1)1y ax ax a x a =--=---，∴二次函数图象的对称轴为1x =．若0a >，则当1x 时，y 随x 的增大而增大，D ∴选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．5. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y 轴对称，//AE x 轴，4AB cm =，最低点 C 在x 轴上，高 1CH cm =，2BD cm =，则右轮廓DFE 所在抛物线的解析式为（ ）A. 21(3)4y x =+B. 21(3)4y x =-C. 21(3)4y x =-+D. 21(3)4y x =-- 【答案】B【解析】【分析】利用B 、D 关于y 轴对称，CH=1cm ，BD=2cm 可得到D 点坐标为（1，1），由AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，则AB 关于直线CH 对称，可得到左边抛物线的顶点C 的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点C 的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．【详解】∵高CH=1cm ，BD=2cm ，且B 、D 关于y 轴对称，∴D 点坐标为（1，1），∵AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，∴AB 关于直线CH 对称，∴左边抛物线的顶点C 的坐标为（-3，0），∴右边抛物线的顶点F 的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a （x-3）2，把D （1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=14， ∴右边抛物线的解析式为y=14（x-3）2， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题．6. 对二次函数()2331y x =--，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线3x =-C. 其最小值为-1D. 当3x <时，y 随x 的增大而增大【答案】C【分析】直接根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质后即可找到正确的答案．【详解】解：二次函数()2331y x =--的开口向上，对称轴为x =3，有最小值为-1，当x ＜3时y 随x 的增大而减小，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质，难度不大．7. 在同一坐标系中，一次函数y =ax +1与二次函数y =x 2+a 的图象可能是（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可先由一次函数y =ax +1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y =x 2+a 的图象相比较，看是否一致．【详解】A ．由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，错误；B ．由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，a ＞0，二次项系数为负数，与二次函数y =x 2+a 矛盾，错误；C ．由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，正确；D ．由直线可知，直线经过（0，1），错误．故选：C ．【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键.8. 已知二次函数2115722y x x =--+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A. y 1＞y 2＞y 3 B. y 1＜y 2＜y 3C. y 2＞y 3＞y 1D. y 2＜y 3＜y 1【解析】【分析】根据x 1、x 2、x 3与对称轴的大小关系，判断y 1、y 2、y 3的大小关系：【详解】﹣二次函数2115722y x x =--+， ﹣此函数的对称轴为：771222b x a -=-=-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ﹣7＜0＜x 1＜x 2＜x 3，三点都在对称轴右侧，a ＜0，﹣对称轴右侧y 随x 的增大而减小．﹣y 1＞y 2＞y 3．故选：A9. 已知二次函数()23y a x b =++有最大值0，则a ,b 的大小关系为（ ﹣ A. a ﹣ bB. a b =C. a ﹣ bD. 大小不能确定【答案】A【解析】 【分析】根据二次函数有最大值可判断a ﹣0，再根据最大值为0可判断b =0，据此即可进行比较a ﹣b 的大小．【详解】解：∵二次函数y =a ﹣x +1﹣2-b ﹣a ≠0）有最大值，∴抛物线开口方向向下，即a <0，又最大值为0，∴b =0，∴a <b ，故选A﹣【点睛】本题考查了二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.10. 如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 3OA =，2AB =．抛物线 2y ax bx c =++（0a ≠）经过点 A 和点B ，与 x 轴分别交于点D 、E （点D 在点 E 左侧），且1OE =，则下列结论：﹣ 0a >；﹣3c >；﹣ 20a b -=；﹣4a -2b +c =3；﹣连接AE 、BD ，则=9ABDE S 梯形，其中正确结论的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】由题意得A (0，3)B （-2，3）E （1，0），用待定系数法求得a =-1，b =-2，c =3，由此可判断﹣，﹣错，﹣，﹣正确；连接BE ，由题意得DE =4，BC =OA =3，由此可求得梯形ABDE 的面积等于9，故﹣正确【详解】解：将A (0，3)B （-2，3）E （1，0）代入2y ax bx c =++得34230c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，﹣22(2)0a b -=---=，424(4)33a b c -+=---+=，故﹣，﹣错，﹣，﹣正确；﹣DE =4，BC =OA =3， ﹣1()92ABDE S OA AB DE =+=梯形． 故选：C ．11. 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2y x 2x 3=-++，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4【答案】D【解析】【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x 轴，y轴的交点，解答题目的问题即可．【详解】解：当x=0时，y=3，故柱子OA的高度为3m；（1）正确；∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是4米；故（2）（3）正确；解方程-x2+2x+3=0，得x1=-1，x2=3，故水池的半径至少要3米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确．故选D．【点睛】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．12. 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（）①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】利用抛物线与x轴的交点为对称点可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；根据x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0可对③进行判断；抛物线的对称性得到点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），然后利用函数图象可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共18分）13. 下列说法中正确的序号是_____________﹣在函数y=﹣x2中，当x=0时y有最大值0；﹣在函数y=2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大﹣抛物线y =2x 2，y =﹣x 2，y =﹣212x 中，抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =﹣x 2的开口最大 ﹣不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点【答案】﹣﹣﹣【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2的图象与性质逐一判断即得答案【详解】解：由函数的解析式y ＝－x 2，可知a =﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y =0，故①正确；由函数的解析式y ＝2x 2，可知其对称轴为y 轴，对称轴的左边（x ＜0），y 随x 增大而减小，对称轴的右边（x ＞0），y 随x 增大而增大，故②正确；根据二次函数的性质，系数a 决定抛物线的开口方向和开口大小，且a 越大开口越小，可知抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口第二小，而y 212x =-开口最大，故③不正确；不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点，故④正确． 综上，正确的结论是：①②④．故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y =ax 2的与性质是解题的关键．14. 如图，在一幅长50cm ，宽30cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为y 2cm ，金色纸边的宽为x cm ，则y 与x 的关系式是________．【答案】y =4x 2+160x +1500【解析】【分析】由于整个挂画为长方形，用x 分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．【详解】解：由题意可得：y =（50+2x ）（30+2x ）=4x 2+160x +1500．故答案为：y =4x 2+160x +1500．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 15. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根的和为_____．【答案】2 【解析】【详解】解：根据函数的图像可知其对称轴为2bx a=-=1，解得b =-2a ， 则两根之和为x 1+x 2=ba-=2． 故答案为：2【点睛】此题主要考查了二次函数的图像与一元二次方程的关系，解题关键是由函数的图像求得对称轴x =2ba-，然后根据一元二次方程的根与系数的关系x 1+x 2=ba-求解即可． 16. 已知二次函数2()21y x a a =-++-（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是_________．【答案】21y x =-- 【解析】【分析】已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x 、y 代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a 得出x 、y 的关系式．【详解】解：二次函数2()21y x a a =-++-中，顶点坐标为：(,21)a a --， 设顶点坐标为（x ，y ）， ∴x a =-①，21y a =-②，由①⨯2+②，得22211x y a a +=-+-=-， ∴21y x =--； 故答案为：21y x =--.【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求顶点坐标的方法是解题的关键，注意运用消元的思想解题．17. 如图，抛物线y=ax 2+1与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y=4x 2于点B 、C ，则线段BC 的长为___．【答案】1 【解析】【分析】先由y 轴上点的横坐标为0求出A 点坐标为（0﹣1），再将y=1代入y=4x 2，求出x 的值，得出B﹣C 两点的坐标，进而求出BC 的长度．【详解】∵抛物线y=ax 2+1与y 轴交于点A﹣ ∴A 点坐标为（0﹣1﹣﹣ 当y=1时，4x 2=1﹣ 解得x=±12﹣∴B 点坐标为（﹣12﹣1﹣﹣C 点坐标为（12﹣1﹣﹣ ∴BC=12﹣﹣﹣12﹣=1﹣ 故答案为1﹣【点睛】本题考查了二次函数的性质，两函数交点坐标的求法以及平行于x 轴上的两点之间的距离的知识，解答本题的关键是求出点A 的坐标，此题难度不大． 18. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示， 图象过点（－1，0），对称轴为直线x ＝2，则下列结论中正确的序号是________．﹣4a ＋b ＝0； ﹣930a b c ++<；﹣若点A （－3，1y ），点B （－12，2y ），点C （5，3y ）在该函数图象上，则1y ＜3y ＜2y ；﹣ 若方程()()153a x x +-=-的两根为1x 和2x ，且1x ＜2x ，则1x ＜－1＜5＜2x【答案】﹣﹣﹣ 【解析】【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；根据图象可知当x=3时，y=9a+3b+c ＞0，即可判断②；利用抛物线的特征即可判断③；令y=a （x+1）（x-5），画出图象，结合图象即可判断④．【详解】解：由抛物线的对称轴为x=2可得-2ba=2，即4a+b=0，故﹣正确； 由抛物线的对称性知x=0和x=4时，y ＞0，则x=3时，y=9a+3b+c ＞0，故﹣错误； ﹣抛物线的开口向下，且对称轴为x=2，﹣抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，﹣点A 到x=2的水平距离为5，点B 到对称轴的水平距离为2．5，点C 到对称轴的水平距离为3， ﹣y 1＜y 3＜y 2，故﹣正确；令y=a （x+1）（x-5），则抛物线y=a （x+1）（x-5）与y=ax 2+bx+c 形状相同、开口方向相同，且与x 轴的交点为（-1，0）、（3，0），函数图象如图所示，由函数图象可知方程a （x+1）（x-5）=-3的两根即为抛物线y=a （x+1）（x-5）与直线y=-3交点的横坐标， ﹣x 1＜-1＜5＜x 2，故﹣正确； 故答案：﹣﹣﹣．【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．三、解答题（共46分）19. 如图，平面直角坐标系中，抛物线21232y x x =-+ 交y 轴于点A ．P 为抛物线上一点，且与点A 不重合．连接AP ，以AO 、AP 为邻边作□OAPQ ，PQ 所在直线与x 轴交于点B ．设点P 的横坐标为m ． （1）点Q 落在x 轴上时m 的值．（2）若点Q 在x 轴下方，则m 为何值时，线段BQ 的长取最大值，并求出这个最大值．【答案】（1）m=4；（2）2m =时，线段QB 的长取最大值，最大值为2． 【解析】【详解】解：（1）抛物线21232y x x =-+与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为()03，．∴OA =3． ∵四边形OAPQ 为平行四边形， ∴QP =OA =3．∴当点Q 落在x 轴上时，212332m m -+=．解得1204m m ==，．当m=0，点P 与点A 重合，不符合题意，舍去． ∴m=4．（2）∵点P 的横坐标为m ，∴21=232BP m m -+．∴=QB QP BP-2213232122m m m m⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=-+()21222m =--+． ∵点Q 在x 轴下方，∴04m <<．∴2m =时，线段QB 的长取最大值，最大值为2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及二次函数的最值问题，掌握配方法是解决本题题的关键..20. 某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量y 1（千克）与x 的关系为y 1=﹣x 2+40x ；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量y 2（千克）与t 的关系为y 2=at 2+bt ，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：（1）求a 、b 的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？ （说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）【答案】（1）a =1；b =20；（2）798元；（3）第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克 【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得214442a b a b =+⎧⎨=+⎩，解方程组可得；（2）甲级干果和乙级干果n 天售完这批货．得﹣n 2+4n +n 2+20n=1140，求n 可得； （3）设第m 天甲级干果的销售量为﹣2m +19．第m 天乙级干果的销售量为 2m +19，得（2m +19）﹣（﹣2m +41）≥6，解不等式可得﹣ 【详解】解：（1）根据表中的数据可得214442a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得120a b =⎧⎨=⎩． （2）甲级干果和乙级干果n 天售完这批货． ﹣n 2+40n+n 2+20n =1140解得n =19，当n =19时，y 1=399，y 2=741，毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）．（3）设第m 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克， 第m 天甲级干果的销售量为：-m 2+40m -[-(m -1)2+40(m -1)]=﹣2m +41．第m 天乙级干果的销售量为：()()22201201m m m m ⎡⎤+--+-⎣⎦=2m +19， ∴（2m +19）﹣（﹣2m +41）≥6 解得m ≥7，∴第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．【点睛】此题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式运用，正确理解题意是解题的关键．21. 随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李林从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x （单位：千米），乘坐地铁的时间1y （单位：分钟）是关于x 的一次函数，其关系如下表：（1）求1y 关于x 的函数表达式．（2）李林骑单车的时间2y （单位：分钟）也受x 的影响，其关系可以用22121178y x x -+=来描述，请问：李林应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短并求出最短时间．【答案】（1）122y x =+；（2）应在B 站出地铁，时间最短，为79min 2． 【解析】【分析】（1）根据数据表，运用待定系数法解答即可；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则y=12y y +列出y 与x 的二次函数解析式，最后运用二次函数求最值解答即可．【详解】解：（1）设1y kx b =+，将(8,18)，(9,20)代入得：188209k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得22k b =⎧⎨=⎩， 所以122y x =+；（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y ，则22121122117898022y y x x x x x +=++-+=-+2179(9)22x =-+ 则当9x =时，12y y +取最小值792， 则应在B 站出地铁，时间最短，为79min 2．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，根据题意，确定二次函数的解析式是解答本题的关键．22. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB =9㎝，BC =2㎝，点M ，N 分别从A ，B 同时出发，M 在AB 边上沿AB 方向以每秒2㎝的速度匀速运动，N 在BC 边上沿BC 方向以每秒1㎝的速度匀速运动（当点N 运动到点C 时，两点同时停止运动）．设运动时间为x 秒，△MBN 的面积为y 2cm ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）求△MBN 的面积的最大值．【答案】（1）29(02)2y x x x =-+<≤；（2）5cm 2 【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式求得． （2）由二次函数的最大值可得．【详解】解：（1）设运动时间为x 秒，MBN ∆的面积为2ycm ，则2AM x =，92BM x =-，BN x =， 根据题意得：11(92)22y BM BN x x ==-，292y x x ∴=-+，(02)x <；（2）由（1）可知，292y x x =-+， 对称轴为；924x =>， 当94x <，y随x 的增大而增大， 又02x <，∴当2x =时，5y =最大， MBN ∴∆的面积的最大值是5．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最大值，能正确的列出函数关系式是解题的关键．23. 生物学上研究表明：不同浓度的生长素对植物的生长速度影响不同，在一定范围内，生长素的浓度对植物的生长速度有促进作用，相反，在某些浓度范围，生长速度会变缓慢，甚至阻碍植物生长（阻碍即植物不生长，甚至枯萎）．小林同学在了解到这一信息后，决定研究生长素浓度与茶树生长速度的关系，设生长素浓度为x 克/升，生长速度为y 毫米/天，当x 超过4时，茶树的生长速度y 与生长素x 浓度满足关系式：212y x ax c =-++．实验数据如下表，当生长速度为0时，实验结束．（1）如图，建立平面直角坐标系xOy ，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；（2）根据上述表格，求出整个实验过程中y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：；（4）若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：．【答案】（1）画出该函数图象如图所示；见解析；（2）()()222041744822x xyx x x⎧+≤<⎪=⎨-++≤≤⎪⎩（3）当0＜x＜4时，y随x的增大而增大；（4）37 84k-≤<．【解析】【分析】（1）把表中的x，y的值分别描入平面直角坐标系中，再用直线或平滑的曲线连接即可；（2）利用待定系数法进行求解，当0＜x＜4时，函数图像是直线，当4≤x≤8时，函数图像是抛物线；（3）当0＜x＜4时，函数图像是直线，0k>，y随x的增大而增大；（4）直线y＝kx+3过点(0,3)，要与上述函数图像有2个交点，则直线过点（4，10）或（8，0），代入求解出k的值，进而求出k的取值范围．【详解】（1）画出该函数图象如图所示；（2）当0＜x ＜4时，设y ＝kx +b ，把（0，2），（2，6）代入y ＝kx +b 得，226b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：22k b =⎧⎨=⎩， ∴y ＝2x +2；当4≤x ≤8时，把（7，4），（8，0）代入212y x ax c =-++得，144972106482a c a c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩解得：724a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y ＝﹣12x 2+72x +4； ∴整个实验过程中y 与x 的函数关系式为：()()222041744822x x y x x x ⎧+≤<⎪=⎨-++≤≤⎪⎩；（3）当0＜x ＜4时，y 随x 的增大而增大，故答案为：当0＜x ＜4时，y 随x 的增大而增大；（4）∵直线y ＝kx +3与上述函数图象有2个交点，∴当直线y＝kx+3过（4，10）或（8，0）时，即把（4，10）或（8，0）分别代入y＝kx+3得，k＝74或k＝﹣38，∴若直线y＝kx+3与上述函数图象有2个交点，则k的取值范围是：37 84k-≤<故答案为：37 84k-≤<．【点睛】本题考查了画函数图像，待定系数法，一次函数和二次函数的性质，函数的交点个数求k的取值范围，属于基础题，熟练掌握函数图像的画法，待定系数法，函数的性质是解题的关键．24. 如图，一次函数1y=x+22-分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+72x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）【解析】【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值．（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y 轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．【详解】解：（1）﹣1y=x+22-分别交y轴、x轴于A、B两点，﹣A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=72．﹣抛物线解析式为：y=﹣x2+72x+2．（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．﹣21 tan42OAABOOB∠===，﹣ME=BE•tan﹣ABO=（4﹣t）×12=2﹣12t．又﹣N点在抛物线上，且x N=t，﹣y N=﹣t2+72t+2．﹣()222712242422N MN y ME t t t t t t =-=-++--=-+=--+（）． ﹣当t =2时，MN 有最大值4．（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）．如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形．（i ）当D 在y 轴上时，设D 的坐标为（0，a ），由AD =MN ，得|a ﹣2|=4，解得a 1=6，a 2=﹣2，从而D 为（0，6）或D （0，﹣2）．（ii ）当D 不在y 轴上时，由图可知D 为D 1N 与D 2M 的交点，由D 1（0，6），N （2，5）易得D 1N 的方程为y =12-x +6； 由D 2（0，﹣2），M （2，1）易得D 2M 的方程为y =32x ﹣2． 由两方程联立解得D 为（4，4）．综上所述，所求的D 点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．【点睛】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解．。

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一．选择题1．若y＝（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A．±2B．2C．﹣2D．不能确定2．下列函数不属于二次函数的是（）A．y＝（x﹣1）（x+2）B．y＝（x+1）2C．y＝1﹣x2D．y＝2（x+3）2﹣2x23．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝x3﹣2x﹣3C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝3x2﹣14．二次函数y＝﹣x2+2x的图象可能是（）A．B．C．D．5．抛物线y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝26．若函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为（）A．﹣2B．1C．2D．﹣17．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A．B．C．D．8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＝3B．m＞3C．m≥3D．m≤310．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若是二次函数，则m＝．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是．13．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝．15．已知y＝（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是．16．若y＝（m2+m）是二次函数，则m的值等于．17．小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：x…﹣2﹣1012…y…112﹣125…由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x＝．18．已知抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．19．已知抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，则a＝．20．二次函数y＝x2+bx+c的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直线x＝．三．解答题21．函数是关于x的二次函数，求m的值．22．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？23．画出二次函数y＝x2的图象．24．已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m，c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．25．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？26．已知是x的二次函数，求出它的解析式．27．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）点．（1）求出m的值并画出这条抛物线；（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？参考答案一．选择题1．解：根据二次函数的定义，得：m2﹣2＝2解得m＝2或m＝﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m＝﹣2时，这个函数是二次函数．故选：C．2．解：A、整理为y＝x2+x﹣3，是二次函数，不合题意；B、整理为y＝x2+x+，是二次函数，不合题意；C、整理为y＝﹣x2+1，是二次函数，不合题意；D、整理为y＝12x+18，是一次函数，符合题意．故选：D．3．解：二次函数的一般式是：y＝ax2+bx+c，（其中a≠0）（A）最高次数项为1次，故A错误；（B）最高次数项为3次，故B错误；（C）y＝x2+2x+1﹣x2＝2x﹣1，故C错误；故选：D．4．解：∵y＝﹣x2+2x，a＜0，∴抛物线开口向下，A、C不正确，又∵对称轴x＝﹣＝1，而D的对称轴是直线x＝0，∴只有B符合要求．故选：B．5．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴对称轴为x＝1，故选：C．6．解：∵函数y＝（1﹣m）+2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，∴，解得m＝﹣2．故选：A．7．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．故选：A．8．解：∵二次函数y＝x2+a∴抛物线开口向上，∴排除B，∵一次函数y＝ax+2，∴直线与y轴的正半轴相交，∴排除A；∵抛物线得a＜0，∴排除C；故选：D．9．解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选：C．10．解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．在A中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，a+b＜0，故选项C有可能；在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能；故选：D．二．填空题11．解：∵是二次函数，∴，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由图形观察可知，把x轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s＝＝2π．故答案为：2π．13．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．14．解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，即a≠﹣1．故a的取值范围是a≠﹣1．16．解：根据二次函数的定义，得：，解得：m＝2．故答案为：2．17．解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x＝0，求得函数解析式为y＝3x2﹣1，则x＝2与x＝﹣2时应取值相同．故这个算错的y值所对应的x＝2．18．解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴为x＝1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3．19．解：∵抛物线y＝ax2与y＝2x2的形状相同，∴|a|＝2，∴a＝±2．故答案为±2．20．解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x＝﹣1对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．故答案为﹣1．三．解答题21．解：由题意可知解得：m＝2．22．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．23．解：函数y＝x2的图象如图所示，24．解：（1）∵点A（﹣1，m）在函数y＝﹣2x的图象上，∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，∴点A坐标为（﹣1，2），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c＝2，解得c＝5；（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+5，∴y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，6）．25．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．26．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．27．解：（1）由抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于（0，3）得：m＝3．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．列表得：X﹣10123y03430图象如右．（2）由﹣x2+2x+3＝0，得：x1＝﹣1，x2＝3．∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线顶点坐标为（1，4）．（3）由图象可知：当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．（4）由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．。

第22章二次函数经典习题练习卷一．选择题（共12小题）1．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点个数是（）A．0个B．个C．2个D．3个2．关于抛物线y=x2﹣2x+1，下列说法错误的是（）A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小3．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）A．a＞0，b＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＜0 D．2a+b＞04．为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门横梁底侧高）入网．若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图所示），则下列结论正确的是（）①a＜﹣；②﹣＜a＜0；③a﹣b+c＞0；④0＜b＜﹣12a．A．①③B．①④C．②③D．②④5．若一次函数y=kx+b的图象经过点（n，1）和（﹣1，n）（n＞1），则二次函数y=a（x+b）2+k的图象的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）①当c=0时，函数的图象经过原点；②当b=0时，函数的图象关于y轴对称；③函数的图象最高点的纵坐标是；④当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根A．0个B．1个C．2个D．3个7．二次函数y=ax2+（2a﹣1）x+a+的图象与x轴有两个交点，则a应为（）A．a＞B．a＜且a≠0 C．0＜a＜D．以上都不对8．已知函数y=ax和y=a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．9．已知一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，x2+x1=﹣，x2．x1=．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2），若abc=4，且a≥b≥c，则|a|+|b|+|c|的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．810．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=ax2+bx+c运行，图象如图所示，有下列结论；①a＜﹣②﹣＜a＜0③a+b+c＜0④0＜b＜﹣4a，其中正确的是（）A．①②B．②④C．①④D．③④11．已知关于x的不等式组无解，则二次函数y=（2﹣a）x2﹣x+的图象与x轴（）A．没有交点B．相交于两点C．相交于一点D．相交于一点或没有交点12．如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③=1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|=正确的是（）A．①③⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②③⑤二．填空题（共6小题）13．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为．14．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S=26t﹣t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6s滑行的路程m15．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2﹣tx对应的函数值分别为y1，y 2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数t的取值范围是[来16．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），下列结论：①abc＞0；②a+b+c ＞0；③2a+b＜0；④b＜﹣1；⑤b2﹣4ac＜8a，正确的结论是（只填序号）17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b=c﹣b；④y c；⑤a+4b=3c中正确的有（填写正确的序号）18．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD=2DE，点O、C、F 在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y=ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于．三．解答题（共5小题）19．已知二次函数y=﹣x﹣3．（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向；（2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．20．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，且函数经过点（3，10）．（1）求二次函数的解析式；（2）设这个二次函数的顶点为P，求△ABP的面积；（3）当x为何值时，y≤0．（请直接写出结果）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．22．某公司生产某种产品的成本是200元/件，售价是250元/件，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费用x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足二次函数关系：y=﹣0.001x2+0.06x+1．（1）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）；（2）如果公司年投入的广告费不低于10万元且不高于50万元，求年利润S的最大值；（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间（含端点），请从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围．23．对于直线l1：y=ax+b（a＜0，b＞0），有如下定义：我们把直线l2：y=﹣称为它的“姊线”，若l1与x、y轴分别相交于A、B两点，l2与x、y轴分别相交于C、D两点，我们把经过点A、B、C的抛物线C叫做l1的“母线”．（1）若意线l1：y=ax+b（a＜0，b＞0）的“母线”为C：y=﹣﹣x+4，求a、b的值；（2）如图，若l1：y=mx+1（m＜0），G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM，若OM=，求出l1的“姊线”l2与“母线”C表示的函数解析式；（3）将l1：y=﹣3x+3的“姊线”绕着D点旋转得到新的直线l3：y=kx+n，若点P（x，y1）与点Q（x，y2）分别是“母线”C与直线l3上的点，当0≤x≤1时，|y1﹣y2|≤3，求k的取值范围．参考答案一．选择题1．B．2．D．3．D．4．B．5．C．6．B．7．B．8．B．9．B．10．C．11．B．12．B．二．填空题13．4． 14．18． 15．t＜16．①． 17．①③④． 18．三．解答题19．解：（1）∵y=﹣x﹣3=，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴是直线x=2，图象的开口向上；（2）y=﹣x﹣3=（x2﹣4x﹣12）=，∴当x=6时，y=0，当x=﹣2时，y=0，∴该函数过点（﹣2，0），（6，0），（2，﹣4），函数图象如右图所示．20．解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），把（3，10）代入得a×5×（﹣1）=10，解得a=﹣2，所以抛物线解析式为y=﹣2（x+2）（x﹣4），即y=﹣2x2+4x+16；（2）∵y=﹣2x2+4x+16=﹣2（x﹣1）2+18，∴顶点P的坐标为（1，18），∴△ABP的面积=×（4+2）×18=54；（3）x≤﹣2或x≥4．21．解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1．∴直线AC的解析式为y=x+1．（2）如图，设点P（m，﹣m2+2m+3），∴Q（m，m+1），∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，∴S△APC =PQ×|xC﹣xA|= [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=，∴P（，）；（3）如图1所示，过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．∵当x=0时y═3，∴N（0，3）．∵点N与点N′关于x=3对称，∴N′（6，3）．∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．设DN的解析式为y=kx+b．将点N′与点D的坐标代入得：，解得：k=﹣，b=．∴直线DN′的解析式为y=﹣x+．当x=3时，n=+=．22．解：（1）S=（250﹣200）•10y﹣x=﹣x2+29x+500，答：年利润S（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式S═﹣x2+29x+500，（2）∵S=﹣（x﹣29）2+920.5（10≤x≤50），∴当10≤x＜29时，S随着x的增大而增大当29＜x≤50时，S随着x的增大而减小当S=29时，S有最大值为920.5．年利润S的最大920.5．（3）若公司希望年利润在776万元到908万元之间，即：776≤s≤908，则：776≤﹣x2+29x+500≤908，由于x＜29时，S随着x的增大而增大，而最大利润是920.5，所以，x＜29，解上述不等式得：12≤x≤24．答：从节约支出的角度直接写出广告费x的取值范围为12≤x≤24．23．解：（1）对于抛物线y=﹣﹣x+4，令x=0，得到y=4，∴B（0，4），令y=0，得到﹣﹣x+4=0，解得x=﹣4或2，∴A（2，0），C（﹣4，0），∵y=ax+b经过A、B，∴，解得．（2）如答图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，∴OG=AB，OH=CD．由题意，l1的“姊线”l2为y=﹣（x+1）可得：B（0，1），A（﹣，0），D（﹣1，0），C（0，﹣），∴OA=OC，OB=OD，∵∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∠ABO=∠CDO，∴OG=OH，∵OG=GB，OH=HC，∴∠GOB=∠ABO，∠HOC=∠OCD，∵∠ODC+∠OCD=90°，∴∠ABO+∠OCD=90°，∴∠GOB+∠GOC=90°，∴∠HOG=90°∴OG⊥OH，∴△OGH为等腰直角三角形．∵点M为GH中点，∴△OMG为等腰直角三角形，∴OG=OM=，∴AB=2OG=，∴OA==，∴A（，0），∴C（0，），D（﹣1，0）．∴l1的“姊线”l2为y=x+，“母线”C表示的函数的解析式为y=﹣3x2﹣2x+1．（3）l1：y=﹣3x+3的“姊线”的解析式为y=x+1，“母线”C的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴直线l3：y=kx+1，∵当0≤x≤1时，|y1﹣y2|≤3，不妨设x=1，则y1=0，y2=k+1，由题意k+1=±3，解得k=2或﹣4，∴满足条件的k是取值范围为：﹣4≤k≤2．。

九年级数学上册第二十二章二次函数基本知识过关训练单选题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+5，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A．y=−x2−4x+5B．y=x2+4x+5C．y=−x2+4x−5D．y=−x2−4x−5答案：C分析：把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线y=x2−4x+5沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为y=−(x−2)2−1，化简后为：y=−x2+4x−5．故选：C．小提示：本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．2、已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m<0B．m≥1C．m≤−1或m>0D．m≤−1答案：A分析：先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，∵点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤−3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．3、已知二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当x=x1+x2时，二次函数的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023答案：C分析：根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，由韦达定理得到x1+x2=20212020，代入解析式即可得解．解：∵二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，∴x1+x2=−20212020，∴当x=x1+x2时，有：y=2020x2+2021x+2022==2020×(−20212020)2+2021×(−20212020)+2022=2022，故选C．小提示：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，会运用韦达定理．4、抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n答案：B分析：根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x 1，0），代入解析式即可求解． 解：∵抛物线经过（x 1，0），且抛物线与x 轴只有一个交点， ∴抛物线顶点坐标为（x 1，0），y ＝（x ﹣x 1）2，∴x 2﹣2x 1x +x 12＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n ＝x 2﹣（x 1+x 2﹣m ）x +x 1x 2+n ，∴x 1+x 2﹣m ＝2x 1，即x 2﹣x 1＝m ， 故选：B ．小提示：本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5、小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为y =−19(x −3)2+k ，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为(0，169)，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m 答案：C根据出手点A 的坐标为(0，169)求出函数关系式，再令y =0可解得答案．解：把A (0，169)代入y =−19(x −3)2+k 得：169=−19(0−3)2+k ，∴k =259，∴y =−19(x −3)2+259，令y =0得0=−19(x −3)2+259，解得x =−2（舍去）或x =8，∴实心球飞行的水平距离OB 的长度为8m ，小提示：本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（）A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0答案：D=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对分析：图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b=−1，2a∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．小提示：本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．7、二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关分析：分别求出函数解析式的最小值、当0≤x≤1时端点值即：当x=0和x=1时的函数值．由二次函数性质可知此函数最大值与最小值必是其中的两个，通过比较可知差值与p有关，但与q无关解：依题意得：当x=0时，端点值y1=q，当x=1时，端点值y2=1+p+q，当x=−p2时，函数最小值y3=−p24+q，由二次函数的最值性质可知，当0≤x≤1时，此函数最大值和最小值是y1=q、y2=1+p+q、y3=−p24+q 其中的两个，所以最大值与最小值的差可能是|1+p|或p24或1+p+p24，故其差只含p不含q，故与p有关，但与q无关故选：D．小提示：本题考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．8、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元答案：C分析：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，∴最大销售额为1800元．故选：C．小提示：本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9、在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y=(x−2)2−1B．y=(x−2)2+3C．y=x2+1D．y=x2−1答案：D分析：根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y=(x−1+1)2+1−2=x2−1故选D．小提示：本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．答案：B分析：分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，∴∠B＝60°，BC=12AB=2√3，AC=√3BC=6，∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=√3CD=3√3，BD=12BC=√3，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，∴S=12MD·DN=12(3√3−√3t)(3+t)=−√32t2+9√32，当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=√3t−3√3，∴S=12MD·DN=12(√3t−3√3)(3+t)=√32t2−9√32，故选：B．小提示：本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．填空题11、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且ℎ=−5t2+256t+10．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．答案：32##1.5分析：根据题意，令ℎ=5，解一元二次方程求解即可．依题意5=−5t2+256t+10整理得6t2−5t−6=0即(2t−3)(3t+2)=0解得t1=32,t2=−23（不符合题意，舍）所以答案是：32小提示：本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将ℎ=5代入关系式是解题的关键．12、把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．答案：m>3分析：先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，所以答案是：m>3．小提示：本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：13、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣13m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）答案：<分析：先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质解决问题．x2+4可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为y轴，解：二次函数y=−13所以当x<0时，y随x的增大而增大，∵−7<−5，∴m<n，所以答案是：<．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．14、抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（−1，0），（−3，0），该抛物线的对称轴是直线________．答案：x=−2分析：根据点（−1，0）与（−3，0）的纵坐标都为0，可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1+x2求解即可．2解：∵抛物线与x轴的交点为（−1，0），（−3，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，=−2．则此抛物线的对称轴是直线x=−1+(−3)2所以答案是：x=−2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可求解．以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=x1+x2215、如图，抛物线y=1x2﹣3与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，3点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____．答案：2分析：连接AP，先解方程13x2﹣3＝0得A(−3,0)，B(3,0)，再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ=12AP，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值．解：连接AP．当y=0时，13x2﹣3＝0解得x1＝3，x2＝﹣3则A(−3,0)，B(3,0)∵Q是线段PB的中点．∴OQ为△ABP的中位线．∴OQ=12AP．当AP最小时，OQ最小．连接AC交圆于P时，PA最小．∵AC=√OA2+OC2=√32+42=5．∴AP的最小值：AP=AC−PC=5−1＝4．∴线段OQ的最小值：OQ=12AP=2．故答案为2．小提示：本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小．解答题16、受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．答案：(1)0≤x≤60且x为整数(2)20≤x≤60(3)a＝30分析：（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，{x≥0,300−5x≥0,400−x≥0,解得0≤x≤60，故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；（2）x的取值范围为20≤x≤60．理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，解得：x＝20或x＝70．要使y≥234000，得20≤x≤70；∵0≤x≤60，∴20≤x≤60；（3）设捐款后每天的利润为w元，则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，对称轴为x=900+a20=45+a20，∵0＜a≤100，∴45+a20>45，∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，当x＝40时，w最大，∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，解得a＝30．小提示：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．17、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．答案：此时大孔的水面宽度为10m．分析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（-10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=ax2+6，∵点B在此抛物线上，∴0=a×102+6，，解得a=-350∴函数式为y=-3x2+6．50∵NC=4.5m，∴令y=4.5，x2+6=4.5，代入解析式得-350x1=5，x2=-5，∴可得EF=5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m．小提示：本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．18、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．答案：y =x 2−2x +1，(1,0)分析：直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解． 解：∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)；∴{n =19+3m +n =4， 解得：{m =−2n =1， ∴y =x 2−2x +1∴对称轴为直线x =−−22×1=1，∴y =12−2+1=0，∴顶点的坐标为(1,0)．小提示：本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．。

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一、单选题(共48分)1．(本题4分)抛物线23y x =-与y 轴的交点坐标为（ ）A ．(-3，0)B ．(0，-3)C ．(3,0)-D ．(3,0) 2．(本题4分)已知：抛物线y =a （x +1）2的顶点为A ，图象与y 轴负半轴交点为B ，且OB =OA ，若点C （-3，b ）在抛物线上，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.53．(本题4分)二次函数y ＝﹣x 2﹣4的图象经过的象限为（ ）A ．第一象限、第四象限B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限4．(本题4分)在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 5．(本题4分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（ ）A ．小球在空中经过的路程是40mB ．小球运动的时间为6sC ．小球抛出3s 时，速度为0D ．当 1.5t =s 时，小球的高度30h =m 6．(本题4分)关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x ，若212x x =，则49b ac -的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．27．(本题4分)二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 8．(本题4分)已知二次函数()222y x =--，关于该函数在13x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（ ）．A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－2 9．(本题4分)记某商品销售单价为x 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y 元，且y 是关于x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y 与x 的函数关系式是（ ）A ．y ＝﹣（x ﹣60）2+1825B ．y ＝﹣2（x ﹣60）2+1850C ．y ＝﹣（x ﹣65）2+1900D ．y ＝﹣2（x ﹣65）2+200010．(本题4分)已知二次函数2202020212022y x x =++的图象上有两点A （x 1，2023）和B （x 2，2023），则当12x x x =+时，二次函数的值是（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 11．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2＋PC 的最小值是（ ）A ．4B ．2＋22C ．22D ．32223+ 12．(本题4分)抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <-或0m > B ．1122m -<< C ．02m ≤< D ．11m -<<二、填空题(共20分)13．(本题5分)若22(2)32m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值是 ________. 14．(本题5分)若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ________2y （填“＞”，“=”或“＜”）．15．(本题5分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为______．16．(本题5分)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．三、解答题(共52分)17．(本题6分)二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为 ；（3）方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，m 的取值范围为 ．18．(本题6分)已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．19．(本题6分)已知：二次函数2142y x x =-++． (1)通过配方，将其写成()2y a x h k =-+的形式；(2)求出函数图象与x y 、轴的交点、、A B C 的坐标；(3)当0y >时，直接写出x 的取值范围；(4)当x ________时，y 随x 的增大而减少．20．(本题6分)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．21．(本题6分)一隧道内设双行公路，隧道的高MN 为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF 的三条边围成的，矩形的长DE 是8米，宽CD 是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？22．(本题6分)如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式； （2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m ，求m 的值． 23．(本题8分)如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ //BC 交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．24．(本题8分)已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A(1)若a＞0①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.参考答案1．B2．A3．C4．B5．A6．D7．A8．D9．D10．C11．A12．D13．214．＜15．40米16．②③17．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．18．224233y x x =-- 19．(1)()219122x --+ (2)A （-2，0），B （4，0），C （0，4）(3)-2＜x ＜4(4)＞120．(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元21．（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14 22．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）95.4m =-或 23．(1)223y x x =+-(2)2；P （-1，0）24．(1)①，0)，0)②m>0或m<－3 (2)-9(3)49a=或12a≥或14a-≤。

第二十二章《二次函数》检测题满分：120分时间：120分钟得分：一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列函数是二次函数的是（）A.y=3x+1B.y=x2+2xC.y=5D.y=1x2.抛物线y=3x2+2的顶点坐标是（）A.（3，2）B.（0，2）C.（2，0）D.（2，3）3.二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）A.-3B.-1C.2D.34.将抛物线y=x2+2x-3先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是（）A.y=x2-2xB.y=x2+6x+8C.y=x2-2x-6D.y=x2+6x+25.二次函数y=ax2-4x+2a的图象的最高点在x轴上，则a的值是( )A.2B.-√2C.±2D.±√26.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（）A.600m2B.625m2C.650m2D.675 m27.二次函数y=ax2-2ax+c（a>0）的图象过A（-3，y1），B（-1，y2），C（2，y3），D （4，y4）四个点，下列结论正确的是（）A.y1>y2>y3>y4B.y4>y3>y2>y1C.y1>y4>y2>y3D.y1>y2>y3>y48.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）9.抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x-2）2+bx=2b-c的解是（）A.x1=-1，x2=6B.x1=-5，x2=2C.x1=-3，x2=4D.x1=-2，x2=510.我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”.若关于x的二次函数y=ax2+tx-2t对于任意的常数t 恒有两个“好点”，则a的取值范围为（）A.o<a<1 Bo<a<12c13<a<12D.12<a<1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.当a= 时，函数y=（a-1）x a2+1+x-3是二次函数.12.如果抛物线y=（a-3）x2-2有最低点，那么a的取值范围是.13.请你写出一个b的值，使得函数y=x2+2bx在x>0时，y的值随着x的增大而增大，则b可以是.14.若二次函数y=2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，m）、B（x1+x2，n）、C（x2，m），则n的值为15.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的.正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m.当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为m.16.抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过（0，0），（4，0）两点.则下列四个结论正确的有（填写序号）.①4a+b=0；②5a+3b+2c>0；③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-3有交点，则a 的取值范围是a≥34；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c-t=0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个.三、解答题（共8题，共72分）17.（8分）已知抛物线y=-x2+4x+5.（1）用配方法将y=-x2+4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.18.（8分）已知抛物线y=x2+ax+b与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，9）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；4时，直接写出x的取值范围是.（3）当y≥9419.（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c，如表给出了y与x的部分对应值.（1）根据表格中的数据，确定二次函数的解析式和n的值；（2）若抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2x+m没有交点，求m的取值范围.20.（8分）设抛物线y=x2+（a+1）x+a，其中a为常数.（1）若抛物线经过点（-1，m），求m的值；（2）将抛物线y=x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，求所得抛物线顶点的纵坐标的最大值.21.（8分）如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b相交于点A（2，0）和点B. （1）求m和b的值；（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集；（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.22.（10分）为增加农民收入，助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年“五一”期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示.（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求“五一”期间销售草莓获得的最大利润。

二次函数单元过关检测试卷满分：120分时间：120分钟一．选择题（每题4分，共12小题）1．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（ ）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．4或32．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（ ）A．开口向下，顶点坐标（2，3）B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3）D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）3．若点P1（﹣1，y1），P2（﹣2，y2），P3（1，y3）都在函数y＝x2﹣2x的图象上，则下列判断正确的是（ ）A．y2＜y1＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y2＞y3D．y2＞y1＞y34．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC，则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④（ a+c）2＞b2；⑤ac+b+1＝0．其中正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（ ）A．y＝x2+B．y＝x2+C．y＝x2+2D．y＝x2+27．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）A．y＝（x﹣1）2+1B．y＝（x+1）2+1C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2﹣3 8．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512利用二次函数的图象可知，当函数值y＜0时，x的取值范围是（ ）A．x＜0或x＞2B．0＜x＜2C．x＜﹣1或x＞3D．﹣1＜x＜3 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论：①c＝0；②2a﹣b＝0；③当﹣2＜x＜0时，y＜0；④a﹣b＞0．其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝﹣ax2﹣b的大致图象是（ ）A．B．C．D．11．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（ ）A．c＜y＜0B．y＜c C．y＞0D．y＜012．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点（﹣3，0），说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③﹣a+c＜0；④若（﹣5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（每题4分，共6小题）13．二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的最小值为 ．14．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是 ．15．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），其中正确的结论有 ．16．如图，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C（m，0）是线段AB上一动点，抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1，经过点A，C，顶点为D，抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，直线AD与直线BE交于点F，当点C从A点运动至B点时，点F在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上运动（1）二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为 ；（2）当AF⊥BF时，点F的坐标为 ．17．如图，一段抛物线C1：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）与x轴交于点O，A；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；如此进行下去，若P（28，m）在其中一段抛物线上，则m＝ ．18．抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界），仅有4个整数点时（整数点就是横纵坐标均为整数的点），则a的取值范围 ．三．解答题（共48分，共7小题）19．如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．22．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．23．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）分析数量关系填表：每台售价（元）303132……30+x月销售量（台）180170160……（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式及C点坐标；（2）直线y＝﹣x﹣2与该抛物线在第四象限内交于点D，与x轴交于点F，连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，求证：△AGF≌△CGD．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表达线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，解得a＝4．故选：B．2．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）故选：A．3．解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线对称轴为x＝1，开口向上，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，又∵1＞﹣1＞﹣2，∴y2＞y1＞y3．故选：D．4．解：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，∴abc＞0，故正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；③当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确④∵x＝﹣1时y＞0，x＝1时y＜0，即a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2，故错误；⑤设C（0，c），则OC＝|c|，∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，∴ac+b+1＝0，故正确；故正确的结论有①③⑤三个，故选：B．5．解：①∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴a＜0，﹣＜0，c＞0，∴b＜0，∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，结论②正确；③∵﹣＞﹣1，a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，结论③错误；④∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]＝（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．6．解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+，∴y＝x2+，故选：A．7．解：抛物线y＝x2+2向下平移1个单位后的解析式为：y＝x2+2﹣1＝x2+1．再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+1．故选：A．8．解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x＝1，a＞0，开口向上，与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，则当函数值y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．故选：D．9．解：①∵抛物线经过原点，∴c＝0，故正确；②∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故正确；③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于（0，0），∴另一个交点为（﹣2，0），∴当﹣2＜x＜0时，y＜0；故正确；④∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵b＝2a，∴a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＜0，故错误；故选：C．10．解：A、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标﹣b大于零，故A正确；B、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象应该开口向上，顶点的纵坐标﹣b大于零，故B错误；C、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＜0，﹣b＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+b的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y＝ax﹣b的图象可得：a＞0，﹣b＞0，此时抛物线y＝﹣ax2﹣b的顶点的纵坐标大于零，故D错误；故选：A．11．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，设：抛物线与x轴交点为A、B，则OA＜2，当x＝t时，y＞0，即x在AB之间，当x＝t在点A处时，x＝t+2在y轴右侧，即y＜c，故选：B．12．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，则2a﹣b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∵b＝2a，∴a﹣2a+c＜0，即﹣a+c＜0，所以③正确；∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④正确．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：∵a＝1＞0，∴当x＝2时，y有最小值﹣3．故答案为﹣3．14．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．15．解：由图可知a＜0，∴对称轴x＝1＝﹣，∴b＝﹣2a＞0，函数与y轴的交点c＞0，①∵abc＜0；①错误；②b＝﹣2a，∴b+2a＝0；②正确；③∵函数与y轴交点c＞3，∴x＝1时，y＞3∴直线y＝3与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根；③正确；④由函数的对称性，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴另一个交点为（﹣2，0）；④正确；故答案为②③④；16．解：（1）设点C（m，0），﹣4≤m≤4，∵抛物线y1＝﹣x2+b1x+c1经过点A，C，顶点为D，∴y1＝﹣（x+4）（x﹣m），顶点D（），设直线AD表达式为y＝kx+n，则，解得，∴直线AD表达式为y＝，①∵抛物线y2＝﹣x2+b2x+c2经过点B，C，顶点为E，同理可求得直线BF的表达式为，②由①②，解得交点F为（﹣m，），设点F（x，y），即x＝﹣m，y＝，∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为．（2）设点F（x，y），则当AF⊥BF时，有AF2+BF2＝AB2，∴（x+4）2+y2+（x﹣4）2+y2＝64，解得y＝2或y＝0（舍去），∴x＝，∴点F的坐标为（，2）或（，2）．17．解：点O到点A2是一个循环，长度为6，28÷6＝4 (4)故点P在A1右侧1个单位的位置，将C1绕点A1旋转180°得C2，则C2的表达式为：y＝x（x﹣3），当x＝1时，y＝﹣2＝m，故答案为：﹣2．18．【解答】解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．当a＜0时，如图1所示，此时有，解得：﹣≤a＜﹣；当a＞0时，如图2所示，此时有，解得：＜a≤．综上所述：在（2）的条件下，如果G区域中仅有4个整数点时，则a的取值范围为﹣≤a＜﹣或＜a≤．故答案是：﹣≤a＜﹣或＜a≤．三．解答题（共7小题）19．解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），把（0，﹣4）代入得a×（﹣4）×2＝﹣4，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（2）设M（a，），连接OM，∵S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，∴﹣＝3，∴a2﹣4a+3＝0，解得：a1＝3，a2＝1．∴M1（1，﹣），M2（3，﹣）．20．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）．21．解：（1）函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），﹣3a＝2，解得：a＝﹣，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；（2）存在，理由：过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，将点A（﹣3，0）、C（0，2）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝x+2，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点H（x， x+2），△ACP面积S＝×PH×OA＝×3（﹣x2﹣x+2﹣x﹣2）＝﹣x2﹣3x，∵＜0，故当x＝﹣时，S有最大值，此时点P（﹣，）；（3）设点M的坐标为：（m，n），则n＝﹣m2﹣m+2，点Q（s，0），点A、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，2），①当AC是平行四边形的一条边时，点A向右平移3个单位、向上平移2个单位得到C，同样点M（Q）向右平移3个单位、向上平移2个单位得到Q（M），即：m+3＝s，n+2＝0或m﹣3＝s，n﹣2＝0，且n＝﹣m2﹣m+2，解得：s＝2或﹣5；②当AC是平行四边形的对角线时，则m+s＝﹣3，n+0＝2，且n＝﹣m2﹣m+2，解得：s＝﹣1，故点Q的坐标为：（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2，0）或（2﹣，0）．22．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．23．解：（1）31﹣30＝1，180﹣170＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为180﹣10x，故答案为：180﹣10x；（2）由题意可知：y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（3）由（2）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．24．解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣3，故点C（0，﹣3）；（2）将直线表达式y＝﹣x﹣2与抛物线表达式联立并解得：x＝1或﹣，故点D（1，﹣3），故CD∥x轴，即CD∥AF，则∠AFG＝∠CDG，直线y＝﹣x﹣2与与x轴交于点F，则点F（﹣2，0），CD＝2＝AF，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△CGD（AAS）．25．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线C1的表达式为：y＝x2+x﹣1；（2）点M、N的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t﹣1），则MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2；（3）①当∠ANM＝90°时，AN＝MN，AN＝t﹣（﹣2）＝t+2，MN＝t2+2，t＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去0），故t＝1；②当∠AMN＝90°时，AM＝MN，AM＝t+2＝MN＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去1），故t＝1；综上，t＝0或1．。