2021届高考数学一轮基础过关训练8：二次函数与幂函数

幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析 不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0， 解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案 －1解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一 幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析 设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析 依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c答案 A解析 由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2， 当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二 二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上， 所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④C.②③D.①③(2)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二 当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级 基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析 设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1， 故k 的取值范围是(－∞，1). B 级 能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析 根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析 依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213， 当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。

2021年高考数学专题复习 二次函数与幂函数练习1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2) (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或22．如果幂函数的图象不过原点, 则的取值范围是（ ）A ．B ．或C ．或D ．3.若(2m ＋1) >(m 2＋m －1) ，则实数m 的取值范围是 ( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2 4.下列函数在其定义域 内既是奇函数又是增函数的是（ ）5.当时，的大小关系是（ ）6．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]7. 设abc >0，二次函数f(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x ≥0x 2－2x －6，x <0，若f (t )>2，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)9．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限． 10．幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)＝______. 11．若函数f (x )＝ax 2－6x ＋2的图象与x 轴有且只有一个公共点，则a ＝________.12.若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是_ ___________．13．设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋5对于任意t 都有f (t )＝f (－4－t )，且在闭区间上有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是________．14.对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=-f(2a-x),则称f(x)为准奇函数.下列函数中是准奇函数的是(把所有满足条件的序号都填上). ①f(x)=;②f(x)=x2; ③f(x)=tan x; ④f(x)=cos(x+1).15. 已知函数f(x)＝x2－3x＋m，g(x)＝2x2－4x，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m的值为________．16. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．17.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．18．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．19.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=x2+x+2(1)求f(x)和g(x)的解析式；(2)若不等式f(x)≥ag(x)对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.20．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间．21．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．22607 584F 塏34662 8766 蝦28858 70BA 為t20820 5154 兔39489 9A41 驁b25370 631A 挚39935 9BFF 鯿23415 5B77 孷25286 62C6 拆& €31175 79C7 秇。

幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0}2.二次函数的图象和性质R R【题型1 幂函数的图象及性质】【例1】（2021•宜春模拟）已知幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f （0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解题思路】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）x n的图象过点（m，8），∴m﹣1＝1，且m n＝8，求得m ＝2，n ＝3，故f （x ）＝x 3．∵a ＝f （20.3）＝20.9＞1，b ＝f （0.32）＝0.36∈（0，1），c ＝f （log 20.3）=(log 20.3)3＜0， ∴a ＞b ＞c ， 故选：D ．【变式1-1】（2021•阳泉三模）已知点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【解题思路】推导出f （x ）＝x 3，从而45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0，由此能判断a ，b ，c 的大小关系．【解答过程】解：点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 图象上， ∴f （2）＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f （x ）＝x 3， 设a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)， ∴45＜a ＝[（45）0.3]3＝（45）0.9＜（45）0＝1，54＞b ＝[（54）0.2]3＝（54）0.6＞（54）0＝1，c ＝（log 1254）3＜（log121）3＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系是b ＞a ＞c ． 故选：A ．【变式1-2】（2020•金安区校级模拟）已知幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数，设a ＝f （sin2π7），b ＝f （cos2π7），c ＝f （tan2π7），则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解题思路】根据幂函数的定义与奇函数的定义，求出m 、n 的值，写出f （x ），判断其单调性，再根据cos2π7、sin2π7和tan2π7的大小比较f （cos2π7）与f （sin2π7）、f （tan2π7）的大小．【解答过程】解：根据幂函数f （x ）＝mx 1+n 是定义在区间[﹣2，n ]上的奇函数， 得m ＝1，且﹣2+n ＝0，解得n ＝2；∴f （x ）＝x 3，且在定义域R 上是单调增函数； 又0＜π4＜2π7＜π2，∴cos2π7＜sin2π7＜1＜tan2π7，∴f （cos 2π7）＜f （sin 2π7）＜f （tan 2π7），即b ＜a ＜c ． 故选：A ．【变式1-3】（2020•三明模拟）已知幂函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x ﹣t ，对于任意x 1∈[1，5）时，总存在x 2∈[1，5）使得f （x 1）＝g （x 2），则t 的取值范围是（ ） A ．∅B ．t ≥7或t ≤1C ．t ＞7或t ＜1D ．1≤t ≤7【解题思路】先利用幂函数的定义和单调性，求出m 的值，得到函数f （x ）的解析式，设函数f （x ）在[1，5）的值域为集合A ，函数g （x ）在[1，5）的值域为集合B ，利用函数的单调性分别求出集合A ，集合B ，由题意可得A ⊆B ，利用集合间的包含关系列出不等式组，即可求出t 的取值范围． 【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，∴{(m −1)2=1m 2−4m +2＞0，解得m ＝0，∴f （x ）＝x 2，当x 1∈[1，5）时，f （x 1）∈[1，25），设集合A ＝[1，25），又当x 2∈[1，5）时，g （x 2）∈[2﹣t ，32﹣t ），设集合B ＝[2﹣t ，32﹣t ）， 由题意得：A ⊆B ，∴{2−t ≤132−t ≥25，解得：1≤t ≤7， 故选：D ．【题型2 二次函数的图象及性质】【例2】（2020•西湖区校级模拟）已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]【解题思路】本题考查的是函数的图象问题．在解答时，应先结合m 是否为零对函数是否为二次函数进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得问题解答． 【解答过程】解：由题意可知：当m ＝0时，由f （x ）＝0 知，﹣3x +1＝0，∴x =13＞0，符合题意；当m＞0时，由f（0）＝1可知：{△=(m−3)2−4m≥0−m−32m＞0，解得0＜m≤1；当m＜0时，由f（0）＝1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．故选：D．【变式2-1】（2020秋•龙岩期中）已知二次函数f（x）＝ax2+（a﹣5）x+a2﹣6（a≠0）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0）两点，且﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则a的取值范围是（）A．(2，1+2√3)B．(2，2√3−1)C．(1+2√3，+∞)D．(−∞，2−2√3)【解题思路】由已知结合二次函数的实根分布中特殊点函数值的符号建立关于a的不等式，可求．【解答过程】解：若a＞0，则{f(−1)=a2−1＞0f(1)=a2+2a−11＜0 f(2)=a2+6a−11＞0，解得2＜a＜2√3−1；若a＜0，则{f(−1)=a2−1＜0f(1)=a2+2a−11＞0f(2)=a2+6a−16＜0，不等式组无解．故a的取值范围是(2，2√3−1)．故选：B．【变式2-2】（2020秋•咸阳期末）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+3，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＝1时，函数f（x）的图象恰好在函数g（x）＝2x+b的图象上方（f（x）≥g（x）且恰好能取到等号），求实数b的值．【解题思路】（Ⅰ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，根据判别式△≤0，求出b的值即可．【解答过程】解：（Ⅰ）f（x）＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，对称轴是x＝a，若函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，则a≥﹣2，即a的取值范围是[﹣2，+∞）；（Ⅱ）a＝1时，f（x）＝（x﹣1）2+2，f（x）﹣g（x）＝x2﹣4x+3﹣b，由题意得f（x）﹣g（x）≥0，即x2﹣4x+3﹣b≥0恒成立，故△＝16﹣12+4b ≤0，解得：b ≤﹣1， 当f （x ）≥g （x ）且恰好能取到等号， 即f （x ）＝g （x ）时，b ＝﹣1．【变式2-3】（2020秋•越秀区期末）问题：是否存在二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0，b ，c ∈R ）同时满足下列条件：f （0）＝3，f （x ）的最大值为4，____？若存在，求出f （x ）的解析式；若不存在，请说明理由．在①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立，②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称，③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．【解题思路】由f （0）＝3，可求得c ＝3，由条件可得函数的对称轴，又f （x ）的最大值为4，可得关于a ，b 的方程组，求解即可．【解答过程】解：由f （0）＝3，可得c ＝3，则f （x ）＝ax 2+bx +3， 若选择①f （1+x ）＝f （1﹣x ）对任意x ∈R 都成立， 可得f （x ）的对称轴为x ＝1，所以−b2a =1，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （1）＝4，即a +b +3＝4， 解得a ＝﹣1，b ＝2， 此时f （x ）＝﹣x 2+2x +3；若选择②函数y ＝f （x +2）的图象关于y 轴对称， 可得f （x ）关于x ＝2对称，则−b2a =2，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （2）＝4，即4a +2b +3＝4， 解得a =−14，b ＝1， 此时f （x ）=−14x 2+x +3；若选择③函数f （x ）的单调递减区间是[12，+∞)， 可得f （x ）关于x =12对称，则−b2a =12，又f （x ）的最大值为4，可得a ＜0且f （12）＝4，即14a +12b +3＝4，解得a ＝﹣4，b ＝﹣4， 此时f （x ）＝﹣4x 2﹣4x +3．【题型3 二次函数的最值问题】【例3】（2020春•滨海新区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在x ∈[﹣1，2]．上有最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣4或0C ．﹣1或0D ．﹣4或3【解题思路】由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知函数f （x ）在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得．从而分类讨论求解．【解答过程】解：由函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2的图象开口向上知， 函数f （x ）＝x 2+2ax +a 2在|﹣1，2]上的最大值在﹣1或2上取得． 若函数f （x ）在﹣1上取得最大值4，则 {−a ≥121−2a +a 2=4，解得a ＝﹣1，若函数f （x ）在2上取得最大值4，则 {−a ≤124+4a +a 2=4，解得a ＝0，故选：C ．【变式3-1】（2020秋•仓山区校级期中）如果函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3在区间[0，2]上有最小值3，那么实数a 的值为 ．【解题思路】由二次函数对称轴结合定义域进行讨论即可解决此题． 【解答过程】解：函数y ＝4x 2﹣4ax +a 2﹣2a +3的对称轴是：x =a2．当a2≤0，即a ≤0时，f （x ）在[0，2]上的最小值a 2﹣2a +3＝3，解得：a ＝0或2（舍去）；当0＜a2＜2，即0＜a ＜4时，f （x ）的最小值是f （a2）＝﹣2a +3＝3，解得：a ＝0（舍去）；a 2≥2，即a ≥4时，f （x ）的最小值是f （2）＝4×22﹣4a ×2+a 2﹣2a +3＝a 2﹣8a +19＝3，解得：a 1＝a 2＝4．综上，a 的值是0或4． 故答案为：0或4．【变式3-2】（2020•浙江模拟）已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1，则当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为 ．【解题思路】由题知{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，进而求出a ，b ，c ，所以f （x ）＝f （1）(x 2+x 2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f（0）（1﹣x 2）再由题知对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1分别再讨论﹣2≤x ≤﹣1与1≤x ≤2区间最值，最后得出最值． 【解答过程】解：由题意{f(1)=a +b +cf(−1)=a −b +c f(0)=c ，有得{a =12[f(1)+f(−1)−2f(0)]b =12[f(1)−f(−1)]c =f(0)所以f （x ）＝f （1）(x 2+x2)+f （﹣1）(x 2−x2)+f （0）（1﹣x 2） 对一切x ∈[﹣1，1]，都有|f （x ）|≤1所以当﹣2≤x ＜﹣1时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+|| =(x 2+x2)+(x 2−x2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7当1＜x ≤2时，|f （x ）|≤||||+||||+||||）|≤||+||+||=(x 2+x 2)+(x 2−x 2)+(x 2−1)=2x 2−1≤7综上所述，当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）的最大值为7．【变式3-3】（2021春•浦东新区校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3． （1）若f （a +1）＝f （2a ），求a 的值；（2）若函数y ＝f （x ）在x ∈[2，3]的最小值为5﹣a ，求实数a 的取值范围；（3）是否存在整数m 、n 使得关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]？若存在，请求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据已知条件，得到（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3解方程即可求出结果； （2）由于f （x ）的对称轴为x =a−22，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，判断单调性求出最小值即可；（3）根据题意转化为 m ，n 是方程 x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x 的两个根，结合韦达定理得到 m +n ＝2+mn ，分离常数，根据m ，n 为整数即可求解．【解答过程】解：（1）因为f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3，且 f （a +1）＝f （2a ）， 所以（a +1）2﹣（a ﹣2）（a +1）+a ﹣3＝（2a ）2﹣2a （a ﹣2）+a ﹣3， 整理得2a 2+a ﹣3＝0，解得a ＝1或−32；（2）f （x ）＝x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3 的对称轴为 x =a−22， 因为 x ∈[2，3]， ①当a−22≤2，即 a ≤6，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝22﹣2（a ﹣2）+a ﹣3＝5﹣a ，符合题意；②当2＜a−22＜3，即6＜a ＜8，则f （x ）在(2，a−22)上单调递减，在(a−22，3)单调递增， 所以f(x)min =f(a−22)=(a−22)2−a−22(a −2)+a −3=−a 2+8a−164=5﹣a ， 则a ＝6，与6＜a ＜8矛盾，不符合题意； ③a−22≥3，即a ≥8，则f （x ）在x ∈[2，3]上单调递减，所以f(x)min =f(3)=32−3(a −2)+a −3=12−2a =5−a ， 则a ＝7，与a ≥8矛盾，不符合题意，综上a ≤6，因此实数a 的取值范围为（﹣∞，6]；（3）因为关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集恰为[m ，n ]， ①若a−22≤m ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递增，所以{f(m)=mf(n)=n，即m ，n 是方程x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3＝x ，即x 2﹣（a ﹣1）x +a ﹣3＝0的两个根， 由韦达定理得{m +n =a −1mn =a −3，所以 m +n ＝2+mn ，所以m （1﹣n ）＝2﹣n ，当n ＝1时，m 不存在，舍去， 当n ≠1时，m =2−n 1−n =11−n +1，所以当n ＝0时，m ＝2；当n ＝2时，m ＝0，又因为m ＜n ，所以n ＝2，m ＝0，经检验，此时a ＝3，关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；②若m ＜a−22≤n ，则f （x ）在(m ，a−22)上单调递减，在(a−22，n +1)上单调递增，所以{f(a−22)≥m f(n)=n f(m)=n ，即{(a−22)2−(a −2)⋅a−22+a −3≥m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n，所以{−a 2+8a −16≥4m n 2−(a −2)⋅n +a −3=n m 2−(a −2)⋅m +a −3=n ，即x 2﹣（a ﹣2）x +a ﹣3﹣n ＝0有两个不相等的实数根，且m +n ＝2﹣a ，由于m ，n 为整数，则a 为整数，则a =n 2+n−3n−1=n +2−1n−1，当n ＝0时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验关于x 的不等式m ≤f （x ）≤n 的解集不是[m ，n ]，故不符合题意舍去；当n ＝2时，a ＝3，m ＝﹣1，经检验符合题意； 故m ＝﹣1，n ＝2； ③若a−22≥n ，则f （x ）在[m ，n ]上单调递减，所以{f(m)=nf(n)=m，即{m 2−(a −2)⋅m +a −3=n n 2−(a −2)⋅n +a −3=m ，则m ＝n ，不合题意舍去． 综上：存在这样的m ，n 为整数，且m ＝﹣1，n ＝2． 【题型4 二次函数的恒成立问题】【例4】（2021•4月份模拟）对于任意a ∈[﹣1，1]，函数f （x ）＝x 2+（a ﹣4）x +4﹣2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是（ ） A ．（1，3） B ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C ．（1，2）D ．（3，+∞）【解题思路】把二次函数的恒成立问题转化为y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x 的取值范围．【解答过程】解：原问题可转化为关于a 的一次函数y ＝a （x ﹣2）+x 2﹣4x +4＞0在a ∈[﹣1，1]上恒成立，只需{(−1)⋅(x −2)+x 2−4x +4＞01×(x −2)+x 2−4x +4＞0， ∴{x ＞3，或x ＜2x ＜1，或x ＞2， ∴x ＜1或x ＞3．故选：B ．【变式4-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143， 可得k ＞143． 故选：D ．【变式4-2】（2020春•浙江期中）已知f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ，若f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．（﹣∞，0]C ．[0，+∞）D ．[﹣1，0]【解题思路】利用分段思想，分类讨论，结合二次函数性质即可求解．【解答过程】解：f （x ）＝x 2﹣|x ﹣a |+a ={x 2−x +2a ，x ≥a x 2+x ，x ＜a ，∵f （x ）≤0对任意x ∈[﹣1，1]恒成立，∴①{x 2−x ≤−2a x ≥a 恒成立， 此时a ≤﹣1；②{x 2+x ≤0x ＜a在x ∈[﹣1，1]恒成立， 此时a ≤0；综上核对a ≤0，故选：B ．【变式4-3】（2021春•虹口区期末）已知函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2．（1）若对于任意x ∈R ，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，求实数x 的取值范围．【解题思路】（1）利用二次函数的图象与性质可得△≤0，从而可求得a 的取值范围；（2）f （x ）≥0恒成立等价于f （x ）min ≥0，利用二次函数的图象与性质对a 分类讨论，求出f （x ）的最小值，结合题意即可求解a 的取值范围；（3）将函数f （x ）看作关于a 的函数g （a ），结合题意可得关于x 的不等式组即可求解x 的取值范围．【解答过程】解：（1）f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2≥0恒成立，可得△＝4a 2﹣4（2﹣a ）≤0，解得﹣2≤a ≤1，即实数a 的取值范围是[﹣2，1]．（2）若对于任意x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，则f （x ）min ≥0，函数f （x ）＝x 2+2ax ﹣a +2的对称轴为x ＝﹣a ，当﹣a ＜﹣1，即a ＞1时，f （x ）min ＝f （﹣1）＝3﹣3a ≥0，解得a ≤1，矛盾，舍去；当﹣a ＞1，即a ＜﹣1时，f （x ）min ＝f （1）＝3+a ≥0，可得﹣3≤a ＜﹣1，当﹣1≤﹣a ≤1，即﹣1≤a ≤1时，f （x ）min ＝f （﹣a ）＝﹣a 2﹣a +2≥0，可得﹣1≤a ≤1，综上所述，求实数a 的取值范围是[﹣3，1]．（3）对于任意a ∈[﹣1，1]，f （x ）＞0成立，等价于对于任意a ∈[﹣1，1]，g （a ）＝（2x ﹣1）a +x 2+2＞0，所以{g(−1)=x 2−2x +3＞0g(1)=x 2+2x +1＞0，解得x ≠1， 所以实数x 的取值范围是{x |x ≠﹣1}．。

§2.4 二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a. (×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22. (×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2. (×) 2．(2013·重庆)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为() A．9 B.92C．3 D.322答案 B解析因为(3－a)(a＋6)＝18－3a－a2＝－⎝⎛⎭⎫a＋322＋814，所以当a＝－32时，(3－a)(a＋6)的值最大，最大值为92.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上() A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f (x )在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2， y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0或m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________． 答案 1或2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.题型一 二次函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________． 答案 y ＝12(x －2)2－1(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是____________． 答案 (－∞，－3]解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]． 题型二 二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．思维启迪 利用f (x )的最小值为f (－1)＝0可列两个方程求出a 、b ；恒成立问题可以通过求函数最值解决．解 (1)由题意有f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]， 单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．思维升华 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 题型三 幂函数的图象和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2(2)若(2m ＋1)21 >(m 2＋m －1) 21，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 21，利用函数单调性求m 范围． 答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，综上5－12≤m <2.思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即221＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 21. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，32)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作出函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．思维启迪 (1)因f (x )的表达式中含|x |，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a ∈R ，而a 的取值决定f (x )的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．规范解答 解(1)当a ＝1时， f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0x 2－x ＋1，x ≥0.[3分]作图(如右图所示)[5分](2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.[6分] 若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.[7分] 若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a .当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2. 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.[11分]综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <142a －14a －1， 14≤a ≤12.3a －2， a >12[12分]温馨提醒 本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练一、选择题1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是() A．a≤－2 B．－2<a<2C．a>2或a<－2 D．1<a<3答案 C解析∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么 ( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 答案 D解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝12对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 5．已知f (x )＝x 21，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)B ．f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝x 21在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.二、填空题6．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．答案 0≤m ≤14解析 m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；m ≠0时，函数是二次函数，对称轴为x ＝－12m≤－2，由题意知m >0，∴0<m ≤14.综上0≤m ≤14.7．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a ≤14解析 令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0f (5)>0，∴0<a ≤14.8．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案 二、四解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限． 三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]， 单调减区间是[－3，＋∞)．10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.B 组 专项能力提升1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (12)x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案 C解析 当a <0时，(12)a －7<1， 即2－a <23，∴a >－3，∴－3<a <0.当a ≥0时，a <1，∴0≤a <1.故－3<a <1.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0答案 A解析 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，且f (1)＝0，f (0)＝c <0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，当x >1时，f (x )>0.由a >b ，得1>b a， 设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1，则x 1＋1＝－b a>－1，即x 1>－2， 由f (m )<0可得－2<m <1，所以1<m ＋3<4，由抛物线的图象可知，f (m ＋3)>0，选A.3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值域为________． 答案 －1或3解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1且Δ<0.∴－5＋1<a <5＋1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0.(1)求证：－2<b a<－1； (2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0，则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0即(b a ＋1)(b a ＋2)<0，从而－2<b a<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a， 那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2＋4×a ＋b 3a ＝49·(b a )2＋4b 3a ＋43＝49(b a ＋32)2＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49， ∴33≤|x 1－x 2|<23， 即|x 1－x 2|的取值范围是[33，23)． 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．。

专题08 幂函数与二次函数【考点预测】 1.幂函数的定义一般地，()a y x a R =∈(a 为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①a x 的系数为1；②a x 的底数是自变量；③指数为常数.(3)幂函数的图象和性质 3.常见的幂函数图像及性质：R RR {|0}x x ≥ （1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠；（2）顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠；其中，(,)m n 为抛物线顶点坐标，x m =为对称轴方程. （3）零点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠，其中，12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标. 5．二次函数的图像二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bx a=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. （1）单调性与最值①当0a >时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；②当0a <时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，；2max 4()4ac b f x a -=.（2）与x 轴相交的弦长当240b ac ∆=->时，二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点11(,0)M x 和22(,0)M x ，1212||||||M M x x a =-==. 6.二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在区间[,]p q 上的最大值是M ，最小值是m ，令02p qx +=： （1）若2bp a-≤，则(),()m f p M f q ==； （2）若02b p x a <-<，则(),()2bm f M f q a =-=； （3）若02b x q a ≤-<，则(),()2bm f M f p a=-=； （4）若2bq a-≥，则(),()m f q M f p ==. 【方法技巧与总结】1.幂函数()a y x a R =∈在第一象限内图象的画法如下： ①当0a <时，其图象可类似1y x -=画出； ②当01a <<时，其图象可类似12y x =画出； ③当1a >时，其图象可类似2y x =画出．2．实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 3.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示.n （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.【题型归纳目录】题型一：幂函数的定义及其图像 题型二：幂函数性质的综合应用题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题【典例例题】题型一：幂函数的定义及其图像例1．（2022·全国·高三专题练习）幂函数()()22121m f x m m x -=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．0或2 C ．0 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出m ，再验证单调性可得. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =，当0m =时，()1f x x -=在()0,∞+上为减函数，不符合题意， 当2m =时，()3f x x =在()0,∞+上为增函数，符合题意，所以2m =. 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数pqy x =（p ，q ∈Z 且p ，q 互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）A ．p ，q 均为奇数，且0p q> B ．q 为偶数，p 为奇数，且0p q < C ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q > D ．q 为奇数，p 为偶数，且0p q< 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p 、q 的取值情况. 【详解】因函数p q y x =的图象关于y 轴对称，于是得函数pq y x =为偶函数，即p 为偶数， 又函数p qy x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且在(0,)+∞上单调递减，则有pq<0， 又因p 、q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确. 故选：D例3．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12##0.5 【解析】 【分析】点A 坐标代入幂函数解析式，求得a ，然后计算函数值． 【详解】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故答案为：12．例4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数()f x 的图象过点()8,2--，且()()13f a f a +≤--，则a 的取值范围是______． 【答案】(],1-∞ 【解析】 【分析】先求得幂函数()f x 的解析式，根据函数()f x 的奇偶性、单调性来求得a 的取值范围. 【详解】设()f x x α=，则()1823αα-=-⇒=，所以()13f x x =，()f x 在R 上递增，且为奇函数，所以()()()311313f a f a a a f a a =-+≤--+-⇒≤⇒≤. 故答案为：(],1-∞例5．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质确定结论． 【详解】解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数223()m m y f x x --==（m ∈Z ）在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.（1）求()y f x =的解析式；（2）讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）4()y f x x -==；（2）当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析. 【解析】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解；（2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数223()mm y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ， 因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意； 当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意； 所以4()y f x x -==，（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数， 当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x x x --=-==-，此时是偶函数， 当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.【方法技巧与总结】确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.题型二：幂函数性质的综合应用例7．（2022·河北石家庄·高三期末）已知实数a ，b 满足3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，则a b +=（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由已知构造函数()3e e x xf x x -=+-，利用()1f a =，()1f b =-，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.【详解】构建函数()3e e x xf x x -=+-，则()f x 为奇函数，且在R 上单调递增.由3e e 1a a a -+=+，3e e 1b b b -+=-，得()1f a =，()()()()1f b f a f b f b a b =-⇒=-=-⇒=-，所以0a b +=. 故选：B.例8．（2022·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）A ．2<B ．2<C ．2log <D ．2<【答案】A 【解析】 【分析】对于A 、B ：作出2x y =和2yx 在第一象限的图像判断出：在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.即可判断A 、B ；对于C：判断出2>, log 1，即可判断；对于D：判断出2>，2=，即可判断.【详解】 对于A 、B ： 作出2x y =和2yx 在第一象限的图像如图所示：其中2x y =的图像用虚线表示，2yx 的图像用虚线表示.可得，在()0,2上，有22x x >，在()2,4上，有22x x <，在()4,+∞上，有22x x >.因为24<，所以2<，故A 正确；4，所以2>，故B 错误；对于C：2>,而22log log 21<=，所以log >故C 错误；对于D：2>，而2=，所以>.故D 错误.故选：A例9．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数32,2()(1),2x f x xx x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(]0,1D ．()0,∞+ 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()f x 的性质，作出图象，数形结合即可求解作答. 【详解】当2x <时，函数3()(1)f x x =-是增函数，函数值集合是(,1)-∞，当2x ≥时，2()f x x=是减函数，函数值集合是(]0,1，关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，即函数()y f x =的图象与直线y k =有两个交点， 在坐标系内作出直线y k =和函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当01k <<时，直线y k =和函数()y f x =的图象有两个交点，即方程()f x k =有两个不同的实根，所以实数k 的取值范围为(0,1). 故选：A例10．（2022·浙江·模拟预测）已知0a >，函数()(0)xa f x x a x =->的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论1a =，01a <<与1a >三种情况下函数的单调性情况，从而判断. 【详解】当1a =时，()1(0)=-=>-a xx f x x x a ，此时函数()f x 为一条射线，且函数()1f x x =-在()0,∞+上为增函数，B 选项符合；当01a <<时，函数a y x =在()0,∞+上为增函数，x y a =在()0,∞+上为减函数，所以函数()=-a x f x x a 在()0,∞+上为增函数，此时函数在()0,∞+上只有一个零点，A 选项符合；当1a >时，x →+∞时，函数a y x =的增长速度远小于函数x y a =的增长速度，所以x →+∞时，函数()=-a xf x x a 一定为减函数，选项D 符合，C 不符合. 故选：C例11．（2022·全国·高三专题练习）不等式()10112200221210x x x -++-≤的解集为：_________．【答案】⎡⎢⎣⎦ 【解析】 【分析】 将不等式化为()()10111011222211x x x x +≤-+-，构造()1011f x x x =+根据其单调性可得221x x ≤-，求解即可.【详解】不等式变形为()()101110112222110x x x x -+-++≤，所以()()10111011222211x x x x +≤-+-，令()1011f x x x =+，则有()()221f x f x ≤-，显然()f x 在R 上单调递增，则221x x ≤-，可得212x ≤，解得x ≤≤故不等式的解集为⎡⎢⎣⎦．故答案为：⎡⎢⎣⎦例12．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，且其图象过点(，则函数()()2log 3ag x xmx =+-的单调递增区间为___________.【答案】(),1-∞- 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出,a m ，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为函数()()()3,af x m x m a =+∈R 是幂函数，所以31m +=，解得2m =-，又其图象过点(，所以2a 12a =， 则()()212log 23g x x x =--， 则2230x x -->，解得3x >或1x <-， 令223x x μ=--，则函数223x x μ=--在()3,+∞上递增，在(),1-∞-上递减， 又因函数12log y μ=为减函数，所以函数()g x 的单调递增区间为(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-.例13．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根，则实数b 的取值范围是_________________________ ．【答案】(3,-- 【解析】 【分析】根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，进而数形结合，将问题转化为方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，再结合二次函数零点分布求解即可. 【详解】解：根据题意，作出函数()12e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图像，如图：令()t f x =，因为方程2()()20f x bf x ++=有8个相异的实数根， 所以方程220t bt ++=在区间()1,2上有两个不相等的实数根12,t t ，故令()22g t t bt =++，则函数()22g t t bt =++在区间()1,2上有两个不相等的零点.所以()()100220g b g g ⎧>⎪⎪⎛⎫-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即230204620b b b +>⎧⎪⎪-<⎨⎪+>⎪⎩，解得3b -<<-所以实数b的取值范围是(3,--.故答案为：(3,--例14．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()224222mm f x m m x-+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可. 【详解】（1）（1）因为幂函数()2242()22mm f x m m x-+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意； ②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.【方法技巧与总结】紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.题型三：二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根分布及条件例15．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<； 由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >， 因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A例16．（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数24y x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，则a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．()3,+∞C ．()3,4D ．(),3-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求解. 【详解】二次函数24y x x a =-+，对称轴为2x =，开口向上， 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增，要使二次函数2()4f x x x a =-+的两个零点都在区间()1,+∞内，需(1)140(2)480f a f a =-+>⎧⎨=-+<⎩，解得34a << 故实数a 的取值范围是()3,4 故选：C例17．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax xg x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()24x xg x =-；(2)1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】(1)根据()218f a +=求出a 即可；(2)方程()80xg x m -⋅=参变分离得222x x m --=-，换元法求值域即可.(1)由()218f a +=，可得：2318a +=，解得：32a =，∴()24x xg x =-；(2)由()80xg x m -⋅=，可得222x x m --=-，令12,44xt -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则原问题等价于y ＝m 与y ＝h (t )＝2t t -在1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，数形结合可知m ∈[h (12)，h (4)]＝1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故实数m 的取值范围为：1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例18．（2022·湖北·高一期末）已知函数()2sin 1f x x =-，[0,]x π∈． (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的值；(2)设实数a R ∈，求方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根时a 的取值范围． 【答案】(1)当0x =，π2，π时， max ()1f x =(2))2a ∈【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令()t f x =，问题转化为23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出a 的取值范围.(1)∵()521,66512,066sinx x f x sinx x x πππππ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<<≤⎪⎩或，∴当5[,]66x ππ∈时， ()max 12f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭；∴当5[0,)(,]66x πππ∈时， max ()(0)(π)1f x f f ===．故当02x ππ=，，时， max ()1f x =． (2)令()t f x =，则[0,1]t ∈，使方程23[()]2()10f x af x -+=存在8个不等的实数根，则方程23210t at -+=在(0,1)t ∈上存在两个相异的实根，令2()321g t t at =-+，则()()()201013210Δ24310012g g a a a ⎧=>⎪=-+>⎪⎪⎨=--⨯⨯>⎪⎪<<⎪⎩2a <<．故所求的a的取值范围是)2．【方法技巧与总结】结合二次函数2()f x ax bx c =++的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题例19．（2022·全国·高三专题练习）已知2()(0)f x ax bx c a =++>，()(())g x f f x =，若()g x 的值域为[2，)+∞，()f x 的值域为[k ，)+∞，则实数k 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】设()t f x =，即有()()g x f t =，t k ，可得函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分，即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集，即有k 的范围，可得最大值为2． 【详解】解：设()t f x =，由题意可得2()()g x f t at bt c ==++，t k ， 函数2y at bt c =++，t k 的图象为()y f x =的图象的部分， 即有()g x 的值域为()f x 的值域的子集， 即[2，)[k +∞⊆，)+∞， 可得2k ，即有k 的最大值为2． 故选：C ．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知值域为[1,)-+∞的二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x -+=--，且方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=．(1)求()f x 的表达式；(2)函数()()g x f x kx =-在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()22f x x x =+；(2)(],2-∞-. 【解析】 【分析】（1）根据(1)(1)f x f x -+=--可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知122x x -=进行求解，求出a 的值，即可得出()f x 的表达式；（2）根据题意，可以判断出函数()g x 在区间[2,2]-上的单调性，由()()g x f x kx =-，求得()2(2)g x x k x =+-，进而可知()g x 的对称轴方程为22k x -=，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出222k -≤-，即可求出k 的取值范围. (1)解：由(1)(1)f x f x -+=--，可得()f x 的图象关于直线1x =-对称， 函数()f x 的值域为[1,)-+∞，所以二次函数的顶点坐标为(1,1)--， 所以设22()(1)121f x a x ax ax a =+-=++-， 根据根与系数的关系，可得122x x +=-，121a x x a-=， 因为方程()0f x =的两个实根12,x x 满足122x x -=则122x x -===， 解得：1a =，所以()22f x x x =+.(2)解：由于函数()g x 在区间[2,2]-上的最大值为(2)f ，最小值为(2)f -， 则函数()g x 在区间[2,2]-上单调递增，又2())2(g x f x kx x x kx =-=+-，即()2(2)g x x k x =+-，所以()g x 的对称轴方程为22k x -=，则222k -≤-，即2k ≤-， 故k 的取值范围为(],2-∞-.例21．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数2()2(0)f x x ax a =->． (1)当3a =时，解关于x 的不等式5()7f x -<<；(2)函数()y f x =在[],2t t +上的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值． 【答案】(1)(1,1)(5,7)-⋃ (2)0,2t a ==或2,2t a ==【解析】 【分析】（1）代入3a =解不等式组226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x 可得答案； （2）由题意(0)(2)0f f a ==，结合最大值为0最小值是4-分0=t 、22t a +=数形结合可得答案. (1)当3a =时，不等式5()7f x -<<， 即为2567x x -<-<，即226756⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩x x x x ，所以171,5或-<<⎧⎨<>⎩x x x ， 所以11x -<<或57x <<，所以原不等式的解集为(1,1)(5,7)-⋃． (2)(0)(2)0f f a ==，由题意0=t 或22t a +=，这时24a -≤-解得2a ≥， 若0=t ，则2t a +≤，所以()()2242f t f a +==-⇒=；若22t a +=，即22t a a =-≥， 所以()()422f t f a =-=-，则2a =，综上，0,2t a ==或2,2t a ==．例22．（2022·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数2()(0,,)f x ax bx c a b c R =++≠∈同时满足下列条件：(0)3f =，()f x 的最大值为4，____？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.在①(1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立，② 函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称，③ 函数()f x 的单调递减区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】由(0)3f =，可求得3c =，由条件可得函数的对称轴，又()f x 的最大值为4，可得关于,a b 的方程组，求解即可. 【详解】解：由(0)3f =，可求得3c =，则2()3f x ax bx =++ 若选择① (1)(1)f x f x +=-对任意x ∈R 都成立 可得()f x 的对称轴为1x =，所以2ba-=1，又()f x 的最大值为4，可得0a <且(1)4f =，即34a b ++=，解得1,2a b =-=，此时2()23f x x x =-++； 若选择函数(2)y f x =+的图像关于y 轴对称 可得()f x 的对称轴为2x =，则2ba-=2， 又f （x ）的最大值为4，可得0a <且(2)4f =，即4234a b ++=，解得a 14=-，1b =，此时21()34f x x x =-++若选择③ 函数f （x ）的单调递减区间是1[2+∞，）， 可得f （x ）关于x 12=对称，则122b a -=，又()f x 的最大值为4，可得0a <且142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即113442a b ++=解得4a b ==-，此时2()434f x x x -=-+例23．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足(1)(3)3,(1)1f f f -===-． （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，求a 的取值范围． 【答案】（1）2()2f x x x =-；（2）[1,2]. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式，设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；（2）根据()f x 在[1,1]a a -+上有最小值1-，最大值(1)f a +，(1)1f =-，从而函数()f x 的对称轴在区间[1,1]a a -+上，1a +离对称轴远，建立关系式，从而求出a 的范围【详解】（1）设2()f x ax bx c =++(0)a ≠，则 (1)3(3)933(1)1f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩解之得：1,2,0a b c ==-=2()2f x x x ∴=- （2）根据题意：111(1)11(1)a a a a -≤≤+⎧⎨+-≥--⎩解之得：12a ≤≤a ∴的取值范围为[]1,2例24．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得. (1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++. (2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【方法技巧与总结】“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ） A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x > B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x < C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x = D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x >【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，画出函数草图，即可判断. 【详解】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x =【答案】D 【解析】 【分析】根据指对函数的性质判断A 、B ，由正弦函数性质判断C ，对于D 有22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，即可判断奇偶性和()0,+∞单调性. 【详解】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足.故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()()222nf x n n x n Z =+-∈在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（ ） A ．1或3- B ．1 C ．1- D ．3-【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求得n 的值. 【详解】依题意()f x 是幂函数，所以22221230n n n n +-=⇒+-=，解得1n =或3n =-. 当1n =时，()f x x =在()0,∞+递增，不符合题意.当3n =-时，()3f x x -=在()0,∞+递减，符合题意.故选：D4．（2022·全国·高三专题练习（理））设11,,1,2,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R ，且该函数为奇函数的α值为（ ） A ．1或3 B ．1-或1C ．1-或3D ．1-、1或3【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的相关性质依次验证得解. 【详解】因为定义域为R ，所以0α>，12α≠， 又函数为奇函数，所以2α≠，则满足条件的1α=或3. 故选:A5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，则()f x x α= 的值域是（ ） A ．(),0-∞ B ．()(),00,-∞⋃+∞ C ．()0,∞+ D ．[)0,+∞【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数()f x x α=的图像过点(8,4)，84α∴=，解得23α=，23(0)f x x ∴==，∴()f x 的值域是[)0,+∞.故选：D.6．（2022·北京·高三专题练习）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得， 由得，所以，所以，由得， 所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．7．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()mn f x x = (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图像如图所示，则（ ）A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解 【详解】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）已知3,0()3,0x xx f x e x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．72(,)2e e-- B ．72](,2e e--C ．72(,)(,)2e e -∞--+∞D ．72(,(,2])e e-∞--+∞【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究分段函数()f x 的性质，作出函数图形，数形结合得到124010t t e -<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果. 【详解】 因为0x ≥时，()xx f x e =，则1()x xf x e-'=，令()0f x '=，则1x =，所以()0,1x ∈时，()0f x '>，则()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，1(1)f e=，x →+∞时，()0f x →；0x <时，3()3f x x x =-，则2()33f x x =-'，令()0f x '=，则1x =-，所以()1,0x ∈-时，()0f x '>，则()f x 单调递增；(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，则()f x 单调递减；且(0)0f =，(1)4f -=-，x →-∞时，()f x →+∞； 作出()f x 在R 上的图象，如图：关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，令()f x t =，则2210t kt --=有两个不同的实根12121,02t t t t =-<，，所以124010t t e-<<⎧⎪⎨<<⎪⎩，令()221g t t kt =--，则()()280400010k g g g e ⎧∆=+>⎪->⎪⎪<⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得722k e e -<<-，故选：A. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】BC 【解析】 【分析】画出函数244y x x =--的图象，结合值域可得实数a 的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确. 故选： BC.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()3232x x f x =-⋅+，定义域为M ，值域为[1,2]，则下列说法中一定正确的是（ ） A ．[]30,log 2M = B ．(]3,log 2M ⊆-∞ C ．3log 2M ∈ D ．0M ∈【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令3x t =，则()222g t t t =-+，结合()g t 的值域为[1,2]，求出t 的取值范围，进而区间M 的特征，即可得到正确选项. 【详解】令3x t =(0)t >，则222()323222(1)1()x x f x t t t g t =-⋅+=-+=-+=， 由()1g t =，得1t =，即31x =，得0x =； 由()2g t =，得0=t （舍）或2，即3log 2x =；根据()g t 的图象特征，知0M ∈，3log 2M ∈，(]3log 2M ⊆-∞，. 故选：BCD ．11．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3f x x x =+，实数,m n 满足不等式()()2320f m n f n -+->，则（ ） A ．e e m n > B ．11n n m m +>+ C ．()ln 0m n -> D ．20212021m n <【答案】AC 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性及单调性结合不等式()()2320f m n f n -+->可得,m n 所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断. 【详解】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 为奇函数，因为()2310f x x '=+>，所以()f x R 上单调递增， 由()()2320f m n f n -+->， 得()()()2322f m n f n f n ->--=-， 所以232m n n ->-， 即1m n ->，m n >，因为x y e =在R 上是增函数，所以m n e e >，故A 正确；因为ln y x =在()0,∞+上是增函数，所以ln()0m n ->，故C 正确； 因为2021y x =在R 上是增函数，所以20212021m n >，故D 错误； 令2,0m n ==，可验证B 错误. 故选：AC12．（2022·全国·高三专题练习）设点(),x y 满足()55340x y x x y ++++=．则点(),x y （ ） A ．只有有限个 B ．有无限多个C ．位于同一条直线上D ．位于同一条抛物线上【答案】BC 【解析】 【分析】由已知得()()()()5533x y x y x x +++=-+-，根据5y x x =+的单调性有3x y x +=-，即可知(),x y 的性质.【详解】由题意，可得()()()()5533x y x y x x +++=-+-， 又5y x x =+单调递增，得3x y x +=-，则40x y +=， 故满足条件的点(),x y 有无穷多个，且都在直线40x y +=上． 故选：BC 三、填空题13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______． ①()()f x f x -=；②当()0,x ∞∈+时，()0f x >； ③()()()1212f x x f x f x =⋅；【答案】2x （答案不唯一）； 【解析】 【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式. 【详解】由所给性质：()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上恒正的偶函数，且()()()1212f x x f x f x =⋅，结合偶数次幂函数的性质，如：2()f x x =满足条件. 故答案为：2x （答案不唯一）14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据幂函数()f x x α=，当α为奇数时，函数为奇函数，0α<时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.【详解】解：∵幂函数f (x )＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3， 又f (x )＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1. 故答案为：-1.15．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知函数21()2f x x ax =++，()lng x x =-，用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，若()h x 恰有3个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛- ⎝【解析】 【分析】分析函数21()2f x x ax =++的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.【详解】函数21()2f x x ax =++恒过点1(0,)2，且其图象开口向上，()ln g x x =-的零点为1，当21()2f x x ax =++的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>的零点至多有两个，不符合题意，故要使()h x 恰有3个零点，则函数()f x 在区间(0,1)上存在两个零点，如图示，故20121(1)1021Δ402a f a a ⎧<-<⎪⎪⎪=++>⎨⎪⎪=-⨯>⎪⎩解得32a -<<故答案为：3,2⎛- ⎝16．（2022·全国·高三专题练习）93,42M ⎛⎫⎪⎝⎭是幂函数()a f x x 图象上的点，将()f x 的图象向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(,)n T n m （*n ∈N ，且2n ）在()g x 的图象上，则239MT MT MT +++=______. 【答案】30 【解析】 【分析】先求出函数()y g x =的解析式，得到23()2m n -=，从而得到()724n MT n n =-≥，对239MT MT MT +++利用分组求和法求和即可. 【详解】由39()24α=，得12α=，()12f x x =，123()2g x x =+.因为点(,)n m 在函数()g x 上，所以1232m n -=，即23()2m n -=.所以n MT ==7(2)4n n =-≥， 所以239777(2)(3)(9)444MT MT MT +++=-+-+⋯+-7(239)84=+++-⨯811142⨯=- 30=.故答案为：30. 四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）解不等式3381050(1)1x x x x +-->++． 【答案】()()211-∞--，，． 【解析】 【分析】不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，将21x +视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数()35f x x x =+，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令()35f x x x =+，易知()f x 在R 上单调递增．原不等式变形为33225511x x x x ⎛⎫+⋅>+ ⎪++⎝⎭，即()21f f x x ⎛⎫> ⎪+⎝⎭． 由()f x 在R 上单调递增得21x x >+，解得2x <-或11x -<<． 所以原不等式的解集为()()211-∞--，，． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()()2144m f x m m x+=+-在区间0,上单调递增.（1）求()f x 的解析式；（2）用定义法证明函数()()()43m g x f x x+=+在区间()0,2上单调递减. 【答案】（1）()2f x x =；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由幂函数的系数为1得2441+-=m m ，再根据函数为0,增函数得1m =；（2）由（1）得()216g x x x=+，再根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）解：由题可知：2441+-=m m ，解得1m =或5m =-. 若1m =，则()2f x x =在区间0,上单调递增，符合条件；若5m =-，则()4f x x -=在区间0,上单调递减，不符合条件.故()2f x x =.（2）证明：由（1）可知，()216g x x x=+. 任取1x ，()20,2x ∈，且12x x <，则()()()()22121212121212161616g x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤-=+--=-+-⎢⎥⎣⎦. 因为1202x x <<<， 所以120x x -<，124x x +<，12164x x >， 所以()()121212160x x x x x x ⎡⎤-+->⎢⎥⎣⎦， 即()()12gx g x >，故()g x 在区间()0,2上单调递减.【点睛】。

2021高考一轮复习第七讲二次函数与幂函数一、单选题(共14题；共28分)1．（2分）已知幂函数f(x)=x n的图象过点(8,1)，且f(a+1)<f(3)，则a的取值范围是4（）A．(−4,2)B．(−∞,−4)∪(2,+∞)C．(−∞,−4)D．(2,+∞)2．（2分）已知函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m=（）A．0或4B．0或2C．0D．23．（2分）设a=(1)0.5，b=(13)0.5，c=log0.30.2，则a、b、c的大小关系是()2A．a>b>c B．a<b<c C．b<a<c D．a<c<b4．（2分）二次函数f(x)=−x2+2tx在[1 , +∞)上最大值为3，则实数t＝（）A．±√3B．√3C．2D．2或√35．（2分）已知二次函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，若f(x)在区间[3,+∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,0]B．[0,6]C．[6,+∞)D．(−∞,0]∪[6,+∞)6．（2分）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．7．（2分）若二次函数f(x)=ax2−x+4对任意的x1,x2∈(−1,+∞)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，则实数a的取值范围为（）A．[−1,0)B．[−12,+∞)C．(−12,0)D．(−12,+∞)28．（2分）如果二次函数y＝x2+mx+（m+3）有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A．｛-2,6｝B．（-2,6）C．[-2,6]D．(-∞，-2)∪(6，+∞)9．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）二次函数f(x)的二次项系数为正数，且对任意项x∈R都有f(x)=f(4−x)成立，若f(1−2x2)<f(1+2x−x2)，则x的取值范围是（）A．B．或C．0D．或11．（2分）二次函数f(x)=x2−4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[−2，6]B．[−3，+∞)C．[−3，6]D．[−3，−2] 12．（2分）二次函数y=ax2+bx+c和y=cx2+bx+a( ac≠0, a≠c)的值域分别为M 和N,命题p:MÜ N,命题q:M∩N≠∅,则下列命题中真命题的是（）A．p∧q B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q)D．(¬p)∧q13．（2分）二次函数f（x）满足f（x＋2）＝f（-x＋2），且f（0）＝3，f（2）＝1，若在[0，m]上f （x）的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是（）A．（0，＋∞）B．[2，＋∞）C．（0，2]D．[2，4]14．（2分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数f′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题(共3题；共3分)15．（1分）幂函数f(x)的图像经过点P(4,2)，则f(9)=.16．（1分）已知集合A={−2,−1,−12,13,12,1,2,3}，任取k∈A，则幂函数f(x)=x k为偶函数的概率为（结果用数值表示）17．（1分）幂函数y=(m2−m−1)x−5m−3在x∈(0,+∞)时为减函数，则m=。