二次函数基础知识过关训练123456

二次函数基础题训练1. 已知二次函数的顶点为（2，5），过点（1，4）. 求该二次函数的表达式。

设二次函数的表达式为 y = ax^2 + bx + c由顶点公式可知：x = -b / (2a) = 2 推出 -b = 4a (1)代入过点（1，4）可得：4 = a + b + c (2)将（1）代入（2），解方程组：4 = a + 4a + c8 = 5a + c因为 c = 5 - 4a带入之后, 8 = 5a + 5 - 4a8 = a + 5a = 3代入公式（1），可得 -b = 4a-b = 4 * 3-b = 12b = -12由 b = -12，a = 3，c = 5 - 4a 可知，该二次函数的表达式为 y = 3x^2 - 12x + 5.2. 已知二次函数经过点(1,3)和(2,6)，求该二次函数的表达式。

设二次函数的表达式为 y = ax^2 + bx + c代入过点(1,3)和(2,6)，得到以下两个方程：3 = a(1)^2 + b(1) + c6 = a(2)^2 + b(2) + c化简得：a + b + c = 3 (1)4a + 2b + c = 6 (2)将方程（1）代入方程（2），解方程组：4a + 2b + (a + b + c) = 65a + 3b + c = 6 (3)由方程（1）可得 c = 3 - a - b带入方程（3），解方程组：5a + 3b + (3 - a - b) = 64a + 2b = 3 (4)由方程（4），可得 4a + 2b = 3代入 a + b = 3 得 4(3 - b) + 2b = 312 - 4b + 2b = 3-2b = -9b = 4.5带入 a + b = 3 得出 a + 4.5 = 3a = -1.5代入 c = 3 - a - b 得 c = 3 - (-1.5) - 4.5 = -1.5所以，该二次函数的表达式为 y = -1.5x^2 + 4.5x - 1.5.3. 某物体从100米高的地方自由落下，已知该物体在t秒时的高度为 h = -5t^2 + 100，求该物体落地时的时间和速度。

二次函数 知识经典练习一、知识点之二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、知识点之二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、知识点之二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、知识点之二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、知识点之二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、知识点之二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、知识点之二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、知识点之二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、知识点之二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、知识点之二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、知识点之函数的应用二次函数应用2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数重点练习题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

专题2.2 二次函数（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.2 二次函数（基础篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝3x 2﹣6C ．21y x x =+D ．y ＝﹣2x 3＋x ﹣12．下列是二次函数的是（ ）A ．21y x x =+B ．213y x =+C ．1y x =+D ．221x -3．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝6x 2+1B ．y ＝6x +1C ．y ＝8xD ．y ＝﹣28x +1 4．以x 为自变量的函数：①(2)(2)y x x =+-；①2(2)y x =+；①2123y x x =+-；①()21y x x x =--．是二次函数的有（ ）A ．①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①① 知识点二、根据二次函数定义求参数5．若函数()2my m x =+是二次函数，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．-2或2C ．-2D ．0或2 6．若函数()2211mm y m x --=+是关于x 的二次函数，则m 的值是（ ）A ．2B ．1-或3C ．3D ．1-7．若()2234y a x x =--+是二次函数，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≠B ．0a >C ．2a >D ．0a ≠ 8．若函数()27321m y m x x -=--+是二次函数，则m 的值为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．9 知识点三、列二次函数解析式9．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加()0x x >厘米，则面积随之增加y 平方厘米，那么y 与x 之间满足的函数关系是（ ）10．下列问题中的两个变量成反比例关系的是（ ）A ．汽车以80千米/时的速度行驶s 千米，用时t 时B ．正方形的周长C 与它的面积SC ．有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q （立方米）与灌满水池所需要的时间t （小时）D ．圆的面积S 与它的半径r11．在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．216y x ππ=-+B ．24y x π=-C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+12．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．y=36（1﹣x ）B ．y=36（1+x ）C ．y=18(1﹣x)2D ．y=18（1+x 2）二、填空题知识点一、二次函数的判断13．像y ＝－5x ²＋100x ＋60000，26y x =，220S x x =-+，函数都是用自变量的_____次式表示的．一般地，若两个自变量x ，y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++ （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的形式，则称y 是x 的______函数．其中，x 是______，a 为_______，2ax 叫做________；b 为_______，bx 叫做________；c 为_______．14．观察：①26y x =；①235y x =-+；①2200400200y x x =++；①22y x x =-；①21132y x x =-+；①()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有___________________．（只填序号）15．关于x 的二次函数()()211y m x m x m =++-+，当0m =时，它是______函数；当1m =-时，它是______函数.16．给出下列函数：①y ①()21y x x x =-+；①21y x x=+；①()1y x x =-.其中是二次函数的有______，若把它写成2y ax bx c =++的形式，则=a ______，b =______，c =______.知识点二、根据二次函数定义求参数27m -18．已知y ＝()22m m m x --+3是x 的二次函数，则m ＝_____． 19．二次函数()22339y m x x m =+++-的图象经过原点，则m =__________．20．已知二次函数()2211y a x x a =-++-的图像经过原点，则a 的值是_______．知识点三、列二次函数解析式21．将长为20cm 的铁丝首尾相连围成扇形（忽略铁丝的粗细），扇形面积为()2cm y 、扇形半径为()cm x 且010x <<，则y 与x 之间的函数关系式为__________．22．已知()21f x x =+，则()1f -=___________23．在实数范围内定义一种运算“①”，其运算法则为a ①b =22a ab -，根据这个法则，若(3)y x =+①2，则y =________（写成一般式）．24．在一幅长60cm,宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm 2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y 关于x 的函数是 ___________．三、解答题25．如果函数y =（m ﹣3）232mm x -++mx +1是二次函数，求m 的值． 26．已知()()24236--=++--m m y m x m x 是y 关于x 的二次函数，试确定m 的值．27．当m 为何值时，函数()221181m m y m x x --=++-是二次函数．28．如图2所示，有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式．29．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+．（1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？30．如图，在△ABC中，①ACB=90°，①A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作①DPE=60°，PE交BC边与点E.（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；（2）当PD=PE时，求AP的长；（3）设AP 的长为x，四边形CDPE的面积为y，请直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围.参考答案：1．B【分析】根据二次函数的定义：形如()20y ax bx c a =++≠的函数，判断即可．【详解】解：A 、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；B 、该函数二次函数，故本选项符合题意；C 、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、该函数不是二次函数，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．2．B【分析】根据二次函数的定义，形如2(0y ax bx c a =++≠，其中,,a b c 是常数)的函数是二次函数，据此分析即可．【详解】A. 21y x x=+，不是二次函数，故该选项不符合题意； B.213y x =+，是二次函数，故该选项符合题意；C.1y x =+，是一次函数，故该选项不符合题意；D.221x -，不是函数，故该选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义求解．【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的基础知识，熟练掌握二次函数的意义是解题关键．4．C【分析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：①2(2)(2)=4y x x x =+--，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ①2(2)y x =+，符合二次函数的定义，故①是二次函数；①2123y x x =+-，符合二次函数的定义，故①是二次函数；①()2221=y x x x x x x x =----=-，不符合二次函数的定义，故①不是二次函数．所以，是二次函数的有①①①，故选：C ．【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．5．A【分析】根据二次函数的定义得出20m +≠且2m =，继而即可求解．【详解】①函数()2my m x =+是二次函数， ①20m +≠且2m =，①2m =故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是根据二次函数的定义得出：20m +≠且2m =．6．C【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．【详解】①函数()2211m m y m x --=+是关于x 的二次函数，①2212m m --=，且10m +≠，由2212m m --=得，3m =或1m =-，由10m +≠得，1m ≠-，①m 的值是3，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．7．A【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a 的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：由题意得： a -2 ≠0，则a ≠2．故选择：A ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键．8．C【分析】根据二次函数的定义即可得．【详解】由题意得：272320m m ⎧-=⎨-≠⎩， 解得3m =±，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记定义是解题关键．9．D【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式，即可解题．【详解】解：由题意得，222(2)24y x x x =+-=+y ∴与x 之间满足的函数关系是二次函数，故选：D ．【点睛】本题考查列二次函数的表达式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】根据题意逐一写出两个变量之间的函数关系，逐一分析即可得到答案．【详解】解：A 、汽车以80千米/时的速度行驶s 千米，用时t 时，则80s t =，s 是t 的正比例函数，故本选项错误；B 、正方形的面积22,416C C S ⎛⎫== ⎪⎝⎭S 是C 的二次函数，故本选项错误； C 、有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q （立方米）与灌满水池所需要的时间t （小时）的函数关系为：100q t =，所以q 是t 的反比例函数，故本选项正确； D 、圆的面积S 与它的半径r 的函数关系为：2,S r π= 所以S 是r 的二次函数，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，同时考查正比例函数，反比例函数，二次函数的含义，掌握反比例函数的含义是解题的关键．11．A【分析】先求出原来的圆的面积，再用x 表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积．【详解】解：圆的面积公式是2S r π=，原来的圆的面积=2416ππ⋅=，挖去的圆的面积=2x π，①圆环面积216y x ππ=-．故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的列式，解题的关键是根据题意用x 表示各个量，然后列出函数关系式．12．C【分析】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x ），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x ）×（1-x ）=18（1-x ）2，则函数解析式即可求得．【详解】解：原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x ）；第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价：18×（1-x ）×（1-x ）=18（1-x ）2， 则函数解析式是：y=18（1-x ）2，故选C ．【点睛】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．13． 二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项【解析】略14．①①①①【分析】根据二次函数的定义可得答案．【详解】解：这六个式子中，二次函数有：①y=6x 2；①y=-3x 2+5；①y=200x 2+400x+200；①22y x x =-．故答案为：①①①①．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．15． 二次 一次【分析】将0m =和1m =-代入到()()211y m x m x m =++-+中即可.当0m =时，2y x x ，是二次函数；当1m =-时，21y x =--，是一次函数.【详解】当0m =时，2yx x ，是二次函数；当1m =-时，21y x =--，是一次函数.故答案为二次 一次 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的定义，掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键.16． ① 1- 1 0【分析】根据二次函数的概念：2(0)y ax bx c a =++≠逐一进行判断即可.①①①都不满足二次函数的形式，①是二次函数【详解】①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；①()21y x x x x =-+=-，是一次函数，也不满足要求；①不满足二次函数的形式，所以不是二次函数；①()21y x x x x =-=-+是二次函数所以二次函数只有①其中1,1,0a b c =-==故答案为 ① 1- 1 0【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键.17．3-【分析】根据二次函数的定义得出30m -≠且272m -=，求出即可． 【详解】解：函数27(3)m y m x -=-是二次函数， 30m ∴-≠且272m -=，解得：3m =-．故答案为：3-．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是能熟记二次函数的定义即：表示形式为2(0)y ax bx c a =++≠．18．-1【分析】根据二次函数定义可得m 2﹣m ＝2，且m ﹣2≠0，再解出m 的值即可．【详解】解：由题意得：m 2﹣m ＝2，且m ﹣2≠0，解得：m ＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ═ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式．19．3【分析】根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，求出m 的值，还需要考虑二次项系数不能为零．【详解】解：根据二次函数图象过原点，把()0,0代入解析式，得209m =-，整理得29m =，解得3m =±，①30m +≠，①3m ≠-，①3m =．故答案为：3．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件．20．1-【分析】根据二次函数图象经过原点、并结合二次项系数不为零进行解答即可．【详解】解：①二次函数()2211y a x x a =-++-的图像经过原点()0,0①21010a a -≠⎧⎨-=⎩①1a =-．故答案是：1-【点睛】本题考查了根据二次函数的定义求参数、解一元一次不等式、解一元二次方程等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21．210y x x =-+【分析】根据扇形的面积公式即可得． 【详解】扇形的面积公式：12S lr =扇，其中l 为扇形的弧长，r 为扇形半径， 由题意得：扇形的弧长为()202cm x -，则()12022y x x =-， 即210y x x =-+，故答案为：210y x x =-+．【点睛】本题考查了扇形的面积公式、列二次函数关系式，熟记公式是解题关键． 22．2．【分析】求()1f -的值，即是求当=1x -时，21x +的值，从而进行计算即可得到答案．【详解】解：①()21f x x =+①()()21112f -=-+=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的x 值代入函数解析数进行运算求解．23．223y x x =+-【分析】先根据新定义列出关系式，然后改写成一般式即可．【详解】解：由题意可得：2(3)22(3)y x x =+-⨯+整理，得：226941223y x x x x x =++--=+-故答案为：223y x x =+-【点睛】本题考查新定义问题，正确理解题意列出关系式并准确计算是解题关键．24．y =(60+2x )(40+2x )【详解】试题分析：整个挂图仍是矩形，长是：60＋2x ，宽是：40＋2x ，由矩形的面积公式得y ＝(60＋2x )(40＋2x )．故答案为y ＝(60＋2x )(40＋2x )．点睛：本题考查了根据实际题意列函数解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．25．0【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数是二次函数，即可答题．【详解】解：根据二次函数的定义：m 2﹣3m +2=2，且m ﹣3≠0，解得：m =0．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．26．3m =【分析】根据二次函数的定义：最高次数是2，二次项系数不能是0，求出m 的值．【详解】解：根据题意得242m m ，260m m --=，解得12m =-，23m =， ①20m +≠，即2m ≠-，①3m =．【点睛】本题考查二次函数的定义，解题的关键是二次函数的定义．27．m=3【分析】根据二次函数的定义即可求出结论．【详解】解：①函数()221181mm y m x x --=++-是二次函数①210212m m m +≠⎧⎨--=⎩ 解得：m=3即当m=3时，函数()221181m m y m x x --=++-是二次函数．【点睛】此题考查的是根据二次函数的定义，求参数，掌握二次函数的定义是解题关键．28．S ＝- x 2＋30x （0＜x ＜30）【分析】由铁丝的长是60cm ，一边长xcm ，可知另一边长是（30-x ）cm ，然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)之间的函数关系式．【详解】①铁丝的长是60cm ，一边长x cm ，①另一边长是（30-x ）cm ，①S =x （30-x ）＝- x 2＋30x （0＜x ＜30）.【点睛】本题考查了列二次函数解析式，解决本题的关键得到所求矩形的等量关系，易错点是得到另一边的长度；注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑．29．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．【详解】（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．①要抢占市场份额①8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．①要继续保持扩大销售量的战略①10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【点睛】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．30．（1）54；（2）125；（3）2(03)y x x =<< 【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AP 的长，从而求出BP 的长，然后求出BE 的长；（2）设AP= x ，则BP=4—x ，根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD 和PE 的长，再根据PD=PE 列出方程即可.（3）分别用AP 表示PD 、PE 、BE,再根据ABC APD BPE y S S S ∆∆∆=--即可求出.【详解】（1）在△ABC 中，①ACB=90°，①A=30°，AB=4，12,2BC AB AC ∴==∴= ①点D 为AC 边的中点3522AD DP AP BP AB AP ∴====∴=-=, ①①DPE=60°，过点P 作AB 的垂线交AC 边与点D ，①①EPB=30°，①EB 15=24BP = （2）设AP= x ，则BP=4—x ，在两个含有30°的,Rt APD Rt BPE ∆∆中得出：AD=2DP ，BP=2BE，由勾股定理解得：),4PD PE x ==-， ①PD=PE ，)4x x =-解得125x = 即有AP= 125 （3）由（2）知：AP= x，)()1,4,42PD x PE x BE x ==-=-)()211112?4?42222(03)ABC APD BPE y S S S x x x x x ∆∆∆∴=--=⨯⨯---=<< 【点睛】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理，以及二次函数，熟练掌握相关知识是解题的关键.。

一、选择题(本大题共10小题,每小3分,共30分) 1、二次函数的一般形式为( )A 、y=ax 2+bx+c;B 、y=ax 2+bx+c(a≠0) C.、y=ax 2+bx+c(b 2－4ac≥0); D 、y=ax 2+bx+c(b 2－4ac=0) 2、函数y=x 2－2x+3的图象顶点坐标是( )A 、(1,－4)B 、(－1,2)C 、(1,2)D 、(0,3) 3、抛物线的形状、开口方向与y=12x 2－4x+3相同,顶点在(－2,1),则关系式为( )A 、 y=12(x －2)2+1 B 、 y=12(x+2)2－1; C.、y=12(x+2)2+1 D 、y=－12(x+2)2+14、抛物线y=14x 2+x －4的对称轴是( )A 、x=－2B 、x=2C 、x=－4D 、x=4 5、函数y=x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是( )A 、(2,0)B 、(－2,0)C 、(0,4)D 、(0,－4)6、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,则下列关于a,b,c 间关系判断正确的是( )A 、ab<0B 、bc<0C 、a+b+c>0D 、a+b+c<0xy-16题图7题图7、如图,四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax 2;②y=bx 2;③y=cx 2;④y=dx 2,则a,b,c,d 的大小关系是( )A 、a>b>c>dB 、a>b>d>cC 、b>a>c>dD 、b>a>d>c8、二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c 在同一坐标系内的图象可能是图所示的( )9、小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x 2－4x+5的值情况，他们作了分工：小明负责找值为1时，x 的值，xAO y xBO yxCO y xO y小亮负责找值为0的x 的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值，几分钟后，各自通报探究结论，其中错误的是( )A 、小明认为只有当x=2是时，x 2－4x+5的值为1B 、小亮认为找不到实数x ，使x 2－4x+5的值为0C 、小梅发现x 2－4x+5的值随着x 的变化而变化；D 、小花发现当x 取大于2的实数时，x 2－4x+5的值随着x 的增大而增大，因此没有最大值.10、如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象经过点(－1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，其中－2<x 1<－1，0<x 2<1,下列结论：①4a －2b+c<0;②2a －b<0;③a<0;④b 2+8b>4ac,其中正确的有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 二、填空题:(每题3分,共30分)11、若抛物线y=x 2+(m －1)x+(m+3)顶点在y 轴上,则m=_______. 12、把抛物线y=12x 2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.13、抛物线y=ax 2+12x －19顶点横坐标是3,则a=____________.14、抛物线y=x 2－4x+3的顶点及它与x 轴的交点三点连线所围成的三角形面积是_____. 15、二次函数y=x 2+2x －4的图象的开口方向是_____,对称轴是_________,顶点坐标是____. 16、二次函数y=x 2－2x+m 的最小值为5时,m=___________.17、抛物线y=x 2+bx+c,经过A(－1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为_____________. 18、已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数图象的关系式是________. 19、已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax 2+bx+c 上的两点, 则这条抛物线的对称轴是______. 20、开口向下的抛物线y=(m 2－2)x 2+2mx+1的对称轴经过点(－1,3),则m=_________. 三、解答题:(共40分)21、(6分)已知二次函数的图象的对称轴为x=2,函数的最小值为3,且图象经过点(－ 1,5),求此二次函数图象的关系式. 22、(6分)抛物线的对称轴是x=1,交x 轴于A(－1,0),B(3,0),交y 轴于C(0,32).(1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上在x 轴上方的一个动点,求△PAB 面积最大值. 23、(6分)已知函数y=213322x x -+.(1)写出自变量x 的取值范围; (2)写出函数图象最高点或最低点的纵坐标; (3)函数图象与x 轴交点的坐标;(4)x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 24、(10分) 如图所示,已知二次函数y=ax 2－4x+c 的图象经过点A 和点B. (1)求二次函数的表达式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;(3)点P( m,m)与点Q 均在该函数图象上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴,求m 的值及点Q 到x 的距离.25、（12分) 某公司推出了一种高效环保洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象，如图所示，刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前6个月的利润总和S 与t 之间的函数关系).根据图象提供的信息，解答下列问题：(1) 由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； (2) 求截止到几月末公司累计利润就达到了30(万元)？ (3) 求第8个月公司所获利润是多少万元？041-1.5-222.56t s参考答案一、1.B;2.C;3.C;4.B;5.C;6.D;7.A;8.D;9.B ；10.c.二、11.1; 12.y=21(3)22x +-;13.－2;14.1;15.向上；x=－1, (－1，－5)；16.6；17、y=x 2－2x －3; 18、y=x 2－3x+2; 19、x=3,20.－1.三、21.解：根据题意设y=a(x－2)2+3.将点(－1.5)代入得，a=2 9 ,所求解析式为：y=29x2－89x+35922.解(1)设所求解析式y=a(x+1)(x－3),将点(0，32)代入得，a=－12y=12(x+1)(x－3)(2) 423.(1)x为全体实数；(2) (3，－3) (3) (30)，0)；(4) x<324. 解(1)将 x=－1,y=－1;x=3,y=－9分别代入，解得a=1,c=－6,所以二次函数解析式为y=x2－4x－6.(2)对称轴为x=2,顶点坐标(2，－10)，(3)将(m,m)代入y=x2－4x－6.，得，m1=－1(舍去)，m2=6,∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴距离为6.25.(1)设s=at2+bt,将点(2，－2)，(5，2.5)分别代入s=at2+bt.解得，a=12,b=－2.∴y=12t2－2t(2)S=30时，代入y=12t2－2t，得t1=10.t2=－6(舍去)即截止到10月末公司累积利润可达到30万元.(3)t=7时，S=10.5.t=8 时，S=16.即第8个月公司获利为5.5万元.。

二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t写出用t 表示s 的函数关系式：2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x =+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 6、已知函数24m m y mx--=的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x时, y tt tt随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b = 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ） A ()1,1-- B ()1,1- C ()1,1 D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

二次函数训练题一、 填空1、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ．(1)y=-x 2中 a= ,b= ,c= ; (2)y=2x 2+3x a= ,b= ,c= ; (3)y=(4x-1)2 a= ,b= ,c= ; 2 、 已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点． 3、函数y=x 2+2x+3的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .4、函数y=2(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .5、.函数y=-(x+5)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y 随x 的增大而减小，当 时，函数y 有最 值，是 .6、函数y=x 2-3x-9的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 .7、函数y =–3(x-1)2+1是由y =–3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位得到的.8已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .9、 已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17，则a= .10．如图1，直角坐标系中一条抛物线经过网格点A 、B 、C ，其中，B点坐标为)4,4(，则该抛物线的关系式__________．11. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).12. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的对称轴为直线X= 1 ，则m= ．13、已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .14、抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象经过第 象限.15、抛物线y=(1-k)x 2-2x-1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 .16．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数的最大值为4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数关系式____．17．请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 ．18．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________．19．抛物线y ＝ ( x – 1)2 – 7的对称轴是直线 ．．20．二次函数y ＝2x 2－x －3的开口方向_____，对称轴_______，顶点坐标________．21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是_______．22．用配方法把二次函数y ＝2x 2＋2x －5化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式为___________．23．抛物线y ＝(m －4)x 2－2mx －m －6的顶点在x 轴上，则m ＝______．24．若函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y ＝－2x 2－2x ＋3相同，则此函数关系式______．二、选择题1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( )A.x=3B.x=-2C.x=-0.5D.x=0.53. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +6 4 把二次函数B.y= - (x-2 )2 +6的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A . y= - (x-4 )2 +9 B. y= - x 2 +9 C y= - (x-5)2 +8. D y= - x 2 +8 5 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个6. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ）A.y= (x+2 )2 -2B.y= (x-2 )2 -2C. y = 2(x+2 )2 -2D. y= 2(x-2 )2 -2 7. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或28、二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x 上B. 直线y=x 上C.y 轴上D.x 轴上9、抛物线y=x 2+x+2上三点（-2，a ）、(--1，b)，（3，c ），则a 、 b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＞b ＞cB 、b ＞a ＞cC 、c ＞a ＞bD 无法比较大小10、已知二次函数y=x 2-4x-5，若y>0, 则（ ）A . x>5 B.-l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜-1 D. x>1或x<-511．抛物线y ＝－2(x －1)2－3与y 轴的交点纵坐标为( )(A)－3 (B)－4 (C)－5 (Ｄ)－112．将抛物线y ＝3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )(A)y ＝3(x ＋2)2＋4 (B) y ＝3(x －2)2＋4 (C) y ＝3(x －2)2－4 (D)y ＝3(x ＋2)2－413．抛物线y ＝21x 2，y ＝－3x 2，y ＝x 2的图象开口最大的是( ) (A) y ＝21x 2 (B)y ＝－3x 2 (C)y ＝x 2 (D)无法确定 14．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于( )(A)4 (B)8 (C)－4 (D)1615．抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋3的顶点坐标是( )(A)(－1，－5) (B)(1，－5) (C)(－1，－4) (D) (－2，－7)16．过点(1，0)，B(3，0)，C(－1，2)三点的抛物线的顶点坐标是( )(A)(1，2) B(1，32) (C) (－1，5) (D)(2，41-) 17． 若二次函数＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )(A)a ＋c (B)a －c (C)－c (D)c18． 在一定条件下，若物体运动的路程s (米)与时间t (秒)的关系式为252s t t =+，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为( )(A)2秒 (B) 4秒 (C)6秒 (D) 8秒19．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE ＝BF＝CG ＝DH ， 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是( )(A) (B) (C) (D)20．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图角如图3，则下列结论：①abc ＞0；②a＋b ＋c ＝2；③a ＞21；④b ＜1．其中正确的结论是( ) (A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④三、解答1已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为（-1 , 2 ) 且图象过点（ l ，-3 ) .(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出它的开口方向、对称轴；2 已知抛物线经过点（2，0）（-1，-1）并以直线X=1为对称轴。

二次函数专题训练（含答案）一、 填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a -时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 .10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=xy 的图象的顶点坐标是（1，-2）. 12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 .二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21C.（-1，5）D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当 a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax y bx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数2ax y =与xa y =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ）A.a >0，Δ>0B.a >0,Δ<0C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-16 34.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b.（1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由.38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHED AH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C.（1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值；（2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；（3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标.（2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.（3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1） 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值， 二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.（2） 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°.（1） 求点C 的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ）件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.2.∵43432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时m m m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1） 当AC=BC 时， 94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2） 当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y . （3） 当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-m m ， ∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m0)1(122222+=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点.令y=0，得062)5(222=+++-m x m x0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====，∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ②解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1.注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1；△ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0.同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1；8.四，增大； 9.向上，向下，a b x a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10. 二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.C 29.A 30.D三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ²122+-=b x .∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1²x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a .解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ，01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b .∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ a cx x a bx x =⋅-=+2121,.又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a ca b .① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b.③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2）当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y .33.解：（1）在直线y=k(x-4)中， 令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°. ∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ²OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1³4=4. ∴ OB=2（OB=-2舍去） ∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0， 2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y .解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5， ∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ²OB=OC 2.∴ x 1²x 2=c 2. 又由方程032=+-c x ax 知ac x x =⋅21， ∴acc =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ， ∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β， ∵P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切. 35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5³4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ） =74（米）. 答：cc ＇的长为74米.（2）∵4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3）在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y .∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0. ∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0 ∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0， 解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0， ∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2）， ∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+=.111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8， ∴1821⨯=⨯⨯y AB .即8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y . 当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x . ∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+. 38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ²AB=2³（2+6）=16. ∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHEDAH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB. 又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB =90°-∠HDB =∠DBH. 在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ， ∴ △DFB ∽△DHB. ∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH. ∴ED ∥FH ，∴FHEDAH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ， ∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF. 又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH. 以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH. ∴FHEDAH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y .∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPBOD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ， 由ED 2=EF ²EB 得12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）.39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ，化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ²OC=BC ²AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB.图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21.1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45.40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛524,0.∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO. ∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴ OBOCAB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===.∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有0329413422=-+⎪⎭⎫⎝⎛--m m x m x .⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422.013891613891622>=+-+-=mm m m ∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3）， ∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CP MP=+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛53,56.42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ²OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1²x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y.图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x . ∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ D CA D PB ABPC S S S ∆∆-=四边形 ).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。

01、二次函数的基本知识训练(一)、二次函数的基本性质：第一：知识：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线1、二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的性质：①、二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的形状：(i)、开口方向：a<0⇔抛物线的开口向下；a>0⇔抛物线的开口向上(ii)、开口的大小：｜a｜越大⇔抛物线的开口越小结论：二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的形状是由二次项的系数a唯一确定，与一次项的系数b 和常数项c无关。

因此有：(i)、抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)与抛物线y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0)的形状(抛物线的开口方向和开口的大小都相同)⇔a1＝a2；(ii)、抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)与抛物线y＝a2x2+b2x+c2(a2≠0)的抛物线的开口方向相反但开口的大小都相同⇔a1＝－a2②、抛物线的顶点的坐标为③、抛物线的对称轴为④、抛物线的最值：(i)、若a<0，当x＝时，y有最值为；(ii)、若a>0，当x＝时，y有最值为⑤、抛物线的增减性：(i)、若a<0，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；(ii)、若a>0，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大2、抛物线y＝a(x+m)2+n的顶点坐标为；对称轴为；若a<0，当x＝时，y有最值为；且当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大；若a>0，当x＝时，y有最值为；且当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大3、抛物线y＝ax2+c(a≠0)的顶点坐标为；对称轴为；抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点坐标为；对称轴为备注：①、当抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)中的一次项的系数b＝0时，抛物线的“一般式”与“顶点式”相同。

如：抛物线y＝ax2+c(a≠0)和抛物线y＝ax2(a≠0)②、抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)中的一次项的系数b＝0⇔抛物线的顶点在Y轴上，也就是顶点的横坐标为0，抛物线的对称轴为Y轴第二：训练习题：1、抛物线y＝－2x2－6x+5的开口方向为；对称轴为；当x＝时，y有最值为；当x 时，y随x的增大而减小；顶点坐标为2、抛物线y＝3(x－4)2－7的开口方向为；对称轴为；当x＝时，y有最值为；当x 时，y随x的增大而减小；顶点坐标为3、抛物线y＝－5x2+8的开口方向为；对称轴为；当x＝时，y有最值为；当x 时，y随x的增大而减小；顶点坐标为4、抛物线y＝2x2的开口方向为；对称轴为；当x＝时，y有最值为；当x 时，y随x的增大而减小；顶点坐标为(二)、二次函数的图象的画法：第一：画二次函数的图象的步骤：①、求出抛物线的顶点的坐标；②、利用抛物线的顶点的坐标对称的列表(“五点法”或“七点法”)；③、描点、连线。

二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t(时间ｔ（秒） 1 2 3 4 … 距离s(米）28１８32…写出用ｔ表示ｓ的函数关系式： 2、 下列函数:① 23y x ;② 21y x x x ;③ 224y x x x ；④ 21yx x ;⑤ 1yx x ，其中是二次函数的是 ，其中a，b ,c3、当m 时，函数2235y mx x（m 为常数)是关于x 的二次函数４、当____m 时，函数2221m m y mm x是关于x 的二次函数5、当____m时，函数2564mm ym x +３x 是关于x 的二次函数６、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上,则 A 点的坐标是_＿＿_.7、在圆的面积公式 S ＝πｒ２中，s 与 r 的关系是（ )A 、一次函数关系 Ｂ、正比例函数关系 C 、反比例函数关系 D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15ｃm,在四个角上各剪去一个边长为x(c ｍ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S （c ｍ2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3ｃｍ时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4ｃｍ,宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm ２, ① 求 y 与 x 之间的函数关系式． ② 求当边长增加多少时，面积增加 ８cm ２.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -１;当x=2时，y=2,求该函数解析式. 1１、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成２4米长的旧木料，建造猪舍三间，如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2)与ｘ有怎样的函数关系?（2） 请你帮富根老伯计算一下,如果猪舍的总面积为３2米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度?旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响?怎样影响?练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空:(１)抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当ｘ 时，y 随ｘ的增大而减小,当ｘ= 时,该函数有最 值是 ; （2）抛物线221x y -=的对称轴是 (或 ）,顶点坐标是 ,当x 时，y 随ｘ的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小,当x= 时,该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当ｘ取任何实数时,y 的值总是正的;②ｘ的值增大,y 的值也增大;③ｙ随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 . ３、抛物线 ｙ=－x 2 不具有的性质是（ ）Ａ、开口向下ﻩB 、对称轴是 y 轴ﻩＣ、与 y 轴不相交ﻩD 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 Ｓ＝12g ｔ２（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是( )A B C D５、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是( )A.Ｂ． Ｃ.D ．6、已知函数24mm ymx 的图像是开口向下的抛物线,求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图像对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大，求ｍ的值.８、二次函数223x y -=，当x １＞x ２>０时,求y 1与y 2的大小关系． s t OstOstO s tO9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于ｘ的二次函数,求:（1） 满足条件的m 的值;（2） m 为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，ｙ随x 的增大而增大; （3） m 为何值时,抛物线有最大值?最大值是多少?当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 1０、如果抛物线2yax 与直线1y x 交于点,2b ,求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时, ｙ随x 的增大而增大, 当ｘ 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数ｋ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0,1±时，关于这些抛物线有以下判断:①开口方向都相同;②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 . 4、将抛物线122-=x y 向上平移４个单位后,所得的抛物线是 ,当ｘ＝ 时,该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于ｙ轴对称,则m=____＿＿__；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2(ｘ１≠x 2)时,函数值相等,则当x 取ｘ1+x 2时,函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ，当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .２、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （１)右移2个单位;(2）左移32个单位；（3)先左移1个单位,再右移4个单位. ３、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个).4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ,OA=OC ，试求该抛物线的解析式．５、抛物线2)3(3-=x y 与ｘ轴交点为A ，与y 轴交点为B,求Ａ、B 两点坐标及⊿ＡOB 的面积. 6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量ｘ由0增加到2时,函数值增加6.(1)求出此函数关系式.(2)说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上,求ｋ的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质１、请写出一个二次函数以(2， 3）为顶点，且开口向上.＿＿_＿_＿_＿_＿＿＿. 2、二次函数 y=(x －１)2+２，当 x ＝＿__＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12（x-1)2＋３，当 x_＿＿＿时,函数值 ｙ 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)２-2的图象可由函数y ＝21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0,则抛物线的关系式是6、 如图所示,抛物线顶点坐标是Ｐ（1，3)，则函数y 随自变量ｘ的增大而减小的x 的取值范围是( ）A 、x ＞3B 、x ＜3 Ｃ、ｘ>1 D 、x<1 ７、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;（2） 当x= 时,抛物线有最 值,是 .（3） 当ｘ 时,ｙ随x 的增大而增大;当x 时,y 随ｘ的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为Ａ、Ｂ和与y 轴的交点C ，求△ＡBC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位,在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象,并根据图象回答:当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ,顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=-２,且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 ．4、将 y ＝x ２-２x+３ 化成 y=ａ (x-h)２+k 的形式,则 y ＝＿＿_＿．5、把二次函数215322yx x的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位,则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_＿＿＿＿_＿__； ７、函数x x y +-=22有最__＿_值,最值为＿__＿___;８、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6，4 Ｂ、－8，14 Ｃ、－6，6 Ｄ、－8，-14 9、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为( ） A 、22 B 、23 Ｃ、32 D 、33１０、通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； (3）4412-+-=x x y 1１、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移３个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有,求出该最大值;若没有，说明理由． 1２、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式； 2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为２7０0元，可卖出40０台，以每１00元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元?练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2yx px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线,这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x mm 的图象经过原点,则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2yax bxc 与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x ，那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与ｘ轴的正半轴交于点A 、Ｂ两点,与y 轴交于点C,且线段AB 的长为1，△A ＢC 的面积为1，则b 的值为＿＿＿＿_＿.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a ＿＿_0，b___0，c__＿0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图,则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、已知二次函数2yax bx c (0≠a )的图象如图所示,则下列结论:1),a b 同号;2)当1x和3x 时，函数值相同;３)40a b ；4）当2y 时,x 的值只能为0；其中正确的是(第5题）(第６题)（第７题） （第1０题） 8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-２，则m= 9、二次函数2yx ax b 中，若0a b ，则它的图象必经过点（ ）A 1,1B 1,1C 1,1 D1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是( ） A 、0,0>>c ab B 、0,0><c ab Ｃ、0,0<>c ab D 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则函数b ax y +=的图象是( ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2ａ＋b 、ａ+b+c 、a －ｂ+c 这四个代数式中，值为正数的有( ）A.4个 B ．3个 C ．2个 D.１个 １3、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②;③>;④＜1.其中正确的结论是（ ).（Ａ）①② （B)②③ (C)②④ (Ｄ)③④14、二次函数2yax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2,1,6两点，求a 、b 、c 的值。

二次函数知识点分类专题训练（基础篇）一、单选题知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标1．抛物线2(1)(3)y x x =-+-与x 轴的交点坐标为（ ） A ．(1,0),(3,0)-B ．(1,0),(3,0)C ．(1,0),(3,0)-D ．(1,0),(3,0)--2．若抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点，且过点A(m ，n ），B(m ﹣8，n)，则n 的值为（ ） A ．8B ．12C ．15D ．163．抛物线2243y x x =-+与y 轴的交点坐标是（ ） A ．()3,0B ．()3,0-C ．()0,3D ．()0,3-4．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与坐标轴的交点个数是 A ．0．B ．1．C ．2．D ．3．知识点二、由函数值求自变量的值5．根据下表中的对应值：判断方程2320x x +-=的一个解的范围是（ ） A ．0.30.4x <<B ．0.40.5x <<C ．0.50.6x <<D ．0.60.7x <<6．已知二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的部分对应值列表如下：则关于x 的方程20ax bx c ++=的解是（ ） A ．10x =，22x =B ．122x x ==C ．120x x ==D ．不能确定7．二次函数21(2)12y x a =--+的图象上有两点()()121,,5,y y -，则12y y -的值是（ ） A ．负数B ．零C ．正数D ．不能确定8．若抛物线2y x bx =+的对称轴是直线2x =，则方程25x bx +=的解是（ ） A ．11x =，25x =B ．11x =，25x =-C ．11x =-，25x =D ．11x =-，25x =-知识点三、抛物线与一元二次方程关系9．对于二次函数2y x 2x 3=-++，下列说法不正确的是（ ） A ．当1x =时，y 有最大值2 B ．当1≥x 时，y 随x 的增大而减小 C ．开口向下D ．函数图象与x 轴交于点()-1,0和()3,010．若二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表点()11,A x y 点()22,B x y 在该函数图象上，当12101,23,x x y <<<<与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≥D ．12y y ≤11．已知二次函数y=x 2﹣x+14m ﹣1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m≤5B ．m≥2C ．m ＜5D ．m ＞212．二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠知识点四、抛物线与一元二次不等式关系13．抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，则当y ＜0，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞﹣1C ．﹣3＜x ＜1D ．﹣4≤x ≤114．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)-和(4,0)两点，当函数值0y <时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．2x <-B ．4x >C ．24x -<<D ．2x <-或4x >15．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(3,)A p B q -两点，则不等式2ax c mx n +>+的解集为（ ）A ．1x >-B ．3x <C ．13xD ．1x <-或3x >16．如图，己知抛物线()(0)y ax x t a =+≠经过点(3,3)A --，0t ≠．当抛物线的开口向上时，t 的取值范围是（ ）A ．3t >B ．3t >-C ．3t >或3t <-D ．3t <-知识点五、抛物线与x 轴的截距17．如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣718．老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．抛物线224y x x =--在x 轴上截得的线段长度是（ ） A ．25B ．2C ．35D ．520．二次函数2y ax bx c =++的值永远为负值的条件是（ ） A ．0a >，240b ac -< B ．0a <，240b ac -> C ．0a >，240b ac ->D ．0a <，240b ac -<知识点六、实际问题与二次函数21．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x ，该药品的原价为33元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系为（ ） A ．()3321y x =⨯- B ．()23321y x =⨯-C ．()2331y x =⨯-D ．()331y x =-22．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人 A ．56B ．55C ．54D ．5323．如图，在ABC 中，90B ∠=︒，4cm AB =，8cm BC =．动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ）A ．1sB ．2sC ．3sD ．4s24．如图，矩形OABC 中，()30A -,，()0,2C ，抛物线()221y x m m =---+的顶点M 在矩形OABC 内部或其边上，则m 的取值范围是（ ）A ．30m -≤≤B ．31m -≤≤-C ．12m -≤≤D ．10m -≤≤知识点七、二次函数几何问题25．如图所示，矩形ABCD 中，8,6AB BC ==，P 是线段BC 上一点（P 不与B 重合），M 是DB 上一点，且BP DM =，设,BP x MBP =的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．224(06)5y x x x =-+<≤B ．224(06)5y x x x =-+≤≤C ．233(06)10y x x x =-+<≤ D ．233(06)10y x x x =-+≤≤ 26．如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠B =60°，点E 在边BC 上（与B 、C 不重合）EF ∠AC ，交AB 于点F ，记BE =x ，∠DEF 的面积为S ，则S 关于x 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．27．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）．A ．(2,2)B ．(2,2)C ．(2,2)D ．(2,2)28．如图，∠ABC 是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm ，AC=6cm ．点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则∠APQ 的最大面积是（ ）A ．0cm 2B ．8cm 2C ．16cm 2D ．24 cm 2二、填空题知识点一、抛物线与坐标轴交点坐标29．将抛物线2113=+y x 向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y 轴交点的坐标为____．30．抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与坐标轴交点的个数是______．31．如图所示为抛物线y ＝ax 2＋2ax ﹣3的图象，则一元二次方程ax 2＋2ax ﹣3＝0的两根为_____________．32．抛物线y ＝x 2﹣bx +1与x 轴只有一个交点，那么b ＝_____．知识点二、由函数值求自变量的值33．抛物线y=x 2+2x ﹣2018过点（m ，0），则代数式m 2+2m+1=_____．34．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣2的根是_____．35．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是250y t t =-，则经过________s 后，飞机停止滑行．36．已知二次函数223y x x =--+，当3m x m ≤≤+时，y 的取值范围是04y ≤≤，则m 的值为______．知识点三、抛物线与一元二次方程关系37．如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A --，(1,2)B -，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .38．抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与x 轴交点的个数是__________．39．若二次函数24y x x n =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n =______．40．二次函数y=﹣x 2+2x+k 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程﹣x 2+2x+k=0的一个解x 1=3，另一个解x 2=___．知识点四、抛物线与一元二次不等式关系41．如图，已知抛物线21y x bx c =++与直线2y kx m =+相交于()()-2,3、3,-1A B 两点，则12y y ≥时x 的取值范围是________________________．42．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当3y <-时，x 的取值范围是______．43．已知函数y ＝ax 2+2bx ﹣c （a ＞0）的图象与x 轴交于A （2，0）、B （6，0）两点，则不等式cx 2+2bx ﹣a ＜0的解集为___．44．如图是二次函数21y ax bx c =++和一次函数2y kx t =+的图象，则关于x 的不等式2ax bx c kx t +++≤的解为________．知识点五、抛物线与x 轴的截距45．如图，抛物线()240y ax ax c a =-+<向下平移c 个单位后，交x 轴于O ，A 两点，则OA 的长为______．46．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，设抛物线顶点为P ，若30PAB ∠=，则24b ac -的值为________． 47．抛物线y=x 2﹣5x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的长为__．48．若抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴分别交于A ，B 两点，则AB 的长为 ________．知识点六、实际问题与二次函数49．如图，在水平的地面BD 上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB ，CD ，以点B 为坐标原点，直线BD 为x 轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线20.8 3.26y x x =-+则电线最低点离地面的距离是_______米．50．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =-++，喷出水珠的最大高度是______m ．51．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线259y x x =-+，若建公交站点D （在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O ）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________．52．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为x ，则可列方程为___．知识点七、二次函数几何问题53．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，22AB AC ==，AD 为BC 边上的高，动点P 在AD 上，从点A 出发，沿A D →方向运动，设AP x =，ABP △的面积为1S ，矩形PDFE 的面积为2S ，12y S S =+，则y 与x 的关系式是________．54．如图，已知AB =12，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ，点P 、C 、E 在一条直线上，∠DAP =60°．M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为______．（结果留根号）55．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣1交y 轴于点A ，过点A 作AB∠x 轴交抛物线于点B ，点P 在抛物线上，连结PA 、PB ，若点P 关于x 轴的对称点恰好落在直线AB 上，则∠ABP 的面积是_____．56．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线()224=-+上运动，过点A作AB∠x轴于点B，以AB为斜边y x作Rt∠ABC，则AB边上的中线CD的最小值为_________．参考答案1．C【分析】通过解方程2(1)(3)0x x -+-=即可得到抛物线2(1)(3)y x x =-+-的与x 轴交点的坐标．【详解】解：当y=0时，2(1)(3)0x x -+-=，解得x 1=-1，x 2=3，所以抛物线2(1)(3)y x x =-+-的与x 轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．故选C ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．2．D【分析】由题意b 2﹣4c ＝0，得b 2＝4c ，又抛物线过点A （m ，n ），B （m ﹣8，n ），可知A 、B 关于直线x ＝2b -对称，所以A （2b -+4，n ），B （2b -﹣4，n ），把点A 坐标代入y ＝x 2+bx+c ，化简整理即可解决问题． 【详解】 解：由题意b 2﹣4c ＝0，∠b 2＝4c ，又∠抛物线过点A （m ，n ），B （m ﹣8，n ），∠A 、B 关于直线x ＝2b -对称， ∠A （2b -+4，n ），B （2b -﹣4，n ）， 把点A 坐标代入y ＝x 2+bx+c ，n ＝（2b -+4）2+b （2b -+4）+c ＝14-b 2+16+c ， ∠b 2＝4c ，∠n ＝16．故选：D ．【点拨】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.3．C令x=0，求出y 的值即可．【详解】解：令x=0，则y=3，∠抛物线y=2x 2-4x+3与y 轴交点坐标为（0，3）．故选：C ．【点拨】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y 轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．C【分析】当0x =时，求出与y 轴的纵坐标；当0y =时，求出关于x 的一元二次方程2210x x -+=的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线221y x x =-+与x 轴的交点个数．【详解】解：当0x =时，1y =，则与y 轴的交点坐标为()0,1，当0y =时，2210x x -+=，∠()224110=--⨯⨯=，所以，该方程有两个相等的解，即抛物线221y x x =-+与x 轴有1个点．综上所述，抛物线221y x x =-+与坐标轴的交点个数是2个．故选：C ．【点拨】此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中0x =，求出的y 值即为抛物线与y 轴交点的纵坐标；令0y =，求出对应的x 的值，即为抛物线与x 轴交点的横坐标．5．C【分析】 求抛物线的对称轴为32x =-，根据a =1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，根据表格确定函数值的符号， y=0时，有0.5<x<0.6，满足2320x x +-=．【详解】解：令y =232+-x x ，∠抛物线的对称轴为322b x a =-=-， ∠a =1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，根据表格x=0.5，y=-0.25<0，x=0.6时，y=0.16>0，故选择C ．【点拨】本题考查一元二次方程与抛物线的关系，掌握函数的性质，一元二次方程根与抛物线与x 轴相交的关系是解题关键．6．A【分析】根据题意得到函数对称轴为直线x=1，而因此得到m=0，据此即可判断．【详解】由题意得：函数的对称轴为直线x=1∠当x=2时y 的值，和x=0时y 的值相等∠m=0∠方程20ax bx c ++=的解为10x =，22x =． 故选A ．【点拨】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，与不等式的关系是解决二次函数重难点题型的关键．7．B【分析】直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出y 1，y 2的值即可.【详解】∠二次函数y =−112(x −2)2+a 的图象上有两点(-1，y 1)，(5， y 2)， y 1 =-112(-1-2)2 +a ， y 2 = 112-(5-2)2+a ， ∠y 1-y 2=-112(-1-2)2+a + 112(5-2)2-a =-112×9+112×9=0，函数的图像和性质是解题的关键.8．C【分析】利用对称轴公式求出b 的值，然后解方程.【详解】 解：由题意：22b x =-= 解得：b=-4 ∠25x bx += 2450x x --= (5)(1)0x x -+= 解得：11x =-，25x =故选：C【点拨】本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.9．A【分析】先把一般式配成顶点式得到y =-（x -1）2+4，再根据二次函数的性质可对A 、B 、C 进行判断；通过解方程-x 2+2x +3=0得抛物线与x 轴的交点坐标，可对D 进行判断．【详解】解：∠y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，-1＜0，∠抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），故C 正确，不符合；当x ≥1时，y 随x 的增大而减小，故B 正确，不符合；当x =1时，y 有最大值4，故A 错误，符合；当y =0时，-x 2+2x +3=0，解得x 1=-1，x 2=3，∠抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0），故D 正确，不符合；故选：A ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．A【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线x =2，再根据二次项系数小于0判断出函数图象开口向下，然后根据x 的取值范解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，∠a=-1＜0，∠函数图象开口向下，∠0＜x1＜1，2＜x2＜3，∠y1＜y2．故选A．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．11．A【详解】【分析】由题意可知∠=(-1) 2-4×1×(14m-1)≥0，解不等式即可求得m的取值范围.【详解】∠二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点，∠∠=(-1) 2-4×1×(14m-1)≥0，解得：m≤5，故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与∠=b2-4ac的关系，∠>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；∠=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；∠<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.12．D【分析】利用kx2-6x+3=0有实数根，根据判别式可求出k取值范围．【详解】∠二次函数y=kx2−6x+3的图象与x轴有交点，∠方程kx2−6x+3=0(k≠0)有实数根，即∠=36−12k∠0，k∠3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k∠3且k≠0.故选D.【点拨】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于掌握其性质定义.13．C【分析】轴的下方，从而可得答案．【详解】解：由抛物线的对称轴为：1,x =- 且过()1,0,所以抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为：()3,0,-当y ＜0时，函数图像在x 轴的下方，所以：3-＜x ＜1,故选：.C【点拨】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键． 14．D【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．【详解】解：∠二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0)-和(4,0)两点，函数开口向下，∠函数值0y <时，自变量x 的取值范围是2x <-或4x >，故选：D ．【点拨】本题考查的是二次函数的基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．15．D【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【详解】解：∠抛物线y =ax 2+c 与直线y =mx +n 交于A （-1，p ），B （3，q ）两点，由图可知：抛物线y =ax 2+c 在直线y =mx +n 上方时，x 的范围是：x ＜-1或x ＞3，即ax 2+c ＞mx +n 的解集是x ＜-1或x ＞3，故选D ．【点拨】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．A【分析】根据抛物线()(0)y ax x t a =+≠经过点(3,3)A --，求出13t a =+，由抛物线的开口向上，可得10a >，可得1=3+3t a>即可．解：∠抛物线()(0)y ax x t a =+≠经过点(3,3)A --，∠()33(3)(0)a t a -=--+≠，13t a =+， ∠抛物线的开口向上， ∠0a >，10a >， ∠1=3+3t a >． 故选择A ． 【点拨】本题考查抛物线性质，利用抛物线经过点求出关于t 的代数式，利用抛物线开口方向确定10a >是解题关键． 17．C 【分析】 根据顶点P 在线段AB 上移动，又知点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A 和B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为（﹣2，0）， 当对称轴过A 点时，点M 的横坐标最小，此时的N 点坐标为（1，0），M 点的坐标为（﹣5，0），故点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．18．C【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．【详解】解：∠抛物线过（1,0），对称轴是x ＝2， ∠ 30b 22aa b ++=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ，解得a ＝1，b ＝－4， ∠y ＝x 2－4x ＋3，当x ＝3时，y ＝0，所以小华正确，当x ＝4时，y ＝3，小彬正确，a ＝1，小明也正确，答案不唯一，所以小颖也错误，故答案为：C ．【点拨】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．19．A【分析】令解析式0y =，求解出抛物线与x 轴交点的横坐标，再作差即可．【详解】由2240x x --=解得115x =-，215x =+， ()()21151525x x -=+--=， 故选：A ．【点拨】本题考查了抛物线在x 轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．20．D【分析】二次函数2y ax bx c =++的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与x 轴没有交点，根据此即可算出a 和24b ac -的取值．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的值永远为负值，所以函数图象的开口向下，所以0a <．此外，函数与x 轴没有交点，所以240b ac -<，所以二次函数2y ax bx c =++的值永远为负值的条件是0a <，240b ac -<．故选D.【点拨】本题主要考查对于二次函数图象的理解，同时还要掌握函数图象与x 轴没有交点的性质．21．C【分析】原价为33，第一次降价后的价格是33(1)x ⨯-，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：233(1)(1)33(1)x x x ⨯-⨯-=-，则函数解析式即可求得．【详解】解：根据题意：平均每次降价的百分比为x ，该药品的原价为33元，降价后的价格为y 元，可得y 与x 之间的函数关系为：233(1)y x =-．22．B【分析】设旅行团人数为x 人，此时的营业额为y 元，根据优惠规定可建立y 与x 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得．【详解】解：设旅行团人数为x 人，此时的营业额为y 元，则30x ≥，由题意得：[]280010(30)10(55)30250y x x x =--=--+，由二次函数的性质可知，在30x ≥内，当55x =时，y 取得最大值，即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．23．B【分析】根据图形得到ABC PBQ APQC S SS =-四边形列出函数关系，再将函数关系化为顶点式，根据性质求出结果． 【详解】解：设运动的时间为x 秒（04x ≤<），四边形APQC 的面积为y 2()cm ，则：1()AP x x cm =⋅=，2()BQ x cm =，∠(4)()BP AB AP x cm =-=-， ∠1122ABC PBQ y S S BC AC BQ BP =-=⋅⋅-⋅⋅， ∠2211842(4)416(2)1222y x x x x x =⨯⨯-⨯⨯-=-+=-+， ∠10a => ，∠抛物线开口向上，y 有最小值，∠当2x =时，，y 有最小值，，最小值是12，∠当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为2秒．故选：B ．【点拨】本题主要考查了根据点的运动问题列出函数关系式以及二次函数的性质，关键是根据图形明确四边形的面积等于大三角形的面积减去小三角形的面积，列出函数关系．24．D【分析】解：抛物线()221y x m m =---+的顶点坐标M 为（m ，-m ＋1）， ∠()30A -,，()0,2C ， ∠30012m m -≤≤⎧⎨≤-+≤⎩， ∠-1≤m ≤0，故选：D ．【点拨】本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．25．A【分析】根据勾股定理可得10BD =，因为DM x =，所以10BM x =-，过点M 作ME BC ⊥于点E ，可得BME BDC ∽，然后根据相似三角形的性质得到ME BM DC BD =，由此可用x 表示ME ，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系． 【详解】 解：∠8,6AB BC ==， ∠8CD =，∠10BD =， ∠DM x =，∠10BM x =-，如图，过点M 作ME BC ⊥于点E ，∠//ME DC ，∠BME BDC ∽，∠ME BM DC BD=， ∠485ME x =-，而12MBP S BP ME =⨯⨯， ∠2245y x x =-+，P 不与B 重合，那么0x >，可与点C 重合，那么6x ≤． 故y 与x 之间的函数关系式为224(06)5y x x x =-+<≤．故答案选A ．26．A【分析】根据∠DEF 的面积=菱形的面积-∠ADF 的面积-∠CDE 的面积-∠BEF 的面积，据此表示出DEF 的面积即可.【详解】∠菱形ABCD 中，∠B=60°，∠∠ABC 是等边三角形，∠EF∠AC ，∠∠BFE 是等边三角形BE BF x ∴==BE x =2133224BEF x S x x ∴=⋅= 1AB = 1EC AF x ∴==- 1333(1)2244AFD CED S S x x ∴==-⋅=- 1331224ABCD S =⨯⨯=菱形 ()22333332144444DEF S x x x ⎛⎫∴=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭（其中01x <<）故选A【点拨】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，二次函数和几何图形综合，解决本题的关键是用x 将每个图形的面积表示出来.27．C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D （0，2），且DC∠x 轴，从而求得P 的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P 的坐标．【详解】∠Rt ∠OAB 的顶点A (−2,4)在抛物线2y ax =上，∠4=4a ，解得a =1，∠抛物线为2y x =，∠OB =2，∠将Rt ∠OAB 绕点O 顺时针旋转90︒，得到∠OCD ，∠D 点在y 轴上，且OD =OB =2，∠D (0,2)，∠DC ∠OD ，∠DC ∠x 轴，∠P 点的纵坐标为2，代入2y x =,得22x =， 解得2x =±， ∠P ()2,2 故答案为:() 2,2. 【点拨】考查二次函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-旋转，掌握旋转的性质是解题的关键. 28．C【解析】根据题意，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，∠AP=2t ，AQ=t ，S ∠APQ =t 2，∠0<t∠4，∠三角形APQ 的最大面积是16.故选C.点睛：本题主要考查二次函数的应用，借助三角形的面积建立函数，利用函数探讨最值问题.29．（0，3）【分析】根据二次函数的平移规律得出新抛物线的解析式，再令x=0即可得出答案；【详解】解：∠抛物线2113=+y x 向上平移2个单位得到新抛物线的解析式为2133y x =+， ∠当x =0，则y =3，∠得到的新抛物线图象与y 轴的交点坐标为：（0，3）．故答案为：（0，3）．的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．30．3个【分析】先令y =0，得出关于x 的一元二次方程，由∠＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x 轴有两个不同的交点，与y 轴有一个交点．【详解】解：∠抛物线y =2x 2+2（k -1）x -k （k 为常数），∠当y =0时，0=2x 2+2（k -1）x -k ，∠∠=[2（k -1）]2-4×2×（-k ）=4k 2+4＞0，∠0=2x 2+2（k -1）x -k 有两个不相等的实数根，∠抛物线y =2x 2+2（k -1）x -k （k 为常数）与x 轴有两个交点，∠抛物线y =2x 2+2（k -1）x -k （k 为常数）与y 轴有一个交点，所以，抛物线()2221y x k x k =+--（k 为常数）与坐标轴交点有3个，故答案为：3个．【点拨】本题考查抛物线与x 、y 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．31．x 1＝1，x 2＝﹣3【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为：x ＝﹣1，又根据抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可求解．【详解】解：抛物线的对称轴为：x ＝22a a - ＝﹣1， 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0）， ∠抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），∠一元二次方程ax 2＋2ax ﹣3＝0的两根为x 1＝1，x 2＝﹣3，故答案为：x 1＝1，x 2＝﹣3．【点拨】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点坐标问题，利用数形结合找到抛物线与x 轴的另一个交点坐标是解题的关键．32．±2【分析】根据二次函数y ＝x 2﹣bx +1的图象与x 轴只有一个公共点，可知y ＝0时，方程x 2﹣bx +1＝0有两个相等的实数根，解：∠二次函数y ＝x 2﹣bx +1的图象与x 轴只有一个公共点，∠y ＝0时，方程y ＝x 2﹣bx +1＝0有两个相等的实数根．∠∠＝（﹣b ）2﹣4×1×1＝0．解得，b ＝±2，故答案是：±2．【点拨】本题考查抛物线与x 轴的交点，解题的关键是明确二次函数21y x bx =-+的图象与x 轴只有一个公共点就是y =0时，方程21y x bx =-+有两个相等的实数根．33．2019【分析】利用二次函数图象上的坐标特征得到222018m m +=，然后利用整体代入得方法即可求解．【详解】将点（m ，0）代入抛物线y=x 2+2x ﹣2018可得：2220180m m +-=，∠222018m m +=∠221201812019m m ++=+=故答案为：2019【点拨】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上的坐标满足二次函数解析式．34．x 1＝0，x 2＝﹣4【分析】从表格看，函数的对称轴为x ＝−2，根据函数的对称性，当x ＝0时和x ＝−2时，y 均为−2，即可求解．【详解】解：从表格看，函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的对称轴为x ＝−2，根据函数的对称性，当x ＝0时和x ＝−2时，y 均为−2．故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝−2的根x ＝0或−4．故答案为：x 1＝0，x 2＝−4．【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．35．25【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t 的值即可，因此将函数化为顶点式即可．【详解】解：()()222505062562525625y t t t t t =-=--++=--+即第25秒时，飞机滑行最大距离625m 停下来，故答案为：25．【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键． 36．-3或-2【解析】【分析】利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，结合y 的取值范围即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，代入y=0求出x 的值，结合当m≤x≤m+3时y 的取值范围是0≤y≤4，即可得出m 的值，验证后即可得出结论．【详解】解：∠y=-x 2-2x+3=-（x+1）2+4，当y=0时，有-x 2-2x+3=0，解得：x 1=-3，x 2=1，由题意y 的取值范围是04y ≤≤，∠m=-3或m+3=1，则能使得y 的取值范围是04y ≤≤，∠m=-3或-2．故答案为：-3或-2．【点拨】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出m 的值是解题的关键．37．x 1＝﹣3，x 2＝1【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∠抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∠关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点拨】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．38．2【分析】求出∆的值，根据∆的值判断即可．【详解】∠抛物线与x轴有2个交点．故答案为：2．【点拨】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴的交点横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．当∆=0时，二次函数与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆>0时，二次函数与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，二次函数与x 轴没有交点，一元二次方程没有实数根．39．4．【详解】】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．40．-1【解析】试题分析：根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，直接求出x2的值由图可知，对称轴为x=1，根据二次函数的图象的对称性，=1，解得，x2=﹣1考点：抛物线与x轴的交点点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，要注意数形结合，熟悉二次函数的图象与性质41．x≤-2或x≥3【分析】直接根据两函数图象的交点为A（-2，3）、B（3，-1）两点，进而结合函数图象得出y1≥y2时x的取值范围．【详解】解：如图所示：∠抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，∠y1≥y2时x的取值范围是：x≤-2或x≥3．故答案为：x≤-2或x≥3．42．0＜x ＜2【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到（0，-3）关于对称轴对称的点，再结合图像可得x 的范围．【详解】解：由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x =1，与y 轴的交点为（0，-3），故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），故当y ＜-3时，x 的取值范围是0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2．【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是理解3y <-，结合函数的对称性得到结果． 43．x ＜12-或x ＞16- 【分析】 根据原函数经过A ，B ，得到对应方程的两根，根据根与系数的关系得到b =-4a ，c =-12a ，将不等式cx 2+2bx -a ＜0化为12x 2+8x +1＞0，解之即可．【详解】解：∠函数y =ax 2+2bx -c （a ＞0）的图象与x 轴交于A （2，0）、B （6，0）两点，∠ax 2+2bx -c =0（a ＞0）的两个实数根分别为x 1=2，x 2=6，∠2268b a -=+=，2612c a -=⨯=， ∠b =-4a ，c =-12a ，∠cx 2+2bx -a ＜0可化为-12ax 2-8ax -a ＜0，又a ＞0，∠12x 2+8x +1＞0，令12x 2+8x +1=0，解得：x =16-或x =12-， ∠12＞0，∠不等式的12x 2+8x +1＞0解集为x ＜12-或x ＞16-． 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，解题的关键是根据已知得到a ，b ，c 的关系．44．x ≤-1或x ≥2【分析】。

二次函数基础过关1班级： 姓名： 分数：一、选择题（8⨯3′=2 4′ ）1．下列函数中，属于二次函数的是 （ ）A 、y =-2xB 、221x x y += C 、9)3(2-+=x y D 、112+=xy . 2．抛物线632--=x x y 的对称轴是 （ ）A 、直线23=xB 、直线23-=x C 、直线3=x D 、直线3-=x . 3．将抛物线3)1(2-+-=x y 向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标是（ ）A 、（1，0）B 、（-1，0）C 、（1，-6）D 、（-1，-6）. 4．二次函数h h x a y ++=2)(,当h 取不同实数时，图象顶点在（ ）A 、y =x 的图象上B 、y = -x 的图象上C 、x 轴上D 、y 轴上.5．二次函数c bx x y ++=2的图象向y 轴负半轴方向平移2个单位，再向x 轴正半轴方向平移3个单位，特别新的二次函数122+-=x x y ,那么（ ）A 、b =6,c =4B 、b =4,c =6C 、b =–8,c =14D 、b =–8,c =–14.6．已知二次函数bx ax y +=2的图象如图所示，那么a 、b为…………………………………………………………（ ）（A ）a >0，b >0； （B ）a >0，b <0；（C ）a <0，b >0； （D ）a <0，b <0．7．下列说法正确的是 ( )（A ）函数c bx ax y ++=2的图象一定是抛物线（B ）抛物线2ax y =一定在x 轴上方（顶点在x 轴上）（C ）二次函数图象的对称轴是y 轴 （D ）二次函数图象的顶点一定在其对称轴上8．函数2y ax bx =+与y ax b =+（a ≠0，b ≠0）的图象只可能是（ ）．二 、填空题（16⨯4′=64′）9．二次函数y =(x -4)2-2的顶点坐标为 .10．已知函数y =ax 2过点（1，3），求该函数解析式为 .11．二次函数y =x 2+2x -3与y 轴的交点坐标为 .12．若函数2221()m m y m m x --=+是关于x 的二次函数，则m ＝__________．13．把二次函数231x y -=的图象向上平移2个单位，可得二次函数 的图象. 14．正方形边长为2，如果边长增加x ，面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系式是 .15．抛物线452+-=x x y 与x 轴交点坐标为 .16．二次函数522-+=bx x y 的图象过点（-1，3），则b = .17．二次函数232++=x x y 的图象的顶点坐标为 .18．抛物线n x x y ++=622与x 轴只有一个交点，则n = .19．若二次函数1232)14(+-+=h h x h y 的图象开口向下，则h = .20．若二次函数4)1(32--+-=x b x y 顶点在y 轴上，则b = .21．当m 时，二次函数m x x y +-=2与x 轴有两个交点.22．二次函数)12)(3(--=x x y 的图象顶点坐标为 ．23．若点A （2，m ）在抛物线2x y =上，则点A 关于y 轴对称的点的坐标是.24．抛物线222a x a x y +-=的顶点在直线y =2上，则a 的值是 .三．解答题（25～31题，4⨯8′+3⨯10′=62′）25．二次函数的图象经过点（1，0）、（0，5）、（-1，8），求这个二次函数的解析式，并写出图象顶点坐标.26．把函数2241x x y --=化成k m x a y ++=2)(的形式，并指出它的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴.27．已知一个二次函数的对称轴是直线x =1，图像上最低点P 的纵坐标是－8,图像经过点（－2，10）且与x 轴交于点A,B ,与y 轴交于点C.（1）求这个二次函数的解析式；（2）求⊿ABC 的面积.28．已知抛物线ax x y +=2的经过点（4，0），求（1）a 的值；（2）抛物线的顶点M 到坐标原点O 的距离MO .29．已知抛物线d x x y +-=42的顶点在直线14--=x y 上.（1）求抛物线的顶点坐标A ；（2）该抛物线与x 轴交于B 、C 两点(B 在C 的左边)，求B 、C 两点的坐标.（3）如果点P 在y 轴上，且ABC BPC S S ∆∆=21，求点P 的坐标.30．已知二次函数的图象过点（3，－8），对称轴为直线x = －2，函数与x 轴的两个交点的距离为6，求（1）图象与x 轴的两个交点A 、B 的坐标（点A 在点B 的左边）；（2）函数图象与y 轴交点C 的坐标及顶点P 的坐标；（3）求四边形P ABC 的面积.31．已知抛物线c bx ax y ++=2的图象顶点坐标是（-1，-4），它与x 轴的两个交点横坐标为21,x x ,且102221=+x x ，求这个函数的解析式.二次函数基础过关1参考答案一、选择题：（1） C ；（2） A ； （3）B ； （4） B ；（5）B ； （6）C ； （7）D ； （8）A ．二、填空题：（9）（4，-2）； （10）23x y = ；（11）（0，-3）；（12）3=m ；（13）2312+-=x y ； （14）x x y 42+=；（15）（1，0）（4，0）；（16）-6；（17）)41,23(--；（18）29； （19）31-；（20）1；（21）41<m ；（22）)825,47(；（23）（-2，4）．(24) 2. 三、解答题：（25）542+--=x x y (-2,9)．（26）3)1(22++-=x y a =-2<0，抛物线开口向下；顶点坐标（-1，3）对称轴直线x =－1．（27）(1)()8122--=x y ;(2) 12. (28) a =－4 52=MO ．（29）顶点坐标（2，-9）；B （-1,0）、C (5,0)P 点坐标)29,0(或)29,0(-．（30）A （-5，0）B （1，0），C （0，)25， P （-2，)29．四边形PABC 面积为15.（31）322-+=x x y。

初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题1（附答案详解）1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2+b 与y ＝ax +b (a ，b 都不为0)的图象的相对位置可以是( )A ．B ．C ．D ．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．对于二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（ ） A ．当x ＝﹣2时，y 的最大值是﹣3 B ．当x ＝2时，y 的最小值是﹣3 C ．当x ＝2时，y 的最大值是﹣3 D ．当x ＝﹣2时，y 的最小值是﹣34．下列m 的取值中，能使抛物线y =x 2+（2m ﹣4）x +m ﹣1顶点在第三象限的是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．二次函数2616y x x =++的顶点坐标是（） A ．（-3，7）B ．（3，7）C ．（-3，-7）D ．（3，-7）6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)过(﹣2，0)、(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( ) A ．只能是x ＝﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x ＝2的左侧D ．在y 轴左侧7．抛物线y ＝（x －2）2－3的顶点坐标为（ ）A ．（2，3）B ．（2，－3）C ．（－2，－3）D ．（－2，3）8．如图，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（ ）A ．AB ＝4 B ．∠ABC ＝45° C ．当x ＞0时，y ＜﹣3D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大9．若将抛物线y ＝x 2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A ．y ＝（x ﹣1）2 B ．y ＝（x+1）2 C ．y ＝x 2﹣1 D ．y ＝x 2+1 10．若抛物线y ＝ax 2+2ax+4a(a ＞0)上有A(32-，y 1)、B(2，y 2)、C(32，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( ). A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 111．已知（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2+6x+c 上的点，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＝y 2＜y 3D ．y 1＝y 2＞y 312．已知二次函数(1)(3)y x x =+-，则该二次函数的对称轴为_________________. 13．把抛物线y=x 2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________.14．二次函数2(1)3y x =--的图象与y 轴的交点坐标是________．15．已知二次函数212y x x =--和一次函数21y x =+的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)，当12y y >时，自变量x 的取值范围是___. 16．反比例函数1y x=-与二次函数2y x =的共同性质有______.(写出一条符合题意的即可)17．抛物线y ＝x 2﹣6x +11的顶点为_____________．18．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点： 甲：对称轴是4x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：______.19．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，顶点为(1,0)-，有下列结论：①0abc <；②240b ac -=；③2a >；④420a b c -+>，其中，正确结论有________.20．将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是_____．（写成顶点式）21．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是_____．22．已知点A（1，y1），B（-2，y2），C（-2，y3）在y=2(x+1)2-0.5的函数图像上，请用“<“号比较y1，y2， y3的大小关系_______________.23．二次函数y＝4（x﹣3）2+7，开口_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣2，它的相关函数为()202(0)x xyx x⎧-+< =⎨-≥⎩（1）已知点A（﹣3，8）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣1．当点B（m，2）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣1 0 1 …y …﹣2 ﹣1 ﹣2 ﹣7 …（1）此二次函数图象的对称轴是直线，此函数图象与x轴交点个数为．（2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x＜﹣1时，请直接写出函数值y的取值范围．26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．27．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(−5,0),对称轴为直线x=−2,给出四个结论：①b 2>4ac ；②4a+b=0；③函数图象与x 轴的另一个交点为(2,0)；④若点(−4,y 1)、(−1,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确结论是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣6mx +9m +1（m ≠0）． （1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B 点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4，求m 的值．（3）已知四个点C （2，2）、D （2，0）、E （5，﹣2）、F （5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．29．如图，已知直角坐标平面上的ΔABC ，AC=CB ，∠ACB=90°，且A(-1，0)，B(m ，n)，C(3，0)．若抛物线23y ax x =+-经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式. 30．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），且经过点（0，4），求该函数的解析式． 31．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： x …… ﹣1 0 1 4 …… y……12622……（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出不等式ax 2+bx +c ﹣2＞0的解集是 ．32．设函数y =k 1x +2k x，且k 1•k 2≠0，自变量x 与函数值y 满足以下表格： x…… -4-3-2-1-12 121 2 3 4 ……y …… -334 -223 -1120 112 -1120 112m n ……（1）根据表格直接写出y 与x 的函数表达式及自变量x 的取值范围______（2）补全上面表格：m =______，n =______；在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题： ①写出函数y 的一条性质：______； ②当函数值y ≥32时，x 的取值范围是______； ③当函数值y =-x 时，结合图象请估算x 的值为______（结果保留一位小数）33．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与图是他所完成的部分表格与图象：（1）补全表格与图象；（2）直接写出此抛物线顶点坐标． x … ﹣1 0 2 4 _____ … y …59_____…34．如图，已知抛物线2123y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线2y kx b =+经过点B ，C .（1）求直线BC 的函数关系式；（2）当12y y >时，请直接写出x 的取值范围.35．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2+4x ﹣5的友好同轴二次函数为y ＝﹣x 2﹣2x ﹣5．（1）请你写出y ＝13x 2+x ﹣5的友好同轴二次函数； （2）如图，二次函数L 1：y ＝ax 2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B 、C 分别在L 1、L 2上，点B ，C 的横坐标均为m （0＜m ＜2）它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C ，CB ．若a ＝3，且四边形BB′C′C 为正方形，求m 的值．参考答案1．A【解析】【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质,再根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断．【详解】解：A选项,由抛物线可知,a＜0,b＜0,由直线可知,a＜0,b＜0,故本选项正确,B选项,由抛物线可知a＜0,由直线可知a＞0,相矛盾,故本选项错误,C选项,由抛物线可知,a＞0,b＜0,由直线可知,a＞0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,D选项,由抛物线可知,a＞0，b＞0,由直线可知,a＜0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数,二次函数的图象与系数的关系．2．D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．3．C 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由a=-1得到图象开口向下，据此根据二次函数的性质解答可得． 【详解】解：对于二次函数y=-（x-2）2-3，由于-1＜0，所以，当x=2时，y 取得最大值，最大值为-3. 故选：C ． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 4．B 【解析】 【分析】对于.y =ax ²+bx +c （a ≠0）中，顶点坐标是（24,24b ac b a a--）,顶点坐标在第三象限，那么顶点坐标特点（-，-），即横纵坐标都小于0。

练习一 二次函数下列函数：① y = ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④21y x x=+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a =，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235ym x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m=时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数 5、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 7、已知函数()9232+--=x y . （1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.练习六c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 . 2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；练习七c bx ax y ++=2的性质 1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b =4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）练习八 二次函数解析式 1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .1、 二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式 为1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限； 3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a 5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝1一、填空题：1．方程0922=+-mx x 有两个相等的实数根，则________=m ；2．设41≥m ，且2≠m ，方程0)12()2(2=+---m x m x m 的根的情况是3．如果方程122-=+m x x 没有实数根，则关于x 的方程0122=-++m mx x 的根的情况是 ；4．若方程032=-+k x x 没有实数根，则k 的最大整数值是 ； 5．如果1x 、2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ； 6．已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝31，则21x x ⋅＝ ；7．已知一元二次方程0132=--x x的两个根是1x ，2x ，则=+21x x ， 8．一元二次方程032=--a ax x的两根之和为12-a ，则两根之积为_________； 9．如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么21x x ⋅＝ ；10．若n m ,是方程0120042=-+x x 的两个实数根，则mn mn n m -+22的值是1．函数123y x =-的自变量x 的取值范围是 ； 2．函数1-=x x y 中自变量x 的取值范围是 ；3．点A（–3，4）和点B（3，4）的关于___________轴对称；4．若点（212,323-+-mm）在第三象限，则m的取值范围是_____________；5．在第一象限到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是______________；6．若点M (1 –x，x+ 2 ) 在第二象限内，则x的取值范围为；7．如果点P1 (1-，3)和P2 (1，b)关于y轴对称，则b= ；8．已知点Q (422+m，62++mm)在第一象限的角平分线上，则m= ；9．点Q (3 –a，5 –a)在第二象限，则25104422+-++-aaaa= ；10．无论x为何实数值，点P (x+1，x– 1 )都不在第象限；11．已知点P (2a– 8，2 –a)是第三象限的整点，则P点的坐标是；12．已知<a，那么点P（–a2 – 1，–a+ 3）关于原点对称的点P /，在第象限；13．函数y x=-2中，自变量x的取值范围；14．已知x=2，函数yxx=--21的值是；15．点A（－5，3）到x轴的距离为；到y轴的距离为；到原点的距离为；16．点()N m m m233+--,的横纵坐标互为相反数，则_____=m；一、填空题：1、函数2xy=-和函数2yx=的图象有个交点；2、反比例函数kyx=的图象经过（－32，5）点、（,3a-）及（10,b）点，则k＝，a＝，b＝；3、若反比例函数1232)12(---=kkxky的图象经过二、四象限，则k= _______4、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为；5、已知正比例函数y kx=与反比例函数3yx=的图象都过A（m，1），则m＝，正比例函数与反比例函数的解析式分别是、；。

九年级数学上册第二十二章二次函数基本知识过关训练单选题1、在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2−4x+5，将该抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为（）A．y=−x2−4x+5B．y=x2+4x+5C．y=−x2+4x−5D．y=−x2−4x−5答案：C分析：把抛物线沿y轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线y=x2−4x+5沿y轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y轴翻折所得的抛物线的表达式为y=−(x−2)2−1，化简后为：y=−x2+4x−5．故选：C．小提示：本题考查了求抛物线关于y轴对称后的解析式，点关于y轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．2、已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m<0B．m≥1C．m≤−1或m>0D．m≤−1答案：A分析：先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为(0,−3)，∵点P(x p,y p)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤−3，∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤x p≤4时，y p≤−3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．故选：A．小提示：本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．3、已知二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），则当x=x1+x2时，二次函数的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023答案：C分析：根据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图像上，得出x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，由韦达定理得到x1+x2=20212020，代入解析式即可得解．解：∵二次函数y=2020x2+2021x+2022的图象上有两点A（x1，2023）和B（x2，2023），∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022=2023的两个根，∴x1+x2=−20212020，∴当x=x1+x2时，有：y=2020x2+2021x+2022==2020×(−20212020)2+2021×(−20212020)+2022=2022，故选C．小提示：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理；关键在于能发现题干所给条件的特点，会运用韦达定理．4、抛物线y＝(x﹣x1)(x﹣x2)+mx+n与x轴只有一个交点(x1，0)．下列式子中正确的是（）A．x1﹣x2＝m B．x2﹣x1＝m C．m(x1﹣x2)＝n D．m(x1+x2)＝n答案：B分析：根据题意可得抛物线的定点坐标即为（x 1，0），代入解析式即可求解． 解：∵抛物线经过（x 1，0），且抛物线与x 轴只有一个交点， ∴抛物线顶点坐标为（x 1，0），y ＝（x ﹣x 1）2，∴x 2﹣2x 1x +x 12＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）+mx +n ＝x 2﹣（x 1+x 2﹣m ）x +x 1x 2+n ，∴x 1+x 2﹣m ＝2x 1，即x 2﹣x 1＝m ， 故选：B ．小提示：本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，顶点式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5、小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形.若实心球运动的抛物线的解析式为y =−19(x −3)2+k ，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离.已知该同学出手点A 的坐标为(0，169)，则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m 答案：C根据出手点A 的坐标为(0，169)求出函数关系式，再令y =0可解得答案．解：把A (0，169)代入y =−19(x −3)2+k 得：169=−19(0−3)2+k ，∴k =259，∴y =−19(x −3)2+259，令y =0得0=−19(x −3)2+259，解得x =−2（舍去）或x =8，∴实心球飞行的水平距离OB 的长度为8m ，小提示：本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能用待定系数法求出函数关系式．6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（）A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0答案：D=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对分析：图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b=−1，2a∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．小提示：本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．7、二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关分析：分别求出函数解析式的最小值、当0≤x≤1时端点值即：当x=0和x=1时的函数值．由二次函数性质可知此函数最大值与最小值必是其中的两个，通过比较可知差值与p有关，但与q无关解：依题意得：当x=0时，端点值y1=q，当x=1时，端点值y2=1+p+q，当x=−p2时，函数最小值y3=−p24+q，由二次函数的最值性质可知，当0≤x≤1时，此函数最大值和最小值是y1=q、y2=1+p+q、y3=−p24+q 其中的两个，所以最大值与最小值的差可能是|1+p|或p24或1+p+p24，故其差只含p不含q，故与p有关，但与q无关故选：D．小提示：本题考查了二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．8、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元B．2000元C．1800元D．2200元答案：C分析：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，∴最大销售额为1800元．故选：C．小提示：本题考查二次函数的应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．9、在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y=(x−2)2−1B．y=(x−2)2+3C．y=x2+1D．y=x2−1答案：D分析：根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．解：将二次函数y=(x−1)2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y=(x−1+1)2+1−2=x2−1故选D．小提示：本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．答案：B分析：分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，∴∠B＝60°，BC=12AB=2√3，AC=√3BC=6，∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=√3CD=3√3，BD=12BC=√3，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，∴S=12MD·DN=12(3√3−√3t)(3+t)=−√32t2+9√32，当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=√3t−3√3，∴S=12MD·DN=12(√3t−3√3)(3+t)=√32t2−9√32，故选：B．小提示：本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．填空题11、在东京奥运会跳水比赛中，中国小花全红婵的表现，令人印象深刻．在正常情况下，跳水运动员进行10米跳台训练时，必须在距水面5米之前完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易出现失误．假设某运动员起跳后第t秒离水面的高度为h米，且ℎ=−5t2+256t+10．那么为了避免出现失误，这名运动员最多有_____秒时间，完成规定的翻腾动作．答案：32##1.5分析：根据题意，令ℎ=5，解一元二次方程求解即可．依题意5=−5t2+256t+10整理得6t2−5t−6=0即(2t−3)(3t+2)=0解得t1=32,t2=−23（不符合题意，舍）所以答案是：32小提示：本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意将ℎ=5代入关系式是解题的关键．12、把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．答案：m>3分析：先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，所以答案是：m>3．小提示：本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．x2+4的图像上，那么m、n的大小关系是：13、已知点A（﹣7，m）、B（﹣5，n）都在二次函数y＝﹣13m_____n．（填“＞”、“＝”或“＜”）答案：<分析：先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质解决问题．x2+4可知，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为y轴，解：二次函数y=−13所以当x<0时，y随x的增大而增大，∵−7<−5，∴m<n，所以答案是：<．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．14、抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（−1，0），（−3，0），该抛物线的对称轴是直线________．答案：x=−2分析：根据点（−1，0）与（−3，0）的纵坐标都为0，可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=x1+x2求解即可．2解：∵抛物线与x轴的交点为（−1，0），（−3，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，=−2．则此抛物线的对称轴是直线x=−1+(−3)2所以答案是：x=−2．小提示：本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可求解．以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=x1+x2215、如图，抛物线y=1x2﹣3与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，3点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____．答案：2分析：连接AP，先解方程13x2﹣3＝0得A(−3,0)，B(3,0)，再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ=12AP，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值．解：连接AP．当y=0时，13x2﹣3＝0解得x1＝3，x2＝﹣3则A(−3,0)，B(3,0)∵Q是线段PB的中点．∴OQ为△ABP的中位线．∴OQ=12AP．当AP最小时，OQ最小．连接AC交圆于P时，PA最小．∵AC=√OA2+OC2=√32+42=5．∴AP的最小值：AP=AC−PC=5−1＝4．∴线段OQ的最小值：OQ=12AP=2．故答案为2．小提示：本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小．解答题16、受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．答案：(1)0≤x≤60且x为整数(2)20≤x≤60(3)a＝30分析：（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，{x≥0,300−5x≥0,400−x≥0,解得0≤x≤60，故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；（2）x的取值范围为20≤x≤60．理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，解得：x＝20或x＝70．要使y≥234000，得20≤x≤70；∵0≤x≤60，∴20≤x≤60；（3）设捐款后每天的利润为w元，则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，对称轴为x=900+a20=45+a20，∵0＜a≤100，∴45+a20>45，∵抛物线开口向下，当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，当x＝40时，w最大，∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，解得a＝30．小提示：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．17、如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m．当水位上涨刚好淹没小孔时，求大孔的水面宽度．答案：此时大孔的水面宽度为10m．分析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数求解函数式．根据NC的长度，得出函数值y，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为（0，6），A点坐标为（-10，0），B点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y=ax2+6，∵点B在此抛物线上，∴0=a×102+6，，解得a=-350∴函数式为y=-3x2+6．50∵NC=4.5m，∴令y=4.5，x2+6=4.5，代入解析式得-350x1=5，x2=-5，∴可得EF=5-（-5）=10．此时大孔的水面宽度为10m．小提示：本题是二次函数的实际应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数的解析式是关键．18、在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．答案：y =x 2−2x +1，(1,0)分析：直接把点A 、B 的坐标代入二次函数解析式进行求解，然后求出对称轴，最后问题可求解． 解：∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点A (0,1),B (3,4)；∴{n =19+3m +n =4， 解得：{m =−2n =1， ∴y =x 2−2x +1∴对称轴为直线x =−−22×1=1，∴y =12−2+1=0，∴顶点的坐标为(1,0)．小提示：本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．。