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关于矩阵的次合同
钟润华
【期刊名称】《渝州大学学报》
【年(卷),期】1997(014)002
【摘要】给出了矩阵的次合同概念及矩阵次合同的一些性质。
【总页数】3页(P36-37,75)
【作者】钟润华
【作者单位】渝州大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.矩阵的次O-合同 [J], 张艳;郭东溪
2.实次对称次正定矩阵的乔莱斯基分解及次厄米特矩阵与反次厄米特矩阵 [J], 曹莉莉;
3.矩阵的合同、相似与二次型 [J], 王芳珍
4.次正交矩阵与次合同矩阵 [J], 袁晖坪;张勇
5.次正规矩阵、次酉矩阵、次厄米特矩阵及反次厄米特矩阵 [J], 郭华
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Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质 (02)（二）Hermite矩阵的定理 (02)（三）Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质 (14)（二）反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ，特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite 矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵，即n n A C ´Î，H A 为A 的共轭转置，H A =A ， 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-，则称之为反Hermite 矩阵.定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n 维复向量X ，均有0H X AX >，则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，若H H AA A A =，则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，H H A A AA E ==，则将称A 为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理（一）Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知，Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12：（1）对所有n n A C ´Î，则H A A +，H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵；（2）如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，k A 也是Hermite 矩阵；（3）如果A 是可逆Hermite 矩阵，则1A -也是Hermite 矩阵；（4）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则对实数k ，p ，kA pB +也是Hermite 矩阵；（5）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =；（6）A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ，H S AS 是Hermite 矩阵.（二）Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵，则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î，H X AX 是实数；证明 必要性 因为H X AX 是数，所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ，Y n C Î，H X AX ,H Y AY ，()()H X Y A X Y ++都是实数，而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ，Y n C Î，H H X AY Y AX +是实数，令(,,,,,,)T j X =00100L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数，这表明jk a 与kj a 的虚部值相等，但符号相反，即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000L L 123，(,,,,,,)T kY =00100L L 123其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数，则jk a 与kj a 的实部相等，即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =，,,,,,j k n =L 123即A 是Hermite 矩阵.定理3-2[]4（Hermite 矩阵的谱定理） 设n n A C ´Î是给定的，则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数，此外，A 是实Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =L ，其中12,,,n l l l L 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵，例如，如果A 是Hermite 矩阵，那么，只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外，如果A 和B 是Hermite 矩阵，那()H H H AB B A BA ==，因此，AB 是Hermite 矩阵，当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵，则（ⅰ）A 是正规矩阵且所有特征值全是实数；（ⅱ）A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （ⅰ）A 为n 阶Hermite 矩阵，由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l L ，(,,,)i i n l =L 12是A 的是特征值，且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =，l 为A 的特征值，非零向量a 为l 的特征向量，即A a l a =，H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.（ⅱ）设l ，m 是A 的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x ，y ，则Ax x l =，Ay y m =从而H H y Ax y x l =，H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵，l ，m 均为实数，则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹，故x 与y 正交.定理3-4[]5（Hermite 矩阵的惯性定理） 设H 是n 阶Hermite 矩阵，则H （复）合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-， 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型，n I 表示n 阶单位矩阵，p ,q ，p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.（三）Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î，则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ，1U n n U ´Î，R 是正线上三角阵，1R 是正线下三角阵。
什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵什么条件下矩阵具有共轭对称的结构,厄米特矩阵在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，而其中的共轭对称结构和厄米特矩阵更是一种特殊且重要的性质。
那么，什么条件下矩阵具有共轭对称的结构，以及厄米特矩阵具有怎样的特性呢？在本篇文章中，我将从简单到复杂，从表面到深层，逐步为您进行阐述和解读。
一、矩阵的共轭对称结构1.1 什么是共轭对称？在矩阵理论中，共轭对称是指一个矩阵 A 的共轭转置等于其本身，即A* = A，其中 * 代表共轭转置。
这种性质在数学和物理领域中都有广泛的应用。
1.2 共轭对称矩阵的特性共轭对称矩阵具有非常重要的特性，比如它具有实数特征值和实数特征向量，从而保证了矩阵的对角化过程是简化的。
这种特性在量子力学和波动方程等领域有着重要的物理意义。
1.3 条件：什么样的矩阵具有共轭对称的结构？一个矩阵具有共轭对称的结构，需要满足矩阵的共轭转置等于其本身，即 A* = A。
这个条件是具有严格的数学定义的，只有满足这个条件的矩阵才能被称为共轭对称矩阵。
二、厄米特矩阵的特性与条件2.1 什么是厄米特矩阵？厄米特矩阵是共轭对称矩阵的特例，它是指一个矩阵 A 的共轭转置等于其本身，即 A* = A，其中 * 代表共轭转置。
在量子力学中，厄米特矩阵具有着重要的物理意义。
2.2 厄米特矩阵的特性厄米特矩阵具有许多重要的特性，比如它的特征值都是实数，并且它的特征向量是正交的。
这些特性使得厄米特矩阵在量子力学和波动方程的研究中扮演着重要的角色。
2.3 条件：什么样的矩阵是厄米特矩阵？一个矩阵具有厄米特矩阵的特性，需要满足矩阵的共轭转置等于其本身，即 A* = A。
只有满足这个条件的矩阵才能被称为厄米特矩阵。
总结与回顾通过对共轭对称结构和厄米特矩阵的讨论，我们可以看到矩阵的这些特殊性质在数学和物理领域中具有重要的应用价值。
在物理学中，厄米特矩阵可以表示观测算符，而在量子力学中，它具有着更为深刻的物理意义。
厄米特(hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法什么是埃尔米特(Hermite)矩阵？埃尔米特(Hermite)矩阵是一种特殊的矩阵，它的特点是每一行的元素都是互不相同的，不同行的元素也都不同。
埃尔米特(Hermite)矩阵最常见的一种形式是维数为n的Hn矩阵，它的元素都是从0开始编号的正整数，且每一行的元素与其他行的元素都不同。
半正定性和秩数的判别法矩阵的半正定性指的是，所有非零列向量之间的内积非负，而矩阵的秩指的是矩阵的列向量的最大线性无关集合的维数。
一般来说，一个埃尔米特(Hermite)矩阵的半正定性和秩数之间存在一定的联系，可以用来判断一个埃尔米特(Hermite)矩阵是否为半正定矩阵，以及它的秩数。
秩数的判定求解秩数的方法有多种，但是最常用的方法是利用埃尔米特(Hermite)矩阵来判定秩数，这种方法可以用来判断一个矩阵的秩数是否大于等于它的行数，从而确定矩阵是否半正定。
利用埃尔米特(Hermite)矩阵判定秩数的方法是：首先，将原矩阵组成一个埃尔米特(Hermite)矩阵，其次，将这个埃尔米特(Hermite)矩阵的列向量求和，最后，将得到的和矩阵的行数进行比较，如果得到的和矩阵的行数一致，那么这个矩阵的秩数就是原矩阵的秩数，如果得到的和矩阵的行数小于原矩阵的秩数，那么这个矩阵的秩数就小于原矩阵的秩数。
半正定性的判断要判断一个埃尔米特(Hermite)矩阵是否为半正定矩阵，可以通过比较其列向量的内积是否非负来判断，如果列向量的内积都非负，则说明这个矩阵是半正定矩阵，如果列向量的内积有负值，则说明这个矩阵不是半正定矩阵。
综上所述，埃尔米特(Hermite)矩阵的半正定性和秩数的判别法主要是通过比较列向量的内积是否非负以及将埃尔米特(Hermite)矩阵的列向量求和计算秩数来判断矩阵是否半正定以及求出矩阵的秩数。
这种判别法可以有效地帮助我们了解和分析埃尔米特(Hermite)矩阵的特性以及它的结构。
第4讲复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推广为复二次型，介绍厄米（Hermite）二次型.§1 复内积空间(酉空间)1. 复内积空间(酉空间)定义1.1设V是复线性空间,若对于V中任意两个元素（向量）x和y,总能对应唯一的复数，记作),(y x,且满足以下的性质：（1）对称性;),(),(_____x yx=y（2）可加性);,(),(),=x++(z yz xz y（3）齐次性;ykkx∈),=x∀y),,(k(C（4）非负性,0x),(=xx),(≥x当且仅当0=x时,0则称该复数是V中元素（向量）x和y的内积.称定义了内积的复线性空间V为酉空间(或称U空间或复内积空间).例1.1 在n维向量空间n C中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21Λ=，T n y y y y ),,,(21Λ=，若规定 ∑==+++=n k kk n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),(Λ，则容易验证，它是nC 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1)V x x x ∈∀==,0)0,(),0( (2)C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__ (3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y x y x ≤),((3) 两个非零向量的夹角)2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似定义正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基均可通过Schmidt 方法化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换定义1.2 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，则称σ为U 空间上的酉变换，而满足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理1.1 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 保持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==定义1.3 设σ是U 空间中的一个线性变换，若对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，则称σ为U 空间上的复对称变换，满足A A A A H H -==,的矩阵分别称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵定义2.1 设n n C A ⨯∈,若满足A A AA H H=,则称A 为正规矩阵.特别,当n n R A ⨯∈时，若满足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.定义2.2 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，如果存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），则称A 正交（酉）相似于B ．定理2.1 设A 为正规阵,则与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特征向量；A 的属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。
第4讲 复内积空间 (酉空间)内容：1. 复内积空间2. 正规矩阵3. Hermite 二次型欧氏空间是针对实线性空间而言的，本讲先讨论复数域上线性空间的内积及其性质，然后将实二次型推行为复二次型，介绍厄米（Hermite ）二次型.§1 复内积空间 (酉空间)1. 复内积空间 (酉空间)概念 设V 是复线性空间,假设关于V 中任意两个元素（向量）x 和y ,总能对应唯一的复数，记作),(y x ,且知足以下的性质：（1）对称性 ;),(),(_____x y y x =（2）可加性 );,(),(),(z y z x z y x +=+（3）齐次性 ;),,(),(C k y x k y kx ∈∀=（4）非负性 ,0),(≥x x 当且仅当0=x 时,0),(=x x那么称该复数是V 中元素（向量）x 和y 的内积.称概念了内积的复线性空间V 为酉空间(或称U 空间或复内积空间).例1.1 在n 维向量空间n C 中，任意两个向量T n x x x x ),,,(21 =，T n y y y y ),,,(21 =，假设规定 ∑==+++=n k k k n n y x y x y x y x y x 1____2__21__1),( ，那么容易验证，它是n C 中向量x 和y 的内积.2. 酉空间的性质：(1) V x x x ∈∀==,0)0,(),0((2) C k V y x y x k ky x ∈∀∈∀=,,),,(),(__(3) V z y x z x y x z y x ∈∀+=+,,),,(),(),((4) ),(),(11__11∑∑∑∑=====n j n i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k3. 酉空间的一些结论(1) 向量的长度),(x x x =(2) Cauchy-Schwarz 不等式: y xy x ≤),((3) 两个非零向量的夹角 )2,0(,)),)(,((arccos ,21π≤><≤>=<y x y x x y y x y x (4) 当0),(=y x 时，称x 与y 正交，积作y x ⊥.与欧氏空间一样，在酉空间中也可类似概念正交基，标准正交基，而且V 中的任一组基都可通过Schmidt 方式化为一组标准正交基.4. 酉变换和复对称变换概念 设σ是U 空间中的一个线性变换，假设对U ∈∀βα,，均有),())(),((βαβσασ=成立，那么称σ为U 空间上的酉变换，而知足1-=A A H 的矩阵A 称为酉矩阵.定理 设σ是酉空间V 上的一个线性变换，那么以下命题是等价的：(1) σ是一个酉变换(2) 维持元素的长度不变,即对任意的V ∈α，有αασ=)((3) V 中任意一个标准正交基其象仍是一个标准正交基(4) 在任一个标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即E A A AA H H ==概念 设σ是U 空间中的一个线性变换，假设对U ∈∀βα,，均有))(,()),((βσαβασ=成立，那么称σ为U 空间上的复对称变换，知足A A A A H H -==,的矩阵别离称为Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵.§2 正规矩阵概念 设n n C A ⨯∈,假设知足A A AA H H=,那么称A 为正规矩阵.专门,当n n R A ⨯∈时，假设知足A A AA T T =,称A 为实正规矩阵.显然，对角矩阵, Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵和酉矩阵都是正规矩阵，而正交矩阵，实对称矩阵和实反对称矩阵都是实正规矩阵.概念 设)(,n n n n C R B A ⨯⨯∈，若是存在n 阶正交（酉）矩阵U ，使得B AU U AU U T ==-1，（B AU U AU U H ==-1），那么称A 正交（酉）相似于B ．定理 设A 为正规阵,那么与A 酉相似的矩阵都是正规阵；A 必有n 个线性无关的特点向量；A 的属于不同特点值的特点子空间是相互正交的。
