第四章 正规矩阵与矩阵的分解

1 2 2 A , 4 5 8
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T

A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A

线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。

在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。

一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。

通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。

LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。

二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。

QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。

QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。

三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。

SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。

奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。

四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。

特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。

特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。

五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。

矩阵分析引论第四版课后练习题含答案简介《矩阵分析引论》是矩阵分析领域的经典教材之一，已经发行了四个版本。

该书主要以线性代数、矩阵理论和应用为主要内容，重点介绍了矩阵分析的基本概念、原理和应用。

本文主要介绍该书第四版中的课后练习题及其答案。

提供的资料本文为矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案，包含了第一章到第五章的所有习题和答案。

其中，习题从简单到复杂，大部分习题都有详细的解答过程和答案。

内容概述第一章引言第一章主要介绍了矩阵分析的历史和基本概念、性质、符号等。

本章习题主要涉及了矩阵、向量、矩阵运算等基本概念和性质。

第二章基本概念和变换第二章主要介绍了线性变换的基本概念和性质，以及线性代数中的一些重要定理和定理的证明。

本章习题主要涉及了线性变换、矩阵的秩和标准型、特征值和特征向量等内容。

第三章矩阵运算第三章主要介绍了矩阵运算的基本概念和性质，包括矩阵乘法、逆矩阵、行列式等。

本章习题主要涉及矩阵运算的基本操作和应用。

第四章矩阵分解第四章主要介绍了矩阵分解的基本概念和应用，包括特征值分解、奇异值分解、QR分解等。

本章习题主要涉及了矩阵特征值和特征向量、矩阵的奇异值分解等内容。

第五章线性方程组和特征值问题第五章主要介绍了解线性方程组和求特征值的方法，包括高斯消元法、LU分解、带状矩阵、雅可比迭代等。

本章习题主要涉及了线性方程组的解法、矩阵的特征值问题等内容。

结语本文介绍了矩阵分析引论第四版课后练习题及其答案。

对于学习矩阵分析的同学，课后习题是一个非常重要的练习和提升自己能力的途径。

本文所提供的习题和答案可以帮助读者巩固和提高自己的矩阵分析能力。

同时，本文也希望能够帮助更多的人学习矩阵分析，并成为矩阵分析领域的专家。

矩阵分解方法矩阵分解方法是一种将一个大型矩阵分解成小矩阵的技术。

这种方法在数学、计算机科学、物理和化学等领域都得到了广泛的应用。

本文将介绍这种技术的基本原理、常见方法以及应用案例。

一、基本原理矩阵分解技术的基本原理是将一个大型矩阵分解成小矩阵，这些小矩阵可以更容易地进行计算和存储。

通常情况下，矩阵可以分解成若干个子矩阵的乘积形式，即$A=BC$，其中$A$为大矩阵，$B$为左边的小矩阵，$C$为右边的小矩阵。

二、常见方法1.奇异值分解(SVD)奇异值分解是一种将一个矩阵分解成三个正交矩阵的乘积形式的方法。

其中一个正交矩阵包含了原矩阵的奇异值，而另外两个正交矩阵则包含了原矩阵的左右奇异向量。

这种方法在数据降维、信号处理、模式识别等领域得到了广泛的应用。

2.QR分解QR分解是一种将一个矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。

这种方法在线性代数、统计学、数值分析等领域得到了广泛的应用。

3.LU分解LU分解是一种将一个矩阵分解成一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积形式的方法。

这种方法在求解线性方程组时得到了广泛的应用。

三、应用案例1.推荐系统推荐系统是一种基于用户历史行为和偏好的算法，通过对用户喜好和商品特征进行分析和预测，为用户推荐最可能感兴趣的商品。

矩阵分解技术可以对用户行为和商品特征进行分解，从而得到用户和商品的隐含特征向量，从而更好地实现推荐。

Netflix prize就是一个基于矩阵分解技术的推荐系统竞赛。

2.图像处理图像处理是一种将数字信号处理与计算机视觉相结合的技术。

在图像处理中，矩阵分解技术可以将图像矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现图像处理和压缩。

3.自然语言处理自然语言处理是一种将人类语言转化为计算机可处理的形式的技术。

在自然语言处理中，矩阵分解技术可以将句子矩阵分解成若干个小矩阵，从而更好地实现语言模型训练和文本分类。

综上所述，矩阵分解方法具有广泛的应用价值和理论意义，在学术界和工业界都得到了广泛的关注和应用。

定 理3 1、若A为实对称矩阵，则 A的特征值为实数 . 2、 A是Hermite矩阵，则 的特征值为实数 若 A . 3、 若A为 正 交 矩 阵 或 酉 矩 阵 则A的 特 征 值 为 单 ，
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .

矩阵分解的常用方法一、矩阵的三角分解定义：如果方阵可分解成一个下三角形矩阵L和上三角形矩阵U的的乘积，则称可作三角分解或LU分解。

定理1：高斯消元过程能够进行到底的充分必要条件是的前n-1个顺序主子式都不为零，即k ≠0，k=1，2，…，n-1。

（1）当条件（1）满足时，有L（n-1）…L（2）L（1）=U。

其中U为上三角形矩阵L（k）=lik=，i=k+1，…，n。

容易得出，detL（k）≠0（k=1，2，…，n-1），故矩阵L（k）可逆，于是有=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1U。

由于（L（K））-1是下三角形矩阵，故它们的连乘积仍然是下三角矩阵。

令L=（L（1））-1（L（2））-1…（L（N-1））-1=则得=LU。

即分解成一个单位下三角形矩阵L和一个上三角形矩阵U的的乘积。

二、矩阵的QR（正交三角）分解定义：如果实（复）非奇异矩阵能化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R的乘积，即=QR，则称上式为的QR分解。

定理2：任何实的非奇异n阶矩阵可以分解成正交矩阵Q 和上三角形矩阵R的乘积，且除去相差一个对角线元素之绝对值等于1的对角矩阵D外，分解成=QR是唯一的。

矩阵QR的分解具体做法如下：令的各列向量依次为α1，α2，…，αn，由于是非奇异的，所以α1，α2，…，αn线性无关，按照施密特正交法正交化得到个标准的正交向量β1，β2，…，βn，且β=bαβ=bα+b22α2β=bα+b2nα2+…+bnnαn这里bij都是常数，且由正交化过程知bii≠0（i=1，2，…，n）写成矩阵形式有（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）β，即Q=B。

其中B=是上三角矩阵（bii≠0，i=1，2，…，n）。

显然B可逆，而且B=R-1也是上三角矩阵，由于Q的各列标准正交，所以Q 正交矩阵，从而有=QR。

三、矩阵的奇异值分解定理3 （奇异之分解定理）设是一个m×n的矩阵，且r （）=r，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得UHV=（2），其中？撞=dig（1…r），且1≥2≥…≥r≥0。

§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。

这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。

一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。

将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。

首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。

定义1 如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈<=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n =均为正实数，()(,1,2,1;∈>=-ij a C R i j i n1,2,),=++j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n ==时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。

定理1设,⨯∈n nnA C 则A 可唯一地分解为 1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。

策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分， 平手各得零分
0
1
–1
–1
0
1
1
–1
0
石头 剪子 布
乙方
石头 甲
剪子 方
布
0 1 1 答案 : 1 0 1 .
1 1 0
2.矩阵的线性运算（矩阵加法、 数乘） （1）矩阵相等
定义 设有两个m×n矩阵
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
总利润:862.5元
C矩其(1阵中)定AA义c与Baaij 12B设11的a矩i1乘baa阵 1积12j22是a一Ai 2b个2 jmaaa×i 12j ssnm矩sa阵,bbiBs12b11sCj bbbi12sj22ascinki b.j kjmbbn12nn,
a m1 i
a1m,22,, m; aj ms1,2,bs,1n
矩阵,也就是一个数.
4 1 0
例8
求
矩
阵A
1 2
0 1
3 0
21与B
1
2
1
1 0 3
3的 1
乘 积AB.
4
解
4 1 0
C AB
1 2
0 1
3 0
1
2
1
2
1
1 0 3
3 1 4
14 01 32 11 11 01 30 13 10 0 3 31 14
24 11 0 2 21
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（

n
定义 E
xi2 .
证明
a,
都与
b
E 等价.
i 1
利用 a
x11 xn n
( x1 ,, xn )连续，
在单位球面
S
y
(
y1 ,,
yn
n
)
i 1
yi2
1
上
取得最大值M与最小值m.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
第二节 矩阵范数
定义4-2 设A P nn ,定义非负实数 A， 满足下列条件: (1) 正定性：当A 0时，A 0; (2) 齐次性：kA k A (k P); (3) 三角不等式： A B A B . (4) AB A B . 则称非负实数||A||为n×n方阵的范数.
则称非负实数||||为向量 的范数.
此时称线性空间V 为线性赋范空间.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
设V是内积空间， V ,定义： ( , ),
则 • 是V上的一个范数，称为由内积引出的范数.
向量范数的性质：
P124, 1
(1) 0 0 ;
(2) 0时， 1 1 ;
A F
n
2
aij
tr( AH A）
i , j1
是与 2相容的方阵范数. 称为 F 范数.
注：当U为酉矩阵时，有
F范数的优点
A的酉相似矩阵的F 范数相同.
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第四章第一二节 向量范数、矩阵范数
常用的矩阵范数
n
(1)
A
1
max
1 jn i 1
aij

高等代数课件(北大版)第四章矩阵第一节：矩阵的概念及基本运算矩阵是现代数学的重要基础，是线性代数理论的核心概念之一。

在数学和应用领域有着重要的应用价值。

1.1 矩阵的定义定义1.1：矩阵是一个有规律的数表，其中的每一个数称为矩阵的一个元素，通常用一个大写字母表示。

例如:$$A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}$$其中 $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素。

1.2 矩阵的基本运算1.2.1 矩阵的加法定义1.2：设 $A=(a_{ij})_{m \times n},B=(b_{ij})_{m \times n}$，则其和 $C=A+B$ 定义为矩阵 $C$ 的元素为 $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。

例如：$$A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\7 & 8 & 9\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -3 \\-4 & -5 & -6 \\-7 & -8 & -9\end{pmatrix},$$则 $C=A+B$ 得：$$C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$1.2.2 矩阵的数乘定义1.3：设 $A=(a_{ij})_{m \times n}$，$k \in K$，则矩阵 $kA$ 定义为矩阵 $kA$ 的元素为 $ka_{ij}$。

矩阵分解的算法实 现
高斯消元法
基本思想：通过行变换将矩阵 化为上三角矩阵或对角矩阵
步骤：选择主元素、消元、回 代
应用：求解线性方程组、求逆 矩阵、求特征值和特征向量
优点：计算量小，易于实现， 适用于稀疏矩阵和带状矩阵
迭代法
迭代法的基本思想：通过不断迭代， 逐步逼近目标解
迭代法的应用：在矩阵分解、数值 优化、图像处理等领域有广泛应用
U：上三角矩阵，对角线以上元素为0
LDU分解的应用：求解线性方程组、计算矩阵的逆矩阵等
平方根分解
平方根分解的定义：将矩阵分解为 两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是 单位矩阵，另一个矩阵是矩阵的平 方根。
平方根分解的应用：平方根分解在 数值计算、线性代数、优化等领域 有着广泛的应用。
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迭代法的步骤：设定初始值，计算 迭代函数，更新迭代值，直到满足 停止条件
迭代法的优缺点：优点是简单易实 现，缺点是收敛速度慢，容易陷入 局部最优解
共轭梯度法
共轭梯度法是一种求解线性方程组的迭代方法 共轭梯度法的基本思想是利用共轭梯度方向进行迭代 共轭梯度法的优点是收敛速度快，稳定性好 共轭梯度法的缺点是计算量大，需要存储大量的中间结果
a. 选取一组向量 b. 计算向量组的内积 c. 计算向量组的正交化向量 d. 重复步骤b和c，直到所有向量都正交
优点： a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
a. 简单易行 b. 适用于任意维数的向量组
应用： a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
a. 矩阵的正交分解 b. 线性代数的其他领域
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1
1
2
2
解： A 的特征值为 `1 0, `2 `3 `4 1，则
JA
A1 ( 2)
A2
(1)
因为特征值 `1 0 为单根，所以 A1(0) 0
并从 ( A 0 I )x 解得对应的特征向量为
1 (1, 3,1, 2)T
对于三重特征值 `2 `3 `4 1 ，由 ( A (1) I )x 解得两个特征向量为
的基底变换，其目的在于寻找描述同一系统的运动行
为的尽可能简单的状态空间描述。
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0
x
Ax
Bu
0
0
1
x
0
u
2 3 0 1
这里矩阵 A 是特征多项式 | I A |的友矩阵。
解： | I A | 3 3 2 ( 2)( 1)2 0
n1
n2
nt
即矩阵 A 是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一类最
特殊的可对角化矩阵。
例 3 求矩阵 A 的 Jordan标准型 J A 和相应的 Jordan变换矩阵 P ，其中
1 1 0 A 4 3 0
1 0 2
解： A 特征值为 `1 2, `2 `3 1 ，所以设
JA
A1 ( 2)
,
p( ni ij
j))
由 Ap i j pi j J j ( i ) ，可知
( A i I ) pi(1j )
(
A
i
I
)
pi(
2 j
)
pi(1j )
(
A
i
I
)
p( ni ij
j
)
p( ni j 1) ij

引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。

许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。

在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。

在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。

英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。

凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。

后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。

而在我国，矩阵的概念古已有之。

从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。

尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。

而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。

这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。

随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。

矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。

矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。

在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。

如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。

这就是矩阵分解的主要目的。

而且对于矩阵的秩的问题，特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。

详细描述
满秩分解法是将一个矩阵分解为一个或多个秩为1的矩阵的乘 积的方法。通过这种方法，可以将一个复杂的矩阵问题转化 为多个简单的问题，便于分析和计算。满秩分解在数值分析 、线性代数等领域有广泛应用。
约当标准型分解法
总结词
将矩阵通过一系列行变换和列变换化为 约当型，得到标准型分解。
VS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
约当标准型分解法是将一个矩阵通过一系 列行变换和列变换化为约当型的方法。约 当型是一种特殊形式的矩阵，其特点是每 一对角线上的元素都是非零的，且其他位 置上的元素都为零。约当标准型分解在解 决线性方程组、判断矩阵是否可逆等问题 中有广泛应用。
应用广泛
在许多领域中，如线性代 数、数值分析、控制论等 ，标准型分解都发挥着重 要的作用。
矩阵标准型分解的历史背景
早期研究
矩阵的标准型分解思想可 以追溯到19世纪末，当时 数学家开始研究矩阵的分 解问题。
关键进展
20世纪初，数学家如埃尔 米特、嘉当和克莱因等做 出了重要贡献，推动了标 准型分解理论的发展。
各个元素。
三阶矩阵的标准型分解实例
总结词
通过三阶矩阵的实例，进一步展示标准型分 解的复杂性和计算技巧。
详细描述
选取一个三阶矩阵B，对其进行一系列初等 行变换和初等列变换，将其化为标准型矩阵 。在变换过程中，详细解释每一行变换的步 骤和计算方法，以及如何得到标准型矩阵的
各个元素。
高阶矩阵的标准型分解实例
性质
标准型分解具有唯一性，即对于同一个矩阵，其标准型分解是唯一的。此外， 标准型分解还具有可交换性，即矩阵的乘法运算和标准型分解的顺序可以交换 。
矩阵标准型分解的重要性
01
02

例3 判断A是否为正规矩阵，如果是，将其酉对角化
1 i 0 Ai 0 i
0 i 1
解 显然A满足 AH A 即A是Hermite矩阵，从而是正规阵 由 E A ( 1)( 1)( 2) 得A的特征值
1 1 2 1 3 2
解i I AX 0
1
1 2i
1
求得对应的线性无关特征向量
1
2 0
1
1
3 i
1
经过验证它们两两正交。
实际上，对于正规矩阵来说，属于不同特征值的特征向 量相互正交。 因此，只需将它们单位化得：
p1
1 6
1 2i 1
1
p2
1
2
0 1
p3
1 3
1 i 1
即酉变换矩阵为
1 1 1
6
2 3
P
2i 6
0
i 3
1
1 1
s
(3) Pi I
i 1
0 1 1 1
例5、求正规矩阵
A
1 1 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
的谱分解
由矩阵A的特征多项式 E A ( 1)3( 3)
得A的特征值 1 1(三重）, 2 3 对于 1 1, 相应的线性无关的特征向量为
x1 1,1,0,0T , x2 1,0,1,0T , x3 1,0,0,1T
对于2 3, 相应的特征向量为 x4 1,1,1,1T
将x1,x2,x3标准正交化得：
1
1, 2
1 2
,0,0
T
,2
1, 6
1, 6
2 6
T
,0
,3
1, 12

14-3 矩阵分解21.满秩分解2.LU 分解3.QR 分解4.Schur 分解5.奇异值分解31. 满秩分解设矩阵A ∈R m ×n ，且rank A =r (r ≤m ,r ≤n )，则存在矩阵分解：A =FG ，其中F ∈R m ×r ，且rank F =r (列满秩)，G ∈R r ×n ，且rank G =r (行满秩). 称为满秩分解.4满秩分解反映出关于矩阵A 的秩的信息.应用：当r 远小于m 和n 时，利用满秩分解可以去除掉A 中的冗余信息，节省存储量和运算量.52. LU 分解设矩阵A ∈R n ×n ，如果存在单位上三角矩阵L ，下三角矩阵U ，使得A =LU ，则称之为A 的LU 分解.如果存在单位上三角矩阵L ，单位下三角矩阵U ，对角矩阵D ，使得A =LDU ，则称之为LDU 分解.6定理1：矩阵A 的LDU 分解存在唯一(或LU 分解存在)的充要条件是A 的顺序主子式D k ≠0.LU 分解的实现过程实际上就是Gauss 消去法.应用：求解线性方程组Ax =b .方法：初等行变换逆计算LUx=b LY=b Ux=Y7对称正定矩阵的Cholesky 分解A =LL T其中L 为下三角矩阵.83. QR 分解设矩阵A ∈R n ×n ，且非奇异，则存在正交矩阵Q ，非奇异上三角矩阵R ，使得A =QR ，称之为QR 分解(QR decomposition)，且此时分解唯一.设矩阵A ∈R m ×n (m >n )，且列满秩，则存在正交矩阵Q ∈R m ×m ，上三角矩阵R ∈R m ×n ，使得A =QR .9而且此时Q =[Q 1Q 2]，R =[R 1;0]，其中Q 1∈R m ×n 满足Q 1T Q 1=I n ，R 1∈R n ×n 是非奇异上三角矩阵.这样分解式为A =Q 1R 1，称为compact QR decomp .QR 分解的实现方式：GS/MGS ，Givens 变换，Householder 变换.10当A 不是非奇异或列满秩时，情况会怎样？114. Schur 标准型定理2（Schur 分解）设A 是n 阶复矩阵，则存在酉矩阵U 使得,U AU T ∗=其中T 是上三角矩阵，其对角元就是A 的特征值.而且适当选取U ，可使T 的对角元素按任意指定的顺序排列.复矩阵A 称为正规(normal)矩阵，若A *A =AA *.12推论1：(1) A 是正规矩阵的充要条件是存在酉矩阵U 使得U *AU 是对角矩阵.(2) A 是Hermite(对称)矩阵的充要条件是存在酉(正交)矩阵U 使得U *AU 是实对角矩阵.A 的共轭变换阵=A 的逆矩阵，A 为酉矩阵13定理3（实Schur 分解）：设A 是n 阶实矩阵，则存在正交矩阵Q 使得T ,U AU T =其中T 是拟上三角(quasi upper triangular)矩阵，即T 是分块上三角矩阵，对角块是1×1或2×2的块，其中1×1的块对应A 的实特征值，2×2的块对应A 的共轭成对的复特征值.而且适当选取Q ，可使T 的对角块按任意指定的顺序排列.(实)Schur 分解是数值计算特征值的理论基础.144. 奇异值分解(SVD)定理4：设A 是m ×n 的复矩阵，秩为r ，则存在两个酉矩阵U ∈C m ×m ，V ∈C n ×n ，使得,00r U AV ΣΣ∗⎡⎤==⎢⎥⎣⎦其中Σr =diag(s 1,…,s r )，s 1≥s 2≥…≥s r .15定理中的分解式称为A 的奇异值分解(Singular ValueDecomposition).s i 称为A 的奇异值(singular value).V 的第i 列称为属于s i 的右单位奇异向量.U 的第i 列称为属于s i 的左单位奇异向量.16推论2：设A 是m ×n 的复矩阵，秩为r ，则(1) A 的非零奇异值的个数等于A 的秩r ；(2) v r +1,…,v n 构成N (A )的标准正交基；(3) u 1,…,u r 构成R (A )的标准正交基；17(4) 记U =[U 1U 2]，V =[V 1V 2]，其中U 1∈C m ×r ，V 1∈C n ×r 则有111,rr i i i i A U V u v Σσ∗∗===∑称为A 的满秩奇异值分解.SVD 有着广泛的应用，如Google .T T ()(),()().n m R N A R A R N A R A =⊕=⊕。

i 1
i 1
6)因为E j =U j UHj ，由上节引理知r(E j )=r(U j )=n j.
r
r
r
r
: AAH j E j ( j E jH ) i i Ei EiH i i Ei
j 1
j 1
i 1
i 1
r
且AH A i i Ei , i 1
所以AAH =AH A.
正规矩阵谱分解步骤：
第五节 谱分解
1.正规矩阵的谱分解
设A是正规矩阵，则U Unn , 满足：A=Udiag{1, ,n}UH ,
若令U=(1, ,n ),则
A=(1,
,n )diag{1,
,n
}
1H
H 2
111H
H n
n
n
H n
(1)
其中
i是矩阵A的特征值i所对应的单位特征向量，i
H是
i
n阶矩阵.(1)式称为A的谱分解.由于i可能是重根，所以上式
任取z V1 V2,有z Ex, Ez ,这里为原点对应的向量. 则 =Ez=E2x Ex z,所以V1 V2 ={}，
x Cn，有x=Ex+(I-E)x,其中Ex V1，(I-E)x V2， 所以Cn =V1 V2.
=(1,
0,
1),
2
=
(0,
1 5
,
2 5
),
3
=(0,
2 5
,
1 5
)
1
1 0 1
则E1
=11
=
0
(1,
0,
1)=
0
0
0
0
0 0 0
0
2 5