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复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
matlab对hermite矩阵分解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括对Hermit矩阵分解的定义和背景的介绍。
下面是一个可能的概述内容的例子：在数学和计算科学的领域中，矩阵分解是一种重要的技术，用于将复杂的大矩阵表示转化为更简洁、可处理的形式。
其中一种矩阵分解方法是Hermit矩阵分解，它是对Hermit矩阵进行分解的一种特殊方法。
Hermit矩阵是一种具有特殊属性的正方矩阵，其元素复共轭对称。
在Hermit矩阵分解的过程中，通过将一个Hermit矩阵表示为两个特定形式的矩阵的乘积，可以使得矩阵运算更加有效，并且可以提取出矩阵的结构信息。
本文旨在介绍MATLAB在Hermit矩阵分解中的应用，并讨论Hermit 矩阵分解的算法和实现。
首先，我们将详细介绍Hermit矩阵分解的概念和相关背景知识。
接着，我们将探讨MATLAB在Hermit矩阵分解中的具体应用，包括如何使用MATLAB进行矩阵分解和分析。
最后，我们将总结Hermit矩阵分解的优势和局限性，并展望未来相关研究的发展方向。
通过本文的阐述，读者将能够了解Hermit矩阵分解及其在科学和工程问题中的应用价值，同时也能够熟悉MATLAB在这一方面的操作和实现。
无论是对于研究人员还是对于对矩阵分解感兴趣的读者来说，本文都将为他们提供有用的信息和参考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文共分为以下几个部分进行讨论和叙述。
第一部分为引言部分，对整篇文章进行概述，并介绍文章的结构和目的。
在这一部分中，我们将简要介绍Hermit矩阵分解的概念以及MATLAB 在该领域的应用。
第二部分为正文部分，主要讨论Hermit矩阵分解的概念、MATLAB 在该领域的具体应用以及Hermit矩阵分解的算法与实现。
我们将详细介绍Hermit矩阵分解的相关概念，包括其定义、特性等，并探讨MATLAB 在该领域中的重要作用和应用。
此外，我们还将介绍一些常用的Hermit 矩阵分解算法，包括其原理、步骤和实现方式。
正定Hermitian 矩阵的分解法的概述及应用［摘要］对正定Hermitian 矩阵的定义、性质以及Cholesky 分解法做简单的概括、分析。
利用正定Hermitian 阵的Cholesky 分解法来解决一些题目，由此，我们可以看出一些矩阵可以分解成一些具有特殊特定性质的矩阵。
［关键词］矩阵分解、正定Hermitian 矩阵、Cholesky 分解法 1.定义关于矩阵的分解，一般的理论有①矩阵的三角分解（Crout 分解、TLDL 分解、Doolittle [5]分解等等），②矩阵的正交三角分解（方阵的QR 分解，长方阵的QR 分解），③矩阵的满秩分解，④矩阵的奇异分解。
现在我要给出一种特殊的三角分解：正定Hermitian 矩阵的分解及应用。
为此，先引入 定义[1]1，设n nA C⨯∈，若HAA =，则称A 是Hermitian 矩阵；若H A A =-，则称A 是反Hermitian 矩阵。
定义2.对于Hermitian 矩阵的二次齐式，(),,H n f x X AX X C =∈下列命题是等价： (1)()f x 是正定的；(2)对于任何n 阶可逆矩阵P 都有HP AP 为正定矩阵； (3)A 的n 个特征值全大于零；(4)存在n 阶可逆矩阵P ，使得HP AP E =； (5)存在n 阶可逆矩阵Q ，使得HA=Q Q(6)存在正线上三角矩阵R ，使得HA R R =，且分解是唯一的。
2. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解 (或平方根分解或对称三角分解)2.1. 正定Hermitian 矩阵的Cholesky 分解的可行性 1.以下两个命题等价： 命题[1]1，设n nA C⨯∈是正定Hermitian 矩阵一，则A 可分解为1/21/2()()H H A LDLDLL == 其中1/2L LD= ，L 是单位下三角矩阵，1/2D diag = ， (1,2,,k k n = 是A 的k 阶顺序主子式。
第三章 内积空间基本概念在几何分析时，向量的长度、夹角是基本的度量。
§3.1 内积空间基本概念定义 1.1 设V 为数域()C 或R F 上线性空间，若有一法则使V 任两向量βα,确定F 中唯一的数，记为〉〈βα,，且〉〈βα,满足：（1）〉〈=〉〈βααβ,,，V ∈∀βα,；（共轭对称） （2）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,，V ∈∀γβα,,； （3）,,,〉〈=〉〈βαβαk k F k ∈∀，V ∈∀βα,； （4）0,≥〉〈αα，且等号成立当且仅当θα=。
则称><βα,为βα,的内积，V 为内积空间。
特别C F =时称()C V 为酉空间，R F =时称()R V 为欧氏空间。
注 （1）〉〈+〉〈=〉+〈γαβαγβα,,,；〉+〈=〉+〈αγβγβα,, 〉〈+〉〈=αγαβ,, 〉〈+〉〈=αγαβ,,〉〈+〉〈=γαβα,,；（2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； （3）0,,=〉〈=〉〈αθθα。
例1 在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈n R 为欧氏空间。
例2 在n R 中定义,,AX Y Y X T =〉〈其中A 为n 阶正定矩。
例3在n R 中定义,,X Y Y X T =〉〈，n C 为酉空间。
例4 n n C ⨯中TH H B B trAB B A =>=<,,。
例5 ()b a R V ,)(=上一切连续函数的集合),(b a C ，()(),,dx x g x f g f ba ⎰>=<()()V x g x f ∈∀,，()R V 是欧氏空间。
定义1.2 设n ααα,,,21 为内积空间V 的一组基，记,,ij j i g x x =〉〈()n j i ,,2,1, =，则称n 阶矩阵ij g G =，故G G H =。
定理1.1 设内积空间V 的一组基{}ni 1α的度量矩阵为G ，V 中向量βα与在该基下坐标向量分别为Y X ,，则X G Y Y G X T H T =>=<βα,。
《矩阵理论》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程英文名称：Matrix Theory2、课程类别：基础课程3、课程性质：学位课4、课程学时：总学时 365、学分：26、先修课程：《线性代数》7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论8、适用专业：适用于理、工等专业9、大纲执笔：应用数学教研室10、大纲审批：理学院教授委员会11、制定(修订)时间：2015年6月二、课程的目的与任务《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。
矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。
三、课程的基本要求本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。
第3章 内积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3-1．已知A=（ij a ）是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量α=[1x ,2x ,…, n x ], β=[1y ,2y ,…, n y ]，定义内积(α, β)= αA H β (1) 证明在上述定义下，nC 是酉空间； (2) 写出nC 中的Canchy-Schwarz 不等式. 3-2．已知A= 2 1 -1 1 -31 1 -1 0 1⎛⎫⎪⎝⎭，求N(A)的标准正交基.3-3．已知(1) A=3083-16-20-5⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A=-1-26-103-1-14⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭试求酉矩阵U ，使得HUAU 是上三角矩阵.3-4．试证：在nC 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵. 3-5．验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使HUAU 为对角矩阵，已知(1) A=131612⎛ ⎪ ⎪⎝⎭(2) A=0-110000i i ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) A=194+34-6-2-44-3-2-66+2-2-60i i i ii i i i ⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭(1) A=1-111⎛⎫⎪⎝⎭3-6．求正交矩阵Q ，使TQ AQ 为对角矩阵，已知(1) A=2-20-21-20-20⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭(2) A=110-111-100-111-1011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-7．试求矩阵P ，使HP AP=E(或TP AP=E)，已知(1) A=1i 1+i -i 011-i 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) A=22-225-4-2-45⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-8．设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于-1，试证：矩阵E+U 满秩，W=i(E-U)()1E U -+是Hermite 矩阵.反之，若W 是Hermite 矩阵，则E-iW 满秩，且U=(E+iW)()1E-iW -是酉矩阵. 3-9．若S,T 分别是实对称和反实对称矩阵，且det(E-T-iS )≠0，试证：(E+T+iS)()-1E T iS ++是酉矩阵.3-10．设A 、B 均是实对称矩阵，试证：A 与B 正交相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-11．设A 、B 均是Hermite 矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同.3-12．设A 、B 均是正规矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同. 3-13．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得： HUAU=r 000E ⎛⎫⎪⎝⎭3-14．设A 是Hermite 矩阵，且2A =E ，则存在酉矩阵U ，使得：H U AU=rn-00-r E E ⎛⎫⎪⎝⎭3-15．已知Hermite 二次型123121321233133(z )=(x ,x ,x )=-i x x -x x +i x x -i x x-x x +i x x f f求酉变换Z=Uy 并将(z)f 化成标准型. 3-16．已知Hermite 二次型12312132231331333(x ,x ,x )=x x +i x x +2x x -i x x +i x x2222f求酉变换Z=Uy 并将123(x ,x ,x )f 化成标准型.3-17．设A 为正定Hermite 矩阵，B 为反Hermite 矩阵，试证：AB 与BA 的特征值实部都为0.3-18．设A 、B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数. 3-19．设A 是半正定Hermite 矩阵，且A ≠0，试证：1A E +>.3-20．设A 是半正定Hermite 矩阵，A ≠0,B 是正定Hermite 矩阵，试证：A B A +> 3-21．设A 为正定Hermite 矩阵，且m nA U⨯∈，则A=E.3-22．试证：(1)两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；(2)半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的.3-23．设A 是正定Hermite 矩阵，B 是反正定Hermite 矩阵，试证：A+B 是可逆矩阵. 3-24．设A 、B 是n 阶正规矩阵，试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似. 3-25．设HA =A ，试证：总存在t>0，使得A+tE 是正定Hermite 矩阵，tE A -是负定Hermite 矩阵.3-26．设A,B 均为正规矩阵.且AB=BA ，则AB 与BA 均为正规矩阵.3-27．设=-H A A ，试证：1()()U A E A E -=+-是酉矩阵.3-28．设A 为n 阶正规矩阵.12n λλλ ，，，为A 的特征值，试证：HA A 的特征值为22212,,,n λλλ .3-29．设m nA C⨯∈,试证：(1)H A A 和H AA 都是半正定的Hermite 矩阵；(2) H A A 和HAA 的非零特征值相同.3-30．设A 是正规矩阵. 试证：(1)若r A =0（r 是自然数），则A=0；（2）若2=A A ，则H =A A ; (3)若32=A A ，则2=A A . 3-31．设H =A A ，H=-B B ,证明以下三个条件等价：(1)A+B 为正规矩阵；(2)AB=BA ；(3)()=-HAB AB . 3-32．设n nA C⨯∈，那么A 可以唯一的写成A=S+iT ，其中S,T 为Hermite 矩阵，且A 可以唯一的写成A=B+C ，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵.3-33. 设nR 是n 维实(列)向量空间，若： 12=a ,,,T n α （a a ），12=,b ,,T n β （b b ） 令()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=验证，所规定的(α,β)满足定义3.1.1中的四个条件.因此在这样定义内积后nR 成为欧氏空间.3-34. 设在2R 中队向量()12=,Ta a α和()12=,Tb b β规定内积()11122122,2a b +++a b a b a b αβ=试证：2R 是欧氏空间.3-35. 设在2n 维空间n nR⨯中对向量(n 阶矩阵)A,B 规定内积为()(),,Tn n A B tr A BA B R ⨯=∈试证：n nR⨯是欧氏空间.3-36. 用[]a,C b 表示闭区间[]a,b 上的所有实值连续函数构成的实线性空间，对任意(x)f 、[]g(x)a,C b ∈，规定(),=(x)g(x)d ax bf g f ⎰验证，这样规定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积，从而[]a,C b 成为一个欧式空间. 3-37. 设A 为n 阶正定矩阵，对于nR 中任意两个列向量X,Y .规定 (),T X Y X AY =验证(),X Y 是nR 上的一个内积，于是nR 成为一个欧氏空间.3-38. 设nC 是n 维复(列)向量空间，若1212=(a ,a ,,a )=(b ,b ,,b )T T n n αβ命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα验证，所规定的(),αβ满足定义3.1.2中的四个条件，因此nC 成为一个酉空间. 3-39. 在n nC⨯中，对任意,n nA B C⨯∈定义()(),TA B tr AB =验证(),A B 是n nC⨯的一个内积，从而n nC⨯成为一个酉空间. ()tr A 表示A 的迹，即()tr A 是A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中，设()1=1-11-1T α，，， ()2=51,1,1T α， ()3=33,1,3Tα---，求{}123span ααα，，的一个标准正交基. 3-41. 已知()1=1-1i i Tα，，， ()2=-11i i Tα，，， ()3=11i i Tα，，，求{}123span ααα，，的一个标准正交基.3-42. 设n C α∈，且=1Hαα，若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 3-43. 试证11cos sin 1=1-sin cos 11n nA θθθθ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵.3-44. 验证2阶矩阵 cos -sin sin cos A θθθθ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示平面上的绕坐标原点的旋转变换3阶矩阵100=0cos -sin 0sin cos A θθθθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是正交矩阵，它表示三位空间绕x 轴的旋转变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的标准正交基，则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}TTαααα，求T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间，那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中，设u 为过直角坐标系原点的平面π的单位法矢量.变换A 是 ()3()=-2,,A u u a R ααα∈验证：对于任意的3,R αβ∈，任意实数k,l 都有()()()()()()()()()=+(),A =,(),=,A A k l kA lA A A αβαβαβαβαβαβ+因此A 既是正交变换，又是对称变换，称其为镜面反射. 3-49. 已知033=-1862-14-10A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵W ，使得=HW AW 上三角矩阵 3-50. 已知1-1=11A ⎛⎫⎪⎝⎭A 是正规矩阵，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-51. 已知0i -1=-i 0i -1-i 0A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦验证A 是正规举证，且求酉矩阵U ，使HU AU 为对角矩阵. 3-52. 已知 ,0(k )A=0HkA A A ==为自然数，则. 3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵，且U-E 可逆，试证 1=(U-E)(U+E)A -是反Hermite 矩阵.3-54. 设A 为欧氏空间V 上的一个对称变换，那么有=.HA A 因为根据对称变换的定义有 ()()()()=A A V αβαβαβ∀∈，，，设A 为欧氏空间V 上的一个反对称变换，那么有=-.HA A 根据反对称变换的定义有 ()()()()()()=-=-A A A αβαβαβ，，，3-55. 设A 为酉空间V 上的一个Hermite 变换，那么有=.HA A Hermite 变换也经常被称做自伴随变换. 设A 为酉空间V 上的一个反Hermite 变换，那么有=-.HA A3-56． 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换，那么有-1=.H A A 由定义有()()()()()()11=(),A A A V αβαβαβαβ--=∀∈，，A(A )，3-57． 设A 为酉空间V 上的一个酉变换，那么有-1=.H A A 3-58． 对于任意给定的n 阶矩阵A ，根据定义证明：(1) A+A ,AA ,A A Hermite (2) A-A ermite H H H HH 是矩阵是反矩阵3-59． 已知正规矩阵102i 030-2i 01A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求酉矩阵U ，使得HU AU 为对角矩阵. 3-60． 已知Hermite 二次型 12311132231331331(,,)=++2-+2222f x x x x x ix x x x ix x x x 求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变为Hermite 标准二次型. 3-61． 已知A 、B 是n 阶正定Hermite 矩阵，则=0B A λ-的根全身正的实数.3-62． 已知A 、B 是n 阶正交矩阵，并且=-A B ，试证：A+B 不可逆. 3-63． 设11+i 2i ==1-i 2-i 2A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，验证A 是Hermite 矩阵B 是正定的Hermite 矩阵，并求满秩矩阵T ，使得=H H T AT T BT E 为对角矩阵，.3-64． 设A,B 是Hermite 矩阵，且B 是半正定的，则 ()()k k A A B λλ≤+。
hermite矩阵谱分解Hermite矩阵是一个实对称矩阵，它在数学和物理领域中有着重要的应用。
首先，我们来谈谈Hermite矩阵的定义和特性。
Hermite矩阵是指一个n×n的实对称矩阵，满足矩阵的转置等于其自身，即A^T = A。
这意味着Hermite矩阵的元素a_ij等于a_ji，其中i和j分别代表矩阵的行和列。
在量子力学和信号处理中，Hermite矩阵经常出现在描述物理系统的哈密顿量或者信号的自相关矩阵中。
接下来，我们来谈谈Hermite矩阵的谱分解。
谱分解是将一个矩阵分解为特征向量和特征值的过程。
对于Hermite矩阵，由于其是实对称矩阵，所以可以保证它有一组正交归一的特征向量，且对应的特征值都是实数。
因此，Hermite矩阵可以进行谱分解为以下形式，A = QΛQ^T，其中Q是由A的特征向量组成的矩阵，Λ是由A的特征值构成的对角矩阵。
这种谱分解的形式使得Hermite矩阵的性质得到了很好的描述，也为其在信号处理、统计学和量子力学中的应用提供了重要的数学基础。
从应用的角度来看，Hermite矩阵的谱分解在信号处理中有着重要的作用。
例如，在信号处理中，我们可以利用Hermite矩阵的谱分解来分析信号的频谱特性，从而实现信号的分解和重构。
此外，在量子力学中，Hermite矩阵的谱分解也为描述量子态的演化和性质提供了重要的数学工具。
总之，Hermite矩阵作为实对称矩阵，在数学和物理领域中有着重要的地位和应用。
其谱分解为特征向量和特征值的形式，为我们理解和应用Hermite矩阵提供了重要的数学工具。
希望以上内容能够全面回答你关于Hermite矩阵和其谱分解的问题。
第三章 内积空间 正规则阵 Hermite 矩阵3－1(1)证实：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=H A βα ,(βα,k )＝),(βαβαk A k H =H A αααα=),(,因为A 为正定H 矩阵,所以0),(≥αα,当且仅当0),(0==ααα时，由上可知c n 是酉空间.証毕. （2）解： ∑∑==njni j ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnijijix ax ),(||||ααα,∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：3－2解：依据核空间的界说知道N(A)是方程组 3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特点值,当λ＝－1时,可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0,1,0）T 是A 的特点向量.选择与ε1正交,并且互相也正交两个向量构成酉阵：U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010 则U 1*A U 1= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---520830631 取A 1= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283,|λE- A1| =(λ+1)2 λ= －1是A 1的特点值. 当λ＝－1时,可得|λE- A 1|＝021,于是,α1 ＝（ --52,51）T是A 的特点向量,选择与α1正交的向量构成酉阵U 2 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52515152-,U 2*A 1U 2 = 51⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5283⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2112 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10101 3－3（2）解：起首求出其特点多项式 3－4．证实：由教材定理可知正交投影矩阵为11H P U U =,个中1n .U r ⨯为一个次酉矩阵3－5（1）解：易证,H A A A =是Hermite 矩阵. 3－5（2）解：3－5（3）解：3－5（4）解：解：3－6（2）解:解：3－7（2）解法仿3－7（1）解题办法.证实：因为n 阶酉矩阵U 的特点值不等于1,所以-10E U -≠ 由此可知0,E U E U +≠+即为满秩矩阵. 3－9 证实：令1)(),(---=++=iS T E C iS T E B ,BCiS T E iS T E A =--++=))((,==A BC A A **)(1**1**))(()())((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ,又S,T 分离是实对称矩阵和反实对称矩阵,即有T T S S -==**,,则有,)()())((**1**iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-111))()(()()(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ,因为))((iS T E iS T E ++-- ))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*,同理可得E AA =*,即E AA A A ==**,即证.3－10证实：须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失正交矩阵12Q Q ，使得 3－11 证实:须要性 因为类似矩阵具有雷同的特点值,所以A 与B 的特点值雷同. 充分性 A,B 均为实对称矩阵,所以分离消失酉矩阵12U U ，使得 3-12证实：（1）须要性：因为A,B 是正规则阵,所以消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得),,,(''2'12*2n diag BU U λλλ =又因为A酉类似于B,所以消失n n U U ⨯∈,使得AU U B *=所以)()(2*22**22*2UU A UU AUU U U BU U ==又因为n n U U ⨯∈n n U U ⨯∈2,所以),,(212*22n n n diag BU U U UU λλλ =⇒∈⨯可记为：n n λλλλλλ==='2'21'1,,, 即A 与B 特点值雷同.（2）充分性：消失n n U U ⨯∈1使得=1*1AU U ),,,(21n diag λλλ ,消失n n U U ⨯∈2使得)()(121*121--U U A U U 因为n n n n U U U U ⨯-⨯∈∈121,所以n n U U U ⨯-∈121即A 酉类似3-13证实： A 是Hermite 矩阵,则消失m m U U ⨯∈,使得U 1-AU=diag （1`λ,2λ,……n λ）则A=()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ,由2A =A 可得A 2=()H U1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U =()H U 1-⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤n λλλ 21()1-U ⇒ 121λλ=, ……,n n λλ=2,从而可知0,1是A 的特点值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ,得出U 1-AU=⎢⎣⎡⎥⎦⎤000rE,标题得证. 3-14证实：A是Hermite矩阵,则消失mm U U ⨯∈,使得=⇒=-2211),,,(A diag AU U n λλλE U U n r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛*2221λλλ 则122221====n λλλ , 则-1和1为A 的特点值,可记121===r λλλ ,11-==+n r λλ ,即有U H AU=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r n r E E 标题得证.3-15 解：（仅供参考）于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向： A 的特点值3=-1λ的单位特点向：3Tα,于是3-18证实：令2/1A P =,显然P 为Hermite 矩阵并且正定独一,A 正定⇒A 的特点值全大于0.所以A 可逆,P 可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA A AB ;所以AB 与BA 类似BA AB ~,则AB 与BA 的特点值雷同）（）（BA AB λλ=,2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（,2/12/1BA A 也为H 矩阵⇒2/12/1BA A 的特点值为实数,BA BA A AB ~~2/12/1,所以AB,BA 的特点值都是实数 3-19证实：因为A 是一个半正定的Hermite 矩阵,所以A 的n 个特点值12n λλλ均为非负实数,又因为0A ≠,于是12n λλλ不克不及全为零,1212n +1+1+111=(+1)(+1)(+1)>1n A E A E λλλλλλ++那么的特征值，，，都是大于等于的数，且至少有一个大于，故：3-20 证实： 3-21证实：由E A A U A n n =⇒∈⨯*,A A H A n n =⇒∈⨯*,所以E A =2,由题3－14可知,A 的特点值为1=i λ又A 是正定的,所以A 的特点值全体为1,则消失E AU U U U n n =⇒∈⨯*所以可得 E UEU A ==* 即证. 3－22证实：（1）令A,B 为半正定Hermite 矩阵,则消失n C x ∈,使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为半正定Hermite 矩阵.（2）令A 为半正定Hermite 矩阵,B 为正定Hermite 矩阵,则有n C x ∈,使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简略性质,)(B A +为Hermite 矩阵,且消失n C x ∈,使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ;则B A +为正定Hermite 矩阵. 3－23 证实：因为矩阵A 是一个正定的Hermite 矩阵,所以A 可逆,于是 3-24证实：充分前提：因为A,B 是n 阶正规则阵,则消失,n n U U ⨯∈n n U V ⨯∈,使得),,,(,),,,(21*21*n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==,个中n λλλ,,,21 ;n μμμ,,,21 分离是A 与B 的特点值.又因为A 与B 类似,所以其对应的特点值雷同.则有B AUV U V BV V AU U =⇒=--1*1***)(.令1-=UV W ,则B AW W =*,因为U.V 是酉矩阵,则W 也是酉矩阵.所以A 与B 酉类似.须要前提：因为A 与B 酉类似,则∃,nn U U ⨯∈使得B AU U =*,又因为,n n U U ⨯∈ 则E U U =* ⇒1-*=U U B AU U AU U ==⇒-1*,因而A 与B 类似. 3-25 证实：3-26 证实：3-27 证实：由已知前提可得 3-28 证实： 3－29 证实：（1）nm C A ⨯∈,则A A A A A A AA A A AA ************)()(,)()(====,nC x ∈∀,0)()())(()(,0)()()(************≥==≥==x A x A x A A x x AA x Ax Ax Ax A x x A A x ;所以A A *和*AA 都是半正定的Hermite 矩阵.（2）令⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA E A E A AA S A AA n m ********0000,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m E A E A A A S **00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A A AA AA A A A ******00*,则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛A A A S S AAA ****0000又因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n m E A E S 为可逆矩阵,则1****1**1**00000000---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A S A AA S A A A S SS A AA 则0)det(*=-AA E λ与0)det(*=-A A E λ有雷同的非零解3－30证实：因为A 是正规则阵,所以**=AA A A ,则消失U ∈n n U ⨯使),,(21n diag AU U λλλ⋅⋅⋅=*,个中n λλλ⋅⋅⋅,,21为A 的特点值;*⋅⋅⋅=⇒U Udiag A n ),,(21λλλ （1）***⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=U U Udiag U Udiag A n n r ),,(),,(2121λλλλλλ0),,(21=⋅⋅⋅=*U Udiag r n r r λλλ(2)**⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=U Udiag A U Udiag A n n ),,(),,(21222212λλλλλλn n λλλλλλ=⋅⋅⋅==⇒2222121,, ),2,1(10n i i ⋅⋅⋅==⇒或λ即A 的特点值都为实数又A 为正规则阵A A =⇒*（3）同理2322322131n n λλλλλλ=⋅⋅⋅==，， 10或=⇒i λ i i λλ=⇒2即A A U Udiag U Udiag n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅**22122221),,(),,(即λλλλλλ 3－31 证实：3－32设n n C A ⨯∈,那么A 可以独一的写成iT S A +=,个中T S ,为Hermite 矩阵,且A 可以独一的写成C B A +=,个中B 是Hermite 矩阵,C 是反Hermite 矩阵.证：令i AA T A A S 2,2-=+=**,且 A=S+iT,T T S S ==**,. 下证独一性：用反证法.假设消失2211,;,T S T S 使2211iT S iT S A +=+=,且2211,;,T S T S 均为Hermite 矩阵.则由：A=S 1+iT 1⇒1111iT S iT S A -=-=***⇒i AA T A A S 2,211-=+=** 同理有：i AA T A A S 2,222-=+=**⇒S 1=S 2,T 1=T 2 可知：A 可独一的写成A=S+iT.令B=S,C=iT,则显然B 为Hermite 矩阵,C 为反Hermite 矩阵 则A 可独一写成A=B+C,个中i AA C A AB 2,2-=+=**証毕. 3-33. 设n R 是n 维实(列)向量空间,若：12=a ,,,T n α（a a ）,12=,b ,,Tn β（b b ）令 ()1122,==a b ++T T n n a b a b αβαββα=轻易验证,所划定的(α,β)知足界说n R 成为欧氏空间. 3-34.解： 这只需验证(),αβ知足内积的四个前提即可. 等式成立的充要前提是12a ==0,=0.a α即 3-35.解： 设=(a ),B=(b )ij n n ij n n A ⨯⨯,不难验证 等号成立当且仅当()=0,=0ij a i j ∀，即A . 所所以n n R ⨯欧式空间.3-36. 用[]a,C b 暗示闭区间[]a,b 上的所有实值持续函数构成的实线性空间,对随意率性(x)f .[]g(x)a,C b ∈,划定轻易验证,如许划定的(),f g 是[]a,C b 上的一个内积,从而[]a,C b 成为一个欧氏空间.3-37. 设A 为n 阶正定矩阵,对于n R 中随意率性两个列向量X,Y .划定轻易验证(),X Y 是n R 上的一个内积,于是n R 成为一个欧氏空间. 3-38. 设n C 是n 维复(列)向量空间,若 命 ()()1122,==+++=TH n n a b a b a b αββαβα轻易验证,所划定的(),αβ知足界说中的四个前提,是以n C 成为一个酉空间.3-39. 在n n C ⨯中,对随意率性,n n A B C ⨯∈界说轻易验证(),A B 是n n C ⨯的一个内积,从而n n C ⨯成为一个酉空间. ()tr A 暗示A 的迹,等于()tr A A 的主对角元素之和. 3-40. 在空间4R 中,设求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 运用Schmidt 正交化办法得到因为3β=0,故1α,2α,3α线性相干,轻易1α,2α线性无关,是以12312{,,}={,}span span ααααα,把12,ββ单位化后,12{,}span αα的一个尺度正交基3-41. 已知求{}123span ααα，，的一个尺度正交基. 解： 命把123,,βββ单位化得 则123υυυ，，为所求之基3-42. 设n C α∈,且=1H αα,若 =2H n n n H E C αα⨯-∈ 则H 是酉矩阵. 解：故H 是酉矩阵. 3-43. 试证 是正交矩阵.解：易知T n A A E =,故A 是正交矩阵.该矩阵所代表的正交变换为吉文斯变换.3-44. 2阶矩阵是正交矩阵,它暗示平面上的绕坐标原点的扭改变换 3阶矩阵是正交矩阵,它暗示三位空间绕x 轴的扭改变换.3-45. 设1234,,,αααα是V 的尺度正交基,则12{,}S span αα=与34{,}T span αα=是正交的.3-46. 已知()1212=(1,0,1,1),=0,1,1,2,T=span{,}T T αααα,求T 的正交补. 解：取不难知线性方程组0H A X =的基本解系为12=(-1,-1,1,0),=(-1,-2,0,1)T T ξξ, 则12{,}S span ξξ=,等于T 的正交补.3-47. 设W 是欧式空间V 的一个子空间,那么V 在W 上的正交投影变换P 就是一个对称变换.3-48. 在3R 中,设u 为过直角坐标系原点的平面π轻易验证：对于随意率性的3,R αβ∈,随意率性实数k,l 都有 是以A 既是正交变换,又是对称变换,称其为镜面反射.3-49. 已知 试求酉矩阵W,使得 解：3-50. 已知验证A 是正规则阵,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵. 解：因为1-1=11HA ⎛⎫⎪⎝⎭,经盘算得：20==02H HAA A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以A是正规则阵A 的特点多项式 当1=1+i λ时,特点矩阵 故 12=x ix所以属于1=1+i λ的单位特点向量1=Tα 当2=1-i λ时,特点矩阵 故 12=-x ix所以属于2=1-i λ的单位特点向量1=Tα 命 ()12==U αα⎥⎥⎦， U 是酉矩阵,且知足 3-51.. 已知验证A 是正规举证,且求酉矩阵U,使H U AU 为对角矩阵.解： 0i -1-i 0i =-1-i 0H A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是Hermite 矩阵对1=-1λ的特点矩阵作初等行变换得 解得属于特点值-1的特点向量为用Schmidt 办法把1α ,2α单位化并正交化得 对3=2λ的特点矩阵作初等行变换得故A 的属于3=2λ的单位特点向量为 命：3-52. 已知 ,0(k )A=0H k A A A ==为自然数，则. 解： 消失n n U U ⨯∈,知足3-53. 已知U 是n 阶酉矩阵,且U-E 可逆,试证 是反Hermite 矩阵. 解：因为：3-54. 设A 为欧式空间V 上的一个对称变换,那么有=.H A A 因为依据对称变换的界说有设A 为欧式空间V 上的一个否决称变换,那么有=-.H A A 依据否决称变换的界说有3-55. 设A 为欧氏空间V 上的一个Hermite 变换,那么有=.H A A Hermite变换也经常被称做自陪同变换.3-56. 设A 为欧氏空间V 上的一个正交变换,那么有-1=.H A A 由界说有3-57. 设A 为酉空间V 上的一个酉变换,那么有-1=.H A A 3-58. 对于随意率性给定的n 阶矩阵A,依据界说不难证实： 3-59. 已知正规则阵试求酉矩阵U,使得H U AU 为对角矩阵. 解：3-60. 已知Hermite 二次型求酉变换Z=Uy 将123(,,)f x x x 变成Hermite 尺度二次型. 解： 所给Hermite 二次型123(,,)f x x x 对应的Hermite 矩阵 于是 123(,,)=X AX H f x x x个中 123X=(,,)T x x x .因为A 为一个Hermite 矩阵,所以A 可以酉对角化.A 的特点值12==2λλ的正交单位特点向量： A 的特点值3=-1λ的单位特点向量：3Tα,于是 3-61. 已知A.B 是n 阶正定Hermite 矩阵,则=0B A λ-的根全身正的实数.证实： 因为B 是正定的,消失n n n P C ⨯∈,知足 且H P AP 0E PAP λ-=故=0B A λ-的根是正的实数3-62. 已知A.B 是n 阶正交矩阵,并且=-A B ,试证：A+B 不成逆. 证实：3-63. 设验证A是Hermite矩阵B是正定的Hermite矩阵,并求满秩矩阵T,使得=H HT AT T BT E为对角矩阵，.解：易证B是正定Hermite矩阵.3-64.设A,B是Hermite矩阵,且B是半正定的,则解：因为因为矩阵B为半正定,所以1(B)0λ≥.从而得到所需结论.。
