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四元数简介在我之前，⽹上各个博客各⼤⽹站都有很多关于四元数的介绍与讲解！但我总结了⼀下接三个字：看不懂！说实话！这真的是实话！举个例⼦：1.旋转，应该是三种坐标变换——缩放、旋转和平移，中最复杂的⼀种了。
⼤家应该都听过，有⼀种旋转的表⽰⽅法叫四元数。
按照我们的习惯，我们更加熟悉的是另外两种旋转的表⽰⽅法——矩阵旋转和欧拉旋转。
矩阵旋转使⽤了⼀个4*4⼤⼩的矩阵来表⽰绕任意轴旋转的变换矩阵，⽽欧拉选择则是按照⼀定的坐标轴顺序（例如先x、再y、最后z）、每个轴旋转⼀定⾓度来变换坐标或向量，它实际上是⼀系列坐标轴旋转的组合。
那么，四元数⼜是什么呢？简单来说，四元数本质上是⼀种⾼阶复数（听不懂了吧。
），是⼀个四维空间，相对于复数的⼆维空间。
我们⾼中的时候应该都学过复数，⼀个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。
⽽四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即⼀个四元数可以表⽰为x = a + bi + cj + dk。
那么，它和旋转为什么会有关系呢？怎么样，看得懂吗？反正⼩编是被现实胖揍⼀顿！那么，今天我们要怎么来介绍这个四元数呢？我们来最简单暴⼒的！重新定义⼀下这个怪物四元数！Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。
它们计算紧凑⾼效，不受万向节死锁的困扰，并且可以很⽅便快速地进⾏球⾯插值。
Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。
注意重点：1，不受万向节死锁的困扰。
2，⽅便快速地进⾏球⾯插值。
3， Unity内部使⽤四元数来表⽰所有的旋转。
好了，现在你得重定义应该是这样的：定义：Quaternion（四元数）⽤于计算和表⽰Unity旋转。
就像当初数学⽼师告诉你∏（pai）⽤来表⽰圆周率⼀样！你有探究过∏（pai）是怎么算出来的吗？但是你们是不是都知道怎么利⽤圆周率计算圆的⾯积呢？类似的，对于初学者的我们，最重要的是现在要学会和记住四元数的使⽤⽅法。
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
第二章四元数和四元数体基于本文主要对四元数矩阵性质的初探，本章我们先来认识四元数和四元数体，系统地对四元数和四元数体性质的认识和了解，可以帮助我们在后面的研究中打下夯实的基础。
2.1四元数的定义与相关概念以及运算在本文中，我们用R表示为实数域，R+表示为正实数域，C表示为复数域。
2.1.1四元数的定义由于四元数是最简单的超复数。
复数是由实数加上元素i组成，其中i2=-1。
相似地，四元数都是由实数加上三个元素i、j、k 组成，而且它们有如下的关系：i2 =j2 = k = ijk = -1，每个四元数都是1、i、j 和k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk。
定义2.1.1【3】设q=a+bi+cj+dk，a，b，c，d R （2.1.1）其中i，j，k满足i2=j2=k2=-1 （2.1.2）ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j （2.1.3）2.2四元数体在本节中，我们将会对四元数的群、环、域、体的定义，重点介绍置换群和四元数体。
2.2.1群的定义相对比与近世代数中群的定义，四元数群的定义与之相同，同样满足四个条件：封闭性、结合律、单位元以及逆元。
定义2.2.1 设G为一非空集合，对G的元素规定一个代数运算，称之为乘法（或加法），乘积记作ab（或a+b），若其满足下列条件，则称G为一个群：（1）满足封闭性：对∀a，b∈G，∃唯一的c∈G，使得ab=c；（2）结合律成立，对∀a，b，c∈G有(ab)c=a(bc)（3）G存在单位元e满足：对∀a ∈G，有ae=ea=a（4）对∀a ∈G，∃a的逆元a-1 ∈G，使得a a-1= a-1a=e为了后面（第三章）定义四元数矩阵的行列式的需要，这里重点介绍下置换群。
假设n个整数1,2，···，n之间的一种置换，如数1用1到n中的某个数i1取代，2被1到n中的某个数i2取代，···，n被1到n中的某个数i n取代，表示如下加矩阵2.2.2环、域、体的定义定义2.2.2 设G为一个非空集合，对G的元素规定为两种代数运算加法和乘法，若满足下列三个条件，则称G为一个环：（1）G是一个加法群；（2）对乘法满足结合律，即∀a，b，c∈G有(ab)c=a(bc)（3）对加法和乘法满足左右分配律，即对∀a，b，c∈G有a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca定义2.2.3一个具有单位元的交换环G，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆元a-1，则称G为一个域。
四元数旋转矩阵四元数旋转矩阵是一种用于描述三维空间旋转的数学工具，它是由四元数推导而来的。
四元数是一种可以用来表示旋转的复数，它具有一些非常有用的性质，可以简化旋转运算的计算过程。
在计算机图形学、机器人学、虚拟现实等领域中，四元数旋转矩阵被广泛应用。
一、四元数的定义和性质四元数是一种可以用来表示旋转的复数，它可以表示为q = w + xi + yj + zk，其中w、x、y、z都是实数，i、j、k是虚数单位，它们满足以下关系：i = j = k = ijk = -1四元数具有以下性质：1. 四元数的共轭q* = w - xi - yj - zk其中q*表示q的共轭，它是q的实部不变，虚部取相反数的结果。
例如，如果q = 1 + 2i + 3j + 4k，则q* = 1 - 2i - 3j - 4k。
2. 四元数的模|q| = √(w + x + y + z)四元数的模表示四元数向量的长度，它满足非负性和三角不等式。
3. 四元数的逆如果q ≠ 0，则存在一个四元数q^-1，使得q*q^-1 = q^-1*q = 1。
四元数的逆可以用来求解四元数的除法。
4. 四元数的乘法四元数的乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
具体地，如果q1 = w1 + x1i + y1j + z1k，q2 = w2 + x2i + y2j + z2k，则它们的乘积为：q1*q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k5. 四元数的单位化如果q ≠ 0，则可以将q除以|q|得到一个模为1的四元数，称为四元数的单位化。
二、四元数旋转矩阵的推导在三维空间中，任意一个旋转都可以表示为绕一个轴旋转一定的角度。
假设旋转角度为θ，旋转轴的方向为n = [nx, ny, nz]，则旋转矩阵可以表示为：R(θ, n) = cos(θ/2)I + sin(θ/2)(nx*i + ny*j + nz*k) 其中I为3×3的单位矩阵，i、j、k为虚数单位。
glm 四元数转换矩阵-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四元数（Quaternion）是数学中的一种扩展复数，广泛应用于3D计算机图形学和空间几何运算等领域。
它由一个实部和三个虚部组成，具有一些独特的性质和优点。
在图形学中，四元数被用于表示和计算物体的旋转，相比其他表示旋转的方法，如欧拉角和旋转矩阵，四元数具有更简洁和高效的计算方式。
本文将首先介绍球面线性插值（Spherical Linear Interpolation, 简称SLERP）的概念及其在计算机图形学中的应用。
接下来，我们将详细探讨四元数的定义和性质，包括四元数的运算法则、单位四元数的特点等。
最后，我们将重点讲解四元数与旋转矩阵之间的相互转换关系，包括如何将一个旋转矩阵转换为对应的四元数表示，以及如何从四元数恢复出旋转矩阵。
通过深入理解四元数与旋转矩阵之间的转换关系，我们可以更好地理解和应用四元数在3D图形学中的作用。
对于计算机图形学从业者来说，这是一个非常重要的基础知识。
此外，我们还将展望四元数在虚拟现实、计算机动画等领域的应用前景，并提出相关讨论和建议。
通过阅读本文，读者将能够理解四元数转换矩阵的原理和算法，并能够应用于实际问题中。
无论是从事计算机图形学研究还是从事相关行业工作的人士，本文的内容都将对他们的工作产生积极的影响和帮助。
总结起来，本文旨在为读者提供一份系统而全面的关于glm四元数转换矩阵的学习材料，并希望能够激发更多人对这一领域的兴趣和研究。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下样式：2. 正文2.1 球面线性插值2.2 四元数的定义和性质2.3 四元数到旋转矩阵的转换在正文部分，我们将着重介绍GLM（OpenGL 数学库）中的四元数转换矩阵的相关知识。
首先，我们将会详细讨论球面线性插值算法的原理和应用，以便更好地理解四元数和矩阵之间的转换关系。
接下来，我们将会介绍四元数的定义和性质。
四元数是一种复数的扩展形式，具有独特的性质和运算规则。
四元数运算法则四元数是一种数学工具，用于表示三维空间中的旋转。
它由一个实部和三个虚部组成，可以描述旋转的方向和角度。
在计算机图形学和机器人学等领域中，四元数常用于旋转变换的计算。
本文将介绍四元数的运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
一、四元数的定义和表示四元数可表示为q = w + xi + yj + zk，其中w为实部，xi、yj和zk为虚部，i、j和k为虚数单位。
实部和虚部可以是实数或复数。
二、四元数的加法两个四元数的加法定义为：q1 + q2 = (w1 + w2) + (x1 + x2)i + (y1 + y2)j + (z1 + z2)k。
即实部相加，虚部相加。
三、四元数的减法两个四元数的减法定义为：q1 - q2 = (w1 - w2) + (x1 - x2)i + (y1 - y2)j + (z1 - z2)k。
即实部相减，虚部相减。
四、四元数的乘法两个四元数的乘法定义为：q1 * q2 = (w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) + (w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2)i + (w1y2 - x1z2 + y1w2 + z1x2)j + (w1z2 + x1y2 - y1x2 + z1w2)k。
即实部相乘减虚部相乘。
五、四元数的除法两个四元数的除法定义为：q1 / q2 = q1 * q2的共轭 / q2 * q2的共轭。
其中，q的共轭表示将虚部取负数。
即实部相除，虚部相除。
六、四元数的模四元数的模定义为：|q| = sqrt(w^2 + x^2 + y^2 + z^2)。
即实部平方加上虚部平方的平方根。
七、四元数的单位化将一个非零四元数单位化，即将其模变为1，得到单位四元数。
单位四元数的定义为：q' = q / |q|。
八、四元数的共轭四元数的共轭定义为：q* = w - xi - yj - zk。
即实部不变，虚部取负数。
九、四元数的逆一个非零四元数的逆定义为：q^-1 = q* / |q|^2。
正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. 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第一节 正规矩阵【Schur 三角化定理】设n nA ⨯∈，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一个上三角矩阵.【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基.1H H H n U U UU E U U -==⇔=性质：设有矩阵A ，B ，则（1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵；（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵；（3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =；（4）A 是酉矩阵⇔A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理4.1.1】矩阵A 可以酉对角化⇔**AA A A =.*U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =⇔=A 可以酉对角化，则∃酉矩阵U 使*U AU D =***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD UU D DU U DU U DU A A ======【定义4.1.1】设n nA ⨯∈，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵.【引理4.1.1】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理4.1.2】设n nA ⨯∈，则A 为正规矩阵⇔A 有n 个两两正交的单位特征向量.【推论4.1.1】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的.【定理4.1.3】设()i j n n A a ⨯=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式）221,1||||n nii ji i j aλ==≤∑∑（2）A 为正规矩阵⇔221,1||||nni i j i i j a λ===∑∑（3）*2,,1tr()||ni ji j AA a==∑【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =.【定义4.1.2】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为一个Schur 型. 【定理4.1.4】（实正规矩阵）设A 是n 阶实矩阵，则A 是正规矩阵⇔存在正交矩阵Q 使得12T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕其中每个i A 或者是一阶实矩阵，或者是一个Schur 型. 【推论4.1.2】设A 是n 阶实矩阵.（1）A 是对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角矩阵； （2）A 是反对称矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得120T s Q AQ A A A =⊕⊕⊕⊕其中每个00i i i b A b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，从而反对称矩阵的非零特征值为纯虚数；（3）A 是正交矩阵⇔存在正交矩阵Q ，使得12()T s t s Q AQ I I A A A =⊕-⊕⊕⊕⊕其中每个i A 是二阶Givens 旋转矩阵，从而正交矩阵的特征值的模均为1. 设B 是n 阶复矩阵.（4）B 是Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是实对角矩阵； （5）B 是反Hermite 矩阵⇔存在正交矩阵U ，使得T U BU 是纯虚数对角矩阵（即实部为0）；（6）B 是酉矩阵⇔存在酉矩阵U ，使得T U BU 是对角元素的模均为1的对角矩阵，从而酉矩阵的特征值的模均为1；（7）Hermite 矩阵A 正定⇔A 的所有顺序主子式均大于0； 【引理4.1.2】Hermite 阵或实对称矩阵A 在某一个k 维子空间上正定⇔A 至少有k 个特征值（包括重数）大于零.第二节 正规矩阵的谱分解设A 是正规矩阵，则由定理4.1.1知，存在酉矩阵U 使得*12(,,,)n U AU diag λλλ=.因而*12(,,,)n A Udiag U λλλ=.令12(,,,)n U ααα=，则12*1*212****111222(,,,)n n n n n nA αλλααααλαλααλααλαα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++ （4.2.1）由于12,,,n λλλ为A 的特征值，12,,,n ααα为A 对应的两两正交的单位特征向量，故式（4.2.1）称为正规矩阵A 的谱分解或特征（值）分解。
四元数正规矩阵的几个定理1邹黎敏，陈香萍，伍俊良，李声杰重庆大学数理学院，重庆（400044）E-mail ：zlmlohr@摘 要：利用四元数正规矩阵可对角划的性质，得到了四元数正规矩阵的一些性质及判定准则。
同时获得了四元数正规矩阵弱直积，矩阵方程，特征值的几个定理。
关键词: 四元数体，正规矩阵，弱直积，特征值中图分类号: O241.6 文献标识码: A1．引言与符号约定近年来，人们对于四元数体上代数问题的研究非常深入，不仅仅是由于四元数乘积的非交换特性这一现象引起了人们对四元数代数问题的广泛兴趣(参考[1-3])，同时还因为四元数本身在众多的应用问题中也存在广泛的联系，如四元数在量子力学，刚体力学方面的应用，四元数在计算机图形图像处理和识别方面的应用，四元数在空间定位方面的应用等，也促使人们对四元数代数问题加以研究（参见[4-8]）。
四元数矩阵的研究是四元数代数理论中的一个重要方面，特别在自共轭四元数矩阵的特征值、奇异值、合同、正定性以及自共轭四元数矩阵的子式等方面有着广泛的研究[文9-14]。
但很少有文献对四元数正规矩阵进行研究。
本文借助于四元数体上正规矩阵的概念以及相似分解，给出了四元数正规矩阵的一些性质和判定准则，得到了四元数正规矩阵弱直积，合同化简以及特征值不等式的几个定理。
文中用R 表示实数域，C 表示复数域，H 表示R 上的四元数体，R 和H 上n 阶矩阵的全体分别记为n n R ×和n n H ×，*'A A =表示A 的共轭转置，k a j a i a a a 3210+++=表示实四元数（3210,,,a a a a 为实数），用α和n I 分别表示H 上任意n 维四元数列向量和n 阶单位矩阵，)Re(a 表示a 和实部，*a 表示a 的共轭四元数，*α表示α的共轭转置向量,a a a N *)(=和N (α)=αα*分别表示a 和α的范数。
2．一些定义和引理定义 1. 设n n H A ×∈，如果**AA A A =，则称A 是正规矩阵，则易知自共轭四元数矩阵，斜自共轭矩阵和下面定义的酉矩阵均为正规矩阵。
定义2. 设n n H A ×∈，如果n I AA A A ==**，则称A 是H 上的一个n 阶酉矩阵，其全体记为()u n H ,。
定义3[10] . 设()ijm nA a ×=与()ijp qB b ×=是H 上的矩阵，称H 上mp nq ×阵1本课题得到国家自然科学基金(60574073和10471142)和重庆市科委科学研究基金(CSTC,2005CF9057)的资助。
()1111n ij kl mp nq m mn a B a B a b a B a B ×⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L L L 为B A ,的直积，记为A B ⊗。
当B A ,之一为R 上矩阵时，称为弱直积。
引理1[1] n n H A ×∈为正规矩阵的充要条件是A 酉相似于对角矩阵，即存在(),U H n u ∈，使()n diag AU U λλλ,,,21*Λ=其中12,,n C λλλ∈L为A 的n 个右特征值。
引理2[10] 直积满足结合律与分配律及()'''B A B A ⊗=⊗，并且对弱直积来说恒有 （1）()()B A B A B A ⊗=⊗=⊗，当p q B R×∈； （2）()()B A B A B A ⊗=⊗=⊗，当m nA R×∈。
引理3[10] 设,,,A B C D 为H 上的矩阵，如果,B C 中有一个是R 上矩阵，则()()A B C D AC BD ⊗⊗=⊗3．主要结果定理1：设B A ,为四元数正规矩阵，若B A ,可交换，即BA AB =，则n kbI aA +与()R k b a ∈,,为四元数正规矩阵。
证明：因为()()()()()()()n kk kk n kn kn k n kI b A ab abA A A a bI A a bI aAbI aA bI aA 2**2**+++=++=++()()()()()()()nkk k k n k n kn knkI b A ab abA A A a bI aA bI A a bI aAbI aA2**2**+++=++=++由Α为四元数正规矩阵知**AA A A =，可得()()k k k k A A A A **=那么()()()()n knknk n kbI aAbI aAbI aA bI aA++=++**故n kbI aA +为正规矩阵。
定理2：设A 为R 上正规矩阵，B 为H 上的正规矩阵，则A B ⊗为正规矩阵。
如果存在酉矩阵n n R U ×∈1和n n H U ×∈2，使()n diag AU U λλλ,,,211*1Λ=Λ=()n diag M BU U µµµ,,,212*2Λ==则A B ⊗酉相似于准对角矩阵()M M M diag n λλλ,,,21Λ。
证明： 由引理2及引理3知()()()()*****A B A B A B A B AA BB ⊗⊗=⊗⊗=⊗()()()()*****A B A B A B A B A A B B ⊗⊗=⊗⊗=⊗又因为A 为R 上正规矩阵，B 为四元数正规矩阵，则**AA A A =和B B BB **=，所以上面二式相等，即()()()()**A B A B A B A B ⊗⊗=⊗⊗故A B ⊗为正规矩阵。
因为()n diag AU U λλλ,,,211*1Λ=Λ=()M diag BU U n ==µµµ,,,212*2Λ所以()()()M AU U AU U U U B A U U n ⊗⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⊗=⊗⊗⊗λλΟ12*21*121*21 ()M M M diag M M n n λλλλλ,,,211ΛΟ=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=故A B ⊗酉相似于准对角矩阵()M M M diag n λλλ,,,21Λ。
定理3: 设A 为四元数正定矩阵，B 为四元数正规矩阵，则存在酉矩阵()u n H U ,∈，使.,,2,1,),,,,(;21**n i C diag BU U I AU U i n n ΛΛ=∈==λλλλ证明：由四元数正定矩阵的性质知有酉矩阵()u n H U ,0∈使n I AU U =0*0，又易见0*0BU U 为四元数正规矩阵，于是有引理知，有酉矩阵()u n H U ,1∈，使()n diag U AU U U λλλ,,,2110*0*1Λ=其中12,,n C λλλ∈L 为A 的n 个右特征值。
令10U U U =，则n n I U I U U AU U U AU U ===1*110*0*1*()n i C diag BU U i n ,,2,1,,,,,21*ΛΛ=∈=λλλλ定理得证定理4: 如果0λ为四元数正规矩阵A 的0r 重实特征值，则()A I n −0λ的秩数为0r n −，从而方程组()00=−XA I n λ就有由0r 个向量组成的标准正交基础解系。
证明：由引理1知存在(),U H n u ∈，使()n diag AU U λλλ,,,21*Λ=其中12,,n C λλλ∈L为A 的n 个右特征值且恰有0r 个是0λ，其余的均异于0λ，因而不妨设0210λλλλ====r Λ。
所以由n I 0λ与(),U H n u ∈可交换可得()()n r n diag U A I U λλλλλ−−=−+0100*,,,,00ΛΛ由此可知()[]00*r n U A I U rank n −=−λ，从而()00r n A I rank n −=−λ，故由文1中的定理2.4.1与命题4.3.2知定理成立。
特征值理论是矩阵论的重要组成部分，但是对于体上矩阵，由于体上的非交换性限制，这一理论十分困难。
一般情况下四元数矩阵右特征值的无限性和左特征值方面的困难，使得体上一般矩阵的特征值理论研究总体上还缺少清晰的思路和有效的方法。
上面我们得到了四元数正规矩阵的性质和矩阵方程的一些结果，现在我们讨论四元数正规矩阵特征值的问题。
定理5: A 为四元数正规矩阵,nH C ∈∈αλ,,则下列条件等价：①α是A 属于右特征值λ的右特征向量：αλα=A②α是*A 属于右特征值*λ的右特征向量：**αλα=A③*α是A 属于左特征值λ的左特征向量：**λαα=A证明：先证①⇔②。
不妨设α是规范化的，即()1=αN 。
由引理1知存在(),U H n u ∈，其第一列是α，使得*U U A Λ=其中Λ是对角矩阵，其左上角的元素是λ。
于是()*****U U U U A Λ=Λ=从而**Λ=U U A ，此等式两端的第一列分别是α*A 和*αλ，因此①⇒②成立。
因为①⇒②成立，那么将其应用于*A ，直接可以得到()()αλλααα===****A A即②⇒①成立，所以①⇔②再证②⇔③。
②和③等价则基于简单关系式()()******,λααλαα==A A()()******,αλλααα==A A因此②⇔③。
所以定理成立。
定理6: A 为四元数正规矩阵，C ∈λ为A 的右特征值，S 为A 的自共轭部分即2*A A S +=，()S 1λ和()S n λ分别为自共轭四元数矩阵S 的最小和最大特征值，则()()()S S n λλλ≤≤Re 1证明：设α是A 属于λ的右单位特征向量，即()1*==αααN ，则αλα=A同时左乘*α得()λλααλααα===N A **上式两边同时取共轭可得***λαα=A那么()ααααααλλλ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=+=222Re ******A A A A由文1引理6.5.1知()()()ααααλαα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+====2min min **1*11A A S S N N ()()()ααααλαα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+====2max max **1*1A A S S N N n 从而()()()S S n λλλ≤≤Re 1，定理成立。
定理7: A 为四元数正规矩阵，C ∈λ为A 的右特征值，A A S *=为自共轭四元数矩阵，()S 1λ和()S n λ分别为自共轭四元数矩阵S 的最小和最大特征值，则()()()S N S n λλλ≤≤1证明：设α是A 属于λ的右单位特征向量，即()1*==αααN ，则αλα=A同时取共轭得****αλα=A上面两式对应相乘可得()λαλαλααN A A ==****又因为()()S A A S n λααλ≤≤**1即()()()S N S n λλλ≤≤1定理得证。
