正规矩阵

正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足其中是的共轭转置。

如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。

矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。

同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵酉矩阵n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。

一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。

即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。

酉方阵在量子力学中有着重要的应用。

酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。

若一 n 行 n 列的复矩阵U满足其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。

即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。

若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。

与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶方阵，则下列条件等价：1.是酉矩阵2.是酉矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。

酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。

对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。

性质∙U可逆∙U− 1 = U*∙|det(U)| = 1∙U*是酉矩阵∙正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。

第五讲对角化与Jordan标准形一、正规矩阵1.实对称矩阵与厄M特vHermite）矩阵实对称矩阵：实矩阵占，。

实反对称矩阵：实矩阵吕，s 。

厄M特vHermite）矩阵：复矩阵列，。

反厄M特vHermite）矩阵：复矩阵占，=* .2.正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵----- 11v ）。

酉矩阵：复矩阵口，亠」V耳）.3.正交相似变换和酉相似变换设为正交矩阵，」为实矩阵，称一1为对」的正交相似变换;设耳为酉矩阵，占为复矩阵，称S 为对占的酉相似变换。

4.正规矩阵实矩阵因，若满足，则凶称为实正规矩阵；复矩阵占，若满足GO ，则占称为复正规矩阵。

注1 :实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵；注2:厄M特矩阵、反厄M特矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。

5.相似矩阵的性质相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。

【证】二、酉对角化1. Schur 定理:<1）设匸丑的特征值为矩阵吕，使LKI <2）设—的特征值为—LHJ【证】只证V1）结论，V2）的证明类似.对矩阵」的阶数施行数学归纳法•当二|时，结论显然成立•，则存在酉，则存在正交矩阵，使假定对凹阶矩阵结论成立•下面证明对上阶矩阵结论也成立.设丨是」的属于特征值.的特征向量，即|冋，将丨扩充为-的一组标准正交基令 _____________ I ，贝yEKJ即为酉矩阵.对」进行酉相似变换：其第I列元素:LEJ相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于I阶矩阵因，其特征值为m ，根据归纳法假设，存在I阶酉矩阵I，使得[KI 记K H则二'，即凶是酉矩阵，且LHJ［证毕］☆什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2.定理：<1）设I口，则」酉相似于对角矩阵的充要条件是：」为正规矩阵;＜2）设H ，且」的特征值都是实数，则」正交相似于对角矩阵的充要条件是：」为正规矩阵。

【证】只证＜1）结论，＜2）的证明类似.必要性：设存在酉矩阵」，使得——1＜对角矩阵），则有即」为正规矩阵•充分性：设」为正规矩阵，即Schur定理，存在酉矩阵1，使得其中•亠J 是的特征值要证.旦.因为,=] , 9」，所以又丨丨=I L^Jr^i 由对角元素相等可得—.,所以LEJ［证毕］推论：实对称矩阵正交相似于对角矩阵.说明：不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如冋，_)——«，」不是正规矩阵；但二「，两个特征值互异，可以相似变换对角化。

第三章积空间 正规矩阵 Hermite 矩阵3－1(1)证明：),(αβ＝H A αβ=H H A )(βα=HA βα ，(βα,k )＝),(βαβαk A k H=),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+=+=+=+H H H A A AH A αααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，由上可知cn是酉空间。

証毕。

（2）解： ∑∑==n jnij ij i Hy a x A |||),(|βαβα∑∑==n jnij ijix ax ),(||||ααα，∑∑==n jnij ijiy ay ),(||||βββ由Cauchy-Schwarz 不等式有：∑∑∑∑∑∑≤n jn ij ijin jnin jnij ijij ijiy ay x ax y ax *3－2解：根据核空间的定义知道N(A)是方程组[][][]()1234512312321-113=011-101=0,1,1,0,0=-1,1,01,0=4-5,0,0,1=span{,,}T T Tx x x x x N A αααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解空间，解得它的基础解系为，，，，从而[]()()()()()()1121221211131323312312112212311122schmidt ==0,1,1,0,0,111=-=-=-1,,-,1,0,222,,-513=--=-+,,257663=,-,,,15555==00,022=TTTTβααββαβαβββαβαββαββαββββββββββγββγβ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦首先应用正交化方法得到：然后将，，单位化后得到：，，2333123=--0510105==().TTN A βγβγγγ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，，所以，，即为的标准正交基3－3（1）解：由|λE-A| = (λ+1)3得λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝000000201于是ε1＝（0，1，0）T是A 的特征向量。

正规矩阵的算子二范数概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数和矩阵理论中，正规矩阵是一类特殊的方阵，具有重要的性质和应用价值。

算子二范数是衡量线性变换操作对向量长度影响程度的指标。

本文将探讨正规矩阵的算子二范数及其计算方法，并解释二范数在正规矩阵中的作用。

1.2 文章结构本文分为五个主要部分。

引言部分进行整体概述，介绍文章内容和结构安排；第二部分将详细解释正规矩阵和算子范数的概念；第三部分将介绍计算算子二范数的三种方法：奇异值分解法、特征值分解法和迭代法估计法；第四部分将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系；最后，第五部分总结全文并展望未来可能涉及的问题和研究方向。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的概述，以便读者了解正规矩阵的算子二范数及其相应性质。

通过本文可以更好地理解算子二范数对正规矩阵的描述和刻画，并了解到如何计算算子二范数。

同时，本文还将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系，帮助读者深入理解这一主题及其应用。

以上是“1. 引言”部分的内容，用于概述文章主要内容、介绍文章结构以及明确文章目的。

接下来的章节将更详细地解释和讨论相关概念和方法。

2. 正规矩阵的算子二范数2.1 正规矩阵概念解释正规矩阵是指满足以下条件的方阵：若A 是正规矩阵，则A 的共轭转置(A*) 与自身的乘积等于自身与其共轭转置的乘积，即A*A* = AA*。

这意味着正规矩阵的特征向量可以相互正交。

2.2 算子范数概念解释算子范数是一种衡量线性变换（或算子）大小的方法。

在本文中，我们关注算子二范数，也称为谱范数。

对于一个n x n 的方阵A，它的算子二范数可以定义为：||A||₂= max { ||Ax||₂: ||x||₂= 1 }，其中||x||₂表示向量x 的二范数。

2.3 解释说明二范数在正规矩阵中的作用正规矩阵中的算子二范数有许多应用和重要性质。

首先，二范数可以用于衡量一个正规矩阵A 所导致的线性变换对向量长度的影响程度。