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04、基本知识 怎样推导轴向拉压和扭转的应力公式、变形公式（供参考）同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（****************），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。
回信请注明班级和学号的后面三位数。
1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究轴向拉压和扭转的应力公式和变形公式。
........................... 2 3 1.1 轴向拉压杆的应力公式推导 ............................................................................................ 2 4 1.2 轴向拉压杆的变形公式推导 ............................................................................................ 4 5 1.3 轴向拉压杆应力公式和变形公式的简要推导 ................................................................ 4 6 1.4 轴向拉压杆的强度条件、刚度条件的建立 .................................................................... 4 7 2.1 扭转轴的应力公式推导 .................................................................................................... 5 8 2.2 扭转轴的变形公式推导 .................................................................................................... 7 9 2.3 扭转轴应力公式和变形公式的简要推导 ........................................................................ 7 10 2.4 扭转的强度条件、刚度条件的建立 ............................................................................ 8 11 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9)1* 问题的提出在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。
Fθθ34轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力为轴力，用F N 表示轴力的大小：由平衡方程求解PN ,0F F F x ==∑轴力的正负：拉力为正；压力为负轴力的单位：N ；kN6轴向拉压杆的内力轴力图解：应用截面法，在F N1，由∑F x ＝0kN5.21P 1N ==F F kN5.13P 2P 1P 2N -=-=-=F F F F 在2－2截面截开，画出正向的F N2，由∑F x ＝089= 6 kN = -4 kN轴力图画在受力图正下方；10轴向拉压杆的内力轴力图例2 图示一砖柱，柱高3.5m ，截面尺寸370×370mm 2，柱顶承受轴向力F P ＝60 kN ，砖砌体容重ρ.g ＝18 kN/m 3。
试绘柱的轴力图。
11轴力图应用截面法，由平衡方程求得：kN46.260P y y A g F --=⋅⋅⋅-ρ,kN 6.68)5.3(,kN 60)0N -=-=F ㈠F N /kNy68.66012轴向拉压杆的内力轴力图等截面直杆在上端A 处固定，其受力如图试绘制杆件的轴力图。
kN,10kN,5P2=F l(a)Cl（b）机械传动轴杆件各相邻横截面产生绕杆轴的相对转动ϕ1720扭矩沿轴线的变化规律e21221. 外力偶矩的计算m N ⋅=1146AmN ⋅=3509549n PB m N ⋅=446n D23扭矩的计算m N 350e ⋅-=-=B M m N 700e e ⋅-=--B C M M mN 446e ⋅=D M 扭矩图问题：如将轮A 与轮C 互换，扭矩图如何？哪种布置受力更合理？mN 700max ⋅=轴力图剪力图和弯矩图组合变形杆件的内力与内力图25梁的外力和内力均可仅由静力平衡方程求解27纵向对称面内时，梁的轴线由位于纵向对称面内的直28单跨静定梁的三种基本形式由静力平衡方程无法全部确定梁所有外力和内力29平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图：剪力F S 和弯矩M 求内力的方法：截面法A F R =M MaF A R =30平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图单位；kNN ·m ；kN ·m31截面，并取右段研究221qa -33平面弯曲梁的内力剪力图和弯矩图剪力方程剪力沿梁轴线的变化规律，即F S =F S (x )弯矩方程弯矩沿梁轴线的变化规律，即M=M (x )按比例绘出F S (x )的图线按比例绘出M (x )的图线剪力图和弯矩图受力分析，画受力图，由平衡方程求支座约束力分段列出剪力方程和弯矩方程，标出变量x 的取值根据剪力方程，求各控制面的剪力值，按比例绘剪力图。
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*材料力学的基本计算公式外力偶矩计算公式（P功率，n转速）1.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式2.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）3.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）4.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）5.纵向线应变和横向线应变6.泊松比7.胡克定律8.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?9.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式10.轴向拉压杆的强度计算公式11.许用应力，脆性材料，塑性材料12.延伸率13.截面收缩率14.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）15.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式16.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆17.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）18.圆截面周边各点处最大切应力计算公式19.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆20.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式21.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式22.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或23.等直圆轴强度条件24.塑性材料；脆性材料25.扭转圆轴的刚度条件? 或26.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,27.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,28.平面应力状态的三个主应力,,29.主平面方位的计算公式30.面内最大切应力31.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，32.三向应力状态最大与最小正应力 ,33.三向应力状态最大切应力34.广义胡克定律35.四种强度理论的相当应力36.一种常见的应力状态的强度条件，37.组合图形的形心坐标计算公式，38.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式39.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,40.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）41.纯弯曲梁的正应力计算公式42.横力弯曲最大正应力计算公式43.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数?，，44.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）45.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处46.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式47.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式48.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处49.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.弯曲正应力强度条件51.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件52.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，53.梁的挠曲线近似微分方程54.创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*。
目录引言 (2)一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)1.4 圣维南原理 (9)1.5 工程结构实例分析 (11)二圆轴扭转 (15)2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)(1) 横截面上的切应力 (15)(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)3.2 弯曲应力 (27)3.3 工程实例： (31)四、压杆稳定 (35)4.1、压杆稳定的概念 (35)4.2、临界压力 (35)4.3、三类压杆的临界载荷 (36)4.4、压杆稳定性计算 (36)4.5 工程实例4 (38)引 言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。
为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。
本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。
（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。
一 杆件受拉压的内力、应力、变形1.1轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。
《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计课题 3.1杆件四种基本变形及组合变形教学时间2课时教学目标知识与技能认识杆件的基本变形和组合变形；过程与方法通过分析工程实例、生活实例中的受力及变形掌握杆件的基本变形的受力及变形特点；情感、态度、价值观通过分析工程结构中的受力及变形并口头描述，培养归纳、总结、语言表达的能力；教学重点1、杆件的基本变形受力特点、变形特点；教学难点1、杆件力学模型的理解2、杆件四种基本变形的区分教学内容及其过程学生活动教师导学一、引入手拉弹簧弹簧会发生什么变化？小朋友双臂吊在单杠上，人双手撑地倒立起来，胳膊都有什么样的感觉，胳膊的形状有改变吗？二、导学提纲3.1杆件四种基本变形及组合变形1.杆件是指其纵向长度远大于横向尺寸的构件，轴线是直线的杆件称为直杆。
2. 轴向拉伸和压缩受力特点是直杆的两端沿杆轴线方向作用一对大小相等、方向相反的力；变形特点是在外力作用下产生杆轴线方向的伸长或缩短。
3. 产生轴向拉伸变形的杆件，其当作用力背离杆端时，作用力是拉力（图a）；产生轴向压缩变形的杆件，其作用力指向杆端，作用力是压力，（图b）。
4. 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。
5. 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各截面沿外力作用方向发生相对错动。
6. 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在剪切面上发生。
7. 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。
8. 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生让同学来回答弹簧、胳膊的受力和形状改变。
1、自主学习自学教材、自主完成导学提纲，记录疑点或无法解决的问题，为交流作准备。
2、组内交流在小组长的组织下，有序开展交流与探讨，共通过引导学生回答问题，引出物体在力的作用下变形是客观存在的，进入课题。
当有学生问到，或对有兴趣的学生可适当介绍如下关系：1、布置前置作业课前精心预设前置作业，（由导学提纲、探究与感悟组成）组织学生自主学习。
杆件的内力截面法一、基本要求1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。
二、内容提要1．轴向拉伸和压缩FN 轴力的正负号规定：拉为正，压为负。
3）轴力图表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。
正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方.2．扭转1)扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶.变形特点：横截面形状大小未变,只是绕轴线发生相对转动。
轴:2）外力偶矩当功率P 单位为千瓦（kW ），转速为（r/min)时，外力偶矩为m).(N 9549e nPM = 当功率P 单位为马力（PS)，转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 7024e nPM = 3）扭矩、扭矩图扭矩的正负号规定：法线方向一致为正，反之为负）.在x 轴上方，负的扭矩画在x 轴下方。
3．弯曲内力 1）基本概念弯曲变形：线变为曲线的变形称为弯曲变形。
以弯曲变形为主要变形的杆件称为对称弯曲平面内的一条曲线，这种弯曲形式称为所示。
2）梁的计算简图 静定梁:所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。
静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。
计算简图分别如图2-4（a)、（b)、（c)所示。
3)剪力和弯矩剪力:受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用F S 表示。
弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为弯矩，用M 表示.则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。
4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。
若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数,即)()(S S x M M x F F ==上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。
第二章 杆件的内力与内力图§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式一、杆件的内力与内力分量内力是工程力学中一个非常重要的概念。
内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。
显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。
在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。
这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。
剪力y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。
扭矩xM 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。
弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。
其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。
其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。
轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。
内燃机中的连杆、压缩机中的活塞杆等均属此类。
它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。
知识归纳整理材料力学基本知识复习要点1.材料力学的任务材料力学的主要任务算是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，挑选合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算想法。
2.变形固体及其基本假设延续性假设：以为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。
均匀性假设：以为物体内各处的力学性能彻底相同。
各向同性假设：以为组成物体的材料沿各方向的力学性质彻底相同。
小变形假设：以为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。
3.外力与内力的概念外力：施加在结构上的外部荷载及支座反力。
内力：在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。
内力成对闪现，等值、反向，分别作用在构件的两部分上。
4.应力、正应力与切应力应力：截面上任一点内力的集度。
正应力：垂直于截面的应力分量。
切应力：和截面相切的应力分量。
5.截面法分二留一，内力代替。
可概括为四个字：截、弃、代、平。
即：欲求某点处内力，假想用截面把构件截开为两部分，保留其中一部分，舍弃另一部分，用内力代替弃去部分对保留部分的作用力，并举行受力平衡分析，求出内力。
6.变形与线应变切应变变形：变形固体形状的改变。
线应变：单位长度的伸缩量。
练习题一.单选题1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。
下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。
A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件求知若饥，虚心若愚。
2、各向同性假设以为，材料内部各点的（）是相同的。
A.力学性质B.外力C.变形D.位移3、根据小变形条件，可以以为（）A.构件不变形B.结构不变形C.构件仅发生弹性变形D.构件变形远小于其原始尺寸4、构件的强度、刚度和稳定性（）A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关C.与二者都有关D.与二者都无关5、在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。
6、A.铸铁 B.玻璃 C.松木 D.铸铜物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为（）A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性7、结构的超静定次数等于（）。
