韩信分油

解决韩信倒油问题一般思路例1. 有10升、7升、3升3个桶，其中10升装满油，另两个为空桶，如何将10升分为2个5升？第一步：分析数据10÷2=5，而5可以有3种方案构成：①5=2+3；②5=7-2；③5=1+4；第二步：选择方案由于案○3中的1,4均不是现有容器的容量，由于容器的个数有限，要同时造出1和4，然后合并他们是不可能的。

所以可取的组合方案中的容量必须至少有等于原有容器的容量。

其中方案○1中的3为已有，方案2中的7为已有，都是可试探的方案；第三步：寻找解决方案的途径方案①5=2+3，就是要找出一个“2”，只要注意到，3×3-7=2即可。

即连续3次从10升杯中倒满3升，并倒入7升杯，最后一次留在3升倍中即为2升：腾空7升杯，加入2升，再加入3升即为5升。

方案○25=7-2，就是要找出一个“-2”。

“-2”意思就是有一个容量为2的空杯，用7升杯将他加满。

没有，可以造一个。

只要注意到，在3升杯中加入1升，它就相当于容量为2的空杯。

问题变为找到1升并加入3升杯中。

只要再注意到7-3×2=1，即加满7升杯，连续2次从7升杯中倒出3升，最后一次留在7升杯中即为1升：腾空3升杯，加入1升，3升即变为可以再注满2升的“空杯”。

加满7升杯，再用它加满3升杯，最后一次留在7升倍中即为5升。

该题的思路具有一般性。

下面几题都可以用此法解决。

例2. 有8升、5升、3升3个桶，其中8升装满油，另两个为空桶，如何将8升分为2个4升？例3. 有12升、8升、5升3个桶，其中12升装满油，另两个为空桶，如何将12升分为2个6升？答案：12,0,0、480、435、930、903、183、165。

例4. 有14升、9升、5升3个桶，其中14升装满油，另两个为空桶，如何将14升分为2个7升？..答案：590、545、10,0,4、194、185、680、635、11,0,3、最后2，9，3。

5升桶可用于9-2或5+2。

【名人故事】韩信的故事韩信的故事韩信创造象棋的故事中国象棋的出处说法不一，流传最广泛的观点就是中国象棋就是韩信缔造的。

刘邦统一西汉王朝后，屡建战功的大将韩信被吕后诱捕入狱。

韩信自知寿命快到头了，就打算在狱中写一本兵书传给后人。

不料这事被吕后知道，就下了一道懿旨，说他身为犯官，不能擅着兵书。

韩信悲愤难忍，仰天长叹道：“这个婆娘太狠毒了！不但要本王的命，连本王的名也要除掉啊！”当时有个狱卒听到他这句话后，跪在韩信面前说：“王爷！你就把用兵之法传给小人吧！”韩信苦笑了一声说：“本王若不知用兵之道，也不会落到今天这个下场。

如今悔之晚矣，怎么能再连累你遭受杀身之祸呢?”狱卒再三恳求，韩信只是不允。

一天，这个狱卒给韩信送来饭时，眼里的泪花直打转转，似的求求必须事对韩信说道，又强忍了。

韩信一看看他的神色，便深感危急，就反问狱卒：“那个婆娘是不是必须对我下手了?”狱卒不禁大哭出来声去。

韩信哈哈大笑道：“踢回去兔子杀死猎犬，箭天下飞鸟八折良弓嘛！从古至今都就是这样，没啥可怕的。

”说道辞，叫做狱卒起身，韩信挑去一根筷子，在地上图画了个方框，又在侧边中图画了一条“界河”，河中写下了“楚河”、“汉界”四个字。

接着又在河界两边各图画了三十六个小格，并说道：“本王今年刚好三十六岁，一生助汉攻灭楚，屡立大功，到头来却死去在一个女人手里。

你平时对我百般照料，今生今世我再没有机会告慰你了，就把生平所学的奇术托付给你吧。

”他说道着叫做狱卒挑去纸笔，把纸常大淳三十二个大块，布在方框内界河两方。

一面的十六块纸片各写下着帅、仕、二者、车、马、兵等字，另一面的十六块纸片上写下着将、士、象、车、马、卒等字。

摆好后，韩信边移动纸片边告诉狱卒：“这个方框就是千军万马的大战场，两面各代表一方的军力。

用兵之道，贵在主帅多谋善变，通盘筹划、奇正配合，以不变应万变……”并具体地教狱卒如何跳马、出兵等。

狱卒边点头边称赞：“奇！王爷真是个奇人啊！”从那天起至，韩信每天都和这个狱卒死守着方框（棋盘）研究兵法。

分油的数学题原理深度解剖分油问题是一道非常经典的初等数学趣味题。

它有很多种表述版本。

例如，版本1：日本分油问题。

有一个装满油的8公升容器，另有一个5公升及3公升的空容器各一个，且三个容器都没有刻度，试将此8公升油分成4公升。

.版本2：法国著名数学家泊松年轻时研究过的一道题：某人有12品脱美酒，想把一半赠人，但没有6品脱的容器，而只有一个8品脱和一个5品脱的容器，问怎样才能把6品脱的酒倒入8品脱的容器中。

版本3：我国的韩信分油问题：韩信遇到两个路人争执不下，原因是两人有装满10斤的油¨和两个3斤、7斤的空油¨，无法平均分出两份，每份5斤油。

韩信是如何解决这个难题的？版本4：史泰因豪斯在《数学万花筒》中的表述：有装有14千克酒的容器，另外有可装5 千克和9千克酒的容器，要把酒平分，该如何办？版本5：别莱利曼在《趣味几何学》中表述：一只水桶，可装12杓水，还有两只空桶，容量分别为9杓和5杓，如何把大水桶的水分成两半？解决这类问题通常有尝试法、几何坐标法和不定方程法。

这里将详细讨论用不定方程来解这类题的基本思路和步骤拆分。

（一）分析思路我们注意到这类题有几个共同的特点：（1）三个容器N!，N2，N按容积由小到大排列，分别为自然数N1,N2,N；得到的油M是小于N的自然数。

（2）两个较小容器的容积数N1,N2互素的（不是互素的要简单一些）。

（3）由于容器没有刻度，倒油过程中，较小容器总需要倒空或者填满。

（4）小容器倒油的次数X、Y是整数，最后需要得到的油M 也是正整数。

（5）在小容器里得到数量较少的油，如容器N1得到小于等于N1的油；容器N2得到大于N1小于等于N2的油。

所以分油的实质是一个求解二元一次不定方程的解的过程。

方程列为N2·X+N1·Y=M其中，N=N1+N2,M=（N1+N2）/2，则是平均分油问题，是分油问题的一个特例。

与一般不定方程有所不同的是，在倒油问题上，这里X和Y 取正值，也可取负值。

韩信⾛马分油
韩信故事⼆则是⾮常著名的⾛马分油。

追溯千年，韩信其⼈聪明睿智，细微巧妙，传说颇多，其中⾛马分油为⼀则，今介绍，作为共享佳话，饭后谈资。

话说有两⼈搭伙卖油，⾛到半路途中话不投机，定要分道扬镳，要把桶⾥⼗⽄油各分⼀半，再离开。

可是，当时容器只有⼀个装三⽄的勺，装七⽄的瓢，内装满油⼗⽄的桶。

⽤这三个容器把⼗⽄油分开，难也。

为难之际，韩信骑马路过，尚未离鞍。

在马上问之，⼆⼈叙述⼀番后，韩信笑之，说：“易也”。

为说明清晰，不妨在此按步骤叙述：
1、先⽤勺在桶⾥舀出⼀勺，将勺中三⽄油倒⼊瓢中。

2、⽤空勺再到桶⾥舀出⼀勺油，再到⼊瓢中，此时瓢中已有六⽄油。

3、再拿勺到桶⾥舀⼀勺油，倒⼊瓢中，可是，瓢只能装⼀⽄油，有⼆⽄油暂存勺⾥，这时油桶内只剩⼀⽄油。

4、把瓢内七⽄全部都倒进油桶内。

5、把勺内⼆⽄倒⼊已空瓢内，然后，⽤勺到油桶内舀出三⽄油再倒⼊瓢内，这样瓢内五⽄油，桶内五⽄油。

于是，两个合伙⼈，⼀个背五⽄油的桶，拿着空勺，⼀个拿装着五⽄油的瓢，悻悻离开。

韩信在没有度量器具情况下，就条件分之，堪称聪明，且马上指挥，别有⼀番情趣⽓魄。

当然，可能还有其他分法，请众韩信探索之。

韩信分油的典故介绍韩信分油的典故介绍据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。

这两个人有一只容量10斤（1斤=500千克）的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油。

要把这10斤油平分，每人5斤。

但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。

应该怎样分呢？韩信骑在马上，了解情况以后，说：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。

”说完了，打马就走。

两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5斤，高高兴兴，各自回家。

究竟是怎样倒来倒去的呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。

韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。

通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。

往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。

再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。

内容拓展：韩信熟谙兵法，自言用兵“多多益善”，作为战术家韩信为后世留下了大量的战术典故：明修栈道，暗渡陈仓、临晋设疑、夏阳偷渡、木罂渡军、背水为营、拔帜易帜、传檄而定、沈沙决水、半渡而击、四面楚歌、十面埋伏等。

其用兵之道，为历代兵家所推崇。

关于韩信的成语典故1. 胯下之辱第一个成语是"胯下之辱"，相信大家对于这个成语都再熟悉不过了，就是从胯下爬过的耻辱，其中的典故也是关于韩信的最为经典的故事了，在《史记·淮阴侯列传》中有记载:"淮阴屠中有侮信者，曰:'若虽长大，好带刀剑，中情怯耳。

'众辱之曰:'信能死，刺我，不能死，出我胯下。

'于是信孰视之，俛出胯下，蒲伏。

一市人皆笑信，以为怯。

"韩信在落魄时曾受到过胯下之辱，这个成语典故在后世里也常被用来形容大丈夫做大事不拘小节，以及忍辱负重的形象。

小学数学世界名题巧解
﹙韩信走马分油的问题﹚
此题是我国古代数学问题。

题目如下：
两个人一起买了10斤油，只有三斤、七斤、十斤的油篓各一个，两人倒来倒去，怎么也分不均匀。

韩信骑在马上看见了，没有下马，很快就给分均匀了。

韩信是怎样分均匀的？﹙斤，是已废止使用的
重量单位。

﹚
解：因为3×3＝9﹙斤﹚，9－7＝2﹙斤﹚，所以从十斤的篓里
向三斤的篓里连续倒出三个3斤，倒入七斤的篓里，七斤的篓倒满了，三斤的篓里就剩下2斤油。

现在七斤的篓里有7斤油，十斤的篓里有1斤油，三斤的篓里
有2斤油。

解题的关键是设法腾出一只篓，好把三斤篓中的2斤油倒进去。

然后，好用三斤的篓取出3斤油。

由于七斤的篓已满，因此，只能把七斤篓中的油全部倒入十斤
的篓中，十斤的篓中有油：1＋7＝8﹙斤﹚；然后，把三斤篓中的2
斤油倒入七斤的篓中。

此时，三斤的篓是空的，七斤的篓中有油2斤。

因为十斤的篓中已经有油8斤，所以，用三斤的篓从十斤的篓中取出3斤油，十斤的篓中剩下油：8－3＝5﹙斤﹚。

把三斤篓中的3斤油倒入已有2斤油的七斤的篓中，七斤的篓中便有5斤油了。

答：﹙略﹚。

韩信的民间传说故事一：叶子戏与扑克牌
韩信的民间传说故事二：踅面 -古老的方便面
相传是由西汉淮阴侯韩信所创，到现在已有2000多年的历史，可称得上是“中国最古老的方便面”。

假如埋锅造饭，敌兵就会从烟火的大小多少判断兵力的强弱，是兵家大忌。

为解决士兵吃饭问题，韩信让以当地盛产的荞麦为原料，烙成大饼，发给士兵，吃时在开水锅浸泡两分钟，十分快捷方便，为战争的胜利起到了重要作用。

这样的踅面，冬天可保存十天半月，夏天可保存两三天。

韩信的民间传说故事三：立马分油
传说有一天，韩信，骑着马在大路上行走，见路旁有许多人在围在一起看热闹。

原来是两个中年汉子正为分油的事着急。

韩信立马相问，那两个人说：“我们有10
斤油，需要平分，每人5斤。

可是没有秤，只有一个装下10斤的油篓，一个可装
7斤的油罐，一个能装3斤的油葫芦，折腾了半天分不开，真急死人哪!” 韩信听罢，笑着说道：“二位不必发愁，这非常简单，葫芦归罐罐归篓，三倒葫芦两倒罐。

” 可是，那两个人听了，并没有明白过来，只是站在那里望着陆韩信发呆。

韩信只好
将具体分法又说了一遍，然后骑马离去。

那个汉子按照韩信说的方法来分油，果然十分简单，他们很快就把油分好，各自提着油回家了。

韩信立马分油问题的三种策略作者：张安军来源：《中学数学杂志(初中版)》2016年第01期韩信立马分油问题.相传汉代军事家韩信一天访友归来，途中经过一集市，遇见卖油翁与顾客争执.买者想买5斤油，而卖者无法计量，因而告诉买者，要么买3斤，要么买7斤.韩信询问得知，卖油翁油娄中的葫芦恰好装有10斤油，但他仅有装3斤和7斤的葫芦，而买者执意要买5斤油.韩信立在马上稍加思索道：“你们无须再争，以我之法保你们都满意.”韩信下马经过几次倒油，买卖双方皆大欢喜.你知道，韩信是怎么倒油吗[1]？策略一摸着石头过河，盲目拼凑在解决这个问题时，你可能尝试着拼凑，运气好的话，你或许可以很快地凑成功，当然这种成功有着偶然性，犹如摸着石头过河，凭感觉，缺乏目标，尝试操作时间久一些，有可能拼凑成功，如下表1：策略二正难则反，从结果中逆推然而这样的操作是有几分偶然性和盲目性，倘若中间凑不成功，那么又要从头开始.如果我们调整一下策略，从结果开始，逆推进行，从上面的表格中可以发现最后三个容器的状态分别为5、5、0斤.由于每次倒油，从上表中可以发现这样一个有趣的现象，就是在这三个容器中至少有一个容器被倒空，或被倒满，不会出现三个容器都同时有油但未满的状态；有了这条规则，在逆推的过程中，同时还要关注倒油前后的等价性，即第（n+1）次←→第n次，如下从结果逆向思考，可以减少倒油过程的盲目性，又可以最小的次数达到符合要求的操作，如上表从结果逆向最小需要9次就可.从中可以得到启发，考虑问题思维不要单向度，正难则反，执果溯源，确定解题的方向.策略三化无形为有形，利用图象解决上述的10斤、7斤、3斤的葫芦为了方便起见，把它们分别记作1、2、3号葫芦，刚开始时，1、2、3号葫芦分别是10斤、0斤、0斤，用数学符号记作（10，0，0），由于不管如何操作，1、2、3号葫芦所装的油的总和为10斤，即（z，x，y）中x+y+z=10，当x，y，z中有两个量确定时，第三个量也唯一的确定，因此可以用三个数中的两个数表示问题中的量，不妨用2、3号的葫芦表示，如（7，3）表示2、3号葫芦所装的油分别为7斤、3斤，推广之（x，y）表示2、3号葫芦所装的油分别为x斤、y斤（0≤x≤7，0≤y≤3，x，y为整数），这样可以在直角坐标系中表示（x，y）中的点，横坐标表示2号葫芦所装的油，纵坐标表示3号葫芦所装的油，坐标的单位表示装油的斤数.图1为了从形中探寻规律，现把表3中7、3斤装的葫芦斤数组成横、纵坐标的点表示在图1中，从点（0，0）开始，结束点为（5，0），点与点之间用箭头表示，依次连接，可以发现在长为7、宽为3的长方形的边上组成45°或90°夹角，但缺乏规律，为了寻求规律，如图2，采用倾斜角为60°的斜坐标，同样以横坐标表示7斤葫芦所装的油，斜坐标表示3斤葫芦所装的油，坐标的单位仍表示装油的斤数，可以最外围的四边形如同入射光线碰到平面镜要进行反射，从（0，0）出发，第1次反射只有两种可能，（7，0）或（0，3），不妨从（0，0）开始第1次入射点为（7，0），如图2，最后只要到达（5，0）需要9次，如果从（0，0）开始第1次入射点为（0，3），如图3所示，需要12次.有了图象法解决倒油问题，这类问题就变得轻松、简单，和韩信立马分油相类似的有泊松倒酒趣题，据说泊松在青年时代研究过一个有趣的数学游戏：某人有12品脱啤酒一瓶，想从中倒出6品脱.但是他没有6品脱的容器，只有一个8品脱的容器和一个5品脱的容器.怎样的倒法才能使8品脱和12品脱的容器中恰好各装6品脱啤酒[2]？亲爱的读者相信你也会解决此类问题.参考文献[1]王青建.数学开心辞典[M].北京：科学出版社，2008：130.[2]李原.泊松趣题的启迪[J].数学学习与研究，2012（5）：36.。

韩信分油有几种方法
韩信分油的方法有以下几种：
1. 使用容器法：将两个容器准备好，一个容器用来装有韩信要分的油，另一个容器用来装被分出的油。

首先，将要分的油倒入第一个容器，然后根据需要的比例，在第一个容器中倒入适量的另一种油，搅拌均匀，最后将混合的油倒入第二个容器中，即完成了分油。

2. 使用比例法：根据韩信要分油的比例，将整体的油量分成相应比例的几个部分，然后将这些部分分别倒入不同的容器中。

3. 使用称重法：首先准备一个可以称重的容器，将要分油的容器放在称重器上，记录下整体的油量。

然后按照韩信要分的比例，将相应比例的油分别倒入其他容器中，最后重新称重剩余的油，计算出被分出的油的量。

这些方法是常用的分油方法，根据具体情况，可以选择合适的方法来进行油的分配。

[键入文字]成语故事韩信分油成语韩信走马分油是怎么分的？韩信骑在马上，了解情况以后，说：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。

”说完了，打马就走。

两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5 斤，高高兴兴，各自回家。

究竟是怎样倒来倒去的呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。

韩信是汉代的大将，小时候便爱动脑筋，聪明过人。

传说有一天，街上的两个卖油人正在争吵不休。

路过这里的韩信，出于好奇，呆呆地看着。

他终于明白，原来这两个人合伙卖油，因意见不合，准备把油桶里还剩下的十斤油平分后各奔东西，又为了分油不均而争执不下。

韩信仔细端详着，他们手头没有秤，只有一个能装3 斤的油葫芦和一个能装7 斤的瓦罐。

他们用油桶倒来倒去，双方总不满意，因而吵嚷起来。

有没有办法把油分精确呢？韩信面对两个各不相让的卖油人和眼前的油桶、瓦罐、油葫芦，默默沉思着。

忽然眼前一亮，大声说：“你们不要吵了，没有秤，也能够分均匀！”说着，他把办法告诉了卖油人。

按照韩信的办法，两个人重新再分，果然都很满意。

解：先用油葫芦连装三次，共装9 斤，将7 斤的瓦罐注满后，油葫芦里还剩2 斤。

然后将瓦罐的7 斤再全部倒入油桶，这时油桶里是8 斤油。

再将油葫芦内的2 斤油全部倒进瓦罐。

最后用空葫芦在油桶里灌满(3 斤)，倒进瓦罐。

这样，油桶里剩下的油和瓦罐中装的油都正好是5 斤。

双方各分其一，恰好各人所得完全相等。

第一步，将7 斤瓦罐灌满，这时10 斤桶中剩3 斤；第二步，用3 斤葫芦分两次从7 斤瓦罐中取出6 斤注入10 桶，并把罐中剩余的1 斤注入3 斤葫芦中；第三步，把7 斤瓦罐注满，这时10 斤桶中剩余2 斤；1。

韩信走马分油韩信是中国古代一位有名的大元帅，辅助刘邦打败楚霸王项羽，奠定了汉朝的基业。

民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，下面就是其中的一个。

一天晚上，韩信骑Array马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。

这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油。

要把这10斤油平分，每人5斤。

但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。

应该怎样分呢？韩信骑在马上，由此路过，看到二人犯愁，便随口说道：“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。

”说完便策马而去。

两个人突然觉得心里一亮，按照韩信说的的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5斤，高高兴兴，各自回家。

究竟是怎样倒来倒去的呢？三种容器各自装油斤数的变化过程，请看下表：韩信所说的“葫芦归罐”，是指把葫芦里的油往罐里倒；“罐归篓”是指把罐里的油往篓里倒。

通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里“归”。

往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里“归”，“归”到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。

再把满满一罐油“归”到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油“归”到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，“归”到罐里，就完成分油任务了。

具体分法如下：①把3斤的葫芦倒满，然后在把三斤葫芦里的油倒入7斤的罐里，这样倒3次，到第三次时把7斤的罐倒满，葫芦里还剩2斤油。

篓中还剩1(10－9) ＝1斤油。

②把罐中的7斤油全部倒入篓里，这时篓里就有8（1＋7）斤油了，罐是空的。

③把葫芦剩的2斤油倒入罐里，再用葫芦从篓里倒出3斤油，再倒入罐中，则罐中有5（2＋3）斤油，篓中也就剩5（8－3）斤油了。

由此有一些人开始研究分油问题。

韩信分油问题的拓展分析韩信分油问题：只借助两个容量分别为7升和3升的不规则且⽆刻度的容器，如何让两⼈平分⼀桶10升的油？解：⽤有序对/a,b/表⽰⼤容器的油量为a升，⼩容器的油量为b升。

初始状态为/0, 0/，即两个容器都是空的。

再⽤X、A、B分别代表油桶、⼤容器和⼩容器。

并⽤变换MtoN表⽰从M往N中倒油（当N为X时即为倒空M；当N不为X时为倒满N或倒空M，且⼆者必居其⼀）。

于是⼀个可⾏的分油过程如下：/0, 0/ XtoA /7, 0/ AtoB /4, 3/ BtoX /4, 0/ AtoB /1, 3/ BtoX /1, 0/ AtoB /0, 1/ XtoA /7, 1/ AtoB /5, 3/ BtoX /5, 0/最后⼤容器⾥以及油桶⾥的油量各占5升，达到了平分的⽬的。

来看⼀下⼤容器在上述过程中油量的变化情况：0，7，4，1，0，7，5对应的等式分别为：7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - 3·1 = 4，7·1 - 3·2 = 1，7·0 = 0，7·1 = 7，7·1 - [3·1 - (7·1 - 3·2)] = 5接下来，容易想到如下⼀个扩展的问题：从⼀个⽆穷⼤的油桶⾥取油，只借助两个容量分别为7升和3升的不规则且⽆刻度的容器，所能表⽰的整数升油量有哪些？解：由之前的题解，已经知道这两个容器可以表⽰的整数升油量可以为0、1、3、4、5、7、8。

10是显然可以的，对应把A和B都注满的情形。

由以下变换可知2、6、9也都可以表⽰出来：/5, 0/ AtoB /2, 3//0, 3/ BtoA /3, 0/ XtoB /3, 3//2, 3/ BtoX /2, 0/ AtoB /0, 2/ XtoA /7, 2/因此，此题的解为0到10的全体整数。

换两个数，再考察⼀下，⽐如：从⼀个⽆穷⼤的油桶⾥取油，只借助两个容量分别为7升和5升的不规则且⽆刻度的容器，所能表⽰的整数升油量有哪些？解：最⼩值0和最⼤值12是显然可以的。

韩信分油的算法国士无双——“淮阴侯”韩信淮阴侯韩信，兼有汉初三杰、兵家四圣、国士无双等等头衔，是辅佐刘邦建立汉朝的大军事家。

尽管韩信的最终结局不太好，但是他智计无双的形象早已深入人心，不仅有背水一战、十面埋伏等等名场面，还有一些生活中的智力小故事。

韩信分油韩信分油就是其中一件趣味故事——传说韩信有一天信马由缰地压马路，偶遇两个年轻人吵架，好奇心的驱使下韩信搞清楚了两个人的纷争，并打算当一把和事佬。

原来这年轻人得到了10升油，各有一个油壶，一个3升、一个7升，但他们想要平分10升油，这就吵了起来。

聪明绝顶的韩信分分钟平分了油，骑着马绝尘而去，深藏功与名。

那么韩信究竟是如何用3升、7升的油壶平分10升油的呢，我们就来试着复原一番淮阴侯的“算法”。

逻辑演算逻辑演算从头来看“韩信分油”的问题，两个人之所以产生争执，就是因为面对10升的油，没有2个5升油壶，也没有1升为单位的量杯来细分，只能用3升、7升这两个油壶来回调兑。

而所谓的平分，就是获取3升、7升的一个中间量，这就可以明确一点——必须做减法！如果利用3升壶，可以得到3升油，但是很难再准确地添加2升油。

但是如果能够在3升壶中制造出2升油的空缺，再用灌满的7升壶去灌满3升壶，剩下的不就是5升油了。

所以在逻辑上可以确定一个方向——用大容量的油壶来灌满小容量的油壶，不断制造差值，7-3=4、4-3=1、3-1=2，而7-2恰恰等于5，这就解决了问题。

实现分油的最后目标7-5=2；（0）分析： 7升壶加满后，从里面倒出2升油，剩下的就是5升油；第一步：7升减到4升7-3=4；（1）第一步：装满7升壶，再用7升壶倒满3升壶，7升壶还剩4升油；第二步：4升变1升4-3=1；（2）第二步：把3升壶清空，再用7升壶剩下的4升油把3升壶重新倒满，7升壶还剩1升油；第三步：制造2升油的空缺3-1=2；（3）第三步：把3升壶清空，将7升壶中的1升油倒进3升壶，现在3升壶只需要再添加2升就满了；第四步：7升变5升7-2=5。

分油问题趣谈三斤葫芦七斤罐，十斤油篓分一半。

笑看智史忙一团，倒来倒去纷纷乱…一天,汉代名将韩信催马加鞭经过河边，遇见两个老汉争吵挡住了去路.原来二人合买了一篓子10斤装的食用油,而身边只有一个3 斤容量的葫芦和一只7斤容量的罐子、,倒来倒去也无法平分那10斤油，最后两人竟吵起来了.只见韩信勒马指点二位老汉,最后道：“如此这般就可平分了”.两老汉照韩信所说，来回倒了几下,果真如愿。

两老汉惊叹不已，抬头欲寻骑马之人,早已不见踪影.这就是“韩信走马分油”的故事.你知道韩信是怎样分油的吗？类似的问题可信手拈来，如:(l）有容量7斗、6斗和3斗的木桶各一个,在第一桶和第二桶里分别装了6斗和4斗葡萄酒，问能否仅使用这3个木桶，把葡萄酒分成两等份?(2）某人有12品脱啤酒一瓶(品脱是英制容量单位，1品脱合0.568升)，想从中倒出6品脱。

但是他仅只有一个8品脱的空容器和一个5品脱的空容器。

他能否办得到呢？下面我们以题（l）为例来探讨这类问题.经过若干次尝试以后得到一种成功解法,下面用表格给出.成功了!不过,以上只算是一个小小的成功!如果我们不去研究其中的规则，仅凭试探倒来倒去，恐怕总是如走迷宫。

为探索规律，我们从不同的角度—图形—来观察并解决问题. 我们把倒的过程中装在第一个桶和第二个桶的油量分别以x和y来表示,显然，无论怎么倒，x、y都要受到以下不等式组的制约:如图1，阴影部分(含边界)表示该不等式组的全部点集合(可行域).用点（6，4）表示油最初的分配情况，符合最终要求的分配情况就是用点（5,5)来表示。

把表格提供的数据在坐标系里描出相应的点，例如第二行数据应点(6，1)，第三行数据对应点（7，1)等等。

这样,从最初到结束的一连串的倒移过程，在图1中以各编号点来代表，依编号次序将各点连接起来构成的折线,就代表从点（6，4）开始到点(5，5）结束的整个倒移过程。

现在请你仔细观察这条折线，看看从中能够获得哪些重要启示？（I）折线的顶点位于可行域的各边上;（II)折线的各边都与可行域的边平行；(III)假如折线的边与可行域的边重合，其终点就一定要和可行域的顶点之一重合。