锐角三角函数拓展训练

初中数学竞赛：锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式．三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1． 【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：(1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==；（2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；(2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．专题训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+ = ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( ) A ．3 B ．32 C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．10315．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tan α+tan β)÷(1-tan α·tan β)，求出∠CAC ˊ+∠CAA ˊ的度数．参考答案。

锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。

其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。

锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。

下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。

解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。

由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。

根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。

代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。

我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。

锐角三角函数与特殊角专题训练【基础知识精讲】一、 正弦与余弦：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .斜边的邻边斜边的对边A A A A ∠=⋅∠=cos sin .若把A ∠的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，则ca A =sin ，c bA =cos 。

2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A （A ∠为锐角）。

二、 特殊角的正弦值与余弦值：2130sin =， 2245sin =， 2360sin =． 2330cos = ， 2245cos =， 2160cos =． 三、 增减性：当00900<<α时，sin α随角度α的增大而增大；cos α随角度α的增大而减小。

四、正切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。

即 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （或ba A =tan ）五、特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．)90sin(cos ),90cos(sin A A A A -︒=-︒=．七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

即 ()A A -=90cot tan ， ()A A -=90tan cot ．八、同角三角函数之间的关系：⑴、平方关系：1cos sin 22=+A A ⑵商的关系AAA cos sin tan =A AA sin cos cot =⑶倒数关系tana ·cota=1b【典型例题】【1】 已知a 为锐角①若sina=3/5，求cosa 、tana 的值。

锐角三角函数最新模拟押题预测40道(俯角仰角、方向角、坡度、解三角形)类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题1.(2023·河南安阳·统考一模)某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，2≈1.41)2.(2023·山东菏泽·一模)某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．(结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80)3.(2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模)如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB=1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B 两点的仰角，测得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗杆顶端到地面高度AD．(结果精确到0.1)参考数据：(sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66，tan48.5°=1.13)4.(2023·黑龙江绥化·校考一模)小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米(点E，G，C，B在同一水平线上)．(1)小王和小李两人之间的距离CD；(2)此时无人机的高度AB．(sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，结果精确到1米)5.(2023·河南新乡·校联考一模)如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°(点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上)求纪念碑的高度．(结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈43)6.(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．(结果精确到1米，参考数据:sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91，tan65°≈2.14)7.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，西安市某居民楼南向的窗户用AB表示，其高度为2.5米(A，B，D三点共线)，此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为32.3°，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为79.2°，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中BD的高(结果精确到0.1m，参考数据：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos32.3°≈0.8，tan32.3°≈0.6)．8.(2023·江苏淮安·统考一模)如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度(结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈56，tan35°≈710，3≈1.7)．9.(2023·广东深圳·校考模拟预测)消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC(20米≤AC≤30米)是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，转动点A距离地面的高度AE为4米．(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为米．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由(参考数据：3≈1.7)(提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C可以达到最大高度)10.(2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模)大雁塔是古城西安的标志性建筑(如图1)．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步A处(如图2)测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7:24的斜坡AE前行100米到达平台E处，测得此时楼顶D的仰角为60°，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度DC(结果保留根号)．类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题11.(2023·河南驻马店·统考一模)在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？(参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)12.(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测绘员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上．现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长？(结果取整数，3≈1.732)13.(2023·福建厦门·厦门一中校考一模)如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．(参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tm67°≈125)14.(2023·山西晋中·统考一模)通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD中，∵sin B=ADAB∴AD=AB⋅sin B∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sin B=12ac sin B同理可得，S△ABC=12bc sin A，S△ABC=12ba sin C即S△ABC=12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C⋯⋯⋯⋯⋯①由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0∴将等式12bc sin A=12ac sin B=12ba sin C两边同除以12abc，得，sin Aa=sin Bb=sin Cc∴a sin A =bsin B=csin C⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．理解应用：如图，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距102海里．(1)求：△ADC的面积；(2)求：乙船航行的速度(结果保留根号)．15.(2023·安徽滁州·校考一模)在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O0，0、B(12，0)、C(12，16)，由三个观测点确定的圆形区域是“利剑-2016”中国多军种军事演习区，如图所示．(1)求圆形区域的面积．(2)某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离，结果保留根号；(3)当可疑船A由(2)中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．16.(2023·广西河池·校考一模)如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile(结果保留根号)？17.(2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模)如图，AB是湘江段江北岸滨江路一段，长度为2km，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，CD⊥AB垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长CD为多少km？(结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3≈1.732．)18.(2023·浙江嘉兴·校考一模)小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．(结果保留根号)19.(2023·新疆·统考一模)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口的距离(结果取整数)．(参考数据：sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192,2≈1.414)20.(2023·河南洛阳·统考一模)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度(精确到个位)；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题21.(2023·天津武清·校考模拟预测)如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米．(结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9，tan64°≈2.1)22.(2023·山西忻州·统考一模)绵山是中国清明节(寒食节)的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为63.4°，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像MN的高度．(结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00)23.(2023·陕西榆林·校考一模)延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的长为15米，BC=32米．MN是测角仪，长为2米，从点M测得该塔顶部A处的仰角为37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求该塔AB的高度．(参考数据：tan37°≈3 4 )24.(2023·陕西西安·校考三模)开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME(结果精确到1m，参考数据：3≈1.7)．25.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为8米，落在广告牌上的影子CD的长为5米，求铁塔AB的高．(AB、CD均与水平面垂直，结果保留根号)26.(2023·河北衡水·校考二模)如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；(3)在(2)的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．27.(2023·江苏宿迁·统考一模)如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为i=1:1．(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？(参考数据：π≈3.14,2≈1.41,3≈1.73；结果精确到0.1m3)28.(2023·上海崇明·统考一模)如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1:43的斜坡CD，如果高为3米的标尺EF竖立地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．(1)当影子全在水平地面BC上(图1)，求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上(图2)，求此时标尺与路灯间的距离为多少米？29.(2023·海南儋州·统考一模)如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度(结果精确到1米)．(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4)30.(2023·山东济南·一模)在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1∶3，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=40米．(1)求点E距水平地面BC的高度；(2)求楼房AB的高．(结果精确到整数，参考数据2≈1.414，3≈1.732)类型四、锐角三角函数与解直角三角形31.(2023·福建漳州·统考一模)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，作BF⊥BD交AC延长线于点F．(1)求证：△OBE∽△OFB；(2)求证：OC⋅CF=EC⋅OF．32.(2023·河南安阳·统考一模)如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tan B=12，求线段CE的长．33.(2023·安徽安庆·统考一模)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=34，求cos C的值．34.(2023·浙江舟山·校联考一模)如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点(点E不与点A，B重合)，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．(1)求证：△ADE∽△FCD；(2)若AD=6,tan∠DCF=13，求AE的长．35.(2023·上海静安·统考一模)如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cos B=513，AB=13,BC=21．(1)求AC的长；(2)求∠BAC的正弦值．36.(2023·广东深圳·统考一模)(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD=10，S▱ABCD=60，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为．(从以下选项中选取)A．正方形 B．菱形 C．矩形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF=8，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②连接DF，求sin∠ADF的值．37.(2023·广东梅州·校考模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sin E=35，求AD的长．38.(2023·上海崇明·统考一模)如图，D是△ABC边上的一点，CD=2AD,AE⊥BC，垂足为点E，若AE=9，sin∠CBD=34．(1)求BD的长；(2)若BD=CD，求tan∠BAE的值．39.(2023·上海浦东新·统考一模)如图，在Rt△EAC中，∠EAC=90°，∠E=45°，点B在边EC上，BD⊥AC，垂足为D，点F在BD延长线上，∠FAC=∠EAB，BF=5，tan∠AFB=34．求：(1)AD的长；(2)cot∠DCF的值．40.(2023·浙江湖州·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交射线BC于点E，过点C作CF⊥AE交射线AE于点F，连结BD交AE于点G，连结DF交射线BC于点H．(1)当AB<AD时，①求证：BE=CD，②猜想∠BDF的度数，并说明理由．=k时，求tan∠CDF的值(用含k的代数式表示)．(2)若ABAD。

锐角三角函数解答题大全100题一、解答题1．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）2．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．3．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．4．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长. （参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，370.80cos ︒≈，tan370.75︒≈）5．如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．6．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A ，B 两点间的距离为90cm ．低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155cm ，高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234cm ，已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°，高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH 的长．（结果精确到1cm ，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）7．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°（B ，C ，D 在同一条直线上），AB=10m ，隧道高6.5m （即BC=65m ），求标语牌CD 的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90≈1.73）8．如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°（点B ，C ，E 在同一水平直线上）．已知AB ＝80m ，DE ＝10m ，求障碍物B ，C 两点间的距离．（结果保留根号）9．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角45CAB ∠=︒，在距A 点10米处有一建筑物HQ .为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角30BDC ∠=︒，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）.1.414≈ 1.732≈）10．如图，BC 是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD 的顶端D 处有一探射灯，射出的边缘光线DA 和DB 与水平路面AB 所成的夹角∠DAN 和∠DBN 分别是37°和60°（图中的点A 、B 、C 、D 、M 、N 均在同一平面内，CM ∥AN ）． （1）求灯杆CD 的高度；（2）求AB 的长度（结果精确到0.1米）．（．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）11．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A 处，测得河的南岸边点B 处在其南偏东45°方向，然后向北走20米到达点C 处，测得点B 在点C 的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65≈1.41）12．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（i=1是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：3 1.414， 1.732）13．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．≈2.449，结果保留整数）14．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．16．如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB）。

中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x430x3331333x x3x5S{23x1235x93543x9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。

中考数学培优专题复习锐角三角函数练习题含答案解析一、锐角三角函数1．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．2．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数4．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，．①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.与交于点O,且关于对称四边形是菱形.（2）①连接,直线分别交于点,交于点关于的对称图形为在矩形中，为的中点，且O为AC的中点为的中位线同理可得：为的中点，②过点P作交于点由运动到所需的时间为3s由①可得，点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A即：由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.在中，设解得：和走完全程所需时间为考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置5．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解． 【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =tan 3AG AGAFG =∠，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AGCG， ∴CG =tan AGACG ∠=3AG ．又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3AG=24m ， ∴AG =123m ， ∴AB =123+1.6≈22.4m ．6．如图，直线y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C ． （1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x +2≥﹣12x 2+bx +c 的x 的取值范围； （3）设点D 为该抛物线上的一点、连结AD ，若∠DAC ＝∠CBO ，求点D 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】 【分析】 （1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE COAE BO=,最后分类讨论确定点D 的坐标． 【详解】 解：（1）由y ＝12x +2可得： 当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4， ∴A （﹣4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，由213222y x x =-+令y ＝0， 解得：x 1＝1，x 2＝﹣4， ∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+），∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE COAE BO=， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m 解得：m 1＝0，m 2＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．7．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴当点F1移动到点B时，t＝1010＝10；②当点H 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='，∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120. 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．如图，已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求这个二次函数解析式； （2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-75，145）． 【解析】【分析】（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）利用S △ABC =12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα= MD PM 1222x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解．【详解】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：9633212bb c⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩，解得：132bc=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32，令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-32，故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，S△ABC=12×AC×BH=12×BC×y A，解得：BH2sinα=BHAB22210=5，则tanα=12，由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，在△PMD中，tanα=MDPM22x+12，解得：x2CD2x=4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：84=-2，则直线A′N表达式中的k值为12，设直线A′N的表达式为：y=12x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b=72，故直线A′N的表达式为：y=12x+72…①，当x=1时，y=4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，联立①②两个方程并求解得：x=-75，故点N（-75，145）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．10．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析（2）13 65【解析】【分析】（1）根据▱ABCD 中，AC ⊥BC ，而△ABC ≌△AEC ，不难证明；（2）依据已知条件，在△ABD 或△AOC 作垂线AF 或OF ，求出相应边的长度，即可求出∠ABD 的正弦值．【详解】（1）证明：∵将△ABC 沿AC 翻折得到△AEC ，∴BC ＝CE ，AC ⊥CE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴AD ＝CE ，AD ∥CE ， ∴四边形ACED 是平行四边形，∵AC ⊥CE ，∴四边形ACED 是矩形．（2）解：方法一、如图1所示，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，∵BE ＝2BC ＝2×3＝6，DE ＝AC ＝4，∴在Rt △BDE 中，2222BD BE DE 64213=+=+=∵S △BDE ＝12×DE•AD ＝12AF•BD ， ∴AF 613213=， ∵Rt △ABC 中，AB 2234+5，∴Rt △ABF 中，sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝61361313655AF AB ==．方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝1132BD = ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22⋅=⋅， ∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中，sin ∠FBO ＝0613513F OB == ∴sin ∠ABD 613．【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin∠ABD．11．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣6，0），点C在y轴正半轴上，且cos B＝35，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其它边交于点Q．（1）求点D坐标；（2）求△OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；（3）在直线l移动过程中，是否存在t值，使S＝320ABCDS菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点D的坐标为（10，8）．（2）S关于t的函数关系式为S＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503．（3）3或. 【解析】【分析】（1）在Rt △BOC 中，求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标；（2）分两种情况分析：①当0≤t ≤4时和②当4＜t ≤10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两种情况分析：当0≤t ≤4时，4t ＝12，；当4＜t ≤10时，22201233t t -+= 【详解】解：（1）在Rt △BOC 中，∠BOC ＝90°，OB ＝6，cos B ＝35， 10cos OB BC B∴==8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形，CD ∥x 轴，∴点D 的坐标为（10，8）．（2）∵AB ＝BC ＝10，点B 的坐标为（﹣6，0），∴点A 的坐标为（4，0）．分两种情况考虑，如图1所示．①当0≤t ≤4时，PQ ＝OC ＝8，OQ ＝t ，∴S ＝12PQ •OQ ＝4t ， ∵4＞0， ∴当t ＝4时，S 取得最大值，最大值为16；②当4＜t ≤10时，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （4，0），D （10，8）代入y ＝kx +b ，得：4k b 010k b 8+=⎧⎨+=⎩，解得：4k 316b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为41633y x =-． 当x ＝t 时，41633y t =-， 41648(10)333PQ t t ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭ 21220233S PQ OP t t ∴=⋅=-+22202502(5),033333S t tt =-+=--+-<Q ∴当t ＝5时，S 取得最大值，最大值为503． 综上所述：S 关于t 的函数关系式为S ＝24(04)220(410)33t t t t t ⎧⎪⎨-+<⎪⎩剟…，S 的最大值为503． （3）S 菱形ABCD ＝AB •OC ＝80．当0≤t ≤4时，4t ＝12，解得：t ＝3；当4＜t ≤10时，222033t t -+＝12， 解得：t 1＝5﹣7（舍去），t 2＝5+ 7． 综上所述：在直线l 移动过程中，存在t 值，使S ＝320ABCD S 菱形，t 的值为3或5+7．【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题.数形结合，分类讨论是关键.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx﹣3得：0＝﹣14×36+6b﹣3，解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：35+m＝2m，解得：m＝35，CF＝22GF CG+＝5m＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．13．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt△ABC和Rt△ADE中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.14．抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）过点A(1, ﹣1)，B(5, ﹣1)，与y轴交于点C．（1）求抛物线表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作▱CBPQ，若点P在直线BC下方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且▱CBPQ的面积为30，①求点P坐标;②过此二点的直线交y轴于F, 此直线上一动点G,当GB+2GF最小时,求点G坐标.（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值【答案】（1）y=x²﹣6x+4（2）①P(2, -4)或P(3, -5) ②G(0, -2)（3）313【解析】【分析】（1）把点A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4解析式，即可得出抛物线的表达式；（2）①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，可求得直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），因为▱CBPQ的面积为30，所以S△PBC=1 2×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t的值，即可得出点P的坐标；②当点P为（2，-4）时，求得直线QP的解析式为：y=-x-2，得F（0，-2），∠GOR=45°，因为GB+2 2GF=GB+GR，所以当G于F重合时，GB+GR最小，即可得出点G的坐标；当点P为（3，-5）时，同理可求；（3）先用面积法求出sin∠ACB=1313，tan∠ACB=23，在Rt△ABE中，求得圆的直径，因为MB⊥NB，可得∠N=∠AEB=∠ACB，因为tanN=MBBN＝23，所以BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大．【详解】(1) 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1），∴1412554a ba b-++⎧⎨-++⎩＝，＝解得16ab⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线表达式为y=x²﹣6x+4．(2)①如图，连接PC，过点P作y轴的平行线交直线BC于R，设直线BC的解析式为y=kx+m，∵B（5，-1），C（0，4），∴154k mm-+⎧⎨⎩＝＝，解得14km＝，＝-⎧⎨⎩∴直线BC的解析式为：y=-x+4，设点P（t，t2-6t+4），R（t，-t+4），∵▱CBPQ的面积为30，∴S△PBC=12×(−t+4−t2+6t−4)×5＝15，解得t=2或t=3，当t=2时，y=-4当t=3时，y=-5，∴点P坐标为（2，-4）或（3，-5）；②当点P为（2，-4）时，∵直线BC解析式为：y=-x+4， QP∥BC，设直线QP的解析式为：y=-x+n，将点P代入，得-4=-2+n，n=-2，∴直线QP的解析式为：y=-x-2，∴F（0，-2），∠GOR=45°，∴GB+22GF=GB+GR当G于F重合时，GB+GR最小，此时点G的坐标为（0，-2），同理，当点P为（3，-5）时，直线QP的解析式为：y=-x-2，同理可得点G的坐标为（0，-2），(3) ）∵A（1，-1），B（5，-1）C（0，4），∴26，2，∵S△ABC=12AC×BCsin∠ACB＝12AB×5，∴sin∠ACB=21313，tan∠ACB=23，∵AE为直径，AB=4，∴∠ABE=90°，∵sin∠AEB=sin∠ACB=21313＝4AE，∴AE=213，∵MB⊥NB，∠NMB=∠EAB，∴∠N=∠AEB=∠ACB，∴tanN=MBBN ＝23，∴BN=32MB，当MB为直径时，BN的长度最大，为313．【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质．解决（3）问的关键是找到BN与BM之间的数量关系．15．如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）【答案】20.9km【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，∴BF=cos 60BD o =8km ， ∵AB=20km ，∴AF=12km ， ∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD AF BF， ∴AE=6km ， 在Rt △AEF 中，CE=AE•tan74°≈20.9km ．故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.。

A CO P D B图3三角函数提高训练一、选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（ ） A 、35 B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（ ） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m 3、在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（ ） A ．12B 2C 3D 3 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（ ） A 、34 B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（ ）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（ ）A 、4B 、3C 、2D 、1ABC（α 图1图29、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则tan α的值为（ ）A 、21 B 、34 C 、43D 、2 二、解答题10、如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东 60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（1） 试说明点B 是否在暗礁区域外？（2） 若继续向东航行在无触礁危险？请说明理由。