《锐角三角函数》题型分析

专题01 锐角三角函数和特殊角的三角函数（六大类型）【题型1锐角三角函数的概念】【题型2 锐角三角函数的增减性】【题型3特殊角三角函数值】【题型4 同角三角函数的关系】【题型5 互余两角三角函数的关系】【题型6 三角函数的计算】【题型1锐角三角函数的概念】1．（2022秋•道县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tan A 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴tan A＝．故选：B．2．（2023•南岗区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则tan B 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC，∴tan B＝＝＝．故选：D．3．（2022秋•路北区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos B的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∴cos B＝＝＝．故选：A．4．（2023•新华区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若c为斜边，a、b 为直角边，且a＝5，b＝12，则sin A的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，c＝＝＝13，sin A＝．故选：B．5．（2023•陈仓区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，则sin B的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝，∴sin B＝＝＝，故选：C ．6．（2023•虹口区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得AB ＝＝．由锐角的余弦，得cos A ＝＝＝．故选：C ．7．（2023•金山区一模）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则∠B 的正切值等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴tan B ＝＝．故选：A ．8．（2023•长宁区一模）在△ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝3，AB ＝5，那么∠A 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，AC ＝3，AB ＝5，故选：C．【题型2 锐角三角函数的增减性】9．（2023•未央区校级三模）若tan A＝2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间B．在30°和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间【答案】D【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，而tan A＝2，∴tan A＞tan60°，∴60°＜∠A＜90°．故选：D．10．（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tan A＝3，则∠A的取值范围是（ ）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【答案】D【解答】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，∵tan A＝3，∴3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．11．（2021秋•淮北月考）已知角α为△ABC的内角，且cosα＝，则α的取值范围是（ ）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【答案】C【解答】解：∵cos60°＝，cos45°＝，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴45°＜α＜60°，故选：C．【题型3特殊角三角函数值】12．（2022秋•嵊州市期末）已知tan A＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解答】解：∵，且∠A是锐角，∴∠A＝30°，故选：A．13．（2023•河西区模拟）计算2cos30°的结果为（ ）A．B．1C．D．【答案】C【解答】解：∵cos30°＝，∴2cos30°＝2×＝．故选：C．14．（2023•肃州区三模）sin60°的相反数（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：∵sin60°＝，∴sin60°的相反数是﹣．故选：C．15．（2023•高州市一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则∠A的大小是（ ）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角，∵cos A＝，∴∠A＝60°，故选：C．16．（2023•南开区二模）下列三角函数中，结果为的是（ ）A．cos30°B．tan30°C．sin60°D．cos60°【答案】D【解答】解：A．cos30°＝，不符合题意；B．tan30°＝，不符合题意；C．sin60°＝，不符合题意；D．cos60°＝sin30°＝，符合题意．故选：D．17．（2023•河西区一模）cos60°的值等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cos60°＝，故选：D．18．（2023•东莞市校级一模）已知∠A为锐角且tan A＝，则∠A＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．不能确定【答案】C【解答】解：∵∠A为锐角，tan A＝，∴∠A＝60°．故选：C．19．（2023•迎泽区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）A．15°B．45°C．30°D．60°【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵tan B＝＝＝，∴∠B＝60°，故选：D．【题型4 同角三角函数的关系】20．（2023•泉港区模拟）已知∠A是锐角△ABC的内角，，则cos A的值是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由勾股定理可得sin2A+cos2A＝1，∵，∴（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或cos A＝﹣（舍去），故选：C．21．（2022秋•日照期末）若α为锐角，且sinα＝，则tanα为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由α为锐角，且sinα＝，得cosα＝＝＝，tanα＝＝＝，故选：D．22．（2022秋•桐柏县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°．若sin A＝，则cos A等于（ ）A．B．C．D．1【答案】A【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，sin A＝，∴+cos2A＝1，∵∠A为锐角，∴cos A＝．故选：A．23．（2022秋•滦州市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，AC＝＝3k，∴cos A＝＝，故选：C．24．（2023•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A 等于（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tan A＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cos A＝＝＝．故选：D．25．（2023秋•二道区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值为 ．【答案】．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，又∵，∴，∴sin A＝或（舍去），故答案为：．【题型5 互余两角三角函数的关系】26．（2023秋•肇源县校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，，∴，设BC＝12x，则AB＝13x，，∴，故选：D．27．（2023•二道区校级模拟）在Rt△ABC中，AC≠BC，∠C＝90°，则下列式子成立的是（ ）A．sin A＝sin B B．sin A＝cos B C．tan A＝tan B D．cos A＝tan B 【答案】B【解答】解：A、sin A＝，sin B＝，sin A≠sin B，故不符合题意；B、sin A＝，cos B＝，sin A＝cos B，故B符合题意；C、tan A＝，tan B＝，tan A≠tan B，故不符合题意；D、cos A＝，tan B＝，则cos A≠tan B，故不符合题意；故选：B．28．（2023秋•东阿县校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则cos B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵cos B＝，sin A＝＝，∴cos B＝．故选：B．29．（2022秋•双牌县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC＝＝＝3a，∴tan B＝＝，故选：D．30．（2023•新邵县校级一模）已知△ABC中，∠A＝90°，tan B＝，则sin C＝ ．【答案】．【解答】解：如图．∵∠A＝90°，tan B＝，∴设AC＝x，则AB＝2x．∴BC＝＝．∴sin C＝．故答案为：．31．（2023•未央区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B 的值为 ．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，∴sin A＝＝，∴设BC＝3a，AB＝5a，∴AC＝＝＝4a，∴tan B＝＝＝．故答案为：．【题型6 三角函数的计算】32．（2023春•江岸区校级月考）计算：．【答案】1．【解答】解：＝＝2﹣1＝1．33．（2022秋•蜀山区校级期末）计算：sin245°+tan60°•cos30°．【答案】2．【解答】解：原式＝（）2+×＝+＝2．34．（2023春•朝阳区校级期末）计算：．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2×﹣+1﹣×＝﹣+1﹣＝．35．（2022秋•武功县期末）计算：sin45°+2cos30°﹣tan60°．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝+2×﹣＝+﹣＝．36．（2022秋•南通期末）计算：tan45°﹣2sin30°+4cos230°．【答案】3．【解答】解：原式＝＝1﹣1+3＝3．37．（2022秋•辛集市期末）计算：sin60°•tan30°+．【答案】1．【解答】解：原式＝＝+＝1．。

锐角三角函数的题型及解题技巧锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、 化简或求值例1 （1）已知tan 2cot 1a a -=，且a 是锐角，求22tan cot 2a a +-的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-。

分析分析 （1）由已知可以求出tan a 的值，化简22tan cot 2a a +-可用1tan cot a a =×；（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1a a +=化简。

化简。

解 （1）由tan 2cot 1a a -=得2tan 2tan a a -=，解关于tan a 的方程得tan 2a =或tan 1a =-。

又a 是锐角，∴tan 2a =。

∴22tan cot 2a a +-＝22tan 2tan cot cot a a a a -×+＝2(tan cot )a a -＝tan cot a a -。

由tan 2a =，得1cot 2a =，∴22tan cot 2a a +-＝tan cot a a -＝13222-=。

（2）()()22sin cos cos sin a b a b a a a a ++-＝2222sin 2sin cos cos a ab b a a a a +××+＋2222cos 2cos sin sin a ab b a a a a -××+＝()()222222sin cos sin cos a b a a a a +++＝22a b +。

说明说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1a a +=，tan cot 1a a ×=等。

等。

二、已知三角函数值，求角例2 在△ABC 中，若223cos sin 022A B æö-+-=ç÷ç÷èø(),A B ÐÐ均为锐角，求C Ð的度数。

第二十八章锐角三角函数单元测试讲评填空题一、填空（每题3分，共21分）1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝，sinB＝，tanB＝，2、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝；3、已知tanα＝125，α是锐角，则sinα＝4、如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 .（结果保留根号）．5、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为.6、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米高。

8、如图，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。

(5题图) （7题图）7、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是米。

知识点：勾股定理，正弦、余弦、正切的定义，分母有理化。

解：由勾股定理得，c=13∴cosA＝b/c=313/13，sinB＝b/c=213/13，tanB＝b/a=3/2，知识点：三角形面积计算，正弦概念。

解：∵S= 2BCAB•，即2ab=24A 、20°B 、30°C 、35°D 、50°14、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是（ ）A 、sin(α+β)=sin α+sin βB 、cos(α+β)=21时，α+β=600C 、若α≥β时，则cos α≥cos βD 、若cosα>sin β,则α+β>90015、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )A ．9米B ．28米C ．()37+米 D.()3214+米16、如图,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为( )A.a mB.(a ·tan α)mC.(a/tan α)mD.a(tan α－tan β)m17、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°DCBA解答题三、解答题18、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°(2)50cos40sincos45tan30cos330sin145tan41222-+-+．19、(10分)△ABC中，∠C＝90°(1)已知：c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2) 已知a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.20、 (10分) 已知Rt△ABC的斜边AB的长为10cm , sinA、sinB是方程m(x2－2x)+5(x2+x)+12=0的两根。

中考总复习：锐角三角函数综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞0． 考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下： 要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就Ca bc是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， (1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c ==，cos sin b A B c==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则 ①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++． 直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高） ②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△． 【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例2】1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义，可以用某个锐角的三角函数值和一条边表示其他边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，可以用比例系数k表示各边．(3)要求sinB的值，可以将∠B转化到一个直角三角形中．【答案与解析】(1)选B．(2)在△ABC，∠C＝90°，3sin5 BCAAB==．设BC＝3k，则AB＝5k(k＞0)．由勾股定理可得AC＝4k，∴4432 cos tan5315k kA Bk k+=+=．(3)由已知，AD是半圆的直径，连接CD，可得∠ACD＝90°∠B＝∠D，所以sinB＝sinD＝23 ACAD=．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其他三角函数值时，常用的方法是：利用定义，根据三角函数值，用比例系数表示三角形的边长；(2)题求cosA时，还可以直接利用同角三角函数之间的关系式sin2 A+cos2 A＝1，读者可自己尝试完成．举一反三：【变式】（2015•乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB==，AD==2cosA===，故选：D．类型二、特殊角的三角函数值【高清课堂：锐角三角函数综合复习 例1】2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．【思路点拨】第(2)题可以先利用关系式sin 2 A+cos 2A ＝1对根号内的式子进行变形，配成完全平方的形式． 【答案与解析】解 (1)tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°(2)∵12sin cos A A -2(sin cos )|sin cos |A A A A =-=-，∴12sin cos A A -cos sin (045)sin cos (4590)A A A A A A -<⎧=⎨-<<⎩°≤°°°．【总结升华】由第(2)题可得到今后常用的一个关系式：1±2sin αcos α=(sin α±cos α)2． 例如，若设sin α+cos α＝t ，则21sin cos (1)2t αα=-． 举一反三：【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID ：408468 播放点：例1】 【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值. 【答案】∵3sin 22α，且2α为锐角， ∴2α＝60°，α＝30°． ∴12cos sin 22βα===， ∴β＝45°． ∴23tan()tan 3033β==°． 3．（2015春•凉州区校级月考）如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求： （1）tanC 的值；（2）sinA 的值．【思路点拨】（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ，利用面积公式求出高AD 的长，从而求出BD 、CD 、AC 的长，此时再求tanC 的值就不那么难了．（2）同理作AC 边上的高，利用面积公式求出高的长，从而求出sinA 的值． 【答案与解析】 解：（1）过A 作AD ⊥BC 于点D ． ∵S △ABC =BC •AD=84， ∴×14×AD=84，∴AD=12． 又∵AB=14， ∴BD==9．∴CD=14﹣9=5． 在Rt △ADC 中，AC==13，∴tanC==；（2）过B 作BE ⊥AC 于点E ． ∵S △ABC =AC •EB=84， ∴BE=，∴sin ∠BAC===．【总结升华】考查了锐角三角函数的定义，注意辅助线的添法和面积公式，以及解直角三角形公式的灵活应用． 举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到)【答案】过点C 作CD ⊥AB 于点D.EABCCD 就是连接两岸最短的桥.设CD=x （千米）. 在直角三角形BCD 中，∠BCD=45°，所以BD=CD=x.在直角三角形ACD 中，∠ACD=30°，所以AD=CD ×tan ∠ACD=x ·tan30°=x.因为AD+DB=AB ，所以x+x=3，x=≈答：从C 处连接两岸的最短的桥长约为. 类型三、解直角三角形及应用4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长． 【思路点拨】解题的基本思路是将问题转化为解直角三角形的问题，转化的目标主要有两个，一是构造可解的直角三角形；二是利用已知条件通过设参数列方程． 【答案与解析】解：作DE ∥AC 交CB 于E ，则∠EDC ＝∠ACD ＝90°．∵4cos 5CD DCE CE =∠=， 设CD ＝4k(k ＞0)，则CE ＝5k ，由勾股定理得DE ＝3k ．∵△ACD 和△CDB 在AB 边上的高相同，∴AD:DB ＝:2:3ACD CDB S S =△△．即553533AC DE k k ==⨯=． ∴44tan 55CD k A AC k ===．∵AC+CD ＝18， ∴5k+4k ＝18，解得k ＝2． ∴2241241AD AC CD k =+==．∴AB ＝AD+DB ＝AD+32AD ＝541． 【总结升华】在解直角三角形时，常用的等量关系是：勾股定理、三角函数关系式、相等的线段、面积关系等． 5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到)．(参考数据：sin10°≈°≈°≈°≈°≈°≈ 【思路点拨】本题是求四边形一边长的问题，可以通过添加辅助线构造直角三角形来解． 【答案与解析】解：如图所示，延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝DB ·sinl5°≈50× CE ＝BF ＝DB ·cos15°≈50× ∴AE ＝CE ·tan10°≈× ∴≈答：树高约为． 【总结升华】一些特殊的四边形，可以通过切割补图形的方法将其转化为若干个直角三角形来解． 举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC 的边长为2，点D 在BC 的延长线上，CD ＝3．(1)动点P 在AB 上由A 向B 移动，设AP ＝t ，△PCD 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC ＝z ，求z 与t 之间的函数关系式． 【答案】解：(1)作PE ⊥BC 于E ，则BP ＝AB-AP ＝2-t(0≤t ＜2)． ∵∠B ＝60°， ∴1133sin (2)2222PCD S CD PE CD BP B t ===-△， 即3333(02)42y t t =-+≤<． (2)由(1)不难得出，3(2)2PE t =-，1(2)2BE t =-． ∴112(2)(2)22EC BC BE t t =-=--=+． ∵22222231(2)(2)2444PC PE EC t t t t =+=-++=-+．∴224(02)z t t t =-+≤<．6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO 与BO 的长．(2)若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行．①如图(2)所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD ＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑了多少米；②如图(3)所示，当A 点下滑到A ′点，B 点向右滑行到B ′点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ′点，若∠POP ′＝15°，试求AA ′的长．【思路点拨】（1）在直角△AOB 中，已知斜边AB ，和锐角∠ABO ，即可根据正弦和余弦的定义求得OA ，OB 的长；（2）△APO 和△P′A′O 都是等腰三角形，根据等腰三角形的两底角相等，即可求得∠PAO 的度数， 和∠P′A′O 的度数，在直角△ABO 和△A′B′O 中，根据三角函数即可求得OA 与OA′，即可求得AA′的长．【答案与解析】解：(1)Rt △AOB 中，∠O ＝90°，α＝60°，∴∠OAB ＝30°．又AB ＝4米，∴OB ＝12AB ＝2米．OA ＝AB ·sin 60°＝4×2＝米)． (2)①设AC ＝2x ，BD ＝3x ，在Rt △COD 中，OC ＝2x ，OD ＝2+3x ，CD ＝4，根据勾股定理：OC 2+OD 2＝CD 2，∴2222)(23)4x x ++=．∴213(120x x +-=．∵x ≠0，∴13120x +-=．∴1213x =．24213AC x ==．即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米． ②∵点P 和点P ′分别是Rt △AOB 的斜边AB 与Rt △A ′OB ′的斜边A ′B ′的中点，∴PA ＝PO ，P ′A ′＝P ′O ．∴∠PAO ＝∠AOP ，∠P ′A ′O ＝∠A ′OP ′．∴∠P ′A ′O-∠PAO ＝∠POP ′＝15°．∵∠PAO ＝30°，∴∠P ′A ′O ＝45°．∴A ′O ＝A ′B ′·cos 45°＝42⨯=∴AA ′＝OA-A ′O ＝米．【总结升华】解答本题的关键是理解题意．此题的妙处在于恰到好处地利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而求出∠P′A′O=45°，让我们感受到了数学题真的很有意思，做数学题是一种享受．。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+， 在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==， 则cos36°-cos72°=51+=15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°， 由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=； （3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ， 取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为 ．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1． （3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+， 在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。

第7章锐角三角函数一、知识点梳理--------锐角三角函数【考点1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， a 、b 分别是∠A 的对边和邻边，c 是斜边。

1、正切将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作：tanA . 即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan2、正弦将∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作：sinA 即：c aA A =∠=斜边的对边sin3、将∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作：cosA 即cbA A =∠=斜边的邻边cos【考点2】特殊角三角函数值【考点3】解直角三角形---------构造直角三角形 1、解直角三角形-------已知元素至少有一个是边在直角三角形中，除直角外，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、方法点拨（1）涉“斜”选“弦”的策略 （ 2） 无“斜”选“切”的策略3、方位角方位角：首先确定好基准点，然后在基准点做好坐标，规定以南北方向为始边，左右旋转即可得到方位角.4、仰角和俯角5、坡度或破比通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比hl叫做坡面的坡度或坡比，坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用α表示，即tanα＝hl.显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.6、利用解直角三角形的知识解决实际问题的过程：.(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.二、题型分类全解1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin A＝35，cos A＝45，tan A＝34，则BC的长为( )A.6B．7.5C．8D．12.52、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝60°，AC＝20 m，则BC是3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝6，解这个直角三角形.3、如图，在锐角△ABC 中，AB=10,AC=32,53sin B ,求（1）C tan （2）BC 长4.在△ABC 中，若∠C ＝90°，sin A ＝12，AB ＝2，则△ABC 的周长为__ __.5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，有两边长分别为3和4，则sin A 的值为__ _.6.如图28－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝6，AC ＝5 3，∠A ＝30°. (1)求BD 和AD 的长； (2)求tan C 的值.7、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，连结CD 与AB 相交于点P ，则tan∠APD 的值是( ) A ．2 B ．C ．D ．8、如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（ ）A ．12B ．1CD9、若a ，β是一个三角形的两个锐角，且满足2sin tan 0αβ⎫-+-=⎪⎪⎝⎭，则此三角形是________.10、如图，若直线y ＝－3x ＋3与x 轴所形成的锐角为α，求α的正切值．11、如图, 在Rt △ABC 中, ∠A=90°,AB=AC,D 为AC 上的一点,AD=13AC,求tan ∠DBC 的值12、如图，将矩形ABCD沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点F 处，如果AB BC ＝23.求tan ∠DCF 的值．13、如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ，若AC ＝2，则cosD ＝ .14、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，OD ∥BC 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，连接AD 、BD 、CD.(1)求证：AD ＝CD ；(2)若AB ＝10，cos ∠ABC ＝35，求tan ∠DBC 的值．15．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E. (1)求证：DC ＝DE ；(2)若tan ∠CAB ＝12，AB ＝3，求BD 的长．16、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高？17、如图，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度.18、如图一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732).19、如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12 m的F处，观测到旗杆顶部A的仰角为60°，底部B的仰角为45°，小明的眼睛E与地面的距离EF为1.6 m．(1)求建筑物BC的高度；(2)求旗杆AB的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)三、才华展示1、（8分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）2、（3分）如图，无人机于空中A 处测得某建筑顶部B 处的仰角为45°，测得该建筑底部C 处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD 为62m ，则该建筑的高度BC 为 m ．（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）4、如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时， 它与地面所成的角∠ ABO = 60°；当梯子底端向右滑动1 m （即BD = 1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠ CDO = 51°18′，求梯子的长． （参考数据：sin 51°18′ ≈ 0.780，cos 51°18′ ≈ 0.625，tan51°18′ ≈ 1.248）。

锐角三角函数中考必考题型
题目：锐角三角函数
锐角三角函数是中考必考知识点之一，本文将从定义、值域、性质和运用四个方面详细介绍这个重要的数学概念。

一、定义
锐角三角函数分为正弦、余弦和正切三种，它们的定义如下：
正弦：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。

余弦：在直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。

正切：在直角三角形中，对于一个锐角，其对边与邻边的比值。

二、值域
正弦和余弦的值域均为[-1,1]，而正切的值域为R（实数集）。

三、性质
1.正弦函数与余弦函数是周期函数，周期均为360°，即2π。

2.正弦函数与余弦函数在对称轴上对称。

3.正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

4.正切函数具有奇点，即tan(π/2+kπ)（k∈Z）。

5.正切函数的图像在x轴上有最多两个零点。

四、运用
1.利用正弦函数和余弦函数求两角间的方向角。

2.利用正切函数解决直角三角形中的问题，如求角度或边长。

3.利用正弦函数和余弦函数求解物理问题中的动态平衡问题。

4.利用三角函数解决航线问题，计算两点之间的距离、方向角等。

以上就是关于锐角三角函数的介绍，掌握了这个概念，我们可以在中考中更灵活地运用三角函数解决相关数学问题。

第二十八章锐角三角函数第25讲锐角三角函数知识导航1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．2．特殊角的三角函数值．【板块一】求锐角三角函数值方法技巧1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．题型一紧扣定义求三角函数值【例1】已知锐角α满足tanα＝12，求sinα的值．【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝12BCAC=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB，∴sinBCABα===【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴AE MDAM CD=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM＝CMCE=．题型二等角转换求三角函数值【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．αA BCCBEA M D【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴ODtan∠CDO＝OCOD＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC【点评】在圆中经常利用同弧或等弧所对的圆周角相等进行角的转换，用直径所对的圆周角去构造直角三角形．题型三构造直角求三角函数值【例4】如图，在Rt△BAD中，tan∠B＝53，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，求tan∠CAD 的值．【解析】要求tan∠CAD，必须将∠CAD放在直角三角形中，考虑∠BAD＝90°，故过点D作DE∥AB交AC于点E．则∠ADE＝90°，且有△CDE∽△CBA可利用，由tan∠B＝53ADAB=，设AD＝5x，AB＝3x，而13DE CDAB BC==，∴DE＝x，∴tan∠CAD＝155DE xAD x==．【点评】求一个角的三角函数值，必须将所求的角放在直角三角形中．题型四等比转化求三角函数值【例5】如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求tan∠ACE的值．CDBACDEBAA BDEC【解析】过点E 作EH ⊥AC 于点H ，易证AH ＝HE ，∴tan ∠ACE ＝HE AH AECH CH EB==，设BE ＝x ，则BD ＝CD，∴BC ＝x ，AB ＝4x ，∴AE ＝AB －BE ＝3x ，∴tan ∠ACE ＝AEEB＝3．【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【解析】连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACP ＝90°，∴cos ∠APC ＝PCPA，又易证△PCD ∽△P AB ,∴63105PC CD PA AB ===，∴cos ∠APC ＝35． 【点评】在直角三角形中，锐角的三角函数值等于两边的比值，当这个比值无法直接求解时，可利用相似三角形对应线段成比例进行转化．题型五 利用特殊角求三角函数值【例7】利用45°角的正切，求tan 22．5°的值，方法如下：解：构造Rt △ABC ，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，如图，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，则∠D ＝12∠ABC ＝22．5°，设AC ＝a ，AB ＝BDa a ，∴CD ＝(1)a ，∴tan 22．5°＝tan ∠D＝AC CD =－1．A BE DHCAACA请你依照此法求tan 15°的值．【解析】构造如图所示的∠A ＝15°的直角三角形，∠C ＝90°，并过点B 作∠ABD ＝15°交AC 于点D ，则∠BDC ＝30°，设BC ＝x ，则BD ＝AD ＝2x ，CD，∴AC ＝(2x ，∴tan 15°＝BC AC＝2针对练习11．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A ＝．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B ＝ 125 ．3．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿 EF 和ED 折叠，使得点B ，C 两点折叠后重合于点G ，则tan ∠FEG ＝12．4．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M ，ME ＝EF ，EF ∥MN ，则cos ∠E ＝12． A D CBABCDG F DCBA E5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝tan 2A的值．解：AB=7．延长CA 到点D ，使AD ＝AB ＝7，则CD ＝7＋tan2A＝tan ∠D＝7－ 6．如图，AC 为⊙O 的直径，△ABD 内接于⊙O ，BD 交AC 于点F ，过点B 的切线BE ∥AD 交AC 的延长线于点E ，若CF ＝2，AF ＝8，求sin ∠E 的值．解：连接OB ，CD ，∵CF ＝2，AF ＝8，∴AC ＝10．∴OB ＝5．易证CD ⊥AD ，OB ⊥AD ，∴OB ∥CD ，∴△BOF ∽△DCF ．∴32OB OF CD CF ==．CD ＝103．sin ∠E ＝sin ∠CAD ＝CD AC ＝13． 7．将一副三角尺(Rt △ABC 与Rt △BDC )按如图所示摆放在一起，连接AD ，试求∠ADB 的正切值．解：过点A 作AM ⊥DB 交DB 的延长线于点M ，易证∠MBA ＝45°，∴设AM ＝BM ＝x，则AB x ．∴BC，BD ．∴tan ∠ADB ＝AMDM8．如图，在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝6，AB ＝5，求tan12∠BAC ·tan 12∠CBA 的值．ABCDEAAEDCBABCDM解：过点C作CH⊥AB于点H，延长BA到点D，使AD＝AC，延长AB到点E，使BE＝BC，设AH＝x，则BH＝5－x，∴42－(5－x)2＝62－x2，∴x＝92．∴BH＝12，CH∴tan12∠BAC＝tan∠D＝CHDH＝2962+．tan12∠CBA＝tan∠E＝CHHE＝2142+，∴tan12∠BAC·tan12∠CBA＝13．方法技巧：深刻理解三角函数的定义，画出符合题意的示意图，充分运用数形结合的思想解题．▶题型一利用已知三角函数，求其他角的三角函数值【例1】同学们，在我们进入高中以后，将会学到三角函数公式：sin2α＝2sinα·cosα，则当锐角a的正切值为12时，sin2a＝．【解析】如图，在Rt△ABC中．∠C＝90°，∠A＝α，由tanα＝BCAC＝12，设BC＝1，AC＝2，则AB．sinα＝BCAB，cosα＝ACAB，由公式sin2α＝2sinα·cosα＝2＝45．【点评】紧扣定义，运用公式解题．▶题型二利用已知三角函数，求线段长【例2】如图，点D是△ABC的边AC上一点，BD＝8，sin∠CBD＝34，AE⊥BC于点E，若CD＝2AD，求AE的长．BACEDCBA HC BADBAO OFAB CDE【解析】过点D作DF⊥BC于点F，则DF＝BD·sin∠CBD＝8×2＝6，由AE⊥B C．DF⊥BC，∴DF∥AE．∴△CDF∽△CAE．∴CDAC＝DFAE＝23．∴AE＝32DF＝9．【点评】因三角函数的本质是线段比，故与三角函数相关的计算常与相似三角形联系在一起．▶题型三利用已知三角函数，求线段比【例3】如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别为斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b(b＞a)，若tan∠DCE＝12，求ab的值．【解析】易证△BCD∽△BAC，∴BC2＝BD·BA，又BA，∴BD2，同理CD＝DE＝BE－BD222，又∵谈∠DCE＝DECD＝222b aab-＝12，∴a2＋ab－b2＝0，∴ab▶题型四利用已知三角函数，求面积【例4】如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，tan∠CAD＝12，cos∠ACD，AC与BD交于点E，CDBE＝2ED，求四边形ABCD的面积．【解析】过点D作DF⊥ACC于点F，则AB∥DF．∴△ABE∽△FDE．∴ABDF＝AEEF＝BEED＝2，设EF＝2a，AE＝4a．∴AF＝6a，在Rt△AFD中．tan∠F AD＝FDAF＝12，∴DF＝3a，在Rt△CFD中，cos∠ACD ＝CFCD．∴CF＝1，DF＝3a＝3，∴a＝1，AC＝7，AB＝2DF＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△AC＝12AB·AC＋12AC·DF＝12×6×7＋12×7×3＝632．针对练习21．在△ABC中，∠A为锐角，BC＝12．tan A＝34．∠B＝30°，则AB2．如图，点E是正方形ABCD的边CB的延长线上的一点，且tan∠DEC＝34，则tan∠AED的值为EDCBAABCDEFE DCBA913．3．已知△ABC中，AB＝10，AC＝B＝30°，则△ABC4．如图，在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90”，tan∠ABD＝34，AB＝20，BC＝10，AD＝13，求CD的长．解：分别过点A，C作AH⊥BD于点H，CG⊥BD于点G，∵tan∠ABD＝AHBH＝34，∴设AH＝3x，BH＝4x，(3x)2＋(4x)2＝202，∴x＝4．∴AH＝12，BH＝16．∴HD＝5，BD＝21，易证∠BCG＝∠ABD，．．tan∠BCG＝GBGC＝34，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD－BG＝15，∴CD＝＝17．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝34．边BC的重直平分线与AB的交点为点D．求ADDB的值．解：过点D作DF⊥BC于点F，连接CD，则BD＝CD，BF＝CF＝52，tan∠DBF＝DFBF＝34．∴DF ＝158，在Rt△BFD中，BD＝258，∴AD＝5－258＝158，∴ADDB＝35．6．如图，已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点E，∠ABC＝120°，cos∠ADC＝35，CD＝5，AB＝12，ACDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．EDCBAAB CDGHDCBAAB CDF CBA解：过点C作CF⊥AD于点F，过点A作AG⊥EB于点G，在Rt△ACDF中，cos∠ADC＝DF CD＝3 5．又CD＝5，DF＝3，CF＝4，∵S△CDE＝12ED·CF＝6，∴ED＝3，∴EF＝6，在Rt△BAG中，∠BAG＝30°，AB＝12，∴AG＝EFC∽△EAG，得EFEG＝CFAG，可求EG＝BE＝EG－BG＝9 6．∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CED＝126)×6＝75－E DCBA ABCDE FG。

初三锐角三角函数题型及解题方法初三数学中，锐角三角函数是一个非常重要的内容。

学习锐角三角函数，不仅需要掌握其概念和公式，还需要掌握一些常见的题型及解题方法。

本文将介绍一些常见的锐角三角函数题型及解题方法，帮助初三学生更好地掌握这一内容。

一、求三角函数值求三角函数值是锐角三角函数中最基本的题型。

一般来说，题目都会给出三角函数的角度，要求求出其对应的正弦、余弦、正切等函数值。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数的定义和公式。

例如，正弦函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角角度A，其对边长度与斜边长度的比值称为正弦值sinA。

因此，我们只需要根据这个定义和公式进行计算即可。

举个例子，题目给出角度A=30度，要求求出其正弦值sinA。

根据正弦函数的定义和公式，我们得到：sinA=对边长度/斜边长度=sqrt(3)/2因此，sinA=√3/2。

二、三角函数的基本关系式三角函数的基本关系式指的是三角函数之间的基本等式。

例如，正切函数的基本关系式是tanA=sinA/cosA。

这类题目一般要求将一个三角函数用另外一个三角函数表示出来，或者将两个三角函数相互表示。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握三角函数之间的基本关系式。

例如，正切函数的基本关系式是：tanA=sinA/cosA因此，如果题目给出sinA的值，要求求出tanA的值，我们只需要将sinA/cosA代入上式，即可得到：tanA=sinA/cosA=√3/3三、三角函数值的范围三角函数值的范围是指，每个三角函数的取值范围。

例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，余弦函数的取值范围也是[-1,1]。

解题方法：对于这类题目，我们需要掌握每个三角函数的取值范围。

例如，正弦函数的取值范围是[-1,1]，因此，如果题目给出sinA=-0.5，我们就可以知道sinA的值在[-1,1]范围之内。

四、三角函数的性质三角函数的性质指的是，它们在不同象限中的正负性和大小关系。

锐角三角函数提升题与常考题和培优题(含分析 )一．选择题（共11 小题）1．假如把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为本来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为本来的 3 被B．减小为本来的C．没有变化D．不可以确立2．在△ ABC中，∠ C=90°， AB=5，BC=4，那么∠ A 的正弦值是（）A．B．C． D．3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=2，那么AB的长等于（）A．B．2sin αC．D．2cosα4．假如锐角α的正弦值为，那么以下结论中正确的选项是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜ 45° D．45°＜α＜ 60°5．如图，在 4× 4 的正方形方格中，△ ABC和△ DEF的极点都在边长为 1 的小正方形极点上，则tan ∠ACB的值为（）A．B．C． D．3）6．在 Rt△ ABC中，各边都扩大 3 倍，则角 A 的正弦值（A．扩大 3 倍 B．减小 3 倍 C．不变 D．不可以确立7．如图，港口 A 在观察站 O的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后抵达 B 处，此时从观察站 O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km8．如图，在 2× 2 的网格中，以极点O为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则 tan ∠ ABO的值为（）A． B．2C． D．39．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ ABC 的正切值是（）A．2B． C． D．10．如图，点 D（ 0，3），O（0，0）， C（ 4， 0）在⊙ A 上， BD是⊙ A 的一条弦，则 sin ∠OBD=（）A． B． C． D．11．如图，已知在 Rt△ ABC中，∠ ABC=90°，点 D沿 BC自 B 向 C运动（点 D 与点 B、C 不重合），作 BE⊥AD于 E，CF⊥AD于 F，则 BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小二．填空题（共12 小题）12．假如等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．13．如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥ AB于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．14．如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AC=3， BC=2，边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，联络 DB，那么 tan ∠DBC的值是．15．如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB的底部A 处，利用对面楼 CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB顶部B 处的仰角是α，若 tan α=，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB的高度是米．16．如图，在边长同样的小正方形网格中，点A、B、C、 D 都在这些小正方形的极点上， AB，CD订交于点 P，则的值 =，tan∠APD的值=．17．如图，在半径为 3 的⊙ O中，直径 AB与弦 CD订交于点 E，连结 AC，BD，若AC=2，则 tanD=．18．如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（﹣ 1，0），∠ ABO=30°，线段 PQ的端点 P 从点 O出发，沿△ OBA的边按 O→B→A→O运动一周，同时另一端点 Q随之在 x 轴的非负半轴上运动，假如 PQ=，那么当点 P运动一周时，点Q运动的总行程为．19．如图，丈量河宽AB（假定河的两岸平行），在 C 点测得∠ ACB=30°， D 点测得∠ ADB=60°，又 CD=60m，则河宽 AB为m（结果保存根号）．20．如图，∠ AOB是搁置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．21．如图，P（12，a）在反比率函数图象上， PH⊥x 轴于 H，则 tan ∠POH的值为．22．已知 cosα=，则的值等于．23．如图，△ ABC 的三个极点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则tan（α +β）tan α +tan β．（填“＞”“ =”“＜”）三．解答题（共17 小题）24．计算： cos245° +﹣ ? tan30 °．25．计算： 2cos230°﹣ sin30 ° +．26．如图，在△ ABC中，∠ C=150°， AC=4， tanB=．（1）求 BC的长；（2）利用此图形求 tan15 °的值（精准到，参照数据： =，=，=）27．如图，已知四边形 ABCD中，∠ ABC=90°，∠ ADC=90°， AB=6，CD=4，BC的延伸线与 AD的延伸线交于点 E．（1）若∠ A=60°，求 BC的长；（2）若 sinA= ，求 AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保存根号）28．如图，在四边形 ABCD中，∠ BCD是钝角， AB=AD，BD均分∠ ABC，若CD=3，BD=， sin ∠DBC=，求对角线 AC的长．29．如图，在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，点 D在边 AC上，且 AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点 E，联络 CE，求：（1）线段 BE的长；（2）∠ ECB的余切值．30．如图，在正方形ABCD中， M是 AD的中点， BE=3AE，试求 sin ∠ECM的值．31．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， sinA= ， BC=8，D 是 AB中点，过点 B 作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段 CD的长；（2）求 cos∠ABE的值．32．如图，已知∠ MON=25°，矩形 ABCD的边 BC在 OM上，对角线 AC⊥ON．当AC=5 时，求 AD的长．（参照数据： sin25 ° =；cos25°=；tan25 °=，结果精准到）33．一副直角三角板如图搁置，点 C 在 FD的延伸线上，AB∥ CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠ A=60°， BC=10，试求 CD的长．34．已知：如图，在△ ABC中，∠ ABC=45°， AD是 BC边上的中线，过点D作 DE ⊥AB于点 E，且 sin ∠DAB=，DB=3．求：（1） AB的长；（2）∠ CAB的余切值．35．数学老师部署了这样一个问題：假如α，β都为锐角．且 tan α=，tan β=．求α+β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图 1 和图 2．（1）请你分别利用图 1，图 2 求出α+β的度数，并说明原因；（2）请参照以上思虑问题的方法，选择一种方法解决下边问题：假如α，β都为锐角，当 tan α=5，tan β=时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON=α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明原因．36．如图，点 P、M、Q在半径为 1 的⊙ O上，依据已学知识和图中数据（、为近似数），解答以下问题：（ 1）sin60 °=；cos75°=；（2）若 MH⊥x 轴，垂足为 H， MH交 OP于点 N，求 MN的长．（结果精准到，参照数据：≈，≈）37．阅读下边的资料：某数学学习小组碰到这样一个问题：假如α，β都为锐角，且 tan α=，tan β=，求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ ABD=α，∠ CBE=β，且 BA，BC在直线 BD的双侧，连结 AC．（1）察看图象可知：α +β= °；（2）请参照该数学小组的方法解决问题：假如α，β都为锐角，当 tan α=3，tan β=时，在图 2 的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠ MON的度数．38．阅读以下资料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 Rt △ABC中，∠ACB=90°， AB=1，∠ A=α，求 sin2 α（用含 sin α， cosα的式子表示）．聪慧的小雯同学是这样考虑的：如图2，取 AB的中点 O，连结 OC，过点 C 作 CD ⊥AB于点 D，则∠ COB=2α，而后利用锐角三角函数在 Rt△ ABC中表示出 AC，BC，在 Rt△ ACD中表示出 CD，则能够求出sin2 α====2sin α ? cosα．阅读以上内容，回答以下问题：在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=1．（ 1）如图 3，若 BC=，则 sin α=，sin2α=；（2）请你参照阅读资猜中的推导思路，求出 tan2 α的表达式（用含 sin α，cosα的式子表示）．39．图 1 是小明在健身器械长进行仰卧起坐锻炼时情形．图2是小明锻炼时上半身由 EM 地点运动到与地面垂直的EN 地点时的表示图．已知BC=米， AD=米，α=18°．（sin18 °≈， cos18°≈， tan18 °≈）（1）求 AB的长（精准到米）；（2）若测得 EN=米，试计算小明头顶由 M点运动到 N点的路径弧 MN的长度（结果保存π）40．某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光芒 AB，AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 8°和 10°，大灯 A 与地面离地面的距离为 1m求该车大灯照亮地面的宽度 BC．（不考虑其余要素）（参数数据： sin8 °=，tan8 °=，sin10 °=，tan10 °=）锐角三角函数常考题型与分析参照答案与试题分析一．选择题（共 11 小题）1．（ 2017? 奉贤区一模）假如把一个锐角△ ABC的三边的长都扩大为本来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A．扩大为本来的 3 被B．减小为本来的C．没有变化D．不可以确立【剖析】依据△ ABC三边的长度都扩大为本来的 3 倍所得的三角形与原三角形相像，获得锐角 A 的大小没改变和余切的观点解答．【解答】解：因为△ ABC三边的长度都扩大为本来的 3 倍所得的三角形与原三角形相像，因此锐角 A 的大小没改变，因此锐角 A 的余切值也不变．应选： C．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的重点．2．（2017? 金山区一模）在△ ABC中，∠ C=90°， AB=5， BC=4，那么∠ A 的正弦值是（）A． B． C． D．【剖析】依据 sinA= 代入数据直接得出答案．【解答】解：∵∠ C=90°， AB=5，BC=4，∴sinA== ，应选 D．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（ 2017? 浦东新区一模）已知在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=α， BC=2，那么AB的长等于（）A． B．2sin αC． D．2cosα【剖析】依据锐角三角函数的定义得出sinA= ，代入求出即可．【解答】解：∵在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=α， BC=2，∴sinA= ，∴AB==，应选 A．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解本题的重点，注意：在 Rt△ ACB中，∠ ACB=90°，则 sinA= ， cosA=，tanA=．4．（ 2017? 静安区一模）假如锐角α 的正弦值为，那么以下结论中正确的选项是（）A．α =30° B．α =45° C．30°＜α＜ 45° D．45°＜α＜ 60°【剖析】正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．【解答】解：由＜＜，得30°＜α＜ 45°，应选： C．【评论】本题考察了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值跟着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值跟着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考察了互余两角的三角函数之间的关系．5．（ 2017? 莒县模拟）如图，在 4× 4 的正方形方格中，△ ABC和△ DEF的极点都在边长为 1 的小正方形极点上，则tan ∠ ACB的值为（）A． B． C． D．3【剖析】依据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，而后证明△ FDE∽△ ABC，因此【解答】解：由勾股定理可求出：BC=2，AC=2，DF=，DE=，∴，，，∴，∴△ FDE∽△ CAB，∴∠ DFE=∠ACB，∴tan ∠DFE=tan∠ACB=，应选（ B）【评论】本题考察解直角三角形，波及勾股定理，相像三角形的判断与性质．6．（2017 春?兰陵县校级月考）在Rt△ABC中，各边都扩3 倍，则角 A 的正大弦值（）A．扩大 3 倍B．减小3 倍C．不变D．不可以确立【剖析】依据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：由题意，得Rt △ABC中，各边都扩大3 倍，则角 A 的正弦值不变，应选： C．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，利用锐角三角函数的定义是解题重点．7．（ 2017? 兴化市校级一模）如图，港口 A 在观察站 O的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后抵达 B 处，此时从观察站 O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即 AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km【剖析】依据题意，能够作协助线AC⊥OB于点 C，而后依据题目中的条件，可以求得 AC和 BC的长度，而后依据勾股定理即可求得AB的长．【解答】解：作 AC⊥OB于点 C，如右图所示，由已知可得，∠COA=30°， OA=6km，∵AC⊥OB，∴∠ OCA=∠BCA=90°，∴OA=2AC，∠ OAC=60°，∴AC=3km，∠ CAD=30°，∵∠ DAB=15°，∴∠ CAB=45°，∴∠CAB=∠B=45°，∴BC=AC，∴AB=，应选 A．【评论】本题考察解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答此类问题的重点是明确题意，利用在直角三角形中 30°所对的边与斜边的关系和勾股定理解答．8．（2017 春? 萧山区月考）如图，在2× 2 的网格中，以极点O 为圆心，以 2 个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则 tan ∠ABO的值为（）A． B．2C． D．3【剖析】连结 OA，过点 A 作 AC⊥ OB于点 C，由题意知 AC=1、OA=OB=2，从而得出 OC==、BC=OB﹣OC=2﹣，在 Rt △ABC中，依据 tan ∠ABO=可得答案．【解答】解：如图，连结 OA，过点 A 作 AC⊥OB于点 C，则 AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC中，OC===，∴ BC=OB﹣OC=2﹣，∴在 Rt △ABC中， tan ∠ABO===2+，应选： C．【评论】本题主要考察解直角三角形，依据题意建立一个以∠ ABO为内角的直角三角形是解题的重点．9．（2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C 都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【剖析】依据勾股定理，可得AC、AB的长，依据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=， AB=2， BC=，∴△ ABC为直角三角形，∴tan ∠B==，应选： D．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义，先求出 AC、AB的长，再求正切函数．10．（ 2016? 攀枝花）如图，点D（ 0， 3）， O（0，0），C（4， 0）在⊙ A 上， BD 是⊙ A 的一条弦，则 sin ∠OBD=（）A． B． C． D．【剖析】连结CD，可得出∠OBD=∠OCD，依据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin ∠ OBD 即可．【解答】解：∵ D（0，3），C（4，0），∴OD=3， OC=4，∵∠ COD=90°，∴CD==5，连结 CD，如下图：∵∠ OBD=∠OCD，∴sin ∠OBD=sin∠OCD==．应选： D．【评论】本题考察了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；娴熟掌握圆周角定理是解决问题的重点．11．（ 2016? 娄底）如图，已知在Rt △ABC中，∠ ABC=90°，点 D 沿 BC自 B 向 C运动（点 D与点 B、C 不重合），作 BE⊥ AD于 E，CF⊥AD于 F，则 BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【剖析】设 CD=a，DB=b，∠DCF=∠DBE=α，易知 BE+CF=BC? cosα，依据 0＜α＜90°，由此即可作出判断．【解答】解：∵ BE⊥AD于 E，CF⊥AD于 F，∴CF∥BE，∴∠ DCF=∠DBF，设 CD=a， DB=b，∠ DCF=∠DBE=α，∴CF=DC? cosα， BE=DB? cosα，∴BE+CF=（DB+DC）cosα=BC?cosα，∵∠ ABC=90°，∴O＜α＜ 90°，当点 D 从 B→D运动时，α是渐渐增大的，∴c osα的值是渐渐减小的，∴BE+CF=BC? cosα的值是渐渐减小的．应选 C．【评论】本题考察三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，获得 BE+CF=BC? cosα，记着三角函数的增减性是解题的重点，属于中考常考题型．二．填空题（共12 小题）12．（ 2017? 普陀区一模）假如等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．【剖析】如图，△ ABC中， AB=AC，AC：BC=5：6，作 AE⊥BC于 E，则 BE=EC，在Rt △AEC中，依据 cos∠C===，即可解决问题．【解答】解：如图，△ ABC中， AB=AC，AC：BC=5：6，作 AE⊥BC于 E，则 BE=EC，，在 Rt△ AEC中， cos∠ C===，故答案为．【评论】本题考察等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的重点是娴熟掌握所学知识，掌握等腰三角形中的常用协助线，属于中考常考题型．13．（ 2017? 宝山区一模）如图，△ ABC中∠ C=90°，若 CD⊥AB于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=．CD的长度，而后根【剖析】先证明△ BDC∽△ CDA，利用相像三角形的性质求出据锐角三角函数的定义即可求出 tanA 的值．【解答】解：∵∠ BCD+∠ DCA=∠ DCA+∠A=90°，∴∠ BCD=∠A，∵ CD⊥AB，∴∠ BDC=∠CDA=90°，∴△ BDC∽△ CDA，2∴ CD=BD? AD，∴ CD=6，∴ tanA==故答案为：【评论】本题考察解直角三角形，波及锐角三角函数，相像三角形的判断与性质．14．（ 2017? 青浦区一模）如图，在△ABC中，∠ C=90°， AC=3，BC=2，边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，联络 DB，那么 tan ∠DBC的值是．【剖析】由 DE垂直均分 AB，获得 AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=3﹣ x，在直角三角形 BCD中，利用勾股定理求出 x 的值，确立出 CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵边 AB的垂直均分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，∴AD=BD，设 CD=x，则有 BD=AD=AC﹣CD=3﹣x，在 Rt△ BCD中，依据勾股定理得：（ 3﹣ x）2=x2 +22，解得： x=，则 tan ∠DBC==，故答案为：【评论】本题考察认识直角三角形，以及线段垂直均分线性质，娴熟掌握性质及定理是解本题的重点．15．（ 2017? 黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼 AB、CD，小明在自己所住楼 AB的底部 A 处，利用对面楼 CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB顶部 B 处的仰角是α，若 tan α=，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼AB的高度是 27 米．【剖析】作 PE⊥ AB于点 E，在直角△ AEP中，利用三角函数求得 AE的长，依据AB=2AE即可求解．【解答】解：作 PE⊥AB于点 E，在直角△ AEP中，∠ APE=∠α，则 AE=PE? tan ∠ APE=30×=（米），则 AB=2AE=27（米）．故答案是： 27．【评论】本题考察解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的重点是记着特别三角形的边之间关系，学会把问题转变为方程解决，属于中考常考题型．16．（2016? 自贡）如图，在边长同样的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的极点上， AB，CD订交于点 P，则的值 = 3，tan∠APD的值=2．【剖析】第一连结 BE，由题意易得 BF=CF，△ACP∽△ BDP，而后由相像三角形的对应边成比率，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF： CF=PF：BF=1：2，在 Rt△ PBF 中，即可求得 tan ∠ BPF的值，既而求得答案．【解答】解：∵四边形 BCED是正方形，∴DB∥AC，∴△ DBP∽△ CAP，∴==3，连结 BE，∵四边形 BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE， CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，依据题意得： AC∥BD，∴△ ACP∽△ BDP，∴DP：CP=BD：AC=1： 3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF，在 Rt△ PBF中， tan ∠BPF==2，∵∠ APD=∠BPF，∴ tan ∠APD=2，故答案为： 3，2．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质与三角函数的定义．本题难度适中，解题的重点正确作出协助线，注意转变思想与数形联合思想的应用．17．（2016? 枣庄）如图，在半径为 3 的⊙ O中，直径 AB与弦 CD订交于点 E，连接 AC， BD，若 AC=2，则 tanD= 2 ．【剖析】连结 BC可得 RT△ACB，由勾股定理求得 BC的长，从而由 tanD=tanA= 可得答案．【解答】解：如图，连结 BC，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵ AB=6， AC=2，∴ BC===4，又∵∠ D=∠A，∴ tanD=tanA===2．故答案为： 2．BC构【评论】本题考察了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连结造直角三角形是解题的重点．18．（ 2016? 舟山）如图，在直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴， y 轴上，点 A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P 从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x 轴的非负半轴上运动，假如PQ=，那么当点 P 运动一周时，点Q运动的总行程为4．【剖析】第一依据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种状况进行计算：①点 P 从 O→B时，行程是线段 PQ的长；②当点 P 从 B→C时（ QC⊥AB，C为垂足），点 Q从 O运动到 Q，计算 OQ的长就是运动的行程；③点 P 从 C→A时，点Q由 Q向左运动，行程为 QQ′；④点 P 从 A→O时，点 Q运动的行程就是点 P 运动的行程；最后相加即可．【解答】解：在 Rt△AOB中，∵∠ ABO=30°， AO=1，∴AB=2， BO==，①当点 P 从 O→B时，如图 1、图 2 所示，点 Q运动的行程为，②如图 3 所示， QC⊥AB，则∠ ACQ=90°，即 PQ运动到与 AB垂直时，垂足为P，当点 P 从 B→C时，∵∠ ABO=30°∴∠ BAO=60°∴∠ OQD=90°﹣ 60°=30°∴c os30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣ 1=1则点 Q运动的行程为 QO=1，③当点 P 从 C→A时，如图 3 所示，点 Q运动的行程为 QQ′=2﹣，④当点 P 从 A→O时，点 Q运动的行程为 AO=1，∴点 Q运动的总行程为： +1+2﹣ +1=4故答案为： 4【评论】本题主假如应用三角函数定义来解直角三角形，本题的解题重点是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点当作是两个动点，将线段挪动问题转变为点挪动问题．19．（2016? 新疆）如图，丈量河宽AB（假定河的两岸平行），在C 点测得∠ACB=30°， D点测得∠ ADB=60°，又 CD=60m，则河宽 AB为 30 m（结果保存根号）．【剖析】先依据三角形外角的性质求出∠ CAD的度数，判断出△ ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出 AB的值．【解答】解：∵∠ ACB=30°，∠ ADB=60°，∴∠ CAD=30°，∴AD=CD=60m，在 Rt△ ABD中，AB=AD? sin ∠ADB=60×=30 （m）．故答案为： 30 ．【评论】本题考察的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，波及到三角形外角的性质、等腰三角形的判断与性质、锐角三角函数的定义及特别角的三角函数值，难度适中．20．（2016? 港南区二模）如图，∠ AOB是搁置在正方形网格中的一个角，则cos ∠ AOB的值是．222222222【剖析】第一连结 AB，由勾股定理易求得 OA=1 +3 =10，AB=1 +3 =10，OB=2 +4 =20，而后由勾股定理的逆定理，可证得△AOB是等腰直角三角形，既而可求得cos∠AOB的值．【解答】解：连结 AB，222222222∵ OA=1 +3 =10， AB=1 +3 =10，OB=2+4 =20，222∴ OA+AB=OB，OA=AB，∴△ AOB是等腰直角三角形，即∠OAB=90°，∴∠ AOB=45°，∴cos∠AOB=cos45°=．故答案为：．【评论】本题考察了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理．本题难度不大，注意掌握协助线的作法，注意数形联合思想的应用．21．（ 2016? 于田县校级模拟）如图，P（ 12，a）在反比率函数图象上，PH⊥x 轴于 H，则 tan ∠POH的值为．【剖析】利用锐角三角函数的定义求解， tan ∠POH为∠ POH的对边比邻边，求出即可．【解答】解：∵ P（12，a）在反比率函数图象上，∴a==5，∵ PH⊥x 轴于 H，∴PH=5， OH=12，∴tan ∠POH=，故答案为：．【评论】本题主要考察了反比率函数图象上点的坐标特点，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．22．（ 2016? 雅安校级模拟）已知 cosα=，则的值等于0．【剖析】先利用 tan α=获得原式 ==，而后把 cosα=代入计算即可．【解答】解：∵ tan α=，∴==，∵cosα=，∴==0．故答案为 0．【评论】本题考察了同角三角函数的关系：平方关系： sin 2 A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或 sinA=tanA ? cosA．23．（ 2016?鞍山二模）如图，△ABC的三个极点分别在边长为 1 的正方形网格的格点上，则tan （α +β）＞tan α +tan β．（填“＞”“=”“＜”）【剖析】依据正切的观点和正方形网格图求出tan α和 tan β，依据等腰直角三角形的性质和 tan45 °的值求出 tan （α +β），比较即可．【解答】解：由正方形网格图可知，tan α=，tan β=，则 tan α +tan β=+=，∵AC=BC，∠ ACB=90°，∴α +β=45°，∴ tan （α +β） =1，∴ tan （α +β）＞ tan α +tan β，故答案为：＞．【评论】本题考察的是特别角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，熟记特别角的三角函数值、正确理解锐角三角函数的定义是解题的重点．三．解答题（共17 小题）24．（ 2017? 普陀区一模）计算： cos245°+﹣? tan30 °．【剖析】依据特别角三角函数值，可得答案．2=+﹣1=．【评论】本题考察了特别角三角函数值，熟记特别角三角函数值是解题重点．25．（ 2017? 浦东新区一模）计算： 2cos230°﹣ sin30 ° +．【剖析】依据特别角三角函数值，可得答案．2=1++．【评论】本题考察了特别角三角函数值，熟记特别角三角函数值是解题重点．26．（ 2016? 连云港）如图，在△ ABC中，∠ C=150°， AC=4，tanB=．（1）求 BC的长；（2）利用此图形求 tan15 °的值（精准到，参照数据： =，=，=）【剖析】（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC的延伸线于点 D，由含 30°的直角三角形性质得 AD=AC=2，由三角函数求出 CD=2，在 Rt △ABD中，由三角函数求出 BD=16，即可得出结果；（2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连结 AM，求出∠ AMC=∠MAC=15°，tan15 °=tan ∠ AMD=即可得出结果．【解答】解：（1）过 A 作 AD⊥ BC，交 BC的延伸线于点 D，如图 1 所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠ C=150°，∴∠ ACD=30°，∴ AD=AC=2，CD=AC? cos30°=4× =2，在Rt△ABD中，tanB===，∴ BD=16，∴BC=BD﹣CD=16﹣2；（2）在 BC边上取一点 M，使得 CM=AC，连结 AM，如图 2 所示：∵∠ ACB=150°，∴∠ AMC=∠MAC=15°，tan15 °=tan ∠ AMD====2﹣≈≈．【评论】本题考察了锐角三角函数、含 30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；娴熟掌握三角函数运算是解决问题的重点．27．（2016? 包头）如图，已知四边形 ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延伸线与 AD的延伸线交于点 E．（1）若∠ A=60°，求 BC的长；（2）若 sinA= ，求 AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保存根号）【剖析】（1）要求 BC 的长，只需求出 BE和 CE 的长即可，由题意能够获得 BE 和CE的长，本题得以解决；（2）要求 AD的长，只需求出 AE和 DE的长即可，依据题意能够获得 AE、 DE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）∵∠ A=60°，∠ ABE=90°， AB=6，tanA=，∴∠ E=30°， BE=tan60° ? 6=6，又∵∠ CDE=90°， CD=4， sinE= ，∠ E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ ABE=90°， AB=6，sinA== ，∴设 BE=4x，则 AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴ BE=8， AE=10，∴tanE====，解得， DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即 AD的长是．【评论】本题考察解直角三角形，解题的重点是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．28．（ 2016? 厦门）如图，在四边形ABCD中，∠ BCD是钝角， AB=AD，BD均分∠ABC，若 CD=3，BD=，sin ∠ DBC=，求对角线 AC的长．【剖析】过 D 作 DE⊥BC交 BC的延伸线于 E，获得∠ E=90°，依据三角形函数的定义获得 DE=2，推出四边形 ABCD是菱形，依据菱形的性质获得 AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，依据勾股定理获得结论．【解答】解：过 D 作 DE⊥BC交 BC的延伸线于 E，则∠ E=90°，∵sin ∠DBC=，BD=，∴DE=2，∵ CD=3，∴CE=1， BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠ CBD=∠CDB，∵BD均分∠ ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴ AB∥CD，同理 AD∥BC，∴四边形 ABCD是菱形，连结AC交 BD于 O，则 AC⊥ BD，AO=CO，BO=DO=，∴ OC==，∴ AC=2．【评论】本题考察了菱形的判断和性质，解直角三角形，正确的作出协助线是解题的重点．29．（ 2016? 上海）如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，点 D 在边AC 上，且 AD=2CD， DE⊥AB，垂足为点 E，联络 CE，求：（1）线段 BE的长；（2）∠ ECB的余切值．【剖析】（ 1）由等腰直角三角形的性质得出∠ A=∠B=45°，由勾股定理求出 AB=3，求出∠ ADE=∠A=45°，由三角函数得出 AE=，即可得出 BE的长；（2）过点 E 作 EH⊥BC，垂足为点 H，由三角函数求出 EH=BH=BE? cos45°=2，得出 CH=1，在 Rt△CHE中，由三角函数求出 cot ∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵ AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=3，∴∠ A=∠B=45°， AB===3，∵DE⊥AB，∴∠ AED=90°，∠ ADE=∠A=45°，∴AE=AD? cos45°=2× =，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段 BE的长为 2；（ 2）过点 E 作 EH⊥ BC，垂足为点 H，如下图：∵在 Rt △BEH中，∠ EHB=90°，∠ B=45°，∴EH=BH=BE? cos45° =2×=2，∵BC=3，∴ CH=1，在 Rt△ CHE中， cot ∠ ECB==，即∠ ECB的余切值为．【评论】本题考察认识直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；娴熟掌握等腰直角三角形的性质，经过作协助线求出 CH是解决问题（ 2）的重点．30．（ 2016? 厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中， M是 AD的中点， BE=3AE，试求 sin ∠ ECM的值．【剖析】依题意设 AE=x，则 BE=3x， BC=4x，AM=2x， CD=4x，先证明△ CEM 是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．【解答】解：设 AE=x，则 BE=3x，BC=4x， AM=2x，CD=4x，∴EC==5x，EM==x，CM==2x，222∴ EM+CM=CE，∴△ CEM是直角三角形，∴sin ∠ECM==．【评论】本题考察了锐角三角函数值的求法．重点是利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，把问题转变到直角三角形中求解．31．（ 2016? 江西模拟）如图，△ ABC 中，∠ ACB=90°， sinA= ，BC=8，D 是AB 中点，过点 B 作直线 CD的垂线，垂足为点 E．（1）求线段 CD的长；（2）求 cos∠ABE的值．【剖析】（1）在△ ABC中依据正弦的定义获得 sinA== ，则可计算出 AB=10，而后依据直角三角形斜边上的中线性质即可获得 CD=AB=5；（ 2）在 Rt △ABC中先利用勾股定理计算出 AC=6，在依据三角形面积公式获得S△ BDC=S△ ADC，则S△BDC=S△ABC，即 CD? BE=? AC? BC，于是可计算出BE=，而后在 Rt△BDE中利用余弦的定义求解．【解答】解：（1）在△ ABC中，∵∠ ACB=90°，∴sinA== ，而 BC=8，∴AB=10，∵D是AB中点，∴ CD=AB=5；（ 2）在 Rt △ABC中，∵ AB=10，BC=8，∴ AC==6，∵D是 AB中点，∴BD=5， S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即 CD? BE=? AC? BC，∴BE==，在 Rt△ BDE中， cos∠ DBE===，即 cos∠ABE的值为．【评论】本题考察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考察了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．32．（ 2016? 启东市二模）如图，已知∠MON=25°，矩形 ABCD的边 BC在 OM上，对角线 AC⊥ON．当 AC=5时，求 AD的长．（参照数据： sin25 °=；cos25°=；tan25 °=，结果精准到）【剖析】延伸 AC交 ON于点 E，如图，利用互余计算出∠OCE=65°，再利用对顶角相等获得∠ ACB=∠OCE=65°，接着在 Rt△ ABC中利用∠ ACB的余弦可计算出 BC，而后依据矩形的性质即可获得AD的长．【解答】解：延伸 AC交 ON于点 E，如图，∵AC⊥ON，∴∠ OEC=90°，在 Rt△ OEC中，∵∠ O=25°，∴∠ OCE=65°，∴∠ ACB=∠OCE=65°，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ ABC=90°， AD=BC，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB=，∴ BC=AC? cos65°=5× =，∴ AD=BC=．【评论】本题考察认识直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵巧因为勾股定理、互余关系和三角函数关系．33．（2016? 松阳县二模）一副直角三角板如图搁置，点C在 FD的延伸线上， AB∥CF，∠ F=∠ACB=90°，∠ E=45°，∠ A=60°， BC=10，试求 CD的长．【剖析】过点 B 作 BM⊥ FD于点 M，依据题意可求出BC的长度，而后在△ EFD中可求出∠ EDF=45°，从而可得出答案．【解答】解：过点 B 作 BM⊥FD于点 M，在△ ACB中，∠ ACB=90°，∠ A=60°， BC=10，∴∠ ABC=30°， AC=10，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30 °=10× =5，CM=BC×cos30°=15，在△ EFD中，∠ F=90°，∠ E=45°，∴∠ EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．【评论】本题考察认识直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的重点依据题意成立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．34．（2016? 闸北区二模）已知：如图，在△ ABC中，∠ ABC=45°， AD是 BC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥ AB于点 E，且 sin ∠DAB=，DB=3．求：（1） AB的长；（2）∠ CAB的余切值．【剖析】（1）在 Rt△BDE中，求得 BE=DE=3，在 Rt △ADE中，获得 AE=4，依据线段的和差即可获得结论；（ 2）作 CH⊥AB 于 H，依据已知条件获得BC=6，由等腰直角三角形的性质获得BH=CH=6，依据三角函数的定义即可获得结论．【解答】解：（1）在 Rt △BDE中， DE⊥ AB，BD=3∠ABC=45°，∴BE=DE=3，在 Rt△ ADE中， sin ∠ DAB=， DE=3，∴ AE=4， AB=AE+BE=4+3=7；（2）作 CH⊥AB于 H，∵AD是BC边上是中线，BD=3，∴ BC=6，。

中考数学：锐角三角函数试卷解析一、选择题1.(2021四川巴中，第8题3分)在Rt△ABC中，C=90，sinA=1/2，则t anB的值为()A.1B.3C.1/2D.2考点：锐角三角函数.分析：依照题意作出直角△ABC，然后依照sinA=，设一条直角边BC 为5x，斜边AB为13x，依照勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后依照三角函数的定义可求出tanB.解答：∵sinA=，设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tanB==.故选D.点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是把握三角函数的定义和勾股定理的运用.2.(2021山东威海，第8题3分)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB的正弦值是()A.1B.1/2C.3/5D.2/3考点：锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理分析：作ACOB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，依照正弦的定义即可求解.解答：解：作ACOB于点C.则AC=AB===2，则sinAOB===.故选D.点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.3.(2021四川凉山州，第10题，4分)在△ABC中，若|cosA﹣|+(1﹣tanB)2=0，则C的度数是()A.45B.60C.75D.105考点：专门角的三角函数值;非负数的性质：绝对值;非负数的性质：偶次方;三角形内角和定理分析：依照非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，依照三角形的内角和定理可得出C的度数.解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1，A=60，B=45，C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣45=75.故选：C.点评：此题考查了专门角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些专门角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理.4.(2021甘肃兰州,第5题4分)如图，在Rt△ABC中，C=90，BC=3，A C=4，那么cosA的值等于()A.1/2B.3/5C.2D.1/5考点：锐角三角函数的定义;勾股定理.分析：第一运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.解答：解：∵在Rt△ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=.cosA=，故选：D.点评：本题要紧考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.5.(2021广州,第3题3分)如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则().(A)(B)(C)(D)【考点】正切的定义.【分析】.【答案】D6.(2021浙江金华，第6题4分)如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x 轴所夹的锐角为，则t的值是【】A.1B.1.5C.2D.3【答案】C.【解析】7.(2021滨州，第11题3分)在Rt△ACB中，C=90，AB=10，sinA=，c osA=，tanA=，则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.5考点：解直角三角形分析：依照三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==.解答：解：∵C=90AB=10，sinA=，BC=AB=10=6.故选A.点评：本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△AC B中，C=90，则sinA=，cosA=，tanA=.8.(2021扬州，第7题，3分)如图，已知AOB=60，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=()A.3B.4C.5D.6(第1题图)考点：含30度角的直角三角形;等腰三角形的性质分析：过P作PDOB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN 中点，依照MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长.解答：解：过P作PDOB，交OB于点D，在Rt△OPD中，cos60==，OP=12，OD=6，∵PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=OD﹣MD=6﹣1=5.故选C.点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练把握直角三角形的性质是解本题的关键.9.(2021四川自贡，第10题4分)如图，在半径为1的⊙O中，AOB=4 5，则sinC的值为()A.1B.1/2C.2D.3考点：圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义专题：压轴题.分析：第一过点A作ADOB于点D，由在Rt△AOD中，AOB=45，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值.解答：解：过点A作ADOB于点D，∵在Rt△AOD中，AOB=45，OD=AD=OAcos45=1=，BD=OB﹣OD=1﹣，AB==，∵AC是⊙O的直径，ABC=90，AC=2，sinC=.故选B.点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理.此题难度适中，注意把握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.10.(2021浙江湖州，第6题3分)如图，已知Rt△ABC中，C=90，AC =4，tanA=，则BC的长是()A.2B.8C.2D.4分析：依照锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可.解：∵tanA==，AC=4，BC=2，故选A.点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，C=90，sinA=，cosA=，tanA=.11.(2021广西来宾，第17题3分)如图，Rt△ABC中，C=90，B=30，BC=6，则AB的长为4考点：解直角三角形.分析：依照cosB=及专门角的三角函数值解题.解答：解：∵cosB=，即cos30=，AB===4.故答案为：4.点评：本题考查了三角函数的定义及专门角的三角函数值，是基础知识，需要熟练把握.12.(2021年贵州安顺，第9题3分)如图，在Rt△ABC中，C=90，A= 30，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EFAC于F，连接FB，则tanCFB的值等于()A.30B.45C.60D.15考点：锐角三角函数的定义..分析：tanCFB的值确实是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就能够用x表示出来.就能够求解.解答：解：依照题意：在Rt△ABC中，C=90，A=30，∵EFAC，EF∥BC，∵AE：EB=4：1，=5，设AB=2x，则BC=x，AC=x.在Rt△CFB中有CF=x，BC=x.则tanCFB==.故选C.点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.13.(2021年广东汕尾，第7题4分)在Rt△ABC中，C=90，若sinA=，则cosB的值是()A.1B.3C.2D.-1分析：依照互余两角的三角函数关系进行解答.解：∵C=90，B=90，cosB=sinA，∵sinA=，cosB=.故选B.点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键.14.(2021毕节地区，第15题3分)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D.已知cosACD=，BC =4，则AC的长为()A.1B.4C.3D.2考点：圆周角定理;解直角三角形分析：由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CDAB交AB于D.易得ACD=B，又由cosACD=，BC=4，即可求得答案.解答：解：∵AB为直径，ACB=90，ACD+BCD=90，∵CDAB，BCD+B=90，ACD，∵cosACD=，cosB=，tanB=，∵BC=4，tanB===，AC=.故选D.点评：此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质.此题难度适中，注意把握数形结合思想的应用.15.(2021年天津市，第2题3分)cos60的值等于()A.1/2B.1C.3D.5点：专门角的三角函数值.分析：依照专门角的三角函数值解题即可.解答：解：cos60=.故选A.点评：本题考查专门角的三角函数值，准确把握专门角的函数值是解题关键.二、填空题1.(2021年贵州黔东南11.(4分))cos60=.考点：专门角的三角函数值.分析：依照专门角的三角函数值运算.解答：解：cos60=.点评：本题考查专门角三角函数值的运算，专门角三角函数值运算在中考中经常显现，要把握专门角度的三角函数值.2.(2021江苏苏州,第15题3分)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.若BPC=BAC，则tanBPC=.考点：锐角三角函数的定义;等腰三角形的性质;勾股定理分析：先过点A作AEBC于点E，求得BAE=BAC，故BPC=BAE.再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tanBPC=tanBAE=.解答：解：过点A作AEBC于点E，∵AB=AC=5，BE=BC=8=4，BAE=BAC，∵BPC=BAC，BPC=BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE=，tanBPC=tanBAE=.故答案为：.点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.3.(2021四川内江，第23题，6分)如图，AOB=30，OP平分AOB，P COB于点C.若OC=2，则PC的长是.考点：含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质.专题：运算题.分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PDOA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可.解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PDOA，∵OP平分AOB，PDOA，PCOB，PD=PC，在Rt△QOC中，AOB=30，OC=2，QC=OCtan30=2=，APD=30，在Rt△QPD中，cos30==，即PQ=DP=PC，QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=.故答案为：点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练把握直角三角形的性质是解本题的关键.4.(2021四川宜宾，第16题，3分)规定：sin(﹣x)=﹣sinx，cos(﹣x)=co sx，sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.据此判定下列等式成立的是②③④(写出所有正确的序号)①cos(﹣60②sin75③sin2x=2sinx④sin(x﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny.考点：锐角三角函数的定义;专门角的三角函数值.专题：新定义.分析：依照已知中的定义以及专门角的三角函数值即可判定.解答：解：①cos(﹣60)=cos60=，命题错误;②sin75=sin(30+45)=sin30cos45+cos30sin45=+=+=，命题正确;③sin2x=sinxcosx+cosxsinx═2sinxcosx，故命题正确;④sin(x﹣y)=sinxcos(﹣y)+cosxsin(﹣y)=sinxcosy﹣cosxsiny，命题正确.故答案是：②③④.点评：本题考查锐角三角函数以及专门角的三角函数值，正确明白得题目中的定义是关键.5.(2021甘肃白银、临夏,第15题4分)△ABC中，A、B差不多上锐角，若sinA=，cosB=，则C=.考点：专门角的三角函数值;三角形内角和定理.分析：先依照专门角的三角函数值求出A、B的度数，再依照三角形内角和定理求出C即可作出判定.解答：解：∵△ABC中，A、B差不多上锐角sinA=，cosB=，B=60.C=180﹣A﹣B=180﹣60﹣60=60.故答案为：60.点评：本题考查的是专门角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单.6.(2021广西贺州，第18题3分)网格中的每个小正方形的边长差不多上1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=.考点：锐角三角函数的定义;三角形的面积;勾股定理.分析：依照正弦是角的对边比斜边，可得答案.解答：解：如图，作ADBC于D，CEAB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，由BCAD=ABCE，观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

【题型目录】题型一题型二【经典例题一1．（22·235．（2021秋·河北石家庄5AB=，3AC=．(1)求AD的长；(2)求sin DABÐ的值．【经典例题二求角的正弦值1．（22·23下·沈阳·开学考试）如图，6BD=，则sin ACDÐ的值是（A．34B．32．（22·23上·青岛·期末）如图，值为（ ）A．5B．3．（21·22下·哈尔滨·阶段练习）在5．（2023·浙江温州<），连接（AE EC(1)求证：四边形DEBF为菱形．(2)记菱形ABCD的面积为1S，菱形长．【经典例题三1．（22·23D，若A．22．（22·23下·深圳·阶段练习）如图，的距离是（ ）A．556B．6553．（22·23下·绵阳·阶段练习）如图，在上，1BAE ABCÐ=Ð，点F4．（22·23下·合肥·三模）在Rt上，将BDE△沿直线DE翻折，使得点(1)求证：CE是Oe的切线；(2)若2sin,53E AC==，求DF 【经典例题四求角的余弦值A．11 152．（2022春·福建福州格点．已知菱形的一个角为A．13B．123．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在AC于点D、E，且13AB AC==，4．（2023·黑龙江齐齐哈尔的两边长分别是2和3，则5．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）沿着过点B的某条直线折叠，使点(1)求点A、B、C、D的坐标；(2)求ABCÐ的余弦值．【经典例题五已知余弦值求边长】1．（2023·广西北海·统考模拟预测）如图，在直角梯形3 BD=，2cos3CDBÐ=，则下底AB的长是（A．212B．92．（2023春·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，A．94B．1253．（2023·山东聊城·统考三模）在Rt ABC△5．（2023秋·山东聊城·九年级校考阶段练习）于点E ．(1)求证；BEA ADC V V ∽(2)求证：··CD AD AC BE =(3)若2AD =5，cos ABE Ð【经典例题六1．（2023点F 在边A ．272．（2023秋·重庆沙坪坝90BAC EAD Ð=Ð=°的值为（ ）A ．13B 3．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，连接BD ，将BCD △沿BD4．（2022春·湖北武汉AB AC =，CD AB ^的值是．5．（2022春·黑龙江绥化等腰Rt CEF △的直角顶点与正方形线FE 与AD 交于点P ，与(1)求证：CDE CBF △△≌；(2)求CF 的长；【经典例题七1．（2022落在边A ．53B ．22．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，平行四边形4tan 3BAD Ð=，点O 为对角线A ．4033B ．33403．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在1tan 3ABG Ð=，那么BC 的长等于4．（2022秋·黑龙江哈尔滨5OP =，点M ，(1)求证：四边形BCEF^于点G，连结(2)BG CE①求CG的长．②求平行四边形BCEF【重难点训练】1．（21·22A．42．（23·24上·长春上，且90Ð=°AEFA．273．（22·23下·江门·期中）在A．247B．4．（22·23下·株洲·自主招生）的值为（）A．3 35．（21·22下·深圳·模拟预测）如图，已知平行四边形A．12B．136．（23·24上·黄浦·期中）如图已知在7．（21·22·武汉·模拟预测）如图，E为AB边上一动点，DEFV为等边三角形，则线段8．（22·23下·深圳·模拟预测）如图，在1tan 2A =，8BC =，CF AB ∥9．（21·22·武汉·模拟预测）如图，在矩形GBE V ，BG 的延长线交则cos DEC Ð的值为10．（23·24上·专题练习）如图，在四边形点M 、N 分别在AB11．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图，在小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在图1中画一个以线段AB 为一边的平行四边形ABCD 的面积为8；(2)在图2中画一个钝角三角形ABE ，点E 在小正方形顶点上，直接写出AE 的长．13．（21·22下·宜昌·模拟预测）如图，已知平行四边形(1)如图当点E 在边AD 上时．①求证AEF BGF V V ∽．②当4DCE BFG S S =V V 时，求:AE ED 的值．(2)当点E 在边AD 的延长线上时，是否存在这样的点E 使AEF △与五、作图题14．（23·24上·哈尔滨·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，ABC V 的三个顶点均在格点上，坐标分别为()2,4A ，()1,2B ，()5,3C ． 请解答下列问题：(1)画出ABC V 关于y 轴的对称图形111A B C △．(2)将ABC V 绕点O 顺时针旋转90°得到222A B C △，画出222A B C △．(3)连接1B B 、12B C ，写出12BB C Ð的正切值．六、证明题15．（23·24上·齐齐哈尔·期中）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF V 绕点D 旋转()DE AB <，90,EDF DE DF Ð=°=，连接AE ，CF ；直线AE 与CF 相交于点G 、交CD 于点P ．(1)如图1，猜想AE 与CF 的关系，并证明：(2)如图2，BM AG ^于点M ，^BN CF 于点N ，则四边形BMGN 是________形；(3)如图3，连接BG ，若4,2AB DE ==，直接写出在DEF V 旋转的过程中，①当点E 在正方形ABCD 的内部，且EF CD ^时BG =_________；②线段BG 长度的最小值__________；。

锐角=角函数∙知识点一：钦角三角国数的≡x≡ 一、 锐角三角函数定义：在 RiAABC 中，ZC=9O 0, ZAS ZBX ZC 的对边分别为 a 、b 、c, 则ZA 的正弦可表示为；S ilLX= _________ JZA 的余弦可表示为CoSA= _________厶的正切:Tan-A= ________ ,它们弦称为ZA 的锐角三角函数2、取値范围—<¾inA< Co i⅛< __________ tanA>______1例如图所示，在RlA^C 中〉乙C=9Q° .例2.锐角三角函数束值；在 RtΔ,45C 中，ZC= 90° ,若 σ=9, B= 12,则 C= ___________SilL a l — _______ , COSU I f- __________ 9 taiL -l — __________ SSin^= _____ ； CQ ∖B= ____ ； tan.例3∙已知；如图，RI0∙∖M r 中，Z∏I ∖r =90o …⑷丄ZV 于出点，Zy=4, Hv=3• 求：SinZ732KxCOSZrVC?、tanZ∏IK .典型m ：类型一：直角三角形求值31 .已知 RtQUBC 中丿 ZC≡90Q 5 taπJ= ,5C≡1⅞ 求.4C ∖∙3 和 8田・② CoSJ = ® tan.4∙=第1题團① sin J( ) 软边 an 5【an 方=ZB 旳对边( )2. 如朗 OO 的半径θA = 16cm, OC 丄貝B 于C 点，an ΛAOC =-.求肋及OC 的长•3. 已知：0。

中，OC 丄朋于 C 点；J5= 16cm ； dnZA0C (1) 求OQ 的半径OA 的长及弦心距& (2) 求 COSz4 OC 及 ta∏ZJθC∙g4. 已知ZJ 是锐角，SitIW=—；求COSA > tan J 的值17对应ill 练二1. 在RtA^C 中7 ZC=90C 7 若5C=1, .15-√5 ；则Ianj 的值为5B.巫5C.丄 2D. 22.在ABC 中，ZC=90o ,S inA=- >那么tanA 的值等于( ).53G 4 C 3 c 4 A.-5 B.— 5 C. 一4D. 一 3类型二利用角度转化求值,2. 如團，直径为10的CU 经过点C(Oo)和点O(Qo)；与X 轴的正半釉交于点D, B 是》轴右侧圆弧上一点〉则C O SZ^C 的值为〈)C.-D-I1.已知；如图，RtZUBC 中，ZC= 90o ∙ Q 是Je 边上一点'DE 丄曲于E 点.^≡s⅛E3.如图，角α的顶点为0,它的一边在工轴的正半轴上J另一边Od上有一点Pd 4）,则3丄如團，菱形九5CD的边长为IQCm,DE1AB, SinJ =-,则遗个菱形的面积二.5.如國06＞是^iBC的外接圆,AD杲©O的直径，AC = I,则sin5的值是（7 \A. -B.-3 26.如图6,沿川E折蠡矩形纸片曲CQ ,c.£⅞□-4B=8, BC =10, AB=⅛ 则tan NEFC 的值为（A.- C.-57.如图7,在等腰直角三角形C中'ZC =90o , JC = 6, Z）为AC±—点，若tan ZDA.! = -,则-Q 的长为（）5A・近B・2 C・1 D・2√21 ^rIS.如图S,在RtA-LffC 中，Z090°,AOS, Ad的平分线/D=」一求ZB的度数及边BC. AB的长.类型三化斜三角形为直角三角形例1 如图，在A ABC中，Z A=30C,Z B=45% AC=2√3、求AB 的长.Cn T •353.正方形网格中, ZHoB 如團放乱则tanZJ （95的值是（√L例 2∙已知：如團，在 AABC 中，ZBAC=I 20° , ∠S=10, AC=5 .对应岷1.如图，在RlAABC 中,ZBAC=90=,点D 在BC 边上，且AABD 是等边三甬形.若.43=2, 求AABC 的周长•〈结果保留根号）2. 已知：如虱 AABC 中「3=9, BC=G,厶4恥的面枳尊于9丿求血^3. ABC 中,乙4=60° …4方=6 Cm , AC=4 Clrb 则A-45C 的面积是求:siik^ABC 的值..4 羽 CnrDllcm 2类型四；利用 构造直角三角形例1如图所示，AABC 的顶点杲正方形网格的格点，则SinA 的值为＜对应练习：1. ________________________________________________ 如图，AABC 的顶点都在方格纸的格点上，则Sir I A= ____________ .点厘逆吋针旋转得到AC8,则tanF 的值为D∙ 110D.IR特殊角的三角函数值锐角C30s45060。

复习：锐角三角函数典型例题例1．丽丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为（ ）A ．5.2mB ．6.8mC ．9.4mD ．17.2m分析：这棵树的高度可以看作由两部分组成，一部分是超过身高的部分，可以通过解三角形求解，另一部分与丽丽登高，选“B ”。

例2．在锐角三角形ABC 中，若|2cos A -1|＋(3-tan B )2＝0，则sin C 等于（ ）14. (2255)A B C D分析：该题属于“0”加“0”题型，由已知得tan 1cos A 2∠∠，B ＝，可知∠A=60°∠B=60°,所以∠C ＝60°，故选“B ”。

例3．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，下列等式不成立的是（ ） A ．tan A ＝cot B B ．sin A ＝cos(90°-A ) C ．cos(60°＋A )＝sin(45°-A ) D ．cos 2B ＋sin 2B ＝1 分析：该题考察了学生对锐角三角函数性质的掌握，选“C ”。

例4 施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切，摞在一起，则其最高点到地面的距离是（ ）.2.1.12A B C D ++分析：连接各圆的圆心，得到边长为直径的一个等边三角形，发现最高点到地面的距离等于三角形的高加上一个直径的长度，选“D ”。

例5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是________，tan∠BCD的值是________。

分析：由三角形的相似可得∠ACD＝∠B ，∠BCD＝∠A，易得sin∠ACD＝5 41,tan∠BCD＝41。

例6．如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9m，建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建______阶（一阶的高不足20cm时，按一阶计算：3取1.732）。

九下数学| 锐角三角函数利用增减性判断三角函数取值范围【例1】如果30°＜∠A＜45°，那么sinA的范围是（）A．0＜sinA＜1/2 B．1/2＜sinA＜√2/2 C．√2/2＜sinA＜√3/2 D．√3/2＜sinA＜1【分析】由sinα随锐角α的增大而增大且30°＜∠A＜45°，结合特殊锐角的三角函数值可得答案．【解析】解：∵sinα随锐角α的增大而增大，且30°＜∠A＜45°，∴1/2＜sinA＜√2/2，故选：B．【例2】sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大【解析】解：sin58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故选：C．【例3】已知0＜α＜45°，关于角α的三角函数的命题有：①0＜sinα＜√2/2，②cosα＜sinα，③sin2α＝2sinα，④0＜tanα＜1，其中是真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数，余弦是减函数，正切是增函数，可得答案．【解析】解：由0＜α＜45°，得0＜sinα＜√2/2，故①正确；cosα＞sinα，故②错误；sin2α＝2sinαcosα＜2sinα，故③错误；0＜tanα＜1，故④正确；故选：B．【例4】如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P 与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．【分析】（1）利用三角函数的定义，根据两个角的正弦的大小进行比较即可得到结果；（2）运用两个角的正弦函数，根据正弦值的变化规律进行比较．【解析】解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP=PE/BP=sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP=PF/BP=sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP=PE/BP=sinα，sin∠FBP=PF/BP=sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。