概率互逆 互斥

“事件的互斥、互逆和独立性”的问题和思考作者：王洪霞来源：《科教导刊》2014年第36期摘要事件的互斥、互逆和独立性是概率论中重要的基本概念，为了便于初学者很好地掌握这三个概念，本文力图从基本概念出发循序渐进地提出几个问题，以问答的形式展示出来。

关键词事件的互斥互逆独立性中图分类号：G642 文献标识码：AProblems and Thinking of "Events' Mutually Exclusive，Reciprocal and Independence"WANG Hongxia（Statistical Institute of He'nan University of Economics and Law， Zhengzhou， He'nan 450002）Abstract Mutually exclusive events， reciprocal and independence is an important basic probability theory concepts， in order to facilitate a good grasp of beginners these three concepts，this paper tries gradual departure from the basic concept raised several questions， in the form of quiz show come out.Key words mutually exclusive events； reciprocal； independence在概率论的教学实践中发现：很多初学者对“事件的互斥、互逆和独立性”的概念理解不透，经常将互斥和独立性搞混。

为了便于大家更好地学习这部分知识，笔者力图从基本概念出发循序渐进地提出了几个问题，以问答的形式展示出来。

概率论与数理统计总复习1、研究和揭示随机现象 统计规律性的科学。

随机现象：是在个别试验中结果呈现不确定性，但在大量重复试验中结果又具有统计规律性的现象。

2、互斥的或互不相容的事件：A B φ⋂=3、逆事件或对立事件：φ=⋂=⋃B A S B A 且4、德∙摩根律：B A B A ⋂=⋃，B A B A ⋃=⋂5、在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值/A n n 称为事件A 发生的频率，并记为()n f A 。

6、概率的性质（1）非负性：(A)0P ≥； （2）规范性：(S)1P =；（3）有限可加性：设A 1，A 2，…，A n ，是n 个两两互不相容的事件，即A i A j ＝φ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, n , 则有∑==ni i n A P A A P 11)()...(（4）()0P φ=；（5）单调不减性：若事件A ⊂B ，则P(B)≥P(A) （6）对于任一事件A ，P(A)≤1 （7）差事件概率：对于任意两事件A 和B ，()()()P B A P B P AB -=-（8）互补性（逆事件的概率）：对于任一事件A ，有 P(A )=1-P(A) （9）加法公式：P(A ⋃B)＝P(A)＋P(B)－P(AB))()()()()()()()(321323121321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P +---++=⋃⋃7、古典概型中的概率: ()()()N A P A N S =①乘法原理：设完成一件事需分两步， 第一步有n 1种方法，第二步有n 2种方法， 则完成这件事共有n 1n 2种方法。

例：从甲、乙两班各选一个代表。

②加法原理：设完成一件事可有两类方法，第一类有n 1种方法，第二类有n 2种方法，则完成这件事共有n 1+n 2种方法。

概率复习重点归纳 一、随机事件与概率 重点难点： 重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式 难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算 常考题型： （1）事件关系与概率的性质 （2）古典概型与几何概型 （3）乘法公式和条件概率公式 （4）全概率公式和Bayes 公式 （5）事件的独立性 （6）贝努利概型 概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。

2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。

3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生 后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。

虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式 全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。

在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。

第一章 随机事件及其概率随机事件A ，样本空间Ω，概率空间F ，A A ⊂Ω∈，F 一、随机事件间的关系和运算1、 包含：A ⊂B ，表示A 发生必有事件B 发生2、 相等： 若A ⊂B 且B ⊃A ，即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。

3、 互不相容（或互斥）：A ∩B=Ф，表示A 与B 不可能同时发生。

对立一定互斥。

4、 对立（或互逆）: A =Ω-A 。

表示A 不发生的事件。

互斥未必对立。

5、和事件/并：A ∪B ，或者A+B （A ∩B=Ø），表示A 、B 中至少有一个发生的事件。

6、 差事件：A B A AB AB −=−=,表示A 发生而B 不发生的事件。

7、 积事件/交：A ∩B 或者AB ，表示 A 、B 同时发生的事件。

二、运算定律1、交换律：A ∪B=B ∪A ；A ∩B =B ∩A 。

2、 结合律：A ∪（B ∪C ）=（A ∪B ）∪C ；A ∩（B ∩C ）=（A ∩B ∩ C3、分配律：A ∪（B ∩C ）=（A ∪ B ）∩（A ∪C ）； ()()()A B C A B A C =∩∪∩∪∩。

4、德摩根律（对偶率）：B A ∪=A ∩B ；B A ∩=A ∪B ；。

z 常用结论：A A =Φ； A ∪A =Ω； ()()AB A B AB A B B A AB =+−=−+−+∪第二章 随机变量及其分布一、一维随机变量及其分布 1、分布函数:(){}F x P X x =≤ 分布函数性质:(1)0()1,;F x x R ≤≤∈(2)()F x 是单调不减的；(3)()lim ()0;x F F x →−∞−∞==()lim ()1;x F F x →+∞+∞==(4)()F x 为右连续，即000lim ()(),.x x F x F x x R +→=∈分布函数重要公式:(1){}();P X b F b ≤=(2){}()();P a X b F b F a <≤=−(3){}1();P X a F a >=−(4){}();P X b F b −<=(5)()()(),.P X b F b F b b R −==−∈ 2、离散型随机变量: (){}{}()k kx xF x P X x P X x x R ≤=≤==∈∑¾ 典型离散型随机变量的分布：(1) 退化分布(单点分布)：()1P X C == (2) 两点分布B (1,p ) ：1{}(1)(0,1)k k P X k p p k −==−=(3) 离散型均匀分布：1{}(1,2,,)k P X x k n n=== (4) 二项分布(,)B n p ：{}(1)k k n k n P X k C p p −==− (5) 泊松分布()P λ：{}e (0,1,)!kP X k k k λλ−===(6) 几何分布：1{}(1)(1,2,)k P X k p p k −==−=(7) 超几何分布：{}(0,1,2,,min{,})k n k M N MnNC C P X k k M n C −−=== 3、连续型随机变量：()()d xF x p t t −∞=∫¾ 密度函数的性质：(1)()0,;p x x R ≥∈(2)()d 1;p x x +∞−∞=∫(3){}()()()d ;baP a X b F b F a p x x <≤=−=∫ (4){}0.P X c ==¾ 典型连续性随机变量的分布： (1) 均匀分布 X ~ U [a ,b ]1,,()0,,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=−⎨⎪⎩其它; 0,,(),,1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪≥⎪⎩1{}{}0;P X a P X b <=>= 性质：2{}.d cP c X d b a−≤<=− (2) 正态分布 2~(,)X N μσ22()2(),.xμσp x x−−=−∞<<∞;22()2()dtμxσF x e t−−−∞=∫(3)标准正态分布~(0,1)X N22()xxφ−=;22()d.txx t−Φ=∫(1)()1(),x xΦ−=−Φ性质：(0)0.5Φ=；22(2)xe dx+∞−−∞=∫(4)指数分布~()X Expλ,0,()0,0.xe xp xxλλ−⎧>=⎨≤⎩;1,0,()0,0.xe xF xxλ−⎧−>=⎨≤⎩二、 二维随机变量及分布：1、联合分布函数：(,)F x y{,}P X x Y y=≤≤2、二维离散型随机变量的分布：{,},i j ijP X x Y y p===(,) ,i jijx x y yF x y p≤≤=∑∑3、二维连续型随机变量的分布：(,)(,)d dx yF x y p u v u v−∞−∞=∫∫¾联合密度函数性质：(1)(,)0;p x y≥(2)(,)d d(,)1;p x y x y F+∞+∞−∞−∞=+∞+∞=∫∫2(,)(3)(,)(,),(,);F x yp x y x y p x yx y∂=∂∂若在连续则有(4){(,)}(,)d d.GP X Y G p x y x y∈=∫∫¾典型二维随机变量的分布：(1) 均匀分布：1,(,),(,)0,.x y Dp x y S⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它(2) 二维正态分布221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ：2211222221212()2()()()12(1)(,)xμρxμyμyμσσρσσp x y⎡⎤−−−−−−+⎢−⎢⎥⎣⎦=(,),x y−∞<<∞−∞<<∞4、边缘分布：()(,){,}{}XF x F x P X x Y P X x=+∞=<≤+∞=≤；()(,){,}{}YF y F y P X Y y P Y y=+∞=<+∞≤=≤(1) 离散型随机变量：边缘分布函数 1()(,),i X ij x x j F x F x p ∞≤==+∞=∑∑1()(,).j Y ijy y i F y F y p ∞≤==+∞=∑∑边缘分布律 1{},1,2,,i ij i j p p P X x i ∞•=====∑ 1{},1,2,,j ij j i p p P Y y j ∞•=====∑(2) 连续型随机变量：边缘分布函数 {}()(,)(,)d d xX F x F x p x y y x +∞−∞−∞=+∞=∫∫边缘密度 ()(,)d ;X p x p x y y +∞−∞=∫()(,)d Y p y p x y x +∞−∞=∫(3) 结论：二元正态分布的边缘分布是一元正态分布．221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ即若，则221122~(,),~(,).X N Y N μσμσ5、独立性：(,)()().X Y X Y F x y F x F y ⇔=和相互独立(1):{,}{}{}i j i j X Y P X x Y y P X x P Y y ⇔=====、离散型与相互独立(2):(,)()()X Y X Y p x y p x p y ⇔=、连续型与相互独立常用结论：(1)()().X Y f X g y 若和相互独立，则与也相互独立 1212(2)(,),,X Y N u u σσρ∼（,,），0X Y ρ⇔=与相互独立 6、条件分布（1）离散型：条件分布律{;}{|};{}i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y P Y y p ⋅======= {,}{|}{}i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x P X x p ⋅=======（2）连续型：条件概率密度 (,)();()X Y Y p x y p x y p y =|(x,)(|)()Y X X p y p y x p x = 条件分布函数 ||(|)(|)d (x,)/()d xx X Y X Y Y F x y p x y x p y p y x −∞−∞==∫∫||(|)(|)d y Y X Y X F y x p y x y −∞=∫(x,)/()d yX p y p x y −∞=∫（3）常用结论：二元正态分布的条件分布仍为正态分布。

第一章 概率论基本概念1．什么是统计规律性？什么是随机现象？答 在一定条件下发生，其结果是多样的，因而在现象发生前不能预知确切结果的不确定现象，其结果在大量重复试验中呈现出一种规律性. 由于这种规律是根据统计数据分析出来的，因而称为统计规律性。

在一次试验或观察中结果不能预先确定，而在大量重复试验中结果具有统计规律性的现象称为随机现象. 随机现象是概率论与数理统计的主要研究对象.2．如何理解互逆事件与互斥事件？ 答 如果两个事件A 与B 必有一个发生，且至多有一个发生，则、A B 为互逆事件. B A =.如果两个事件A 与B 不能同时发生，则、A B 为互斥事件.如考试及格与不及格是互逆也是互斥的，但考试70分和80分互斥却不互逆.区别互逆与互斥的关键是，当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆. 而互斥适用于多个事件的情形. 互斥事件的特征是，在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且至多发生一个. 3．如何用已知事件来表达与其有关的其它事件？答 首先要了解所讨论试验中事件的构成，所需表达事件与已知事件的关系，然后运用这些关系与运算法则将事件表达出来.例如，设S 为事件05x ≤≤，A 为事件12x ≤≤，B 为事件02x ≤≤，则02x ≤≤为事件B 或A B ， 12x ≤≤为事件A 或BA ， 25x <≤为事件S B -或B ，01x ≤<为B A -.4．样本空间与必然事件之间有什么关系？答 样本空间是随机试验E 的所有可能结果的集合，而必然事件是指随机试验中一定会出现的结果. 虽然在一次试验中只有样本空间的一个元素发生，但在把样本空间视作一个整体时，我们说它在每次试验中都发生了. 因此，可以说样本空间是必然事件.5．在什么情况下，随机事件A 的频率可以作为它的概率的近似值？答 随机事件A 的频率()n f A 反映事件A 在多次重复试验中发生的频繁程度. 当n 增大时，频率在概率()P A 附近摆动. 因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率()P A 的近似值. 而且，一般n 越大，近似程度越好.事实上，当n 增大时，频率大量集中于包含()P A 的一个小区间. 任选区间中一值作为概率的近似值，称为统计概率. 在解题时，当n 较大时，可取统计概率为()/A P A n n ≈. 6．概率是否可以看做频率的极限？答 这样理解是不恰当的. 因为如上题所述，当n →∞时，()n f A 在()P A 附近摆动，与高等数学中极限的N ε-概念是不同的. 由于概率是随机现象的可能性的赋值，对于任给的0ε>，存在偶然的因素，可能找不到()N ε，从而得不到|()()|n f A P A ε-<.7．怎样理解古典概型的等可能假设？答 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便. 但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的. 例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等. 因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识——对称性特征而确认的. 8．概率为0的事件是否为不可能事件？概率为1的事件是否为必然事件？ 答 有关概念：不可能事件φ的概率为0，即()0P φ=，但其逆不真；同样，必然事件Ω的概率()1P Ω=，但其逆也不真。

概率论知识点整理及习题答案1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。

（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。

（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。

而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。

特别地，=A、AU= 、AI=φ。

2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。

我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。

而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。

3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。

其中基本事件也称为样本点。

而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。

通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。

在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。

而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。

为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。

这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。

条件发生变化，事件的性质也发生变化。

例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。

而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的.。

例如：（1）={3，4，5，L，18}。

（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。

互逆互斥独立的关系概率论引言在概率论中，我们经常需要分析事件之间的关系。

其中互逆、互斥和独立是最为常见的三种关系。

本文将深入探讨互逆、互斥和独立关系，并通过实例来解释这些概念。

互逆关系互逆关系指的是两个事件同时发生或者同时不发生的情况。

互逆事件可以用互补事件来描述，即事件A的互补事件为事件A的补集，记作A'。

当事件A发生时，事件A'不发生，反之亦然。

互逆关系中，事件A和事件A'的概率之和等于1。

这是由于在所有可能的情况下，事件A和事件A'必然有一个发生。

设事件A的概率为P(A)，则事件A'的概率为P(A')=1-P(A)。

互斥关系互斥关系指的是两个事件不可能同时发生的情况。

如果事件A和事件B互斥，那么它们的交集为空集。

换句话说，当事件A发生时，事件B必然不发生，反之亦然。

互斥关系中，事件A和事件B的概率之和等于各自概率的和。

设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。

独立关系独立关系指的是两个事件之间没有相互影响的情况。

如果事件A和事件B独立，那么它们的发生与否对对方的概率没有任何影响。

在独立关系中，事件A和事件B的概率乘积等于各自概率的乘积。

设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则事件A和事件B的概率为P(A∩B)=P(A)·P(B)。

实例分析为了更好地理解这些概念，我们来看一个具体的实例。

假设有一副52张标准扑克牌，从中取出一张牌。

事件A表示取到黑桃牌，事件B表示取到红心牌。

现在我们来判断事件A和事件B之间的关系。

首先，黑桃牌和红心牌是互斥的，因为同一张牌不能既是黑桃牌又是红心牌。

所以，P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(黑桃牌)+P(红心牌)=1/4+1/4=1/2。

同时，黑桃牌和红心牌是独立的，因为取到一张黑桃牌的概率与是否取到红心牌没有关系。

所以，P(A∩B)=P(A)·P(B)=1/4·1/4=1/16。

概率互逆互斥概率是数学中的一个重要概念，它用来描述事件发生的可能性大小。

在概率论中，我们经常会遇到两个概念：互逆和互斥。

这两个概念在描述事件之间的关系时起着非常重要的作用。

我们来了解一下互逆的概念。

互逆是指两个事件之间的概率之和等于1。

也就是说，如果事件A和事件B是互逆的，那么事件A发生的概率加上事件B发生的概率等于1。

例如，掷一枚硬币，事件A 表示出现正面的概率，事件B表示出现反面的概率，那么事件A和事件B就是互逆的。

接下来，我们来了解一下互斥的概念。

互斥是指两个事件之间不可能同时发生。

也就是说，如果事件A和事件B是互斥的，那么事件A和事件B不能同时发生。

例如，掷一枚硬币，事件A表示出现正面的概率，事件B表示出现反面的概率，那么事件A和事件B就是互斥的。

互逆和互斥是概率论中非常重要的概念，它们在实际问题中有着广泛的应用。

在实际问题中，我们经常需要计算事件的概率，而互逆和互斥可以帮助我们简化计算过程。

在计算事件的概率时，我们可以利用互逆的性质来简化计算。

如果我们知道事件A的概率，那么事件B的概率就等于1减去事件A的概率。

例如，如果事件A发生的概率是0.6，那么事件B发生的概率就是1减去0.6，即0.4。

在计算事件的概率时，我们可以利用互斥的性质来简化计算。

如果我们知道事件A和事件B是互斥的，那么事件A和事件B同时发生的概率就是0。

例如，如果事件A表示掷一枚硬币出现正面的概率，事件B表示掷一枚硬币出现反面的概率，那么事件A和事件B同时发生的概率就是0。

互逆和互斥的概念在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在概率统计中，我们经常需要计算事件的概率，而互逆和互斥可以帮助我们简化计算过程。

在实际生活中，我们也经常会遇到互逆和互斥的情况。

例如，抛硬币、掷骰子、抽奖等等，这些问题都可以用互逆和互斥的概念来描述和解决。

概率互逆和互斥是概率论中非常重要的概念，它们在描述事件之间的关系时起着重要的作用。

互逆是指两个事件之间的概率之和等于1，而互斥是指两个事件之间不可能同时发生。

1.随机事件（1）0)(1)==Ω(ΩφφP P ，，不可能事件，必然事件 （2）A B A B B A ⊂包含关系：，“发生必导致发生”称包含 A B（3）A B A B A B A B +U 事件的和（并）：或“与至少有一个发生”叫做与的和（并）.（4）A B A B A B A B I 事件的积（交）：·或“与同时发生”叫做与的积（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥.A B ·=φ（6）对立事件（互逆事件）： A A A “不发生”叫做发生的对立（逆）事件， A A A A Y I ==Ω，φ（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.也相互独立与，与，与独立，与B A B A B A B A2. 对某一事件概率的求法：（1）等可能事件的概率,nm A A P ==的总数一次试验的等可能结果包含的等可能结果)( （2）())()(B P A P B A P B A +=+互斥，则、若（3）()()()B P A P B A P B A ··相互独立，则、若= （4）)(1)(A P A P -=（5）如果在一次试验中A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次的()k n k k n n p p C k P --=1)(概率：如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率.（1）从中任取2件都是次品； 241210215C P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （2）从中任取5件恰有2件次品； 234625101021C C P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n ＝103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”∴·m C =+32213464∴··P C 3322334641044125=+= （4）从中依次取5件恰有2件次品.解析：∵一件一件抽取（有顺序）∴，n A m C A A ==105425263∴P C A A A 44252631051021== 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题.3. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性.4. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差.要熟悉样本频率直方图的作法：（1）计算极差()；min max x x -（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图.其中，频率小长方形的面积组距×频率组距==()样本平均值：……x n x x x n =+++112()()()[]样本方差：……S n x x x x x x n 2122221=-+-++- 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________.42105615C C C （）俾斯麦曾经提到过，失败是坚忍的最后考验。

[数学基础]概率论与数理统计相关概念学习⽬录概率论和数理统计随机事件和概率1.事件的关系与运算(1) ⼦事件：A⊂B，若A发⽣，则B发⽣。

(2) 相等事件：A=B，即A⊂B，且B⊂A 。

(3) 和事件：A⋃B（或A+B），A与B中⾄少有⼀个发⽣。

(4) 差事件：A−B，A发⽣但B不发⽣。

(5) 积事件：A⋂B（或AB），A与B同时发⽣。

(6) 互斥事件（互不相容）：A⋂B=∅。

(7) 互逆事件（对⽴事件）：A⋂B=∅,A⋃B=Ω,A=¯B,B=¯A2.运算律(1) 交换律：A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A(2) 结合律：(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C)(3) 分配律：(A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C)3.德⋅摩根律¯A⋃B=¯A⋂¯B¯A⋂B=¯A⋃¯B4.完全事件组A1A2⋯A n两两互斥，且和事件为必然事件，即A i⋂A j=∅,i≠j,⋃ni=1=Ω5.概率的基本公式(1)条件概率:P(B|A)=P(AB)P(A),表⽰A发⽣的条件下，B发⽣的概率。

(2)全概率公式：P(A)=n∑i=1P(A|B i)P(B i),B i B j=∅,i≠j,⋃ni=1B i=Ω(3) Bayes 公式：P(B j|A)=P(A|B j)P(B j)n∑i=1P(A|B i)P(B i),j=1,2,⋯,n注：上述公式中事件B i的个数可为可列个。

(4)乘法公式：P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P(A2)P(A1|A2)P(A1A2⋯A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯P(A n|A1A2⋯A n−1)6.事件的独⽴性(1)A与B相互独⽴⇔P(AB)=P(A)P(B)(2)A，B，C两两独⽴⇔P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C) ;P(AC)=P(A)P(C);(3)A，B，C相互独⽴⇔P(AB)=P(A)P(B); P(BC)=P(B)P(C) ;P(AC)=P(A)P(C) ; P(ABC)=P(A)P(B)P(C)7.独⽴重复试验将某试验独⽴重复n次，若每次实验中事件 A 发⽣的概率为p，则n次试验中A发⽣k次的概率为：P(X=k)=C k n p k(1−p)n−kProcessing math: 36%8.重要公式与结论(1)P(¯A)=1−P(A)(2)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)(3)P(A−B)=P(A)−P(AB)(4)P(A¯B)=P(A)−P(AB),P(A)=P(AB)+P(A¯B),P(A⋃B)=P(A)+P(¯A B)=P(AB)+P(A¯B)+P(¯A B)(5)条件概率P(⋅|B)满⾜概率的所有性质，例如：. P(¯A1|B)=1−P(A1|B)P(A1⋃A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B) P(A1A2|B)=P(A1|B)P(A2|A1B)(6)若A1,A2,⋯,A n相互独⽴，则P(n⋂i=1A i)=n∏i=1P(A i),P(n⋃i=1A i)=n∏i=1(1−P(A i))(7)互斥、互逆与独⽴性之间的关系：A与B互逆⇒A与B互斥，但反之不成⽴，A与B互斥（或互逆）且均⾮零概率事件⇒$A与B$不独⽴.(8)若A1,A2,⋯,A m,B1,B2,⋯,B n相互独⽴，则f(A1,A2,⋯,A m)与g(B1,B2,⋯,B n)也相互独⽴，其中f(⋅),g(⋅)分别表⽰对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或0）的事件与任何事件相互独⽴.随机变量及其概率分布1.随机变量及概率分布取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律2.分布函数的概念与性质定义： F(x)=P(X≤x),−∞<x<+∞性质：(1)0≤F(x)≤1(2) F(x)单调不减(3) 右连续F(x+0)=F(x)(4) F(−∞)=0,F(+∞)=13.离散型随机变量的概率分布P(X=x i)=p i,i=1,2,⋯,n,⋯p i≥0,∑∞i=1p i=14.连续型随机变量的概率密度概率密度f(x);⾮负可积，且:(1)f(x)≥0,(2)∫+∞−∞f(x)dx=1(3)x为f(x)的连续点，则:f(x)=F′(x)分布函数F(x)=∫x−∞f(t)dt5.常见分布(1) 0-1 分布:P(X=k)=p k(1−p)1−k,k=0,1(2) ⼆项分布:B(n,p)： P(X=k)=C k n p k(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n(3) Poisson分布:p(λ)： P(X=k)=λkk!e−λ,λ>0,k=0,1,2⋯(4) 均匀分布U(a,b)：f(x)={1b−a,a<x<b0,(5) 正态分布:N(µ,σ2):φ(x)=1√2πσe−(x−µ)2σ,σ>0,∞<x<+∞(6)指数分布:E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}(7)⼏何分布:G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.(8)超⼏何分布: H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)6.随机变量函数的概率分布(1)离散型：P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)则: P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}(2)连续型：X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)则:F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}， f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)7.重要公式与结论(1) X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)(2) X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})(3) X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)(4) X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不⼀定为处处可导函数。

等概率知识点总结高中一、概率基本概念概率是指在某一试验中，某一特定事件发生的可能性大小。

概率的计算是数学的一门分支，它的发展史可以追溯到17世纪。

在概率论中，通常将试验的结果称为样本空间，用Ω表示，而Ω中的每一个元素称为样本点。

样本空间Ω中的所有样本点的集合记为Ω。

例如，掷一枚硬币的结果是正面或反面，这个试验的样本空间就是Ω = {正面，反面}。

概率计算通常以事件概率的计算为主，而事件概率是一个事件在样本空间中出现的可能性大小。

例如，在Ω = {正面，反面}中，正面出现的概率是1/2，反面出现的概率也是1/2。

二、等概率事件的性质1. 等概率事件的性质之一：互斥性如果两个事件A和B是等概率事件，那么它们的交集是空集，即A ∩ B = ∅。

也就是说，两个等概率事件不能同时发生。

例如，掷一枚硬币的结果是正面和反面，这两个事件是互斥的。

2. 等概率事件的性质之二：独立性如果两个事件A和B是等概率事件，那么它们是独立的。

这意味着事件A的发生与否不会影响事件B的发生。

例如，掷一个骰子的结果是1到6，如果我们观察了前几次的结果，对后面一次的结果没有任何帮助。

3. 等概率事件的性质之三：互补性如果事件A是一个等概率事件，那么它的对立事件A'也是一个等概率事件。

例如，掷一枚硬币的结果是正面和反面，那么正面出现的概率是1/2，反面出现的概率也是1/2。

4. 等概率事件的性质之四：差事件等概率如果事件A和B是等概率事件，那么它们的差事件A-B和B-A也是等概率事件。

例如，掷一个骰子，出现奇数的概率是1/2，出现偶数的概率也是1/2。

三、等概率事件的计算方法对于等概率事件的计算，通常有几种常用的方法。

1. 通过频率计算概率这是一种简单的计算概率的方法。

通过对试验进行多次重复，然后统计事件出现的次数，最后计算事件发生的频率。

例如，掷一枚硬币，如果进行了100次试验，正面出现的次数是50次，那么正面出现的概率就是50/100=1/2。

互逆事件⼀定是互斥事件吗
互逆事件⼀定是互斥事件。

互逆事件是“⽆我有你,⽆你有我”的关系,⽽互斥事件是“有我⽆你,有你⽆我”的关系。

从集合意义来说，“互逆”不仅交集为空集（即“互斥”）,⽽且并集为全集；但“互斥”之并集不⼀定为全集。

互逆事件
互逆事件指在每次随机试验中,必然有⼀个发⽣,但⼜不能同时发⽣的两个随机事件。

事件A和B互逆必须且只须A∪B=Ω(必然事件)且A∩B=(不可能事件)。

A与B是互逆事件时,A和B互称为逆事件,记为A=B-(B-表⽰B的逆事件),或B=A-(A-表⽰A的逆事件)。

若随机事件A是基本事件空间Ω的某个⼦集,则逆事件A-就是A在Ω中的补集.猜测在掌⼼中的钱币朝上的⼀⾯“是正⾯”与“是反⾯”这两个事件就是互逆事件。

互斥事件
互斥事件指的是不可能同时发⽣的两个事件。

例如：事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。

也可叙述为：不可能同时发⽣的事件。

如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何⼀次试验中不会同时发⽣。