概率与统计中的事件的互斥与包含关系

概率事件的关系与运算知识点总结一、事件的关系。

1. 包含关系。

- 定义：如果事件A发生必然导致事件B发生，那么称事件B包含事件A，记作A⊆ B。

例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1”，事件B=“掷出的点数为奇数”，那么A发生时B一定发生，所以A⊆ B。

- 特殊情况：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B，即这两个事件是同一个事件。

2. 互斥关系（互不相容关系）- 定义：如果事件A与事件B不能同时发生，即A∩ B=varnothing （varnothing为空集），那么称A与B是互斥事件。

例如，掷一枚硬币，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，A和B不可能同时发生，所以A与B互斥。

3. 对立关系。

- 定义：如果A∩ B=varnothing且A∪ B=varOmega（varOmega为样本空间），那么称A与B是对立事件，B叫做A的对立事件，记作B=¯A。

例如，在掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为偶数”，事件B=“掷出的点数为奇数”，A∩ B=varnothing且A∪ B={1,2,3,4,5,6}（整个样本空间），所以A与B是对立事件。

- 关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

4. 独立关系（如果涉及到选修内容）- 定义：设A,B是两个事件，如果P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

例如，连续掷两次硬币，事件A=“第一次正面朝上”，事件B=“第二次正面朝上”，P(A)=(1)/(2)，P(B)=(1)/(2)，P(AB)=(1)/(4)，满足P(AB) = P(A)P(B)，所以A与B相互独立。

二、事件的运算。

1. 事件的并（和）运算。

- 定义：事件A与事件B的并（和）事件A∪ B是由所有A发生或B发生的基本事件组成的集合。

例如，掷骰子试验中，设事件A=“掷出的点数为1或2”，事件B=“掷出的点数为3或4”，那么A∪ B=“掷出的点数为1、2、3或4”。

概率包含关系
概率论是统计学的重要组成部分，用来研究行为的不确定性的概
率发生变化的可能性。

概率关系包括有互斥关系、余弦关系、条件概
率关系和独立性关系。

互斥关系是两个事件之间不可能共存的关系，它们发生时，另一
个可能就不会发生了。

以抛硬币来说，朝上事件和朝下事件之间就存
在互斥关系。

余弦关系指的是两个概率变量之间的关系，通常用了表示某件事
情的几率是在两个变量之间的某个值。

比如一次抛硬币时出现朝上发
生的概率值可以通过朝上出现的概率和朝下出现的概率的乘积来表示，这就是余弦关系。

条件概率关系引入其他条件后，来测量两个事件之间的关系。

它
表示A在知道B发生时发生的几率，它和余弦关系有些类似。

比如说，知道第一次抛硬币就是朝下出现时，朝上出现的概率，就是一个条件
概率关系。

最后，独立性关系是讨论两个事件发生时，是否它们之间存在联
系的关系。

即A和B事件之间发生的顺序不重要，不会影响它们的概率，两个事件之间时相互独立的关系，抛掷硬币就可以表示一个独立
性关系。

概率关系是概率学中极为重要的一种概念，它们可以在统计学中
应用到很多地方，把难以测量的概率计算出来，进而得出最后结论。

对于概率关系的理解，对于更好地研究行为的不确定性和概率发生变
化有着极大的好处。

概率事件的关系与运算知识点一、知识概述《概率事件的关系与运算知识点》①基本定义：概率事件就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事情。

事件之间有各种关系和运算呢。

比如说，包含关系，就像大盒子装小盒子一样，如果事件A发生时事件B一定发生，那就说A包含于B。

还有相等关系，简单讲就是两个事件其实是一回事，发生的情况完全相同。

互斥事件啊，就是两个事件不能同时发生，就像白天和黑夜不能同时出现一样。

对立事件是特殊的互斥事件，除了不能同时发生，而且这两个事件的概率之和为1，就好比成功和失败加起来就是所有可能的按我的经验这是概率里很基础的东西，能帮我们更清楚地分析事情发生的可能性。

②重要程度：在概率学科里，这可是基础中的基础。

如果不懂事件的关系与运算，后面好多更复杂的概率计算和分析都没法弄，就像是盖房子，这是地基。

③前置知识：得先知道什么是概率，比如某个事情发生可能性的大小量化表示，像抛硬币正面朝上的概率是这种。

还得有点简单集合的概念，因为事件关系有点像集合间的关系。

④应用价值：在实际中超级有用。

比如彩票中奖的概率计算，不同奖项之间的关系就涉及到事件关系与运算。

还有保险理赔的概率评估，不同风险事件之间怎么相互影响。

二、知识体系①知识图谱：在概率学科的体系里，这是刚开始学概率就得掌握的内容，是后续学习概率分布、数字特征等知识的基石。

②关联知识：和概率计算、条件概率、贝叶斯公式等知识点都有联系。

因为要计算概率很多时候得先理清楚事件之间的关系。

③重难点分析：- 掌握难度：对于初学者来说，感觉有点抽象，特别是那种包含关系、互斥和对立关系的区分。

我当时刚学的时候就有点迷糊。

- 关键点：理解事件关系的定义，多从实际例子去感受。

④考点分析：- 在考试中的重要性：非常重要，不管是小测验还是大考试，都会考。

- 考查方式：选择题考概念辨析，大题可能让你计算考虑事件关系后的概率。

三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：- 包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，就说A包含于B。

第一周随机事件及其概率运算1.3事件间的关系与事件的运算事件关系（包含，相等，互不相容，对立）（1）包含关系：若事件,A B 满足A B⊂，则称事件B 包含事件A ，用示性函数表示为()()ωω≤A B I I .（2）相等关系：若A B ⊂，且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等（或等价），为同一事件。

用示性函数表示为()()A B I I ωω=.（3）互不相容关系，也称互斥关系：对于事件A 、B ，如果不可能同时发生，则A 、B 称为互不相容事件，此时AB =Φ。

用示性函数表示为()()0A B I I ωω=.（4）对立关系：如果两个事件A 、B 中，=B “A 不发生”，则A 、B 称为具有对立关系（或互逆关系），又称B 为A 的对立事件，记为A B =。

用示性函数表示为()()1ωω+=A B I I .ΩΩ*********************************************************事件运算（和，积，差，交换律，结合律，分配律，结合律，对偶律）（1）事件的和：事件A 与事件B 的并集构成的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为A B 或A B +，即{}|A B x x A x B =∈∈ 或，如图所示的阴影部分.显然，当且仅当事件A 与事件B 至少有一个发生时，事件A B 才发生。

n 个事件n A A A ,,,21 的和事件，即为n 个集合的并集 n k k A 1=。

（2）事件的积（或交）：事件A 与事件B 的交集构成的事件称为事件A 与事件B 的积（或交）事件，事件A 与事件B 同时发生。

记为A B 或AB 。

n 个事件n A A A ,,,21 的积事件，即为n 个集合的交集 nk k A 1=。

（3）事件的差：事件A 与事件B 的差集所构成的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。

{}|A B x x A x B AB -=∈∉=且。

一、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。

0<概率<1。

2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，大写字母S表示。

3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。

（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。

（3）和：事件的并，记为A∪B。

（4）差：A-B称为A与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。

（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB或A∩B。

（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。

（7）对立：A∪B=S。

4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C） (3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。