高中数学第2课时 互斥事件(2)人教版必修三

第2课时导入新课设计思路一：（情境导入）某公司在一次庆祝活动中，为了活跃现场气氛，在活动现场举行了一次抽奖活动.在一个箱子里装有900张奖券，奖券的号码是从100到999的三位自然数，从中抽取一张.若中奖的号码是有且仅有两个数字相同的奖券.试问该活动的中奖率是多少？设计思路二：（问题导入）在一只口袋中装有4个红球，2个白球，现从口袋中任取4个球.记事件A ：至少取到2个红球；事件B ：至少取到2个白球；事件C ：没有取到红球：事件D ：没有取到白球；事件E ：至多取到2个白球.请指出以上事件中的必然事件、不可能事件和随机事件，并找出哪两个事件为互斥事件或对立事件.推进新课新知探究对于导入思路一：该抽奖活动的中奖奖券可以分为以下三种情形：（1）有两个非零数字构成的三位数，共有289⨯×2×3=216个；（2）一个零与另一个出现两次的非零数字组成的三位数，共有9×2=18个；（3）含有两个零及一个非零数字组成的三位数，共有9个.以上三种情形的每一种情形作为一个事件，则这三个事件是互斥事件，所以，抽奖活动的中奖率为P= 900243900990018900216=++=0.27. 这就是我们用上节课学习的互斥事件的概率的求法来解答的，下面，一起来回顾上节课所学的内容.上节课主要学习了以下内容：1.互斥事件的概念在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件.如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，我们就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥.2.互斥事件有一个发生的记法如果事件A 、B 是互斥事件，当事件A 、B 有一个发生，就记为A+B.若事件A 1，A 2，…，A n 是彼此互斥事件，我们就记为A 1+A 2+…+A n .3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A ，B 是互斥事件，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，这个公式可以推广到n 个彼此互斥事件，即P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ).4.对立事件的概念如果两个互斥事件必定有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A .5.对立事件之间的概率关系由于对立事件A 与A 必有一个发生，所以A+A 是必然事件，因而有P(A)+P(A )=P(A+A )=1，所以有P(A)=1－P(A ).6.互斥事件与对立事件互斥事件不一定是对立事件，因为互斥事件可以有多于两个的事件，而对立事件只是两个互斥事件并且是其中必有一个发生.对于导入思路二：根据必然事件、不可能事件、随机事件以及互斥事件、对立事件的概念来判断.在一定条件下事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.对于在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.必然事件与不可能事件反映的都是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的是随机现象事件A与B不可能同时发生.这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2，…，A n彼此互斥.根据上述概念，从4个红球，两个白球中任取4个球，红球必定至少2个，白球至多2个，所以，事件A、事件E为必然事件，事件B、事件D为随机事件，事件C为不可能事件；事件A与事件C为互斥事件也是对立事件，事件B与事件C为互斥事件但不是对立事件，事件B与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件D为互斥事件但不是对立事件，事件C与事件E为互斥事件也是对立事件.其中的互斥事件与对立事件是上节课所学的内容，在上节课除学习了以上内容之外，还学习了互斥事件以及对立事件的概率的计算.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和.即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n）.如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件互斥事件和对立事件都是对两个事件而言的，它们有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生.所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥.由于对立事件A与A必定有一个发生，因此A+A是必然事件，所以P(A)+P(A)=P(A+A)=1，由此，可以有如下的重要公式P(A)=1－P(A).应用示例例1 下列命题中，真命题的个数是（）①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次出现正面”，事件B：“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件A.1B.2C.3D.4分析：根据互斥事件的概念即不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；以及对立事件的概念即如果两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.解：由互斥事件和对立事件的概念可知，①事件A与事件B不可能同时发生，因此，事件A与事件B是互斥事件，但由于事件A与事件B不满足必定有一个发生的条件，所以事件A与事件B不是对立事件，因而是假命题；②由于对立事件的前提是两个事件是互斥事件，因此，两个事件是对立事件必定是互斥事件，所以，是真命题；③互斥事件要成为对立事件必须还要满足两个事件中必有一个发生，所以，互斥事件不一定是对立事件，所以是假命题；④两个事件是对立事件则这两个事件中必有一个发生，因此，“若事件A 与B 为对立事件，则事件A ＋B 为必然事件”是真命题.综上所述，本题应该选择B.点评：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不能同时发生之外，还要求满足这两个事件必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.此外，还需注意对关键词语“至多”“至少”等的深入理解.例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对分析：根据互斥事件与对立事件的概念及其相互关系来判断.解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C.点评：本题易错选A ，本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在：①两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；②互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；③两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生.例3 用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为2的样本.试问：(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a 在第一次未被抽到，而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率是多少？分析：首先判断所求事件之间的关系，是否为互斥事件，如果是，则运用互斥事件概率的求解方法来解.解：(1)总体中的某一个个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是P=81； (2)个体a 在第一次未被抽到，而第二次被抽到的概率是P=817817=⨯⨯； (3)由于个体a 在第一次被抽到与第二次被抽到是互斥事件，所以，在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率是P=418181=+. 点评：当直接求某一个事件的概率较为繁杂时，可以考虑所求的事件是否可以看作几个互斥事件有一个发生的问题，如果可以，则可以运用公式P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）来求解.例4 某射手射击一次，(1)若事件A“射手射击一次，中靶”的概率为0.95，则事件A 的概率是多少？(2)若事件B“射手射击一次，中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C“射手射击一次，中靶环数小于6”的概率是多少？事件D“射手射击一次，中靶环数大于0而小于6”的概率是多少？分析：根据题意可以运用对立事件的概率之和等于1的关系来求解.解：(1)因为P(A)=0.95，所以P(A )=1－P(A)=1－0.95=0.05；(2)事件B 与事件C 是对立事件，又因为P(B)=0.7，所以P(C)=P(B)=1－0.7=0.3；P(D)=P(C)－P(A )=0.3－0.05=0.25.点评：如果某事件A 发生包含的情况比较多，而它的对立事件即事件A 不发生所包含的情形较少，这时可以利用公式P(A)=1－P(A )来计算事件A 的概率比较简便.对于(2)中，事件C 的发生可以看作事件D 和事件A 有一个发生的情形，而事件D 和事件A 是互斥事件，所以P(C)=P(D)+P(A )，即P(D)=P(C)－P(A )，从这里可以看出，不仅要会直接运用公式，也要会运用公式的变形形式.知能训练1.从存放号码分别为1，2，3…10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡则取到号码为奇数的概率是（ ）A.0.53B.0.5C.0.47D.0.372.如果事件A 、B 互斥，那么（ ）A. A+B 是必然事件B. A +B 是必然事件C. A 与B 一定互斥D. A 与B 一定不互斥3.1人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）A.至多有一次中靶B.2次都中靶C.2次都不中靶D.只有一次中靶4.战士小王在一次射击中命中9环的概率是0.27，命中8环的概率是0.21，命中7环的概率是0.24，不够7环的概率是0.19，试求：（1）该战士在一次射击中命中7环或8环的概率；（2）该战士在一次射击中命中10环的概率；（3）该战士在一次射击中命中8环或8环以上的概率.5.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也为125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？6.甲、乙两个人下棋，和棋的概率为21，乙获胜的概率为31，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率.解答：1.A2.B3.C4.（1）射中7环或8环的概率为0.21+0.24=0.45；（2）射中10环的概率为1-0.27-0.21-0.24-0.19=0.09；（3）8环或8环以上的概率为0.21+0.27+0.09=0.57.5.设“取红球”为事件A ，“取黑球”为事件B ，“取黄球”为事件C ，“取绿球”为事件D ，则由题意知：6.(1)甲获胜的概率为1－21－31=61；(2)甲不输的概率为1－31=32. 课堂小结这节课我们继续学习了互斥事件以及对立事件的概念及概率的计算.在运用公式时，我们一定要先判断是否符合互斥事件以及对立事件的概念，然后再根据判断的结果进行解答.特别是互斥事件有一个发生的概率公式，对立事件的概率的和为1，这些公式的运用必须先要考查是否具备各事件彼此互斥和两个事件是对立事件的前提条件.在求较为复杂的事件的概率时，通常有以下两种方法：第一种方法是直接求解法，可以将所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和，分解后的每一个事件的概率的计算可以通过等可能事件的概率来解，其关键是确定事件是否互斥.第二种方法是间接求解法，先求出所求事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1－P(A )来计算，也就是运用逆向思维的思想方法.另外注意文字叙述的含义，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”等类型的概率时都采用间接求解的方法.作业课本习题3.4 7、8.设计感想在求解随机事件的概率时，可以根据题目的条件，先判断所求事件的概率类型，然后根据相应的概率类型，采用相应的概率计算公式来求解.在运用概率公式求解互斥事件有一个发生的概率以及对立事件的概率时，首先要考查是否具备各事件彼此互斥和两事件对立的前提条件，因此，要搞清楚互斥事件和对立事件的区别和联系，互斥事件是指两事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生.在求较为复杂的事件的概率时，通常采取两种方法：一是将所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一个发生的问题，二是先求所求事件的对立事件的概率.习题详解习题3.41.(1)记A={摸出红球}，B={摸出黄球}，C={摸出蓝球}，D={摸出红球或黄球}，因为事件A 与B 互斥，运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.45+0.33=0.78.（2）因为事件C 与D 对立，运用对立事件概率公式得P(C)=1-P(D)=1-0.78=0.22. 答：（1）摸出红球或黄球的概率为0.78；（2）摸出蓝球的概率为0.22.2.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.4-0.2=0.4.3.运用互斥事件及对立事件概率公式得P （至多2人排队等候）=0.1+0.16+0.3=0.56，P （至少3人排队等候）=1-0.56=0.44.4.分别记“这台彩电是一等品”“这台彩电是二等品”“这台彩电是次品”为事件A 、B 、C ，则事件A 、B 、C 两两互斥.（1）记D={这台彩电是正品}，运用互斥事件概率加法公式得P(D)=P(A)+P(B)=0.9+0.08=0.98；（2）记E={这台彩电不是一等品}，则事件E 与A 对立，运用对立事件概率公式得 P(E)=1-P(D)=1-0.9=0.1.答：这台彩电是正品的概率为0.98；这台彩电不是一等品的概率为0.1.5.（1）记A={投中红色扇形区域}，B={投中蓝色扇形区域}.根据几何概型的概率公式可得P(A)=6136060=，P(B)= 6136060=. （2）记C={投中红色或蓝色扇形区域}.因为事件A 与B 互斥，运用互斥事件概率加法公式得，P(C)=P(A)+P(B)=316161=+. （3）记D={投中白色扇形区域}.因为事件D 与C 对立，运用对立事件概率公式得 P(D)=1－P(C)=1－3231=. 答：分别投中红色、蓝色扇形区域的概率均为61，投中红色或蓝色扇形区域的概率为31，投中白色扇形区域的概率为32. 6.运用互斥事件及对立事件概率公式得所求事件的概率为1-0.54-0.22-0.12=0.12.7.(1)12张牌中抽出2张的方法为66种，其中两张都是A 的方法有6种，故所求概率为111666=；（2）余下10张，抽取2张的方法为45种，其中两张都是A 的方法有6种，故所求概率为152456=. 8.（1）得一等奖的概率=7101；（2）如果一等奖号码为1234567，则二等奖号码可以为X234567（X 不等于1）及123456X （X 不等于7）共有18种可能，三等奖的号码为XY34567（Y 不等于2）或X23456Y （X 不等于1且Y 不等于7）或12345XY （X 不等于6）共有90+81+90=261种可能，故得三等奖及以上奖的概率为67102810261181=++.。

2.3 互斥事件1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．3．互斥事件的概率加法公式一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．二、对立事件及其概率的求法公式1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A)．思考：(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？[提示](1)因为1为奇数，所以A⊆B.(2)①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B 的关系是()A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．不互斥、不对立C[必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立．]2．从一批产品中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论哪个是正确的() A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥C[由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．]3．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是()A．①B．②④C．③D．①③C[从1～9中任取两个数，有以下三种情况．(1)两个均为奇数，(2)两个均为偶数，(3)一个奇数和一个偶数，故③为对立事件．]4．从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________．0．2[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A＋C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]互斥事件与对立事件的判断每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生．[解]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果：两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件但不是对立事件；(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生．若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．[跟进训练]1．(1)抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是()A．A与B B．B与CC．A与D D．B与D(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的序号为________．①A与B是互斥而非对立事件；②A与B是对立事件；③B与C是互斥而非对立事件；④B与C是对立事件．(3)从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有一个红球；③至少有1个白球，都是红球．[解](1)C(2)④[(1)A与D互斥，但不对立．(2)一个均匀正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，所得到的基本事件有6种：得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点、得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点．事件A包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为3点、得到的点数为5点，事件B包含的结果有得到的点数为1点、得到的点数为2点、得到的点数为3点，事件C包含的结果有得到的点数为4点、得到的点数为5点、得到的点数为6点，所以B与C是对立事件．故填④.](3)解：①不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．②不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．③是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．互斥事件的概率 得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512. (1)求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率；(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率．[思路探究] 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．[解] (1)从袋中任取一球，记事件A 为“得到红球”，B 为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D 为“得到绿球”，则事件A ，B ，C ，D 两两互斥．由已知P (A )＝13， P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512， P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝512， ∴P (B ＋C ＋D )＝1－P (A )＝1－13＝23. ∵B 与C ＋D ，B ＋C 与D 也互斥，∴P (B )＝P (B ＋C ＋D )－P (C ＋D )＝23－512＝14， P (D )＝P (B ＋C ＋D )－P (B ＋C )＝23－512＝14， P (C )＝1－P (A ＋B ＋D )＝1－(P (A )＋P (B )＋P (D ))＝1－⎝⎛⎭⎫13＋14＋14 ＝1－56＝16. 故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14. (2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球，∴得到的球是红球或黄球，即事件A ＋C ，∴P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝13＋16＝12， 故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为12. 1．解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式求解．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也用上述规律．[跟进训练]2．(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为( )A ．0.42B ．0.38C ．0.2D ．0.8(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．[解] (1)C [记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 为互斥事件，且A ＋B ＋C 为必然事件，由题意知P (A )＋P (B )＝0.58，P (A )＋P (C )＝0.62，P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，解得P (A )＝0.2.](2)设A ，B ，C 分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A ，B ，C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6.对立事件的概率与求法 1．若令A ＝“小明考试及格”，A ＝“小明考试不及格”，则事件A 与事件A 能不能同时发生，或者都不发生？为什么？提示：不可能同时发生，由于事件A 与A 是互斥事件，所以不可能同时发生，事件A 与A 也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者必居其一，故A 与A 必有一个发生．2．将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数．设U ＝“出现点数的全体”，A ＝“出现的点数是偶数”，B ＝“出现的点数是奇数”，则A ，U 是互斥事件吗？A ，B 是互斥事件吗？B ，U 是互斥事件吗？”提示：A ，U 不是互斥事件，A ，B 是互斥事件，B ，U 不是互斥事件．【例3】 一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[思路探究] 先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决．[解] 法一：利用等可能事件求概率．(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，任取1球有12种取法．所以任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34. (2)从12个球中任取一球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法．从而得红球或黑球或白球的概率为P 2＝5＋4＋212＝1112. 法二：利用互斥事件求概率．记事件A 1＝{任取1球为红球}；A 2＝{任取1球为黑球}；A 3＝{任取1球为白球}；A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法三利用对立事件求概率的方法．(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4.所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝912＝34.(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”.它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.[跟进训练]3．据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表：(2)求至少2人排队等候的概率．[解]记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥．(1)至多2人排队等候的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)至少2人排队等候的反面是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.16＝0.26，故至少2人排队等候的概率为1－0.26＝0.74.1．互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立；对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1．思考辨析(1)已知事件A 与事件B ，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．( ) (2)若三个事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )(3)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (4)事件A 与事件B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( )[解析] (1)×，A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定．(3)×，A 与B 不一定对立．(4)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为________．0．05 [“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与抽到“一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.]3．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为________． 1928[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.] 4．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率(60分才及格)．[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件B ，C ，D ，E ，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P (B ＋C ＋D ＋E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.。

高中数学必修三 2．3 互斥事件教学分析教科书通过实例定义了互斥事件、对立事件的概念．教科书通过类比频率的性质，利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质，要注意这里的推导并不是严格的数学证明，仅仅是形式上的一种解释，因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述，没有给出严格的定义，严格的定义，要到大学里的概率统计课程中才能给出．三维目标1．正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类比与归纳的数学思想．2．概率的几个基本性质：(1)必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P (A )≤1；(2)当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )；(3)若事件A 与B 为对立事件，则A ＋B 为必然事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，于是有P (A )＝1－P (B )．3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系，通过数学活动，了解数学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣．重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用．教学难点：事件的关系与运算．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学学，那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？为解决这个问题，我们学习概率的基本性质，教师板书课题．思路2.(1)集合有相等、包含关系，如{1,3}＝{3,1}，{2,4}⊂{2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C 1＝{出现1点}，C 2＝{出现2点}，C 3＝{出现1点或2点}，C 4＝{出现的点数为偶数}，….师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质．思路 3.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛，她们夺取冠军的概率分别是27和15，则该省夺取该次冠军的概率是27＋15，对吗？为什么？为解决这个问题，我们学习概率的基本性质．推进新课新知探究提出问题在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出3现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于3}，D3＝{出现的点数小于5}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}，…….类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算，并定义一些新的事件．1．如果事件C1发生，则一定发生的事件有哪些？反之，成立吗？2．如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？3．如果事件D2与事件H同时发生，就意味着哪个事件发生？4．事件D3与事件F能同时发生吗？5．事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流，教师提示点拨，事件与事件的关系要判断准确，教师及时评价学生的答案．讨论结果：1．如果事件C1发生，则一定发生的事件有D1，E，D3，H，反之，如果事件D，E，D3，H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1.12．如果事件C2发生或C4发生或C6发生，就意味着事件G发生．3．如果事件D2与事件H同时发生，就意味着C5事件发生．4．事件D3与事件F不能同时发生．5．事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．由此我们得到事件A，B的关系和运算如下：(1)如果事件A发生，则事件B一定发生，这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，记为B⊇A(或A⊆B)，不可能事件记为∅，任何事件都包含不可能事件．(2)如果事件A发生，则事件B一定发生，反之也成立(若B⊇A同时B⊆A)，我们说这两个事件相等，即A＝B.如C1＝D1.(3)如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件)，记为A∪B或A＋B.(4)如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件)，记为A∩B或AB.(5)如果A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，那么称事件A与事件B互斥，即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．(6)如果A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．继续依次提出以下问题：1．概率的取值范围是多少？2．必然事件的概率是多少？3．不可能事件的概率是多少？4．互斥事件的概率应怎样计算？5．对立事件的概率应怎样计算？活动：学生根据试验的结果，结合自己对各种事件的理解，教师引导学生，根据概率的意义：1．由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以，频率在0～1之间，因而概率的取值范围也在0～1之间．2．必然事件是在试验中一定要发生的事件，所以频率为1，因而概率是1.3．不可能事件是在试验中一定不发生的事件，所以频率为0，因而概率是0.4．当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和．5．事件A与事件B互为对立事件，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则A∪B的频率为1，因而概率是1，由4可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差．讨论结果：1．概率的取值范围是0～1之间，即0≤P(A)≤1.2．必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中，E＝{出现的点数小于7}，因此P(E)＝1.3．不可能事件的概率是0，如在掷骰子试验中，F＝{出现的点数大于6}，因此P(F)＝0.4．当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式，也称互斥事件的概率加法公式．5．事件A与事件B互为对立事件，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.所以1＝P(A)＋P(B)，P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．如在掷骰子试验中，事件G＝{出现的点数为偶数}与H＝{出现的点数为奇数}互为对立事件，因此P(G)＝1－P(H)．上述这些都是概率的性质，利用这些性质可以简化概率的计算，下面我们看它们的应用．应用示例思路1例1 在课本§2古典概型的例1中，随机地从2个箱子中各取1个质量盘，下面的事件A和事件B是否是互斥事件？(1)事件A为“总质量为20 kg”，事件B为“总质量为30 kg”；(2)事件A为“总质量为7.5 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”；(3)事件A为“总质量不超过10 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”；(4)事件A为“总质量为20 kg”，事件B为“总质量超过10 kg”．解：在(1)(2)(3)中，事件A与事件B不能同时发生，因此事件A与事件B 是互斥事件．对于(4)中的事件A和事件B，随机地从2个箱子中各取1个质量盘，当总质量为20 kg时，事件A与事件B同时发生，因此，事件A与事件B不是互斥事件．点评：判断互斥事件和对立事件，要紧扣定义，搞清互斥事件和对立事件的关系，两个事件互斥是这两个事件对立的必要条件.变式训练1．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9,10环．活动：教师指导学生，要判断所给事件是对立事件还是互斥事件，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必然发生．解：A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生)．2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品．解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，知(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件．同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件；(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件；(4)中的2个事件既是互斥事件又是对立事件.例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A为“抽到的是一等品”，事件B为“抽到的是二等品”，事件C为“抽到的是三等品”，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D为“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E为“抽到的是二等品或三等品”．解：(1)事件D即事件A＋C，因为事件A为“抽到的是一等品”和事件C为“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B为“抽到的是二等品”和事件C为“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.点评：容易看出，事件D＋E表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”．事件D和事件E不是互斥事件，因此不满足互斥事件的概率加法公式．事实上，P(D＋E)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.85，而P(D)＋P(E)＝[P(A)＋P(C)]＋[P(B)＋P(C)]＝0.9，“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次，因此，事件D＋E的概率P(D＋E)不等于P(D)＋P(E)．例3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调少？解：用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A＋B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”，由互斥事件的概率加法公式，得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝37100＋36100＝73100＝0.73.因此随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.点评：若事件C为“对这次调整表示赞成”，则其对立事件C为“对这次调整表示反对或不发表看法”，因此，随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率还可以按如下方法计算：P(C)＝1－P(C)＝1－27100＝73100＝0.73.变式训练1．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图1所示．随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？图1解：(1)从图1中可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则A就表示“选取的成员至少参加2个小组”，于是，P(A)＝1－P(A)＝1－6＋8＋1060＝35＝0.6.因此，随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则B就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，于是，P(B)＝1－P(B)＝1－860＝1315≈0.89.所以，随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于0.89.2．小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成．小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？解：用A表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不是密码”，A比较复杂，可考虑它的对立事件，即“输入由2,4,6,8组成的一个四位数，恰是密码”，它只有一种结果．利用树状图可以列出输入由2,4,6,8组成的一个四位数的所有可能结果(如图2)．从图中可以看出，所有可能结果数为24，并且每一种结果出现的可能性是相同的，这是一个古典概型．P (A )＝124，因此，图2P (A )＝1－P (A )＝2324≈0.958， 即小明随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率约为0.958.思路2例1 抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P (A )＝12，P (B )＝12，求出“出现奇数点或偶数点”的概率． 活动：学生思考或讨论，教师引导，抛掷骰子，事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是互斥的，可以运用概率的加法公式求解．解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C ，则C ＝A ∪B ，因为A ，B 是互斥事件，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1.出现奇数点或偶数点的概率为1. 变式训练抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求事件“出现奇数点或2点”的概率． 解：“出现奇数点”是事件A ，“出现2点”是事件B ，A 和B 是互斥事件，“出现奇数点或2点”的概率为P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 例2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 活动：学生阅读题目，交流讨论，教师点拨，利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A ，B ，C ，D ，则有P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝1－13＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14，即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.变式训练已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？答案：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735.知能训练1．下列说法中正确的是( )．A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案：D2．课本练习1～4.拓展提升1．要从男女学生共有36名的班级中选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于12，求男女生相差几名？解：设男生有x名，则女生有36－x名．选得2名委员都是男性的概率为x x－36×35，选得2名委员都是女性的概率为－x－x36×35.以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于1 2，得x x－36×35＋－x－x36×35＝12.解得x＝15或x＝21，即男生有15名，女生有36－15＝21名，或男生有21名，女生有36－21＝15名．总之男女生相差6名．都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36，即任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.注：第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(B′＋D′)＝1－P(B′＋D′)＝1－0.64＝0.36.课堂小结1．概率的基本性质是学习概率的基础．不可能事件一定不出现，因此其概率为0，必然事件一定发生，因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时，A∪B 发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和，从而有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生．2．在利用概率的性质时，一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：(1)事件A发生且事件B不发生；(2)事件A不发生且事件B发生；(3)事件A与事件B同时不发生．而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形：(1)事件A发生B不发生；(2)事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．作业习题3—2 A组 3.设计感想本节课通过掷骰子试验，定义了许多事件，并根据集合的运算定义了事件的运算，给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式，在运用时要切实注意它们的使用条件，不可模棱两可，搞清互斥事件和对立事件的关系，思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练，对刚学的知识是一个巩固和加强，同学们要反复训练，安排的题目既有层次性，又有趣味性，适合不同基础的学生，因此本节课授完后，同学们肯定受益匪浅．备课资料备选习题1．一口袋内装有大小一样的4个白球与4个黑球，从中一次任意摸出2个球．记摸出2个白球为事件A ，摸出1个白球和1个黑球为事件B .问事件A 和B 是否为互斥事件？是否为对立事件？解：事件A 和B 互斥，因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件A 和B 不是对立事件．2．在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取一个球，求：(1)得到红球的概率；(2)得到绿球的概率；(3)得到红球或绿球的概率；(4)得到黄球的概率；(5)记“得到红球”和“得到绿球”这两个事件为A ，B ，则A ，B 之间有什么关系？可以同时发生吗？(6)事件D “得到红球或绿球”与事件A ，B 有何联系？答案：(1)710；(2)15；(3)910；(4)110；(5)互斥事件，不可以；(6)P (D )＝P (A )＋P (B )．3．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率．答案：(1)715；(2)115；(3)815；(4)1415. 4．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．(1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为436＝19. (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；或者第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为4×236×2＝49. (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为1－19＝89. 5．若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A ，B 各表示什么？解：A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件．6．回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一个目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25？为什么？(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25＋0.50＝0.75？为什么？(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为122.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1－122＝34，这样做对吗？说明道理．解：(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1.。

互斥的条件包括以下几种：
1. 互斥事件：两个事件不能同时发生，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

2. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件必然是互斥事件。

3. 如果事件A与B为互斥事件，那么其中任何一个事件的发生都会阻止另一个事件的发生。

4. 如果事件A与B为互斥事件，那么它们不会同时发生，但其中有一个发生必然导致另一个不发生。

5. 互斥事件的概率加法公式：如果A与B为互斥事件，那么P(A+B)=P(A)+P(B)，即两个互斥事件概率的和等于它们概率的直接相加。

6. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是互斥的。

7. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

8. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

9. 如果两个事件A和B不能同时发生，并且A发生时B一定不发生，则称事件A和B是相互排斥的。

10. 互斥条件：一个资源每次只能被一个进程使用，即在一段时间内某资源仅为一个进程所占有。

此时若有其他进程请求该资源，则请求者只能等待，直至占有资源的进程用毕释放。

11. 请求和保持条件：进程已经保持至少一个资源，但又提出了新的资源请求，而该资源已被其它进程占有，此时请求进程阻塞，但又对自己已获得的其它资源保持不放。

12. 不剥夺条件：进程已获得的资源在未使用完之前，不能被剥夺，只能在使用完时由自己释放。

13. 循环等待条件：若干进程间形成首尾相接循环等待资源的关系。

以上是互斥的条件，供您参考。

如何理解“互斥问题”互斥事件是对两个事件而言的。

若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发生时，事件A就不发生(也就是说，事件A、B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。

基于此，两个可同时发生或同时不发生的事件则不能称作互斥事件。

“互斥”与“相互独立”的有什么区别？“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。

两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。

若A、B互斥，且，，则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即，所以A、B不是互相独立。

教你一招应用公式解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提：这n个事件是相互独立的."互斥"与"等可能"的区别是什么？"互斥事件"和"等可能事件"是迥然不同的两个概念。

在一次试验中，由于某种对称性条件使得若干个随机事件中每一事件发生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能事件。

在数目上它可为2个或多个。

而互斥事件仅指不可能同时发生的两个事件。

例如：掷一个均匀骰子，"出现1或2"与"出现2或3"这两个事件是等可能的，但它们不是互斥事件。

"互斥"和"对立"的关系如何？"互斥事件"和"对立事件"都是就两个事件而言的。

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。

因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,"互斥"是"对立"的必要但不充分的条件。

例如："出现1点"和"出现2点"是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。

新课标必修3概率部分知识点总结◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )❖ 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nm A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值♦ 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和⌧ 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()nm A P = ⍓ 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其部的一个区域d ”为事件A ，则事件A 发生的概率为()的侧度的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 随机地取点，指的是该点落在区域D 任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

教学目标：1．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；2．了解两个互斥事件概率的加法公式；3．了解对立事件概率之和为1的结论；4．会用相关公式进行简单概率计算．教学重点：用相关公式进行简单概率计算；教学难点：含“至多，至少”等量词的简单概率计算．教学方法：谈话、启发式．教学过程：二、学生活动互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．对立事件：必有一个发生的互斥事件互称对立事件．对立事件必互斥,互斥事件不一定对立．三、建构数学1．概率的计算：一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A n) ＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)对立事件的概率的和等于1 ，即P(A)＋P(A)＝1在求某些复杂事件（如“至多、至少”）的概率时，通常有两种方法：（1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；（2）求此事件的对立事件的概率．四、数学运用1．例题．例1 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率．解：记“射击1次，命中k环”为事件Ak（k∈N，且k≤10），则事件Ak 两两互斥．（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A，则当A10，A9，A8或A7之一发生时，事件A发生．故P(A)=P(A+ A9+ A8+A7)=10P(A)+P(A9)+P(A8)+P(A7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.910（2）事件“射击1次，命中不足7环”为事件A的对立事件，即A表示事件“射击1次，命中不足7环”．故P(A)＝1－P(A)＝1－0.9＝0.1．答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9，命中不足0.7环的概率为0．1．例2 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何血型的人可以输给AB血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？分析：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率．2．练习．练习1 一只口袋有大小一样的5只球，其中3只红球，2只黄球，从中摸出2只球，求两只颜色不同的概率．解：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10．记：“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A，“从5只球中任意取2只红球”为事件B，“从5只球中任意取2只黄球”为事件C，则A＝B＋C．，53106)(==A P ，103)(=B P Θ，101)(=C P，52101103)()(=+=+=∴C B P A P 则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率为：()()123155P A P A ==-=－ 答：从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为53．练习2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率； （3）3只颜色不全相同的概率．解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33,（1）3只全是红球的概率为271； （2）3只颜色全相同的概率为 91273= ；（3）“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”． 故“3只颜色不全相同”的概率为 98911=-． 思考：“3只颜色全不相同”概率是多少？若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？ 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：2．在求某些复杂事件（如“至多、至少” ）的概率时，通常有两种方法：（1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；（2）求此事件的对立事件的概率．。

互斥对立事件知识点（1）A B +：事件,A B 至少有一个发生，A 或B 发生.（2）A B ⋅：事件,A B 同时发生.（3）互斥事件：()()()P A B P A P B +=+.（4）对立事件：()()1P A P A +=.与集合的相互联系.例1.投掷一个骰子A ：向上点数为奇数.例2.（1）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1个白球；都是白球B ．至少有1个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；恰有2个白球D ．至少有一个白球；都是红球（2）如果事件A 、B 互斥，那么 （ ）A ．A +B 是必然事件 B ．B A +是必然事件C ．A 与B 一定互斥D ．A 与B 一定不互斥 （3）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）A ．5216B ．25216C ．31216D ．91216（4）某家庭在家中有人时，电话响第1声时被接到的概率为0.1，响第2声被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内没有被接到的概率为- ．（5）甲、乙两人进行击剑比赛，甲获用的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率 ；甲不获胜的概率为 。

例3. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。

第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个。

设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：（1）P （A ），P （B ），P （C ）；（2）1张奖券的中奖概率；（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率。

例4. 在1，2，3，4，5条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着1，3，4路车的到来。

假如汽车经过该站的次数平均来说2，3，4，5路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和。

教学目标：1．了解互斥事件、对立事件的概念，2．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式．教学方法： 谈话、启发式．教学过程：一、问题情境体育考试的成绩分为4个等级;优、良、中、不及格．某班50名学生参加了体育考试，结果如下： 优85分以上9人良75～8415人中60～7421人不及格60分以下5人问题1：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？问题2：从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的测试成绩为“优”的概率，为“良”的概率，为“优良”（优或良）的概率分别是多少？二、学生活动优的概率为509，良的概率为5015． 优良的概率为5024，是优和良的概率之和． 三、建构数学体育考试成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为A ，B ，C ，D ．1．不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．“优良”可以表示为A ＋B ．3．事件A ，B ，C ，D 其中任意两个都是互斥的．推广：一般地，如果事件A 1，A 2，…，An 中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A 1，A 2，…，An 彼此互斥．若事件A ，B 至少有一个发生，我们把这个事件记作事件A ＋B ．四、探索新知问题3：如果将“测试成绩合格”记为事件E，“不合格”记为D那么E与D能否同时发生？他们之间还存在怎样的关系？两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A．对立事件与互斥事件有何异同？1．对立事件是相对于两个互斥事件来说的；2．我们可用如图所示的两个图形来区分：A，B为互斥事件A，B为对立事件3．结合集合知识，进一步认识互斥事件与对立事件：表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集，但是两个对立事件集合的并集是全集，而两个互斥事件集合的并集不一定是全集．五、数学运用1．例题．例1 一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球．记摸出2只白球的事件为A，摸出1只白球和1只黑球的事件为B．问：事件A与事件B是否为互斥事件？是否为对立事件？结论：3．如果事件A，B是互斥事件，那么事件A＋B发生（即A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和．即：P（A＋B）＝P（A）＋P（B）4．一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A n) = P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n) ．例2 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.120.180.280.32（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击一次，命中不足7环的概率．注：像例2这样，在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种①将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；②在直接计算某一事件的概率较复杂时，可转而求其对立事件的概率．2．练习．（1）作业：课后练习1，2．（2）对飞机连续射击两次．每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中}，B＝{每次都没击中}，C＝{恰有一次击中}，D＝{至少有一次击中}，其中彼此互斥的事件是_____________________________ ；互为对立事件的是________________．3．某射手在一次训练射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0．21，0．23，0．25，0．28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环、或7环的概率；（2）不够7环的概率．六、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．互斥事件和对立事件的概念；2．如何判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；3．两个互斥事件概率的加法公式．。

3.2.3 互斥事件一、课前自主导学 【教学目标】1、了解互斥事件、对立事件的概念。

2、会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

【重点、难点】互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式. 【温故而知新】阅读教材143138-P ,并填空。

3、互斥事件（1）定义：在一个试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件 （2）规定：事件A+B 发生是指事件A 和B 至少有一个发生. （3）公式：在一次试验中，如果两个事件A 和B 是互斥事件，则有=+)(B A P )()(B P A P +4、如果随机事件n A A A ,...,,21中任意两个是互斥事件，那么有++21(A A P )n A +⋅⋅⋅=++)()(21A P A P )(n A P +⋅⋅⋅5、对立事件（1）定义：在一次试验中，如果两个事件A 与B 不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A 与B 称作对立事件(也称逆事件)，事件A 的对立事件记为A 。

（2）性质：1)()(=+A P A P ，即)(1)(A P A P -=。

3、互斥事件、对立事件的判定方法 利用概念：①互斥事件不能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生。

【预习自测】1.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A ：命中环数大于7环； 事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环； 事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环. 解：互斥事件有：A 与C ，B 与C ，C 与D ；对立事件有：C 与D2、下列说法中正确的是 （ C ）A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，若产品中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为 （ B ） A.0.04 B.0.96 C.0.97 D.0.996、掷一粒均匀的骰子，用A 表示“向上的点数至少为5”，则（1）A 指什么事件？（2）A 的对立事件指什么？解：（1）A 指向上的点数小于5，即向上的点数为1，2，3或4 （2）A 的对立事件：向上的点数至少为5，即事件A 【我的疑惑】二、课堂互动探究例1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛。