高中数学 3.2.2函数模型的应用实例课时跟踪检测 新人

学习资料3.2。

2 函数模型的应用实例学习目标核心素养1.会利用已知函数模型解决实际问题．（重点) 2．能建立函数模型解决实际问题．(重点、难点）3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提升学生数学建模、数据分析的素养.1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k,b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c（a,b，c为常数，a≠0）(3)指数函数模型y＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0,a>0且a≠1）（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数,m≠0,a〉0且a≠1)(5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)(6)分段函数模型y＝错误!思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；（四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(）x 45678910y 15171921232527C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A。

］2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x(年）的关系为y＝a log2（x＋1）,若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到（）A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1）得，100＝a log2（1＋1），解得a＝100。

所以x ＝7时，y＝100log2(7＋1）＝300.］3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0。

8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0。

函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。

经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。

二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。

5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。

2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。

三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。

分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。

学习资料函数模型的应用举例［A组学业达标]1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（)A．分段函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：由图可知,该图象所对应的函数模型是分段函数模型．答案：A2．若镭经过100年后剩留原来质量的95。

76％,设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x,y的函数关系是（）答案：A3．用长度为24 m的材料围成一个矩形家禽养殖场,中间加两道隔墙，要使矩形面积最大,隔墙长度应为(）A．3 B．4C．5 D．6解析：设隔墙长度为x m，则矩形的一边长为x m，另一边长为错误!m,∴S＝x·错误!＝－2x2＋12x＝－2(x－3）2＋18（0〈x〈6)∴当x＝3时,S取最大值．故选A。

答案:A4．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋错误!x2，Q＝a＋错误!，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元,则有()A．a＝45，b＝－30 B．a＝30,b＝－45C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则y＝xQ－P＝x错误!－错误!＝错误!x2＋(a－5)x－1 000，其中x∈（0,＋∞）．由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40。

∴错误!整理得错误!解得a＝45,b＝－30。

答案：A5．生产某机器的总成本y(万元）与产量x(台）之间的函数关系式是y＝x2－75x,若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为__________台．解析:设安排生产x台，则获得利润f(x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50）2＋2 500.故当x＝50台时，获利润最大．答案：506．把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形，则这两个三角形面积之和的最小值为__________．解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm,两个三角形的面积和为S＝错误!x2＋错误!（4－x）2＝错误!［(x－2)2＋4]≥2错误!cm2。

课时跟踪检测（二十二） 函数模型的应用实例1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：A ．20元B ．18元C ．16元D ．14元解析：选C 每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．2．若等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2x (x ≤10) B ．y ＝20－2x (x ＜10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)解析：选D 由题意，得2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x .∵y ＞0，∴20－2x ＞0，∴x ＜10.又∵三角形两边之和大于第三边，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞y ，y ＝20－2x ，解得x ＞5，∴5＜x ＜10，故选D.3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10＜x ＜100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130解析：选C 若4x ＝60，则x ＝15＞10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40＜100，不合题意．故拟录用25人．4．某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只解析：选A 由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本(单位：万元)为C (x )＝12x 2＋2x ＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．22万件C ．18万件D ．9万件解析：选C ∵利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，∴当x ＝18时，L (x )取最大值．6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．解析：由题意可知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n ·(n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：77．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式是______________．解析：设新价为b ，则售价为b (1－20%)．∵原价为a ，∴进价为a (1－25%)．依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)×25%，化简得b ＝54a ，∴y ＝b ×20%·x ＝54a ×20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)． 答案：y ＝a4x (x ∈N *)8．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．解析：设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫400＋4－x 0.5×40＝80(x －3)(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最大值．答案：69．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：(1)(2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ 解：(1)根据题意，课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝75，37k ＋b ＝70.2，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.6，b ＝11，所以y 与x 的函数解析式是y ＝1.6x ＋11.(2)把x ＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y ＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的．10．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)租金增加了900元，900÷60＝15， 所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x 辆未租出，则已租出(100－x )辆． 租赁公司的月收益为y 元，y ＝(3 000＋60x )(100－x )－160(100－x )－40x ，其中x ∈[0,100]，x ∈N ，整理，得y ＝－60x 2＋3 120x ＋284 000 ＝－60(x －26)2＋324 560， 当x ＝26时，y ＝324 560， 即最大月收益为324 560元．此时，月租金为3 000＋60×26＝4 560(元)．层级二 应试能力达标1．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )A ．1.00元B ．0.90元C ．1.20元D ．0.80元解析：选B y ＝0.2＋0.1×([x ]－3)，([x ]是大于x 的最小整数，x ＞0)，令x ＝55060，故[x ]＝10，则y ＝0.9.故选B.2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A ．3 100元B ．3 000元C ．2 900元D ．2 800元解析：选B 设函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 函数图象过点(1,8 000)，(2,13 000)，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝8 000，2k ＋b ＝13 000，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝5 000，b ＝3 000，∴y ＝5 000x ＋3 000，当x ＝0时，y ＝3 000，∴营销人员没有销售量时的收入是3 000元．3．用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 解析：选A 设隔墙长度为x ，如图所示，x 则与隔墙垂直的边长为24－4x2＝12－2x ，∴矩形面积S ＝x ·(12－2x )＝－2x 2＋12x,0＜x ＜6，∴当x ＝3时，S max ＝18. 4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e－kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：选C 由已知，得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150.设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e -1kt ， ∴827＝(e －k ) t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 150t ， ∴t 150＝32，t 1＝75.5．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元； (2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为________． 解析：(1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案：(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：当v ＝12 000时，2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m＝e 6－1. 答案：e 6－17．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.已知到今年为止，森林面积为22a .(1)求p %的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a 2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年森林面积变为22a ，则a (1－p %)m＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1210m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 12，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．8．某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：(1)*)； (2)销售量g (x )与时间x 的函数关系式为g (x )＝－13x ＋1093(1≤x ≤100，x ∈N *)，则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？解：(1)当0＜x ≤40时，设f (x )＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝23，32k ＋b ＝30⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，b ＝22，∴f (x )＝14x ＋22(0＜x ≤40，x ∈N *)．同理可得f (x )＝－12x ＋52(40＜x ≤100，x ∈N *)，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋22，0＜x ≤40，－12x ＋52，40＜x ≤100其中x ∈N *.(2)设日销售额为S (x )千元，则当0＜x ≤40，x ∈N *时，S (x )＝f (x )g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋22⎝⎛⎭⎪⎫－13x ＋1093 ＝－112(x ＋88)(x －109)．其图象的对称轴为x ＝109－882＝10.5，∴当x ＝10,11时，S (x )取最大值，S (x )max ＝808.5.当40＜x ≤100，x ∈N *时，S (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ＋1093 ＝16(x －104)(x －109)．其图象的对称轴为x ＝104＋1092＝106.5，∴当40＜x ≤100，x ∈N *时，S (x )＜S (40)＝736＜808.5.综上可得，该产品投放市场第10天和第11天的销售额最高，最高销售额为808.5千元．。

2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例优化练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例优化练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2 函数模型的应用实例优化练习新人教A版必修1的全部内容。

3。

2。

2 函数模型的应用实例［课时作业]［A组基础巩固]1．据调查，某地铁的自行车处在某星期日的库存车量为4 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0。

3元，普通车存车费是每辆一次0。

2元，若普通车数x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）A．y＝0.1x＋800（0≤x≤4 000）B．y＝0。

1x＋1 200(0≤x≤4 000）C．y＝－0。

1x＋800(0≤x≤4 000）D．y＝－0.1x＋1 200（0≤x≤4 000)解析：根据题意总收入分为两部分：普通车存车费为0.2x元，变速车费用（4 000－x)×0.3元．∴y＝0.2x＋1 200－0。

3x＝－0.1x＋1 200，故选D.答案：D2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x（副）的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A．200副B．400副C．600副D．800副解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800,即日产手套至少800副时才不亏本．答案：D3。

3.2.2 函数模型的应用实例课前预习【温馨寄语】面对不可能，除了茫然，还有努力突破 【学习目标】1．掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等函数的图像和性质，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用。

2．会通过对给出数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性。

3．了解函数拟合的基本思想。

会通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，学会建立拟合函数模型解决实际问题。

4．体会数学的应用价值，提高探究学习新知识的兴趣，培养勇于探索的科学态度和分析、解决问题的能力。

【学习重难点】能够建立确定性函数模型或拟合函数模型解决实际问题 【自主学习】函数模型函数解析式（1）正比例函数模型 （2）反比例函数模型 （3）一次函数模型 （4）二次函数模型 （5）指数函数模型 （6）对数函数模型 （7）幂函数模型 （8）分段函数模型2．思考：利用给定函数模型或建立确定函数模型解决实际问题的一般方法步骤是什么？3. 思考：求解近似函数模型的一般方法步骤是什么？ 4．阅读教材103页例4，结合教材110页，探究以下问题英国物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。

如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过时间t 后物体的温度θ将满足010()kte θθθθ-=+-⋅，其中k为正的常数。

请设计一个方案，对牛顿的冷却模型进行验证。

设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫课堂探究一、利用给定的函数模型解决实际问题例1、若有一同学在探究上述牛顿冷却模型中，做了如下实验：取一个普通的玻璃杯装满开水，测得其初始温度1=100Cθ，环境温度0=30Cθ，每隔2分钟测量其温度，记录处理数据后得到如下表格的值20C，一杯100C的开水降到40C需要多少时间？）假设冰箱冷冻室温度为-20C，应该在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？1.09。

高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1生多阅读，多思考，由易到难逐层引导提问，理解问题的本质从而得出结论。

教学目标：知识与技能能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．情感、态度、价值观体会数学在实际问题中的应用价值．教学重点、难点：重点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．难点利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．设计思想一、创设情境现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 设计意图 教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题． 二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立v（km思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。

3.2.2 函数模型的应用实例1.知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题;(2)通过给出数据进行分析,画出散点图,并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合;(3)增强读图、画图、识图的意识,全面提高阅读理解的能力.2.过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析,抽象出相应的确定性函数的模型;(2)根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.3.情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题.培养学生高尚的品德,使其树立远大的理想,并能利用所学知识为社会服务.重点:根据收集到的数据作出散点图,并通过观察图象判断问题所适用的函数模型,利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式.难点:怎样选择数学模型分析解决实际问题.重难点突破:结合学生的知识水平,在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法:(1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解;(2)列式比较法:若题中所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较;(3)描点观察法:若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型,则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点,作出散点图,然后观察这些点的位置变化情况,确定所需要用的数学模型,问题即可顺利解决.全国大学生建模竞赛简介1.建模竞赛的起源与历史建模竞赛是由美国工业与应用数学学会在1985年发起的一项大学生竞赛活动,目的是促进建模的教学,培养学生应用数学的能力.我国在1992年起开展这项竞赛,现已形成一项全国性的竞赛活动.2.建模竞赛题的类型及出题的指导思想大部分的建模竞赛题都是源于生产实际或者科学研究的过程中,例如去年C题“资金的使用计划”,D题“公交车的调度”.关于“公交车的调度”这道题目,在这儿稍做详细一点的介绍,题目给出我国某座大城市的一条交通线路.它只有上、下行驶方向各14个站,从早上6时开始至晚上12时,每站每小时上的人数的统计资料已绘出;每站之间的距离,公交车行驶速度也绘出.汽车平均可载客100人,最大载承量为120人,要求在人流高峰期乘客候车时间不超过5分钟,客流低峰期候车时间不超过15分钟,客车空载率不低于50%.问:(1)此线路应当配备多少辆车?(2)如何设计发车时间表?这样的问题与传统的数学竞赛一般偏重理论知识不一样,它要考查的内容单一,数据简单明确,不允许用计算器完成.对此而言,建模竞赛题是一个“课题”,它是一个综合性的问题,数据庞大,需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的(数学模型是实际的模拟,是实际问题的近似表达,它的完成是在某种合理的假设下,因此其只能是较优的,不唯一的)呈报的成果是一篇“论文”.由此可见“建模竞赛”偏重于应用,它是以数学知识为主导,计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.3.全国大学生建模竞赛是如何进行的呢?我国著名的大学每年通常参加二次建模竞赛.春节后有一次“全美建模竞赛”,其发起的单位是美国工业与应用数学学会,现在已经发展成一项国际性的竞赛活动,竞赛题在网上获得,论文的书写是全英文的,比赛评奖直接在美国本土进行,第二项比赛就是“全国大学生建模竞赛”了.4.参加建模竞赛通常需要哪些方面的知识呢?第一方面:数学知识的应用能力.按历年比赛的试题来看,虽然涉及的数学知识面十分地宽广,但归结起来大体上有以下几类:(1)概率与数理统计.(2)统筹与线性规划.(3)微分方程及与计算机知识相交叉的知识,计算机模拟.第二方面:计算机的运用能力.第三方面:论文的写作能力.。

3.2.2函数模型的应用实例1.今有一组数据，如下表所示：x 1 2 3 4 5y 3 5 6.99 9.0111则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是( )A.指数函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数2.从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )A.3～4万元B.4～5万元C.5～6万元D.2～3万元3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋(0＜x＜240，)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( ) A.100台 B.120台 C.150台 D.180台4.有一批材料可以围成200 m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地如图，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )A.1 000B.2 000C.2 500D.3 0005.小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g6.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5).现有两个拟合模型，甲：y＝＋1，乙：y＝3x-1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用作为拟合模型较好.7.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A-lg ，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的倍.8.将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为元时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润为元.9.某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；….即一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个.乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为元；如果全部在乙店购买，则所需金额为元.(1)分别求出，与x之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？10.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图3.2-2-12（1）、（2）所示.#甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只.乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数.(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由.(3)哪一年的规模最大？说明理由.参考答案1.C 解析：画出散点图，结合图象(图略)可知各个点的连线接近于一条直线，所以可用一次函数表示.2.A 解析：设存入的本金为x元，则x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34 660.故选A.3.C 解析：设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x-(3 000＋)＝＋5x-3 000,由f(x)≥0，∴x≥150.4. C 解析：设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x m、y m，如图，则4x＋3y＝200，∴y=.由y＞0得x＜50,∴ 0＜x＜50.又矩形场地的面积S＝3xy＝3x·＝x(200-4x)＝＋2 500(0＜x＜50)，∴当x＝25时，＝2 500.5.C 解析：假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm，体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比.记体长为20 cm的蜥蜴的体重为，因此有＝15·≈35.6(g)，合理的答案为35 g.故选C.6.甲解析：作出三个点，比较两个函数图象，或将坐标代入解析式知选甲更好.7.6 10 000 解析：由lg 1 000-lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为，则由lg -lg 0.001＝9解得＝，同理5级地震最大振幅＝，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.8.14 720 解析：设每件售价提高x元，利润为y元，则y＝(2＋x)(200-20x)＝＋720.故当x＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元.9.解：(1)对甲茶具店而言：当茶社购买这种茶壶的个数x满足0≤x≤18，时，每个售价为(80-2x)元；当茶社购买这种茶壶的个数x满足x≥19，时，每个售价为44元，则与x之间的函数关系式为：＝对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为80×75%＝60（元），则与x之间的函数关系式为：＝60x(x≥0，).(2)当0≤x≤18，时，＝＋80x-60x＝＋20x＝-2x(x-10)，所以当0≤x<10,时，；当x＝10时，＝；当10<x≤18,时，.当x≥19,时，＝＝60x.所以，茶社购买这种茶壶的个数小于10时，到乙茶具店购买茶壶花费较少；茶社购买这种茶壶的个数等于10时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多；茶社购买这种茶壶的个数大于10时，到甲茶具店购买茶壶花费较少.10.解：(1)由题图可知，直线＝kx＋b经过(1,1)和(6,2)两点.可求得k＝0.2，b＝0.8.∴＝0.2(x＋4).当x=2时，＝1.2.同理可得当x=2时，＝26.故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只).(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只.(3)设第x年出产甲鱼总数为y万只，则＝＋3.6x＋27.2.当x＝-＝2≈2时，y=-0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只),最大.即第二年规模最大，约为31.2万只.。

江苏省麒麟中学高一数学 3.2.2函数模型的应用实例课堂随练 苏教版必修1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)xy ab c a b c =+其中为常数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1．本例给出两种函数模型，如何根据已知数据确定它们？2．如何对所确定的函数模型进行评价？基础闯关１．按复利计算,若存入银行5万元,年利率2%,3年后支取,则可得利息(单位:万元)( )A. 5(1+0.02)3B. 5(1+0.02)2C. 5(1+0.02)3-5 C. 5(1+0.02)2 -5２．计算机成本不断降低,若每隔4年计算机价格就降低21,现价为6000元的计算机,则6年后的价格为( )A. 2100元B. 2250元C. 2500元D. 2000元３．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·（0．5）x +b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为 万件．４．某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为x ，2000年底该厂这种产品的年产量为y ，那么y 与x 的函数关系式是______．５．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n 年后这批设备的价值为( )A. na(1-b%)B.a(1-nb%)C. a []n b %)(1-D.a(1-b%)n６．在本市投寄平信,每封信不超过20克付邮资0．8元, 超过20克但不超过40克付1．6元,依此类推,每增加20克增加0．8元(信的质量在100克以内),某人所寄一封信72．5克,则应付邮资 元．A ．2．4B ．2．8C ．3D ．3．2拓展训练７．算机成本不断降低，如每隔3年价格降低13，现在价格是8100元的计算机9年后的价格为（ ）A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元８．A 、B 两地相距150公里，某人以60公里时速开车从A 往B ，在B 停留1小时后再以50公里时速返回A ，则汽车离开A 地的距离x 与时间t 的函数关系式为（ ）A.60x t = B ． 15050( 3.5)(3.5 6.5)150(2.5 3.5)60(0 2.5)t t x t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪≤≤⎩。