配套热练-专题练正文

专题一 三角函数和平面向量第1讲 三角函数与平面向量A 组 基础达标1. 若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6 在角α的终边上，则sin α的值为________．2. 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，2sin 2α＝cos 2α＋1，那么sin α＝________.3. (2019·榆林模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4 ＝7210 ，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π ，则sin A ＝________．4. 若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π6 (0<φ<π)是偶函数，则φ＝________．5. 已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 )的部分图象如图所示，那么φ＝________．(第5题)6. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝1213 ，那么cos ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝________． 7. 在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.8. (2019·湖北百校联考)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3 ，且6 sin α＋2 cos α＝3 . (1) 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π12 的值．B 组 能力提升1. 计算：3cos 10° －1sin 170° ＝________．2. (2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ，若函数g (x )＝3 sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ⎝⎛⎭⎫π3 的值是________．3. 已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π2，0 ，且f ⎝⎛⎭⎫π4 ＝12 ，那么ω的最小值为________．4. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5 (ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论：①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10 上单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910 .其中正确的结论是________．(填序号)5. (2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2) 求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12 2 ＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 2的值域．6. (2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π6 )(M >0，ω>0)的大致图象如图所示，其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π.(1) 求M ，ω的值；(2) 若函数g (x )＝f (x )·cos x ，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2 上的最大值和最小值．(第6题)第2讲 解三角形与平面向量A 组 基础达标1. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b sin A ＋a cos B ＝0，则B ＝________．2. 在△ABC 中，若AC ＝3，3sin A ＝2sin B ，且cos C ＝14 ，则AB ＝________．3. (2019·全国卷Ⅱ)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．4. 在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD 平分∠BAC ，若△ABD 的面积是△ADC 的面积的2倍，则sin Bsin C＝________．5. (2019·苏州三市、苏北四市二调)在△ABC 中，已知C ＝120°，sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为23 ，那么AB 的长为________．6. (2019·南京学情调研)已知△ABC 的面积为315 ，且AC －AB ＝2，cos A ＝－14 ，那么BC 的长为________．7. 在△ABC 中，若AC ＝4，BC ＝27 ，∠BAC ＝60°，AD ⊥BC 于点D ，则BDCD的值为________．8. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C .(1) 求cos B 的值；(2) 求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6 值.B 组 能力提升1. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223 ，b cos A ＋a cosB ＝2，则△ABC 外接圆的面积为________．2. 如图，在△ABC 中，若D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2 ，则cos A ＝________．(第2题)3. 在△ABC 中，已知AC ＝2 ，BC ＝6 ，△ABC 的面积为32.若线段BA 的延长线上存在点D ，使得∠BDC ＝π4，则CD ＝________．4. (2019·临川中学)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13 sin C ，3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，若△ABC 的面积为S ，p ＝2 a －S ，则p 的最大值是________．5. (2019·无锡期末)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．6. 如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20 km 和50 km ，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1) 设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值； (2) 求P 到海防警戒线AC 的距离．(第6题)微切口1 变角与变式1. 已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝35 ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝________． 2. (2019·南方凤凰台密题)若sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝13，则sin 2x ＝________. 3. (2019·江苏南菁中学质检)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝37 ，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β ＝25 ，那么tan (α＋β)的值为________．4. (2019·广东七校联考)已知锐角α，β满足cos α＝1213 ，cos (2α＋β)＝35 ，那么sin (α＋β)＝________．5. 计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10° ＝________．6. (2019·湖南邵阳二模)若tan π12 cos 5π12 ＝sin 5π12 －m sin π12，则实数m 的值为________．7. (2019·河北调研)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，且sin α2 ＋cos α2 ＝62 . (1) 求cos α的值；(2) 若sin (α－β)＝－35 ，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π ，求cos β的值．8. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－14 ，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2 . (1) 求sin 2α的值； (2) 求tan α－1tan α 的值．微切口2 给值求值问题中角范围的认定1. 在△ABC 中，若sin A ＝35 ，cos B ＝513，则cos C ＝________.2. 已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12 ，tan β＝－17 ，那么2α－β的值为________．3. (2019·江苏前黄中学质检)若A ，B 均为锐角，且tan A ＝17 ，sin B ＝1010 ，则A ＋2B的值为________．4. 已知α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝35 ，则sin (α－π12)＝________． 5. 已知锐角α，β，且sin α－sin β＝－12 ，cos α－cos β＝12 ，那么tan (α－β)＝________．6. (2019·湖北八校第一次联考改编)已知3π<θ<4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2 ＝62，那么θ＝________．7. 已知α，β∈(0，π)且cos α＝13 .(1) 若tan β＝43 ，求sin (α＋β)的值；(2) 若sin (α＋β)＝17，求cos β的值．8. 已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2b sin A . (1) 求角B 的大小；(2) 求cos A ＋sin C 的取值范围．微切口3 以正切为背景的最值和范围问题1. 在△ABC 中，若sin (2A ＋B )＝2sin B ，则tan B 的最大值为________．2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．3. 在△ABC 中，若tan B ＝3tan C ，AB ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．4. (2019·昆山中学质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋42 ＝c 2，ab ＝4，则sin C tan 2A sin2B 的最小值是________．5. (2019·丹阳中学)在锐角三角形ABC 中，9tan A ·tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A 的最小值为________.6. (2019·如皋一模)在△ABC 中，D 为AB 的中点，若2BA → ·DC → ＝3AB → ·AC →，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是________．7. 在△ABC 中，若tan A ＋tan B ＝2，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________．8．(2019·扬州中学)在△ABC 中，若tan A tan C ＋tan A tan B ＝5tan B tan C ，则sin A 的最大值为________.9. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin C tan B ＝2a －bb ，且c sin Asin B ＝32，则ab 的最小值为________．10. 在锐角三角形ABC 中，若2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为________．微切口4 三角形中的最值问题1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________．2. (2019·石家庄一模)在△ABC 中，若AB ＝2，C ＝π6 ，则AC ＋3 BC 的最大值为________．3. (2019·镇江中学)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3 b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．4. (2019·南师附中)若△ABC 的面积为34 (a 2＋c 2－b 2)，且C 为钝角，则ca的取值范围是________．5. (2019·汉中一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎛⎭⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，且a ＝23 ，则△ABC 面积的最大值为________．6. (2019·丹阳中学)在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若AD ＝2，DC ＝1，BD 为∠ABC 的角平分线，则△ABC 面积的最大值为________．7. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋2c )cos B ＋b cos A ＝0. (1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝3，求△ABC 面积的最大值．8. 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 . (1) 求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32 ，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．微切口5 与数量积有关的最值和范围问题1. 已知i 与j 为互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．2. 在△ABC 中，若A ＝120°，AB → ·AC → ＝－1，则|BC →|的最小值是________．3. (2019·南方凤凰台密题)在等腰直角三角形ABC 中，若AB ＝AC ＝2，P 为BC 的中点，点M ，N 分别为AB ，AC 上的两个不同点，且|MN → |＝1，则PM → ·PN →的最小值为________．4. 在平行四边形ABCD 中，若AB ＝2，AD ＝1，AB → ·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA → ·MB →的最大值为________．5. 已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．6. (2019·南京考前综合题)如图，在△ABC 中，若AE → ＝2EB → ，AD →＝12 DC → ，且BD ⊥CE ，则cos A 的最小值为________．(第6题)7. (2019·长郡中学)已知AD 是△ABC 的中线，若AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ，μ∈R )，A ＝120°，AB → ·AC → ＝－2，则|AD →|的最小值是________．8. (2019·苏州最后一卷)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB → ＝2BC → ，则PC → ·P A →的最小值为________．(第8题)9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上运动．若AP → ＝λED → ＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．(第9题)10. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．微切口6 几何图形中数量积的应用1. (2019·泰兴中学)在直角三角形ABC 中，已知斜边AB 的长为6，M ，N 是斜边AB 上距离为4的两点，且MA → ＋NB → ＝0，那么CM → ·CN →＝________．2. (2019·福建高三质检)在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足AP → ＝λAB →，AQ → ＝(1－λ)AC → .若BQ → ·CP →＝－2，则λ＝________．3. 已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABD ＝30°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝2BE ，CD ＝λCF .若AE → ·BF →＝－9，则λ的值为________．4. (2019·镇江中学)如图，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且BF →＝12 F A → ，若DE 是圆A 中绕圆心A 转动的一条直径，则(F A → －DA → )·FE →＝________．(第4题)5. (2019·徐州一中)已知|OA → |＝1，|OB → |＝2，OA → ·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，若OC → ＝mOA → ＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n＝________．6. 在平行四边形ABCD 中，若AC → ·AD → ＝AC → ·BD →＝3，则线段AC 的长为________． 7. (2019·江苏百校大联考)在平面凸四边形ABCD 中，AB ＝22 ，CD ＝3，点E 满足DE →＝2EC → ，且AE ＝BE ＝2.若AE → ·EC → ＝85，则AD → ·BC →＝__________.8. 如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，那么AF → ·BC →＝________．(第8题)9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6，0)，C (1，3 )，点M 满足OM →＝12OA → ，点P 在线段BC 上运动(包括端点).(1) 求∠OCM 的余弦值；(2) 是否存在实数λ，使得(OA → －λOP → )⊥CM →.若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．(第9题)微切口7 向量的等和线1. 如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，M ∈AH ，AM ＝13 AH ，若AM → ＝xAB → ＋yAC →，则x ＋y ＝________.(第1题)2. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO → ＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝________．3. 已知O 为△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若AO →＝13 AB → ＋13 AC → ，则∠BAC ＝________．4. 如图，经过△ABO 的重心G 的直线与OA ，OB 交于点P ，Q ，若OP → ＝mOA → ，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1m ＋1n的值为________．(第4题)5. 已知O 是△ABC 的外心，AB ＝AC ＝2，若AO → ＝xAB → ＋yAC →(xy ≠0)，且x ＋2y ＝1，则△ABC 的面积为________．6. 已知点O 是△ABC 外接圆的圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x ，y ，使得AO →＝xAB → ＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC ＝________．7. 如图，A ，B ，C 是圆O 上的三点，且线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC → ＝mOA → ＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．(第7题)8. 已知O 为△ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a (a ＞0)∠BAC ＝120°，若AO → ＝xAB → ＋yAC →(x ，y 为实数)，则x ＋y 的最小值为________．9. 已知△ABC 的外心O 满足AO → ＝xAB → ＋yAC →.若AB ＝6，AC ＝10，且2x ＋10y ＝5，则cos ∠BAC ＝________.10. 如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若OP → ＝xOA → ＋yOB →(x ，y ∈R )，且点P 落在四边形ABNM 内(含边界)，则y ＋1x ＋y ＋2的取值范围为________．(第10题)微切口8 极化恒等式1. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，若AM ＝3，BC ＝10，则AB → ·AC →＝________．2. 若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.3. 如图所示放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点分别在x 轴，y 轴正半轴上(含原点)滑动，则OB → ·OC →的最大值为________．(第3题)4. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB → ·AD →＝－7，则BC → ·DC →＝________．(第4题)5. 已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，若P 是圆O 上的一个动点，则P A → ·PB →的取值范围是________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．7. 在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．8. 已知A (0，1)，曲线M ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线M 上的动点，且AB → ·AP →的最小值为2，则a ＝________．9. 已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.10. 已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的两个点，P 是线段AB 上的动点，那么当△AOB 的面积最大时，AO → ·AP → －AP →2的最大值是________．专题二立体几何第1讲空间中的平行与垂直关系A组基础达标1. 能保证直线a与平面α平行的条件是________．(填序号)①b⊂α，a∥b；②b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c；③b⊂α，A，B∈a，C，D∈b且AC＝BD；④a⊄α，bα，a∥b.2. 若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则下列说法中错误的是________．(填序号)①垂直于平面β的平面一定平行于平面α；②垂直于直线l的直线一定垂直于平面α；③垂直于平面β的平面一定平行于直线l；④垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直．3. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，lβ，给出以下四个命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是________．(填序号)4. 已知l，m是平面α外两条不同的直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________．5. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中的“可换命题”是________．(填序号)6. (2019·南方凤凰台密题)如图，在三棱锥P－ABC中，△P AB和△CAB都是以AB为底边的等腰三角形，D，E，F分别是PC，AC，BC的中点．(1) 求证：平面DEF∥平面P AB；(2) 求证：AB⊥PC.(第6题)7. (2019·南通最后一卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，E，F分别是棱AB，PC的中点．(1) 求证：EF∥平面P AD；(2) 若EF⊥平面PCD，求证：P A＝AD.（第7题）B组能力提升1. (2019·江苏冲刺卷)如图，BD是圆O的直径，C是圆周上不同于点B，D的任意一点，AB⊥平面BCD，E为AB的中点．(1) 求证：OE∥平面ACD；(2) 求证：平面ACD⊥平面ABC.(第1题)2. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1) 若P A＝PD，求证：平面PQB⊥平面P AD；(2) 点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定t的值，使得P A∥平面MQB.(第2题)3. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AB＝AC＝BC，D，E，F 分别为A1B1，CC1，AA1的中点．(1) 求证：DE∥平面A1BC；(2) 若平面ABC⊥平面AA1B1B，求证：AB1⊥CF.(第3题)4. (2019·南通阶段性测试)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1) 求证：BD⊥AA1；(2) 若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.(第4题)第2讲立体几何中的算、证、求问题A组基础达标1. 若圆锥的底面半径为2，高为5，则其侧面积为________．2. 已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，那么三棱锥B1－ABC1的体积为________．3. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2.若V1V2＝3π，则S1S2＝________．4. (2019·苏州大学考前指导卷)已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，那么该凸多面体的体积V＝________．（第4题）5. (2019南京、盐城一模)如图，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝4，AC＝3，BC＝1，若E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为________．（第5题）6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，若P A＝2，AB＝1，则三棱锥C－PED的体积为________．（第6题）7. (2019·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥的体积为________．(第7题)8. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°. (1) 求证：BC ∥平面P AD ；(2) 若△PCD 的面积为27 ，求四棱锥P －ABCD 的体积．(第8题)B 组 能力提升1. (2019·泰州期末)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.(第1题)2. (2019·苏州最后一卷)如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是________cm.(第2题)3. (2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a ，b ，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．4. 若将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为________．5. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.(1) 求证：B1C∥平面A1BM；(2) 求证：AC1⊥平面A1BM；(3) 在棱BB1上是否存在一点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BN BB1的值；如果不存在，请说明理由．（第5题）6. 如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝3.(1) 求证：DE⊥平面ACD；(2) 设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．（第6题）专题三 不等式第1讲 三个二次的关系A 组 基础达标1. 不等式2x ＋1 <1的解集是________．2. 若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________．3. 若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为________．4. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝2a －3a ＋1 ，则实数a 的取值范围是________.5. (2019·福建名校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x －1x ，x ＞0， 那么满足f (a ＋2)<f (a )的实数a 的取值范围是________．7. 已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么不等式f (x ＋2)<5的解集是________．8. 解下列关于x 的不等式： ax 2－2x ＋a <0(a ∈R ).9. 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，函数 F (x )＝f (x )－x 的两个零点为 m ，n . (1) 若m ＝－1，n ＝2，求b ，c 的值； (2) 若b ＝c ＋1，解不等式f (x )>0.B 组 能力提升1. (2019·常州中学)已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥3 ，那么f (e x )>0的解集为________．2. (2019·苏州三市、苏北四市二调)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，那么c 2＋5a ＋b的最小值为________．3. (2019·菏泽月考)若关于x 的不等式x ＋ax ≤b (a ，b ∈R )的解集为{x |x <0或1≤x ≤2}，则a b 的值为________．4. (2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0， 若关于x 的不等式(f (x ))2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是________．5. 某厂以x kg/h 的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1 元． (1) 要使生产该产品2 h 获得的利润不低于1 500元，求x 的取值范围；(2) 要使生产480 kg 该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．6. 已知函数f (x )＝x 2－mx ＋m －1.(1) 当x ∈[2，4]时，f (x )≥－1恒成立，求实数m 的取值范围；(2) 是否存在整数a ，b (其中a ，b 是常数，且a ＜b )，使得关于x 的不等式a ≤f (x )≤b 的解集为{x |a ≤x ≤b }？若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．第2讲 基本不等式与恒成立、存在性问题A 组 基础达标1. 当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________．2. (2019·安庆一模改编)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b 的最小值为________．3. (2019·青岛期末)若函数f (x )＝x ＋mx －1 (m 为大于0的常数)在(1，＋∞)上的最小值为3，则实数m ＝________．4. 某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200 m 2的泳池，池的深度为1 m ，池的四周墙壁建造单价为400元/m ，中间一条隔壁建造单价为100元/m ，池底建造单价为60元/m 2(池壁厚忽略不计)，则泳池的长设计为________m 时，可使总造价最低．5. 已知a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．6. 如图，已知正方形OABC ，其中OA ＝a (a ＞1)，函数y ＝3x 2交BC 于点P ，函数y ＝x —12交AB 于点Q ，当AQ ＋CP 最小时，a 的值为________．（第6题）7. (2019·南京、盐城一模)若正实数a ，b ，c 满足ab ＝a ＋2b ，abc ＝a ＋2b ＋c ，则c 的最大值为________．8. 某油库的容量为31万吨，年初储油量为10万吨，从年初起计划每月初先购进石油m (单位：万吨)，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求．若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y (单位：万吨)与x 的函数关系式为y ＝5＋px (p >0，1≤x ≤10，x ∈N *).已知前4个月区域外的需求量为15万吨．(1) 试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M (x )(单位：万吨)的函数表达式；(2) 要使油库中的石油在前10个月内任何时候都不超出油库的容量，又能满足区域内和区域外的需求，求m 的取值范围．B 组 能力提升1. (2019·常州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，那么1x ＋xy 的最小值为________．2. (2019·长沙质检)如图，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1 ＋9a ＋9的最大值为________．（第2题）3. (2019·北京东城区质检)若对任意的x ∈R ，不等式3x 2－2ax ≥|x |－34 恒成立，则实数a的取值范围是________.4. 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3a ，g (x )＝2x －1 .若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[2，3]，使得|f (x 1)|≤g (x 2)成立，则实数a 的值为________．5. 已知函数f (x )＝－3x ＋a3x ＋1＋b ，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数．(1) 存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求实数k 的取值范围；(2) 若函数g (x )满足f (x )·[g (x )＋2]＝13 (3－x －3x )，若对任意的x ∈R ，不等式g (2x )≥mg (x )－11恒成立，求实数m 的最大值．6. 已知函数f (x )＝x 2－2a ln x (a ∈R )，g (x )＝2ax . (1) 求函数f (x )的极值；(2) 若0<a <1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围．微切口9 动态二次函数问题—动轴定区间、定轴动区间1. 若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a ＝________．2. 若函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都是[1，a ]，则实数b ＝________．3. (2019·靖江中学)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范围为________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2，2]时，f (x )≥0恒成立，则a 的取值范围为________．5. 已知函数f (x )＝x 2－ax ＋a2 ，x ∈[0，1]，那么f (x )的最小值g (a )的最大值为________．6. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则对于M －m 的值，下列说法中正确的是________．(填序号)①与a 有关，且与b 有关；②与a 有关，但与b 无关； ③与a 无关，且与b 无关；④与a 无关，但与b 有关．7. 已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x (x ∈R )，且f (0)＝1. (1) 求f (x )的解析式；(2) 当x ∈[－1，1]时，方程f (x )＝2x ＋m 有解，求实数m 的取值范围； (3) 设g (t )＝f (2t ＋a )，t ∈[－1，1]，求g (t )的最大值．8. 已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1) 当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调增区间；(2) 当a ＞2时，求函数y ＝f (x )在区间[1，2]上的最小值；(3) 设a ≠0，函数y ＝f (x )在(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示).微切口10 多元变量问题的处理1. 若x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________．2. 当x >1>y 时，x 2－2xy ＋y 2≥m [xy －(x ＋y )＋1]恒成立，则实数m 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )＝e x ，若对于实数m ，n ，p 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，f (m ＋n ＋p )＝f (m )＋f (n )＋f (p )，则p 的最大值为________．4. 已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c ≠0，那么ba －2c的取值范围是________．5. 若x ，y ，z 均为正实数，且x 2＋y 2＋z 2＝1，则（z ＋1）22xyz的最小值为________．6. 若x ，y ，z 为实数，满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则4xy ＋yz 的最大值为________．7. 已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝5，xy ＋yz ＋zx ＝3，那么z 的最大值是________．8. 已知正实数a ，b 满足a 3＋3b 3＝a －b ，若a 2＋kb 2≤1恒成立，则实数k 的最大值为________．9. 已知函数f (x )＝a 2x ＋ma x －n (a >0且a ≠1)，若存在实数x 使得f (x )＋f (－x )＝－2，则m 2＋4n 2的最小值为________．10. 若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最大值为________．专题四 函数与导数第1讲 函数的图象与性质A 组 基础达标1. 已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，那么三个零点之和为________．2. 若函数f (x )＝4x －ax ·2x 为奇函数，则实数a ＝________.3. 若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2<x ≤3，则f (a ＋1)＝________．4. 已知偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，那么{x |f (x －2)>0}＝________．5. (2019·通州、海门、启东期末)已知函数f (x )的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2＜x ≤4，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－12 的值为________．6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则实数a 的取值范围是________.7. 如图，已知直线y ＝kx 与函数y ＝6x 的图象交于A ，B 两点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，BC 分别与函数y ＝2x 和y ＝3x 交于D ，E 两点，连接AD .当AD ∥x 轴时，线段CE 的长度为________．(第7题)8. (2019·海安中学)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 若函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________．9. 已知函数y ＝f (x )在定义域[－1，1]上既是奇函数又是减函数． (1) 求证：对任意的x 1，x 2∈[－1，1]，有[f (x 1)＋f (x 2)]·(x 1＋x 2)≤0； (2) 若f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．B 组 能力提升1. (2019·启东一中)已知函数y 1＝x 3与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________．2. (2019·南方凤凰台密题)已知函数f (x )＝x ＋2|x |＋2 ，x ∈R ，那么f (x 2－2x )＜f (2－x )的解集是________．3. 设f (x )是定义在R 上且周期为4的函数，在区间(－2，2]上，其函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－2<x ≤0，|1－x |，0<x ≤2， 其中a ∈R .若f (－5)＝f (5)，则f (2a )＝________． 4. 已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ. 当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．5. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，x ≤3，12x －1，x ＞3， 若函数g (x )＝f (x )－ax 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，a ，b ∈R .(1) 若f (x )在区间[1，2]上的值域也是[1，2]，求a ，b 的值；(2) 若对任意的x 都有f (x －2)＝f (－x )，且y ＝f (f (x ))有且只有2个零点，求实数b 的取值范围．7. (2019·新海高级中学)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g （x ）x.(1) 求a ，b 的值；(2) 方程f (|2x －1|)＋k ⎝⎛⎭⎫2|2x －1|－3 ＝0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．第2讲 导数及其应用A 组 基础达标1. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝a ln x ＋x 在x ＝a 处的切线过原点，则实数a 的值为________．2. (2019·海门中学)若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．3. (2019·南菁中学)已知f (x )在R 上连续可导，f ′(x )为其导函数，且f (x )＝e x ＋e －x －f ′(1)x ·(e x －e －x )，那么f ′(2)＋f ′(－2)－f ′(0)f ′(1)＝________.4. (2019·南通一中)若函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为________．5. 若函数f (x )＝e x ＋x 的零点在区间(k －1，k )(k ∈R )内，则k ＝________．6．(2019·南方凤凰台密题)已知幂函数f (x )＝x a 经过点(9，3)，那么该函数在点(9，3)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．7. (2019·江苏百校大联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x ，x ≥1，x ，x ＜1， 那么不等式f (x )<f ⎝⎛⎭⎫2x 的解集是____________．8. 若点P ，Q 分别在函数y ＝e x ，y ＝ln x 的图象上，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．9. (2019·南方凤凰台密题)已知函数f (x )＝12 ax 2－(a ＋1)x ＋ln x .(1) 当a ＝1时，求y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程； (2) 当a >0时，若f (x )的极大值为－54 ，求a 的值．B 组 能力提升1. (2019·南师附中)将函数y ＝e x (e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则tan θ＝________．2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线y ＝mx ＋1 (m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，那么点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．3. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a x －4，x ＜0，2x ，x ＞0 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是________．4. (2019·启东联考)设函数h (x )的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，n ]D ，使得h (x )在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n ]，则称h (x )为“倍胀函数”．若函数f (x )＝a x (a >1)为“倍胀函数”，则实数a 的取值范围是________．5. (2019·徐州考前模拟)已知函数f (x )＝x －1x＋a ln x .(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为3，求实数a 的值； (2) 若函数f (x )在区间[1，2]上存在极小值，求实数a 的取值范围； (3) 如果f (x )＜0的解集中只有一个整数，求实数a 的取值范围．6. (2019·南方凤凰台密题)已知g (t )＝(t ＋1)ln t －(t －1)ln b ，t ∈(1，＋∞). (1) 求证：若0<b ≤e 2，对任意的t ∈(1，＋∞)，g (t )>0；(2) 当b >e 2时，判断g (t )在(1，＋∞)上存在几个零点，并说明理由．微切口11 分段函数(含有绝对值的函数)问题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x ＜0，2x －1，x ≥0， 若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1 满足对任意的x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 >0成立，则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x，x ＜1，x ＋4x ，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4，则实数a 的取值范围为________．4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x ＞2， 若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b ＋2c 的取值范围为________．5. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0， 若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，那么实数m 的取值范围是________．9. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x >t ， 无论t 取何值，函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，那么实数a 的取值范围是________．10. 已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0＜x ≤2，12f （x －2），x ＞2， 那么函数g (x )＝xf (x )－1在[－7，＋∞)上的所有零点之和为________.微切口12 三次函数问题1. 已知函数f (x )＝13 x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，那么c 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，那么数对(a ，b )为________．3. 已知曲线f (x )＝13 x 3－12 x 2＋ax ＋3上存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零， 那么实数a 的取值范围为________．4. 若函数f (x )＝13 x 3－12 ax 2＋(a －1)x ＋1在区域(1，4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．5. 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x －a 有三个不同的零点，且它们构成等差数列，那么a ＝________．6. 已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________.7. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23 与x ＝1时都取得极值．(1) 求a ，b 的值及函数f (x )的单调区间；(2) 若对x ∈[－1，2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝(x －t )3－m (x －t )，其中t ，m ∈R .(1) 若t ＝1，m ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2) 若m ＝9，求f (x )的极值；(3) 若曲线y ＝f (x )与直线y ＝－(x －t )－42 有三个互异的公共点，求实数m 的取值范围．微切口13 曲线的公切线1. 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，则a ＋b 的值为________．2. 已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，若直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________．3. 若曲线y ＝12e x 2与曲线y ＝a ln x 在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，则实数a的值为________．4. 若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154 x －9都相切，则a ＝________．5. 若曲线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________．6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <0，ln x ，x >0， 若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，则a的取值范围是________.7. 若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点，使得函数y ＝f (x )的图象在这两点处的切线互相平行，则称函数y ＝f (x )具有“同质点”．给出下列四个函数：①y ＝sin x ；②y ＝e x ；③y ＝x 3；④y ＝ln x ．其中具有“同质点”的函数有________个．8. 已知函数f (x )＝x 3＋3ax ＋15，g (x )＝x ln x .(1) 若曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线l 与曲线y ＝f (x )相切，求实数a 的值；(2) 设h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≥g （x ），g （x ），f （x ）<g （x ）， 若a <－163 ，求证：函数y ＝h (x )有2个零点．。