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考研真题中国科学技术大学数学分析试题2010年中国科学技术大学数学分析试题1,f(x)无穷区间上一致连续,0<a<1,证明f^a(x)也一致连续.< p=""> 2,f(x,y)在除原点以外的地方都可微,在R^2上连续,他的两个偏导数在原点的极限都存在,且为零.证明其在原点有极限.3,具体记不起来了,只记得是说一个抽象函数f(x)的和ex在一起的曲线积分,说它路径无关,求他的值.4,一个二次递推数列求极限的问题,X_0属于从1到3/2的开区间,X_n+1=X_n^1/2+X_n-1/2.5,计算一个在椭球面的上半面的曲面积分x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy.6,证明含参广义积分arctg(tx)/t^a在(0,正无穷大上定义了一个可微函数f(x),然后证明xdf(x)/dx+(1-a)f(a)+arctgx=0.7,设有一个周期是2π的连续可导的奇函数f,且df(x)/dx=f(π/2-x),求这个函数.8,正项级数a_n收敛,证明a_n^1-1/n也收敛.9,有正项数列a_n,b_n,且b_n/n的极限是0,b_n(a_n/a_n+1-1)有大于0的极限,证明a_n的极限为0,且其收敛.10,忘了.数学分析注意【】符号为处理上下标所用一设函数f(x):[0,+无穷）->[0,+无穷）一致连续，α属于（0，1]，求证：函数g(x)=【f^α】(x)也在[0,+无穷）上一致连续。
二设f(x,y)在R^2\｛（0，0）｝上可微，在(0,0)处连续，且【lim_(x,y)->0】偏f(x,y)/偏x=0，【lim_(x,y)->0】偏f(x,y)/偏y=0。
求证f(x,y)在(0.0)处可微。
三设x_0属于(1,3/2),x_1=(x_0)^2,x_(n+1)=(x_n)^1/2+【x_(n-1)】/2，n=1,2…求证：{x_n}收敛，并求其极限。
王仕奎——中国科学技术大学2010年硕士学位研究生入学考
试试题及参考答案
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作者自拍于今年初抗疫期间
本文是我近几天解答的中科大2010年《信号与系统》全套考研真题，从中可见数学尤其复数的重要性。
由于近年来研究生扩招的影响，考研真题有越来越简单的趋势，反而是十年前的题目更有难度、更有价值。
物理、数学是一家，要学好电子信息类课程，学好数学是关键，这也是为什么我长期十分热衷于为数学工作的原因。
欢迎将本文推荐给广大电子信息课本科生参考。
如有纰漏欢迎指正。
——作者。
中山大学2010年数学分析真题题目一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限limn→∞1n√(n +1)(n +2)…(2n +1)n；（2） 求不定积分∫max (|x |,1)dx ； （3） 已知f (x )= ∫sintπ−tdt x 0，求定积分∫f(x)dx π0； （4） 求二元函数极限lim(x,y)→(0,0)(x 2+y 2)x2y 2；（5） 求二次积分∫dy 10∫e x 2dx 1y ； （6）计算I =∮xdy−ydx x 2+y 2L，其中L 是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续封闭曲线，L 的方向为逆时针方向； （7） 讨论函数项级数∑√n+x∞在[0,2]上的一致收敛性；（8）计算∬(x 2+y 2)dS S，其中S 为曲线z =√x 2+y 2与平面z=1所围几何体的表面。
二、单位圆盘中切去圆心角为θ的扇形，余下部分粘合成一锥面，问θ为多少时，该锥面加上底面所围的椎体体积最大。
三、设在f (x )在x=0某邻域内有二阶连续导数，且limx→0f (x )x=0，证明∑f (1n )∞n=1绝对收敛。
四、设f (x,y )={(x 2+y 2)p sin1x 2+y 2,x 2+y 2≠00,x 2+y 2=0，其中p 为正数，试分别确定p 的值，使得如下结论分别成立（1） f (x,y )在点(0,0)处连续 （2） f x (0,0)与f y (0,0)都存在（3） f x (x,y)与f y (x,y)在(0,0)点连续五、计算由曲面(xa +yb )2+(z c )2=1,(x ≥0,y ≥0,z ≥0,a >0,b >0,c >0)所围成几何体之体积，其中a,b,c 为正常数。
六、求幂级数∑n 2+1n!2n ∞n=1x n 的收敛范围，求其和函数。
七、设u =f (x )，其中r =√x 2+y 2+z 2，变换方程∂2uðx 2+∂2uðy 2+∂2uðz 2=0，使其成为关于f (r )的方程。
2010 年中国科学院高等代数解：（1）证法1证法2 AB I I B AB I I B A I I A I I B A I n mn m n m n m n -=-=-=00BA I BAI BI I A I I BA I I BA I m m n mn m n mn -=-=-=0.BA I AB I m n -=-∴证明：因为A 为正交矩阵，故其特征值的模长为1. 由于1 A ，故可设，于是法1法 2 因为1)(-=n A r ，故方程组0=AX 的解空间是一维的。
若0≠λ，则0**==ξξλA A A ，故0*=ξA ，ξ为*A 的一个特征向量。
若0=λ，则ξ为方程组0=AX 解空间的一组基，又0*=ξAA ，故ξ*A 也是方程组0=AX 的解，于是存在k 使得ξξk A =*，即ξ为*A 的一个特征向量。
},,max{1n k εεε =，则jini nj i iji i h x εεεε∑∑===11,，j i ni nj i ijii kiyεεεε∑∑===11,故∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i n i nj i ij i i n i i nh h hh x x 1,21221,,11,12,2||||||||||εεεεεεεεεε∑∑∑∑∑∑=======+≤≤==nj i ni i ji j i nj i ji j i ni nj i ij i i ni i nk k kk iy y 1,21221,,11,122||||||||||εεεεεεεεεε于是,nh x ≤ 且nk y ≤。
特征值，并设，于是当0≠λ时必为纯虚数。
因此，（本题结论改为：存在∈λC ，使得)()(A tr A T λ=更恰当）证明：因为T 是线性映射，且满足)()(BA T AB T =，故0)(=-BA AB T ，于是任给n j i ≤≠≤1，都有0)()(=-=ii ij ij ii ij E E E E T E T ，且0)()(=-=-ij ji ji ij jj ii E E E E T E E T ，因此设λ=)(11E T ，则)()()()(1,1A tr E T a ET a A T nj i ni ii ii ijijλ===∑∑==。
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【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：32010年中山大学高等代数考研真题精讲4【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：5我国硕士研究生的4种分类方法研究生教育属于国民教育序列中的高等教育，又分为两个层次：硕士研究生和博士研究生。
