数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷

考研《高等代数》考研考点与考研真题详解在考研的众多科目中，《高等代数》是许多专业都需要面对的重要课程。

对于考生来说，深入了解其考点并熟悉真题的解题思路和方法至关重要。

接下来，让我们一起详细探讨《高等代数》的考研考点以及通过真题来进行具体的分析。

首先，多项式是《高等代数》中的一个基础考点。

多项式的运算、整除性、最大公因式等概念需要考生熟练掌握。

例如，给定两个多项式$f(x)＄和$g(x)＄，求它们的最大公因式就是常见的考题类型。

线性方程组也是重点之一。

包括解的存在性、唯一性以及求解的方法。

考生要清楚如何通过高斯消元法将线性方程组化为阶梯形，从而判断解的情况。

矩阵是必考的内容。

矩阵的运算、逆矩阵的求解、矩阵的秩等都经常出现在考研真题中。

比如，给出一个矩阵，要求判断其是否可逆，并求出其逆矩阵。

向量空间也是一个重要的考点。

涉及向量空间的定义、基与维数、子空间的相关性质等。

可能会要求考生证明某个集合是向量空间，或者求向量空间的基和维数。

线性变换是一个较难的考点，但也是高频考点。

需要理解线性变换的定义、性质，掌握线性变换的矩阵表示，以及如何求线性变换的核与值域。

特征值与特征向量是另一个关键考点。

包括特征值和特征向量的计算、性质以及相似对角化的条件和方法。

很多真题会要求根据给定的矩阵求其特征值和特征向量，并判断是否可相似对角化。

下面通过一些具体的考研真题来进一步说明。

真题一：已知多项式$f(x) ＝ x^3 2x^2 ＋ 3x 1$，＄g(x) ＝ x^2 3x ＋ 2$，求$f(x)＄与$g(x)＄的最大公因式。

解题思路：运用辗转相除法，先将$f(x)＄除以$g(x)＄，得到商式$q_1(x)＄和余式$r_1(x)＄，然后将$g(x)＄除以$r_1(x)＄，以此类推，直到余式为零，此时的除数就是最大公因式。

真题二：求解线性方程组：＄＼begin{cases} 2x_1 ＋ 3x_2 x_3 ＝ 1 ＼＼ 4x_1 ＋ 6x_2 2x_3 ＝2 ＼＼ 3x_1 ＋ 4x_2 ＋ 2x_3 ＝ 5 ＼end{cases}＄解题思路：首先对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，判断解的情况。

2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题一、计算题(1-6每题10分，7-8每题15分，共90分).220231lim .(1)x x x x e e x e →---- 2.20232023202320241lim(12).n n n→∞+++3.3x .4.设,a b为常数且20 1.xx a →>=求a 和b . 5.求函数(,,)22f x y z x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最值。

6.判断2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--的原函数是否存在，说明理由。

若存在，求出它的一个原函数。

7.作适当变换，计算d d y x yDex y +⎰⎰,这里{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥∣. 8.计算2d (1)SSx y ++⎰⎰,其中S 为平面1x y z ++=在第一卦限部分。

二、证明题(9-11每题10分，12-13每题15分，共60分)9.设数列{}n a满足111,1).n a a n +==≥证明数列{}n a 收敛，并求lim .n n a →∞10.利用函数的凹凸性证明不等式ln ln ()ln(0,0).2x yx x y y x y x y ++≥+>> 11.求证：当0y >时，21sin d 1xy e x x y +∞-=+⎰. 12.设函数()f x 定义在区间I 上。

试证()f x 在I 上一致连续的充要条件为：对任何数列{}{},,n n x y I ⊂若lim()0,n n n x y →∞-=则[]lim ()()0.n n n f x f y →∞-= 13.设211(),[1,1]ln(1)n n f x x x n n ∞==∈-+∑.求证： 1)()f x 在[1,1]-上连续； 2)()f x 在1x =-处可导。

2024年全国硕士研究生招生考试业务课试题-高代 一、填空题（每题6分，共30分）1.设3阶实矩阵22332,,3A B αβγγγγ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中23,,,αβγγ均为3维行向量，且||18,||2A B ==,则||A B -=2.设λ是A 的特征值，则1P AP -的特征值是。

中科院数学与系统科学研究所 高等代数试题解答一、 设A 和B 为满秩方阵，试求⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B O C A Q 的逆矩阵（用C B A ,,11--表示即可）。

解：由0det det det ≠⋅=B A Q 知，Q 可逆。

令 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-222112111X X X X Q ，E 表示与Q 同阶的单位矩阵，则由E Q Q =-1 得⎪⎪⎭⎫⎝⎛22211211X X X X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B O C A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21E O O E ＝，其中1E 为与A 同阶的单位矩阵，其中2E 为与B 同阶的单位矩阵。

于是得22221121121111,,E B X C X O B X C X OA X E A X =+===＋由此解出 122111221111,,,----=-===B X CB A X O X A X所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111B O CB A A Q . 二、 设n a a a ，，， 21为n 个实数，方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a a a a a a a a A 222111试求A 的所有特征值。

解： A 的特征多项式为由此可知，A 的n 个特征值为0,,0,1 ∑=ni i a （0为n 重特征根）。

三、 设d c b a ,,,为正实数,求出满足 b ax y +≥ 与 d cx y +-≥ 之y 的最小值. 解: 平面区域 {}d cx y b ax y y x D +-≥+≥=,),(的图形如下图中阴影部分:).(000111)(111)()det(1112221222111222111∑∑∑∑∑∑=-=====-=-=-------=---------=---------=-ni i n ni i nnnni i nnnni ini ini in nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A E λλλλλλλλλλλλλλλλλ由此知 满足b ax y +≥ 与 d cx y +-≥ 之y 的最小值即直线b ax y += 与 d cx y +-=交点的纵坐标,不难求得其值为ca bcad ++. 四、 设B A ,为方阵,且B 为满秩阵,s 为实数, sB A C +=试证明: 存在正数a ,使得在a s <<0时,C 满秩.证明:考虑矩阵 )(11----=+AB sE sE AB , 其中E 为单位阵. 由于关于s 的方程0)det(1=+-AB sE 仅有有限个根(它们为方阵1--AB 的全部特征根).从而数集{}0)det(01=+>=-AB sE s I 为有限集.若∅≠I ,则令a 为数集I 中的最小数;若∅=I ,则可取a 为任何正数.于是,当a s <<0时,必有0)det(1≠+-AB sE . 所以, 当a s <<0时,1-+AB sE 为满秩阵,从而B AB sE sB AC )(1-+=+= 为满秩阵. 五、 设)(,,2,1,),,,(21n m i a a a in i i i ≤='= α为n 维欧氏空间中的m 个向量. 又设 ()mj i ij p P ≤≤=,1 其中∑==nk jk ik ij a a p 1. 试证明:m ααα,,,21 为线性无关的, 当且仅当 P 为满秩.证明: 由已知条件, )(,,2,1,),,,(21n m i a a a in i i i ≤='= α为n维欧氏空间中的m 个向量. 令 ),,,(21m A ααα =为以),,2,1(m i i =α为列向量的矩阵, 则A 为n m ⨯实矩阵,且A A P '=(A '表示A 的转置矩阵).又设 =B ),()0,,0,,,,(21O A m = ααα为n 阶方阵, 则秩=B 秩A , 且()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'='O O O P O O O A A O A O A B B 为n 阶方阵,从而 秩='B B 秩P .以下证明秩='B B 秩B . 为此考虑齐次线性方程组 O BX = (1) 与 O BX B =' (2)令 21,W W 分别表示(1)与(2)的解向量空间, 则显然有21W W ⊂. 另一方面, 注意到对任意n 维实(列)向量Y , .00=⇒='Y Y Y 我们有 O BX O BX BX O BX B X O BX B =⇒='⇒=''⇒=')(. 所以又有 12W W ⊂. 从而 21W W =, 维=1W 维2W .由线性方程组理论可知, 秩+B 维1W = n ,秩+'B B 维2W = n , 于是得 秩='B B 秩B .综上讨论, 我们有 秩=P 秩='B B 秩=B 秩A .由此知, m ααα,,,21 线性无关, 当且仅当秩m A =,当且仅当秩m P = ,当且仅当P 为满秩.六、 设B A ,为对称方阵, 试证明Tr(A A B B )Tr(A B A B )≤, 其中“Tr ”表示方阵的追迹(即对角元素之和).证明: 设B A ,为n 阶对称方阵,),,,(2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''==n n A αααααα .),,,(2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''==n n B ββββββ则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n AB βαβαβαβαβαβαβαβαβαβββααα 2122212121112121),,,(所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=n n n n n n n n n n n n AB βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα 212221************2121112)(由此得 ∑∑=='⋅'=ni nj i j j i 112)()(Tr(AB )βαβα.而 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n A αααααααααααααααααααααααα 21222121211121212),,,(所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''''''''⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=n n n n n n n n n n n n B A ββββββββββββββββββαααααααααααααααααα21222121211121222121211122 由此得 ∑∑=='⋅'=ni nj i jj i 1122)()()B Tr(A ββαα.最后由柯西- 布涅柯夫斯基不等式易知.,1)()()()(,n j i i jj i i j j i ≤≤'⋅'≤'⋅'ββααβαβα从而得 ).B Tr(A Tr(AB )222≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'''''''''=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''=n n n n n n n n B ββββββββββββββββββββββββ 21222121211121212),,,(。

中科院2006年硕士研究生入学考试《高等代数》试题1．（16分）已知,,αβγ为实数，求n nA αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式的值．2．（16分）线性方程组111122*********,111,221,000n n n nn n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵为11121212221,11,21,n n n n n n a a a a a a A aa a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 设()1,2,,j M j n =是在矩阵A 中化去第j 列所得到的1n -阶子式．求证：⑴()()112,,,1n n M M M ---是方程组的一个解；⑵如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是()()112,,,1n n M M M ---的倍数．3．（16分）若α为一实数，试计算1lim 1nn n nαα→+∞⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭． 4．（18分）设a 为实数，10010011a aA a ⨯⎛⎫⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求50A 的第一行元素之和．5．（18分）若向量()12,,,2s s ααα>线性无关，讨论122311,,,,s s s αααααααα-++++线性相关性．6．（18分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x x y P y z z '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244y z ''+=．求,a b 的值和正交矩阵P ． 7．（16分）设有实二次型()T f x x Ax =，其中Tx 是x 的转置，A 是33⨯实对称矩阵并满足以下方程：3261160A A A I -+-=．试计算()1max max Ax f x =．其中2222123xx x x =++，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵A 来求．8．（16分）20062006A ⨯∈是给定的幂零阵（即：存在正整数p 使得0p A =而10p A-≠），试分析线性方程()20060Ax x =∈非零独立解个数的最大值和最小值．9．（16分）设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且nf 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数．设(){}|W v V f v v =∈=。

扬州大学2023年硕士研究生招生考试初试试题（A 卷）科目代码840科目名称数学分析与高等代数综合满分150分注意：均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！数学分析部分(75分)一.(10分)求极限111lim().1ln x x x→--二.(10分)计算20sin .sin cos d πθθθθ+⎰三.(10分)若函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.证明存在(,)a b ξ∈使得2021202220222022[()()]()().f b f a b a f ξξ-=-'四.(15分)(1)将函数2cos x 在0x =处展开成幂级数.(2)请推导2cos x 不定积分的级数表示.五.(15分)(1)叙述函数的一致连续性.(2)设函数()f x 在[0,2023)上一致连续.证明()f x 在[0,2023)上有界.六.(15分)(1)证明不等式11ln(1)11ln ,2n n n +<+++<+ 2,3,.n = (2)设11ln (),2n a n n-=++ 2,3,.n = 证明数列{}n a 的极限存在.高等代数部分（75分）一.（15分）设向量232α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，(1,2,1)β=-，矩阵A αβ=，2()22f x x x =-+。

（1）求()f A 。

（2）判断A 是否可逆（须写明理由）。

（3）求2023A 。

科目代码840科目名称数学分析与高等代数综合满分150分二.（15分）已知线性方程组123123123223x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩，其中λ是参数。

（1）当λ满足什么条件时，该方程组有唯一解？（2）若该方程组有无穷多解，则λ取值是多少？求出此时方程组的通解（请用特解和导出方程组的基础解系表示）。

三.（15分）现有向量组I：T 1(0,1,1)α=-，T 2(,2,1)a α=，T 3(,1,0)b α=，以及向量组II：T 1(1,2,3)β=-，T 2(3,0,1)β=，T 3(9,6,7)β=-，其中a ，b 是实数。