华中师范大学数学分析和高等代数近几年试题

华中师范大学二〇一〇年研究生入学考试试题考试科目：数学分析一、（30分）计算题1、设函数)(x f 定义在),(+∞−∞上，满足x x f x f cos )()2(=，1)0()(lim 0==→f x f x ，求)(x f ；2、设dx x a n n ∫=40tan π，求)(121+∞=+∑n n n a a n 的值.3/求曲线积分∫−+−+−Ldz y x dy x z dx z y )()()(，其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线，方向从Z 轴正向看是逆时针.二、(12分)设0,)(>=ααx x f ，证明：当10≤≤α时，)(x f 在),0(+∞上一致连续；当1>α时，)(x f 在),0(+∞上不一致连续.三、（12分）证明含参量x 的反常积分dy yxy ∫+∞0sin 在),[+∞δ上一致收敛（其中0>δ），但在),0(+∞内不一致收敛.四、（20分）设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内二阶可导，且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于))(,(c f c ，其中b c a <<，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(''=ξf .五、（20分）设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛，且对任意],[b a x ∈，存在x 的领域)(x U ，使得)}({'x f n 在],[)(b a x U ∩上一致有界，证明：1、)}({'x f n 在],[b a 上一致有界；2、)}({x f n 在],[b a 上一致收敛.六、（20分）设⎩⎨⎧=+≠++=0,00),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ，讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性，偏导数的存在性以及可微性.七、(20分)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数，且+∞<∫+∞dx x f 0)(1，证明：1、存在数列),0[+∞∈n x ,...)2,1(=n 满足：}{n x 严格单调递增，+∞=∞→n n x lim ，+∞=∞→)(lim n n x f ；2、−∞=∫+∞→x x dt t f x 02)(1lim 八、（16分）已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数，记222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆，,,(z y x ∂∂∂∂∂∂=∇.1、证明：dxdydz f g dS n f gdxdydz f g VS V ∫∫∫∫∫∫∫∫∆−∂∂=∇∇)()·(，其中n 表示S 的外法线方向，S 为球面1222=++z y x ；2，若222z y x f ++=∆，试计算：dxdydz z f z y x z y f z y x y x f z y x x I V ∫∫∫∂∂+++∂∂+++∂∂++=(222222222。

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第2页目录1华中师范大学2009年研究生入学考试试题高等代数4 2华中师范大学2010年研究生入学考试试题高等代数5 3华中师范大学2011年研究生入学考试试题高等代数6 4华中师范大学2012年研究生入学考试试题高等代数7 5华中师范大学2013年研究生入学考试试题高等代数9 6华中师范大学2014年研究生入学考试试题高等代数11 7华中师范大学2015年研究生入学考试试题高等代数12 8华中师范大学2016年研究生入学考试试题高等代数13 9华中师范大学2017年研究生入学考试试题高等代数15 10华中师范大学2009年研究生入学考试试题数学分析17 11华中师范大学2010年研究生入学考试试题数学分析19 12华中师范大学2011年研究生入学考试试题数学分析21 13华中师范大学2012年研究生入学考试试题数学分析23 14华中师范大学2013年研究生入学考试试题数学分析25 15华中师范大学2014年研究生入学考试试题数学分析27 16华中师范大学2015年研究生入学考试试题数学分析29 17华中师范大学2016年研究生入学考试试题数学分析31 18华中师范大学2017年研究生入学考试试题数学分析331.(20分)设a1,¨¨¨,a n是n个复数,x是复变元.求解:x取哪些复数值时下述等式(等式左边是n`1阶行列式)成立:ˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ111¨¨¨1x a1a2¨¨¨a nx2a21a22¨¨¨a2n............x n a n1a n2¨¨¨a n nˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇˇ“0.2.(20分)设f p x q是n次实系数多项式,ną1.设f1p x q是f p x q的导数多项式.证明:(1)如果r是f p x q的m重根,mą0,则r是f1p x q的m´1重根(若r是f p x q的零重根则表示r不是f1p x q的根).(2)如果f p x q的根都是实数,则f1p x q的根也都是实数.3.(20分)设A是秩为r的mˆn阶矩阵,B是非零的mˆ1阶矩阵.考虑线性方程组AX“B,其中X是变元x1,¨¨¨,x n的列向量.证明:(1)线性方程组AX“B的任意有限个解向量X1,¨¨¨,X k的向量组的秩ďn´r`1.(2)若线性方程组AX“B有解,则它有n´r`1个解向量是线性无关的.4.(30分)设A,B,C都是n阶方阵,令˜A BC0¸是分块构成的2n阶方阵,其中右下块0表示n阶零方阵.(1)证明:rank ˜A BC0¸ěrank p B q`rank p C q.这里rank p B q表示矩阵B的秩.(2)举例说明:p1q中的等号和不等号都可能成立.5.(30分)设V是有限维向量空间,设U,W是V的两个子空间.(1)什么是U与W的和子空间U`W?请叙述关于U`W的维数公式.(2)证明关于和子空间的维数公式.6.(30分)设A为n阶实矩阵,λi“r`si是A的特征根,其中r,s是实数,i是虚数单位.(1)证明:12p A`A1q的特征根都是实数,令µ1﨨¨ďµn是12p A`A1q的全部特征根.(2)证明:µ1ďrďµn.(3)你有类似的估计s的办法吗?1.(20分)设F是任意数域,p p x q P F r x s.证明:p p x q是不可约多项式当且仅当p p x q是素多项式.2.(20分)(1)设A是n阶方阵,E是单位矩阵,k‰0.证明:A2“kA当且仅当rank p A q`rank p A´kE q“n.(2)证明:任意方阵可以表示为满秩矩阵和幂等矩阵的乘积.3.(20分)设R表示实数域,V“M3p R q表示所有3ˆ3实矩阵构成的向量空间.对给定的A P M3p R q,定义V上的线性变换A:VÑV为A pB q“AB´BA,对任意的B P M3p R q.设A“¨˚˝000010002˛‹‚.求A的特征值和相应的特征子空间;并求此时A的极小多项式.4.(30分)设有三元实二次型f p x,y,z q“x2`3y2`z2`4xz.并设x,y,z满足x2`y2`z2“1.试求f的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达到最大值和最小值.5.(30分)设R是实数域,V“C1r0,1s是闭区间r0,1s上的实连续可微函数的集合.V在函数的加法和数乘函数的运算下是一个向量空间.(1)证明函数f p x q“cos x,g p x q“2x,h p x q“e x在V中线性无关.(2)任意给定ną0,在V中找出n`1个线性无关的元素,并证明你的结论.(3)对某个m,是否有V和R m同构,如果是,给出证明;如果不是,说明理由.6.(30分)(1)设A和B均为n阶复方阵,证明:A与B相似当且仅当作为λ´矩阵,有λE´A等价于λE´B.(2)设A,B都是3阶幂零矩阵,证明:A相似于B当且仅当A与B有相同的极小多项式.(3)试说明上述结论p2q对4阶幂零矩阵是否成立,为什么?。

华中师范大学数学分析考研真题以上是01年数分2003年数学分析（综合卷）1.(16)求下列极限：(1))/1(2)!(lim n n n +∞→. (2))(x f 在]1,1[-上连续，恒不为0，求131sin )(1lim 30--+→x x x x f2.(15)设)(x f 在],[b a 上二阶可导,过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相较于))(,(c f c C ,其中b c a <<,证明:在),(b a 中至少存在一点ξ,使0)(=''ξf .3.(15) 证明:x x n n 21ln ∑∞=在]1,0(上一致收敛.4.(15) 设))}({(x f n 是],[b a 上的函数序列,满足对每一个],[b a x ∈导函数)(x f n '存在),2,1( =n 并且满足下列条件:(1)存在某一个],[0b a x ∈,使))}({(0x f n 收敛；(2)导函数列)}({x f n '在],[b a 上一致收敛. 证明: )}({x f n 在],[b a 上一致收敛.5.(14)设)(x f 在],[b a 上可导,其导函数)(x f '在],[b a 可积,对任意的自然数n .记⎰∑---+==b a ni n dx x f n a b n a b i a f )()(1σ , 证明:)]()([2lim a f b f a b n n n --=+∞→σ.2004年数学分析1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)(1)21sin 0lim(cos )x x x → (2)11lim 123n n →∞+++1…+n (3)74444lim (112)x x x x x →∞++-- (4)1limsin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑ 2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b a f f ⋅'⋅=')()(2ηηξ.4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e 在],[b a 上也是黎曼可积的.5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有1212|()()|||n n M f x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0b n n a g x f x dx →+∞=⎰. 6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至少存在一点ξ,使得(3)()3fξ=.8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值. 2005年数学分析1.求下列极限或指定函数的值:(1)1!2!3!!lim !n n n →∞++++ (10分) (2)135(21)lim 2462n n n n →∞- (10分) (3)1326lim[().1]2x x x x x e x →+∞-+-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且130()lim(1)x x f x x e x →++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()f a f f a bg g b g ξξξξξ-∈=-(使. 3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4242max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥⎰. 4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+ 证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解. 5.(13)证明:函数项级数11((1))x n n x e n n ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛. 6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2ba ab f f x dx b a +≤-⎰. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数101..!x n t n n a t e dt n ∞-=∑⎰在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得31()()()().''()224ba ab f x dx b a f b a f ξ+=-+-⎰ 2006年数学分析 1.(30) (1)111sin )1(sin lim 121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3) dx x x ⎰+ln 1ln ln . (4)设yx y x y x f y arcsin )1(),(2-+=,求)1,(x f x '.(5)dxdy e y x y xD 22)(+⎰⎰+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求⎰-=Lydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =. 2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续. (2)()lim ()lim ()x x a f a f x f x ++→∞→=存在，但不一定存在. (3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f ax x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。

华中师⼤《⾼等数学》练习测试题库及答案华中师范⼤学⽹络教育《⾼等数学》练习测试题库及答案⼀．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D ⽆界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既⾮充分也⾮必要5．下列命题正确的是（）A ．发散数列必⽆界B ．两⽆界数列之和必⽆界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与⽆穷⼩（x-1）等价的⽆穷⼩是（）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件B 、⽆界函数C、有最⼤值与最⼩值D、⽆最⼩值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成⽴是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满⾜14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最⼩最⼤值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、⽆关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、⽆关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xB、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由⽅程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、⽆关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、036、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型38、极限 xx x x sin 1sin lim 20→=（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（）A 、（n+1）阶⽆穷⼩B 、n 阶⽆穷⼩C 、同阶⽆穷⼩D 、⾼阶⽆穷⼩40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（）A 、唯⼀的零点B 、⾄少存在有⼀个零点C、没有零点D、不能确定有⽆零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为⾃然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三⾓函数C、⼀定是初等函数D、⼀定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平⾯图形⾯积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平⾯图形绕轴旋转⽽成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲⾯⽅程（P，Q）则⽤下列平⾯去截曲⾯，截线为抛物线的平⾯是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平⾯x=a截曲⾯x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、⽅程=0所表⽰的图形为（）A、原点（0，0，0）B、三坐标轴C、三坐标轴D、曲⾯，但不可能为平⾯54、⽅程3x2+3y2-z2=0表⽰旋转曲⾯，它的旋转轴是（）A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任⼀条直线55、⽅程3x2-y2-2z2=1所确定的曲⾯是（）A、双叶双曲⾯B、单叶双曲⾯C、椭圆抛物⾯D、圆锥曲⾯56、设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１A.１－──B.１+ ──C. ────D.ｘ57、ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘA.⽆穷⼤量B.⽆穷⼩量C.有界变量D.⽆界变量58、⽅程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表⽰的图形是（）A.平⾏于ｘｏｙ⾯的平⾯B.平⾏于ｏｚ轴的平⾯C.过ｏｚ轴的平⾯D.直线59、下列函数中为偶函数的是（）A.ｙ＝ｅ^xB.ｙ＝ｘ^3＋１C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘD.ｙ＝ｌｎ│ｘ│60、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则⾄少有⼀点ζ∈（ａ，ｂ）使（）A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）61、设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X＝Xo 可导的（）A.充分必要的条件B.必要⾮充分的条件C.必要且充分的条件D既⾮必要⼜⾮充分的条件⼆、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（）11、函数y=2x 3极⼩值与极⼤值分别是（）12、函数y=x 2-2x-1的最⼩值为（）13、函数y=2x-5x 2的最⼤值为（）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最⼩值为（）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（） 16、∫xx 1/2dx= （）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（）20、已知函数f(x)==≠?-0,0,022)1(1x a x xt dt e x 在点x=0连续，则a=（）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2adx/(a 2+x 2)=（）24、∫01 dx/(4-x2)1/2=（）25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）26、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=( )27、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的⾯积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的⾯积是（）38、⼼形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三⾓形为（）40、⼀动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹⽅程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平⾯3x-7y+5z-12=0平⾏的平⾯⽅程是（）42、求三平⾯x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平⾏于xoz⾯且经过（2，-5，3）的平⾯⽅程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平⾯⽅程是（）45、平⾏于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平⾯⽅程是（）46、函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ^2_______________。

华 中 师 范 大 学2019年研究生入学考试试题（数学分析）一、 求下列极限（共50分，第1、2小题各10分，第3、4小题各15分）二、 1、21sin 0lim(cos )x x x →； 2、lim n →∞； 3、74lim x x →∞+-； 4、1lim sin (sin)2n n k k n nππ→∞=∑。

二、（15）设f(x)，g(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导，若12,x x 是f(x)在区间[a ，b]上的两个零点，证明：存在[,]a b ξ∈，使得三、（15）设f(x)在[a ，b](b>a>0)上连续，在(a ，b)内可导，证明：在（a ，b ）内存在,ξη使 2.'()'().f f a b ηηξ=四、（15）设f(x)在[a ，b]上黎曼可积，证明：()f x e在[a ，b]上也是黎曼可积的。

五、（15）设'()(1,2,3,n f x n =…）在[a ，b]上连续，函数g(x)在[a ，b]上也连续，且对[a ，b]中任意的12,x x 和正整数n 有1212|()()|||n n M f x f x x x n-≤- （M>0为常数）证明：lim ().'()0bn n a g x f x dx →+∞=⎰死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。

但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。

相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

六、（15）设()n f x （n=1，2，3…）在[a ，b]上连续，且{()}n f x 在[a ，b]上一致收敛与f(x)。

证明：1）存在M>0，使对任何自然数n 有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及2）若F(x)为-∞+∞（，）上连续函数，则(())n F f x 一致收敛于F(f(x)). 七、（10）设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0,f(1)=1,f '(0)=0，证明在（-1，1）内至少存在一点ξ使得(3)()3f ξ=。

华中师范大学2007 –2008学年第一学期期末考试试卷B11022234300542113A--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪-⎝⎭的迹为（ C ）A 2-;B 1-;C 0;D 1.2．空间中曲面方程为2222221x y za b c+-=则它是（ B ）A 椭球面;B 单叶双曲面;C 双叶双曲面;D 椭圆抛物面.3下面叙述错误的是（ C ）A. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的正惯性指数等于n;B. 一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的所有特征根是正的;C．一个n阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的n个顺序主子式1,,det0,1,,1,,mA m nm⎛⎫≥=⎪⎝⎭;D. 正定矩阵的合同矩阵也是正定的.4. 设204060402A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,下列是矩阵A的特征向量的是:（ A ）A (101)T -; B(12)T; C (201T; D(0,0,1)T .1．已知1P AP B -=, ()f x 为一个k 次多项式, 那么1()P f A P -=()f B .2．设矩阵142034043A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭, 则A 的伴随矩阵*A 的三个特征为 .3．空间上的仿射坐标变换公式为:111213111121321222322122233132333313233''det 0'x r r r x t r r r y r r r y t r r r z r r r z t r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+≠ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 4. 空间上的二次曲面方程为: (,1)01T T Q L X X L k ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 那么它的欧式不变量为: 123,,,det T Q L L k λλλ⎛⎫⎪⎝⎭.1． 用欧式坐标变化化平面二次曲线:22245416140x xy y x y +++++=为标准形.2. 二次型123121323(,,)242f x x x x x x x x x =++, 求: (i) 写出二次型对应的实对称矩阵f A ;(ii) 求可逆矩阵P , 使得1f P A P -为实对称矩阵f A 的标准形; (iii) 求以上二次型的正、负惯性指数, 并判定二次型的正、负定性.解：(i) 012101.210f A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(ii)下面用合同变换化该是对称矩阵为标准型 如下：11111111222222229339331122222222111012100113110213110101010101010101010210001210001210001213110200110000001012001100004⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭→----11111111222220011000001210041210000100000010010011002⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎫⎛⎫⎪ ⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故1212100P ⎫-⎪=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (iii)正惯性指数是1， 负惯性指数是2， 此二次型既非正定亦非负定.1．证明: 21()12!(1)!!n nx x x f x x n n -=+++++- 没有重因式.证：21'()1,2!(1)!n x x f x x n -=++++- 所以21gcd(((),'())gcd(()'(),'())gcd(,1) 1.2!(1)!n nx x f x f x f x f x f x x x n -=-=++++=-因此()f x 没有重根. 2．设1121A ⎛⎫=⎪-⎝⎭, 求极小多项式()A m λ, 并且证明 323210A A A -+ 可逆. 解：2212211()3(210,0.()() 3.()det A E A A A f f f f f f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--∆=-==-=+-+≠≠=∆=-===A 3232i i i i 321i 又故m 且的特征值为则(A)=3A -2A +10A 的特征值为()=3-2+10,i=1,2.即(A)=3A -2A +10A 的特征值为(则(A)=()0f λ≠132(故3A -2A +10A 可逆.3．设,A C 为n 阶正定矩阵, 设B 是矩阵方程AZ ZA C +=的唯一解. 证明:(1) B 是对称矩阵;(2) B 是正定矩阵.五、证明题：（每题12分，共12分）设A 为n 阶实可逆矩阵, 证明:(i)存在正交矩阵P 和上三角矩阵T 使得A PT =; (ii)存在一个三角矩阵T 使得A T T '=.证：把A 的n 个列向量记作1,,n αα ，则它们是线性无关向量组（是n R 的基底）对他们做正交化：1111,,(1),2,.,j j i jj i i i i j n βααββαβββ-==⎧⎪⎨=-=⎪⎩∑再做标准化：,1,.(2)jj jj n βγβ==以1,n γγ 为列向量做矩阵1(,),n P γγ= 则是正交矩阵。