第十讲 面积计算

第十讲图形面积知识要点我们在解题时进场会遇到有关求图形面积的问题，有些图形面积比较复杂，这就要求我们要认真审题，通过组合、平移、拼图等方法解决具体问题。

解答图形面积问题的时候，应注意一下几点：1、细心观察，把握图形特点，合理进行切拼，从而使问题得以顺利解决。

2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析、推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

芝麻开门阿明家门口准备铺一块长方形草坪，中间留出一条长方形小路，妈妈让阿明算一算草坪的面积有多大。

阿明想了想说：“妈妈，现在的草坪被中间小路隔开了，已经不是原来的长方形了，可怎么算呀？”同学们你们能帮助阿明吗？生活中我们经常会遇到这样的问题，就让我们来一起研究吧。

经典范例例1 人民广场有一块长100米，宽60米的长方形绿地，中间留了一条2米宽的小路，这片绿地有多少平方米？思路解析：可以把草坪两边向中间平移合并成一个长方形，长方形长是100-2=98米，宽没有变化，这样就可以算出草坪的面积了。

解：（100-2）×60=5880（平方米）答：这片草坪的面积为5880平方米。

例2 一个长方形如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米；如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米。

问这个长方形原来的面积是多少平方米？5米思路解析：根据题意，由“宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米”，可知长方形宽为30÷5=6米；又由“长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米”可知长方形长为48÷3=16米。

解：（48÷3）×（30÷5）=96（平方米）答：这个长方形原来面积是96平方米。

例3 如图 大小两个正方形有部分重合，空白部分甲比乙的面积多多少平方厘米？ 思路解析：空白部分的面积无法直接求出，但是通过观察可知，甲加重叠部分正好是小正方形面积，乙加重叠部分正好是大正方形面积，用大正方形面积减去小正方形 面积，公共部分可以抵消。

教学辅导教案1．如图是两个完全一样的平行四边形，涂色部分比较，（）A．甲面积大B．乙面积大C．面积相等D．无法比较2．计算如图平行四边形的面积，错误算式是（）A．6×8 B．10×4.8C．4.8×63．三角形和平行四边形的底和面积都相等，已知三角形高是8cm，平行四边形的高是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．无法确定4．求下图平行四边形的底．5．如图，平行四边形面积150平方米，它阴影部分面积多少平方米？第1页共11页6．做一个底是4.5m，高是2m的平行四边形广告牌．如果每平方米用防锈漆0.7kg，并且广告牌两面都需要漆防锈漆，这块广告牌需要用多少千克防锈漆？7．在2013年小学六年级抽测考试中，有这样一道题：一个平行四边形，相邻两条边的长度分别是12厘米和8厘米．量得它的高是10厘米．它的面积是80 平方厘米．赵凯同学的答案是：120或80，你认为正确吗？请说明理由．（可画图分析）一．填空题1．从2根3厘米长和2根7厘米长的小棒中，选出3根围成一个等腰三角形，围成的等腰三角形的周长是厘米．2．一个三角形的面积是36dm2，底是36dm，它的高是分米．3．一个三角形高不变，要使面积扩大3倍，底要扩大倍．4．如图平行四边形的面积是15cm2，阴影部分的面积是．5．一个平行四边形的面积是120平方分米，与它等底等高的三角形的面积是平方米．6．一个高是4厘米的三角形与边长是4厘米的正方形面积相等，三角形的底是厘米．7．一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果平行四边形的面积是20平方厘米，三角形的面积是平方厘米；如果三角形的面积是24平方厘米平行四边形的面积是平方厘米．8．等边三角形的周长是18cm，高是3.6cm，它的面积是cm2．9．图中长方形的面积是40平方厘米，则三角形的面积是平方厘米，平行四边形的面积是平方厘米．10．一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果平行四边形的面积是72平方分米，那么这个三角形边形的面积是平方米．二．判断题1．在一个长方形内画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积一定是这个长方形面积的一半．（）．2．两个面积相等的三角形，底和高也相等．（）．3．一个三角形的高延长到原来的四倍，面积就是原来的两倍．（）．4．等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半．（）．5．三角形的底和高都扩大到原来的3倍，面积也扩大到原来的3倍．（）．6．一个三角形的底扩大10倍，高缩小10倍，面积大小不变．（）．7．等腰直角三角形的一条直角边长是5厘米，它的面积是12.5平方厘米．（）．8．等底等高的两个三角形，无论形状是否一样，它们的面积是相等的．（）．知识解析：一、三角形的面积公式与推导1、推导过程（割补）（1）（2）2、三角形的面积=底×高÷2；S = ah÷2逆运算公式：三角形的底=面积×2÷高（a = 2S÷h）三角形的高=面积×2÷底（h = 2S÷a）注意：在求三角形的面积时，底和高必须对应。

第十讲面积（一）教学课题：面积（一）教学课时：两课时教学目标：1、结合实例让学生认识面积的含义，初步学会比较物体表面和平面图形的大小。

2、掌握常用的面积单位以及它们之间的进率，并能灵活运用。

3、经历探索长方形、正方形面积计算的过程，掌握长方形和正方形的面积计算公式，能灵活运用公式.正确地计算它们的面积。

4、了解长方形和正方形面积计算在实际生活中的应用，体会数学的价值。

教学重难点：重点：理解并掌握长方形和正方形的面积计算公式，能正确地计算它们的面积。

难点：掌握常用的面积单位以及它们之间的进率，并能灵活运用。

教具准备：图片本周通知：无教学过程：一、情景导入米老鼠和唐老鸭都在开心农场开辟了一块菜地，形状如下图：米老鼠的菜地唐老鸭的菜地这天，它们俩在农场上碰见了，争吵了起来，听听它们在吵什么呢？米老鼠说：我的菜地比你大。

唐老鸭说：不对，我们俩的菜地应该一样大。

同学们，究竟是谁的菜地大些呢？下面我们就一起来学习有关面积的问题。

(板书主题）二、新授课1、面积的含义物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。

长方形面积=长×宽正方形面积=边长×边长2、常用的面积单位平方厘米平方分米平方米公顷平方千米3、面积单位之间的进率：1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米 1平方米=10000平方厘米1平方千米=100000平方米补充题：在括号里填上合适的单位名称。

（1）指甲盖的面积大约是1（平方厘米）（2）课桌面的面积是30（平方分米）（3）铅笔长14（厘米）（4）教室黑板的面积是4（平方米）（5）数学练习本长18（厘米）师：从题目可知，（1）、（2）、（4）反映物体表面的大小，所以括号里应该填面积单位；（3）、（5）两题反映物体的长度，所以括号里应填长度单位。

例1、请你用红笔画出图形的周长，用阴影表示图形的面积。

师：周长是什么？生：封闭图形一周的长度。

第十讲 格点与面积一、课前热身：1、在右面的格点中，横排和竖排每相邻两个点的距离都为1厘米，求下列几何图形的面积各是多少？并把下面表格补充完整。

2、在下面的格点中，横排和竖排每相邻两个点的距离都为1厘米，回顾一下我们前面学过的剪切和拼接法，求下面各不规则图形的面积，并按要求填写下面表格。

二、典例精析：3、如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形的面积是平方厘米。

4、右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是平方厘米（横排和竖排每相邻两个小钉之间的距离都等于1厘米）。

5、如图，图中相邻格点围成的最小正方形的面积为4平方厘米。

那么，图中多边形的面积是平方厘米。

6、如图是3×3点阵，同一行（列）相邻两个点的距离均为1。

以点阵中的三个点为顶点构成三角形，其中面积为1的形状不同的三角形有种。

7、图中每相邻三个点围成的三角形的面积是1平方厘米，求下面各图形的面积，并按要求填写下表：8、（1）甲图中横方向与竖方向相邻两点距离均为1，那么图中连出的四边形的面积是；（2）乙图为一个等边三角点阵，可连出的最小的三角形面积是1，图中三角形的面积为。

9、图中每相邻3个点所形成的三角形面积均为1，试计算多边形ABCDE的面积。

10、如图，△ABC为网格三角形（即顶点都在网格交点上的三角形）以AC 为一条边，在图中做出与△ABC形状大小都相同的所有格点三角形。

三、竞赛真题：11、（2017•希望杯）如图，小正方形的面积是1，则图中阴影部分的面积是。

12、（2013•希望杯）如图是一个5×5的网格，每个小方格的面积都是1，阴影部分是类似数字“2”的图形，那么阴影部分的面积是。

13、（2016•希望杯）在下面的格点图中，水平相邻和竖直相邻的两个格点的距离都是1，则图中阴影部分的面积是。

14、（2016•希望杯）如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，若四边形ABCD的面积是23，则五边形EFGHI的面积是。

第十讲 平面图形的计数和面积一、 基础知识本讲的主要内容包括两部分：平面图形计数和平面图形面积计算。

（一）平面图形计数平面图形计数是指求满足一定条件的某种几何图形的个数。

解决这类问题常用方法是穷举（枚举）计数法，分类计数法，归纳递推法，应用原理（加法原理和乘法原理）。

这里为同学总结常用的一些公式。

1．数线段：一条线段上有n 个点（包括最两边端点），则共有线段条。

数角和三角形可借用此公式。

2．数长方形：长边有n 个点，宽边有m 个点，则共有长方形（包括正方形）·个。

3. 数正方形：每边有n 个点，则共有正方形（n-1）2+（n －2）2+（n －3）2+···+22+124. 直线分平面：平面上有n 条直线，则最多可把平面分成1+n （n+1）/2 类似的还有圆、三角形等分平面。

（二）平面图形面积计算1．图形面积是平面几何的重要内容之一．常用的面积公式有： (1)三角形面积公式：，其中a 为三角形的边长，a h 为边a 上的高．(2)平行四边形面积公式：..a b S a h b h ==，其中a 、b 分别为平行四边形的两条邻边的长，a h ﹑b h 分别为平行四边形a 、b 边上的高． (3)梯形面积公式：S 梯形=，其中a 、b 和h 分别为梯形的上底、下底和高.(4)圆面积公式：S 圆=兀R 2，其中R 为圆的半径．2．图形面积的有关性质：(1)一个图形的面积等于其各部分面积的和．(2)等底(同底)等高(同高)的两个三角形面积相等．(3)等底(同底)等高(同高)的三角形面积是平行四边形面积的一半． (4)等底(高)的两个三角形面积之比等于对应高(底)的比.3．面积问题通常包括两方面的内容：一是几何图形的面积计算与证明：二县用面积法解题．本讲重点介绍如何计算面积，一般有下面两种方法：(1)把一个不规则图形分割成三角形、平行四边形、梯形等规则图形，利用面积的和、差来计算； (2)利用等积变换进行代换．求一个图形的面积，关键在于如何转化为三角形的面积或规则图形的面积；证明面积之间的关系重点在于运用面积公式及等积变换进行比较、转化二、活题巧解（一）平面图形计数例1．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．A ．1条B ．4条C ．6条D ．1条或4条或6条解: D 若4点在同一直线上，则直线仅有一条；若4点中有3点在同一直线上，则符合条件的直线有4条;若4点中任3点都不在同一直线上，则直线有6条。

面积总结归纳在日常生活中，面积是一种用来描述物体表面大小的计量单位。

它在各个领域都有着广泛的应用，无论是在建筑设计、农业生产还是科学研究中，都需要准确地计算和比较不同物体的面积。

本文将对面积的概念进行简要介绍，并总结归纳面积的计算方法和应用场景。

一、什么是面积面积是平面几何中一种用来描述物体表面大小的量度。

它通常以平方单位（如平方米、平方厘米）表示。

在二维平面中，一个物体的面积等于其所占据的平面区域的大小。

二、常见物体的面积计算方法1. 矩形的面积计算：对于一个矩形，其面积可以通过将其宽度与长度相乘得到。

公式为：面积 = 宽度 ×长度。

2. 正方形的面积计算：对于一个正方形，其面积可以通过将其边长的平方得到。

公式为：面积 = 边长 ×边长。

3. 圆的面积计算：对于一个圆，其面积可以通过将其半径的平方乘以π（圆周率）得到。

公式为：面积 = 半径 ×半径× π。

4. 三角形的面积计算：对于一个三角形，其面积可以通过将其底边长度与高的乘积再除以2得到。

公式为：面积= （底边长度×高）/ 2。

三、面积的应用场景1. 建筑设计中的面积计算：在建筑设计过程中，需要计算各个房间、楼层、建筑物的面积，以便进行合理的空间规划和材料使用。

面积计算还有助于评估建筑的使用效率和设计质量。

2. 农业生产中的面积计算：在农业生产中，面积计算是农田规划、种植布局和农作物产量评估的重要依据。

通过计算田地面积，农民可以准确地安排种植区域，合理使用肥料和水资源，提高农作物的产量和质量。

3. 科学研究中的面积计算：在科学研究中，面积计算在各个学科领域都有广泛的应用。

例如，在地理学中，需要计算陆地和海洋的面积以研究地球表面的特征和分布；在生物学中，需要计算生物群落的面积以评估生态系统的健康状况。

4. 商业活动中的面积计算：在商业活动中，面积计算是商场、仓库和办公室管理的重要环节。

通过准确计算商业场所的面积，可以合理配置商品陈列、库存管理和工作空间，提高经营效率和顾客体验。

（六年级）备课教员：×××第十讲圆的面积一、教学目标： 1. 帮助学生理解圆面积的意义，掌握圆的面积公式，并能运用所学知识解决生活中的问题。

2.激发学生的学习乐趣，发展学生的空间观念，提高学生的分析、观察和概括能力。

3.引导学会进一步体会“转化”的数学思想，初步了解极限思想，体会发现新知识的快乐，培养学生学习数学的兴趣。

二、教学重点：掌握圆的面积的计算公式，能够利用公式解决圆面积的问题。

三、教学难点：理解圆的面积计算公式的推导过程。

四、教学准备：ppt五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（8分)师：同学们，老师家里最近发生了一件事情，十分困扰老师，能帮帮老师吗？生：能！师：看到同学们都这么自信，那么就让你们试试吧，看你们到底能不能帮助老师。

老师家里有一张圆桌，但是已经旧得不行了。

你们有什么办法可以让老师家的桌子变新呢？生：换新桌子、涂油漆……师：嗯，同学们提了很多意见，都非常好。

老师觉得涂油漆不错，但是老师又遇到一个问题：涂油漆的话，我要买多少油漆比较合适呢？同学们知道吗？生：……师：同学们不知道的话，跟着老师学完这节课，相信同学们就能帮助老师了。

【板书课题：圆的面积】师：上节课我们学了圆的周长，这节课我们学习圆的面积。

大家还记得圆的周长公式吗？生：d=。

Cπ师：嗯，那么圆的面积该怎么求呢？老师把这个圆分成了几份，然后重新拼起来，大家看出了什么没有？生：……师：没有？没关系，老师再把圆多分成几份，然后再重新拼起来，同学们有什么发现？生：是个长方形。

师：嗯，真棒，老师这个时候再分小一点，重新拼起来以后就越来越接近长方形。

这个长方形的面积是不是等于圆的面积？生：是。

师：长方形的面积怎么求呢？生：b=。

aS⨯师：嗯，b是什么？生：圆的半径。

师：a呢？生：圆周长的一半。

师：所以，圆的面积等于？生：2r=。

Sπ师：嗯，看来大家的学习能力都很强，接下来我们就来看例题一。

二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）欧拉把小羊用4米长的绳子拴在草地上，坐在一边看书，很快，半天时间过去了……那羊吃掉的草地最大面积是多少平方米？师：同学们放过羊吗？生：放过（没放过）。

第十讲 扇形的面积和周长解题方法：移拼、割补的思路移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。

设扇形的圆心角是n 度，则圆的周长计算公式是2C r π= ； 扇形的弧长计算公式是2360180n n L r r ππ=⨯= 圆的面积计算公式是2S r π= ；扇形的面积计算公式是213602n S r Lr π=⨯= 。

例1 如图所示，扇形ABD 的半径是4厘米，阴影部分②比阴影部分①大6.56平方厘米.求直角梯形ABCD 的面积.（π取3.14）例2 在边长为1厘米的正方形ABCD 中，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1厘米为半径画四分之一圆，得到4个交点E 、F 、G 、H ，如图所示。

则中间阴影部分的周长为多少厘米？（π取3.141）课堂练习1求右图所示图形的面积.（π取3.14，单位：分米）例3如图，在半径为6厘米的圆内画一个正六边形，阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）例4传说古老的天堂国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米。

每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影（如图）.那么，阴影部分的面积是多少平方米？（π取3.14）课堂练习2如图，115︒∠=，圆的周长是62.8厘米，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分面积. （π取3.14）例5如图，圆O的直径是8厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）课堂练习3一个直径为4厘米的半圆，让点A 不动，把整个半圆顺时针旋转45o ，此时点B 移至点B 1，如图，求图中阴影部分的面积.跟踪练习（π取3.14）1如图所示，已知圆1234O O O O 、、、 的半径都是5厘米，四边形的四个顶点都在即上，阴影部分的面积和是（ ）平方厘米。

2.如图所示，一等腰三角形，直角边长为4厘米，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

3.如图所示，在半径为10厘米，圆心角的度数为90o 的扇形中，分别以两条半径的中点E 和F 为圆心，以扇形半经的12 长为半径画两个半圆交于D ，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

◆ 孩子的未来 ◆第十讲 等积变换知识要点1．等积形：面积相等的两个图形称为等积形。

2．三角形的等积变形：三角形的等积变形指的是使三角形面积相等的变换。

3．三角形面积计算公式： S △=底×高÷24．三角形等积变形中常用到的几个重要性质： ⑴ 平行线间的距离处处相等。

⑵等底等高的两个三角形面积相等。

⑶底在同一条直线上并且相等，它们所对的角的度数是同一个，这样的两个三角形面积相等。

⑷若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

⑸若几个三角形的底边相等，并在两条平行线中的同一直线上，而且相等的底边所对的顶点在两条平行线中的另一条上，则这几个三角形面积相等。

5．解答三角形面积变形题目时常用到以下两条重要结论。

⑴等底等高的三角形面积相等。

⑵如果甲、乙两个三角形的高（底）相等，而甲的底（高）是乙的底（高）的几倍，则甲的面积一定是乙的面积的几倍。

典型例题例1 在三角形ABC 中（如图），3BD=DC ，阴影部分的面积是220dm 。

求三角形ABC 的面积。

ABC◆ 孩子的未来 我们的一切例2 在三角形ABC 中（如图），DC=2BD ，CE=3AE ，阴影部分的面积是20平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

例3 △ABC 中，D 、E 为BC 边的三等分点，M 、N 分别为AE 、AC 的中点。

若22cm S MNC =∆，求=∆ABC S ？例4 下图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，DE=3AE ，F 是CD 中点，求△BEF 的面积。

例5 已知三角形ABC 面积为8，2BD=AB ，BE=CE ，求三角形DBE 的面积。

图10-2D E C图10-3CFD 图10-4◆ 孩子的未来 我们的一切 ◆例6 右图中的三角形A ＇B ＇C ＇是把三角形ABC 的AB 延长1倍到B ＇，把BC 延长2倍到C ＇，把CA 延长3倍到A ＇，三角形A ＇B ＇C ＇的面积是三角形ABC 的多少倍？随堂小测1．求下列各图中阴影部分的面积。