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教材新知精讲 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四
综合知识拓展
教材习题答案
解:∵| ������-4|+ ������ + 3+(y-2z+1)2=0, | x-4|≥0, z + 3≥0, (y-2z+1)2≥0,
3
3
∴ ������-4=0,
z + 3=0, (y-2z+1)2=0, ∴x-4=0,z+3=0,y-2z+1=0, ∴x=4,z=-3,y=-7, 把 x=4,z=-3,y=-7 代入 x+4y+z 得 4+4×(-7)+(-3)=4-28-3=-27,
������ 2 3=100,由计算器,求得 · 2 x , 化简 , 得 x 2 π
x≈3.2,即这种容器的
底面直径为 3.2 分米. 点拨:运用圆柱体的体积公式求解,注意 1 升=1 立方分米.
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8.解:(1)∵2.5= 15.625, 3 3 而 15.625 > 9, 3 ∴2.5> 9.
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知识点二 开立方 求一个数的立方根的运算,叫做开立方. 名师解读 1.开立方是一种运算,正如开平方与平方互为逆运算一 样,开立方与立方也互为逆运算,开立方所得的结果就是立方根.
名师解读 要注意不同的计算器,按键的顺序也可能不同,使用时 应以说明书为准.
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例 3 用计算器求下列各数的立方根(结果精确到 0.001): (1)14;(2)1
57 625;(3)- . 6
3 3
解:(1)按键 ,14, = ,显示 2.410 142 264,则 14≈2.410. 3 3 (2)按键 ,1 625, = ,显示 11.756 673 44,则 1 625≈11.757. 3 (3)按键 - , ,(,57, ÷ ,6,), = , 显示-2.117 911 792,则
2
3
37
3
27 64
= 4;(4)
3
3
7 -1 8
=
3
- 8=-2.
1
1
8 ≈-0.684; 25
3
(4)± 2 402≈±13.392. (3)x=5.
3 5.解:(1)x=0.2;(2)x=2;
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6.解:一个正方体的体积扩大为原来的 8 倍,则它的棱长变为原 来的 2 倍;扩大为原来的 27 倍,则它的棱长变为原来的 3 倍;扩大为 3 原来的 n 倍,则它的棱长变为原来的 n倍. 点拨:正方体的体积等于其棱长的立方. 7.解:设这种容器的底面直径为 x 分米,则高为 2x 分米,根据题意, 得 50=π
3
∴ ������ + 4������ + ������ =
3
3
-27=-3.
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P51练习
1.解:(1) 1 000=10; (2) -0.001=-0.1; (3) -1=-1; (4)3 3 3
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-
57 6
=-
3
57 ≈-2.118. 6
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拓展点一 立方根的实际应用 例1 (2017· 吉林松原长岭期中)已知一个正方体的体积是1 000 cm3,现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体,使截 去后余下的体积是488 cm3,问截得的每个小正方体的棱长是多少? 分析:设截得的每个小正方体的棱长为x cm,8个大小相同的小正 方体的体积是8x3,余下的体积是1 000-8x3,则1 000-8x3=488. 解:设截得的每个小正方体的棱长为x cm, 依题意,得1 000-8x3=488, ∴8x3=512, ∴x=4. 答:截得的每个小正方体的棱长是4 cm.
10.-1,0,1不断开立方的结果仍为它们本身;小于-1的数不断开立 方的结果逐渐增大,并趋近于-1,大于-1的负数不断开立方的结果逐 渐减小,并趋近于-1,小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大,并趋 近于1;大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小,并趋近于1.
3
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3 27 3 3 (2)∵ = , 2 8 3 3 ∴2 > 3.
3
3=
3
27 , 9
3
27 8
>
3
27 , 9
点拨:解这类问题时,先统一化成立方根的形式,再利用被开方数 越大它的立方根也越大来进行比较.两个分数的分子相同,分母越 大,分数值反而越小.
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9.解:(1) 数 a, ������3 =a. (2)(
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拓展点四 利用立方根求字母的值
例 4 已知| x-4|+ z + 3+(y-2z+1)2=0,求 x+4y+z 的立方根.
分析:因为几个非负数的和为0,则每个加数都为0,就可以求出 x,y,z的值.
2.相反数的立方根的关系: -a=- ������.
3
3
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例 2 计算: (1) 216;(2) -125;(3)- 2 27; (4) -0.064.
分析:利用立方与开立方的互逆关系求出相应的立方根.
3 3 3 3
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解:(1) 216=6; (2) -125=-5; (3)3 3 3
3 3
3
23 =2,
3
3
(-2) =-2, (-3)3 =-3, 43 =4, 03 =0,对于任意
3 3 3
3
3
8)3=8,(
3 -8)3=-8,(
27)3=27,(
-27)3=-27,( 0)3=0,对于任
3
意数 a,( ������)3=a. 3 3 点拨: ������3 =a 和( ������)3=a 是立方根的两个性质.它与平方根最大 的不同点就在于任何数都有一个立方根,不受符号限制.
3
3
(2)因为(-7) =-343,所以-343 的立方根是-7,即 -343=-7; (3)因为(-0.9)3=-0.729, 所以-0.729 的立方根是-0.9,即 -0.729=-0.9; (4)因为
2 3 5
3
=
3 8 8 2 8 ,所以125的立方根是5,即 125 125
=
2 ; 5
3 27 3 3 27 (5)因为-3 =- , =- , 8 8 2 8 3 3 所以-38的立方根是-2, 3 3 3 即 -3 =- . 8 2
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拓展点二 平方根与立方根的综合应用
例 2 (2017· 安徽芜湖期末)已知实数 a+9 的平方根是±5,2b-a 的立方根是-2,求式子 ������ − ������的值.
解:∵实数a+9的平方根是±5,2b-a的立方根是-2, ∴a+9=25,2b-a=-8, 解得a=16,b=4.
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名师解读 立方根与平方根的不同:(1)一个正数的平方根有两个, 任何数都有且只有一个立方根;(2)负数没有平方根;正数的立方根 是正数,负数的立方根为负数;(3)根指数不同,在用符号表示平方根 时,根指数2可以省略,但用符号表示立方根时,根指数3不能省略.
6.2
立方根
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知识点一 立方根 1.定义:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立 方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.例 如,53=125,那么5是125的立方根. 2.表示方法: 一个数a的立方根,用符号“ 3 a ”表示,读作“三次根号a”,其中a是 被开方数,3是根指数. 3.性质: (1)正数的立方根是正数; (2)负数的立方根是负数; (3)0的立方根是0.
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解:填表结果为0.1,10; (1)有规律,当被开方数的小数点每向左(或向右)移动3位,立方根 的小数点向左(或向右)移动1位. (2)能求出a的值. 3 ∵ 0.125=0.5,
∴ -0.125=-0.5,
由-0.5和-50,小数点向右移动了2位,则a的值的小数点向右移动6 位, ∴a=125 000.
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P51习题6.2 1.解:(1)(3)(4)正确,(2)错误. 点拨:任何一个数都有一个与它自身符号相同的立方根. 2.(1)(2)(3)(4)都有意义. 点拨:四个小题表示的都是一个数的立方根,而任何一个数都有 一个立方根.
