七年级数学平方根和立方根PPT教学课件 (2)

1 2
立方根的定义
一个数$a$的立方根是一个数$x$，满足$x^3 = a$。
立方根的性质
任何实数的立方根只有一个值，可以是正数、负 数或零。例如，$-8$的立方根是$-2$。
3
立方根的运算规则
$(a^3)^n = a^{3n}$；$(a^n)^3 = a^{3n}$。
平方根与立方根的混合运算
混合运算的顺序
注意事项
先进行乘除运算，再进行加减运算。
在进行混合运算时，需要注意运算顺 序和符号的变化，避免出现计算错误。
运算规则
$(a pm b)^3 = a^3 pm 3a^2b + 3ab^2 pm b^3$。
05
实际应用
平方根在日常生活中的应用
计算土地面积
在农业、土地测量等领域，经常 需要计算土地面积，平方根是计
关系，以及平方根的近似值计算方法。
学生对于本节课的评价和建议
03
学生可以提出自己的意见和建议，以便教师更好地改进教学方
法和课件内容，提高教学质量。
THANKS
感谢观看

开方与乘方的关系
开方是乘方的逆运算，即a的平方根是a的1/2次方。
平方根的近似值计算
如何使用四舍五入法或二分法等近似计算平方根的值。
学生自我评价与反馈
学生对本节课内容的掌握程度
01
学生应该能够理解并掌握平方根的基本概念和性质，以及如何
进行简单的平方根运算。
学生对于本节课难点的理解情况
02
学生应该能够理解平方根与算术平方根的区别、开方与乘方的
平方根的表示方法
代数表示法
在代数中，我们通常用符号√来表示平方根，并在数字上方画一条横线或使用斜杠 来表示。例如，√4=2或√4=∣2∣。

根”。
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
第28页/共32页

习题6.2第1,2,3,5,6,9题.
2.七彩作业.
第六章
实数
6.2 立方根
学习目标
1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方
根,建立符号意识.
2.理解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数
的立方根,提升运算能力.
3.经历用计算器探索数学规律的过程,发展推理能力.
学习重难点
学习重点：立方根的概念及求法.
学习难点：立方根与平方根的区别与联系.
有一个,是正数
0
负数
0
无
0
有一个,是负数
探究新知
学生活动四【一起探究】
完成下面的填空:
3
(1)因为 −8=
3
(2)因为 −27=
(3)因为
3
-2
3
,- 8=
-3
3
-2
,- 27=
3
,所以 −8
-3
3
=
,所以 −27
3
- 8.
=
3
- 27.
1
1 3
3
1
1
1 = 3 1
−
= 5 ,= 5 ,所以 −
.
125
125
125
125
探究新知
思考: 3 −a与- 3 a有何关系?
解： 3 −a=- 3 a.
探究新知
学生活动五【一起探究】
利用计算器探究被开方数的小数点与立方根的小数点之间的变
化规律.
(1)利用计算器计算,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?
你能说说其中的道理吗?
…
…
3
0.000 216
3
(4) −8=-2;(5)

实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。

4
3 0.13

（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5

64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3

0.13
3 0. 6 4

解：(1) 因为10³=1000 ,
所以1000的立方根是10 ,
即
.
典型例题
求下列各数的立方根：
(1) 1000 ; (2) ; (3) 0.729; (4) .
解 ：(2) 因为
,所以 的立方根是 ,
即
.
典型例题
求下列各数的立方根: (1) 1000 ; (2) ; (3) 0.729; (4) .
解 ：(3) 因为
,
所以0.729的立方根是0.9 ,
即
.
典型例题
求下列各数的立方根: (1) 1000 ; (2) ; (3) 0.729; (4) .
方法2 : (3) 由于 只需求
, 的立方根即可.
典型例题
求下列各数的立方根: (1) 1000 ; (2) ; (3) 0.729; (4) .
(1)
; (2)
; (3)
.
分析: 根据立方根的定义求 x 的值 .

典型例题
求下列各式中x的值:
(1)
; (2)
; (3)
.
解 : (1)
典型例题
求下列各式中x的值:
(1)
; (2)
; (3)
.
解: (2)
.
.
典型例题
求下列各式中x的值:
(1)
; (2)
; (3)
.
解: (3)
巩固练习
求下列各式中 x 的值:
思考
要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱的 棱长应该是多少呢?
思考
要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱的 棱长应该是多少呢?
正方体棱长³=正方体的体积

二、学习目标
1,理解并掌握平方根的定义,了解什么是被开方数? 什么叫根指数?
2，理解并掌握平方根的性质。 3，理解算术平方根的概念。 4，了解什么是开平方？ 5，能区别平方根、算术平方根、负的平方根之间
的关系。 6，会求一个数的平方根。
三、自学提纲
看书本上第2~4内容，解决以下问题
1,什么叫做一个数a的平方根?平方根定义用符号语言怎样表示?
（一）：书本上第6页课后练习第1,2,3,4 （二）：3m－4和7－4m是正数N的平方根，
容?
七课堂作业 必做题: 1,书本上第9页习题6.1第2题
2, 361的平方根是 ；144 49
16 的平方根是
的算术平方根是 ____；
选做题:书本上第9页习题6.1第1题. 课外作业:基础训练同步
6,算术平方根: 一个正数a的正的平方根叫做这个正数a的算术平 方根。
0的算术平方根等于0
7,求一个数的平方根的运算叫做开平方.
开平方与平方是互为逆运算
例1:判断下列各数是否有平方根,如果有,求出它的
平方根;如果没有,说明道理.
1, 25
2,
1 4
3, 0.0169
4, 64
五、巩固新知，当堂训练
6.1平方根、立方根
一、引入 由美国和欧洲共同研制,35亿千米
土星
卡西尼号
“卡西尼”号土星探测器历经了80多个月的飞行,
成功进入环绕土星运行的轨迹,要使土星探测器 飞离地球,它的速度需大于 v 2 ,计算 v 2 的公式为 v2 2gr 。由上式求 v 2 ，就要引进新的运算—开 方和新的数—实数。
_____,2可以______.
a 叫做________,它表示_______;

学生的基础知识。
01Biblioteka 1. 判断题：下列哪个数是无理
数（）。
02
A. $sqrt{4}$ B. $sqrt{2}$ C.
$sqrt{3}$ D. $-sqrt{2}$
03
2. 选择题：下列哪个数的平方 是16？
04
A. 4 B. -4 C. $pm 4$ D. $sqrt{16}$
05
3. 填空题：$sqrt{9} =$____，
THANKS
感谢观看
平方根的符号
在数学中，平方根用符号"√"表示 。例如，4的平方根可以表示为 √4=2。
平方根的表示方法
代数表示法
对于非负实数a，其平方根可以表示 为sqrt(a)。例如，sqrt(4)=2。
几何表示法
在数轴上，一个数的平方根表示该数 在数轴上到原点的距离。例如，4的平 方根表示数轴上到原点距离为2的点。
教学目标
01
02
03
知识目标
理解平方根的概念，掌握 平方根的性质和运算方法 。
能力目标
能够运用平方根解决实际 问题，培养学生的数学思 维能力和探究能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，树立正确的数学观 念和科学精神。
02
平方根的基本概念
平方根的定义
平方根的定义
如果一个数的平方等于给定的数 ，则这个数称为给定数的平方根 。例如，4的平方根是2，因为 2^2=4。
为2x2=4。
开平方的方法
通过不断地尝试和调整，找到一 个数的平方根。例如，求9的平 方根，可以尝试2、3、4...等数 字，发现3x3=9，所以9的平方
根是3。
平方根的性质

2.分别求下列各式的值：
（1） 3 125 ；（2）3 0.008
（3） 1 3 64
（4） 3 0.001 0.01
探究新知
3 a . 3 a
填空，你能发现其中的规律吗？
因为 3 8 ＝ -2 ， - 3 8=__-_2__, 所以 3 8 _＝_ 3 8 ； 因为 3 27 __-_3____, 3 27 __-__3____, 所以 3 27 ___＝____ 3 27.
立方根的定义：
若 x3 a ，那么x叫做a的立方根
记为：
a 根指数 3
被开方数
3.我们把求立方根的运算称之为 开立方 它与立方运算是互逆的
试一试： 把下列式子表示出来
（1） 8 的立方根 （2） - 64 的立方根
(3) 0的立方根
求下列各数的立方根： （1）27，（2）-27，（3）1 ，
27 （4）-0.064，（5）0
（6）-512
立方根的特征： 任何一个数 a 都只有一个立方根
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
1.下列语句对吗?
(1)0.0027的立方根是0.03 ×
(2)0.009的平方根是0.3 ×
(3)一个数的立方根等于这个数
的立方,那么这个数为1,0,-1. √
归纳总结
问题1：什么是立方根？如何求一个数的 立方根？
问题2：我们研究立方根的方法与研究平 方根的方法之间有什么联系？
布置作业 教科书 习题6.2 第1、3、5题
再见
(1)1的平方根是__；立方根为____；算术平 方根为__． (2)平方根是它本身的数是____． (3)立方根是其本身的数是____． (4)算术平方根是其本身的数是____．

6.1 平方根、立方根 （第2课时）
引入 要制作一个容积为125dm3的立方体
木箱（如图），它的棱长是多少？
设棱长为x dm，则
x3=125.
要求一个数，使它的立方等于125.
探究 (1) ( )3=8; (2) (
)3= -8;
(3) (
)3=
1 27
;
(4) (
)3=
1 27
.
立方根的定义:一般地，如果一个 数的立方等于a ， 那么这个数叫做a的 立方根，也叫做三次方根，记作 3 a ， 读作“三次根号a”.其中a叫做被开方 数，3叫做根指数.
8的立方根是( ) 0的立方根是( )
(2)3 8
8的立方根是( ) 1、正数的立方根是正数， 2、负数的立方根是负数； 3、0的立方根是0.
探究 3 8 , 3 8 3 8 3 8
3 27 , 3 27 3 27 3 27
立方根的性质：
范例 例1、求下列各式的值:
(1) 3 64
A 15.58
B 155.8
C 1558
D 15580
探究 你能比较以下两个数的大小吗？
24 与 5
3 28 与 3
乘方法和估算法.
归纳 开立方的定义：求一个数的立方根的 运算,叫做开立方.
在引入的问题中，
因为53=125， 所以125的平方根是5.
探究 立方运算与开立方运算的关系
立方
+1
1
-1
-1
+2
8
-2
-8
+3
27
-3
-27
开立方
1
+1
-1
-1
8

D.
自主训练
1的平方根是1( )
1、 求下列各数的平方根：
一般地，如果一个数的平方等于a，
（（（123）））0.64149 12665; （,1也1那﹣那那x1﹣（68,下(1,那那01+4-的 的的 -的 -)3331就么1么么11列么么2一,,,） 的 的 ）平平 平平和是 ， 这 ， 各 这 ，333个你方方 平方平你方,,,3说x个x数个x111x正C叫叫叫能根根 方根方能根,,,－，数没数.数BD做做做求是是 根是根求是1如叫有叫..有4aaa出是是出1111是果做平做的的的((((几下下﹣﹣一方xaa平平平个))))2列列1的1的个根=方方方((平各各平平a数的根根根，方))数 数方方的是...根的的根根平(DD,有平平或或..方)什方方二二根么吗吗次次，特??方方则点根根x等?，，于(
平方根
思考与探索：
（1）你能求出下列各数的平方吗?
0, -1, 5, 2.3, - 4
25
1
5 , -3, 3, 1,
（2）.填表：
x2 1 16 36 49 x
想好了，就填
x
8
-8
3
－
5
3 5
x2
121 0.36
一般地，如果一个数的平方等于a，
﹣1的平方根是﹣1( ) D.
那么这个数叫做a的平方根或二次方根， 那么，x叫做a的平方根.
那么，x叫做a的平方根.
也就是说，如果x2=a， 下列各数没有平方根的是( )
64
B.
, -3, 3, 1,
那么，x叫做a的平方根. 1的平方根是1( )
(1)一个正数有几个平方根,有什么特点? 1的平方根是1( )
x+2和3x－14是一个数的平方根，则x等于( )