平面向量模的求法(课堂PPT)

B(2,0,1), C(3,2,0), 试求平面 的一个法 α , α ? 向量 再谈谈你求平面 的法向量的想法
α
A
B
C
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思考: 思考 1.平面 的法向量如何求 平面α的法向量如何求 平面 的法向量如何求? 2.平面 的法向量有何特点和作用 平面α的法向量有何特点和作用 平面 的法向量有何特点和作用?
a b 为 = ( x1、y1、z1 )，= ( x2、y2、z2 ), 平面 、 α
β的法向量分别为 = (a1、b1、c1 )，= ν
(a2、b2、c2 ).
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运用2. 运用2. l、 设直线 设直线 m的方向向量分别
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研读教材P 研读教材 102-P103:
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研读教材P 研读教材 102-P103: 问题1: 如何确定一个点在空间的位置? 问题 如何确定一个点在空间的位置 问题2: 在空间给定一个定点A和一个定方向 和一个定方向(向 问题 在空间给定一个定点 和一个定方向 向 量), 能确定一条直线在空间的位置吗? 能确定一条直线在空间的位置吗
(2)若直线与平面 的夹角为 ,如图所示： l α θ 如图所示：
a
α
θ 你将如何求 ？
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u
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(3)若平面 与平面 所成二面角的大小 α β 如图所示： 为θ ,如图所示：

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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：向量的概念和几何表示
§ 2.1
我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有 大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量． 例如，已知下列各量： ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度； ⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有②④⑤⑨⑩， 是向量的有①③⑥⑦⑧.
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：平行向量与共线向量
§ 2.1
思考 2 如果非零向量A→B与C→D是共线向量，那么点 A、B、C、D 是否一定 共线？ 答 点 A、B、C、D 不一定共线．
思考 3 若向量 a 与 b 平行(或共线)，则 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)吗？
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点二 ：几个向量概念的理解
§ 2.1
思考 4 在同一平面内，把所有长度为 1 的向量的始点固定在同一点，这 些向量的终点形成的轨迹是什么？
答案 单位圆
明目标、知重点
填要点、记疑点
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当堂测、查疑缺
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答 向量 a 与 b 平行(或共线)，则向量 a 与 b 不一定相等；
向量 a 与 b 相等，则向量 a 与 b 平行(或共线)．
明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然

，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．

探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2

例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝ 2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设A→D＝a，A→B ＝b，试用{a，b}为基底表示D→C，E→F.
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以D→C＝A→F＝12A→B＝12b. E→F＝E→D＋D→A＋A→F ＝－12D→C－A→D＋12A→B ＝－12×12b－a＋12b＝14b－a.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意 向量； C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋ λ2e2一定在平面α内； D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为 平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为__(－__∞__，__4_)_∪__(_4_，__＋__∞__) _.
解析 若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线. a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2， 所以21≠2λ，得 λ≠4.
跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D ＝b，B→D＝c，则以{a，b}为基底时，A→C可表示为__a_＋__b___， 以{a，c}为基底时，A→C可表示为__2_a_＋__c__.
解析 以{a，b}为基底时，A→C＝A→B＋A→D＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将B→D平移，使 B 与 A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得A→C＝2a＋c.

3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别

3.2.2
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【学习要求】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直． 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 【学法指导】
在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同 的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、 集体交流的好习惯.
第十二页，共28页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)
3.2.2
更高效
跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、
F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
研一研·问题(wèntí)探究、课堂
3.2.2
更高效
例2 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求
证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
则易得 B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3.2.2
3．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量 为1，12，2，则 m＝________. 解析 ∵(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0. ∴m＝－8.
答案 －8
第二十五页，共28页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
3.2.2
问题 2 根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平 面的位置关系． (1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， n＝(－1,2，－1)； (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)； (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)． 解 (1)∵a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)， ∴a·n＝－3＋4－1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α 或 l∥α.

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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.

【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。

答案
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，