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21.2.1 直接开平方法解一元二次方程课件PPT

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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)

21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程：
（3）5x2-3x=x+1
（4）x2+17x=8x
解：方程化为5x2-4x-1=0
解：方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4＜0.
因式分解，可以考虑配方法；
（4）三项都有，且二次项系数不为1时的，一般可以用公式法。
小练习
例 3：解方程：x2-6x-16=0。
解：原方程变形为（x-8)(x+2）=0。
于是，得x-8=0或x+2=0
∴x1=8，x2=-2
解析：一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因
（3）求解b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0；
−± 2−4
（4）代入公式x=
，即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2：用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为（ D ）
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析：x2-3x-1=0。这里a=1，b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×（-7）=44＞0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2

21.2.1 解一元二次方程(直接开平方法)

21.2.1 解一元二次方程(直接开平方法)

3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，
p 或mx＋n＝_____ p ． 那么x＝_____
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C １．方程x2－16=0的根为 ( Ａ.x=4 Ｃ . x =± 4 Ｂ. Ｄ. x=16
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.配方法．
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1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝___( aa≥0)，
由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为 ________________________. 两个一元一次方程
1.本课中的一元二次方程如何“降次”的？ 运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p （p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方 程 2.能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什 么特点？ 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的 一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）
2
(2)y2+2y+1＝3.
2 (y 1) 3 解：
y1 3 y1 1 3 y2 1 3
x1 0, x2 6
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6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另 一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 C．x＋6＝4 B． x－ 6＝ 4 D．x＋6＝－4
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y 5 2
1．若3(x＋1)2－48＝0，则x的值等于(Ｂ ) A．±4 C．－3或5 B．3或－5 D． 3 或 5

21.2.1.1直接开平方解一元二次方程

21.2.1.1直接开平方解一元二次方程

1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4
(2). χ2=0 (3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
21.2.1 直接开平方法 解一元二次方程
回顾
1、一元二次方程定义：
等号两边都是整式，只含 有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2 （二次）的 方程，叫做一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
方程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
自主学习
第1,2题
对照以上方法，你认为怎样解方程（χ+1）2=4
解：直接开平方，得 x+1=±2
∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1=1，χ2=－3
思考：
如何解以下方程
（1）χ2+6x+9=4 （2） 3（2－χ）2－27=0
如果我们把χ2=4， χ2=0， χ2+1=0变形 为χ2=p呢？

21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

2
(2) x －18＝0．

2
解： x －18＝0

2
x ＝18

x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)

∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3

∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)

人教版九年级数学上册21.2解一元二次方程因式分解法 课件(共19张PPT)

新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
公式 x= b b2 4ac 就可得到方程的根.
2a
学习目标 1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程． 2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么
物体经过x s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
新知探究
解下列方程： (1) x2＋x＝0；
(2) x2 2 3x 0;
(3) 3x2－6x＝－3.
随堂练习
用因式分解法解下列方程： (1) 3x2-12x＝-12；
x1=x2=2.
(2) 3x(x-1)＝2(x-1). x1=1 x2=2/3.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.

21.2.1.1 直接开平方法(复习课件)

21.2.1.1 直接开平方法(复习课件)

解：20秒
18．(8分)已知m是不等式3m＋2≥2m－2的最小整数解，
试求关于x的方程x2＋4m＝0的解．
解：∵3m＋2≥2m－2，∴m≥－4，∴不等式的最 小整数解为－4，当m＝－4时，原式为x2－16＝0
，∴x1＝4，x2＝－4
19．(12分)某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足， 答：该工程队第一天拆迁的面积为 1 000 m2 第一天少拆迁了 20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁 2＝1 (2)设这个百分数为 x ， 则有 1 000(1 ＋ x) 2，求： 速度，第三天拆迁了 1 440 m 440，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)， 答：这个百分数为20% (1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长 的百分比相同，求这个百分数．
B ．0
10．若方程(a－2)x2＋ ax＝3 是关于 x 的一元二次方程， 则 a 的取值范围是( C ) A．a≠2 B．a≥0 D．a 为任意实数
C．a≥0 且 a≠2
11．若 2x2＋3 与 2x2－4 互为相反数，则 x 的值为( D ) 1 A .2 B． 2 C．±2 ) 1 D．±2
21.2
解一元二次方程
21.2.1 配方法 第一课时 直接开平方法
1．若方程能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p 的形式，则 ± p ． ± p 或 mx＋n＝ x＝____ ____ 2．方程(x＋n)2＝m 有解的条件是m≥0 ____．
可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法
1．(3 分)一元二次方程 x2－4＝0 的根为( C A ．x ＝ 2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4 ) B．x＝－2 )

直接开平方法解一元二次方程ppt课件


认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
探究（二）： 9x2=16都可以怎样求解?你们小组认为 哪种解法更简便?
设计意图： 使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方 程的形式；培养学生思维的灵活性、决策能力以及 善于思考、勇于质疑的精神
设计意图： 这里从学生身边的实际问题引出学习内容， 让学生体会数学与生活的紧密联系，同时明 确本节课的学习任务。
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
（二）复习与诊断
1、 如果有
则x叫a的平方根，也可以表示为x=
教学手段：计算机及计算器辅助教学
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
五、教学过程设计： 激趣引入 复习诊断
探究新知
巩固应用 分层检测
深化提高
学习小结
分享收获
分层作业
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
4、实力比拼 探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解. 当a≥0时, x－m=± a x1= a +m, x2=- a +m.
设计意图： 通过合作探究使学生 1.深刻理解直接开平方法的使用条件,培养分类讨论的数学思想; 2. 进一步提高问题解决能力

解一元二次方程ppt课件


21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解

人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法


方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后
直接开平方即可得解．
二 直接开平方法解形如 (x + n)2 = p (p≥0) 的方程
探究交流
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5 ? 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 x3 5.
（3）12(3 − 2x)2 − 3 = 0.
解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同 时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 − 2x = ±0.5，
九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程； (难点） 2. 运用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (x + n)2 = p ( p≥0) 的方程.(重点）
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解， 如：x2 + 2x - 3 = 0.
当堂练习
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ D ）
A. x2 = −2，解方程，得 x =± 2
B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4
C.
4(x
−
1)2
=
9，解方程，得

直接开平方法解一元二次方程(上课)PPT


小结 直接开平方法适用于x2=a (a≥0)形式的一元二次方 程的求解。这里的x既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变
形可以转化为x2=a(a≥0)形式的一元二次方程都
可以用直接开平方法求解。
典型例题
例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
知识回顾
1.什么叫做平方根?
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a
即x= a 或 2.平方根有哪些性质？
4 25
的平方根是____52__
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的；
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121= 0 ;
y = 11
（2） x2 2 = 0
x= 2
(3) 16x2 25 = 0
x=5 4
(4)2x2 1 = 0 2
x=1 2
将方程化成
x2 = p
(p≥0）的形 式,再求解
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解；
解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 2
即x1=-1+ 2 ， x2=-1- 2
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根， 同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2
(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
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检测与评价
A层
1用求平方根的方法解一元二次方程的方法叫 __________.
2. 如果x2=121,那么x1=__________,x2=___________. 3. 如果3x2=18那么x1=__________,x2=___________. 4. 如果25x2-16=0那么x1=__________,x2=___________. 5. 如果x2=a(a≥0)那么 x1=__________,x2=___________. B层
归纳：直接开平方法
如果方程能化成x2 p或(mx n)2 p( p 0) 的形式，那么可得x p或mx n p.
用直接开平方法来解的方程有什么 特征?
小结 直接开平方法适用于A2 p p 0 形式的一元二次方 程的求解。这里的A既可以是字母，单项式，也可 以是含有未知数的多项式。换言之：只要经过变 形可以转化为 A2 p p 0 形式的一元二次方程 都可以用直接开平方法求解。
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反 数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
问题3 :什么叫做开平方运算？
求一个数平方根的运算叫做开平方运算。
问题4.根据平方根的意义你能解下列方程吗？
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（平方根）
2.用直接开平方法可解下列类型的一元二次
方程： x2 p p 0或 mx n2 p p 0;
3.根据平方根的定义，要特别注意：由于负数没 有平方根，所以，当p<0时，原方程无解。
思想方法
1. 降次的实质：将一个二次方程转化为两个 一次方程；
降次的方法：直接开平方法； 降次体现了：转化思想； 2. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步 骤：先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方 式，右边是非负数的形式，再利用平方根的定义求 解.
初中数学九年级上册
解一元二次方程
——直接开平方法
.-.
分享
▪ 人生重要的不是所站的位置，而是所 朝的方向。
●学习目标
▪ 1．理解解一元二次方程降次的转化思想； ▪ 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx
＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程； ▪ 3.体会类比的思想；
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
1.小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法 求解并 说明理由.
1） x2=2
( √)
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
(√ ) (× ) ( √)
2、明察秋毫。
下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= a 即x= a 或x= a
问题如2：.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2？45 的平方根是____52__
用直接开平方法解下列方程:
1. (x-1) 2=8
3. 1
3
(x-
1 2
)
2=9
2. (2x+3) 2=24 4. ( 1 x+1) 2-3=0
2
C层 解下列方程： 1．（4x- 5）(4x+ 5 )=3 2.(ax+b) 2=b 3. x2-2 x-7=0 4. （2x-1）2 =x2
4.完成课前的实际问题 课本第5页
5、真刀实枪，实战演练：
1x2 90;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
注意：解方程时，应 先把方程变形为：
x2 p p 0; 或 mx n2 p p 0。
●总结梳理 整合提高
1．直接开平方法的依据是什么？
x2 p
(p≥0）的形 式,再求解
思考：类比上面解方程的过程，你认为应怎样解
方程 x 32 2 0
将方程化成
(mx n) p 2
例2、 解方程 x 32 2 0
解： x 32 2
x3 2
(p≥0）的形 式,再求解
即： x 3 2,或x 3 2;
x1 3 2, x2 3 2;
认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正。
（ 1 y+1）2-5=0
解：
3 （
1
y+1）2=5
13
y+1= 5
31
3
y=
5
-1
（×）
y=3 5 -1 （ × ）
.
3、实力比拼
探究( x-m)2=a的解的情况。
( x－m)2=a 当a＜0时,此一元二次方程无解.
当a≥0时, x－m=± a
x1= a +m, x2=- a +m.
•一元二次方程如果有解，则解的个数一定为
_2_个__ •方程 x2 0 解为 x1 x2 0 •方程 x2 3 无解
用直接开平方法解下列方程：
（1） y2 121 0 ;
y 11
（2） x2 2 0
x 2
(3) 16x2 25 0
x5 4
(4)2x2 1 0 2
x1 2
将方程化成
（2）移向，得x2=2
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，利用平方根的 定义用直接开平方解一元二次方程的方法
叫做直接开平方法。
•能利用直接开平方法解的一元二次方程应
满足的形式为__x_2 __p_(_p___0)___ •例：解方程：(1)x2 16 0 (2)x2 3 0
•练习：解方程： (1)2(x 1)2 6 0 (2)(3x 1 )2 0 2
•用直接开平方法还可以解形如_(m_x___n)_2__p_(_p___0)_方
程
•从 (mx n)2 p 变形mx n p
实质上一元二次方程 转化两个一元一次方程 •由以上解方程的经验你能解方程 x2 6x 9 2 吗？