直接开平方法

直接开平方法解方程例题一、例题1：解方程x^2=91. 解题步骤- 对于方程x^2=9，根据直接开平方法，我们可以得到x=±√(9)。

- 因为√(9) = 3，所以x=±3。

- 即方程的解为x_1=3，x_2=-3。

2. 题目解析- 直接开平方法适用于形如x^2=a(a≥slant0)的一元二次方程。

在这个方程x^2=9中，a = 9≥slant0，满足直接开平方法的条件。

直接对等式两边开平方，得到x的值为9的平方根，因为一个正数有两个平方根且互为相反数，所以x=±3。

二、例题2：解方程(x - 2)^2=161. 解题步骤- 对于方程(x - 2)^2=16，使用直接开平方法，可得x-2=±√(16)。

- 因为√(16)=4，所以x - 2=±4。

- 当x - 2 = 4时，x=4 + 2=6；当x - 2=-4时，x=-4+2=-2。

- 所以方程的解为x_1=6，x_2=-2。

2. 题目解析- 方程(x - 2)^2=16是形如(x - m)^2=a(a≥slant0)的一元二次方程，这里m = 2，a = 16。

我们对等式两边开平方得到x-2=±4，然后通过移项求出x的值。

这种形式的方程是直接开平方法的常见类型，通过将(x - 2)看作一个整体进行开方运算，再求解x。

三、例题3：解方程2(x+3)^2-8 = 01. 解题步骤- 首先对原方程进行化简：- 由2(x + 3)^2-8 = 0，可得2(x + 3)^2=8，进一步得到(x + 3)^2=4。

- 然后使用直接开平方法：- 对(x + 3)^2=4开平方，得x+3=±√(4)。

- 因为√(4)=2，所以x+3=±2。

- 当x+3 = 2时，x=2 - 3=-1；当x+3=-2时，x=-2 - 3=-5。

- 所以方程的解为x_1=-1，x_2=-5。

2. 题目解析- 对于方程2(x + 3)^2-8 = 0，我们需要先将方程化为(x + m)^2=a(a≥slant0)的形式。

二元一次方程解法大全 小编寄语：同学们对于二元一次方程的解法了解多少呢，自己又掌握了几种？下面小编为大家精心整理了二元一次方程的解法，供大家参考。

1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n0)的方程，其解为x=根号下n+m.例1．解方程〔1〕(3x+1)2=7〔2〕9x2-24x+16=11分析：〔1〕此方程显然用直接开平方法好做，〔2〕方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。

〔1〕解：(3x+1)2=7(3x+1)2=53x+1=(注意不要丢解)x=原方程的解为x1=,x2=〔2〕解：9x2-24x+16=11(3x-4)2=113x-4=x=原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=当b^2-4ac0时，x+=x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方〕解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=x=原方程的解为x1=,x2=.3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-425=64-40=240x=[(-b(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)原方程的解为x1=,x2=.4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

一元二次方程解题公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。

（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。

一般的一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法）知识讲解1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、用直接开平方法解一元二次方程【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标．举一反三：类型二、因式分解法解一元二次方程【总结升华】若把各项展开，整理为一元二次方程的一般形式，过程太烦琐．观察题目结构，可将x+1看作m，将(2-x)看作n，则原方程左端恰好为完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．举一反三：【变式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】将(x+2)看作一个整体，右边的2(x+2)移到方程的左边也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴ (x+2)(x-3)＝0，∴ x+2＝0或x-3＝0．∴ x1＝-2 x2＝3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。

一元二次方程基本解法，“降次”化为两个一元一次0有4种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n. 0例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 0分析：一、此方程显然用直接开平方法好做，0二、左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解)∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3（2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3 02．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²当△=b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式) 0例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= 2/3方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )²配方：(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )²直接开平方得：x-2/3=±√[2/3+(2/3 )² ] =±√10 /3 ∴x= 2/3±√10 /3∴原方程的解：x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 . 0 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

121因式分解法直接开平方法
因式分解法是指将一个多项式分解成一些可以整除它的因子的乘积。

121是一个整数，我们来进行因式分解。

首先，我们可以观察到121是一个完全平方数，即121=11²。

这意味着11是121的一个因子。

所以121=11*11
所以，我们得到了121的一个因式分解形式为121=11*11
接下来，我们来看一下直接开平方法。

直接开平方法是指将一个数直接开平，即找出其平方根。

对于整数121来说，其平方根是11所以，121=11²。

综上所述，121的因式分解形式有两种：
1.121=11*11(因式分解法)
2.121=11²(直接开平方法)
希望以上解答能够满足您的要求。

如有其他问题，请随时提问。

1.2.1 一元二次方程的解法-直接开平方法考点一、直接开方法解一元二次方程： (1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. (2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义. (3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： ①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根． ②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.题型1：直接开平方法解一元二次方程1．一元二次方程2250x -=的解为（ ）A ．125x x ==B ．15=x ，25x =-C ．125x x ==-D ．1225x x ==【答案】B 【解析】【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：2250x -=，移项得：2=25x ，开平方得：15=x ，25x =﹣，故选B ．本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．2．若()222a =-，则a 是（ ）A ．-2B ．2C ．-2或2D ．4【答案】C 【解析】【分析】先计算2(2)-，再用直接开平方法解一元二次方程即可．()2224a =-=Q 2a \=±故选C 【点睛】本题考查了有理数的乘方，直接开平方法解一元二次方程，熟练直接开平方法是解题的关键．3．方程x 2- =0的根为_______．【答案】x=± 【解析】【分析】，得出x 2=8，利用直接开平方法即可求解．解： x 2- =0，∴x 2=8，∴x =±故答案为：x =±．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及算术平方根，解题关键是熟练掌握直接开平方法的解题步骤．4．有关方程290x +=的解说法正确的是（ ）A ．有两不等实数根3和3-B ．有两个相等的实数根3C ．有两个相等的实数根3-D ．无实数根【答案】D【分析】利用直接开平方法求解即可．∵290x +=，∴290x =-<，∴该方程无实数解．故选：D 【点睛】考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．5．若方程()20ax b ab =>的两个根分别是4m -与38m -，则ba=_____．【答案】1【解析】【分析】利用直接开平方法得到x =，得到方程的两个根互为相反数，所以4380m m -+-=，解得3m =，则方程的两个根分别是1与1-1=，然后两边平方得到b a 的值．解：∵()20ax b ab =>，∴2b x a=，∴x =，∴方程的两个根互为相反数，∵方程2ax b =的两个根分别是4m -与38m -，∴4380m m -+-=，解得3m =，∴4341m -=-=-，383381m -=´-=，∴一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是1与1-，1=，∴1ba=．故答案为：1．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如2x p =或()()20nx m p p +=³的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成2x p =的形式，那么可得x =()()20nx m p p +=³的形式，那么nx m +=6．解方程：（1）23270x -=； （2）2(5)360x --=；（3）21(2)62x -=； （4）()()4490+--=y y ．【答案】（1）123,3x x ==-；（2）1211,1x x ==-；（3）122,2x x ==-；（4）125,5y y ==-．【解析】【分析】（1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得；（2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得；（3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得．（1）23270x -=，2327x =，29x =，3x =±，即123,3x x ==-；（2）2(5)360x --=，2(5)36x -=，56x -=或56x -=-，11x =或1x =-，即1211,1x x ==-；（3）21(2)62x -=，2(2)12x -=，2x -=2x -=-，2x =或2x =-+，即122,2x x ==-；（4）()()4490+--=y y ，21690y --=，225y =，5y =±，即125,5y y ==-．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，一元二次方程的主要解法包括：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．7．计算：4（3x +1）2﹣1＝0、3274y ﹣2＝0的结果分别为（ ）A ．x ＝±12，y ＝±23B ．x ＝±12，y ＝23C ．x ＝﹣16，y ＝23D ．x ＝﹣16或﹣12，y ＝23【答案】D 【解析】【分析】直接开平方与开立方，再解一次方程即可．解：由4（3x +1）2﹣1＝0得（3x +1）2＝14，所以3x +1＝±12，解得x ＝﹣16或x ＝﹣12，由3274y ﹣2＝0得y 3＝827，所以y ＝23，所以x ＝﹣16或﹣12，y ＝23．故选：D ．【点睛】本题考查开平方法解一元二次方程与立方根法解三次方程，掌握平方根与立方根性质与区别是解题关键．82x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A 【解析】【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．题型2：直接开平方法解一元二次方程的条件9．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．230x =－B ．2(14)0x =－－C ．220x =＋D ．22()12()x =－－【答案】C 【解析】【分析】方程整理后，判断即可得到结果230x =－移项得23x =，可用直接开平方法求解；2(10)4x -=－移项得2(14)x =－，可用直接开平方法求解；22()(12)4x ==－－，可用直接开平方法求解．故选C.【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键10．方程y 2＝-a 有实数根的条件是（ ）A ．a ≤0B ．a ≥0C ．a >0D ．a 为任何实数【答案】A 【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a ≥0，再进行整理即可．解：∵方程y 2＝﹣a 有实数根，∴﹣a ≥0（平方具有非负性），∴a ≤0；故选：A ．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a ≥0．11．有下列方程：①x 2-2x=0；②9x 2-25=0；③(2x-1)2=1；④21(x 3)273+=．其中能用直接开平方法做的是( )A ．①②③B ．②③C ．②③④D ．①②③④【答案】C 【解析】【分析】利用因式分解法与直接开平方法判断即可得到结果．①x 2-2x=0，因式分解法；②9x 2-25=0，直接开平方法；③(2x-1)2=1，直接开平方法；④21(x 3)273+=，直接开平方法，则能用直接开平方法做的是②③④.故选:C.【点睛】考查直接开方法解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键.12．方程 x 2=（x ﹣1）0 的解为（ ）A ．x=-1B ．x=1C ．x=±1D ．x=0【答案】A 【解析】【分析】根据(x-1)0有意义，可得x-1≠0，求出x≠1，通过解方程x 2=1，确定x 的值即可.∵(x-1)0有意义，∴x-1≠0，即x≠1，∵x 2=（x ﹣1）0∴x 2=1，即x=±1∴x=-1.故选A.【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．同时还考查了零次幂.13．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）.A ．0m >B ．7m …C ．7m >D ．任意实数【答案】B 【解析】【分析】根据70-³m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．由题意可知70-³m 时方程有实数解，解不等式得7m …，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．14．已知方程()200ax c a +=¹有实数根，则a 与c 的关系是（ ）.A ．0c =B ．0c =或a 、c 异号C ．0c =或a 、c 同号D ．c 是a 的整数倍【答案】B 【解析】【分析】将原方程化为2a=c-x 的形式，根据2x 0³可判断出正确答案．原方程可化为2a=c -x ，∵2x 0³，∴c0a -³时方程才有实数解．当c=0时，20=x 有实数根；当a 、c 异号时，c0a -³，方程有实数解．故选B ．【点睛】形如2=a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．题型3：直接开平方法解一元二次方程的复合型15．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C 【解析】【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．16．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=-C ．121,73x x ==D ．1217,3x x =-=【答案】B 【解析】【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．17．解方程：（1）21(2)602y +-=；（2）22(4)(52)x x -=-．【答案】（1）122,2y y =-=--；（2）121,3x x ==．【解析】【分析】（1）原方程先整理，再利用直接开平方法解答即可；（2）利用直接开平方法求解即可．解：（1）21(2)602y +-=，整理，得2(2)12y +=．∴2y +=±即122,2y y ==-；（2）22(4)(52)x x -=-Q ，4(52)x x \-=±-，∴452x x -=-或()452x x -=--，解得：121,3x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．题型3：一元二次方程的根的概念深入理解18．一元二次方程2251440t -=的根与249(1)25x -=的根（ ）A ．都相等B ．都不相等C ．有一个根相等D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】运用直接开平方法分别求出两个方程的解，然后再进行判断即可得解.2251440t -=，214425t =，∴125t =±；249(1)25x -=，715x -=±，∴1125x =，225x =-；∴两个方程有一个相等的根125.故选C.【点睛】此题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程和确定方程的解，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．题型4：直接开平方法解一元二次方程的根的通用形式19．关于x 的方程(x+a)2 =b(b>0)的根是（ ）A ．-aB ．C ．当b≥0时，D ．当a≥0时，【答案】A【解析】【分析】由b>0，可两边直接开平方，再移项即可得．∵b>0，∴两边直接开平方,得：∴-a ，故选A【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握运算法则20．形如2()(0)ax b p a +=¹的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【解析】【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ³时，原方程的根为x =故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键．题型5：直接开平方法解一元二次方程-降次21．方程4160x -=的根的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】移项得416x ==24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题．解：∵4160x -=∴416x ==24，∴x=±2，∴方程4160x -=的根是x=±2.故选B.【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次．题型6：直接开平方法解一元二次方程-换元法22．若()222225a b +-=，则22a b +的值为( )A ．7B ．-3C ．7或-3D ．21【答案】A【解析】【分析】把()222225a b +-=两边开方得到a 2+b 2-2=±5，然后根据非负数的性质确定22a b +的值．解：∵()222225a b +-=，∴a 2+b 2-2=±5，∴a 2+b 2=7或a 2+b 2=-3（舍去），即a 2+b 2的值为7．故选A ．【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法：形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．题型7：直接开平方法解一元二次方程-创新题，数系的扩充23．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”，使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()21232422,1,(1),(1)1i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，从而对于任意正整数n ，我们可以得到()41444n n n i i i i i +=×=×=，同理可得424341,,1n n n i i i i ++=-=-=．那么234202*********i i i i i i ++++++L 的值为________．【答案】1-【解析】【分析】根据()41444nn n i i i i i +=×=×=，424341,,1n n n i i i i ++=-=-=，化简各式即可求解．解：依题意有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-=×=-=-==-=，∵2022÷4＝505…2，∴2022i =21i =-∴234202*********i i i i i i ++++++L ＝−1−i ＋1＋i ＋…＋1＋i −1＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．一、单选题1．方程()2690x +-=的两个根是（ ）A ．13x =，29x =B ．13x =-，29x =C ．13x =，29x =-D ．13x =-，29x =-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：()2690x +-=，()269x +=，63x \+=±，123,9x x \=-=-，故选：D ．A ．0k ³B ．0h ³C ．0hk >D ．0k <【答案】A 【分析】根据平方的非负性即可求解．【解析】解：()20x h +³Q ，0k \³．故选：A ．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．5．已知()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，那么a 的值为（ ）A ．2±B ．2C ．2-D ．以上选项都不对【答案】C【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【解析】解：∵()22230aa x x ---+=是关于x 的一元二次方程，∴222,20a a -=-¹，解得2a =-，故选：C ．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．6．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：【解析】∵根据题意可得：420420a b c a b c ++=ìí-+=î①②，①－②＝40b =，得0b =，①＋②＝820a c +=，∴解得：0b =，4c a =-．将a 、b 、c 代入原方程()200ax bx c a ++=¹可得，∵240ax bx a +-=，240ax a -=24ax a=∴2x =±故选：D ．【点睛】本题考查解一元二次方程，联立关于a 、b 、c 的方程组，由方程组推出a 、b 、c 的数量关系是解题关键．二、填空题11．方程240x -=的根是______．【答案】12x =-，22x =【分析】根据直接开平方法求解即可．【解析】解：240x -=，24x =，∴2x =±，即12x =-，22x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．12．方程()219x +=的根是_____．【答案】1224x x ==-，【分析】两边开方，然后解关于x 的一元一次方程．【解析】解：由原方程，得13x +=±．＝−1．故答案为：-1．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．两边开平方，得63x +=第二步所以3x =- 第三步“小华的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．【答案】(1)-1；(2)二 ；正确的解答过程，见解析【分析】（1）利用平方差公式展开，合并同类项即可；（2）根据直接开平方法求解即可．【解析】（1）解：2(1)(1)+--m m m 221m m =--=-1；（2）解：第二步开始出现错误；正确解答过程：移项，得（x +6）2=9，两边开平方，得x +6=3或x +6=-3，解得x 1=-3，x 2=-9，故答案为：二．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．27．嘉嘉和琪琪用图中的A 、B 、C 、D 四张带有运算的卡片，做一个“我说你算”的数学游戏，规则如下：嘉嘉说一个数，并对这个数按这四张带有运算的卡片排列出一个运算顺序，然后琪琪根据这个运算顺序列式计算，并说出计算结果．例如，嘉嘉说2，对2按A B C D ®®®的顺序运算，则琪琪列式计算得：222[(23)(3)2](152)(17)289+´--=--=-=．（1）嘉嘉说-2，对-2按C A D B ®®®的顺序运算，请列式并计算结果；。

直接开平方法的定义直接开平方法是一种常用的数学方法，用于求解二次方程的根。

它通过对二次方程进行变形和推导，从而得到方程的根的计算公式。

下面将详细介绍直接开平方法的定义及应用。

一、直接开平方法的定义直接开平方法是指通过对二次方程进行变形，将二次项的平方项与常数项相等，从而得到方程的根的计算公式。

二、直接开平方法的步骤1. 将二次方程的形式转化为完全平方形式：将二次项的系数除以2，再平方，然后加减一个适当的常数项，使得方程的两边相等。

2. 将方程进行整理，使得方程的左边为一个完全平方的形式，右边为一个常数。

3. 对方程两边同时开平方根，得到方程的解。

三、直接开平方法的应用直接开平方法广泛应用于解决二次方程的问题。

它的优点是计算简便，适用范围广泛。

下面将通过一个实例来说明直接开平方法的具体应用。

例：求解方程x^2 + 6x + 9 = 0的根。

解：根据直接开平方法的步骤，首先将方程转化为完全平方形式。

对于该方程，我们可以将二次项的系数6除以2，再平方，得到9。

然后将9加到方程的两边，得到x^2 + 6x + 9 + 9 = 9。

将方程进行整理，得到(x + 3)^2 = 9。

此时，方程的左边为一个完全平方的形式，右边为一个常数。

接下来，我们对方程两边同时开平方根，得到x + 3 = ±√9。

化简得到x + 3 = ±3。

再进一步化简，得到两个解：x = -3±3。

所以，方程x^2 + 6x + 9 = 0的根为x = -6和x = 0。

通过这个实例，我们可以看出直接开平方法的简便性和实用性。

它可以快速求解二次方程的根，而无需进行复杂的计算。

在解决实际问题时，直接开平方法也可以发挥重要的作用。

总结：直接开平方法是一种常用的数学方法，用于求解二次方程的根。

它通过对二次方程进行变形和推导，得到方程的根的计算公式。

直接开平方法简便实用，适用范围广泛。

通过对方程进行变形和整理，再进行开平方根的操作，可以快速得到二次方程的解。

直接开平方法直接开平方法是一种常用的工程施工方法，广泛应用于土建工程、道路工程和桥梁工程等领域。

该方法通过使用大型机械设备，直接对地面或其他工程结构进行平整和开挖，以满足工程设计要求和施工需要。

本文将对直接开平方法的原理、步骤和应用进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用该方法。

一、原理直接开平方法的原理是利用大型机械设备，如推土机、挖掘机和压路机等，对地面进行平整和开挖。

这些机械设备具有强大的动力和作业能力，能够快速、高效地完成各种工程施工任务。

通过合理的操作和控制，可以实现对地面的平整、开挖和整形，满足工程设计要求和施工标准。

二、步骤直接开平方法的施工步骤通常包括以下几个环节：1. 现场准备：在施工现场进行必要的准备工作，包括清理杂物、标记施工范围和安放施工设备等。

2. 地面平整：利用推土机或压路机等机械设备对地面进行平整，确保地面平整度符合要求。

3. 开挖作业：利用挖掘机等机械设备对地面进行开挖，按照设计要求和施工图纸进行作业。

4. 土方整形：根据工程要求对开挖的土方进行整形和调整，使其符合设计要求和施工标准。

5. 检查验收：对施工完成的地面进行检查和验收，确保施工质量符合要求。

三、应用直接开平方法广泛应用于各种土建工程、道路工程和桥梁工程中。

例如，在道路工程中，可以利用该方法对道路路基进行平整和开挖；在桥梁工程中，可以利用该方法对桥梁桩基进行开挖和整形。

此外，该方法还可以应用于场地平整、基础开挖和土方工程等领域。

总之，直接开平方法是一种常用的工程施工方法，具有操作简单、效率高、施工质量可控等优点。

通过合理的操作和控制，可以实现对地面和工程结构的平整和开挖，满足工程设计要求和施工标准。

希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用该方法，为工程施工提供参考和指导。

直接开平方法解一元二次方程直接开平方法解形如p x =2（p ≥0）和()c b ax =+2（c ≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤:（1）把一元二次方程化为p x =2（p ≥0）或()c b ax =+2（c ≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程;（3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解.注意:（1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解;（2）对于一元二次方程p x =2,当0<p 时,方程无解;（3）对于一元二次方程()c b ax =+2: ①当0>c 时,一元二次方程有两个不相等的实数根;②当0=c 时,一元二次方程有两个相等的实数根;③当0<c 时,一元二次方程没有实数根.例1. 解下列方程:（1）022=-x ; （2）081162=-x .分析:观察到两个方程的特点,都可以化为p x =2（p ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.解:（1）22=x2±=x ∴2,221-==x x ;（2）1681,811622==x x 491681±=±=x ∴49,4921-==x x .（1）()0932=--x ; （2）()092122=--x . 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为()c b ax =+2（c ≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.解:（1）()932=-x33±=-x∴33=-x 或33-=-x∴0,621==x x ;（2）()92122=-x()4312922==-x ∴23432±=±=-x ∴232=-x 或232-=-x∴232,23221-=+=x x .习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【 】 （A ）032=-x （B ）()0412=--x（C ）022=+x （D ）()()2221-=+x习题2. 若()41222=-+y x ,则=+22y x _________.习题3. 若b a ,为方程()1142=+-x x 的两根,且b a >,则=b a【 】 （A ）5- （B ）4- （C ）1 （D ）3习题4. 解下列方程:（1）()16822=-x ; （2）()642392=-x .（1）()09142=--x ; （2）4312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x .习题6. 对于实数q p ,,我们用符号{}q p ,min 表示q p ,两数中较小的数,如{}12,1min =.（1）{}=--3,2min _________;（2）若(){}1,1min 22=-x x ,则=x _________. 习题7. 已知直角三角形的两边长y x ,满足091622=-+-y x ,求这个直角三角形第三边的长.（注意分类讨论第三边的长）。

解一元二次方程的直接开平方法嘿，咱今儿就来说说解一元二次方程的直接开平方法。

你说这解方程啊，就好像是开锁，每一种方法都是一把钥匙。

而直接开平方法呢，就是那把挺特别的钥匙。

咱先想想啊，什么是一元二次方程？不就是那种有个未知数，最高次数是二的式子嘛。

就好像一个调皮的小精灵，藏在等式里等你去找到它。

那直接开平方法是怎么个回事呢？就好比你有个盒子，你知道它能打开，但就是不知道怎么开。

直接开平方法就是找到那个关键的按钮，一按，盒子就开了。

比如说，一个方程是(x-3)^2=4，那你看，这不就相当于知道了盒子的开关在哪里嘛。

你可能会问，那要是方程不是这么标准的形式怎么办呢？嘿，这就需要咱动点小脑筋啦！咱得把它变一变，变得能让直接开平方法派上用场。

就像给它化个妆，让它符合咱的要求。

比如说，有个方程 x^2-6x+9=4，这时候咱就可以把左边变成(x-3)^2 的形式呀，这不就跟前面说的一样了嘛。

然后呢，就可以用直接开平方法来解啦。

哎呀，你想想，这多有意思啊！就像在玩一个解谜游戏，一点点地找到线索，解开谜题。

解一元二次方程不也是这样嘛，通过直接开平方法，一点点地找到那个未知数的值。

你说这直接开平方法是不是挺神奇的？它就像是一把魔法钥匙，能打开一元二次方程这个神秘盒子的大门。

咱可不能小瞧了它呀，虽然它可能不是万能的，但在很多时候，它可是能帮咱大忙的呢！你再想想，生活中不也有很多这样类似的情况吗？有时候我们遇到一个难题，觉得很难解决，但是只要找到了那个关键的点，就好像找到了直接开平方法一样，一下子就迎刃而解了。

所以啊，咱可得好好掌握这个直接开平方法，说不定啥时候就能派上用场呢！别觉得它简单就不重视它，简单的方法往往有大用处呢！你说是不是这个理儿？咱可别小看了这些基础知识，它们就像一块块基石，能帮咱建起数学的大厦呢！。

∴x=[(-b±√（b²-4ac)]/（2a)∴原方程的解为x?=,x?= .4．因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

（老教材中这种方法称为十字相乘法）例4．用因式分解法解下列方程：⑴ (x+3）（x-6）=-8 ⑵ 2x²+3x=0 ⑶ 6x²+5x-50=0 （选学）⑷x²-4x+4=0 （选学）⑴解：（x+3）（x-6）=-8化简整理得x²-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

⑵解：2x²+3x=0 x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

⑶解：6x²+5x-50=0（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x+10=0∴x1=,x2=- 是原方程的解。

⑷解：x²-4x+4 =0（∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。

小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。

公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

直接开平方法20道例题一、方程$x^{2}=9$这是最简单的直接开平方法的例子啦。

我们知道，啥数的平方等于9呢？对喽，3和 - 3。

所以这个方程的解就是$x = 3$或者$x = - 3$。

就像我们找东西，知道这个东西的特征（平方后是9），然后就直接把符合特征的东西（3和 - 3）找出来。

二、方程$(x - 1)^{2}=4$那这个呢？其实就是问，哪个数（这里是$x - 1$）的平方等于4。

那这个数就是2或者 - 2呗。

所以就有$x - 1 = 2$或者$x - 1 = - 2$。

解得$x = 3$或者$x = - 1$。

这就好比你知道一个盒子里装着的东西（$x -1$）的平方值，你要倒推这个东西是啥，那就把可能的值都找出来。

三、方程$(2x + 3)^{2}=25$25是谁的平方呢？是5和 - 5呀。

那就是说$2x + 3 = 5$或者$2x + 3 = - 5$。

从$2x + 3 = 5$，能算出$2x = 2$，$x = 1$；从$2x + 3 = - 5$，能算出$2x=-8$，$x = - 4$。

这就像拆包裹，知道包裹里东西（$2x + 3$）平方后的情况，然后去解开包裹找到$x$的值。

四、方程$4(x - 2)^{2}=16$先把系数4除掉，方程就变成$(x - 2)^{2}=4$。

就像分糖果，先把多余的包装（系数4）去掉，再按之前的方法来。

那就是$x - 2 = 2$或者$x- 2 = - 2$，解得$x = 4$或者$x = 0$。

五、方程$(3x - 1)^{2}=0$这个特殊哦，只有0的平方是0。

所以$3x - 1 = 0$，解得$x=\frac{1}{3}$。

这就像独一无二的宝藏，只有一种可能的情况。

六、方程$x^{2}-6x + 9 = 4$左边是个完全平方式$(x - 3)^{2}$，那方程就变成$(x - 3)^{2}=4$。

然后就有$x - 3 = 2$或者$x - 3 = - 2$，解得$x = 5$或者$x = 1$。

一元二次方程解题技巧与方法一、直接开平方法。

1. 解方程(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2=16，根据直接开平方法，可得x - 3=±4。

- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。

- 当x - 3=-4时，解得x=-4 + 3=-1。

- 所以方程的解为x_1=7,x_2=-1。

2. 解方程2(x + 1)^2-8 = 0- 解析：- 首先对原方程进行化简，2(x + 1)^2=8，则(x + 1)^2=4。

- 然后根据直接开平方法，x+1=±2。

- 当x + 1 = 2时，x=2 - 1=1。

- 当x + 1=-2时，x=-2 - 1=-3。

- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-3。

二、配方法。

3. 解方程x^2+6x - 7 = 0- 解析：- 对于方程x^2+6x - 7 = 0，首先进行配方。

- 在x^2+6x中加上一次项系数一半的平方，即((6)/(2))^2=9。

- 原方程变形为x^2+6x + 9-9 - 7 = 0，即(x + 3)^2-16 = 0。

- 移项得(x + 3)^2=16。

- 根据直接开平方法，x + 3=±4。

- 当x+3 = 4时，x = 1；当x + 3=-4时，x=-7。

- 所以方程的解为x_1=1,x_2=-7。

4. 解方程2x^2-5x+2 = 0- 解析：- 先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得到x^2-(5)/(2)x + 1 = 0。

- 配方：x^2-(5)/(2)x+((5)/(4))^2-((5)/(4))^2+1 = 0。

- 即(x-(5)/(4))^2-(25)/(16)+1 = 0，(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。

- 根据直接开平方法，x-(5)/(4)=±(3)/(4)。

- 当x-(5)/(4)=(3)/(4)时，x = 2；当x-(5)/(4)=-(3)/(4)时，x=(1)/(2)。

初三一元二次方程的解法一元二次方程是一个非常重要的数学概念，它是初中数学中的一个重要内容，也是数学学习的基础之一。

掌握一元二次方程的解法，对于理解更高层次的数学概念和解决更复杂的数学问题都有着非常重要的意义。

一、直接开平方法直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法，它的理论依据是等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。

例：解方程x^2 - 4x + 4 = 0解：将方程左边配方得：(x - 2)^2 = 0∴x1=x2=2二、因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法。

例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0解：原方程可化为：(2x-4)^2 = 0 ∴x1=x2=2三、公式法公式法是解一元二次方程的一种简便方法，它的理论依据是用求根公式解方程。

例：解方程2x^2 - 8x + 8 = 0解：∵a=2，b=-8，c=8∴b^2-4ac=(-8)^2-4×2×8=0∴x=[(-b±√(b^2-4ac)]/2a=2±√(4-4×8)/4=±√(4-4×8)/4=(2±2√2)/2=±√2∴x1=√2，x2=-√2四、配方法配方法是一种通过配方来解一元二次方程的方法。

这种方法需要先对原方程进行配方，然后再进行求解。

例：解方程x^2 + 6x + 9 = 0解：将原方程配方得：(x+3)^2 = 0∴x1=x2=-3五、分解因式法与公式法的综合运用在解一元二次方程时，我们常常需要综合运用分解因式法和公式法。

通过将方程进行因式分解，我们可以找到方程的根，然后再利用公式法进行求解。

例：解方程5x^2 - 10x + 5 = 0解：将原方程分解因式得：(5x-5)^2 = 0∴x1=x2=1六、其他方法除了以上几种方法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。