一元二次方程的解法直接开平方法(PPT课件)

格式：ppt
大小：226.51 KB
文档页数：16

下载文档原格式

一元二次方程的解法_直接开平方法_第1课时

知识回顾
什么叫做平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
记作x= a
即x= a 或x= 9的平方根是__±__3__

4
25
a
的平方根是___52___
尝试（利用平方根定义）
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝±2
即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的解为： x1=
，x2=
典型例题
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
则m、n必须满足的条件是（ B ）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍 D.m、n同号
练一练
3、解下列方程：（1）（x-1）2 =4 （2）（x+2）2 =3 （3）（x-4）2-25=0 （4）（2x+3）2-5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
练一练
4一个球的表面积是100cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4R2，其中R是球半径）
变成（x+h）2=k （k≥0）的形式；
解：（1）移项，得（x-1）2=4 ∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1
例2解下列方程：典型例题
（2） 12（3－2x）2－3 = 0
分析：第2小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。

一元二次方程的解法(一)直接开平方法(课件)数学九年级上册(人教版)

即 x-5=1或x-5=-1
∴x1=6,x2=4.
（4）8x2-8x+2=-6
解： 4x2-4x+1=-3，
(2x-1)2=-3，
∵ (2x-1)2≥0，
∴ (2x-1)2≠-3，
∴此方程无实数根.
15.已知关于x的方程(x＋1)2=k2+3的一个根是x=2，求k的值及另
一个根.
解:把x=2代入原方程得k2+3=9，
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
2.运用开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
1.什么是平方根？一个数的平方根怎样表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2＝a(a≥0)，则根据平方根的定义知，x＝± .
C.当n≥0时，有两个解=± −
D.当n≤0时，无实数解
B
)
2=1则x=_________.
±8
-1或-3
7.若x2=64，则x=______;若(x+2)
m≥1
8.若关于x的方程2(x-1)2=m-1有实数根，则m的取值范围是_______.
2−4
9.当x=_____时，分式
值为零.
−2
∴k2=6.解得k=± 6.
把k2=6代入原方程，得(x+1)2=9,可解得方程的另一个根为x=—4.
A.10cm
B）
B.5cm
C.±10cm
5.下列方程可以用直接开方法求解的有(
①(x-1)2-1=O
A.①和②
②x2-2=0
B.①和③
D.±5cm

一元二次方程的解法 PPT课件 10(共6份) 华东师大版

21.2 降次——解一元二次方程
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
学习目标
• 1．体会解一元二次方程降次的转化思想． • 2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或 • (mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
创设情景明确目标
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体现状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
•
50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。
•
51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。
•
32、肯承认错误则错已改了一半。
•
33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。
•
34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。
•
35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。
•
36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。
•
37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。
•
38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。
② 方程（2）与方程（1）有什么不同？怎样将方程（2）转化为方程（1）的形式？
③方程（3）左右两边有什么特点？怎样达到降次的目的？
小组讨论2
对于可化为(mx＋n)2＝p(p≥0)或（ax+b）2=(cx+d)2 的方程，可以用直接开平方发求解吗？

《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件9

(3).横向写出两因式; (x+6)和(x-3)
例2把 x2 2x 15分解因式;
解: 原式 (x+3)(x-5)
x
3
x
-5
-5x+3x=-2x
例3把a2 7a 10分解因式;
解:原式= (a+5) (a+2)
a
5
a
2
5a+2a=7a
练习一选择题:
1. 分解a 2 a 12的结果为( B )
即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
(2)x2 2 3x 0, 提公因式x(x 2 3) 0，所以有x 0或x 2 3 0，即x1 0，x2 2 3.
(3)3x2 6x 3, 移项，得：3x2 6x 3 0，提公因式得：3(x2 2x 1) 0，所以3(x 1)2 0，有(x 1)2 0，所以x1 x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=a (a≥0)或（mx+n)2=a (a≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法: x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
我思我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
A. (a - 3)(a 4); B. a 3a 4; C. a 6a 2; D. a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A )
A. a 4a 2; B. a 4a 2; C. a 4a 2; D. a - 4a 2;
3. 若多项项M分解的因式是(x - 2)(x - 3),则M是(C)

21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

2
(2) x －18＝0．

2
解： x －18＝0

2
x ＝18

x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)

∴x1＝－2，x2＝．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3

∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋，x2＝2－

一元二次方程的解法ppt课件

的各项系数a、b、c确定的，当 2 -4ac≥0时，它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=

，x
2=1

观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ）＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室

解一元二次方程ppt课件

21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二利用根的判别式判断三角形的形状
题型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B．只有一个实数根
读
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不要丢掉各项系数的符号.
清单
（1）x2-4x-3=0；（2）2x2-6x=1；（3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配方法
清
单 ■考点一直接开平方法
解
读
原理根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解

九年级数学上册第22章一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法上课pptx课件新版华东师大版

解（1）原方程可以变形为
(x + 1)2 = 4.
你是这样解的吗？还有没有
直接开平方，得
其他解法？
x + 1 = ±2.
所以
x1 = 1，x2 = – 3.
（4）(x – 4)2 = (5 – 2x)2
(x – 4)2 – (5 – 2x)2 =0
[(x – 4)-(5 – 2x)] [(x – 4)+(5 – 2x)] =0
2.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.
教学反思
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想.
所以得
x(x – 3) = 0. x = 0 或 x – 3 = 0. x1 = 0，x2 = 3.
例3 解下列方程：（1）(x + 1)2 – 4 = 0；（2）12(2 – x)2 – 9 = 0.
分析两个方程都可以通过简单的变形，化为
(
)2 = a (a ≥ 0)
的形式，用直接开平方法求解.
（直1接）开移平项方，，得得x2x==9±0300，，（所2以）(x左+边30因)(式x –分3解0)，= 得0，
∴x1 = 30，x2 = – 30.
x + 30 = 0或x – 30 = 0，
得 x1 = 30，x2 = – 30.
（2）x2 = 3x
（2）移项，得
x2 – 3x = 0. 方程左边分解因式，得
对于题（2）x2 – 1 = 0,有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得

(精编课件)直接开平方法解一元二次方程PPT.ppt

Excellent courseware
学以致用
1.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并说明理由.
1） x2=2 2） p2 - 49=0 3） 6 x2=3
( √) (√ ) (√ )
4）(5x+9）2+x=0
(× )
5 ) 121-(y+3) 2 =0
(√ )
Excellent courseware
x1 2, x2 2 x 2 x1 2, x2 2
x 2 x1 2, x2 2
概括：一元二次方程ax2+b=0可以转化为x2=a的形式，然后用直接开平方法解方程。
Excellent courseware
探究（三）：如何解方程：（ax+b）2=c?
举一反三：如何解下列方程？（1）（x-3)2-4=0 （2）3(2x+1)2=12 （3）x2+4x+4=1
2、解下列方程：
（1）x2-9=0
(2)6t2-40=0
(3)16x2+45=0
(4)(2x-3)2=5
(5)(x-5)2+36=0
(6)(6x-1)2 -25(x+1)2=0
注意：解方程时， “左平方，右常数”，
应先把方程变形常数为负，方程无解；
为：
或“左平方，右平方”。
Excellent courseware
（2）（2x+3)2 -5=0 （4）（x-3)2=(3x-2)2
Excellent courseware
Excellent courseware
若一元二次方程方程有两根,则分别
记为χ1,χ2
探究新知:
探究（一）：如何解方程： x2=a ？

一元二次方程的解法PPT课件

一元二次方程的解法 ---配方法2
创设情境温故探新
开心练一练： 1、用直接开平方法解下列方程:
(1) (2)
9x 2 1
静心想一想：
(1) (2)
2
( x 2) 2
2
2、下列方程能用直接开平方法来解吗?
x 4x 4 3
X2+6X+9 = 2
把两题转化成 (x+b)2=a(a≥0)的形式，再利用开平方
2
1 移项得： x x 3 2 1 12 12 2 配方得：x 2 x ( 4 ) 3 ( 4 )
2
1 49 即 ( x )2 4 16
开平方得：
x
3 ∴原方程的解为：x1 2 , x2 2
1 7 4 4
反馈练习巩固新知
1、用配方法解下列方程:
(1)x2+8x-15=0 (3)2x2-5x-6=0 (2)x2-5x-6=0
(4) x2+px+q=0(p2-4q＞ 0)
课堂小结布置作业
小结： 1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含未
知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。 2、用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的步骤： (1)化二次项系数为1 （2）移项（3）配方（4）开平方（5）写出方程的解
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米，根据题意得:
X（X+6） = 16

一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册

实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.

2
解：原方程可化为：x = .

根据平方根的意义，得x=

或 x=−

，

因此，原方程的根为x1= ，x2=− .

根据平方根的意义，
得

x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－

因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =

即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .

1一元二次方程的解法直接开平方法PPT课件(沪科版)

作业
1 练习 1 2 习题 1
例题1
如何解方程（1）x² =9，（2）x2-4=0呢? 解（1）∵x是9的平方根（2）移项，得x2=4
∴x＝±3
方程解为： x1=3或x2 =－3
∴x= ±2
方程解为：x1= 2 或 x2=-2
什么叫直接开平方法？
像解x2=9，x2-4=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的情势，然后再根据平方根的意义求解
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成 x2 a(a 0)
（2）x1 a,x2 a
例题2
解下列方程（1）x2-1.21=0
解（1）移项，得x2=1.21
∴x=±1.1
即 x1=1.1，x2=-1.1
（2）4x2-1=0
（2）移项，得4x2=1
两边都除以4，得 x2= 1 4
∴x= 1
2
即x1=
1 2
，x2=
1 2
解下列方程:
(3)3x2－27=0;
(4)(2x－3)2=9
解：移项，得
3x2 27
两边都除以3，得
x2 9
x 9
x1 -3,x2 3
解：
2x 3 3,或2x 3 -3
x1 3 x2 0
师生讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）
的情势，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
(1)将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的情势

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 即x1= ，x2= 2
1 2
1 2
例2解下列方程： ⑴ （ x ＋ 1） 2 = 2 ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
典型例题
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 即x1=-1+
初中数学九年级上册（苏科版）
4.2.1一元二次方程的解法 (直接开平方法)
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是 ______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
7 ;x2= x1= 4
1 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
练一练 2、解下列方程：（1）x2=16 2 （2）x -0.81=0 （3）9x2=4 2 （4）y -144=0
练一练 3、解下列方程： 2 （1）（x-1） =4 （2）（x+2）2 =3 2 （3）（x-4） -25=0 2 （4）（2x+3） -5=0 （5）（2x-1）2 =（3-x）2
即x= a
尝试
如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
解（1）∵x是4的平方根即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2
∴x＝±2
（2）移项，得x2=2 ∵ x就是2的平方根 ∴x= 2
即此一元二次方程的根为： x1=
2
， x 2=
2
概括总结
什么叫直接开平方法？像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解
5 ∴x题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解解：2x-1=
( x 2)
2
即 2x-1=±（x-2） ∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2
即x1=-1，x2=1
讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。 2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
2
2 ，x2=-1- 2
例2解下列方程： ⑵ （ x － 1） 2 － 4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；解：（2）移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2
典型例题
即x1=3，x2=-1
典型例题例2解下列方程：
试一试：
已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ B ） A.n=0 C.n是m的整数倍 B.m、n异号 D.m、n同号
例1解下列方程（1）x2-1.21=0
典型例题
（2）4x2-1=0
解（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 2 两边都除以4，得x = 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0 分析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。解：(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明
1、下列解方程的过程中，正确的是（D ） (A)x2=-2,解方程，得x=±
练一练
2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
练一练 4一个球的表面积是100cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4R2，其中R是球半径）
归纳总结 1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤； 2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？