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精选数学家故事：沿着博物学传统走来的芒德勃罗1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内，一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形（fractal）的报告。
此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将军肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦（指M集）。
他拖着浓重的法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开创的。
他不时打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多非线性科学专家，当然还有数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。
主讲人时而觉得太冷，急忙穿上外套，时而觉得太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三四次之多。
这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起来，而负责报告厅空调设备的工作人员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。
此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot， 1924- ）教授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位近些年来持续得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。
他仅仅个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。
1996年8月他再次来访中国参加李政道主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。
对于中国文化和文字他还有几分向往，他称中国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不理解。
据说，经他从中斡旋，他的名著《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature，1982）中译本在中国首次印行能够免收版税。
但遗憾的是，时过多年，译本还未面世。
大约9年前就听说译本不久行将出版。
（上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。
）家庭背景与成长经历波努瓦。
芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。
据一位语言学家讲，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。
2014年11月20日是著名数学家、“分形几何之父”波努瓦·芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot ，1924.11.20－2010.10.16）诞辰90周年纪念日。
他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅将世人带入一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学、地理学、经济学和医学等许多科学领域均获得广泛应用，甚至对文化艺术领域也产生了重要影响。
难怪著名物理学家约翰·惠勒指出，“在过去，一个人如果不懂得‘熵’是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
”〔1〕为了学习和弘扬芒德勃罗的创新理念和跨学科研究的思想方法，笔者试图通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家。
一、芒德勃罗分形几何的创立20世纪60年代以来，随着电子计算机的广泛应用和由此而诞生的“计算物理”和“实验数学”两个新兴领域的出现，以孤子、混沌和分形为主体的非线性科学似乎总是把人们从对“正常”事物和现象的认识转向了对“反常”事物和现象的探索。
孤子排除了牛顿关于波和粒子绝对对立的幻觉，找到了一种同时集波粒二重性①于一体的客观实在；混沌打破了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，发现了一种确定性方程所描述的对初始条件极为敏感的无规则运动。
到了20世纪70年代中期，美籍法国数学家芒德勃罗把弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的火山口以及变幻莫测的云烟等一系列所谓“病态”的形状纳入了几何学的范畴，于是刻画混沌运动的直观的几何语言———无限嵌套的自相似几何结构———分形理论诞生了。
然而，这些貌似不正常、无规则的现象却使我们的认识更接近于自己的研究对象———自然界本身。
1．分形和分形维数概念的提出在科学史上，数学家们很早就注意到了分形体的存在，诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、维尔斯特拉斯不可微曲线、皮亚诺填充曲线、科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和海绵等等，当时都被正统科学视为少数的反例或“病态”结构，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶尔被提到。
芒德勃罗：沿着博物学传统走来刘华杰1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内，一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形(fractal)的报告。
此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将军肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦(指M集)。
他拖着浓重的法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开创的。
他不时打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多非线性科学专家，当然还有数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。
主讲人时而觉得太冷，急忙穿上外套,时而觉得太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三四次之多。
这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起来，而负责报告厅空调设备的工作人员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。
此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗(Benoit B.Mandelbrot, 1924- )教授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位近些年来不断得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。
他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。
1996年8月他再次来访中国参加李政道主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。
对于中国文化和文字他还有几分向往，他称中国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。
据说，经他从中斡旋，他的名著《大自然的分形几何学》(The Fractal Geometry of Nature,1982)中译本在中国首次印行可以免收版税。
但遗憾的是，时过多年，译本还未面世。
大约9年前就听说译本不久行将出版。
(上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。
)家庭背景与成长经历波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。
据一位语言学家讲，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。
数学史上的重要数学家与突破性成果数学是一门古老而重要的学科，它的发展离不开无数杰出的数学家们的贡献。
他们通过不懈的探索和努力，不仅为我们揭示了数学的奥秘，还取得了突破性的成果。
本文将介绍数学史上的一些重要数学家及其所取得的突破性成果。
欧几里得（Euclid）欧几里得是古希腊的数学家，他被誉为几何学之父。
他的著作《几何原本》是世界上流传最广的数学著作之一。
在这本著作中，欧几里得以逻辑严密的方式阐述了几何学的基本概念和定理。
他的突破性成果在于建立了几何学的公理化体系，奠定了几何学的基础。
阿基米德（Archimedes）阿基米德是古希腊的物理学家、数学家和工程师，他被称为古代最伟大的数学家之一。
他的突破性成果包括浮力定律、杠杆原理和球的体积计算公式等。
阿基米德的研究对数学、物理学和工程学的发展产生了深远的影响。
牛顿（Isaac Newton）牛顿是17世纪英国的科学家和数学家，也是现代物理学和数学的奠基人之一。
他发明了微积分学，并通过其研究揭示了物体运动的规律，提出了万有引力定律。
牛顿的突破性成果使得人类对宇宙的理解有了新的突破，对后来的科学研究产生了深远的影响。
高斯（Carl Friedrich Gauss）高斯是18世纪德国的数学家，他是现代数学的开创者之一。
他在数论、代数、几何和物理学等领域都有重要贡献。
高斯提出了正规分布的概念，并建立了高斯函数，这对统计学和概率论有很大的影响。
他还发现了多边形面积的公式和二次互反律等重要结果。
黎曼（Bernhard Riemann）黎曼是19世纪德国的数学家，他对数学分析和几何学的发展做出了巨大的贡献。
他提出了黎曼几何的概念，将几何学从欧氏几何扩展到了更一般的情况。
黎曼的研究开创了拓扑学和微分几何的新领域，为现代数学的发展奠定了基础。
这些数学家以及他们所取得的突破性成果为数学的发展做出了重要贡献。
他们的工作不仅拓宽了人类对数学的认识，还为后代的数学家们提供了宝贵的启示。
揭秘分形几何学的无穷奥秘分形几何学作为一种研究复杂形态和结构的新兴数学分支，近几十年迅速引起了科学界和艺术界的广泛关注。
与传统欧几里德几何学不同，分形几何学关注的是自然界中的不规则性、复杂性以及自相似性，这些特征常常难以用传统几何方式进行阐释。
本文将深入探讨分形几何学的发展历程、基本概念、实际应用以及它所揭示的无穷奥秘。
一、分形几何学的发展历程分形几何学的兴起可以追溯到20世纪初，但真正形成系统的理论则是在1970年代。
法国数学家贝尔纳·曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）是这一领域的奠基人之一，他在1975年出版的《分形：新科学的几何》一书中，系统地介绍了分形的概念。
曼德布罗特提出，许多自然现象并不能用传统几何或定量方法准确描述，而应该采用分形的方法来理解。
他首次提出了“分形”这一概念，并通过可视化的方式展示了许多复杂的图形。
二、基本概念与特点1. 自相似性自相似性是分形几何学中最重要的一个特征，它指的是物体在不同尺度下具有相似的结构。
例如，雪花的每一部分都与整体结构相似；树木的树枝在更小的尺度上与整棵树具有相同的拓扑结构。
这种特性使得分析和描述这些物体变得更加复杂，却也更加贴近现实。
2. 无穷细节分形图形往往具有无穷多细节，尽管我们只是在有限尺度上观察。
无论放大多少倍，其结构却始终包含着新的细节。
例如，著名的曼德尔布罗集合，在无限次放大的情况下，总能呈现出惊人的细节。
这种现象使得分形图形充满了神秘感。
3. 非整数维度瓦尔特·海禾、乔治·法尔科斯和曼德布罗特共同建立了“盒子计数法”，通过对物体表面进行测量可以计算出其维度。
与传统意义上的一维、二维、三维不同，某些分形对象存在着非整数维度，这为我们理解空间提供了新的视角。
二次含混性质让我们理解世界具有更深层次的结构。
三、经典分形1. 曼德尔布罗集合曼德尔布罗集合是分形几何中最著名的例子之一，它采用复数域中的简单函数迭代定义。
自然界中分形模式的数学建模一、分形模式的数学基础分形几何是一种描述自然界中复杂形状的数学理论，它由数学家本华·曼德布罗特于1975年提出。
分形的核心概念是自相似性，即在不同的尺度上观察一个对象，其形状和结构具有相似性。
分形模式具有无限复杂的边界，但可以用简单的数学公式来描述。
1.1 分形的定义与特性分形是具有非整数维数的几何形状，它们在所有尺度上都表现出自相似性。
分形的维数通常大于其拓扑维数，这是通过分形维数的计算公式来确定的。
分形的一个重要特性是它们具有无限的细节，这意味着无论放大多少倍，分形的局部总是呈现出与整体相似的复杂结构。
1.2 分形的数学模型分形可以通过多种数学模型来描述，其中最著名的是曼德布罗特集合和朱利亚集合。
这些集合是通过复数迭代过程产生的，它们展示了分形的自相似性和复杂性。
此外，还有基于迭代函数系统的分形模型，如科赫曲线、谢尔宾斯基地毯和分形布朗运动等。
1.3 分形的度量分形的度量包括分形维数、分形尺度和分形的豪斯多夫维数等。
分形维数是描述分形复杂性的一个关键参数，它通常通过盒维数或相似维数来计算。
分形尺度则涉及到分形在不同尺度上的表现，而豪斯多夫维数则是一种更为通用的度量方法，适用于不规则形状的维数计算。
二、自然界中的分形现象自然界中充满了分形模式，从微观到宏观，从植物的叶片到山川河流的地形，都可以找到分形的影子。
2.1 分形在植物学中的应用植物的许多部分都表现出分形特性，如树木的分枝、叶片的脉络和花朵的排列等。
这些分形结构有助于植物更有效地进行光合作用和水分吸收。
例如，树木的分枝模式遵循一种分形规律，使得每一片叶子都能获得充足的阳光。
2.2 分形在地质学中的应用地球表面的地形也常常呈现出分形特性。
山脉、河流和海岸线等自然地貌，其形状和结构在不同尺度上都具有自相似性。
例如，河流的分支模式和海岸线的曲折度都可以用分形理论来描述。
2.3 分形在生物学中的应用在生物学中，分形模式同样普遍存在。
分形谁创立了分形几何学？ 1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
分形几何与传统几何相比有什么特点：1、从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。
例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
2、在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。
上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。
当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。
其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？康托尔三分集——最简单的分形在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。
也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。
分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。
其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：a^D=b, D=logb/loga的关系成Koch曲线立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
几何里的艺术家——分形几何分形几何是一门结合数学和艺术的学科，它研究自相似性和无限重复的图形。
分形是一种可以通过递归运算生成的图形，其每个部分都与整体具有相似的形状和属性。
分形几何广泛应用于自然界、科学、艺术和计算机图形学等领域。
分形几何的概念最早由波兰数学家曼德博勒特·曼德博勒特于20世纪70年代提出。
他通过迭代运算生成了一种被称为“曼德博集合”的分形图形，该图形具有无限复杂的细节和自相似性。
曼德博勒特的研究成果开创了分形几何的研究领域，吸引了许多科学家和艺术家的关注。
分形几何的魅力在于它展现了自然界中许多复杂的形态和规律。
分形几何可以用来描述云朵、山脉、树木、海岸线等自然景观的形状和纹理。
这些自然景观往往具有层次分明、规则重复的结构，正是分形几何的特点所能很好地解释和模拟这种现象。
在艺术领域，分形几何为艺术家们提供了一种新的创作方式和表现手法。
艺术家可以使用分形生成软件来创作出具有分形特征的艺术作品。
这些作品通常具有随机性、复杂性和自相似性，给观者带来一种与众不同的观感和感官体验。
分形艺术常常被赋予一种神秘、浪漫和超现实的风格，使人沉浸其中。
分形几何的应用还扩展到计算机图形学和图像处理领域。
分形图形可以被用来生成真实感模拟、虚拟现实和特效动画。
通过分形算法，计算机可以生成具有高度精细化和无限细节的图像，使得图像更加逼真、生动，并且可以实现无尽的变化。
除了在科学、艺术和计算机图形学中的应用，分形几何还对理解自然界的一些现象和规律具有重要意义。
分形几何揭示了许多自然界中的分形结构，如闪电、河流、植物的分枝、肺部的支气管等。
了解并研究这些自然现象的分形特征，对于深入理解它们的内在规律和运行机制具有重要意义。
分形几何是一门有着深厚学术背景和广泛应用前景的学科。
它不仅仅是一门数学理论，更是一门艺术表现和探索自然界的工具。
通过分形几何的研究和应用，人们可以更好地理解自然现象、创造艺术作品、设计复杂图形和模拟现实世界。
分形几何学是一门独特而又神秘的数学学科，它研究的是自然界中那些看似无法描述的复杂结构。
从山脉的峰与谷到树叶的纹理，从雷电的闪电路径到心电图的波动曲线，我们可以在各个领域中发现分形的存在。
它的研究成果让我们深刻地感受到了自然界的复杂之美。
分形几何学的概念最早由波兰数学家曼德尔博士在20世纪70年代提出。
他研究了一个叫做“曼德勃罗集(Mandelbrot Set)”的特殊分形，这个集合包含了无穷多个复数点。
曼德勃罗集的图像以其形状复杂而美丽而著称于世。
看似小小的一个图案却包含了无穷多的细节，无论怎么进行放大，每一次放大都会揭示出更多的分形结构，仿佛进入了一个无限迷宫。
这个发现引起了人们对分形几何学的极大兴趣。
自然界中的分形结构十分常见，从大到小，无处不在。
比如我们常见的树枝结构，无论是从整体还是局部上看，都呈现出分形特征。
一棵大树的枝干不仅有树枝，树枝上还有更小的分支，这些分支上又有更细小的枝条，它们以类似的方式重复出现，形成了树的层级结构。
类似的分形结构还存在于河流的模式中，从主河道到支流再到小溪，每一级都是满足分形特征的。
即使在人类体内，血管、神经系统等也具备分形特征，这使得我们的身体更加灵活和高效。
分形结构不仅存在于自然界，还在科学和艺术领域产生了极大的影响。
科学家们发现，用分形几何学理论可以更好地描述许多自然现象，例如云的形状、风暴的路径等。
而在艺术创作中，分形图案被广泛应用，它们展示了令人惊叹的美感。
许多艺术家通过计算机生成算法来创造分形艺术作品，这些作品呈现出无限的细节和复杂性，使观众深陷其中。
然而，分形几何学的研究远远没有结束。
虽然我们已经在自然界和艺术中发现了许多分形结构，但这只是冰山一角。
未来还有许多未知的领域值得我们去探索。
随着计算机技术的进步，我们能够更深入地研究分形几何学。
通过模拟和计算，我们可以以更高的精度和更快的速度生成分形图像。
这将有助于我们更好地理解分形的本质和应用。
2014年11月20日是著名数学家、“分形几何之父”波努瓦·芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot ，1924.11.20－2010.10.16）诞辰90周年纪念日。
他所提出的“分形几何”理论和出版的《大自然的分形几何》一书，不仅将世人带入一个神奇绝妙的美丽世界，而且分形几何在数学、物理学、生物学、地理学、经济学和医学等许多科学领域均获得广泛应用，甚至对文化艺术领域也产生了重要影响。
难怪著名物理学家约翰·惠勒指出，“在过去，一个人如果不懂得‘熵’是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
”〔1〕为了学习和弘扬芒德勃罗的创新理念和跨学科研究的思想方法，笔者试图通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家。
一、芒德勃罗分形几何的创立20世纪60年代以来，随着电子计算机的广泛应用和由此而诞生的“计算物理”和“实验数学”两个新兴领域的出现，以孤子、混沌和分形为主体的非线性科学似乎总是把人们从对“正常”事物和现象的认识转向了对“反常”事物和现象的探索。
孤子排除了牛顿关于波和粒子绝对对立的幻觉，找到了一种同时集波粒二重性①于一体的客观实在；混沌打破了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，发现了一种确定性方程所描述的对初始条件极为敏感的无规则运动。
到了20世纪70年代中期，美籍法国数学家芒德勃罗把弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的火山口以及变幻莫测的云烟等一系列所谓“病态”的形状纳入了几何学的范畴，于是刻画混沌运动的直观的几何语言———无限嵌套的自相似几何结构———分形理论诞生了。
然而，这些貌似不正常、无规则的现象却使我们的认识更接近于自己的研究对象———自然界本身。
1．分形和分形维数概念的提出在科学史上，数学家们很早就注意到了分形体的存在，诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、维尔斯特拉斯不可微曲线、皮亚诺填充曲线、科赫雪花曲线、谢尔宾斯基地毯和海绵等等，当时都被正统科学视为少数的反例或“病态”结构，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶尔被提到。
然而，真正导致分形理论的产生，应归功于法国数学家朱利亚（G.M.Julia ）和法图（P.J.Fatou ）对复平面上动力系统的研究。
他们于1918年发表的著名论文使复平面上有理映射迭代理论得以发展。
他们不仅研究以上分形几何的创立与复杂性研究———纪念波努瓦·芒德勃罗诞辰90周年李润珍，武杰（太原科技大学中国系统哲学研究中心，太原030024）摘要：分形几何是由当代著名数学家波努瓦·芒德勃罗创立的,它是刻画混沌运动的直观的几何语言，目前在自然科学、社会科学以及文化艺术领域获得了广泛应用。
在芒德勃罗诞辰90周年之际，通过美丽的分形图案和他对复杂性研究做出的突出贡献来纪念这位天才的数学家具有重要的现实意义。
他那敢与他人不同的创新理念和跨学科研究的思想方法，特别是“简单性孕育复杂性”和“无理性丰富有理性”的研究技巧给后人留下了深刻的印象。
关键词：芒德勃罗；分形几何；分形维数；迭代法；无理性；复杂性研究中图分类号：N031文献标识码：A收稿日期：2014－03－02作者简介：李润珍（1957-），女，山西忻州人，太原科技大学哲学研究所教授，主要研究方向：系统科学哲学；武杰（1950-），山西太原人，太原科技大学哲学研究所教授，主要研究方向：科学技术哲学。
①为了与微观客体的波粒二象性相区别，这里将孤子同时具有波动性和粒子性的属性称为孤子的波粒二重性。
第30卷第7期2014年7月自然辩证法研究Studies in Dialectics of NatureVol.30，No.7July.，2014文章编号：1000-8934（2014）07-0089-07第30卷第7期自然辩证法研究列举的具有高度有序性和可预见性的分形图形（即具有在任意放大和平移变换下的自相似性———用数学语言来表示，就是它们在线性变换下的不变性），而且试图研究在非线性变换下不变的分形。
他们的工作把复多项式和复有理函数迭代的研究推向了繁荣。
但在随后的50年内，这方面的工作进展不大，一个重要的原因是计算机还没有出现，手、铅笔和直尺已经耗尽其所能。
芒德勃罗早年受其叔父佐列姆·芒德勃罗和老师朱利亚的影响，从20世纪60年代中期开始研究彭加勒的著作，最初从与彭加勒研究过的“克莱因群的极限集”相关的集合，得到了深刻的启发。
他把过去数学家们认为是“病态”的“怪物”视为“宝贝”，并试图将它们在一种新的几何里统一处理。
由此，他首先揭示了分形的本质特征，确定了分形几何的理论框架。
20世纪70年代中期至80年代初，由于电子计算机技术（特别是图像显示系统）的发展，才真正开辟出分形几何这一崭新的数学领域。
1975年，芒德勃罗创造了“分形”（fractal）这一新术语。
“fractal”一词原本出自拉丁语fractus，意思是不规则的、破碎的或断裂的。
同年他出版了《分形对象：形、机遇和维数》一书，认为大量的物理、生物和数学现象都会产生分形，并证明“妖怪般的曲线与外在世界的几何不是没有关系”，而是“其中隐藏着通向测度真实世界不规则性的秘密———分形的秘密。
”〔1〕161这也就是说，世界本质上是非线性的，而分形是非线性特征的一种几何表现。
因此，所谓分形是指自然界中没有特征长度而又具有自相似性的形状或现象。
为了刻画这些不规则点集的共同特征———粗糙性和自相似性，芒德勃罗给出了集合的复杂度、不规则程度的定量回答，引进了分形维数（fractal dimension，简称分维）的概念。
他指出，1919年“从豪斯多夫（F.Hausdorff）开始的数学家们补充了某些维数不再是整数的理想化的图形。
它们的维数可以是一个分数，如1/2，3/2，5/2，也可以是一个无理数log4/log3≈1.2618，如，甚至可以是一个复杂方程的解。
”〔2〕为此，他定义说：“如果一个集合的豪斯多夫维数严格大于它的拓扑维数，则称之为分形集。
”豪斯多夫维数就是一种典型的分形维数，比如门格－谢尔宾斯基海绵的维数约为2.726833。
由此可见，分形几何研究的是比欧氏几何更复杂的几何图形，并且是不光滑和不可微的。
从这个意义上说，“分形”和“分维”概念否定了微分，它是一个划时代的革命，将建立在一个全新的理论基础上。
科学概念的诞生，往往需要一个整体的社会环境和社会意识。
20世纪初，相对论和量子力学的建立催生了许多新概念的问世，一方面由于当时整体的技术有了很大的发展，另一方面经典理论与新发现的实验事实产生了尖锐的矛盾。
“分形概念的诞生也有类似的原因，决定论框架中的随机性的发展导致了混沌动力学的建立，而这些优美的动力学几何图象则鲜为人注意，分形正是在这方面显露才华，并引起各个领域的研究工作者的注意。
”〔3〕2．芒德勃罗集：嫩芽和卷须1978－1979年，芒德勃罗与IBM（国际商用机器公司）的马克·拉夫（Mark Laff）合作，开始研究在非线性变换下保持不变的分形。
但要想知道相应分形的样子，必须借助于计算机把图形画出来。
1979年底，芒德勃罗认为利用计算机研究反馈方程X n+1= X n2+C的行为就值得一试（这里变量X与参量C均为复数）。
1980年，他和助教莫尔代夫（P.Moldave）利用一台超微机在哈佛科学中心的地下室展开了研究。
他们获得的第一张图是粗看像甲虫的双圆斑（如图1，a所示）———完全符合理论的预测。
接着，他们对偏离主形的小圆斑继续做精细的观察，它乃是主形的小型翻版———一种分形的自相似行为。
更精密的计算获得了更精细的图形，直到图形呈现严重的混乱。
为了证实这一点，他们又在一台IBM计算机上进行计算，混乱不仅没有消失，而且发现这些越来越多的杂乱是某种真实事物的迹象。
嫩芽和卷须从主形上慢吞吞地生长出来，有些小圆点正是他们预料的一种漂亮的螺旋形图案———一族形似海马的图形。
这就是奇妙的芒德勃罗集，边界上形似海马的图形被称为朱利亚集（如图1，b所示）。
这些图形的优美与复杂出人意料，它的赞赏者甚至这样说：图1,a芒德勃罗集合与其“复杂”图案“用无限的时间也不足以观察它的全貌，它那饰以多刺荆棘的圆盘，它那弯曲外绕的螺线和细丝，上面挂着鳞茎状的微细颗粒，无穷尽的杂色斑驳，好像是上帝私人葡萄树上的累累果实。
通过可调节的计算机彩色屏幕的窗口考察时，芒德勃罗集看来比其他分形还要分形，它跨越尺度的复杂情况是如此丰富。
如果想列举其中各种图形，或者用数字描述这个集合的轮廓，将需要无穷多的信息。
”“即使已经把‘简单性孕育复杂性’这一命题确立为自己智力活动的中心，芒德勃罗也并未立即理解那些在国际商用机器公司和哈佛大学的计算机屏幕视野之外翱翔的对象是多么非同寻常。
”〔4〕图1,b从芒德勃罗集边界得到的朱利亚集由此，我们很容易从这些图形中感受到芒德勃罗集的美丽和奇妙，但要真正掌握它对数学的意义则要困难一些。
不过，1982年芒德勃罗又出版了一本更全面的著作《自然界中的分形几何》。
从此，分形的概念和分形几何不胫而走，成为数学研究的热门课题。
因此，分形几何的产生印证了这样一条原理：科学上每一次大的跨越，都会引发一个自然界的模式，为我们建构一个新的方法论平台。
正如数学家哈代所言：“一位数学家就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。
如果他的模式比画家或诗人的模式的生命更加长久的话，那是因为他的模式是用思想（idea）所造就的。
画家用形状和色彩创作模式，诗人则用语词。
……数学家的模式，就像画家和诗人的模式一样，必须是优美的；这些思想，就像色彩或者字词一样，必须以和谐的方式统一起来。
优美性是第一道检验标准：这个世界没有为丑陋数学准备长久的地盘。
”〔5〕其实，早在1933年爱因斯坦就指出：“在某种意义上，……纯粹思维能够把握实在”。
于是他相信，“这种创造的原理却存在于数学之中”〔6〕。
“现在已经清楚，分形不但抓住了混沌与噪声的实质，而且抓住了范围更广的一系列自然形式的本质，这些形式的几何在过去的2500多年里是没办法描述的，它们包括海岸线、树、山脉、星系、云、聚合物、河流、天气模式、大脑、肺以及血液供给。
物理学过去总是设法把自然界许多精致性质堆放在泛泛的‘混沌’与‘无序’标题之下，与此类似，自然界的许多精致形式及其丰富细节，过去也被常规几何学所忽略了。
”〔7〕因此，芒德勃罗认为，传统的欧氏几何是“呆滞的”，不规则的分形几何却是活跃的，它不仅是扰乱欧氏几何的“噪声”，而且成为理解自然现象的新钥匙和自然界自身创造力的醒目标志。
二、分形几何对复杂性研究的启示1967年，芒德勃罗在《科学》杂志上发表了《英国的海岸线有多长？》一文，标志着分形几何的诞生。
