分形几何学英国海岸线长度

数学家曼德尔布罗与漂亮的分形几何学数学家曼德尔布罗与漂亮的分形几何学《美国数学会会志》今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。

由计算机按照分形几何学的算法生成的令人叹为观止的分形图案。

《美国数学会会志》(Notices of the AMS)今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗(Benoit Mandelbrot)的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。

曼德尔布罗的生平与奋斗1924年11月20日，伯努瓦·曼德尔布罗出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。

父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。

由于当时局势紧张，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。

他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，只背过五以下的乘法表。

11岁时，他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎，投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆·曼德尔布罗。

战争来临时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。

曼德尔布罗做过一阵子机床维修学徒工后，巴黎解放，没有什么学术根底的他，完全靠自己的天赋和直觉，通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。

在该校学习期间，他参加过法国著名的数学团体——布尔巴基(Bourbaki)协会，但由于该协会摒弃一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法忍受而成了一位叛逆者。

那时候他已经意识到，不管给出什么解析问题，他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。

曼德尔布罗1948年获美国加州理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。

毕业后，他的职业生涯并不顺利，先是在瑞士知名心理学家让·皮亚杰(Jean Piaget)手下干了一段时间，然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。

1958年，他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。

海岸线与分形摘要：本文以海岸线的测量为线索通俗易懂地介绍了规整几何图形的测量及其相关特征，引出分维的概念，最后由海岸线过渡到分形，展示了分形在生活中无处不在和应用。

关键字：海岸线；规整几何；分形英国科学家理查逊曾探索过大量关于自然复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界的长度的估计相差竟达20%！他向世界提出了海岸线的问题，难道是海岸线不可以测量吗？为了探讨这个问题，先来谈谈我们对平时所学的几何对象是如何测量的。

一、规整几何图形的测量所谓规整的几何图形是指，直线与直线段；平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、三角形以及正多边形；三维空间中的长方体、正六面体与正四面体等。

另一类就是由曲线或曲面所围成的几何图形；平面上的圆与椭圆；空间中的球、椭球、圆柱、圆台与圆锥等。

[1] 在规整几何中，为了测量一块平面图形的面积，可以用一个边长为l ，面积为2l 的“标准”方块去覆盖它。

所得的方块数目就是它的面积（以2l 为单位）： 面积有限数平面图形面积==2l。

[2]因此，也就是说，先确定一个“标准”，然后求得的含有这样“标准”的个数就是测量的结果。

这个“标准”也就是特征尺度。

下面，我们用这个方法去测量海岸线的长度吧！设想测量员用两脚规，把它张成一定的长度，例如1r ，然后沿着海岸线一步一步地测量，所得数为1r N ，则海岸线在这一尺度下的近似长度为111r N l r ⨯=，说“近似”，是出于为测量时忽略了小于1r 的那些曲曲弯弯的曲线。

如果把两脚规张成较1r 小的长度，比如2r （12r r <），再沿着海岸线一步一步地测量，所得的数为2r N ，则海岸线在该尺度下的近似长度为222r N l r ⨯=，“近似”理由同上，此时，那些小于2r 的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，……，如此 ，会得到关于海岸线长度的一系列不同的结果：,,21l l …，n l ，…，并且显然有<<21l l …<<n l …。

海岸线究竟有多长？PB08207006 王婷一节微积分课上，宣老师简单的说了一句话，“海岸线的长度是无穷大的”。

说者无心，听者有意，百度一下，终于明白了个中究竟。

海岸线长度依赖于测量单位，若以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的曲折都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸线的长度。

但仔细一想：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。

海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。

为什么？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。

实际测量中，我们将海岸线折线化，得出一个有意义的长度，这就是我们通常所说的海岸线的长度了。

下面我们来看一下经典的科赫曲线（科赫雪花）：科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，所以又称为雪花曲线，它是分形曲线中的一种，具体画法如下：1、任意画一个正三角形，并把每一边三等分；2、取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉；3、重复上述两步，画出更小的三角形。

4、一直重复，直到无穷，所画出的曲线叫做科赫曲线。

科赫曲线有以下几个特点：1、曲线任何处不可导，即任何地点都是不平滑的2、总长度趋向无穷大3、曲线上任意两点距离无穷大4、面积是有限的雪花曲线的面积是原来生成它的三角形的面积的8/5；面积计算方法如下Ⅰ．假定等边△ABC的面积是k。

Ⅱ．分△ABC为九个全等等边三角形，各具有面积a，如图所示。

因此k=9a。

现在确定雪花曲线六个初始尖角中每一个面积的极限。

我们知道大尖角的面积是a，因为它是九个三角形之一向外翻转而形成的。

在由它生成的下一批尖角中，每一尖角具有面积a/9，因为和原来的三角形一样，它也被分为九个全等三角形后再把其中一个向外翻转而形成下一批的一个尖角。

事实上，每一个相继的尖角都被分为九个全等三角形，同时在两边生出两个三角形。

第3章 英国的海岸线有多长海岸线的长度问题，按传统科学方法来考虑是极其简单的．可是美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际权威的美国《科学》杂志上发表的论文《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度．原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则．测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度L 1；如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略, 此时得出的长度L 2＞L 1；同样的，用厘米作单位，所得长度L 3＞L 2＞L 1,…．采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大（图19）．可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字．这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的．所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量．图19海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学家理查逊（L ．F ．richardson ）的一篇鲜为人知的文章中遇到的．这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究．他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的边界长度的经验公式 L (r)= Kr 1-a 中的a 就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数”，这就是著名的分数维数之一．这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态的”、“怪物类型”的数学对象，——康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支——分形几何学跻身于现代数学之林．例 A 、B 两国有一段共同的陆地边界线，并向B 国呈弧形弯曲（图20）. 横跨边界线有一战略高地原属两国所共有. 20世纪80年代，A 国对边界重新进行测量，测得的边界长度比原记载长度大，按新测长度这块高地完全落在A 国境内. 于是A 国向B国提出，要求将高地全部归属A 国，引起两国争端. 为维护该地区和平，联合国派员往A 、B 两国斡旋，请你为联合国特使设计一调解方案.方案：向两国指出，国境线是一种分形曲线，用传统测量方法无法得到确定的长度，随着测量单位的减小，测得的长度会增大. A 国新测得的长度比原记载长度大，正是她测量时采用了较原测量单位更小的码尺. 所以一方面可用分形几何理论向两国解释，另一方面还可同两国到边界进行测量演示. 习题三1.为什么长度已不是海岸线的特征量？2.为什么在测量海岸线长度时，随测量单位的减小，海岸线长度会越来越大？图20研究性课题：科赫雪花曲线的周长与面积1.台湾1995年联考试题：在如下的雪花曲线T 1，T 2,…，T n ，…中（图21），求第n 条雪花曲线的长度.为本课题研究的需要，增加一个问题：并求面积，且可设原三角形T 1的周长为L ，面积为S.（周长序列：L ，34L ，(34)2 L ，…，(34)ｎ－1L ，…. 面积序列：S ，（1+43×94） S ，（1+43×94+43×94×94）S ，…， {1+43[94+(94)2 + … + (94)n －1]}S ，….) 2.考察科赫雪花曲线的周长与面积的关系：⑴取L =3cm ，用CZ 1206型计算器计算n = 5，9，17时L n 和S n 的值.(L 5=9.48cm ，L 9=29.97cm ，L 17=299.32cm ；S 5=0.6827cm2,S 9=0.6924cm2,S 17=0.6928cm2.显然，随n 的无限增大，(34)n －1×3也无穷大， {1+43[94+(94)2+…+(94)n －1]} 43×12 =（1+43×94194-）①×43×12=0.6928(cm 2 ) ) （2）从以上计算得出的数值或数值变化的趋势你发现什么结论？（科赫雪花曲线周长趋于无穷大而面积为定值.）3.设正三角形与圆的周长分别为L 和C ，探索各自的面积S 与周长的关系并叙述出来.（S 正三角形=363L 2 ，S 圆 =241πC 2，它们的面积与周长是一种正比例关系，随周长的增大面积也增大.） 将2、3中的结论相比较，体会曼德尔布罗特为什么把科赫雪花曲线作为海岸线的数学模型.4.撰写研究小论文：课题：科赫雪花曲线的周长与面积.提纲：⑴问题的提出：科赫雪花曲线周长与面积的探求，发现它周长趋于无穷大而面积为定值.⑵问题的研究：寻求正三角形与圆的周长与面积关系的结论，将结论与⑴中结论比较，发现科赫雪花曲线与欧氏几何图形不同的性质.⑶研究结论的应用：谈谈对用科赫雪花曲线作为海岸线模型的认识.(说明：建议用小组合作的形式撰写. )① 等比数列求和公式S n =q q a n --1)1(1，当n 为无穷大，│q │＜1时S =q a -11图21。

从海岸线长度看维数问题从海岸线长度看维数问题在人们的意识中海岸线总存在一个长度,例如说某国家的海岸线有多长等. 1967年, 曼德布罗特在美国《科学》杂志上发表了题为"英国的海岸线有多长?"的论文. 他认证说,任何海岸线在一定意义上都是无限长的,而在另一种意义上, 结果依赖于测量海岸线所用的尺子的长度.他对海岸线的本质所作的独特分析震惊学术界,分形（fractal）一词最初就是出现在这篇文章中.对于“大不列颠的海岸线有多长”这一问题的深入思考和分析实际上是曼德布罗特思想的转折点, 下面我们介绍海岸线长度问题.首先我们从圆周长的测量谈起，按图3―1(a)所示,用多边形的周长去近似圆的周长,不难看出它是一个逼近过程,这个过程满足下面两点:1.测量值依赖多边形的边长，边长越小，测量值越大.2.用多边形的边去近似其所对应的圆弧,当边长越来越小时,近似效果越来越好,因而在极限情况时,多边形的周长就是圆的周长.如果用类似的方法考虑图3―1(b)(英国海岸线缩影图), 设想有人用一定的步长绕海岸线走一圈,上面的第①点是满足的, 但第②点就不一样了. 从图3―1(b)可看出, 当用较大的步子时,每一步与对应的海岸线差异是明显的.但组成海岸线的沙滩、石块、海湾、断层、峡谷、江河出口、……等使得海岸线的结构十分复杂, 而在测量时尺子总有一个确定的长度(标度), 无论长度多么小, 总要忽略一些更小的精细结构.亦即对无论多么小的标度, 标度与对应的海岸线总有明显差异, 因为随着标度变小, 海湾与半岛将显露出越来越小的子海湾与子半岛. 用曼德布罗特的话说, 任何小尺度上的复杂程度与大尺度上的复杂程度有相似性. 因而, 当选定一标度对海岸线进行测量时, 你会得到一确定值，尺子长度越小，测得的值越大，在这种意义上海岸线长度依赖尺子的标度. 当标度趋于零时, 长度并不趋于一固定值，而是趋于无穷大，在这种意义上海岸线是无穷长的. 描述光滑曲线长度的数学模型无法用来描述英国海岸线，而数学家科赫(Koch Helge.Von)早在1904年构造的“妖魔”曲线却能恰如其分地描述海岸线.对海岸线的测量结果如何合理地给出解释呢？我们知道, 用一维“尺”去测量点, 点的长度为0, 用二维的面积去测量一维的线段, 线段的面积为0，用三维的体积去测量二维的区域, 区域体积为0. 反之，用点去测量线段, 用一维“尺”去测量二维区域，用二维面积去测量立体，其“度量”为∞,即对任何一个有确定维数的几何体,,若用与它维数相应的“尺”去量度, 可得一确定值, 若用低于维数的“尺”去量它,结果为无穷大, 若用高于它的维数的“尺”去量它，其结果为0. 如果把海岸线看成维数大于1的曲线,用小于它维数的一维欧氏“尺”去量度,长度为无穷大就一点也不奇怪了，这就要求我们对传统维数进行推广，下面我们来看看图形的维数问题.。

（十七）从海岸线长度谈起----分形与混沌从远古时代开始，人们对大自然的变幻无常就有着神秘莫测的恐惧，几千年的科学发展和文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。

经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解相关的自然定理，就可计算系统的近似行为，因为世间万物的行为方式具有一种收敛性（注意到精确测量初始条件实际上是不可能的，因为现实中的测量总有一定的误差）。

这样的信念在天文学上获得了辉煌的成就，如海王星的发现。

人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。

英国亚当斯（Adams）和法国的勒维列(Verrier)独立地对此进行研究，根据开普勒(Kepler)定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒(Galle)进行探索，在与预计位置差1°（近似行为！）的地方发现了此星（后来汤姆波夫(Tambaugh)又根据海王星自身运动不规则的记载又发现了冥王星）。

于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。

经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成了一架庞大的机器。

也就是说对于任何一个系统，只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉晋拉斯（Laplace）曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去和将来的一切情况。

他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。

这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。

牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。

科技/Science记得有一首很抒情的歌唱道：“林中的小路有多长？只有我们漫步度量。

”林中的小路有多长？一般人不会认为这是一个成问题的问题。

翻开地理书，就能看到“我国有长达多少多少千米海岸线”的说法。

海岸线真有确切的长度吗？1967年，曼德尔布罗特在《科学》杂志上发表了题为《大不列颠的海岸线有多长》（How Long Is the Coast ofBritain? Statistical Selfsimilarityand Fractional Dimension）的论文，明确指出海岸线的长度是一个依赖于测量所用标尺的量。

相关问题的研究引入了一个崭新的数学分支—分形几何。

曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot，1927~2010），数学家，出生在波兰，后来先后定居在法国和美国。

受其数学家叔叔的影响，曼德尔布罗特从小就热爱数学。

在求学经历中，曼德尔布罗特曾受教于大数学家尤利亚（GastonJulia）、冯·诺依曼（John曼德尔布罗特　—海岸线的长度□ 曹则贤Science/科技von Neumann）。

曼德尔布罗特后来在美国凭借替国际商业机器公司（IBM）工作的便利，成了最先使用计算机图形功能创造分形几何的人。

当然，这也与他的老师尤利亚引入的一种特殊的集合有关。

尤利亚集合与复函数的迭代有关。

例如，考察函数fc(z) = z2 + c，其中c是一个常复数，z是复变量。

把函数fc(z)当成新的变量z代到方程的右边去，可以研究这个函数的迭代性质。

如果某个区域内的z经过迭代算法还保留在这个区域内，则这个区域属于复平面内的Fatou 集合。

Fatou集合以外的区域就是尤利亚集合。

尤利亚集合是处处非稠的集合（通俗地说，就是麻将牌里的“十三不靠”），因此具有非常迷人的外观。

对于fc(z)= z2+ c这样的迭代函数，可引入曼德尔布罗特集合。

从图中可以看出，曼德尔布罗特集合的边界具有越来越精细的、递归的细节，也就是说你将选定的部分不断地放大，会发现同样的细节会不断再现。

海岸线与分形（刘婷数学科学学院 06205006）我们生活的世界里充满了分形，喧闹的都市生活、美轮美奂的自然风光、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线，坑坑洼洼的地面等都到处有分形的影子。

电话卡、头巾、书签、包装材料的图案也表现了丰富的现象（如图1）。

那么到底是什么导致分形几何的产生？分形几何又与我们平时学习的几何有什么不同呢？我们试图给出问题的答案。

图1一、经典几何的特点两千多年来，古希腊人创立的几何学，一直是人们认识自然物体形状的有力工具。

经典几何学所描绘的都是由直线或曲线、平面或曲面、平直体或曲体所构成的各种几何形状，它们是现实世界中物体形状的高度抽象。

天文学家们用这种几何知识构造了多种宇宙理论，建筑师们利用它设计出大量宏伟的建筑；以致于近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：大自然的语言是数学，“它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。

在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。

在数学上,把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲,维数也不变,这就是拓扑维数。

自然界的现象通常都发生在某种特征标度上，如特征长度、特征时间等特征尺度上。

科学家关于事物特征的描述最基本的莫过于问它有多大，持续多久。

这都是依赖于标度（尺度）的一些基本性质。

每种事物都有其特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上；生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度；物理学家研究的夸克，约在10-13厘米的数量级上。

每一个具体事物，都与特定的尺度相联系。

几厘米长的昆虫与几米、十几米大小的巨兽在形态、结构上必然极不相同，否则它们就无法生存和繁衍。

《楚辞·卜居》中说：“夫尺有所短，寸有所长”。

这也是说事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺去测度。

用寸来量度细菌，用尺来量度万里长城，前者失之过长，后者又嫌太短。

《大不列颠的海岸线有多长》的内容及思想探析江南;曲安京【摘要】Through the clues of the length of coastline problem,Richardon's empirical law,fractional dimension,Statistical self-similarity,etc,this paper explores and analyzes the content and thought of "How Long is the Coastof Britain" deeply by pointing out the publication of this article marks the sprouting of fractal theory and expounding its contribution to the birth of fractal geometry.Finally,it revealed Mandelbrot's early fractal thought and discussed Mandelbrot is the person who realized a leap of the dimension from integer to fraction in the nature.%通过海岸线长度问题、里查逊经验法则、分数维数和统计自相似性等线索,对《大不列颠的海岸线有多长》的内容及思想进行深入探析,指出它的发表标志着分形理论的萌芽,阐述了它对分形几何诞生的贡献.论文还揭示出芒德勃罗早期的分形思想,论述他在大自然中实现了维数由整数到分数的飞跃.【期刊名称】《西北大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(048)003【总页数】5页(P466-470)【关键词】海岸线;统计自相似性;分数维数;分形几何【作者】江南;曲安京【作者单位】西北大学科学史高等研究院,陕西西安710127;西安石油大学理学院,陕西西安710065;西北大学科学史高等研究院,陕西西安710127【正文语种】中文【中图分类】N091967年,一篇题为《大不列颠的海岸线有多长》[1]的划时代论文在权威期刊《Science》上发表,引起了数学家们极大的兴趣,它是20世纪几何学史上的又一次革命。