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高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 非线性控制系统的分析方法)

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高国燊《自动控制原理》(第4版)章节题库(第1~4章)【圣才出品】

高国燊《自动控制原理》(第4版)章节题库(第1~4章)【圣才出品】

时间常数
，重量为 热容器的热阻为 热容为 时间常数
重量为 假设热电偶与热容器比热 相同，且热电偶—热容器组合系统的热阻为 R，热
容为 C，重量为 M，时间常数为 T。试证明
地跟随输入量而变化．
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系统框图如图 1-2 所示．
图 1-2 导弹发射架方位控制系统框图 系统中，导弹发射架是被控对象，发射架方位角 是被控量，通过手轮输入的角度 是给定量。
2．图 1-3 为数字计算机控制的机床刀具进给系统．要求将工件的加工编制成程序预先 存人数字计算机，加工时，步进电机按照计算机给出的信息工作，完成加工任务。试说明该 系统的工作原理。
4．图 1-4 为水温控制系统示意图。冷水在热交换器中由通入的蒸汽加热，从而得到一 定温度的热水。冷水流量变化用流量计测量。试绘制系统框图，并说明为了保持热水温度为 期望值，系统是如何工作的？系统的被控对象和控制装置各是什么？
图 1-4 水温控制系统原理图 解：工作原理：温度传感器不断测量交换器出口处的实际水温，并在温度控制器中与给 定温度相比较，若低于给定温度，其偏差值使蒸汽阀门开大，进入热交换器的蒸汽量加大， 热水温度升高，直至偏差为零。如果由于某种原因，冷水流量加大，则流量值由流量计测得，
的输出位移。试求以 F（t）为输入量，
分别为输出量的微分方程
表达式。
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解：质量
图 2-3 机械系统示意图及受力分析 的受力分析如图 2-3（b）所示，根据牛顿定律可写出
整理得
5．设有一用热电偶测量热容器温度的温度测量装置，热电偶的热阻为 ，热容为 ，
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高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 线性离散(时间)控制系统分析)

高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 线性离散(时间)控制系统分析)

第8章　线性离散（时间）控制系统分析
1．试根据定义
确定下列函数的
和闭合形式的E （
z ）：解：（1
）由欧拉公式
可得（2）将
E
（s ）展成部分分式，有
式中
于是
经采样拉普拉斯变换，得
故有
2．求下列各函数的z反变换：
解：（1）采用幂级数法。

则采样函数为
（2）采用反演积分法。

有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证：
故有
（3）因为
所以
查z变换表，可知
则有
用反演积分法验证
有两个根，而
则有
（4）采用反演积分法
有三个极点，则有
相应的采样函数为
用幂级数法验证
故有
（5）因为
所以
查z变换表，可知则有
3．试根据定义
确定下列函数的E*（s）的闭合形式和E（z）：（1）e（t）＝sinωt；
（2）
解：（1）
（2）
4．试求的z变换。

解：求z变换的另一种方法是直接利用z变换表。

先将E（s）展为部分分式，然后由表求每一部分分式项的z变换，并将它们组合在一起便可得E（z）。

（1）将E（s）展成部分分式，则有
（2）求每一个部分分式项的z变换：与相应的z变换为
与
相应的z变换为所以
令T＝1，有
5．求解下列差分方程，结果以c（nT）表示：
解：（1）因为。

高国燊《自动控制原理》(第4版)名校考研真题(第1~4章)【圣才出品】

高国燊《自动控制原理》(第4版)名校考研真题(第1~4章)【圣才出品】

高国燊《自动控制原理》（第4版）名校考研真题第1章绪论一、选择题1．线性系统的主要特点有（）。

[华中科技大学2009年研]A．稳定性B．振荡性C．收敛性D．齐次性【答案】D2．对控制作用进行适当的补偿（复合控制），可使系统（）。

[湖南大学2006年研] A．由不稳定变成稳定B．减小非线性的影响；C．提高无差度D．同时改善快速性和抗干扰能力【答案】D3．在通常的闭环控制系统结构中，系统的控制器和控制对象共同构成了（）。

[杭州电子科技大学2008年研]A．开环传递函数B．反馈通道C．前向通道D．闭环传递函数【答案】C二、填空题1．自动控制系统按给定信号的类型可分为______系统和______系统。

[燕山大学研]【答案】连续系统；离散系统2．自动控制系统性能好坏的三个方面为：______。

[燕山大学研]【答案】稳定性，快速性，准确性。

3．自动控制系统对输入信号的响应，一般都包含两个分量，即一个是______，另一个是______分量。

[华南理工大学2006年研]【答案】稳态；瞬态4．最常用的补偿方法是______和______。

[湖南大学2006年研]【答案】按扰动补偿；按输入补偿三、问答题1．何谓自动控制？开环控制和闭环控制各具有什么样的特点？[华南理工大学研]答：（1）自动控制：在无人直接参与下，利用控制装置操纵被控对象，使被控量等于给定量。

（2）开环控制特点：开环控制是按给定值控制，控制方式比较简单，但控制精度受到原理上的限制。

（3）闭环控制特点：闭环控制为偏差控制，可以使反馈回路中的干扰信号得到抑制，因而控制精度较高，但闭环控制有可能使系统不稳定。

2．在经典控制理论中，负反馈控制是一种最基本的控制方式，也是一种常用的校正方式，试举例论述采用负反馈控制的优点。

[南开大学研]答：负反馈的特点可以从“负”字上得到很好的理解，它主要是通过输入、输出之间的差值作用于控制系统的其他部分。

这个差值就反映了我们要求的输出和实际的输出之间的差别。

高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 线性离散(时间)控制系统分析)

高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 线性离散(时间)控制系统分析)

一、填空题1．离散系统输出响应的Z 变换为：()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-则系统输出在前两个采样时刻的值为______，______。

[重庆大学()C nT ()0C =()C T =2006年研]【答案】0；0.3682．零阶保持器的传递函数是______，加入零阶保持器______会影响采样系统的稳定性。

[北京交通大学2009年研]【答案】；不1e Ts s--二、问答题1．如何判断离散系统的稳定性。

并图示说明之。

[东北大学研]答：由于Z 变换与拉普拉斯变换之间的映射关系为，其中T 为采样周期，在s平面内当系统稳定时所有特征根位于左半平面，映射到Z 平面中则是单位圆内，对应的映射关系如图8-1所示。

图8-1于是判断离散系统的稳定性时，只需判断其特征方程的根的模是否大于1，当其模大于1时，系统不稳定；模等于1时，系统临界稳定；当其模小于1时，系统稳定，为了能位于右半平面；位于左半平面；对应的映射关系如图8-2所示。

所示得到关于ω的特征方程，使用劳斯判据进行判断。

图8-22．线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与哪些因素有关？[南京航空航天大学2008年研]答：线性定常离散系统的稳定性除了与系统结构参数有关之外，还与采样周期T有关，当系统开环增益一定时，T越小，稳定性越好。

三、计算题1．先用Z变换法求解下面的微分方程，再求其终值e（∞）。

e（k＋2）＋3e（k＋1）＋2e（k）＝0，已知e（0）＝0，e（1）＝1。

[浙江大学研]解：将善分方程两沩讲行Z变换可以得到：将e（0）＝0，e（1）＝1代入整理可以得到：2．已知z变换求离散时间函数z（k）和采样函数[清华大学研]解：由对照典型函数的z 变换表可以得到即其中T为采样周期，为单位脉冲。

3．某离散系统如图8-3所示，试求其闭环脉冲传递函数[四川大学研]图8-3解：由题意，可以得到如下方程整理得到对式（3）两边进行z变换得到：（4）由两边进行Z 变换得到：（5）联立式（4），式（5），消去中间变量可以得到4．线性定常离散系统如图8-4所示，写出闭环系统的脉冲传递函数。

高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 自动控制系统的数学模型)

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台
第 2 章 自动控制系统的数学模型
1．设函数 f（t）如图 2-1 所示，试求其拉普拉斯变换式 F（s）。
解：
图 2-1 波形图
2．求下列函数的拉普拉斯反变换 f（t）。
解：（1）
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图 2-14 各方程式的框图
图 2-15 系统的结构图 根据系统的结构图可绘制系统的信号流图，如图 2-16 所示。
图 2-16 系统的信号流图 ①求 C（s）/R（s）。由图可知，此时系统有两条前向通道，一个单独回路，即
并说明该网络是否等效于两个 RC 网络串联？
图 2-4 无源网络 解：对于图 2-4，利用复数阻抗的方法可得网络的传递函数为
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由于两个 RC 网络串联网络的传递函数为 故该网络与两个 RC 网络串联形成的网络不等效。
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图 2-2 质量-弹簧-摩擦系统
解：根据题意，系统的摩擦力为 有
，弹簧力为 kx（t），根据牛顿第二运动定律
移项整理，得系统的微分方程为
4．一机械系统如图 2-3（a）所示．F（t）为外作用力，
分别为质量
的输出位移。试求以 F（t）为输入量，
分别为输出量的微分方
解：依题意在 y＝0.25 附近将 F 展开为泰勒级数并取一次项近似，则有 即
10．系统微分方程为
其中，r、n 为输入，c 为输出。
均为常数。试求系统的传递函数 及 。
解：（1）对微分方程组进行零初始条件下的拉氏变换，并加以整理得。

自动控制原理高国燊ch

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主要教学环节
1.课堂教学
认真听课，积极思考，主动学习，理解基本概念、 基本理论，掌握分析、设计简单自动控制系统的方法、 技巧。 2.课后自学、独立完成作业
培养自学能力和分析与处理问题的能力。
考试方式及成绩评定
考试方式：闭卷 总成绩=平时成绩×30％+ 期末成绩×70%
第一章 绪论
1.1 引言
1.2 自动控制的基本概念 1.3 自动控制系统的组成 1.4 自动控制系统的分类 1.6 对自动控制系统的基本要求及本课程的研究内容
(频率法)；
1948年伊文思(W.R.Evans)提出了直观而又形象的根轨
迹法；
20世纪50年代
非线性系统理论和离散控制理论。
研究对象：单输入单输出(SISO)、线性定常系统 核心概念：输出反馈 数学基础：微积分、积分变换 系统描述方法：传递函数 研究方法：时域法、根轨迹法、频率特性法
2.现代控制理论 由于经典控制理论只适用于单输入、单输出的线性定 常系统，只注重系统的外部描述而忽视系统的内部状态。
1.1 引言
一、自动控制的定义及应用
自动控制技术在化工、造 纸、电力、汽车和钢铁等领域 起着越来越重要的作用。近几 十年来，计算机技术的发展与
应用，自动控制技术在许多高 科技领域(航空航天、导弹制导、 核动力)作用更大，且扩展到生 物、医学、环境、经济管理和 其他许多社会领域。
自动控制： 在没有人直接参与的情况下，利用控制装置使被控 对象自动地按照预定的规律运行。 锅炉设备的压力和温度自动保持恒定；
ua
直流 电动机 输出量
(对象)
n
2.闭环控制系统 输入量 + 偏差量
反馈量
输出量 控制器 测量元件 被控对象

高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 自动控制系统的校正)

第6章　自动控制系统的校正1．在根轨迹校正法中，当系统的动态性能不足时，通常选择什么形式的串联校正网络？网络参数取值与校正效果之间有什么关系？解：（1）可以采用的校正装置的形式如下：单零点校正：，零点－z c在s平面的负实轴上；零极点校正：，零极点均在负实轴上，零点比极点靠近原点（即：超前校正）。

（2）零点越靠近原点、极点越远离原点校正作用越强。

2．试回答下列问题，着重从物理概念说明。

（1）有源校正装置与无源校正装置有何不同特点？在实现校正规律时，它们的作用是否相同？（2）如果Ⅰ系统经过校正之后希望成为Ⅱ型系统，应该采用哪种校正规律才能保证系统的稳定性？（3）串联超前校正为什么可以改善系统的动态性能？（4）从抑制噪声的角度考虑，最好采用哪种校正形式？解：（1）无源校正装置的输出信号的幅值总是小于输入信号的幅值。

即传递过程只能衰减不能放大。

而有源校正装置则可以根据用户要求放大或缩小。

在实现校正规律时，它们的作用是相同的。

（2）为保证加入积分环节后特征方程不出现漏项，一般选择校正装置的形式为（3）适当选取校正装置的参数，可以有效改变开环系统中频段的特性：提高系统的稳定裕量，以减小超调；提高穿越频率，以加快调节速度。

（4）选择滞后校正装置，可以减小系统高频段的幅值，从而削弱高频干扰信号对系统的影响。

3．单位负反馈最小相位系统开环相频特性表达式为（1）求相角裕度为30°时系统的开环传递函数；（2）在不改变截止频率的前提下，试选取参数与T，使系统在加入串联校正环节后，系统的相角裕度提高到60°。

解：（1）系统开环传递函数为整理得解得（2）加入串联校正环节后系统开环传递函数4．设有单位反馈的火炮指挥仪伺服系统，其开环传递函数为若要求系统最大输出速度为12°/s，输出位置的容许误差小于2°，试求：（1）确定满足上述指标的最小K值，计算该K值下系统的相角裕度和幅值裕度；（2）在前向通路中串接超前校正网络计算校正后系统的相角裕度和幅值裕度，说明超前校正对系统动态性能的影响。

高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 频率特性分析法)

A．系统的闭环频率特性 B．系统的闭环频率特性 C．系统的稳态输出 D．系统的稳态输出
E．系统的稳态输出 【答案】C
时，（ ）。[西安电子科技大
【解析】
，
当 ω＝1 时，代入可以得到
，由频率特性
。
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3．若系统的伯德图已知，其低频段幅频特性的渐近线是一条斜率为
3．频域分析法是根据闭环系统的频率特性研究闭环系统性能的一种图解方法（ ）。 [杭州电子科技大学 2007 年研]
【答案】× 【解析】频域分析法是根据开环系统的频率特性研究闭环系统性能的方法。
4．对于线性定常系统，若开环传递函数不包括积分和微分环节，则当 0 时，开环
幅相特性曲线（Nyquist 图）从正虚轴开始（
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图 5-3
【答案】∞；10
【解析】由图可得，开环传递函数为：
G
s
s2
K s 1 0.02s 1
1 时， L 20lg K 。
又
L1
20
，则
K
10
。因此：
G s
10s 1 s2 0.02s 1
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D．G(s)=K(T1s+1)(T2s+1)台/(Ts2+τs+1)
【答案】B
6．（多选）系统的截止频率越高（ ）。[清华大学研] A．相对稳定性越好 B．对高频噪声滤除效果越好 C．上升时间越短 D．快速性越好 E．稳态误差越小 F．相对稳定性越差 G．上升时间越长 H．对高频噪声滤除效果越差 I．快速性越差 J．稳态误差越大 【答案】CDH

高国燊《自动控制原理》(第4版)(名校考研真题 非线性控制系统的分析方法)

第7章　非线性控制系统的分析方法一、填空题1．相平面的概念：______。

[燕山大学研]【答案】设一个二阶系统可以用下面的常微分方程来描述。

其中是x 和的线性或非线性函数。

在一组非全零初始条件下，系统的运动可以用解析解x （t ）和描述。

如果取x 和构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面。

2．已知系统微分方程为，则该系统相平面图中的奇点()2320.3680.2642 1.6320.632z z C z z z z +=-+-位置为______。

奇点的性质为______。

[重庆大学2005年研]【答案】（0,0）；稳定焦点二、问答题1．根据对非线性系统的分析和处理方法，可将其分为哪两大类？ [广东工业大学研]答：本质非线性和非本质非线性。

2．何谓极限环？在单位反馈的典型非线性控制系统中，产生极限环的条件是什么？以公式表示之。

[东北大学研]答：非线性系统的相轨迹在相平面上表现为一个孤立的封闭曲线，所有附近的相轨迹都渐近地趋向或离开这个封闭曲线，则此封闭的相轨迹称为极限环。

产生的条件为有解，其中N （A ）为非线性环节的描述函数，G （jω）为线性环节的频率特性。

3．设有两个非线性系统，它们的非线性部分一样，线性部分分别如下：试问，当用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？为什么？[大连理工大学研]解：在采样描述函数法分析非线性系统时，用描述函数对非线性环节进行描述。

在描述函数的求取中，是略去了高次谐波分量而只取基波分量进行近似的，所以，线性环节的低通性越好，高频时的滤波能力强，则系统分析的准确度高，由频率特性可知，（2）对应的高频时衰减最大，滤波能力最好，故在用描述函数分析时，（2）系统的分析精确度高。

4．试用相平面法分析如下系统的稳定性[大连理工大学研]答：由可以得到不妨设，则可以得到，由于其对应的奇点为（0，0），故原系统的奇点为（1，0）；对应的特征方程为易判断此方程具有两个位于左半平面的共轭复根，于是奇点为稳定焦点，原系统只是相当于新系统进行了坐标变换，故原系统稳定．5．设非线性控制系统的微分方程为若选取为相坐标，试问相平面的坐标原点是否为系统的奇点？若是，则画出原点附近小范围内相轨迹的大致图形；若不是，则求出系统的奇点，并确定其类型。

自动控制原理-高国燊ch4

例:如图所示二阶系统，试 绘制其根根轨迹。 解： 系统开环传递函数为：
R(s)
-
K s (0.5s 1)
C (s )
Kg K 2K G( s) s (0.5s 1) s ( s 2) s( s 2)
闭环传递函数： (s)
Kg s 2s K g
2
闭环特征方程为： s 2 2s K g 0 特征根为： s1 1 1 K g [讨论]：当Kg=0时，s1=0,s2=-2 当Kg =0.25时，s1=-0.13,s2=-1.866 当Kg =0.5时，s1=-0.29,s2=-1.707
0
Kg s(s 1)(s 5) (s3 6s2 5s)
dKg ds
(3s 12s 5) 0
s1 0.4725 s2 3.5275 (舍去)
显然，分离点为-0.4725，而-3.5275不是分离点。
3.牛顿余数定理法 --当系统阶数比较高时 步骤： (1)求出
| 0.5 j 0| | 0.5 j 1|
1.118 1.118 1.25
绘制根轨迹方法：
1.试探法：任选s1点看是否满足相角条件； 2.按基本规则(如下节讲述)手工绘制；
3.用计算机绘制。
4.2 根轨迹绘制的基本法则
一、根轨迹的连续性
二、根轨迹的对称性
六、根轨迹的渐近线 n>m时： n-m条根轨迹沿着渐近线趋向无穷远处。
与实轴的交点： s a
p z
j 1 j i 1
n
m
i
nm
与实轴的夹角：a (2k 1)
nm
k 0,1,..., n m 1
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图 7-5
解：将系统的结构图化为典型结构，其中线性部分的传递函数为
非线性部分的描述函数为
其中 M＝4，h＝1，即
作出当 T＝0.25 时线性部分的幅相频率特性曲线 G（jω），如图 7-6 所示。非线性特 性的负倒描述函数为
图 7-1 系统相轨迹及极限环（MATLAB）
2．设非线性系统结构如图 7-2 所示，试绘制 相轨迹和 c（t）曲线。已知 c（0） ＝－2。
解：由结构图可知
图 7-2 非线性系统结构图 ，系统的非线性环节部分的输出为
在比较点处有 e＝r－c＝－c，
因此整理可得微分方程为
由于初始条件为 c（0）＝－2，从Ⅲ区（c＜－1）出发，c（t）＝t＋c（0），经 1s 后

台
当负倒描述函数沿着振幅 A 增加的方向经过 B 点时，是由不稳定区域进入稳定区域，故交
点 B 是自振点，而 C 点则不是自振点。
由
解得 A＝1.1。所以当 T＝0.25 时，B 点对应的自振振幅和频率分别为 A＝1.1，ω＝12。 由图 7-5 得
所以系统输出振荡的振幅为
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（1）在 I 区（|c|＜1）
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积分可得
为一椭圆。 （2）在Ⅱ区（c＞1）
积分可得
为中心在（－1，0）的圆。 （3）在Ⅲ区（c＜－1）
积分可得
为中心在（1，0）的圆。
利用下列 MATLAB 程序，可得该非线性系统的 相轨迹和输出曲线分别如图 7-8 和
则 可得系统的特征方程为
特征根为 可知此时由于系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，因此奇点（0，0）为不稳定焦点。
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（2）极限环讨论。令 x1＝rcosθ，x2＝rsinθ，并代入原方程后可得
经整理可知以极坐标变量 r 和 θ 所描述的运动方程为
环境下构建如图 7-3 所示的非线性系统，设定仿真时间为 14s，同时根据分段微分方程可
得相应的 相轨迹和输出曲线分别如图 7-4 所示，由图可知，输出 c（t）为三角型曲线。
图 7-3 非线性系统（Simulink）
图 7-4 系统的 相轨迹与系统的输出曲线（Simulink）） 3．非线性控制系统如图 7-5 所示，当 T＝0.25 时，系统是否存在自振荡？若存在自 振荡，则求出系统输出振荡的振幅和频率。并讨论参数 T 对系统自振荡的影响。
图 7-9 所示。
由图 7-8 可知，相轨迹从工区的 A 点（0，2）处出发，在 B 点
切换至Ⅱ区，
运动到 D 点
又切换至 I 区，运动到 F 点
处后进入Ⅲ区，然后运动到
H点
处后最终又切换回 I 区，并回到 A 点，形成一个循环。
系统输出振荡的振幅和频率分别为 Ac＝0.347，ω＝12。 为了讨论丁对自振的影响，令
由
，解得
，所以
由
，求得 T＝0.138
此时 G（jω）与
曲线相切，所以当 T＜0.138 时，G（jω）与
曲
线无交点，系统不产生自振荡。当 T＞0.1388 寸，G（jω）与
有两个交点，如
图 7-6 所示，B 点对应系统的自振点。T 越大，自振的振幅 A 越小，自振频率越高。
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进入Ⅳ区（－1＜c＜1，
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）。然后经过 3s 后 c（3）＝1，到达 I 区（c＞1），在开关线上变向跳跃至
，
又经过 2s 后进入Ⅱ区（－1＜c＜1， ），再经 2s 进入Ⅳ区，循环往复。在 Simulink
（3）MATLAB 仿真。设系统在封闭单位圆内和单位圆外的初始状态分别[0.0050]
T，[－2 1.5]T，利用下列 MATLAB 程序可绘制出系统的相轨迹图如图 7-1 所示。
MATLAB 程序：exe801.m
调用函数：sys801.m
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图 7-6 4．试绘制图 7-7 所示非线性系统 相轨迹图，并分析系统的运动特性。初始条件为
解：由系统结构图可知
图 7-7 非线性系统结构图 其中 u 为非线性环节的输出
在比较点处
综合各式并整理可得
在 I 区（|c|＜1），奇点为（0，0），其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点 （0，0）为中心点。在Ⅱ区（c＞1），奇点为（－1，0），其特征方程的特征根为两纯虚根， 因此奇点（－1，0）为中心点。在Ⅲ区（c＜－1），奇点为（1，0），其特征方程的特征根 为两纯虚根，因此奇点（1，0）为中心点。下面利用积分法来求解系统相轨迹。
作出负倒描述函数
曲线，如图 7-6 所示。
当 T＝0.25 时，
令
，即
解得 ω＝2.2 和 ω＝12。
由图 7-6 可见，G（jω）与
相交于 B 和 C 点，B，C 点对应的角频率分别为
ω＝12 和 ω＝2.2。负倒描述函数
的 BC 段处在不被 G（jω）包围的稳定区域，
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第 7 章 非线性控制系统的分析方法
1．已知非线性系统的微分方程为
试分析系统奇点的类型，判断系统是否存在极限环。 解：（1）奇点分析。首先将非线性系统的微分方程写成一般形式为
其中 P，Q 表示非线性函数。令
联立可得系统的奇点为（0，0）。 为确定奇点类型，需计算奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程，此时
因此可知，当 x12＋x22＝1 和 x12＋x22＝9 时，即 r＝1 和 r＝3 时，相轨迹为封闭圆。
①当 0＜r＜1 时， ，此时相轨迹向封闭单位圆发散逼近。
②当 1＜r＜3 时，
，此时的相轨迹向封闭单位圆收敛逼近。
③当 r＞3 时，
，此时的相轨迹发散至无穷远处。
综上所述可知，系统的封闭单位圆即为该非线性系统的稳定极限环。