1.1.1正弦定理(下)三角形的面积公式

1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.★答案★：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()cos A cos B －sin A sin B＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.★答案★：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积．解：由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________．解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.★答案★：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC， 即DC sin α＝ACsin （π－β）， 即DC sin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. ★答案★：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．★答案★：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．[解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即cb的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．解析：由正弦定理得sin A＝2 2，所以A＝45°或135°，又B＝60°，b＞a，所以B＞A，即A＜60°，故A＝45°.★答案★：45°2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：因为2R＝4sin 45°＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.★答案★：8π3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin B cos C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，sin(B－C)＝0，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．★答案★：等腰,[学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.★答案★：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B ，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B ，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ★答案★：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ，BC sin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R .★答案★：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.★答案★：⎝⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C，化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32.★答案★：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． ★答案★：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。

解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。

本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。

一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。

给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。

那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。

正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。

二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。

给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。

那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。

余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。

三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。

那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。

在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。

海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。

总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。

正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。

这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。

正弦定理及三角形面积公式三角形是我们学习数学时接触到的最基本的几何图形之一。

而在研究三角形时，我们常常会用到正弦定理和三角形面积公式。

本文将分别介绍这两个重要的定理，并解释它们的应用。

一、正弦定理正弦定理是三角学中的重要定理之一，它描述了三角形中各边与其对应角的关系。

正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别表示三角形的三边的长度，A、B、C分别表示其对应的角度。

这个定理的应用非常广泛，尤其是在解决实际问题时。

举个例子，假设我们要测量一座高山的高度，但由于山脚到山顶的距离无法直接测量。

这时，我们可以利用正弦定理来解决这个问题。

首先，我们选择一个合适的位置，测量出该位置与山脚的距离为a，然后利用仰角测量仪测量出该位置与山顶的夹角A。

接下来，我们选择另一个位置，测量出该位置与山脚的距离为b，然后利用仰角测量仪测量出该位置与山顶的夹角B。

由于a/sinA = b/sinB，我们可以通过解方程得到山脚到山顶的距离c，从而得到山的高度。

二、三角形面积公式三角形面积公式是计算三角形面积的基本公式。

在三角形ABC中，假设已知三边的长度分别为a、b、c，其对应的高分别为h1、h2、h3。

那么三角形的面积S可以通过以下公式计算得出：S = 1/2 * a * h1 = 1/2 * b * h2 = 1/2 * c * h3其中的1/2是一个常数，a、b、c是三角形的三边的长度，h1、h2、h3是三角形的三条高的长度。

三角形面积公式的应用非常广泛，无论是计算平面上的三角形还是空间中的三角形，都可以使用这个公式进行计算。

比如，我们经常在地理学中使用三角形面积公式来计算地球上的各个地区的面积。

又或者在建筑学中，我们可以利用这个公式来计算建筑物的地面面积。

正弦定理和三角形面积公式是我们在解决三角形相关问题时非常有用的工具。

正弦定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度，进而解决实际问题；而三角形面积公式则可以帮助我们计算三角形的面积，应用广泛。

三角形边与角的关系公式大全
三角形边与角的关系公式大全包括：
1、三角形内角和公式：三个内角之和等于180°，即A+B+C=180°；
2、余弦定理：在任意三角形中，每条边的平方等于其他两条边的乘积，再减去2乘以这两条边的乘积乘以余弦值，即：a²=b²＋c²－
2bc·cosA；
3、正弦定理：任意三角形中，每条边的正切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的正切，即：tanA=b/c·tanB；
4、正弦定理：任意三角形中，每条边的正切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的正切，即：sinA/a=sinB/b=sinC/c；
5、余切定理：任意三角形中，每条边的余切等于其他两条边的比例，
再乘以这两条边的余切，即：cotA=b/c·cotB；
6、面积公式：在任意三角形中，其面积S等于这三条边的一半乘以它
们的乘积的根号，即：S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))；其中p为边a、b、c
的半周长，即p=(a+b+c)/2。

数学总结—公式大全1.代数方面的公式1.1 一次方程：ax + b = 0，其中a≠0。

1.2 二次方程：ax² + bx + c = 0，其中a≠0。

1.3 一元二次不等式：ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

1.4勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。

1.5 二项式定理：(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + ... +C(n,n-1)abⁿ⁻¹ + C(n,n)bⁿ，其中C(n,k)表示组合数。

1.6四则运算规则：加法：a+b=b+a，乘法：a×b=b×a。

2.几何方面的公式2.1 三角形面积公式：S = 1/2bh，其中S表示三角形的面积，b表示底边的长度，h表示高。

2.2直角三角形三边关系：a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

2.3 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的内角，R为三角形外接圆的半径。

2.4 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的内角。

2.5 面积公式：三角形面积S = 1/2absinC，其中a、b为三角形的两条边，C为对应的夹角。

2.6弧长公式：L=rθ，其中L表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角的度数。

3.微积分方面的公式3.1 导数定义：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h，其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数。

3.2导数的基本运算法则：常数法则、乘法法则、除法法则、链式法则等。

3.3反函数导数：(f⁻¹)'(y)=1/f'(x)，其中f⁻¹表示f的反函数。

1.1.1正弦定理(二)学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点).知识点1对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：(1)代数角度由正弦定理得sin B ＝b sin A a，①若b sin Aa＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.②若b sin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.③若b sin Aa＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度图形关系式解的个数A为锐角①a＝b sin A；②a≥b一解b sin A＜a＜b 两解a＜b sin A 无解A 为 钝角 或直 角a ＞b 一解a ≤b 无解【预习评价】1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？提示 例如在△ABC 中，已知a ，b 及A 的值.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可求得sin B ＝b sin Aa .在由sin B 求B 时，如果a ＞b ，则有A ＞B ，所以B 为锐角，此时B的值唯一；如果a ＜b ，则有A ＜B ，所以B 为锐角或钝角，此时B 的值有两个. 2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.知识点2 三角形面积公式 任意三角形的面积公式为：(1)S △ABC ＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ＝12ab sin__C ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S △ABC ＝12ah ，其中a 为△ABC 的一边长，而h 为该边上的高的长.(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )＝12rl ，其中r ，l 分别为△ABC 的内切圆半径及△ABC 的周长.(4)S △ABC ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2. 【预习评价】1.在△ABC 中，若B ＝30°，a ＝2，c ＝4，则△ABC 的面积为________.2.在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.题型一 三角形解的个数的判断【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°； (2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.规律方法 判断三角形解的情况：先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况.【训练1】 根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解： (1)a ＝3，b ＝2，A ＝120°； (2)a ＝60，b ＝48，B ＝60°； (3)a ＝7，b ＝5，A ＝80°； (4)a ＝14，b ＝16，A ＝45°.题型二 判断三角形形状问题【例2】 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.规律方法 判断三角形形状的常用方法有：(1)化边为角.将题目中的条件，利用正弦定理化边为角⎝ ⎛⎭⎪⎫若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；(2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2)，进而确定三角形的形状.【训练2】在△ABC中，已知3b＝23a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形方向1 三角函数式的化简、证明及求值【例3－1】如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值.规律方法在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧.方向2 与三角形面积有关的问题【例3－2】在△ABC中，∠A＝60°，c＝3 7a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．方向3 求范围或最值【例3－3】在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围.规律方法 三角函数、三角恒等变换与解三角形的综合问题是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理，能够对边角关系进行互相转化.课堂达标1.△ABC 满足下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°.其中有两个解的是( ) A.①② B.①④ C.①②③ D.③④2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝1，b ＝3，B ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.12 B.32 C.1 D. 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2BD ．B ＝2A4.在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lg sin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是________.5.在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.课堂小结1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.3.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.基础过关1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π32.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝6，b ＝4，则满足条件的△ABC ( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定3.在△ABC 中，a cos B ＝bcos A，则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4.已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝________.6.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若tan A＝3，cos C＝5 5，(1)求角B的大小；(2)若c＝4，求△ABC的面积.7.在△ABC中，求证：a2－b2c2＝sin（A－B）sin C.能力提升8.已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且A，B为△ABC 的两内角，a，b为角A，B的对边，则此三角形为()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AD为角A的平分线，AC＝3，AB＝6，则AD等于()A.2B.2或4C.1或2D.510.在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为________(用B表示).11.在△ABC中，C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝13，则sin∠BAC＝________.12.在△ABC中，已知c＝10，cos Acos B＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径.创新突破13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(2b－3c，cosC)，n＝(3a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求2cos2B＋sin(A－2B)的最小值.。

1.1正弦定理（2）（时间： ）1.正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算准确”这两个目标；正弦定理的应用.正弦定理与三角形问题的结合.1.正弦定理：在△ABC 中，===CcB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）RaA 2sin =，______________，________________.2.三角形的面积公式：C ab s sin 21==_______ __=_____ ____【例1】如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30︒的斜坡前进1000m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60︒，求山的高度BC ．【例2】在ABC ∆中，已知CcB b A a cos cos cos ==，试判断ABC ∆的形状．ABCD E 603045【例3】在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=．【例4】（1）在ABC ∆中，已知150,3,2===C b a ，求ABC S ∆（2）在ABC ∆中，已知30,45,10===C A c ，求,b ABC S ∆。

变式训练：在ABC ∆中，已知135,5,4===A c b ，则ABC ∆的面积？： 本节课主要思想方法：1．根据以下条件，判断ABC ∆的形状： （1）C B A 222sin sin sin =+；（2）B b A a cos cos =．2．在ABC ∆中，若︒=60A ，3=a ，则=++++CB A cb a sin sin sin ________________．3．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B ，要测算出A ，B 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得m BC 78=，︒=∠60B ，︒=∠45C ，试计算AB 的长．一、填空题 1．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于________．2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 的形状是________．3．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．5．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积等于________．6．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为________．7．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c =___.9．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C = _.10．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．水平提升13．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .1.1 正弦定理(二)答案作业设计 1. 7∶5∶3解析 ∵(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6.令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52kc ＝32k.∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3. 2．等边三角形解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C.3.⎝⎛⎦⎤0，403 解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.4．等腰解析 由a ＝2b cos C 得，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin (B ＋C)＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin (B －C)＝0，∴B ＝C. 5．8π解析 ∵2R ＝4sin 45°＝42，∴R ＝2 2.∴S ＝πR 2＝8π.6．1解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1，由S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc4＝14，∴abc ＝1. 7．2 3解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴12ab sin C ＝43，∴b ＝2 3.8．2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得3sin 60°＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°，故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2. 9．7解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝2， ∴a sin A ＋b 2sin B ＋2c sin C ＝2＋1＋4＝7. 10．12 6解析 a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝6332＝12.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12×63×12sin C ＝183，∴sin C ＝12，∴c sin C ＝asin A＝12，∴c ＝6.11．证明 因为在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，所以左边＝2R sin A －2R sin C cos B 2R sin B －2R sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A ＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边．所以等式成立，即a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A.12．解 设三角形外接圆半径为R ，则a 2tan B ＝b 2tan A ⇔a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A ⇔4R 2sin 2 A sin B cos B ＝4R 2sin 2 B sin A cos A⇔sin A cos A ＝sin B cos B ⇔sin 2A ＝sin 2B ⇔2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 13．75°解析 设C 为最大角，则A 为最小角，则A ＋C ＝120°，∴sin C sin A ＝sin ()120°－A sin A ＝sin 120° cos A －cos 120°sin A sin A＝32tan A ＋12＝3＋12＝32＋12， ∴tan A ＝1，A ＝45°，C ＝75°.14．解 cos B ＝2cos 2 B 2－1＝35，故B 为锐角，sin B ＝45.所以sin A ＝sin (π－B －C)＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.。