正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的妙用

用“正弦、余弦定理”巧解难题正弦、余弦定理是高中数学中一个非常重要的知识点，它沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边角互化，从而明确解题方向。

怎样才能做到灵活运用“正弦、余弦定理”解题呢？下面举例说明：一、将三角形面积公式与正弦、余弦定理联合运用例1 0,60,2,ABC A B C a b c A a ABC ∆∠==∆中、、的对边分别为、、，且求面积的最大值.分析：我们要充分利用三角形面积公式与正弦、余弦定理这几个公式之间的内在联系，才能真正达到解决问题的目的．解 02,60a A ==Q222222cos 4a b c bc A b c bc =+-=+-=由余弦定理得 （1）222b c bc +≥Q （2）由（1）、（2）知4bc ≤∴13sin 424ABC S bc A ∆==≤⨯= ∴ABC ∆例2 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，S 为ABC ∆的面积，且06012A b S ===，，则=++++CB A cb a sin sin sin ．解160,12,s i n 1832A b S b c A ====Q ∴6=c又2222cos a b c bc A =+-Q ∴36=a 根据正弦定理，得122336sin sin sin sin ===++++A a C B A c b a二、边角互化时，宜统一化为一种元素（边或角）例3 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，证明：C B A cb a sin )sin(222-=-． 证明：要证C B A c b a sin )sin(222-=-，由正弦定理，得只需证 ,s i n )s i n (s i n s i n s i n 222C B A CB A -=- 只需证),sin(sin sin sin 22B A CBA -=- 只需证 ,s i n s i n)s i n ()s i n (22B A B A B A -=-+ 而222222sin()sin()sin cos cos sin sin sin .A B A B A B A B A B +-=-=-成立222sin().sin a b A B c C--=所以三、灵活运用正弦、余弦定理的变形形式例4 已知ABC ∆中，2:3:4sin :sin :sin =C B A ，求B cos 的值． 分析：由Cc B b A a sin sin sin ==得C B A c b a sin sin sin ：：：：=，再利用余弦定理很快解决问题．解 令角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，sin :sin :sin 4:3:2,A B C =Q根据正弦定理，得2:3:4::=c b a ．不妨令),0(,2,3,4>===t t c t b t a∴16111694162cos 2222222=-+=-+=t t t t ac b c a B四、应用正弦定理求角时应注意检验例5 ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，,60,35,50===C c b 则B = ．解 ,b c <Q∴C B <又05,60,b c C ===Q∴由正弦定理，得==c C b B sin sin 213560sin 50= 即)150(3000舍去==B B例6 在ABC ∆中，已知,45,2,30===B b a ，求边c ． 解法一：sin sin a bA B=Q∴23sin sin ==b B a A 又,b a <Q ∴A B <∴0012060或=A ．当，时，07560==C A 22645sin 75sin 2sin sin 0+===BC b c 当，时，015120==C A 22645sin 15sin 2sin sin 00-===B C b c 解法二：2222cos ,b a c ac B =+-Q∴223cos ,c B =+-即0162=+-c c ，解得226±=c 说明：在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别是c b a 、、，若有b a >，则有B A B A b a sin sin >⇔>⇔>．。

解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。

本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。

一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。

给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。

那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。

正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。

二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。

给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。

那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。

余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。

三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。

那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。

在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。

海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。

总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。

正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。

这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。

它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。

本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。

一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。

在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。

我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。

例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。

按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。

2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。

余弦定理同样可以解决这个问题。

例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。

我们想要求解夹角C的大小。

根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。

余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。

下面将分别介绍余弦定理和正弦定理，并说明它们在实际应用中的具体运用。

一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据余弦定理，可以得到以下等式：a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题：1. 测量三角形边长：如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角，可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。

2. 计算三角形的夹角：如果已知三角形的三条边长，可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。

3. 解决航海导航问题：根据已知的方位角和航程，可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。

二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC，其边长分别为 a、b、c，对应的夹角分别为 A、B、C。

根据正弦定理，可以得到以下等式：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题：1. 求解三角形的面积：如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解三角形的面积。

2. 判定三角形类型：根据三边的长度和正弦定理，可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3. 解决建筑工程问题：在建筑测量中，需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。

综上所述，余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理，我们可以计算三角形的边长、夹角，求解三角形的面积，判断三角形的类型等。

在测量、导航、工程等领域，都离不开这两个定理的应用。

正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用正弦定理和余弦定理是解三角形中非常常用的定理。

它们可以帮助我们在已知一些边长或角度的情况下，求解出其他未知边长或角度。

在本文中，我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的概念，并阐述它们在解三角形中的运用。

一、正弦定理正弦定理是解三角形中最为基础和常用的定理之一、它可以用来求解三角形的任意一个角度或边长。

正弦定理的表达形式如下：a / sinA =b / sinB =c / sinC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

在应用正弦定理求解问题时，需要注意以下几个方面：1.已知两边和它们对应的夹角，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 a = b * sinA / sinB 或 a = c * sinA / sinC。

2.已知两边和它们对应的夹角，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinA = a * sinC / c 或 sinA = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 A 的值。

3.已知两个角度和一个对边，求第三边：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 b = a * sinB / sinA 或 b = c * sinB / sinC。

4.已知两个角度和一个对边，求第三个角度：根据正弦定理，我们可以将等式重写为 sinB = b * sinA / a 或 sinB = b * sinC / c，然后通过求反函数 sin^-1 求解出 B 的值。

由于正弦定理可以用来求解任意一个角度或边长，因此它非常灵活和实用。

二、余弦定理余弦定理是解三角形中另一个重要的定理。

它可以用来求解三角形的边长或角度。

余弦定理的表达形式如下：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cosAb^2 = c^2 + a^2 - 2ac * cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，a，b，c表示三角形的三条边，A，B，C表示三个对应的角度。

正弦定理和余弦定理三角形面积公式好的，以下是为您生成的文章：在我们学习数学的漫漫长路中，有两个家伙就像数学王国里的“哼哈二将”，那就是正弦定理和余弦定理。

这俩定理不仅是解决三角形问题的神器，还和三角形面积公式有着千丝万缕的联系。

先来说说正弦定理。

它就像是一个神奇的魔法咒语，“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”。

这听起来是不是有点绕？其实说白了，就是如果一个三角形的三条边分别是 a、b、c，它们所对应的角分别是 A、B、C，那么就有a/sinA = b/sinB = c/sinC。

我记得有一次，我在课堂上讲正弦定理的时候，有个调皮的学生突然举手说：“老师，这定理有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，给他出了一道题：“一个三角形，其中两条边分别是 3 和 4，它们夹角是 60 度，能算出第三条边吗？”这学生一下子懵了，然后我就引导他用正弦定理来思考。

先通过正弦定理求出角 A 和角 B 的正弦值，再根据三角形内角和 180 度求出角 C 的大小，最后就能轻松算出第三条边的长度啦。

那孩子眼睛一下子亮了，直说：“原来这么神奇！”接下来再聊聊余弦定理。

它就像是一个侦探，能通过已知的边和角的信息，把未知的边或者角给揪出来。

余弦定理说的是“对于任意三角形，任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”。

用公式表示就是 a² = b² + c² - 2bc·cosA ，b² = a² +c² - 2ac·cosB ，c² = a² + b² - 2ab·cosC 。

有一次我带学生们去操场上做实地测量。

我们想知道操场边上那个三角形花坛的面积。

同学们有的拿尺子量边，有的测角度。

然后我就引导他们用刚学的余弦定理先求出未知的边，再用正弦定理求出某个角的正弦值，最后算出面积。

余弦定理正弦定理三角形面积公式在咱们学习数学的旅程中，三角形可是个超级重要的“小伙伴”。

今天咱们就来好好聊聊和三角形有关的几个重要知识：余弦定理、正弦定理还有三角形面积公式。

先来说说余弦定理。

这余弦定理啊，就像是三角形的“密码解码器”。

它能帮助咱们通过三角形的边和角的关系，算出那些隐藏的信息。

比如说，在一个三角形 ABC 中，如果咱们知道了三条边 a、b、c 的长度，那就能通过余弦定理算出角 A、B、C 的大小。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸懵地问我：“老师，这余弦定理到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如你是个建筑师，要设计一个三角形的屋顶，你得知道每个角的大小和每条边的长度，才能保证这个屋顶既稳固又美观，这时候余弦定理不就派上用场了嘛！”再讲讲正弦定理。

正弦定理就像是三角形中的“公平秤”，不管三角形的形状怎么变，它都能保持平衡。

它说的是三角形的三条边和它们所对应的角的正弦值之间存在着固定的比例关系。

有一回在课堂上做练习题，有一道题是这样的：在三角形ABC 中，角 A 是 30 度，角 B 是 60 度，边 a 的长度是 2，让求边 b 的长度。

很多同学一开始有点不知所措，但当我引导他们运用正弦定理的时候，大家很快就找到了解题的思路。

最后咱们聊聊三角形面积公式。

这可是解决三角形面积问题的“神器”。

最常见的就是底乘以高除以 2 这个公式。

但还有一个用两边及其夹角来计算面积的公式，就是 S = 1/2 * ab * sinC。

我曾经带着学生们到操场上，让他们自己动手画出各种形状的三角形，然后测量边和角，用不同的面积公式去计算，看看结果是不是一样。

大家兴致勃勃，通过这样的实践，对三角形面积公式的理解也更加深刻了。

总之，余弦定理、正弦定理和三角形面积公式就像是三角形世界里的三把“金钥匙”，能帮助咱们打开三角形的各种秘密之门。

只要咱们熟练掌握并灵活运用，不管遇到什么样的三角形问题，都能迎刃而解。

正、余弦定理、面积公式及其应用（解三角形）一、正弦定理1、2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为外接圆半径）2、正弦定理公式变形①2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===；②sin sin a b A B =；sin sin b c B C =；sin sin a c A C =； ③sin sin a A b B=；sin sin b B c C =；sin sin a A c C =④::sin :sin :sin a b c A B C = 二、余弦定理1、2222cos a b c ab A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a c ab C =+-2、余弦定理变形222cos 2b c a A bc +-=222cos 2b a c C ab+-=三、面积公式111sin sin sin 222s ab C ac B bc A ===四、常见结论1、A B C π++=2、sin()sin A B C +=★3、sin sin A B A B a b >⇔>⇔> 五、在ABC ∆中已知,a b 和A 时解的情况 原理：1、大边对大角 2、sin sin b AB a= 当A 为锐角时①if sin sin 1b A a b =⇒=⇒三角形有一解 ②if sin sin 1b A a b b <<⇒<⇒三角形有两解 ③if a b ≥⇒三角形有一解 （大边对大角） 当A 为钝角时① if a b >⇒三角形有一解 ②if a b <⇒无解题型一：正弦定理1、在△ABC 中，已知a=3，c=3 3 ，∠A=30°，求∠C 及b解 ∵∠A=30°，a ＜c ， c ·sinA=3 32＜a ，∴此题有两解．sinC=csinA a = 33×123 = 32 ，∴∠C=60°，或∠C=120°．∴当∠C=60°时，∠B=90°，b=a 2+b 2 =6．当∠C=120°时，∠B=30°，b=a=3．2、在△ABC 中，已知c=6，b=6 3 ,∠C=30°，求a3、在△ABC 中，已知a=6，b=2 3 ,∠C=60°，求c4、在△ABC 中，c ＝32，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 等于（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ．30°或150°5、在△ABC 中，已知a= 2 ， b=2， ∠B=45°， 则∠A 等于 （ ） A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°6、△ABC 中，已知===B b x a ,2,60°，如果△ABC 有两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2<x C ．3342<<x D ． 3342≤<x 222cos 2a c b B ac+-=7、在△ABC 中，2sin sin cos a A B b A +=，求ba的值题型二：余弦定理1、 在△ABC 中，16,4,cos 3BC AB B ===，求AC2、 在△ABC中，2,43B b a c π==+=，求a 值★3、在△ABC中，如果0120,C c ==，则（ ）A 、a b >B 、a b <C 、a b =D 、,a b 大小不确定题型三：三角形形状的判断 （边⇔角） 1、 在△ABC 中，7,3,5a b c ===，判断三角形形状2、 在△ABC中::2:1)a b c =，判断形状3、 在△ABC 中，5,7,8a b c ===，求最大角与最小角的和。

正弦定理和余弦定理所有公式在三角形学中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们分别描述了三角形中角和边之间的关系。

这篇文章将介绍正弦定理和余弦定理的所有公式及其应用。

正弦定理正弦定理描述三角形中任意一角的正弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：sinA/a = sinB/b = sinC/c其中A、B、C分别为三角形的三个角度，a、b、c分别为相应的边长。

应用：1. 计算三角形的边长：已知一角及其对边，以及另外两边，可以通过正弦定理求解第三边。

2. 判断三角形的形态：如果正弦定理中最大的sin对应最长的边，则三角形为锐角三角形；如果最大的sin对应最短边，则三角形为钝角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过正弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

余弦定理余弦定理描述三角形中任意一角的余弦值与相对边长之间的关系。

具体公式如下：a² = b² + c² - 2bcCosA b² = a² + c² - 2acCosB c² = a² + b² - 2abCosC应用：1. 计算三角形的边长：已知三角形中一个角度和另外两边的长度，可以通过余弦定理求解剩余一边的长度。

2. 判断三角形的形态：如果余弦定理中最大的Cos对应最大的边，则三角形为钝角三角形；如果最大的Cos对应最短的边，则三角形为锐角三角形；如果三边长度关系为c2=a2+b2，则三角形为直角三角形。

3. 计算三角形的面积：三角形的面积可以通过余弦定理和海龙公式求解，其中海龙公式为s=(a+b+c)/2，S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。

练习题：1. 已知三角形ABC的边长分别为a=8, b=10, c=12，求角A的正弦值和余弦值。

正弦定理与余弦定理的应用三角学是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，尤其是测量学中。

而正弦定理和余弦定理作为三角学中的基本定理，具有重要的实际应用价值。

本文将探讨正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。

1. 正弦定理的应用正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

根据这个定理，我们可以得到以下几个实际问题中的应用。

1.1 测量高度正弦定理常用于测量无法直接得到的高度。

例如，在测量一棵树的高度时，我们可以站在树的底部和树的顶部，分别测量出与水平线的夹角，然后利用正弦定理可以求得树的高度。

这种方法在工程测量、地理测量等领域也得到广泛应用。

1.2 三角形的边长比较正弦定理可以用于比较三角形的边长。

例如，在一个三角形中，已知两个角的大小和一个边的长度，我们可以利用正弦定理求得另外两个边的长度。

这对于解决实际问题中的边长比较非常有帮助。

1.3 解决航空、航海等问题正弦定理在航空、航海、导弹制导等领域也有着广泛的应用。

通过测量角度、距离等信息，可以利用正弦定理计算出目标的位置、飞行轨迹等重要参数，从而更好地实现对目标的监控和控制。

2. 余弦定理的应用余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边长度a、b、c与其对应的角度A、B、C之间的关系：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC。

以下是余弦定理的一些实际应用。

2.1 测量距离余弦定理可以用于测量两点之间的距离。

例如，在航海中，通过测量其中一个角度、两点间的距离和另一个角度，可以利用余弦定理求得两个点之间的距离。

这对于制定航线、航行安全等都起着重要的作用。

2.2 三角形的面积计算余弦定理可以用于计算三角形的面积。

已知三角形的三边长度a、b、c，以及两个角的大小A、C，可以利用余弦定理计算出三角形的面积。

这在建筑、地理等领域中都有重要的应用。

2.3 解决物理问题余弦定理在物理学中也有广泛的应用。

三角形的面积与三角函数关系三角形是几何学中的一种基本形状，它的三条边和三个内角决定了其形状和大小。

三角形的面积是研究三角形性质时的重要参数之一，而三角函数则是描述三角形内角与边长之间的关系的数学函数。

本文将探讨三角形的面积与三角函数之间的关系。

1. 三角形的面积公式三角形的面积公式是研究三角形面积的基础。

对于任意三角形，其面积可以通过以下公式来计算：面积 = 底边长度 ×高的长度 / 22. 正弦定理与余弦定理在研究三角形的面积与三角函数之间的关系时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。

正弦定理可以描述三角形的边与其对角的关系，而余弦定理则可以描述三角形的边与其夹角的关系。

它们的数学表达式分别为：正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC这两个定理为我们研究三角形面积与三角函数之间的关系提供了基础。

3. 三角形面积的三角函数表示根据三角函数的定义，我们可以将三角形的面积表示为三个内角的三角函数之间的关系。

以一个一般的三角形为例，设其三个内角分别为A、B、C，边长分别为a、b、c，则三角形的面积可以表示为：面积 = 1/2 * a * b * sinC这里的sinC是三角形第三个内角C的正弦函数值。

同样地，对于其他两个内角，可以得到相应的面积表示公式。

4. 三角函数与各类三角形的关系三角函数与各类特殊三角形之间存在紧密的关系。

以常见的等边三角形、等腰三角形和直角三角形为例：等边三角形的三个内角都是60°，其面积可以表示为：面积 = (边长)^2 * √3 / 4等腰三角形的两个底角相等，设其底角为A，顶角为B，底边长度为a，高度为h，其面积可以表示为：面积 = a * h / 2 = a^2 * sinA / 2 = a^2 * sinB / 2直角三角形中，设直角所在的两个内角为A、B，斜边长度为c，直角边长度分别为a、b，其面积表示为：面积 = a * b / 2 = (a^2 * sinB) / 2 = (b^2 * sinA) / 2 = (c^2 * sinA * sinB) / 2通过三角函数的定义与三角形的性质，我们可以将三角形的面积与三角函数之间的关系清晰地描述出来。

三角形cos和三边关系公式三角形的三边关系是指，三角形的三条边以及它们所对应的角之间存在一定的关系。

在三角形中，有许多重要的三边关系公式，其中最基本的莫过于三角形的余弦定理和正弦定理。

下面将详细介绍这两个公式及其应用。

一、三角形的余弦定理：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有以下关系式：1. a^2=b^2+c^2-2bc*cosA2. b^2=a^2+c^2-2ac*cosB3. c^2=a^2+b^2-2ab*cosC这个定理表明，对于一个三角形的任意一边，它的平方等于另外两条边平方和减去这两条边的乘积再乘以夹角的余弦。

根据余弦定理，我们可以推导出三角形的其他重要公式：1.余弦定理的推论一：若三边长分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有以下关系式：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)这个推论可以通过余弦定理中的三角形的三边关系公式求得，可以快速计算出角的余弦值。

2.余弦定理的推论二：如果一个三角形中条边上的高等于这条边的一半，则此三角形是等边三角形。

这个推论可以通过余弦定理的三角形的三边关系公式推导得出。

根据推论二，我们可以通过计算三角形的边长和高来判断这个三角形是否为等边三角形。

二、三角形的正弦定理：在任意三角形ABC中，设三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C，则有以下关系式：sinA/a = sinB/b = sinC/c这个定理表明，对于一个三角形的任意一边，它的正弦与这条边上所夹的角的正弦值成正比。

根据正弦定理，我们可以推导出三角形的其他重要公式：1.正弦定理的推论一：若三个角的和等于180°，则有以下关系式：sin(A+B)=sinCsin(A-B)=sinC这个推论可以通过正弦定理中的三角形的三边关系公式推导得出，有助于求解三角形中未知角度的值。

正弦定理余弦定理解三角形技巧以正弦定理和余弦定理为基础的三角形解题技巧在解决三角形相关问题时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。

它们可以帮助我们计算三角形的各个角度和边长，从而解决一系列问题，比如求解未知边长、未知角度、判断三角形类型等。

下面我将介绍一些使用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的技巧。

一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间的关系。

具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角度。

通过正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两个角和一个边的长度，求解其他未知边和角。

2. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。

3. 已知一个边和两个角的大小，求解其他未知边和角。

以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用正弦定理求解其他未知边和角。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sinA = 7/sinB = c/sin30通过计算可得sinA ≈ 0.866，sinB ≈ 0.5。

将这些结果代入等式中，可以求解出c ≈ 8.66，A ≈ 60度，B ≈ 30度。

二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的余弦值之间的关系。

具体表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的一个角的大小。

通过余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三个边的长度，求解三个角的大小。

2. 已知两个边和对应的夹角，求解第三边的长度。

3. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。

以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用余弦定理求解其他未知边和角。

4．7正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝，b2＝，c2＝.若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．(2)余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有__________________．如在△ABC(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A ＋B ＋C ＝π，则A ＝__________，A2＝__________，从而sin A ＝____________，cos A ＝____________，tan A＝____________；sin A 2＝__________，cos A 2＝__________，tan A2＝__________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝____________.(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔2sin B2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tan A 2tan C 2＝13.(4)在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝____________，c ＝____________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)自查自纠1．(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2)①2R sin B 2R sin C ②b 2R c2R③sin A ∶sin B ∶sin C2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2(2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c 22ab > <(3)互化 sin 2C ＋sin 2A －2sin C sin A cos B sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 3．(1)正弦(2)正弦 一解、两解或无解 ①一解②两解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦 4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R 12(a ＋b ＋c )r(2)π－(B ＋C ) π2－B ＋C2 sin(B ＋C )－cos(B ＋C )－tan(B ＋C ) cos B ＋C 2 sin B ＋C21tanB ＋C 2tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C (4)a cos C ＋c cos A a cos B ＋b cos A在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝( )A ．1 B. 3 C.322D ．2解：c 2＝1＋4－2×2×14＝4，c ＝2.故选D .(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( ) A ．a ＝2b B ．b ＝2a C ．A ＝2B D ．B ＝2A解：sin(A ＋C )＋2sin B cos C ＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，所以2sin B cos C ＝sin A cos C ⇒2sin B ＝sin A ⇒2b ＝a .故选A .(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解：由题意sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， 得sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，即sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0， 所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C，即sin C ＝12，得C ＝π6.故选B .(2015·北京)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sin C＝________.解：sin2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46×25＋36－162×5×6＝1.故填1.(2017·浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S 6＝6×⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin60°＝332.故填 332.类型一 正弦定理的应用(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b＝________.解：在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.故填2113.【点拨】先根据条件得到至少两个角的正弦值，再利用正弦定理，实现边角互化．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.解：由正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3.故填π3.类型二 余弦定理的应用(2017·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .解：因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6. 又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1.又0＜A ＜π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.【点拨】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆与内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－31010解：由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c 22×102c ×c＝－1010.故选C . 类型三 正、余弦定理的综合应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .① 因为A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，所以ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.【点拨】(1)化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A.(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．解：(1)证明：由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，故cos C 的最小值为12.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2Asin 2B，所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan A tan B ＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin A sin B ，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc ＝ab，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2. 从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点拨】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：由lg b ＋lg 1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b .由lgsin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，又A 为锐角，所以cos A ＝22.由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a ＝b ， 故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.故选D .类型五 解三角形应用举例(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解：设此山高h (m)，则BC ＝3h ，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠CBA ＝105°，∠BCA ＝45°，AB ＝600(m)．在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin A ＝ABsin C，即3h sin30°＝600sin45°，解得h ＝1006(m)．故填1006. 【点拨】①解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也常用到解三角形的方法．②不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于________m.解：因为tan15°＝tan(60°－45°)＝tan60°－tan45°1＋tan60°tan45°＝2－3，所以BC ＝60tan60°－60tan15°＝120(3－1)m.故填120(3－1)．1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角的关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等． 4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．1．(北京丰台2017届期末)在△ABC 中，C ＝π4，AB ＝2，AC ＝6，则sin B 的值为( )A.12B.22 C ．－12 D.32解：由正弦定理得2sin C ＝6sin B ，解得sin B ＝32.故选D .2．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ⇒AC ＝1.故选A .3．设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0<A <π，所以sin A ＝1，A ＝π2.所以△ABC 为直角三角形．故选B .4．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 解：在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 因为b ＝c ，所以a 2＝2b 2(1－cos A )， 又因为a 2＝2b 2(1－sin A )， 所以cos A ＝sin A ，所以tan A ＝1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4.故选C .5．(2015·天津改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，得a ＝8.故选D . 6．(2016·长春质检)在△ABC 中，D 是BC 中点，已知∠BAD ＋∠C ＝90°，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解：如图，由题可知，∠BAD ＋∠C ＝∠B ＋∠CAD ＝90°，在△ABD 中，BD sin ∠BAD ＝BD cos C ＝ADsin B ，在△ADC 中，CD sin ∠CAD ＝AD sin C ＝CD cos B，所以sin B cos C ＝sin Ccos B ，即sin2B ＝sin2C ，所以B ＝C 或2B ＋2C ＝π，则此三角形为等腰三角形或直角三角形．故选D .7．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解：由正弦定理知sin A sin C ＝a c ＝3，所以sin C ＝sin2π33＝12，则C ＝π6，所以B ＝π－2π3－π6＝π6，所以b ＝c ，即bc ＝1.故填1.8．(2017·浙江节选)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________．解：取BC 中点E ，由题意，AE ⊥BC .△ABE 中，cos ∠ABC ＝BE AB ＝14，所以cos ∠DBC ＝－14，sin ∠DBC ＝1－116＝154，所以S △BCD ＝12×BD ×BC ×sin ∠DBC ＝152.故填152.9．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b . 解：(1)由题设A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )． ①将①两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝⎛⎭⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.10．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)知AB ＝2AC ，故AC ＝1.(2016·北京)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．解：(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.1．(2016·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，∠B ＝π3，则∠A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4解：因为b >a ，由正弦定理得到sin A ＝a sin B b ＝22，所以∠A ＝π4.故选B .2．(2016·湖南四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 为( )A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.2π3解：由题意得a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C ，则cos C ＝cos C 2sin C ，且cos C ≠0，所以sin C ＝12，所以C ＝π6或5π6.故选A .3．(2016·郑州一测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B ＝asin A ，则cos B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解：因为b 3cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B 3cos B ＝sin A sin A，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3，所以cos B＝12.故选B . 4．(北京通州2017届期末)在△ABC 中，a ＝2，B ＝π3，△ABC 的面积等于32，则b 等于( )A.32B ．1 C. 3 D ．2 解：由△ABC 面积公式可得S ＝12ac sin B ＝32，12×2c ×32＝32，c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋12－2×2×1×cos π3＝3，b ＝ 3.故选C .5．(2016·厦门期中测试)如图，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1) mD ．5(3＋1) m解：直角三角形中，根据三角函数的定义得AB tan30°－ABtan45°＝10，解得AB ＝5(3＋1) (m)．故选D . 6．(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积为( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解：由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得2ab cos C ＝2ab －6，因为C ＝π3，所以ab ＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×32＝332.故选C .7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab ＝________.解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B ＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，ab ＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B ＝a ，所以a ＝2b ，所以ab＝2.故填2.8．(武汉市2018届高三起点调研)在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝3，则c 的取值范围是________．解：在钝角△ABC 中，a ＝4，b ＝3，则4－3＜c ＜4＋3，即1＜c ＜7，若C 是钝角，则cos C ＜0，则a 2＋b 2－c 22ab＜0，即c 2＞a 2＋b 2＝25，所以c ＞5，即5＜c ＜7；若A 是钝角，则cos A ＜0，则b 2＋c 2－a 22bc ＜0，即c 2＜a 2－b 2＝7，所以c ＜7，又1＜c ＜7，则1＜c ＜7.综上可知，c 的取值范围是(1，7)∪(5，7)． 故填(1，7)∪(5，7)．9．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )． 又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.10．(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解：(1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，即sin B ＝4cos B .故tan B ＝sin Bcos B＝4.(2017·福建漳州质检)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b ≠c ，且b cos B ＝c cos C ，延长线段BC 到点D ，使得BC ＝4CD ＝4，∠CAD ＝30°.(1)求证：∠BAC 是直角；(2)求tan ∠D 的值．解：(1)证明：因为b cos B ＝c cos C ，由正弦定理，得sin B cos B ＝sin C cos C ，所以sin2B ＝sin2C .又b ≠c ，所以2B ＝π－2C ，所以B ＋C ＝π2，所以∠A ＝90°.即∠BAC 是直角．(2)设∠D ＝α，由题意知CD ＝1，BC ＝4， 在△ABC 中，因为∠BAC ＝90°，∠ACB ＝30°＋α，所以cos(30°＋α)＝ACBC ，所以AC ＝4cos(30°＋α)．在△ACD 中，AC sin α＝CD sin ∠CAD，即AC sin α＝112＝2，所以AC ＝2sin α，所以4cos(30°＋α)＝2sin α，即2⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＝sin α，整理得3cos α＝2sin α，所以tan α＝32，即tan ∠D ＝32一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解：函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B . 2．若tan α>0，则( )A ．sin2α>0B ．cos α>0C ．sin α>0D ．cos2α>0解：因为tan α>0，所以α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )，即α是第一、三象限角．所以2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )，再根据三角函数值在各象限的符号知，sin2α>0.故选A .3．(2015·厦门模拟)已知角θ是第二象限角，sin θ＝34，那么角2θ为( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解：因为sin θ＝34且角θ为第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－74，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－18，sin2θ＝2sin θcos θ＝－378.所以角2θ为第三象限角．故选C .4．(2016·江西三校联考)函数y ＝sin 2x 的图象的一个对称中心为( )A ．(0，0) B. ⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π4，12 D.⎝⎛⎭⎫π2，1 解：因为y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，所以函数y ＝sin 2x 的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，12.故选C .5．(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：因为f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时，f (x )取最大值5.故选B .6．(2016·淮南二模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( ) A ．f (x －a )一定为奇函数 B ．f (x －a )一定为偶函数 C ．f (x ＋a ) 一定为奇函数 D ．f (x ＋a )一定为偶函数解：由题意得f (a )＝sin(2a ＋φ)＝1，则2a ＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x ＋a )＝sin(2x ＋2a ＋φ)＝sin(2x ＋2k π＋π2)＝cos2x ，此时函数为偶函数．故选D .7．(2016·南开模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cos B －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解：依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C 2＝0，因为cos 2C 2＝1＋cos C 2＝1－cos （A ＋B ）2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B2，所以1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 的内角，所以A ＝B ，所以△ABC 一定为等腰三角形．故选B .8．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35解：因为sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－435，所以32sin α＋12cos α＝－45.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45.故选C .9．(2016·湖南师大附中二模)设f (x )＝1＋cos2x ＋sin2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3，则常数a ＝( ) A ．1 B ．1或－5C ．－2或4D ．±7解：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 2cos x＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2cos x ＋2sin x ＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝(a ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则|a ＋2|＝3，所以a ＝1或a ＝－5.故选B . 10．(2017·天津)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据条件，由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12得0＜θ＜π6，推出sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故选A .11．(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论： ①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数； ②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . 则正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，不是奇函数，①错；f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝1，②正确；f ⎝⎛⎭⎫5π12＝－sin π＝0，③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，④正确．综上知正确结论的个数为3.故选C . 12．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝cos αcos 3π10＋sin αsin 3π10sin αcos π5－cos αsin π5＝cos 3π10＋tan αsin 3π10tan αcos π5－sin π5＝cos 3π10＋2tan π5sin 3π102tan π5cos π5－sinπ5＝cos π5cos 3π10＋2sin π5sin 3π10sin π5cos π5＝⎝⎛⎭⎫cos π5cos 3π10＋sin π5sin 3π10＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－π5sin 3π1012sin 2π5＝3cosπ10cos π10＝3.故选C .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin α＝13，则sin(2 019π－α)＝________.解：sin (2 019π－α)＝sin (π－α)＝sin α＝13.故填13.14．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．解：cos43°cos77°＋sin43°cos167°＝cos43°cos77°＋sin43°(－sin77°)＝cos120°＝－12.故填－12.15．(2015·广东模拟)已知角φ的终边经过点P (3，－4)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为________． 解：根据题意，T ＝2π3，ω＝2πT ＝3，sin φ＝－45，cos φ＝35，f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝22(sin φ＋cos φ)＝－210.故填－210.16．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解：由题意，b sin B ＝c sin C ，即sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b ＜c ，可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°.故填75°.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(北京西城2017届期末)已知函数f (x )＝sin(2ωx －π6)＋2cos 2ωx －1(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，7π12上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋(2cos 2ωx －1) ＝⎝⎛⎭⎫sin2ωx cos π6－cos2ωx sin π6＋cos2ωx ＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为0≤x ≤7π12，所以π6≤2x ＋π6≤4π3.所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值为1；当2x ＋π6＝4π3，即x ＝7π12时，f (x )取得最小值为－32.18．(12分)(2017福建三明质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且B ＝60°，c ＝4，b ＝6. (1)求sin C ；(2)求△ABC 的面积．解：(1)B ＝60°，c ＝4，b ＝6，在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得sin C ＝c sin B b ＝4×326＝33.(2)由于b ＞c ，所以B ＞C ，则C 为锐角，所以cos C ＝63， 则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×63＋12×33＝32＋36，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×32＋36＝62＋2 3. 19．(12分)(2016·长沙模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边且f (C )＝1，c ＝1，ab ＝23，a >b ，求a ，b 的值．解：(1)由题意得f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－1＝1， 则sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝1. 因为0＜C ＜π，所以2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，所以a 2＋12a 2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，所以a ＝3或2，所以当a ＝3时，b ＝2，当a ＝2时，b ＝ 3. 因为a >b ，所以a ＝2，b ＝ 3.20．(12分)(2015·福建)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0，2π)内有两个不同的解α，β，求实数m 的取值范围．解：(1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 的图象，故f (x )＝2sin x ，从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)(其中sin φ＝15，cos φ＝25)． 依题意，sin(x ＋φ)＝m5在区间[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5)．21．(12分)(2015·山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意知f (x )＝sin2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin2x 2－1－sin2x 2＝sin2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π (k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.22．(12分)(武汉2018届调研)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足cos2A －cos2B ＋2cos(π6－B )cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0. (1)求角A 的值；(2)若b ＝3且b ≤a ，求a 的取值范围．解：(1)由已知cos2A －cos2B ＋2cos ⎝⎛⎭⎫π6－B cos ⎝⎛⎭⎫π6＋B ＝0，得2sin 2B －2sin 2A ＋2⎝⎛⎭⎫34cos 2B －14sin 2B ＝0， 化简得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3.(2)若b ＝3≤a ，所以c ≥a ，因而π3≤C ＜π2，π6＜B ≤π3，12＜sin B ≤32.由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ，即2a 3＝3sin B，即a ＝32sin B ，由12＜sin B ≤32，知a ∈[3，3)．所以a 的取值范围是[3，3)．。

正弦、余弦定理在解三角形中的应用正弦定理和余弦定理是高中数学的两个重要定理，应用极为广泛，是历年高考考查的重点。

近年来高考命题强调能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查。

因而近年高考中，重点考查正弦定理、余弦定理在求三角形的面积、判断三角形形状、求三角形解的个数等问题中的应用，同时加强考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，如测量角度、高度、距离等。

下面以典型例题来分析正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,希望能对同学们的学习有指导作用。

一、基础回扣：1．正弦定理：在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，R 为ABC △外接圆半径，则2sin sin sin a b c R A B C=== 常见变形：(1)2sin ;2sin ;2sin ;a R A b R B c R C ===(2)sin :sin :sin ::A B C a b c = (3)Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===. 2．余弦定理2222222222cos ;2cos ;2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-勾股定理是余弦定理的特殊情况，则上述式子可分别化为222a b c =+，222b c a =+，222c b a =+常见变形：222222222cos ;cos ;cos ;222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-=== 3、常用三角关系式π=++C B A ；C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+；2cos 2sin C B A =+，2sin 2cos C B A =+； C ab S sin 21=∆，A bc S sin 21=∆，B ac S sin 21=∆。

二、基本题型：已知两边和其中一边的对角（如a,b,A），三角形的解有如下情况：①A为锐角时②A为直角或钝角时.边边角解三角形到底是一解两解还是无解，常用几何方法或正弦定理解决，其实边长数字不大且角为特殊角时用余弦定理也很简单。

三角形面积公式正弦余弦定理三角形是几何学中最基本的形状之一，而三角形的面积是我们在计算三角形相关问题时常常需要用到的概念。

在这篇文档中，我们将讨论三角形面积的计算方法，以及正弦余弦定理在三角形计算中的应用。

首先，让我们来看三角形面积的计算公式。

对于任意一个三角形，我们可以利用其底边长和高来计算其面积。

三角形的面积公式为：$S=\frac{1}{2}\times底边长\times高$。

这个公式也可以写成另外一种形式，即$S=\frac{1}{2}\times a\times b\times sinC$，其中$a、b$分别为两个边长，$C$为它们之间的夹角。

在三角形的计算中，正弦定理和余弦定理也扮演着重要的角色。

正弦定理可以表示为$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=
\frac{c}{sinC}$，其中$a、b、c$为三角形的三边，$A、B、C$为对应的角度。

余弦定理则可以表示为$c^2=a^2+b^2-2ab\times cosC$，其中$c$为三角形的一边，$A、B、C$为对应的角度。

通过这些公式和定理，我们可以更加灵活地进行三角形相关问题的计算。

无论是求解三角形的面积，还是计算其边长和角度，正弦余弦定理都能够为我们提供有效的方法。

在实际运用中，我们需要灵活运用这些公式和定理，结合具体问题的特点，才能够准确地解决三角形相关计算问题。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解三角形的面积公式、正弦余弦定理，从而在数学学习和实际问题中灵活运用。

余弦定理、正弦定理的应用高中数学定理　1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．一、三角形面积公式问题　已知△ABC 的两边a ，b 和角C ，如何求△ABC 的面积？提示　边b 上的高h 为a sin C ，故面积为S ＝bh ＝ab sin C .1212知识梳理　1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积公式为S ＝ ab sin12C ＝bc sin A ＝ca sin B .12122．△ABC 中的常用结论(1)A ＋B ＋C ＝180°，sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ；(2)大边对大角，即a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B .例1　(1)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，B ＝120°，则△ABC 的面积为．答案　1534解析　由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即c 2＋5c －24＝0，解得c ＝3或c ＝－8(舍去)．所以S △ABC ＝ac sin B ＝×5×3sin 120°＝.12121534(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝.答案　14解析　由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，得ac sin B ＝a 2sin B ，由sin 12B ≠0，知c ＝2a ，∴cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22aca 24a 214反思感悟　求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．跟踪训练1　在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝，7且c cos A ＋a ＝b .12(1)求C 的大小；(2)求△ABC 的面积．解　(1)由正弦定理，得sin C cos A ＋sin A ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，12即sin A ＝sin A cos C ，12∵sin A ≠0，∴cos C ＝，又C ∈(0，π)，∴C ＝.12π3(2)由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，故ab ＝6，∴S △ABC ＝ab sin C ＝×6×＝，121232332故△ABC 的面积为.332二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用例2　如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠CAD ＝，AC ＝，cos ∠ADB ＝－.π472210(1)求sin C 的值；(2)若BD ＝5，求△ABD 的面积．解　(1)因为cos ∠ADB ＝－，210所以sin ∠ADB ＝.7210又因为∠CAD ＝，所以∠C ＝∠ADB －.π4π4所以sin C ＝sin＝sin ∠ADB ·cos －cos ∠ADB ·sin ＝×＋×＝.(∠ADB －π4)π4π47210222102245(2)在△ACD 中，由＝，AD sin C ACsin ∠ADC 得AD ＝＝＝2.AC ·sin Csin ∠ADC 72×4572102所以S △ABD ＝AD ·BD ·sin ∠ADB ＝×2×5×＝7.121227210反思感悟　在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角．跟踪训练2　如图，在平面四边形ABCD 中，∠D ＝，CD ＝，△ACD 的面积为.2π36332(1)求AC 的长；(2)若AB ⊥AD ，∠B ＝.求BC 的长．π4解　(1)∵∠D ＝，CD ＝，△ACD 的面积为，2π36332∴S △ACD ＝AD ·CD ·sin D ＝×AD ××＝，1212632332∴AD ＝，6∴由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝6＋6－2×6×＝18，(－12)∴AC ＝3.2(2)由(1)知，在△ACD 中AD ＝，CD ＝，∠D ＝，662π3∴∠DAC ＝，π6∵AB ⊥AD ，∴∠BAC ＝.π3又∵∠B ＝，AC ＝3，π42∴在△ABC 中，由正弦定理，得＝，BCsin ∠BAC ACsin B即＝，∴BC ＝3.BC 3232223三、余弦、正弦定理与三角函数的综合应用例3　在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为，15b －c ＝2，cos A ＝－.14(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos的值．(2C ＋π3)解　(1)在△ABC 中，cos A ＝－，∵A ∈(0，π)，14∴sin A ＝＝，1－cos2 A 154由△ABC 的面积为，可得bc sin A ＝，151215可得bc ＝8.又b －c ＝2，解得b ＝4，c ＝2或b ＝－2，c ＝－4(舍去)，∴b ＝4，c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×8×＝24，(－14)∴a ＝2，6又＝，asin A c sin C 解得sin C ＝，108∴a ＝2，sin C ＝.6108(2)由(1)知，sin C ＝，b >c ，∴C ∈，108(0，π2)∴cos C ＝＝，1－sin2C 368cos 2C ＝2cos 2C －1＝，1116sin 2C ＝2sin C cos C ＝，31516cos＝cos 2C cos －sin 2C sin ＝×－×＝.(2C ＋π3)π3π3111612315163211－9532反思感悟　正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题．跟踪训练3　在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若a ＝3c ，b ＝，cos B ＝，求c 的值；223(2)若＝，求sin的值．sin Aa cos B2b (B ＋π2)解　(1)因为a ＝3c ，b ＝，cos B ＝，223由余弦定理cos B ＝，a 2＋c 2－b 22ac得＝，即c 2＝.23(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c 13所以c ＝.33(2)因为＝，sin Aa cos B 2b 由正弦定理＝，得＝，asin A bsin B cos B2b sin Bb 所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝.45因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0，从而cos B ＝.255因此sin＝cos B ＝.(B ＋π2)2551．知识清单：(1)三角形的面积公式．(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题．(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用．2．方法归纳：化归转化、数形结合．3．常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验．1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝，b ＝4，C ＝，则△ABC 的面3π6积为( )A ．2 B. C. D.331339答案　B解析　由题意可知，a ＝，b ＝4，C ＝，3π6所以S △ABC ＝ab sin C ＝××4×＝.121231232．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为( )A. B. C. D ．23333233答案　C解析　将c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 与(a ＋b )2－c 2＝4联立，解得ab ＝4，∴S △ABC ＝ab sin C ＝.1233．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，∠ADC ＝60°，CD ＝AD ＝2，BD ＝4，则sin B 的值为( )A. B. C. D.12767142114答案　D解析　由题意，得△ADC 为等边三角形，则∠ADB ＝120°，AC ＝2，由余弦定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD cos ∠ADB ，即AB ＝2，由正弦定理，得＝，则7ADsin B ABsin ∠ADB sin B ＝＝.AD ·sin ∠ADBAB21144．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝，△ABC 的面积为3，则A ＝，b ＋c ＝.133答案 7π3解析　由已知及正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝sin A ，可得2cos A sin(B ＋C )＝sin A ，即2cos A sin A ＝sin A ，又sin A ≠0，∴cos A ＝，12∵A ∈(0，π)，∴A ＝.π3由面积公式可得，3＝bc sin A ＝bc ，31234即bc ＝12.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得13＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－36，解得b ＋c ＝7.课时对点练1．(多选)已知△ABC 的面积为，且b ＝2，c ＝，则A 等于( )323A ．30° B ．60°C ．150° D ．120°答案　BD解析　因为S ＝bc sin A ＝，1232所以×2×sin A ＝，12332所以sin A ＝，因为0°<A <180°，32所以A ＝60°或120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝30°，a ＝b ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．1B.3C ．2D ．23答案　B解析　在△ABC 中，A ＝30°，a ＝b ＝2，由等腰三角形的性质可得，A ＝B ＝30°，则C ＝180－30°－30°＝120°，∴S △ABC ＝ab sin C ＝×2×2×＝.12123233．在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，S △ABC ＝，则C 等于( )332A ．60°或120° B ．30°C ．60° D ．45°答案　C解析　在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝30°，3S △ABC ＝AB ·AC sin A ＝，可得sin A ＝1，1232所以A ＝90°，所以C ＝180°－A －B ＝60°.4．(多选)在△ABC 中，AB ＝，AC ＝1，B ＝，则△ABC 的面积可以是( )3π6A. B ．132C. D.3334答案　AD解析　∵AB ＝，AC ＝1，B ＝，3π6又由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，∴BC 2－3BC ＋2＝0，∴BC ＝1或BC ＝2，∵S △ABC ＝·AB ·BC ·sin B ，12∴S △ABC ＝或S △ABC ＝.32345．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝，△ABC 的面积S ＝5cos A ，则a 等于( )52A ．1 B.5C. D.1317答案　A解析　因为b ＝2，c ＝，S ＝cos A ＝bc sin A ＝sin A ，所以sin A ＝cos A ．所以55212512sin 2A ＋cos 2A ＝cos 2A ＋cos 2A ＝cos 2A ＝1.所以cosA ＝.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos1454255A ＝4＋5－2×2××＝9－8＝1，故选A.52556．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，C ＝60°，且△ABC 的面积为5，则△ABC 的周长为( )3A ．8＋ B ．9＋2121C ．10＋ D ．1421答案　B解析　由题意及三角形的面积公式，得ab sin C ＝5，即a ×5×＝5，解得a ＝4，根12312323据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝16＋25－2×4×5×＝21，c ＝，所以△1221ABC 的周长为9＋.故选B.217．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝，b ＝，A ＝60°，则角32B ＝，△ABC 的面积是 ．答案　45°　3＋34解析　在△ABC 中，由正弦定理＝，asin A b sin B 得sin B ＝＝＝，b sin Aa2sin 60°322又因为b <a ，所以B <A ，所以B ＝45°，则C ＝75°，则S △ABC ＝ab sinC ＝×××sin12123275°＝.3＋348．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，A ＝60°，c ＝，则△33ABC 的面积为．答案　36解析　由正弦定理得＝，csin C asin A 即＝，解得sin C ＝.33sin C 13212又c ＜a ，所以C ＜A ，且0°＜C ＜180°，所以C ＝30°，故B ＝90°，所以S ＝ac ＝×1×＝.121233369．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求A 的大小；(2)若b ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求a 的值．3解　(1)∵(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin B sin C .∴由正弦定理，得(b ＋c )2＝a 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝－，∵A ∈(0，π)，∴A ＝.122π3(2)∵S ＝bc sin A ＝bc ＝2，∴bc ＝8，12343又b ＋c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－bc ＝36－8＝28，∴a ＝2.710.如图所示，在四边形ABCD 中，D ＝2B，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝.33(1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝2，求AB 的长．3解　(1)因为D ＝2B ，cos B ＝，33所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－.13因为D ∈(0，π)，所以sin D ＝＝.1－cos2D 223因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积为S ＝AD ·CD ·sin D ＝×1×3×＝.12122232(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2.3因为BC ＝2，＝，3AC sin B AB sin ∠ACB 所以＝＝＝，23sin B AB sin (π－2B)AB sin 2B AB 2sin B cos B 所以AB ＝4.11．如图，在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝8，D 是BC 边上一点，DC ＝5，DA ＝7，则AB 的长为( )A ．4 B ．4 C ．8 D ．4236答案　D解析　因为DC ＝5，DA ＝7，AC ＝8，所以cos ∠ADC ＝＝，72＋52－822×7×517因此cos ∠ADB ＝－，所以sin ∠ADB ＝，17437又B ＝45°，DA ＝7，由正弦定理，可得＝，DA sin B ABsin ∠ADB 所以AB ＝＝＝4.DA ·sin ∠ADB sin B7×43722612．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(2,2)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )A ．6B ．3C ．4D ．8答案　A解析　设向量a 与b 的夹角为θ，则由题意得，cosθ＝＝＝，则sin θ＝，所以平行四边形的面积为S ＝2×a ·b |a ||b |2×2－1×222＋(－1)2×22＋22101031010×|a ||b |sin θ＝×2×＝6，故选A.12523101013．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin2A ＋a sin 3B ＝0，b ＝c ，则的值为( )3ca A ．1 B. C. D.335577答案　D解析　由b sin 2A ＋a sin B ＝0，结合正弦定理，可得3sin B sin 2A ＋sin A sin B ＝0，3即2sin B sin A cos A ＋sin A sin B ＝0，3由于sin B sin A ≠0，所以cos A ＝－，32因为0<A <π，所以A ＝.5π6又b ＝c ，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A3＝3c 2＋c 2＋3c 2＝7c 2，即a 2＝7c 2，所以＝.c a 7714．已知在△ABC 中，AC ＝2，AB ＝3，∠BAC ＝60°，AD 是∠BAC 的角平分线，则AD ＝.答案　635解析　如图，∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，∴×3×2×sin 60°＝×3AD ×sin 30°＋×2AD ×sin 30°，121212∴AD ＝.63515．在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，CD ＝AD ＝4，则四边形ABCD 的面积S 为( )A ．4B ．6C ．8D ．103333答案　C解析　如图，由余弦定理，得在△ABD 中，BD 2＝4＋16－2×2×4cos A ＝20－16cos A ，在△CBD 中，BD 2＝16＋36－2×4×6cos C ＝52－48cos C ，∵A ＋C ＝180°，∴20－16cos A ＝52＋48cos A ，解得cos A ＝－，∴A ＝120°，C ＝60°.12S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.1212316．设f (x )＝sin x cos x －cos 2，x ∈R .(x ＋π4)(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ＝0，a ＝1，求△ABC (A2)面积的最大值．解　(1)f (x )＝sin x cos x －cos 2，x ∈R .(x ＋π4)化简可得，f (x )＝sin 2x －－cos 121212(2x ＋π2)＝sin 2x ＋sin 2x －＝sin 2x －，12121212由－＋2k π≤2x ≤＋2k π，k ∈Z .π2π2可得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π4π4∴函数f (x )的单调递增区间是，k ∈Z .[－π4＋k π，π4＋k π](2)由f ＝0，即sin A －＝0，(A 2)12可得sin A ＝，∵0<A <，∴cos A ＝.12π232由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋bc ＝b 2＋c 2.3∵b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立．∴1＋bc ≥2bc ，∴bc ≤2＋.33∴△ABC 的面积为S ＝bc sin A ≤.122＋34故△ABC 面积的最大值为.2＋34。

【例1】(11北京)
曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹.给出下列三个结论：
①曲线C 过坐标原点；
②曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于212
a 。

其中，所有正确结论的序号是_____。

【例2】
已知AD 是△ABC 的角平分线，且AC ＝2，AB ＝3，∠A ＝60°.求AD 的长。

【例3】(11北约)
已知平行四边形的两条邻边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

【例4】(09北大)
一个圆的内接四边形边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径。

【例5】(10上海)
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
111,,13115
，则此人将( ) A ．不能作出满足要求的三角形
B ．作出一个锐角三角形 正弦定理、余弦定理、
三角形面积公式的妙用
C．作出一个直角三角形
D．作出一个钝角三角形
【例6】(11北大保送)
L为△ABC内一点，满足ACL BCL CBL BAL
∠=∠=∠=∠。

求证：△ABC的三边长成等比。

【例7】(11全国课标)
△ABC中，∠B＝60°，3
AC=AB＋2BC的最大值为_______。

【例8】(11北约)
在△ABC中，a＋b≥2c，求证：∠C≤60°。