正弦定理和余弦定理的所有公式

正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1 ．正弦定理分类内容定理＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2 ．余弦定理分类内容定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形公式cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝解决的问题① 已知三边，求各角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3 ．三角形中常用的面积公式( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．二：基础知识应用演练1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()A ． 4B ． 22 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 75°3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 24 ， A ＝ 45°，则此三角形有 ()A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c .若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________.5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ．解析：1 选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以 AC ＝ × ＝2 .2 选C ∵ cos A ＝＝＝，又∵ 0°< A <180°，∴ A ＝60°.3 选B ∵ ＝，∴ sin B ＝ sin A ＝ sin 45°，∴ sinB ＝ .又∵ a < b ，∴ B 有两个．4 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ＝4＋12－2×2×2 × ＝4，所以 b ＝2.答案：25、解析：设 BC ＝ x ，由余弦定理得49＝25＋ x 2 －10 x cos 120°，整理得 x 2＋5 x －24＝0，即 x ＝3.因此 S △ ABC ＝ AB × BC ×sin B ＝ ×3×5× ＝ . 答案：小结： ( 1 ) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC 中，A > B ⇔ a > b ⇔ sin A >sin B .( 2 ) 在△ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b解的个数一解两解一解一解三、典型题型精讲（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] ( 2012·浙江高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 b sin A ＝ a cos B .( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值．解析： ( 1 ) 由 b sin A ＝ a cos B 及正弦定理＝，得sinB ＝ cos B ，所以tan B ＝，所以 B ＝ .(2) 由 sin C ＝2sin A 及＝，得 c ＝ 2 a . 由 b ＝3 及余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得 9＝ a 2 ＋ c 2 － ac . 所以 a ＝， c ＝2 .思考一下：在本例 ( 2 ) 的条件下，试求角 A 的大小．方法小结：1 ．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2 ．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练 1 ．△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin A sin B ＋ b cos 2 A ＝ a .( 1 ) 求；( 2 ) 若 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，求 B .解： ( 1 ) 由正弦定理得，sin 2 A sin B ＋sin B cos 2 A ＝ sin A ，即 sin B ( sin 2 A ＋cos 2 A ) ＝ sin A .故 sin B ＝ sin A ，所以＝ .( 2 ) 由余弦定理和 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，得 cos B ＝ .由 (1) 知 b 2 ＝ 2 a 2 ，故 c 2 ＝(2＋ ) a 2 . 可得 cos 2 B ＝，又 cos B >0，故 cos B ＝，所以 B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ ABC 中 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2 a sin A ＝( 2 b ＋ c ) sin B ＋( 2 c ＋ b ) sin C .( 1 ) 求 A 的大小；( 2 ) 若sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．[ 解析 ] ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a 2 ＝ ( 2 b ＋ c ) · b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ，即a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＋ bc .由余弦定理得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 cos A ＝－，∵ 0< A <180°，∴ A ＝120°.(2) 由 (1) 得 sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C ＝又 sin B ＋sin C ＝1，解得 sin B ＝sin C ＝ .∵ 0°< B <60°，0°< C <60°，故 B ＝ C ，∴△ ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：( 1 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；( 2 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 ( 2012·安徽名校模拟 ) 已知△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝( 4 ，－ 1 )， n ＝，且m · n ＝ .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 2 a ＝ 2 ，试判断△ ABC 的形状．解：( 1 ) ∵ m ＝ ( 4，－1 ) ， n ＝，∴ m · n ＝4cos 2 －cos 2 A ＝4·－ ( 2cos 2 A －1 ) ＝－2cos 2 A ＋2cos A ＋3.又∵ m · n ＝，∴ －2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝，解得 cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ .(2) 在△ ABC 中， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，且 a ＝，∴ ( ) 2 ＝b 2 ＋c 2 －2 bc ·＝ b 2 ＋ c 2 －bc . ①又∵ b ＋ c ＝2 ，∴ b ＝2 － c ，代入① 式整理得 c 2 － 2 c ＋3＝0，解得 c ＝，∴ b ＝，于是 a ＝ b ＝ c ＝，即△ ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] ( 2012·新课标全国卷 ) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0.( 1 ) 求 A ；( 2 ) 若 a ＝ 2 ，△ ABC 的面积为，求 b ， c .[ 解 ] ( 1 ) 由 a cos C ＋ a sin C － b － c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋ sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A － C ，所以 sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ＝ . 又0＜ A ＜π，故 A ＝ .( 2 ) △ ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝，故 bc ＝4.而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝8. 解得 b ＝ c ＝2.方法小结：1 ．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2 ．在解决三角形问题中，面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 ( 2012·江西重点中学联考 ) 在△ ABC 中， cos 2 A ＝ cos 2 A －cos A .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝ 3 ， sin B ＝ 2sin C ，求 S △ ABC .解： ( 1 ) 由已知得 ( 2cos 2 A －1 ) ＝cos 2 A －cos A ，则cos A ＝ .因为0< A <π，所以 A ＝ .( 2 ) 由＝，可得＝＝2，即 b ＝ 2 c .所以cos A ＝＝＝，解得 c ＝， b ＝2 ，所以 S △ ABC ＝ bc sin A ＝ ×2 × × ＝ .课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1 ．在△ ABC 中， a 、 b 分别是角 A 、 B 所对的边，条件“ a < b ”是使“cosA >cosB ”成立的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2 ．( 2012·泉州模拟 ) 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边．若 A ＝， b ＝ 1 ，△ ABC 的面积为，则 a 的值为 ()A ． 1B ． 23 ．( 2013·“江南十校”联考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知 a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， 1 ＋＝，则 C ＝()A ． 30°B ． 45°C ． 45°或135°D ． 60°4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ，则cos C 的最小值为 ()D ．－5 ．( 2012·上海高考 ) 在△ ABC 中，若sin 2 A ＋ sin 2 B <sin 2 C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6 ．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .若 b ＝ 2 a sin B ，则角 A 的大小为________ ．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵ sin B ≠0，7 ．在△ ABC 中，若 a ＝ 3 ， b ＝， A ＝，则 C 的大小为________ ．8 ．( 2012·北京西城期末 ) 在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c .若 b ＝ 2 ， B ＝， sin C ＝，则 c ＝ ________ ； a ＝ ________.9 ．( 2012·北京高考 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 2 ， b ＋ c ＝ 7 ， cos B ＝－，则 b ＝ ________.10 ．△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C －a sin C ＝b sin B .( 1 ) 求 B ；( 2 ) 若 A ＝ 75°， b ＝ 2 ，求 a ， c .11 ．( 2013·北京朝阳统考 ) 在锐角三角形 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边，且满足 a － 2 b sin A ＝ 0.( 1 ) 求角 B 的大小；( 2 ) 若 a ＋ c ＝ 5 ，且 a > c ， b ＝，求 ·的值．12 ．( 2012·山东高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知sin B ( tan A ＋ tan C )＝ tan A tan C .( 1 ) 求证： a ， b ， c 成等比数列；( 2 ) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 2 ，求△ ABC 的面积 S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1 ．( 2012·湖北高考 ) 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若三边的长为连续的三个正整数，且 A > B > C ， 3 b ＝ 20 a cos A ，则sin A ∶ sin B ∶ sin C 为 ()A ．4 ∶ 3 ∶ 2B ．5 ∶ 6 ∶ 7C ．5 ∶ 4 ∶ 3D ．6 ∶ 5 ∶ 42 ．( 2012·长春调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知4sin 2 － cos 2 C ＝，且 a ＋ b ＝ 5 ， c ＝，则△ ABC 的面积为________ ．3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝ 0.( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝， S △ ABC ＝，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．选做题1 ．已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边．若 a ＝ 1 ，b ＝， A ＋ C ＝ 2 B ，则sin C ＝ ________.2 ．在△ ABC 中， a ＝ 2 b cos C ，则这个三角形一定是 ()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知cos 2 C ＝－ .( 1 ) 求sin C 的值；( 2 ) 当 a ＝ 2 , 2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．4 ．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且cos B ＝， b ＝ 2.( 1 ) 当 A ＝ 30°时，求 a 的值；( 2 ) 当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1 解析：选C a < b ⇔ A < B ⇔ cos A >cos B .2 解析：选D 由已知得 bc sin A ＝ ×1× c ×sin ＝，解得 c ＝ 2 ，则由余弦定理可得 a 2 ＝ 4 ＋ 1 － 2×2×1×cos ＝3 ⇒ a ＝ .3 解析：选B 由1 ＋＝和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B＝2sin C cos A ，即 sin C ＝2sin C cos A ，所以 cos A ＝，则 A ＝60°. 由正弦定理得＝，则 sin C ＝，又 c < a ，则 C <60°，故 C ＝45°.4 解析：选 C 由余弦定理得 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝2 ab cos C ，又 c 2 ＝( a 2 ＋ b 2 )，得 2 ab cos C ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，即 cos C ＝≥ ＝ .6 解析：选 C 由正弦定理得 a 2 ＋ b 2 < c 2 ，所以 cos C ＝<0，所以 C 是钝角，故△ ABC 是钝角三角形．∴ sin A ＝，∴ A ＝30°或 A ＝150°. 答案：30°或 150°7 解析：由正弦定理可知 sin B ＝＝＝，所以 B ＝或 ( 舍去 )，所以 C ＝π － A － B ＝π －－＝ . 答案：8 解析：根据正弦定理得＝，则 c ＝＝2 ，再由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，即 a 2 － 4 a －12＝0，( a ＋2)( a －6)＝0，解得 a ＝6 或 a ＝－2( 舍去 )．答案：2 69 解析：根据余弦定理代入 b 2 ＝4＋(7－ b ) 2 －2×2×(7－ b )× ，解得b ＝4. 答案：410 解：(1) 由正弦定理得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos B .故cos B ＝，因此 B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ .故 a ＝ b × ＝＝1＋， c ＝ b × ＝2×＝ .1 1 解：(1) 因为 a －2 b sin A ＝0，所以 sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以 sin B ＝ . 又 B 为锐角，所以 B ＝ .( 2 ) 由 ( 1 ) 可知， B ＝ .因为 b ＝ .根据余弦定理，得7＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos ，整理，得 ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝7.由已知 a ＋ c ＝5，得 ac ＝6.又 a > c ，故 a ＝3， c ＝2.于是cos A ＝＝＝，所以 ·＝| |·| |cos A ＝ cb cos A＝2× × ＝1.12 解： ( 1 ) 证明：在△ ABC 中，由于sin B ( tan A ＋tan C ) ＝tan A tan C ，所以sin B ＝ ·，因此sin B ( sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以 sin B sin( A ＋ C )＝sin A sin C .又 A ＋ B ＋ C ＝π ，所以 sin( A ＋ C )＝sin B ，因此 sin 2 B ＝sin A sin C .由正弦定理得 b 2 ＝ ac ，即 a ， b ， c 成等比数列．( 2 ) 因为 a ＝1， c ＝2，所以 b ＝，由余弦定理得cos B ＝＝＝，因为0< B <π，所以sin B ＝＝，故△ ABC 的面积 S ＝ ac sin B ＝ ×1×2× ＝ .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1 解析：选D 由题意可得 a > b > c ，且为连续正整数，设 c ＝ n ， b ＝ n ＋1，a ＝ n ＋2 ( n >1，且n ∈ N * ) ，则由余弦定理可得3 ( n ＋1 ) ＝20 ( n ＋2 ) ·，化简得7 n 2 －13 n －60＝0，n ∈ N * ，解得 n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ＝6 ∶ 5 ∶ 4.2 解析：因为4sin 2 －cos 2 C ＝，所以2[1－cos( A ＋ B )]－2cos 2 C ＋1＝，2＋2cos C －2cos 2 C ＋1＝，cos 2 C －cos C ＋＝0，解得cos C ＝ .根据余弦定理有cos C ＝＝，ab ＝ a 2 ＋ b 2 －7 , 3 ab ＝ a 2 ＋ b 2 ＋2 ab －7＝ ( a ＋ b ) 2 －7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ ABC 的面积 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ×6× ＝.答案：3 解： ( 1 ) 法一：由 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴ 2sin B cos A －sin( A ＋ C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵ 0< B < π ，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A＝ .法二：由 (2 b － c )cos A － a cos C ＝0，及余弦定理，得 (2 b － c )·－ a ·＝0，整理，得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ，∴ cos A ＝＝，∵ 0<A < π ，∴ A ＝ .(2) ∵ S △ ABC ＝ bc sin A ＝，即 bc sin ＝，∴ bc ＝3，①∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ， a ＝， A ＝，∴ b 2 ＋ c 2 ＝6，② 由①② 得 b ＝ c ＝，∴△ ABC 为等边三角形．选择题解析1 解析：在△ ABC 中， A ＋ C ＝2 B ，∴ B ＝60°. 又∵ sin A ＝＝，∴ A ＝30°或 150°( 舍 )，∴ C ＝90°，∴ sin C ＝1.答案：12 解析：选A 法一： ( 化边为角 ) 由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又 A ＝π －( B ＋ C )，∴ sin A ＝sin( B ＋ C )＝2sin B cos C .∴ sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴ sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴ sin ( B － C ) ＝0.又∵ B 、 C 为三角形内角，∴ B ＝ C .法二： ( 化角为边 ) 由余弦定理知cos C ＝，∴ a ＝2 b ·＝，∴ a 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － c 2 ，∴ b 2 ＝ c 2 ，∴ b ＝ c .3 解： ( 1 ) 因为cos 2 C ＝1－2sin 2 C ＝－，且0< C <π，所以sin C ＝ .( 2 ) 当 a ＝2 , 2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得 c ＝4.由cos 2 C ＝2cos 2 C －1＝－，及0< C <π得cos C ＝± .由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos C ，得 b 2 ± b －12＝0，解得 b ＝或2 ，所以或4 解： ( 1 ) 因为cos B ＝，所以sin B ＝ .由正弦定理＝，可得＝，所以 a ＝ .( 2 ) 因为△ ABC 的面积 S ＝ ac ·sin B ，sin B ＝，所以 ac ＝3， ac ＝10.由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得4＝ a 2 ＋ c 2 － ac ＝ a 2 ＋ c 2 －16，即 a 2 ＋ c 2 ＝20.所以 ( a ＋ c ) 2 － 2 ac ＝20， ( a ＋ c ) 2 ＝40.所以 a ＋ c ＝2 .。

数学正弦定理余弦定理公式正弦定理和余弦定理是数学中用于解决三角形相关问题的重要定理。

它们可以帮助我们求解不完全信息的三角形，包括边长和角度等。

本文将分别介绍正弦定理和余弦定理的公式及应用。

一、正弦定理：正弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。

假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。

例如，已知一个三角形的两条边长和它们之间的夹角，可以利用正弦定理求解第三条边长。

另外，如果已知三角形的一个角度和它对应的边长，也可以利用正弦定理求解其他未知边长或角度。

二、余弦定理：余弦定理是指在任意三角形ABC中，三角形的三条边与其对应的角度之间存在一个关系。

假设三角形的边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的公式为：c² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理的应用也非常广泛，可以用于求解未知角度或边长。

例如，已知一个三角形的三条边长，可以利用余弦定理求解任意一个角度。

另外，如果已知三角形的两条边长和它们夹角的余弦值，也可以利用余弦定理求解第三条边长或其他未知角度。

三、正弦定理和余弦定理的应用举例：1. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求第三条边长c。

根据正弦定理可得：c/sinC = a/sinA = b/sinB根据已知条件代入公式即可求解出c的值。

2. 已知一个三角形的两条边长分别为a和b，夹角为C，求角度A 和角度B。

根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出角度A和角度B的值。

3. 已知一个三角形的三个角度A、B、C，求边长a、b、c。

根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据已知条件代入公式即可求解出边长a、b、c的值。

正，余弦定理公式正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理 (Sine Rule)在任意三角形ABC 中，如果a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则正弦定理可以表示为：R Cc B b A a 2sin sin sin === 其中，R 是三角形外接圆的半径。

这个定理可以用于解决以下问题：1.已知三角形的两角与一边，解三角形2.已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形3.运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理 (Cosine Rule)余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。

余弦定理可以用来找到三角形中任意一边的长度，如果知道该边所对角的大小以及三角形的其他两边。

在三角形ABC中，余弦定理可以表示为：c2=a2+b2-2abcos C同样的规则适用于其他的边和角，即：a2=b2+c2-2abcos Ab2=a2+c2-2abcos B性质：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosAb^2= a^2 + c^2 - 2·a·c·cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosCcosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

正余弦定理公式总结1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．典型综合练习：1.在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，求c2.已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，求角C 的大小为3．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 为什么三角形4．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 为什么三角形5．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为多少6．在△ABC 中，2b ＝a ＋c ，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 值为7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3， A ＋C ＝2B ，求sin A8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，求角A 的大小9．设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．10．已知平面四边形ABCD 中，△BCD 为正三角形，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，记四边形的面积为S .(1)将S 表示为θ的函数， (2)求S 的最大值及此时θ的大小．11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35A b ==.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.12.在ABC ∆中，内角A ，B,C 对边的边长分别是a,b,c ,已知c =2,C =3π. (Ⅰ)若ABC ∆的面积等于3，求a,b ；(Ⅱ)若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.13.在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA(I) 求AB 的值：(II) 求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。

余弦定理正弦定理公式在几何学中，余弦定理和正弦定理是两个重要的公式。

它们在解决三角形和向量的问题时非常有用。

下面，我们来详细了解一下这两个公式。

一、余弦定理余弦定理是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。

具体来讲，它用于计算一个三角形的某个角度的余弦值。

用符号表示，余弦定理的表达式如下：c² = a² + b² - 2ab cos(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，C是它们之间的夹角，cos是余弦函数。

通过余弦定理，我们可以计算出一个三角形的缺失部分。

例如，当我们已知三角形的两条边和它们之间的夹角时，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。

同样地，如果我们已知三角形的三条边长度，可以使用余弦定理来计算出一个角度的大小。

二、正弦定理正弦定理也是用来计算三角形边长和角度之间关系的公式。

但它和余弦定理不同，它用于计算三角形内一个角的正弦值或计算三角形边长之间的比例关系。

具体来讲，正弦定理的表达式如下：a / sin(A) =b / sin(B) =c / sin(C)其中，a、b和c是一个三角形的三条边的长度，A、B和C是分别位于它们对应边的顶点处的角度。

正弦定理可以帮助我们计算三角形内角度或边长之间的比例关系。

例如，当我们已知一个角的大小和它对应的边长时，我们可以使用正弦定理来计算出另外两条边的长度。

同样地，如果我们已知三角形内三个角的大小，也可以使用正弦定理来计算出三条边的长度比例关系。

通过掌握余弦定理和正弦定理，我们可以在解决三角形和向量问题时更加得心应手。

同时，这两个公式也对我们理解和应用数学和物理学知识有着极大的指导意义。

数学正弦定理余弦定理公式数学中的正弦定理和余弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

正弦定理可以用来求解三角形的边长和角度，而余弦定理可以用来求解三角形的边长和角度。

接下来，我们将详细介绍这两个公式的应用。

一、正弦定理正弦定理是用来求解三角形的边长和角度的重要公式之一。

它的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C分别表示三角形的三个内角的度数。

根据正弦定理，我们可以通过已知两边和它们夹角的大小来求解第三边的长度，或者通过已知两边和第三边的长度来求解夹角的大小。

例如，已知三角形的两边分别为3cm和4cm，夹角为60°，我们可以通过正弦定理来求解第三边的长度。

根据正弦定理的公式，我们有：a/sinA = b/sinB = c/sinC3/sin60° = 4/sinB = c/sinCsinB = 4*sin60°/3sinB ≈ 0.6928B ≈ arcsin(0.6928)B ≈ 44.43°因此，我们可以得到三角形的第三边的长度为c ≈ 5.19cm。

二、余弦定理余弦定理是另一个用来求解三角形的边长和角度的重要公式。

它的表达式为：c² = a² + b² - 2ab*cosC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，C表示三角形的夹角的度数。

根据余弦定理，我们可以通过已知三边的长度来求解夹角的大小，或者通过已知两边和夹角的大小来求解第三边的长度。

例如，已知三角形的两边分别为3cm和4cm，夹角为60°，我们可以通过余弦定理来求解第三边的长度。

根据余弦定理的公式，我们有：c² = a² + b² - 2ab*cosCc² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°c² = 9 + 16 - 24*cos60°c² = 25 - 24*0.5c² = 25 - 12c² = 13c ≈ √13c ≈ 3.61cm因此，我们可以得到三角形的第三边的长度为c ≈ 3.61cm。

三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。

2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。

根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。

正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。

正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。

3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。

根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。

余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。

余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。

4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。

正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。

这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。

正弦与余弦定理和公式三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。

日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。

但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABCxx，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R 为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA :sinB :sinC = a :b :c;在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD =BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

正弦定理余弦定理和复数的公式正弦定理、余弦定理和复数的公式在数学中都是非常重要的概念，它们在几何和代数中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我们将探讨这些公式的定义、推导和应用。

首先，让我们来看看正弦定理。

正弦定理是指在一个三角形ABC中，三条边a、b、c和它们对应的角A、B、C之间的关系。

具体来说，正弦定理可以表示为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

这个公式告诉我们，三角形中每条边的长度与它所对应的角的正弦值成比例。

这个定理在解决三角形内角和边的关系问题时非常有用。

接下来，我们来看看余弦定理。

余弦定理是指在一个三角形ABC中，三条边a、b、c和它们对应的角A、B、C之间的关系。

具体来说，余弦定理可以表示为：$c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$。

这个公式告诉我们，三角形中的一条边的平方等于另外两条边的平方和减去这两条边的乘积与夹角的余弦值的两倍。

余弦定理在解决三角形内边和角的关系问题时非常有用。

最后，我们来看看复数的公式。

复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a和b分别是实部和虚部。

复数的运算有加减乘除和共轭等。

复数的模长和幅角分别由下式给出：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。

$\arg(z) = \arctan(\frac{b}{a})$。

复数的公式在解决代数中的问题时非常有用，特别是在电路分析、信号处理和控制系统等领域有广泛的应用。

总之，正弦定理、余弦定理和复数的公式是数学中非常重要的概念，它们在几何和代数中都有着广泛的应用。

通过深入理解这些公式的定义、推导和应用，我们可以更好地解决各种数学问题，并且在实际生活和工作中发挥更大的作用。

正弦定理与余弦定理教学目标掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式.教学重难点掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形知识点清单一.正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即a b c2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin A sin B si2.变形：1) a b c a b csin sin si nC sin sin si nC2）化边为角：a :b: c sin A: sin B :s in C -a si nA.b sin B a sin AJb sin Bc sin C c sin C '3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsi nB, c 2Rs inC4）化角为边：sin A a ;J sin B b ; si nA aJ7sin B b sin C c sin C c5）化角为边：sin A a sin B b si nC c2R‘2R'2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=18°0,求角A,由正弦定理-Sn） - Sn^; b sin B c sin C a sin A;求出b与cc sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。

例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理旦血求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理旦泄求出c边c sin C4. △ ABC中，已知锐角A,边b,贝U①a bsin A时，B无解；②a bsinA或a b时，B有一个解;③ bsin A a b 时，B 有两个解。

如：①已知A 60 ,a 2,b2, 3 ,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a23,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

正余弦定理公式大全正弦定理和余弦定理是解三角形问题时常用到的两个重要定理，它们可以帮助我们求解三角形的边长和角度，解决各种实际问题。

下面我们将详细介绍正弦定理和余弦定理的公式及应用。

首先，我们来看正弦定理。

对于任意三角形ABC，其三条边分别为a，b，c，对应的角分别为A，B，C。

正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中，a/sinA = b/sinB = c/sinC这个比值关系被称为正弦定理的比值形式。

正弦定理告诉我们，一个三角形的每条边与其对立角的正弦值之比是相等的。

这个定理可以帮助我们求解三角形的边长和角度，应用非常广泛。

接下来，我们来看余弦定理。

对于任意三角形ABC，其三条边分别为a，b，c，对应的角分别为A，B，C。

余弦定理可以表示为：a^2 = b^2 + c^2 2bccosA。

b^2 = a^2 + c^2 2accosB。

c^2 = a^2 + b^2 2abcosC。

余弦定理告诉我们，一个三角形的每条边的平方与其余两条边的平方之差与对应的角的余弦值之积是相等的。

这个定理同样可以帮助我们求解三角形的边长和角度，解决各种实际问题。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择使用正弦定理或余弦定理来求解三角形的边长和角度。

在使用正弦定理和余弦定理时，我们需要注意角度的单位，通常情况下我们使用弧度制来计算。

在求解问题时，我们可以根据已知条件，利用正弦定理和余弦定理建立方程，然后求解方程，得到未知量的值。

在使用正弦定理和余弦定理时，我们需要注意角度的对应关系，确保计算结果的准确性。

总之，正弦定理和余弦定理是解三角形问题时常用到的两个重要定理，它们可以帮助我们求解三角形的边长和角度，解决各种实际问题。

希望本文介绍的正弦定理和余弦定理的公式及应用对您有所帮助。