高等数学下册第八章测试题

习题8.11.判定下列平面点集D 中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界.（1）{}(,)0,0x y x y ≠≠；（2）{}2(,)2x y y x <-；（3）{}2222(,)12)9x y x y x y +≥-+≤且(.（4）{}22(,)14x y x y <+≤；解 （1）集合是开集，无界集； 边界为{(,)0x y x =或0}y =，但不是区域.（2）集合是开集，区域，无界集；边界为2{(,)2}x y y x =-. （3）集合是闭集，闭区域，有界集；边界为2222{(,)1}{(,)(2)9}x y x y x y x y +=-+=（4）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为2222{(,)1}{(,)4}x y x yx y x y +=+=.2.设(,)2f x y xy =，证明：2(,)(,)f txty t f x y =.证明略.3.设y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭(0)x >，求()f x . 解 ()f x =. 4.求下列各函数的定义域：（1）2222x y z x y +=-； （2）ln()arcsin y zy x x =-+；（3）z =； （4）u =.解 （1）定义域为{}(,)x y y x ≠±； （2）定义域为{}(,),(0)x y x y x x <≤-<；习题8-1（3）图（3）定义域为2222(,)1x y x y a b ⎧⎫+≤⎨⎬⎩⎭； （4）定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠；5.求下列各极限：（1）22(,)(0,1)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)1limx y xy →； （3）(,)(0,0)lim x y → （4）(,)(0,3)tan()lim x y xy x→； （5）1(,)(0,2)lim (1)xx y xy →+； （6）22(,)(,)lim()x y x y x y e --→+∞+∞+.解：（1）1；（2）0；（3）1/2；（4）3；（5）2e ；（6）0. 6. 讨论二元函数222222,0,(,)0,0.xyx y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩当(,)(0,0)P x y O →时极限是否存在.解 此二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在.7.证明下列极限不存在：（1）2222(,)(0,0)lim x y x y x y →-+.证明略.8.用二重极限定义证明：(,)lim0x y →=.证 略. 9. 求(,)(1,0)ln(e )limy x y x →+.解(,)lim (1,0)ln 2y x y f →==.10.指出下列函数在何处间断： （1）22ln()z x y =+； （2）221z y x =-.解（1）函数在(0,0)处无定义，故该点为函数22ln()z x y =+的间断点； （2）两条直线,y x y x ==-上的点均为函数221z y x=-的间断点. 11. 讨论二元函数2222422,0,(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)O 是否连续.解：可以证明，当(,)(0,0)P x y O →时极限不存在，所以，(,)f x y 在点(0,0)O 不连续.习题8.2解答1.设(,)z f x y =在00(,)x y 处的偏导数分别为00(,)x f x y A =，00(,)y f x y B =，问下列极限是什么？（1）00000(,)(,)limh f x h y f x y h →+-； （2）00000(,)(,)lim h f x y f x y h h→--；（3）00000(,2)(,)lim h f x y h f x y h →+-； （4）00000(,)(,)lim h f x h y f x h y h→+--.解 （1）A;（2）B ；（3）2B;（4）2A. 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）2x z x y =-； （2）lnsin x z y=； （3）sin ex yz =； （4）22x y z xy+=；（5）222ln()z x x y =+； （6）z = （7）(1)yz xy =+； （8）arctan()zu x y =- 解（1）212,z z x x x y y y∂∂=-=∂∂；（2）12sin 2z x x y y ∂=∂，22sin2z x xy y y ∂=-∂； （3）sin sin x y z e y x ∂=∂，sin cos x y zxe y y∂=∂； （4）21z y x y x∂=-∂，21z x y x y ∂=-∂；（5）3222222ln()z x x x y x x y ∂=++∂+，2222z x y y x y∂=∂+； （6）z x ∂=∂，z y ∂=∂； （7）21(1)y z y xy x -∂=+∂，z y ∂∂ (1)ln(1)1y xy xy xy xy ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦； （8）12()1()z z u z x y x x y -∂-=∂+-， 12()1()z z u z x y y x y -∂-=-∂+-， 2()ln()1()z zu x y x y z x y ∂--=∂+-； （9）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1z u z x x y y -⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭，z u z x yy y ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭，ln zu x xy y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭. （10）sec()z xy =；tan()sec()z y xy xy x ∂=∂，tan()sec()zx xy xy y∂=∂ 3. 设23(,)f x y x y =，求(,)x f x y ，(,)y f x y ，(1,1)x f ，(2,2)y f . 解:33(1,1)2112x f =⋅⋅=，22(2,2)32248y f =⋅⋅=.4. 设2222(,)()ln()arctan e x y y f x y x y x y x +⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，求(1,0)x f .解 2111d d(1,0)(,0)(ln )(2ln )1d d x x x x f f x x x x x x x x ======+=.若用(1,0)(1,0)(,)x f f x y x∂=∂，也可求(1,0)x f ，但较麻烦.5.设2(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 解：(,1)()1x f x x '==.6.设2(,)cos xt yf x y etdt -=⎰，求(,)x f x y ，(,)y f x y .解 2(,)cos x x f x y ex -=，2(,)cos y y f x y e y -=-.7.22,88x y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(8,4,10)处的切线与y 轴正向所成的倾角是多少？ 解 倾角4πα=.8.求下列函数的全微分： （1）2222x yu x y-=+； （2）2222()e x y xyz x y +=+；（3）sin e 2yz yu x =++； （4）ey xz -=；（5）yz x =； （6）222ln()u x y z =++.解 （1）()22224u xy x x y ∂=∂+，()22224u x yy x y ∂=∂+，()2224d ()xy u ydx xdy x y =-++. （2）224422x y xyz x y e x xx y +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， 224422x y xyz y x e y y xy +⎛⎫∂-=+ ⎪∂⎝⎭， dz )d d y x x y =-；（3）解 因为1u x ∂=∂，1cos e 22yz u y z y ∂=+∂，e yz uy z ∂=∂， 所以 1d d cos e d e d 22yz yz y u x z y y z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.（4）d z 21e ()yxxdy ydx x-=--；（5）1,ln y y u uyx x x x y-∂∂==∂∂,1dz d ln d y yz u u dx dy yx x x x y x y -∂∂=+=+∂∂. （6）d u 2222(d d d )x x y y z z x y z=++++； 9.求下列函数的全微分：（1）2sin z x y =在点1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处的全微分；（2）2arcsinxz y=在点 (1,1) 处的全微分. 解 （1）d z x y =+. （2）)22232222d ()d 2d 6x y x y dx xdy z x y y y ======-=-. 10.求函数22xyz x y=-当2x =，1y =，0.01x ∆=，0.03y ∆=时的全微分和全增量，并求两者之差.解 ()()()2332222(,)(2,1)0.01,0.030.25d 0.0277779x y x y x y y x+x +xy yz x y =∆=∆=--∆∆==≈-， 全增量为()()()()2222(,)(2,1)0.010.030.028252x y x y x x y y xy z x y x x y y =∆=∆=⎡⎤+∆+∆∆=-≈⎢⎥-+∆-+∆⎢⎥⎣⎦， 全增量与全微分之差为d 0.0282520.0277770.000475z z ∆-≈-=.11.计算 3.02(1.99) 的近似值.（取ln2=0.693）解 设函数 (,)yf x y x =.显然，就是要求函数值(1.99,3.02)f .取 2,3,0.01,0.02x y x y ==∆=∆= ，故 (1.99,3.02)8120.01 5.5440.0f ≈+⨯+⨯≈.习题8.3解答1.求函数z =(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2的方向的方向导数.解(1,2)12z l ∂=+=∂2.求函数2tan()z x y =在点(1,)4π处沿与x 轴正向夹角为60的方向的方向导数. 解(1,)41222z l πππ∂=⋅+=∂3.求函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数.解2220)f z x y l ∂=⋅=-∂. 4.设函数r ，求r 沿从原点O 至任意点(,)P x y 的方向导数. 解cos cos 1r x y x x y yl r r r r r rαβ∂=+=⋅+⋅=∂. 5. 求函数222(1)2(1)3(2)6u x y z =-+++--在点(2,0,1)处沿向量(1,2,2)--的方向导数. 解(2,0,1)12224(6)2333u l ∂⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-+-⋅-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭.6.求函数222u x y z =++在曲线x t =，2y t =，3z t =上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数. 解(1,1,1)222u ∂=+=∂T7. 求函数221z x y =+在点(1,1)处的梯度.解 11(1,1)22z =--grad i j .8. 求函数2sin u x y z =在任意点(,,)x y z 处的梯度. 解 22(,,)2sin sin cos u x y z xy z x z x y z =++grad i j k .9.求函数u xy yz zx =++在点(1,2,3)处的梯度. 解 (1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)(1,2,3)543u u uu x y z ∂∂∂=∂∂∂grad i +j +k =i +j +k .10.一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数22100023z x y =--，当他在点(1,1,995)处时，为了尽可能快地升高，他应沿什么方向移动？解 (1,1)(1,2,3)(1,1)46z z z x y ∂∂=--∂∂grad i +j =i j 由梯度的意义可知，沿梯度(4,6)--方向能尽快地升高.11.设u ，v 都是x ，y ，z 的函数，u ，v 的各偏导数都存在且连续，证明： （1）()u v u v +=+grad grad grad ； （2）()uv v u u v =+grad grad grad ； （3）2()2u u u =grad grad .证 （1）()u v +grad u v =+grad grad ；（2）()uv grad v u u v =+grad grad （3）2()2.u u u =grad grad .习题8.4解答1.设tan 2cos ex yu -=，2x t =，3y t =，求d d u t. 解 3tan22cos 2232e (sec 23sin )t t t t t -=+.2. 设(,,)2z f x y t xy t ==+，sin x t =，cos y t =，求d d z t. 解 3. 3.设221z u v =+，cos u x y =，sin v x y =，求z x ∂∂，zy∂∂.解z x ∂∂2232222(cos sin )(cos sin )y y x y y =-+， z y ∂∂32222(cos sin sin cos )0(cos sin )x y y x y y x y y =-+=+.4.设z v =，而2u x y =-，y v x =，求z x ∂∂，z y∂∂.解zx ∂∂=z y ∂=∂. 5. 设(,,)ln(sin tan )u f x y z y x z ==+，ex yz -=，求z x ∂∂，zy∂∂. 解 u x ∂∂2cos e sec e sin tan ex y x yx yy x y x ---+=+， u y ∂∂2sin e sec e sin tane x y x yx yx y x ----=+. 6.设222sin()u x y z =++，x r s t =++，y rs st tr =++，z rst =，求u r ∂∂，us∂∂，u t∂∂. 解u r∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr s t rs t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦， u s∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr r t r st r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦， ut∂∂222222()()cos ()()()r s t rs st tr r s r s t r s t rs st tr rst ⎡⎤⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦⎣⎦. 7.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）： （1）22(,)x z f x y e =-； （2）,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭； （3）32(,,)u f x x y xyz =； （4）(ln )u f xy =. 解（1）122x z xf e f x ∂''=+∂，12zyf y∂'=-∂； （2）1f u x y '∂=∂，1221u x f f y y z∂''=-+∂，22u y f z z ∂'=-∂； （3）212332u x f xyf yzf x ∂'''=++∂，223u x f xzf y∂''=+∂，3u xyf z ∂'=∂； （4）11(ln ),(ln )u u f xy f xy x x y y∂∂''==∂∂. 8.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明： z zxy z xy x y∂∂+=+∂∂. 证 略.9.设[cos()]z y x y ϕ=-，试证：z z zx y y∂∂+=∂∂. 证略. 10.设,kz y u x F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且函数,z y F x x ⎛⎫⎪⎝⎭具有一阶连续偏导数，试证： u u uxy z ku x y z∂∂∂++=∂∂∂.证略.11.设sin (sin sin )z y f x y =+-，试证：sec sec 1z zxy x y∂∂+=∂∂. 证略.习题8.5解答1.验证方程22194x y +=在点(0,2)的某邻域内能唯一确定一个有连续导数，且当0x =时2y =的隐函数()y f x =，并求这函数的一阶导数与二阶导数在0x =处的值.解：0；-2/9. 2.设2e 0xyx y -=，求d d y x. 解 2d 2e .d exyxy y xy y x x x -=- 3.设arctanx y =dxdy. 解:x y y x+-. 4 验证方程224x y z ++=在点(1,1,2)-的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =；求z x ∂∂，z y∂∂， 在1,1x y ==-处的值. 解(1,1)2zx -∂=-∂，(1,1)2z y -∂=∂. 5.设方程222(,)0F x y z x y z +-++=确定了函数(,)z z x y =，其中F 存在偏导函数，求z x ∂∂，zy∂∂. 解 121222F xF z x F zF ''+∂=∂''-，121222F yF z y F zF ''+∂=∂''-. 6.证明题：（1）.设由方程(,,)0F x y z =分别可确定具有连续偏导数的函数(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =，证明：1x y zy z x∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂.（2）.设x yexy +=，验证222223[(1)(1)](1)d y y x y dx x x -+-=--. 证略.7.求由方程xyz (,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z .解 222222222222()()d d d ()()yz x y z x xz x y z yz x y xy x y z z xy x y z z++++++=--++++++，(1,0,1)d d 3d z x y -=--. 8.求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设22222,43636,z x y x y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩求d d y x ，d d z x ； （2）设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy∂∂；（3）设sin ,cos ,uux e u v y e u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求u x ∂∂，u y ∂∂，v x ∂∂，vy ∂∂. 解 （1）2136d 72(721)d 7244(181)xx z yxz x x z x D yz y y z ------+===++. 224d 283d 724362y xy x z xy xy xx D yz y z ---+===++. （2）22u xv yu y x y∂-=∂+，22v xu yvy x y ∂+=-∂+. （3）1cos 1(,)1sin 0sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v x J x v J e v v -∂∂=-=-=-∂∂-+， 0cos 1(,)1cos 1sin (,)(sin cos )1uu v u F G vu v y J y v J e v v -∂∂-=-=-=-∂∂-+， sin 11(,)1cos (,)[(sin cos )1]cos 0u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂-=-=-=∂∂-+-+， sin 01(,)1sin (,)[(sin cos )1]cos 1u uu ue v v F G v e x J u x J u e v v e v --∂∂+=-=-=∂∂-+-+. 习题8.6解答1. 求2sin (2)z x y =+的二阶偏导数.解 2sin(2)cos(2)sin(24)zx y x y x y x ∂=++=+∂，2sin(2)cos(2)22sin(24)zx y x y x y y∂=++⋅=+∂，22[sin(24)]2cos(24)z x y x y x x ∂∂=+=+∂∂，2[sin(24)]4cos(24)z x y x y x y y∂∂=+=+∂∂∂， 2[2sin(24)]4cos(24)z x y x y y x x∂∂=+=+∂∂∂， 22[2sin(24)]8cos(24)z x y x y y y∂∂=+=+∂∂. 这里的两个二阶混合偏导数是相等的.2.求下列函数的二阶偏函数：（1）已知33sin sin z x y y x =+，求2z x y ∂∂∂； （2）已知ln xz y =，求2z x y∂∂∂；（3）已知ln(z x =+，求22z x ∂∂和2zx y∂∂∂；（4）arctan y z x =，求22z x ∂∂、22z y ∂∂、2z x y ∂∂∂和2zy x∂∂∂.解（1）233sin cos z x y y x x ∂=+∂，2223cos 3cos z x y y x x y∂=+∂∂； （2）ln ln x z y y x x∂=∂， 2ln 11(1ln ln )x z y x y x y x-∂=+∂∂； （3）z x ∂=∂ ()232222z xxxy∂-=∂+，()23222z yx yxy∂-=∂∂+；（4）22z y x x y ∂=-∂+，22z x y x y∂=∂+， ()222222z xy x x y ∂=∂+，()222222z xyy x y ∂-=∂+，()222222z y x x y x y ∂-=∂∂+，()222222z y x y x x y ∂-=∂∂+. 3.验证： （1）2esin kn ty nx -=满足22y y k t x∂∂=∂∂；（2）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.（3）lnz =22z x ∂∂＋22zy∂∂＝0.证 略.4.求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）：（1）(,)z f xy y =； （2）22()z f x y =+； （3）22(,)z f x y xy =； （4）(sin ,cos ,)x y z f x y e +=.解 （1）22112z y f x∂''=∂， 211112z z f xyf yf x y y x ∂∂∂⎛⎫'''''==++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭，2211122222zx f xf f y∂''''''=++∂. （2）22224z f x f x ∂'''=+∂，24z xyf x y ∂''=∂∂，22224z f y f y∂'''=+∂.（3）2432221112222244z yf y f xy f x y f x∂'''''''=+++∂ 232231211122222252zyf xf xy f x y f x yf x y∂''''''''=++++∂∂ 2223411112222244zxf x y f x yf x f y∂'''''''=+++∂ （4）()222311113332sin cos 2cos x y x y x y z e f xf xf e xf e f x+++∂''''''''=-+++∂()22312133233cos sin cos sin x y x y x y x y ze f x yf e xf e yf e f x y ++++∂'''''''''=-+-+∂∂ ()222322223332cos sin 2sin x y x y x y ze f yf yf e yf e f y+++∂''''''''=-+-+∂5. 设333z xyz a -=，求22zx∂∂.解 232232()z xy z x z xy ∂=-∂-.6.设(,)z z x y =是由方程2cos sin 0z x z y --=所确定的隐函数，求2(0,1)zx y∂∂∂.解2(0,1)0z x y∂=∂∂.7.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，试证：2220u ux y x x y∂∂+=∂∂∂.证明略.习题8.7解答1.求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）在4πθ=的对应点处； （2）11x t =+，11t y t+=-，2z t =在t=0的对应点处； （3）2226x y z ++=，0x y z ++=在点(1,2,1)-处；（4）2222100,100,x y y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,3)处. 解 （1）切线方程为 44z b bπ-==. 法平面方程为 240bz b π--+=.cos sin x a y a z b θθθ===（2）切线方程为 110120x y z ---==-， 即210x y z +-== .法平面方程为 (1)2(1)0x y --+-=， 即 210x y --= . (3) 切线方程为121101x y z -+-==-， 法平面方程为1(1)0(2)(1)(1)0x y z ⋅-+⋅++--=，2.在曲线x t =，212y t =，3z t =上求一点，使此点的切线平行于平面230x y z -+-=.解 所求点为111(,,)288或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭. 3.求下列曲面在指定点处的切平面和法线方程： （1）22z x xy y =++在点(1,1,3)M 处； （2）22ln(12)z x y =++在点(1,1,ln 4)处；（3）ln()z xy = 在点()2,,3e e 处..解（1）切平面方程为3330x y z +--=. 法线方程为113331x y z ---==-. （2）切平面方程为 2234ln 20x y z +--+=. 法线方程为 12ln 2122y z x ---==-. （3）切平面方程为220ex y e z e +-+=.4.求曲面2222x y z ++=上平行于平面40x y z +-=的切平面方程.解 切平面方程为 1213x y --=，或1213x y --=-. 5.证明：曲面(,)0F x az y bz --=上任意点处的切平面与直线x yz a b==平行（a ，b 为常数，函数(,)F u v 可微）. 证 略.6.求旋转椭球面222316x y z ++=上点(1,2,3)--处的切平面与xOy 面的夹角的余弦. 解 1212cos θ⋅===n n n n . 7.证明曲面3xyz a =（0a >，为常数）的任一切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为常数.证 33331333962a a a V a yz xz xy =⋅⋅⋅=.习题8.8解答1.设0a >，求函数33(,)3f x y axy x y =--的极值.解 极大值3(,)f a a a =.2.求函数22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极值. 解 22(,)(6)(4)f x y x x y y =--的极大值为(3,2)36f =.3. 将一宽为24cm 的长方形铁皮的两边折起，做成一个断面为等腰梯形的水槽（如图），问怎样能使此水槽的断面面积达到最大？问题的目标函数（即需要求最值的函数）1(,)[(242)(2422cos )]sin 2(242cos )sin .A x x x x x x x x θθθθθ=-+-+=-+ 问题是求二元函数(,)A x θ在区域(,)012,02D x x θθπ⎧⎫=<<<≤⎨⎬⎩⎭内的最大值.当8x =厘米，3θπ=时断面面积(,)A x θ达到最大值. 4.求函数221z x y =++在指定条件30x y +-=下的条件极值. 解 本题属条件极值问题，易将它化为无条件极值问题.条件30x y +-=可以表示成3y x =-，代入221z x y =++，则问题化为求22(3)1z x x =+-+的极大值.32x =为极小值点，极小值为2233111222z ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5. 求函数u xyz =在附加条件1111(0,0,0,0)x y z a x y z a++=>>>> （1） 下的极值.解 作拉格朗日函数.1111(,,)()L x y z xyz x y z aλ=+++-.故(3,3,3)a a a 是函数u xyz =在条件（1）下唯一的驻点.极值为327a . 6.求周长为定值2a 的矩形面积的最大值.解 设矩形长、宽分别为x ，y ，则其面积为S xy =，且满足条件：222x y a x y a +=⇔+=，构造拉格朗日函数(,)()L x y xy x y a λ=-+- .最大值为2(,)224a a a S =.7. 要用铁板做一个体积为常数V 的有盖长方体水箱.问水箱各边的尺寸为多少时，用料能最省.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则问题是求表面积函数2()S xy yz zx =++在约束条件xyz V =下的最小值（0x >，0y >，0z >）.构造拉格朗日函数(,,)2()()L x y z xy yz zx xyz V λ=+++-，(,,)x y z =是唯一可能的最值点，因此它就是所求的最小值点.8. 求表面积为2k 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题求函数,(0,0,0)V xyz x y z =>>>在满足条件条件2(,,)2()0x y z xy yz xz k ϕ=++-= （2）下的最大值.作拉格朗日函数2(,,)[2()]L x y z xyz xy yz xz k λ=-++-，)是函数V xyz =在条件（2）下唯一的驻点. 此点就是所求的最大值点.即表面积为2k的长方体的体积体积为最大，最大的体积3V =.9.在直线20,27y x z +=⎧⎨+=⎩上找一点，使它到点(0,1,1)-的距离最短，并求最短距离.解 设所求的点为(,,)x y z ，则此点到点(0,1,1)-的距离为u =作拉格朗日函数222(,,)(1)(1)(2)(27)L x y z x y z y x z λμ=+++-++++-，1,2,3,x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离的最小值必定存在，最短距离为=第8章复习题A 解答1.选择题：考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质： （1）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；（2）(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续； （3）(,)f x y 在点00(,)x y 处可微；（4）(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在.若P Q ⇒表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）.（A ）. (2)(3)(1)⇒⇒； （B ）. (3)(2)(1)⇒⇒； （C ）. (3)(4)(1)⇒⇒； (B) . (3)(1)(4)⇒⇒.答案:A.2.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内： （1）(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的 条件，(,)f x y 在点(,)x y 连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件.（2）(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及zy∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的 条件.(,)z f x y =在点(,)x y 可微分是函数在该点的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在的 条件.（3）(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂及z y∂∂在点(,)x y 存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件.（4）函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的 条件.答案：（1）充分，必要；（2）必要，充分；（3）充分；（4）充分； 3. 设(,,(,),(,))0F x y u x y v x y ≡， (,,(,),(,))0G x y u x y v x y ≡， 将上式两边对x 求偏导，得0,0.x u v x u v u v F F F x x u v G G G x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ 可以求得：u x ∂∂= ； vx∂∂= .答案：x vx v u v u v F F G G u F F x G G --∂=∂，u xu xu v u vF FG G v F F x G G --∂=∂. 4.设3223(,)f x y x y x x y xy y +-=+--，求(,)f x y .解 2(,)f x y x y =. 5. 求下列极限问题：5-1.(,)(2,0)sin()lim x y xy y →；5-2.2(,)limy x y →；5-3.(,)(0,0)limx y xy e→+.解5-1. 2； 5-2.解10ln 2y x y →→=.5-3.解 1/2..6.讨论函数2(,)x f x y xy x y =+-当(,)(0,0)x y →时的极限存在性.解2(,)(0,0)lim x y x xy x y→+-不存在. 7.讨论下面函数的连续性：2tan(),0,(,),0.x y y f x y yx y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩解 函数处处连续.8.设(,)ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1,0)x f ，(1,0)y f . 10(1,0)110212x f ⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭+，111(1,0)02212y f =⋅=+ 9.求下列函数的一阶偏导数： 9-1.ln tanx z y=；9-2.u = 9-3.e xyz =； 9-4 zy u x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；9-5.(1)xz xy =+；解 9-1.21cot sec z x x x y y y∂=∂， 22cot sec z x x x y y y y∂=-∂；9-2.u x ∂=∂，u y ∂=∂；u z ∂=∂. 9-3.xy xy z e y ye x ∂=⋅=∂，xy xy ze x xe y∂=⋅=∂； 9-4 1z u z y x x x -∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，zu z y y x x ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭，ln zu x xz y y⎛⎫∂=⋅ ⎪∂⎝⎭.10.设yxz xy xe =+，证明z zx y xy z x y∂∂+=+∂∂. 解略.11.求下列函数的偏导数11-1.求函数2ln()z x y =+的二阶偏导数.11-2.设e sin u z v =，u xy =，v x y =+，求zx ∂∂，z y∂∂. 11-3.设222(,,)e x y z u f x y z ++==，2sin z y x =，求ux∂∂，u y ∂∂.解 11-1. 21z x x y ∂=∂+，()22221z x x y ∂=-∂+，22z yy x y∂=∂+， 222222()()z x y y x y ∂-=∂+，2222()z yx y x y ∂=-∂∂+； 11-2.e sin e cos 1u u z z u z vv y v x u x v x∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂ e [sin()cos()]xy y x y x y =+++， e sin e cos 1u u z z u z v v x v y u y v y ∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂e [sin()cos()]xy x x y x y =+++； 11-3.zx∂∂ 2242sin 42e (cos sin )x y y xx y x x ++=+，zy∂∂2242sin 222e (12sin )x y y xy y x ++=+.12.求下列函数的全微分：12-1.22ln(1)z x y =++在1x =，2y =处的全微分；12-2.设(,)z z x y =是由方程222z x y z ye ++=所确定的隐函数，求dz ； 12-3.设y z x u x y z =，求du . 解 12-1.因为d z =221(2d 2d )1x x y y x y +++所以 12112d (2d 4d )d d 633x y z x y x y ===+=+. 12-2.由2d 2d 2d d d zzx x y y z z e y ye z ++=+，得 22d d d 22zzz x y e z x y ye z ye z-=+--； 12-3.由ln ln ln ln u y x z y x z =++知，d u ln d ln d ln d y z x y z x x y z z x x y y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 13. 设2,,x s f x xyz y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求s x ∂∂，s y ∂∂，sz ∂∂.解 令2u x =，xv y=，, w xyz = 则函数关系示意图如图8.4-5，于是12u v ws s u s v s w xf f yzf x u x v x w x y∂∂∂∂∂∂∂'''=++=++∂∂∂∂∂∂∂， 2v ws s v s w xf xzf y v y w y y∂∂∂∂∂''=+=-+∂∂∂∂∂， ws s wxyf z w z∂∂∂'==∂∂∂. 其中u f '，v f '，wf '分别表示函数对第一、第二、第三个中间变量求偏导数. 14. 设222,x z f x xy y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且f 具有一阶连续偏导数，求zx ∂∂与z y ∂∂.解1212()z x y f f x y ∂''=-+∂，1222()z x x y f f y y ⎡⎤∂''=-++⎢⎥∂⎣⎦.其中1f '，2f '分别表示函数对第一、第二个中间变量求偏导数.15.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解 2220.u ux y x x y∂∂+=∂∂∂16.求空间曲线2x t =，1y t =-，3z t =在(1,0,1)处的切线与法平面. 解 切线方程为11213x y z --==-. 法平面方程为2(1)3(1)0x y z --+-=，即 2350x y z -+-=.17. 求曲面222327x y z +-=在点(3,1,1)处的切平面方程和法线方程. 解 切平面方程为9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9270x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 18. 设从x 轴的正向到l 的转角为θ，求函数22u x xy y =-+在点(1,1)M 处沿l 方向的方向导数(1,1)ul∂∂，并问θ取何值时，方向导数(1,1)u l∂∂：(1)具有最大值；(2)具有最小值；(3)等于零.解 故(1)当π4θ=时，u l ∂∂(2)当5π4θ=时，u l∂∂取得最小值图8.4-5(3)当3π4θ=或7π4θ=时，0.ul∂=∂ 19．在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大. 解 设圆锥的底半径为R ，高为h ，以底面圆心为坐标原点，底面圆心到顶点射线方向为z 轴正方向，建立坐标系，则圆锥的表面方程为z h -=， 长方体的体积则为224.V x y z xyz =⨯⨯=3x y R==，13z h =，此时，2max 827V R h =. 20.求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数.解z l a b ⎛⎫⎛⎫∂=--=∂⎝⎝.第8章复习题B 解答1.求极限222(,)(,)limx x y xy x y →+∞+∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 解222(,)(,)lim0x x y xy x y →+∞+∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 2.设2242424,0,(,)0,0.xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证明函数(,)f x y 在(0,0)处偏导数存在，但不连续. 证 略.3.设22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=+=⎩试证明(,)f x y 在(0,0)处连续且偏导数存在，但不可微分. 证 略.4.设arctanxz y=，x u v =+，y u v =-，求z u ∂∂，z v ∂∂，并验证：22z z u vu v u v∂∂-+=∂∂+. 解 略.5.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .解 (0,0,1)2xx f =，(2,0,1)4xy f =，(1,0,2)2xz f =，(0,1,0)0yz f -=，(2,0,1)0zz f =.6.设arcsin(0)xz y y=>，求dz.解21d d d x z x y y y ⎫=-⎪⎭7.设yzu x =，求du. 解 ()1d dl n d l n dyz u x yz x xz x y xyx z -=++ 8.设arctany x =，求d d yx. 解d d y x yx x y+=- 9.设0ze xyz -=，求22zx∂∂.解 ()223223222z z z z y ze xy z y z e x e xy ∂--=∂- 10．设(,)f x y 具有连续偏导数，且当0x ≠时有2(,)1f x x =，2(,)x f x x x '=，求2(,)y f x x '.解 21(,)2y f x x '=-.11.设,sin ,sin u v x y u x v y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩确定函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，求d u ，d v .解 ()s i nc o s (s i n c o s )c o s c o sv x v d x u x v d y du x v y u +--=+，()c o s s i n (s i n c o s )c o s c o sy u v d x u y u d y dv x v y u -++=+.12.（0a >，为常数）上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和为a .提示：设(,,)F x y z =13.求函数u x y z =++在球面2221x y z ++=上点000(,,)x y z 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数. 解000(,,)x y z ul ∂=∂14.在椭球面2222221x y z ++=上求一点，使得函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数具有最大值.解 点11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭15.证明：函数(1)cos yyz e x ye =+-有无穷多个极大值，但无极小值.第八章测试题一解答（1小时30分）一、填空题：（12分，每小题6分）1-1.设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定，则3z z x y ∂∂+∂∂= . 2； 1-2.函数z 在点(0,0)O 处沿l =e i 方向的方向导数(0,0)f l∂∂= ，而偏导数(0,0)zx ∂∂ . 答案：1；不存在. 二、选择题：（15分，每小题5分）2-1. (,)f x y 在点00(,)x y 连续是(,)f x y 在该点可微分的 条件. B. A.充分； B.必要； C. 充分必要； D.非充分且非必要.2-2. 下面叙述正确的是 . C.A. 函数(,)z f x y =在区域D 内的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂存在，则这两个二阶混合偏导数在D 内相等；B. (,)z f x y =在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的充分必要条件；C. (,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的必要条件；D. (,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数z x ∂∂及z y∂∂存在是(,)f x y 在该点可微分的充分条件.2-3.函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在在点（0，0）处（ ）. A .A .不连续、偏导数存在； B.连续且偏导数存在；C. 连续、偏导数不存在；D.不连续、偏导数不存在. 三、计算题：（56分每小题8分）3-1.讨论下列极限：(,)(0,0)limx y x yx y →+-；解 极限不存在.3-2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . (,1)()1x f x x '==.3-3.求全微分：2222s t u s t +=-()()()22222222222444d d d (d d )st s tstu s t t s s t ststst=-+=-----3-4.设arccos()z u v =-，而34u x =，3v x =，求d d zx. 解2314x -=3-5.设(,)z z x y =是由方程2cos sin 0z x z y --=所确定的隐函数，求2zx y∂∂∂.解 232(sin cos )z xy x y z x z ∂=-∂∂+3-6.求曲面arctan y z x =在点1,1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切平面方程. 解 切平面方程为202x y z π-+-=. 法线方程为 114112z x y π---==-. 3-7.求函数22ln()z x y =+在点(1,1)处沿与x 轴正向夹角为60的方向的方向导数. 解(1,2)11112222z l ∂=⋅+⋅=+∂. 四.在平面0x z +=上求一点，使它到点(1,1,1)A 和(2,3,1)B -的距离平方和最小（用拉格朗日乘数法）（10分）.解 设所求点为(,,)x y z ，则此点到点(1,1,1)A 和(2,3,1)B -的距离平方和为222222(1)(1)(1)(2)(3)(1)u x y z x y z =-+-+-+-+-++3,42,34x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，故所求点为33,2,44⎛⎫- ⎪⎝⎭.五. （7分） 设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，试证：2220u ux y x x y∂∂+=∂∂∂.证明略.第八章测试题二解答1.求函数z =的定义域.解 22{(,)|2}D x y x x y x =≤+<. 2.设xz xy y=+，其中()x t ϕ=，()y t ψ=均可微，求d d z t .解2d d d 1d d d z z x z y x y x t x t y t y y ϕψ⎛⎫⎛⎫∂∂''=⋅+⋅=++- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 3. 设函数()y y x =由(cos )(sin )1y xx y +=确定，求d d yx. 解 (cos )tan (sin )ln sin (cos )ln cos (sin )cot y x y xx y x y yy x x y x y-'=+. 4.设(,)u v ϕ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz ϕ--=所确定的函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 证 略.5.求函数u xyz =在点(1,1,1)沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ=的方向导数，u grad 的值，及u grad 的方向余弦.解 u ==grad ，u grad的三个方向余弦为cos α=，cos β=，cos γ=.6.求螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩在点(,0,0)a 处的切线及法平面方程.解 切线方程为0x a y za b-==， 即 ,0.x a by az =⎧⎨-=⎩法平面方程为 (0)(0)0a y b z -+-=， 即 0ay bz +=.7. 4.求曲面2222321x y z ++=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程. 解 切平面方程为 21462x y z ++=±.。

多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

湖南理工学院《高等数学》单元测试试卷(B 卷)一、选择 （1小题，共3分）1．方程xyz2224+=表示的是A 、 锥面B 、 椭球面C 、双曲面D 、双曲线二、填空 （6小题，共19分）1．向量{}a =-725,,在向量{}b =221,,上的投影等于_______。

2．x 轴上与点A(4，4，－7)和点B(－1，8，6)等距离的点是______ 。

3．xoy 面第一象限的分角线上与点A(－6，6，1)和点B(5，－4，6)等距离的点是 ______ 。

4．设{}{}a b =--=-3121213,,,,,，则()()5375a b a b -⨯-= _____ 。

5．设 a =2,=2，且a b ⋅=2⨯= _____ 。

6．设 a =1, a a b ⨯=⋅=31,= _____ 。

三、计算 （17小题，共78分）1．设质量为m 1的质点位于点A (,,)001，质量为m 2的质点位于点P x y z (,,)，求质点A 对质点P 的万有引力的坐标表达式。

2．设ABCD 是空间四边形，各边中点依次为M N P Q ,,,，证明M N PQ →→→+=03．(1)证明向量A i j kB i j kC i j k =+-=-++=--3234426,,能构成一三角形的各边；(2)求该三角形各中线的长度。

4．设向量 p 的方向角αβγ,,适合αβγα==,2，求 p 0。

5．设长方体三条棱长为O AO B O C ===534,,，O M 为对角线，求O A O B O C ,,分别在O M 上的投影。

6．P x y z i i i i i (,,)(,,)=123为不共线的三点，试求点A ，B 的坐标，使四边形P P AP 123及P BP P 123为两个平行四边形。

7．设P x y z i i i i (,,)()i =123,,为空间三点，P 1关于P 2的对称点为M，M 关于P 3的对称点为Q ，求Q 点的坐标。

高数下8章考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数y=x^3-3x+1在x=0处的导数是（）。

A. 1B. -1C. 3D. -3答案：A2. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. x * e^x + CD. ln(e^x) + C答案：A3. 曲线y=x^2+2x+1在x=1处的切线斜率是（）。

A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B4. 函数y=ln(x)的二阶导数是（）。

A. 1/x^2B. -1/x^2C. 1/xD. -1/x答案：B5. 函数y=sin(x)的不定积分是（）。

A. cos(x) + CB. sin(x) + CC. -cos(x) + CD. -sin(x) + C答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数y=x^2+3x+2的极小值点是x=______。

答案：-1.52. 函数y=x^3-3x^2+2x的拐点是x=______。

答案：13. 函数y=e^x的二阶导数是______。

答案：e^x4. 函数y=ln(x)的不定积分是______。

答案：x*ln(x) - x + C5. 函数y=cos(x)的不定积分是______。

答案：sin(x) + C三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数y=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在x=1处的二阶导数。

答案：y'' = 12x^2 - 24x + 12，y''(1) = 12(1)^2 - 24(1) + 12 = 02. 求函数y=x^2+3x+2在x=0到x=2的定积分。

答案：∫(x^2+3x+2)dx fr om 0 to 2 = (1/3x^3 + 3/2x^2 + 2x)from 0 to 2 = (8/3 + 6 + 4) - 0 = 26/3四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数y=x^3-3x+1在x=0处取得极小值。

习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设11D I σ=其中1{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥；又22D I σ=其中222{(,)1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面z =1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面z =2Ω的体积．由于当0,1x y ≤≤时，12()()S D S D <且12D D ⊂，位于1D 上方的曲面z 始终不低于曲面z =12I I <．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。

⾼等数学典型习题及参考答案第⼋章典型习题⼀、填空题、选择题1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离是2、平⾏于向量}1,2,1{a -=?的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为且与平⾯过点=--+-z y x4、.xoz y z y x :⾯上的投影柱⾯⽅程是在曲线??==++Γ2102225、()==-=+=+=-δλδλ则平⾏与设直线,z y x :l z y x :l 1111212121()23A ()12B ()32C ()21D6、已知k 2j i 2a +-=,k 5j 4i 3b ?-+=,则与b a 3??-平⾏的单位向量为 ( )（A ）}11,7,3{（B ）}11,7,3{- （C ）}11,7,3{1291-±（D ）}11,7,3{1791-± 7、曲线==++2z 9z y x 222在xoy 平⾯上投影曲线的⽅程为（）（A ）==+2z 5y x 22 （B ）==++0z 9z y x 222（C ）==+0z 5y x 22 （D ）5y x 22=+8、设平⾯的⼀般式⽅程为0A =+++D Cz By x ，当0==D A 时，该平⾯必( ) (A)平⾏于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9、设空间三直线的⽅程分别为251214:1+=+=+z y x L ，67313:2+=+=z y x L ，41312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L10、设平⾯的⼀般式⽅程为0=+++D Cz By Ax ，当0==B A 时，该平⾯必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy ⾯(D) 平⾏于xoy ⾯11、⽅程05z 3y 3x 222=-+所表⽰的曲⾯是（）（A ）椭圆抛物⾯（B ）椭球⾯（C ）旋转曲⾯（D ）单叶双曲⾯⼆、解答题1、设⼀平⾯垂直于平⾯0=z ，并通过从点)1,1,1(-P 到直线??=+-=010z y x 的垂线，求该平⾯⽅程。

高等数学院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型总 分题 分 20 20 20 20 20 核分人 得 分 复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、曲线⎩⎨⎧-=--=--20222z y x z y x 在点(,,)011-处的法平面方程为 （A ）x y z ++=0（B ）x y +=0 （C ）20x y z ++= （D ）y z +=0答：（ ）2、设z x x y =++()1，则∂∂zx(.)11=(A) 1+ln2 (B) 4(1+ln2) (C) 4 (D) 8答：( )3、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在点 P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（A ）点 P 0是函数z 的极大值点 （B ）点 P 0是函数 z 的极小值点 （C ）点 P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定答：（）4、曲线x t y t z t t =+=-=-+53734342,,在对应于 t =12点处的切线与 zx平面的夹角为（A ）arcsin23（B ）arcsin13 （C ）arccos 23（D ）arccos 13答：（ ）5、函数f x y x y xx x (,)arctan =≠=⎧⎨⎪⎩⎪00不连续的点集为______。

(A) y 轴上的所有点 (B) x y =≥00,的点集 (C) 空集 (D) x y =≤00,的点集答（ ）6、曲面x y z x y z ln()+++-=233202在点(,,)-1012处的法线方程为 （A ）x z +=-=⎧⎨⎪⎩⎪10120（B ）⎩⎨⎧==+001y x（C ）⎪⎩⎪⎨⎧=-=0210z y （D ）x y z +==-112答：（ ）7、设f x y yx(,)arcsin =，则f x '(,)21= （A ）-14； （B ）14； （C ）-12； （D ）12。

第八章复习题一、下列情形中的向量终点各构成什么图形？1、把空间中一切单位向量归结到共同的起点；2、把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的起点；3、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的起点；4、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的起点.二、要使下列各式成立，向量,应满足什么条件？1、-=+2、+=+3、-=+4、+=- 5-=-三、试解下列各题．1、化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．2、 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．四、已知向量, , 的分量如下：1、＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，c ＝{1, 2, －1}；2、 ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，c ＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将表成，b 的线性组合？若能表示，写出表示式.五、证明：1、向量a垂直于向量b c a c b a )()(- ；2、在平面上如 果1m 2m ，且⋅a i m＝b ⋅i m (i=1,2)，则有=b .六、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。

七、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？1、6416222=++z y x ；2、64164222=-+z y x ；3、64164222=--z y x ；4、z y x 16922=+八、求下列各平面的方程：1、通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于向量}2,0,1{-的平面2、通过点)1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面；3、已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。

求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ∆平面垂直的平面。

第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。

i.判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、冇界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：⑴｛g）|20｝；⑵｛（心）| 1<X2+/<4｝；⑷{(x,y) I (x - I)2 + b G} U {(w) I(X + I)2 + 尸5 1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R2,边界：{(x,y)|尸0}.(2)既非开集乂非闭集，有界集，聚点集：{(x』)|l Wx\y2w4},边界：{(x,叨F+b=l} U {(x』)| xV=4}.(3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x』)[yWF}, 边界：{(¥』)|尸<}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其木身，边界:{(X^)|(X-1)24-/=1 } U {(x,y)|(x4-l)2+y=l}.2.己知f (x,y)= x2+y~-xy tan —,试求f(tx,ty).y解:f(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2-tx-tytan— = t2f(x,y).3•已知/(u,v,w)= w u + 卜严' ,试求f(x + y,x-y,xy).解：Xx+y, x-y, xy）=（巧严+（砂严’心'=（x+）泸'+（初）4•求下列各函数的定义域：(l)z= ln(y2-2x+l)；(4) w = —j= 4- —j= + —j=；yjx y]y yjzz - \n(y一x) +u = arccos解：(l)n = {(x,y)|/-2x + l>0}.(2)Z) = {(x,jO|x + y〉0,x-y >0}.(3)D = {(x,y)\4x-y2>0,\-x2-y2>0,x2+y2 ^0}.(4) D = {(x』,z) | x > 0,y > 0,z > 0}.(5) D = {(x,y)ix>0,y> 0, x2 > y}.(6)Z) = {(x』)| y-x > 0,x > 0,x2+y2 < 1}.⑺D = {(x,y,z)|/ + 尸工0,兀? + 尹2 _么2 J。

《高等数学(下册)》第八章练习题一、填空题1.________________ )sin(==dz xy z 则，设 2.设),cos(2y x z =，则=∂∂)2,1(πxz3.函数22)(6y x y x z ---=的极值点为4.设xy e z =，则=dz5.设y zln z x =，则=∂zxz 二、选择题)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) (33) ( 12233，，，，的极小值点为，函数、y x y x y x f --+=2、),(y x f 在点),(00y x 处偏导数),(),(0000y x f y x f y x''、存在是),(y x f 在该点连续的( ).(a)充分条件， (b)必要条件， (c)充要条件， (d)既非充分条件又非必要条件。

3、设)2ln(),(xy x y x f +=，则＝（）)1,1(-'x f . （A ），31 （B ），31- （C ），65 （D ）.65-三、计算题方程。

处的切线方程与法平面，，在点求曲线、)1 2 1(2 132⎩⎨⎧==x z x y 2、设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x F 确定的隐函数，F 具有一阶连续偏导数，且,0≠'+'v u F F 其中,,z y v z x u -=-=求.,yz x z ∂∂∂∂ 3、求曲面3222-=+-z xz y x 在点)1,2,1(处的切平面及法线方程。

4、设,222z y xe u ++=而y x z sin 2=,求xu ∂∂. 5、求曲线t z e y e x t t ===-,,,对应于0=t 点处的切线和法平面方程。

6、求函数)4(2y x y x z --=在闭域4,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值及最小值。

7、设2cos 2=z (y x 21-),求xz∂∂和y z ∂∂. 8、yf x f e y x f xy ∂∂∂∂=) ,( 3，，求设 9、的极大值或极小值求函数 3) ,( 22x y xy x y x f ++-=10、dz y x z xy v y x u v u x f z 的全微分对求复合函数设, ,,2),,,(=+== 11、yz x z xy x y z ∂∂∂∂=和求设 ),cos( 12、处的切平面和法线方程上点求曲面)1,2,1(823222--=+z xz y yz xyz f y z xy f y xz y x z z ∂∂++==求有连续的一阶偏导，所确定，其中由方程函数、 ),(sin ),( 13四、综合应用题1.在平面xoy 上求一点），（y x M ，使它到三条直线，，00==y x 01=++y x 的距离平方和为最小，并求其最小值。

高等数学第八章习题一 选择填空1 已知X={偏导数存在的函数类}, Y={偏导数存在且连续的函数类},Z={可微函数类}, 则 ( ) (A) Z Y X ⊃⊃ (B) Z X Y ⊃⊃ (C) Y Z X ⊃⊃ (D) X Y Z ⊃⊃2 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=00)(222222y x y x y x xy x f ,在)0,0(点下列叙述正确的是( )(A)连续但偏导不存在 (B) 连续偏导也存在(C)不连续偏导也不存在 (D)不连续但偏导存在3 曲线32,,t z t y t x =−==的所有切线中与平面42=++z y x 平行的切线有( )条.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4 曲面)sin(sin sin y x y x z +=上点)43,3,6(ππ处的法线与xoy 面夹角的正弦值为（ ） （A ）13262 （B ）26263 （C ）1313 （D ）2615 函数),(y x f 在),(y x P 点沿向量________=→e 的方向导数为yf −。

（A ）{0,-1} (B) {-1,0} (C) {1,0} (D) {0,1}6 ）在（0,0),(y x y x f z =的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又),(00y x 是驻点，令,),(),(),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===、、则),(y x f 在）（00,y x 处取得极值的条件为（A）042>−AC B (B) 042=−AC B (C) 042<−AC B (D) C B A 、、任何关系。

7 梯度与方向导数的关系为：梯度的方向是方向导数取得______的方向，梯度的模是方向导数的最大值(A) 极大值 (B) 最小值 (C) 最大值 (D)极小值 8 二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是____(A) 0=x f 且0=y f (B) xy f 连续 (C) yx f 连续 (D)xy f 与yx f 都连续 二 填空1 已知2),(x xy y x y x f +=−+，则_____________________),(=y x f2 空间曲线⎩⎨⎧==++y x z y x 9222的参数方程为______________________3 已知向量AB 的终点是()7,1,2−，它在z y x ,,轴上的投影依次为7,4,4−。

第八章 多元函数微分法及其应用§8.1多元函数的基本概念一. 基本作业题1. 求下列函数的定义域：（1）)84ln(2+-=x y z ; （2）222arcsin 1yx z --=。

解：定义域为 解：定义域为8408422->>+-x y x y 即。

211202222<+≤≤--<y x y x 即。

2. 求下列极限（1）xy xy y x 11lim 00+-→→ ； （2）401)ln(lim y x e x y y x ++→→；解： 解：21)11(lim11lim 0000=++=+-→→→→xy xy xy xy xy y x y x23ln lim )ln(lim )ln(lim420242=++=++→→→→→→y x e x y x e x y x y y x y y x（3）xy x xy 10)1(lim +→→ ； （4）22)()sin(lim222200y x y x ey x y x +→→++。

解： 解：1])1[(lim )1(lim 0100100==+=+→→→→e xy xy yxyy x xy x11lim )()sin(lim)()sin(lim222200222200222200=++=+++→→→→+→→y x y x y x y xy x ey x y x e y x y x3. 证明极限44200lim y x yx y x +→→ 不存在。

证明：取路径，则趋于)0,0(2ky x =：=+→→44200lim y x y x y x k y y k ky y x 1lim 422200=+→→极限值随k 变化，故极限不存在。

§8.2 偏导数一．基本作业题 1．求下列函数的偏导数yz x z ∂∂∂∂,。

（1）323y x y x z -= ； （2）)sin(xy z =；223323;23y x x y z xy y x x z -=∂∂-=∂∂ )sin(2)cos(xy xy y x z =∂∂,)sin(2)cos(xy xy x y z =∂∂ （3）xy z cot ln = ； （4）yxe z arctan =；;csc tan 22x y x y x y x z =∂∂ y e exz yx yx1112+=∂∂ ；2211y x eeyz yx yx +-=∂∂ xy x y x y z 2csc tan 1-=∂∂ (5) )4,3(,),(22x f y x y x y x f 求+-+=。

高一数学下册第八章立体几何初步同步单元卷-2020-2021年人教版必修第二册一、单选题1．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）A ．一个六棱柱中挖去一个棱柱B ．一个六棱柱中挖去一个棱锥C ．一个六棱柱中挖去一个圆柱D ．一个六棱柱中挖去一个圆台2．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60︒，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A ．2π B ．π C ．2π D ．3π3．已知直角梯形OABC 上下两底分别为分别为2和4，高为22，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）A ．62B ．32C ．3D ．64．圆台上､下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上､下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为（ ）A ．60πB ．61πC ．62πD ．63π5．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，//m nB ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D ．若m α⊂，n β⊥，//αβ，则m n ⊥6．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在PA 上，AP ＝λAF ，PC //平面BEF ，则λ的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3 7．如图所示的三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，π2ABC ∠=，若PA a =，AB c =，10PB =，27BC =，当ac 取最大值时，点A 到平面PBC 的距离为（ ）A 578B ．5226C ．52D ．58．在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是面积为33P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，且点O 恰好在平面ABC 内，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）A 3B ．3C ．43D ．3二、多选题9．在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽203厘米，关于此斗笠，下列说法正确的是（ ）A ．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120︒B ．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1003平方厘米C ．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600π平方厘米D ．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为20330-厘米 10．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n B ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥ C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ D ．若m α⊂，n β⊥，则m n ⊥ 11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）A ．三棱锥1A D PC -的体积是16B ．//DP 平面11AB DC ．平面1PBD 与平面1ACD 所成的二面角为60︒D ．异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．已知三棱锥A BCD -的各顶点都在球O 上，点,M N 分别是,AC CD 的中点，AB ⊥平面BCD ，224CD AB BC ===，26AD =，则下列结论正确的是（ ） A ．CD ⊥平面ABCB ．球O 的体积是86πC ．直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值是55 D ．平面BMN 被球O 所截的截面面积是14π3三、填空题13．用一个平面去截一个多面体，如果截面是三角形，则这个多面体可能是__________. 14．已知四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，当平行四边形ABCD 满足条件___________时，有PC BD ⊥(填上你认为正确的一个条件即可).15．已知平面//α平面β，A ，C α∈，B ，D β∈，线段AB 与线段CD 交于点S ，若18AS =，27BS =，34CD =，则CS =___________.16．如图，已知六棱锥P -ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是________．(填序号)①PB ⊥AD ；②平面PAB ⊥平面PBC ；③直线BC //平面PAE ；④直线PD 与平面ABC 所成的角为45°．四、解答题17．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是矩形．（1）设M 为OA 上靠近A 的三等分点，N 为BC 上靠近B 的三等分点．求证：//MN 平面OCD ．（2）设E 是OD 上靠近点D 的一个三等分点，试问：在OD 上是否存在一点F ，使//BF 平面ACE 成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90,30ABC BAC ∠=︒∠=︒，11A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11AB 的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值；（3）求二面角1A A C B --的正弦值19．已知四边形,2,60,30ABCD AB AD BAD BCD ==∠=∠=．现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，AD CD ⊥．点P 为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）求证：BP ⊥平面ACD ；（2）若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值．20．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ，说明理由．21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．（1）求证：BM //平面PAD ．（2）平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．22．如图所示，已知三棱锥P ABC -，90ACB ∠=，4CB =，20AB =，D 为AB 的中点，且PDB △是正三角形，PA PC ⊥．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角D AP C --的正弦值；（3）若点M 为PB 的中点，求三棱锥M BCD -的体积．参考答案 1．C 螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C 表述准确.2．D如图，设圆锥母线长为l ，底面圆半径为r ，圆锥的侧面展开图的圆心角为α， 圆锥的母线与其轴所成的角为60︒，∴在Rt AOB 中，3sin 602r l ==. 则在圆锥的侧面展开图扇形中，由2r l πα=，得23232r l παππ==⨯=. 故选：D.3．C如图所示，实线表示直观图，122OC OC =='. 4AOC π∠'=, 4,2OA B C ''==,∴直观图的面积为242sin 324π+=, 故选：C.4．B由题意球的半径为5，圆台的下底面的圆的半径为5,即圆台下底面为球的大圆. 所以圆台的下底面圆的圆心O 即为球心. 如图,圆台的高为22543h =-=所以圆台的体积为()()222211345456133V h r R rR πππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯++⨯= 故选：B5．B对于选项A 中，因为//αβ，n β⊥，所以n α⊥，又因为m α⊥，所以由垂直于同一平面的两条直线平行可知//m n ，选项A 正确；对于选项B 中，当//m α，αβ⊥时，直线m 与平面β的位置关系不定，选项B 错误； 对于选项C 中，当m α⊥，n β⊥，m n ⊥时，易得αβ⊥，选项C 正确；对于选项D 中，当n β⊥，//αβ时，n α⊥，因为m α⊂，所以m n ⊥，选项D 正确. 6．D设AO 交BE 于点G ，连接FG ．∵O ，E 分别是BD ，AD 的中点， ∴23AG AO =，则有13AG AC =， ∵PC ∥平面BEF ，平面BEF ∩平面PAC ＝GF ， ∴GF ∥PC ，则13AF AG AP AC ==，即λ＝3． 7．D解：PA ⊥平面ABC ，PA AB ∴⊥，又PA a =，AB c =，10PB =，222101002a c ac ∴+==≥，50ac ∴≤（当且仅当52a c ==时等号成立），所以当ac 取最大值时，52a c ==，PA ⊥平面ABC ，PA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =，BC ∴⊥平面PAB ，BC PB ∴⊥，设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=， 即1133PBC ABC S h S PA ⋅=⋅，即111110275227523232h ⋅⋅⋅=⋅⋅， 所以5h =，即是点A 到平面PBC 的距离为5. 8．B【分析】由底面ABC 是面积为33ABC 的边长为3 因为三棱锥P ABC -外接球的球心O 恰好在平面ABC 内，因为三角形ABC 的外接圆半径为2322sin 60=⨯， 所以球O 的半径为2， 所以当PO ⊥平面ABC 时，三棱锥P ABC -体积的最大.所以三棱锥P ABC -体积的最大值为13322 3.3⨯⨯=故选：B9．ACD对A 选项，设顶角为θ，则1033sin2202θ==，得602θ=︒，所以顶角为120θ，A 正确；对B 选项，因为顶角为120θ，则截面三角形的最大面积为2120sin 902002⨯︒=平方厘米，B 错误；对C 选项，因为顶角为120θ，则602θ=︒，所以外接球半径等于圆锥母线长，即20R =则该球的表面积为241600R ππ=平方厘米，C 正确；对D 选项，设球的最大半径为r ，因为顶角为120︒，则15OCD ∠=︒，所以 tan 45tan 30tan151031tan 4520330tan 30r CD ︒-︒=⋅︒=⋅=+︒⋅-︒，D 正确．10．ACD对于选项A ，因为//αβ，所以当n β⊥时，n α⊥，由垂直于同一平面的两条直线平行可知，选项A 正确；对于选项B ，当//m α，αβ⊥时，直线m 与平面β的位置关系不确定，所以选项B 错误；对于选项C ，当m α⊥，n β⊥，m n ⊥时，可以得到αβ⊥，所以选项C 正确；对于选项D ，当n β⊥，//αβ时，n α⊥，因为m α⊂，所以m n ⊥，所以m n ⊥，所以选项D 正确. 11．AB 对于A ： 因为C 到平面1AD P 的距离不变，为1CB 的一半，等于22， 1AD P △的面积不变，且1111221222AD P S AD AB =⨯⨯=⨯⨯= 所以三棱锥1C AD P -的体积不变，根据等体积法可得111121326A D PC C AD P AD P V V S --==⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：连接DB ，DP ，111,AB B D ，因为正方体1111ABCD A BCD -，所以11//,BD B D BD ⊂平面DBP ，11B D ⊄平面DBP ，所以11//B D 平面DBP ，同理1//AD 平面DBP ，1111B D AD D ⋂=，所以平面11AD B ∕∕平面DBP ，又DP ⊂平面DBP ，所以//DP 平面11AB D ，故B 正确.对于C ：因为AC BD ⊥，11,BB AC BB BD B ⊥=， 所以AC ⊥平面1BDB ，所以1AC DB ⊥，同理111,AD DB AD AC A ⊥=，所以1DB ⊥平面1ACD ，所以平面1PB D ⊥平面1ACD ，故C 错误；对于D ：因为11//AD BC ，所以异面直线1A P 与1AD 所成角等于1A P 与1BC 所成的角，因为111A B AC =，当P 与1BC 两端点重合时，1A P 与1BC 所成的角最小，且为3π， 当P 位于1BC 中点时，1A P 与1BC 所成角最大，且为2π， 所以异面直线1A P 与1AD 所成角的范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 12．ABD 对于选项A ，因为AB ⊥平面BCD ，所以,AB BD AB CD ⊥⊥，由224CD AB BC ===，AD =BD =222BC CD BD +=，所以BC CD ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，故A 正确；对于选项B ，AD 是Rt △ABD 和Rt ACD △的公共斜边，所以AD 中点即三棱锥A BCD -外接球的球心O ，所以球O 的半径为R =，故球O 的体积为34π3V =⨯=，故B 正确； 对于选项C ，因为CD ⊥平面ABC ，所以CBD ∠即直线BD 与平面ABC 所成的角，所以sin CBD ∠==，故C 错误； 对于选项D ，设点O 到平面BMN 的距离为h ，平面BMN 被球O 所截的截面圆的半径为r ，因为MN 是ACD △的中位线，所以点O 到平面BMN 的距离等于点C 到平面BMN的距离，故O BMN C BMN V V --=N BCM V -=，易求得BM MN BN ===所以BMN S =△1112332h =⨯，解得3h =，所以222143r R h =-=，所以截面圆的面积为214ππ3S r ==，故D 正确. 13．棱柱、棱台、棱柱根据空间几何体的几何特征，把棱柱、棱台、棱柱截去一个角（和三条棱相交）截面均为三角形， 旋转体中圆锥的轴截面也为三角形，故这个多面体可能是：棱柱、棱台、棱柱.故答案为：棱柱、棱台、棱柱.14．四边形ABCD 是菱形四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，BD PA ∴⊥，当四边形ABCD 是菱形时，BD AC ⊥，又PA AC A =，BD ∴⊥平面PAC ，PC BD ∴⊥.故答案为：四边形ABCD 是菱形.15．685或68①如图，若S 点位于平面α与平面β之间，根据平面平行的性质定理，得，//AC BD ， ∴AS CS BS DS =， 即34AS CS BS CS =-，685CS ∴=.②如图，若S 点位于平面α与平面β外，根据平面平行的性质，得BA DC AS CS=， 68CS ∴= 故答案为：685或68. 16．④ PB 在底面的射影为AB ，AB 与AD 不垂直，所以AD 与PB 不垂直，排除①． BD ⊥AB ，BD ⊥PA ，PA AB A =，即BD ⊥平面PAB ． BD 在平面PBD 内，平面PAB ⊥平面PBD ，所以平面PAB 与平面PBC 不垂直，排除②．由图可知BC 与AE 不平行，若BC 与平面PAE 平行则BC // AE ，故排除③． PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，AD ＝2AB ＝PA ，则∠PDA ＝45°，故填④． 故答案为：④.17（1）如图，取AD 上靠近A 的三等分点G ，连接MG NG ，，AOD △中，:1:2:=1:2AM MO AG GD =，， 则//MG OD ，又MG ⊄平面OCD ，OD ⊂平面OCD ，//MG ∴平面OCD ，同理，//NG 平面OCD ，又=MG NG G ⋂， ∴平面//MNG 平面OCD ，又MN ⊂平面MNG ，∴//MN 平面OCD ．（2）存在OE 中点F ，使//BF 平面ACE 成立．取OE 中点F ，连BF BD ，，使=BD AC P ⋂，连PE ．ABCD 是矩形，P ∴是BD 的中点， 又E 是OD 上靠近点D 的一个三等分点，且F 是OE 中点，E ∴是FD 的中点， BDF ∴中，//PE BF ，又PE ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，//BF ∴平面ACE ，故在OD 上是存在OE 中点F ，使//BF 平面ACE 成立．18．证明：（1）连接1A E ，11A A AC =，E 是AC 的中点，1AE AC ∴⊥， 又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ⊂平面11A ACC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =， 1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥，1//A F AB ，90ABC ∠=︒，1BC A F ∴⊥，111A F A E A =，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥.（2）取BC 中点G ，连接EG ､GF ，则1EGFA 是平行四边形，由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形， 由（1）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，连接1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角(或其补角)， 不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，123A E =3EG =，O 是1A G 的中点，故11522A G EO OG ===，2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==⨯⨯， ∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为35.（3）过点B 作BH AC ⊥于H ，连接AH ，因为平面11A ACC ⊥平面ABC ，所以BH ⊥平面11A ACC ，所以1A BC 在平面11A ACC 的射影是1A HC △，设二面角1A A C B --为ϕ，由图示知ϕ为锐角， 在ABC 中，90,30ABC BAC ∠=︒∠=︒，设112A A A C AC ===，所以1BC =，12CH =， 在1A BC 中，12A B AC ==，11211352522cos ,sin 1cos 55115122A HCA BC SS ϕϕϕ⨯⨯∴====-=⨯⨯． 所以二面角1A A C B --的正弦值为255．19．()1,60AB AD BAD =∠=︒，ABD ∴为等边三角形，P 为AD 中点．,BP AD ∴⊥取BD 中点E ﹐连接,AE 则AE BD ⊥，平面ABD ⊥平面,BCD 平面ABD ⋂平面,BCD BD =AE ∴⊥平面,BCD ,AE CD ∴⊥又,CD AD AD AE A ⊥⋂=，CD 平面,ABDBP ⊂平面,ABD ,CD BP ∴⊥又,CD AD D ⋂=且,BP AD ⊥BP ∴⊥平面ACD .()2由()1可知CD BD ⊥，30BCD ∠=，所以3,4DC BC ==，作PH BD ⊥于H ，连接BM ，因为AE ⊥平面,BCD 所以PH ⊥平面,BCD 又点P 为线段的中点，所以1322PH AE ==，又M 为CD 的中点，所以12332BCM S =⨯=，所以11313332P BCM BCM V PH S -=⨯⨯==， 在PBC 中，3,4,13BP BC PC ===222+BC BP PC =，所以BP PC ⊥，所以1391332BCP S == 设点M 到面PCB 的距离为h ，P BCM M BCP V V --=，所以139132P BCM M BCP V V h --==⨯=，解得39h = 又()22132PM =+=，设MP 与平面BPC 所成角为θ，所以393913sin 226θ==， 所以MP 与平面BPC 39． 20．（1）∵平面CMD ⊥平面ABCD ，平面MDC ⋂平面ABCD CD =， BC CD ⊥，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面CMD ，DM ⊂平面CMD ，∴BC DM ⊥，∵CD 为直径，∴CM DM ⊥，BCCM C =，,BC CM ⊂平面BMC ，∴DM ⊥平面BMC ，DM ⊂平面AMD ，∴平面AMD ⊥平面BMC ；（2）存在．当P 为AM 中点时，//MC 平面PBD ，证明如下：连AC ，BD ，AC BD O =，∵ABCD 为正方形，∴O 为AC 中点，连接OP ，P 为AM 中点，∴//MC OP ，∵MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，∴//MC 平面PBD ．21．（1）证明：取PD 的中点E ，连接EM ，AE ，则有//EM CD 且12EM CD =，而//AB CD 且12AB CD =，∴//AB EM ，AB EM =.∴四边形ABME 是平行四边形，即BM ∥AE ．∵AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ．（2）解：当N 为AE 的中点时，MN ⊥平面PBD ．理由如下：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，即AB ⊥平面PAD ， ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又PA ＝AD ，E 是PD 的中点，即AE ⊥PD ，而AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABME ．作MN ⊥BE ，交AE 于点N ，∴MN ⊥PD ，又PD ∩BE ＝E ，∴MN ⊥平面PBD ．易知△BME ∽△MEN ，而2,1BM EM AB ===， ∴BM EM EM EN =，即222EM EN BM ==，而2AE = ∴N 为AE 的中点．22．解：（1）证明：∵D 为AB 的中点，PDB △是正三角形，20AB =， ∴1102PD AB ==，AP PB ⊥． 又PA PC ⊥，PB PC P ⋂=，∴ AP ⊥平面PBC ．又BC ⊂平面PBC ，∴ ⊥AP BC ．又,AC BC AP AC A ⊥=，∴ BC ⊥平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，∴ 平面PAC ⊥平面ABC ．（2）∵PA PC ⊥，且AP PB ⊥，∴BPC ∠是二面角D AP C --的平面角． 由（1）知BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥， ∴ sin 25BC BPC PB ∠== （3）∵D 为AB 的中点，M 为PB 的中点， ∴ 1//,2DM PA DM PA =，且DM =． 由（1）知AP ⊥平面PBC ，∴DM ⊥平面PBC ，∵ 12PBC BCM S S =△∴13M BCDD BCM V V --==⨯=．。