2020高考数学专题复习《平面向量基本概念》练习题

平面向量练习题及答案一、选择题1. 设向量a和向量b是两个不共线的向量，若向量c=2向量a-3向量b，向量d=向量a+4向量b，那么向量c和向量d的夹角的余弦值是（）A. 1/2B. -1/2C. 0D. 12. 若向量a和向量b的模长分别为3和4，且它们的夹角为60°，则向量a和向量b的点积是（）A. 6B. 12C. 15D. 183. 已知向量a=（1，2），向量b=（3，4），则向量a和向量b的向量积的大小是（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题4. 若向量a=（x，y），向量b=（2，-1），且向量a与向量b共线，则x=______，y=______。

5. 向量a=（3，4），向量b=（-1，2），则向量a和向量b的夹角的正弦值是______。

三、计算题6. 已知向量a=（2，3），向量b=（4，-1），求向量a和向量b的点积。

7. 已知向量a=（-1，3），向量b=（2，-4），求向量a和向量b的向量积。

8. 已知向量a=（1，0），向量b=（2，3），求向量a在向量b上的投影。

四、解答题9. 设向量a=（1，-1），向量b=（2，3），求证向量a和向量b不共线。

10. 已知向量a=（x，y），向量b=（1，1），若向量a和向量b的点积为6，求x和y的值。

答案：1. B2. C3. B4. 2，-15. 根号下（（3+4）的平方-（3*(-1)+4*2）的平方）除以（5*根号下2）6. 向量a和向量b的点积为：2*4+3*(-1)=57. 向量a和向量b的向量积为：(3*(-4)-4*2)i-(2*3-1*4)j=-20i+2j8. 向量a在向量b上的投影为：(向量a·向量b)/向量b的模长^2 * 向量b = (1*2+0*3)/(2^2+3^2) * 向量b = (2/13) * (2，3)9. 证：假设向量a和向量b共线，则存在实数k使得向量a=k向量b。

第二章平面向量 §.1平面向量的实际背景及基本概念班级__ 一、选择题 1 .下列物理量中， A .质量 2. 设0是正方形 A .平行向量 姓名 学号 得分不能称为向量的是 B .速度 UUTUUUUC UU 位移ABCD 的中心，向量 A00B 、C00D 是 B .有相同终点的向量 D •力 C . 3. 下列命题中，正确的是A . |a| = |b| a = bB . |a|> |b| a > b 4. 在下列说法中，正确的是A .两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同B .模为0的向量与任一非零向量平行 ；C .向量就是有向线段； 5. 下列各说法中，其中错误的个数U 为 (D .模相等的向量 ( a = b a 与 b 共线 D . |a| = 0 ( 相等向量 若 |a|=|b|,则 a=b _ — ) (1)向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；(2)两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方 向相同或相反；(3)两个有公共终点的向量一定是共线向量 ；(4)共线向量是可以移动到同 一条直线上的向量；(5)平行向量就是向量所在直线平行 A . 2个 B . 3个 C . 4个*6.^ ABC 中，D 、E 、F 分别为 BC 、CA 、AB 的中点，在以 有向线段所表示的向量中，与 EF 共线的向量有 A . 2个B . 3个C . 6个 二、填空题在⑴平行向量一定相等； ⑵不相等的向量一定不平行； ⑶共线向量一定相等； 向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线 向量中，说法错误的是______________________________ . 如图，0是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形 OAED 、OCFB 是正方形，在图中所 示的向量中， uur 与AO 相等的向量有_________ 与AO 共线的向量有 _________ 与AO 模相等的向量有 _______ 向量AO 与CO 是否相等？答： A 、 D . 5个 B 、C 、D 、E 、F 为端点的 () (1) (2) (3) (4) 一 LLLT UUU UUT 0是正六边形 ABCDEF 的中心，且 AO a , OB b , AB 0为端点的向量中： (1)与a 相等的向量有2) 与b 相等的向量有 3) 与c 相等的向量有 10 .下列说法中正确是_若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反； 若AB 与CD 共线, 四边形ABCD 为平行四边形，则若 a = b , b = c ,贝U a = c ； , LUU UUT 四边形 ABCD 中，AB DC 且 a 与b 方向相同且|a| = |b|与 a = b 是 9. (写序号) (4)相等 c . 在以 A 、B 、C 、D 、E 、F 、 (1) (2)(3) (4) (5) (6) A 、B 、 C 、D 共线; luu uuu AB = CD ; UUU LUIT |AB | | AD |，则四边形 致的； ABCD 为正方形;三、解答题 11 .如图，以1 >3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中, 的模？有多少种不同的方向？有多少种大小不同13.某人从A 点出发向西走了 200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北60°走了 450m 到达C 点，最后又改变方向向U 东走了u 200m 到达D 点(1 )作出向量 AB 、BC 、CD (1cm 表示 200m );亠uuu ”丄卄(2 )求DA 的模. 14.如图，中国象棋的半个棋盘上有一只 马”，开始下棋时它位于 A 点，这只 马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来； 若它位于图中的P 点，则这只 马”第一步有几种 可能的走法？它能否走若干步从 A 点走到与它相邻的 B 点处？12.在如图所示的向量 a 、b 、c 、d 、e 中(小正方形边长为 量？模相等的向量？若存在，请一一举出. 1)是否存在共线向量？相等向A B。

5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a |a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(,22x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1）解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OM CN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝.【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝. 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝.【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)，P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

平面向量概念练习题1.给出下列命题：(1)平行向量的方向一定相同；(2)向量的模一定是正数；(3)始点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上． 其中正确的序号是__________.2.给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；②若向量a 与b 同向，且|a|>|b|，则a>b ；③若两向量可移到同一直线上，则两向量相等；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中错误的序号是____________.3. 如图所示，△ABC 中，三边长均不相等，E 、F 、D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →长度相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．4.如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →、BO →相等的向量；(2)写出与AO →共线的向量；(3)写出与AO →的模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？5.如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又AB →＝DC →.求证：CNMA ． 6.给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a ＝0；②若|a|＝|b|，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a|＝|b|；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c.其中，正确的命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7.下列说法正确的是( )A ．若|a|>|b|，则a>bB ．若|a|＝|b|，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量8.若a 为任一非零向量，b 为单位向量，则下列各式：①|a|>|b|；②a ∥b ；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a |a|＝b.其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤9．如图，在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，则图中与OA →相等的向量是( ) A ．OC → B ．OD → C ．OB → D ．CO →10.在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形。

考点25 平面向量基本定理及坐标表示1、已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )．若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0 D ．4x －3y ＝0【答案】C【解析】∵a ∥b ，∴3y ＋4x ＝0.故选C.2、已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )．若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0) D ．(－7,0)【答案】A【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x ，12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．3、若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB →＝(3,5)，AC →＝(2,4)，则AD →＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)【答案】A【解析】由题意可得AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 4、已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )．若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)【答案】B【解析】∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)． 5、设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0【答案】B【解析】因为a 与b 方向相反，故可设b ＝m a ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，所以m ＝－2，x ＝m ＝－2.6、设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( ) A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6)【答案】D【解析】设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6,20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)．又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．7、已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B ．⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D ．⎝⎛⎭⎫－12，－5 【答案】D【解析】AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO →＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 8、在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC →|＝2.若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A ．2 2B ． 2C ．2D ．42【答案】A【解析】因为|OC →|＝2，∠AOC ＝π4，所以点C 的坐标为(2，2)．又OC →＝λOA ＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.9、已知向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，满足∥a b ，则．【答案】【解析】因为向量()sin ,2x =a ，()cos ,1x =b ，∥a b ，sin 2cos 0x x ∴-=，tan 2x =，10、若A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)三点共线，则实数a 的值为________． 【答案】－54【解析】AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，由题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.11、已知向量()12，=-m ，(),4x =n ，若⊥m n ，则2+=m n __________． 【答案】10【解析】由题意可得：240x ⋅=-+⨯=m n ，8x ∴=， 即()1,2=-m ，()8,4=n ，则()()()22,48,46,8+=-+=m n ， 据此可知：210+=m n ．12、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若 P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________. 【答案】(－6,21)【解析】∵AQ →＝PQ →－P A →＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC →＝2AQ →＝2(－3,2)＝(－6,4)．又PC →＝P A →＋AC →＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC →＝3PC →＝3(－2,7)＝(－6,21)．11．(2018青海西宁质检)已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示．若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________. 【答案】－3【解析】建立如题图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)．由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.13、P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝________. 【答案】{(－13，－23)}【解析】集合P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，集合Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．14、已知点()4,1A ，()1,5B ，则与向量AB 方向相同的单位向量为________． 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()154134AB =-=-，，，，5AB =，∴与向量AB 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 16．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在线段AB 的延长线上，3AP PB =，则点P 的坐标是____________． 【答案】()8,15-【解析】因为P 在AB 的延长线上，故AP ，PB 共线反向，故3AP PB =-，设(),P x y ， ，解得815x y ==-⎧⎨⎩，P 的坐标为()8,15-，故填()8,15-．15、给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB →上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．【解】以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，则点C 的坐标为(cos α，sin α)， 由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝2 33sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.16、已知向量()1,3=a ，()2,2=-b ， （1）设2=+c a b ，求()⋅b a c ； （2）求向量a 在b 方向上的投影．【答案】（1）()16,16--；（2） 【解析】（1）()()()2,62,24,4=+-=c ，()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c ．（2）向量a 在b 方向的投影17，()sin ,cos x x =n ， （1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若向量m ，n【答案】（1）tan 1x =；（2）12．【解析】（1）由⊥m n 可得0⋅=m n ，即sin cos 022x x -=， 化简可得sin cos x x =，则tan 1x =．（2而由m ，n )1sin cos 2x x -=，18、如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足AP AB λ=． （1）若13λ=，用向量OA ，OB 表示OP ； （2）若4OA =，3OB =，且60AOB ∠=︒，请问λ取何值时使得OP AB ⊥？）213OP OA OB =+；213）由题意得1AP AB =，∴()1OP OA OB OA -=-，∴21OP OA OB =+．（2）由题意知43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=．∵AP AB λ=， ∴()OP OA OB OA λ-=-，∴()1OP OA OB λλ=-+．∵OP AB ⊥，∴()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦，∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=，。

高考数学平面向量专题复习含答案The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 20202020年高考数学平面向量专题练习一、选择题1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（）A. B. C. D.2、向量,，若，且，则x＋y的值为（）A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或13、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．44、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（）A．B． C．D．5、在平行四边形中，，若是的中点，则（）A. B. C. D.6、已知向量，且，则（）A. B. C. D.7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( )A. C. D. 38、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为A． B． C．5 D．109、下列命题中正确的个数是（）⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则A．0 B．1 C．2 D．310、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题11、已知向量与的夹角为120°,且,则____.12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________.13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________.14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为__________.15、已知向量与的夹角为120°，，，则________.16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________．17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为.18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。

若(λ，µ∈R)，则λ＋µ的值为。

2023高考数学复习专项训练《平面向量的概念》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）若OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →同向的单位向量坐标是( )A. (−1213,−513)B. (1213,513)C. (−1213,513)D. (1213,−513)2.（5分）在四边形ABCD 中，若AB →+CD →=0→，AC →⋅BD →=0，则四边形为 ( )A. 平行四边形B. 矩形C. 等腰梯形D. 菱形3.（5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A. AB →与AC →共线 B. DE →与CB →共线 C. CD →与AE →相等D. AD →与BD →相等4.（5分）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A(5,−1)，B(−1,7)，C(1,2)，则顶点D 的坐标为( )A. (−7,6)B. (7,6)C. (6,7)D. (7,−6)5.（5分）已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)，若a →//(a →−2b →)，则实数m 的值为()A. 37B. −37C. 34D. −346.（5分）已知向量a →，b →不共线，c →=ka →+b →，(k ∈R)，d →=a →−b →如果c →//d →那么( )A. k =−1且c →与d →反向 B. k =1且c →与d →反向 C. k =−1且c →与d →同向D. k =1且c →与d →同向7.（5分）设向量|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，则|a →−b →|=( )A. √2B. 2√3C. 2D. √68.（5分）下列命题中，正确的个数是\((\quad)\) ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}|>|\overset{\rightarrow}{b}|\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overset{\rightarrow}{b}\)同向，则\(\overrightarrow{a}>\overset{\rightarrow}{b}\)；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若\(\overrightarrow{a}/\!/\overset{\rightarrow}{b}\)，\(\overset{\rightarrow}{b}/\!/\overrightarrow{c}\)，则\(\overrightarrow{a}/\!/\overrightarrow{c}.\)A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个9.（5分）已知单位向量a →,b →的夹角为60°，若向量c →满足|a →−2b →+3c →|⩽3，则|c →|的最大值为( )A. 1+√33B. √33C. 1+√3D. √310.（5分）已知a →=(4,2)，则与a →方向相反的单位向量的坐标为( )A. (2,1)B. (−2,−1)C. (2√55,√55) D. (−2√55,−√55) 11.（5分）平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|,CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，则点O 是ΔABC 的()A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心12.（5分）已知向量|a →|=1，|b →|=√3，a →+b →=(−1,1)，则|2a →+b →|=()A. 3B. √3C. 11D. √11二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A cos C +c sin A cos A =13c ，D 是AC 的中点，且cos B =2√55，BD =√26，则ΔABC 的最短边的边长为________.14.（5分）已知单位向量a →、b →满足a →.(a →+b →)=1，则|a →+b →|=______.15.（5分）已知四边形ABCD ，AC 是BD 的垂直平分线，垂足为E ，O 为四边形ABCD 外一点，设|OB →|=5，|OD →|=3，则((OA →+OC →).(OB →−OD →))=________．16.（5分）已知|a →|=2，|b →|=4，a →−b →=(−4,3)，记a →与b →夹角为θ，则cosθ的值为________.17.（5分）已知平面向量a →，b →，|a →|=2，b →=(1,√3)，若|a →−b →|=2√3，则a →与b →的夹角的余弦值为________.三 、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =60°，DB →=2AD →，CE →=2EB →.(1)设AB →在AC →上的投影向量为λAC →，求λ的值； (2)用向量AB →，AC →表示向量DE →，并求|DE →|.19.（12分）判断下列结论是否正确，并说明理由. （1）向量a →,b →相等的充要条件是|a →−b →|=0 （2）平行的单位向量一定相等.20.（12分）已知a →与b →共线，且|a →|=1，|b →|=2，求a →⋅b →.21.（12分）已知a →，b →，c →是共面的三个向量，其中a →=(1,2)，|b →|=√3，|c →|=2√5且c →与a →反向．(1)求|c →−a →|；(2)若a →+2b →与2a →−3b →垂直，求a →⋅(b →+c →)的值．22.（12分）如图，已知△ABC 的面积为14，D ，E 分别为边AB ，BC 上的点，且AD:DB =BE:EC =2:1，AE 与CD 交于点P.设存在λ和μ使AP →=λAE →，PD →=μCD →，AB →=a →，BC →=b →.(1)求λ及μ的值； (2)用a →，b →表示BP →；(3)求△PAC 的面积．23.（12分）在四边形ABCD 中，已知AB →=DC →，求证：四边形ABCD 为平行四边形. 四 、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）对于任意两个向量a →，b →，下列命题中正确的是()A. |a →+b →|⩽|a →|+|b →| B. |a →−b →|⩽|a →|−|b →| C. 若|a →|>|b →|，则a →>b →D. |a →·b →|⩽|a →|·|b →|25.（5分）下列命题中正确的是( )A. a →//b →⇔存在唯一的实数λ∈R ，使得b →=λa →； B. e →为单位向量，且a →//e →，则a →=±|a →|e →； C. a →·a →=|a →|2；D. 若a →·b →=b →·c →且b →≠0→,则a →=c →26.（5分）对于任意向量a →，b →，c →，下列命题正确的是()A. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →B. 若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →C. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →D. 若|a →−b →|=|a →+b →|，则a →⋅b →=027.（5分）在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是()A. 四边形ABC 1D 1的面积为|AB →||BC 1→| B. AD 1→与A 1B →的夹角为60∘ C. (AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→D. A 1C →·(A 1B 1→−A 1D 1)→=0 28.（5分）下列说法中正确的是()A. 若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形 B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 互为相反向量的两个向量模相等D. NQ →+QP →+MN →−MP →=0→答案和解析1.【答案】B;【解析】解：OA →=(−5,4)，OB →=(7,9)，向量AB →=(12,5). |AB →|=√122+52=13.向量AB →同向的单位向量坐标是：113(12,5)=(1213,513). 故选：B.求出向量AB →，然后求出模，即可推出单位向量．此题主要考查向量的运算法则，坐标运算，单位向量的求法，考查计算能力．2.【答案】D; 【解析】此题主要考查了向量在几何中的应用，以及数量积为0与两向量垂直的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．解：∵→ AC .→ BD =0,∴AC ⊥BD , 又AB →+CD →=0， 所以AB//CD 且AB =CD , 所以四边形为菱形， 故选D.3.【答案】B;【解析】解：因为AB 与AC 不平行，所以AB →与AC →不共线，A 错，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则DE 与BC 平行，故DE →与CB →共线，B 正确， 因为CD 与AE 不平行，所以CD →与AE →不相等，C 错， 因为AD →=DB →=−BD →，则D 错． 故选：B.利用平面向量共线定理判断ABC ，利用平面向量的相等判断D. 此题主要考查了平面向量共线定理，平面向量的相等，属于基础题．4.【答案】D;【解析】此题主要考查向量相等的概念，平面向量的运算，属于基础题. 设D(x,y)，由AD →=BC →，可得(x −5,y +1)=(2,−5)，可得结果.解：设D(x,y)，由AD →=BC →，得(x −5,y +1)=(2,−5)，∴x =7，y =−6，∴D(7,−6). 故选D.5.【答案】C;【解析】解：已知a →=(−3,m)，b →=(4,−1)， 所以：a →−2b →=(−11,m +2)， 由于a →//(a →−2b →)， 所以m =34；故选：C.直接利用向量的线性运算，向量的坐标运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】A;【解析】解：∵c →//d →，∴c →=λd →，即ka →+b →=λ(a →−b →)，得{k =λ1=−λ，解得k =λ=−1，∴c →=−a →+b →=−(a →−b →)=−d →， 故选A ．根据条件和向量共线的等价条件得，c →=λd →，把条件代入利用向量相等列出方程，求出k 和λ的值即可．该题考查了向量共线的等价条件，向量相等的充要条件应用，属于基础题．7.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.关键是利用|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →求值．解：因为|a →+b →|=√20，a →⋅b →=4，∴|a →−b →|2=|a →+b →|2−4øverrightarrow a ⋅b →=20−16=4， ∴|a →−b →|=2， 故选C.8.【答案】A; 【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题目．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可． 【解答】解：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误； 对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误； 对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误； 对于④，向量是可以平移的矢量，当两个向量相等时， 它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，b →=0→时，a →//b →，b →//c →，则a →与c →不一定平行． 综上，以上正确的命题个数是0. 故选A.9.【答案】A;【解析】解：由题意，设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)=(12,√32)，且c →=(x,y)；则a →−2b →+3c →=(3x ,3y −√3)， 由|a →−2b →+3c →|⩽3， ∴√(3x )2+(3y −√3)2⩽3， 化简得x 2+(y −√33)2⩽1，它表示圆心为C(0,√33)，半径为1的圆，如图所示；由图形知，|c →|的最大值为1+√33． 故选：A ．由题意设单位向量a →=(1,0)，b →=(cos60°,sin60°)，c →=(x,y)；由|a →−2b →+3c →|⩽3求出x 、y 的关系式，利用数形结合求出|c →|的最大值．该题考查了平面向量的模长公式应用问题，也考查了数形结合应用思想，是中档题．10.【答案】D; 【解析】该题考查相反向量的概念，向量坐标的数乘运算，以及单位向量的概念，可求出−a →的坐标，并求出|a →|=2√5，这样根据单位向量的概念及向量坐标的数乘运算即可得出正确选项．解：−a →=(−4,−2)，且|a →|=2√5； ∴−a →|a →|=(−2√55,−√55)． 故选D ．11.【答案】C;【解析】解：平面内ΔABC 及一点O 满足AO →.AB →|AB →|=AO →.AC →|AC →|，可得AO →⋅(AB →|AB →|−AC →|AC →|)=0，所以O 在∠CAB 的平分线上，CO →.CA →|CA →|=CO →.CB →|CB →|，可得：CO →⋅(CA →|CA →|−CB →|CB →|)=0，所以O 在∠ACB 的平分线上，则点O 是ΔABC 的内心． 故选：C ．利用表达式，转化推出O 所在的位置，得到结果即可．该题考查向量的综合应用，充分理解表达式的几何意义以及三角形的五心的特征，是解答该题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】B;【解析】解：∵a →+b →=(−1,1)， ∴|a →+b →|=√2，∴(a →+b →)2=|a →+b →|2=2，即|a →|2+2a →⋅b →+|b →|2=2， ∴1+2a →⋅b →+3=2， ∴a →⋅b →=−1，∴|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4|a →|2+4a →·b →+|b →|2=√4×1+4×(−1)+3=√3. 故选：B.易知|a →+b →|=√2，两边平方后，可求得a →⋅b →=−1，再由|2a →+b →|=√(2a →+b →)2，展开运算，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，模长的求法，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】2√2;【解析】解：在ΔABC 中，a sin A cos C +c sin A cos A =13c ， 由正弦定理可得：sin A sin A cos C +sin C sin A cos A =13sin C ， 即为sin A(sin A cos C +cos A sin C) =sin A sin (A +C)=sin A sin B =√1−45sin A =√55sin A =13sin C ，由正弦定理可得a =√53c ， D 是AC 的中点，且cos B =2√55， 可得BD →=12(BA →+BC →)，即有BD 2→=14(BA 2→+BC 2→+2øverrightarrowBA ⋅BC →)即为26=14(c 2+59c 2+2c ⋅√53c ⋅2√55)，解得c =6，a =2√5，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accos B =20+36−24√5×2√55=8，解得b =2√2，ΔABC 的最短边的边长为2√2. 故答案为：2√2.运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简整理，可得a =√53c ，再由向量中点形式，以及向量的平方即为模的平方，计算可得a ，c ，再由余弦定理计算可得b ，进而得到所求最小值．此题主要考查正弦定理、余弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】√2;【解析】解：a →.(a →+b →)=a →²+a →.b →=1+a →.b →=1， 所以a →.b →=0，则|a →+b →|=√|a →|2+2øverrightarrow a.b →+|b →|2=√1+0+1=√2，故答案为：√2.根据条件可求得a →.b →=0，进而利用向量模的定义即可求得答案． 此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量模的求法，属于中档题．15.【答案】16; 【解析】此题主要考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．根据条件，AC 垂直平分线段BD ，从而得出EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→，而OA →=OB →+BE →+EA →，OC →=OD →+DE →+EC →，且OB →−OD →=DB →，代入(OA →+OC →).(OB →−OD →)进行向量加法和数量积的运算便可求出答案． 解：∵AC 是BD 的垂直平分线； ∴EA →.DB →=EC →.DB →=0，DE →+BE →=0→； ∴(OA →+OC →).(OB →−OD →)=(OB →+BE →+EA →+OD →+DE →+EC →).DB →=(OB →+OD →).(OB →−OD →)+(EA →+EC →).DB →=OB 2→−OD 2→=25−9 =16． 故答案为16．16.【答案】−516 ; 【解析】此题主要考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角与数量积，属于基础题.由题意，先计算 |a →−b →|=5，再由|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2计算可得.解：因为a →−b →=(−4,3)，所以|a →−b →|=5，因为|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2øverrightarrow a ⋅b →+b →2， 又|a →|=2，|b →|=4，所以25=4+16−16cos θ，所以cos θ=−516.故答案为−516 .17.【答案】−12;【解析】此题主要考查向量的夹角、向量的模、数量积的求法，难度不大.先求出向量b →的模，再将式子|a →−b →|=2√3左右两边平方，从而得到a →.b →，再利用a →与b→的夹角的余弦值公式a →.b →|a →||b →|便可求得最后结果.解：∵b →=(1,√3)，∴|b →|=2.若|a →−b →|=2√3，则|a →−b →|2=|a →|2+|b →|2−2øverrightarrow a.b →=4+4−2øverrightarrow a.b →=12∴a →.b →=−2，则a →与b →的夹角的余弦值为a →.b →|a →||b →|=−22×2=−12. 故答案为−12.18.【答案】解：（1）AB →在AC →上的投影向量为AC →|AC →|·|AB →|cos ∠BAC =2×12·13AC →=13AC →，∴λ=13．（2）DE →=DB →+BE →=23AB →+13BC →=23AB →+13(AC →−AB →)=13AB →+13AC →， |DE →|2=DE →2=19(AB →+AC →)2=19(4+2AB →⋅AC →+9)=19(13+2×2×3×12)=199，∴|DE →|=√193．; 【解析】(1)根据投影向量的计算公式求解；(2)先结合平面向量的线性运算法则用AB →,AC →表示出DE →，然后平方后求模即可． 此题主要考查平面向量的线性运算以及数量积的运算性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）正确，|a →−b →|=0的充要条件是a →−b →=0→，从而a →=b →（2）错误，平行单位向量方向可能相反.;【解析】略20.【答案】解：若a →与b →同向共线，则a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos0°=1×2×1=2； 若a →与b →反向共线，则a →⋅b →=|a →|·|b →|·cos180°=1×2×(−1)=−2.故a →⋅b →为2或−2.;【解析】此题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据平面向量数量积的定义，分清楚两个向量共线分为“同向共线”和“反向共线”两种情形，即可得解．21.【答案】解：∵a →=(1,2)，|c →|=2√5且c →与a →反向，∴c →=λa →，λ<0，∴|c →|=|λa →|，∴2√5=|√5λ|，解得λ=−2，∴c →=−2(1,2)=(−2,−4)，∴c →−a →=(−3,−6)，∴|c →−a →|=√(−3)2+(−6)2=3√5．(2)∵a →+2b →与2a →−3b →垂直，∴(a →+2b →)⋅(2a →−3b →)=2a 2→−6b 2→+a →⋅b →=0， ∴a →⋅b →=6×3−2×5=8， ∴a →⋅(b →+c →)=a →⋅b →+a →⋅c →=8+(1,2)×(−2,−4)=−2．;【解析】该题考查了向量的模、向量的数量积和向量的坐标运算，属于中档题．(1)先求出向量c →的坐标，再根据向量的坐标运算和向量模即可求出，(2)根据向量的垂直求出a →⋅b →=8，再根据向量的数量积即可求出．22.【答案】解：(1)∵AB →=a →，BC →=b →，则AE →=a →+23b →，DC →=13a →+b →，AP →=λAE →=λ(a →+23b →)，DP →=μDC →=μ(13a →+b →)，AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，即23a →+μ(13a →+b →)=λ(a →+23b →)，∴{λ=23+13μμ=23λ，解得λ=67，μ=47. (2)BP →=BA →+AP →=−a →+67(a →+23b →)=−17a →+47b →. (3)设△ABC 底边AB 上的高为ℎAB ，△PAB 底边AB 上的高为ℎ1，∴ℎ1ℎAB =|PD →|:|CD →|=μ=47，S △PAB =47S △ABC =8，设△ABC 和△PBC 底边BC 上的高分别为ℎBC ,ℎ2， ℎ2ℎBC =|PE →|:|AE →|=1−λ=17，S △PBC =17S △ABC =2， ∴S △PAC =4.;【解析】本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比.(1)根据AP →=λAE →，用基底a →，b →表示出AP →，再根据AP →=AD →+DP →=23AB →+DP →，用基底a →，b →表示出AP →，这两种表示方式是相同的，由此求出λ及μ；(2)把BP →用BA →+AP →来表示，把(1)中的结果代入可得；(3)根据面积之比等于对应的向量的长度比求出△PAB 和△PBC 的面积，用△ABC 的面积减去△PAB 和△PBC 的面积即得△PAC 的面积.23.【答案】证明：如图所示，在四边形ABCD 中，∵AB →=DC →，∴AB//DC 且|AB|=|DC|∴四边形ABCD 为平行四边形．;【解析】此题主要考查向量的数量积以及四边形的判断，属于基础题．利用已知条件判断四边形的形状即可．24.【答案】AD;【解析】考查平面向量有关概念等知识.解：A 选项，①当向量a →与b →不共线时，在平面内任取一点A ，作AB →=a →，BC →=b →，则AC →=a →+b →，如图所示，根据三角形两边之和大于第三边可得|a →+b →|<|a →|+|b →|，②当向量a →与b →方向相同时，|a →+b →|=|a →|+|b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →+b →|=||a →|−|b →||<|a →|+|b →|，综上可知|a →+b →|⩽|a →|+|b →|，故A 选项正确；B 选项，①若|a →|<|b →|，则|a →|−|b →|<0，又|a →−b →|>0，所以|a →|−|b →|<|a →−b →|， ②若|a →|>|b →|，当向量a →与b →不共线时，根据三角形两边之差小于第三边可得|a →|−|b →|<|a →−b →|，当向量a →与b →方向相同时，|a →|−|b →|=|a →−b →|，当向量a →与b →方向相反时，|a →|−|b →|<|a →|+|b →|=|a →−b →|，综上可知|a →|−|b →|⩽|a →−b →|，故B 选项错误．C 选项，向量不能比较大小，故C 选项错误；D 选项，|a →·b →|=|a →||b →||cos <a →,b →>|⩽|a →||b →|，故D 选项正确；25.【答案】BC;【解析】【分析】本题主要考查平面向量的概念和性质，属于基础题.根据平面向量的共线定理，平行向量与单位向量，平面向量的数量积，相等向量的概念分别判断即可.【解答】解：A 中，当a →为零向量时结论不成立，所以A 错；当a →为零向量时结论成立，当a →不为零向量时，a →|a →|表示与向量a →同向的单位向量，结论也成立，所以B 正确；a →·a →=|a →|×|a →|×cos0∘=|a →|2，所以C 正确; 当a →⊥b →，b →⊥c →且a →，b →，c →都不为零向量时，a →·b →=b →·c →=0，但a →与c →不一定相等，所以D 错.故选BC.26.【答案】CD;【解析】解：若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，如果b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以A 不正确；若a →⋅b →=b →·c →，则a →=c →，显然不正确，反例：b →=0→，则a →，c →，可以是任意向量，所以B 不正确．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →，显然正确，C 正确；若|a →−b →|=|a →+b →|，如果a →，b →都是非零向量，说明以a →、b →为邻边的平行四边形是矩形，则a →⋅b →=0，如果用零向量，也满足a →⋅b →=0，所以D 正确；故选：CD.利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，结合反例，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，向量的共线以及向量的数量积的应用，是基本知识的考查．27.【答案】ACD;【解析】此题主要考查空间向量数量积与垂直关系，考查线面垂直的性质，考查向量夹角，是中档题对于A ，∵AB =//C 1D 1，四边形ABC 1D 1是平行四边形，又AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AB ⊥BC 1，四边形ABC 1D 1的面积为|AB →|·|BC 1→|，故A 正确;对于B ，易知△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C =60∘，∴<AD 1→，D 1C →>=120∘， 又A 1B →//D 1C →，∴<AD 1→，A 1B →>=120∘，故B 错误;对于C ，∵AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→=AC 1→，AC 1→2=3A 1B 1→2，∴(AA 1→+A 1D 1→+A 1B 1→)2=3A 1B 1→2，故C 正确;对于D ，A 1B 1→−A 1D 1→=D 1B 1→，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，D 1B 1⊥平面AA 1C 1C ，∴D 1B 1⊥A 1C ，∴A 1C →·D 1B 1→=0，故D 正确.选ACD.28.【答案】CD;【解析】【分析】本题考查向量的基本概念及向量的加减运算，属于基础题．由向量相等，可判断A ；由零向量与任何向量共线，可判断B ；由相反向量的定义可判断C ；由向量的加减运算可判断D.【解答】解：若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成一个平行四边形或共线，故A 错误；若a →//b →，b →//c →，则a →//c →，或a →，c →不共线，比如b →=0→，故B 错误；由相反向量的定义可得C 正确；NQ →+QP →+MN →−MP →=NP →+PN →=0→，故D 正确.故选CD.。

高考数学复习平面向量单元测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2008·海南)平面向量a ，b 共线的充要条件是( ) A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0 答案：D解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nmb ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0.故选D. 2．(2020·北京市海淀区)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135° 答案：D解析：依题意得b ＝(a ＋b )－a ＝(1，－3)，设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝1－65×10＝－22，又0°≤θ≤180°，因此θ＝135°，选D.3．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．120° 答案：C解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1， |b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)．故选C.4．如右图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋13e 1答案：C解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →] ＝12[2(－12e 1＋e 2)＋13e 1]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1.故选C.5．在△ABC 中，A ＝105°，C ＝45°，AB ＝2，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2 答案：A解析：由题意可知B ＝180°－105°－45°＝30°，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，∴2sin45°＝AC sin30°，解得AC ＝1.故选A. 6．(2020·北京市东城区)若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则下列不等关系一定成立的是( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b | 答案：C解析：∵|a +b |=|b |，∴以a 、b 及a +b 为三边所作的三角形是等腰三角形；显然，以a +2b 、2b 、a 为边的三角形是一个直角三角形，且a 、a +2b 分别是直角三角形的两直角边，即|2b |>|a +2b |，故选C.7．(2020·北京市海淀区)函数y ＝log 2x 的图象按向量a 平移后可以得到函数y ＝log 2(x －2)＋3的图象，则( )A ．a ＝(2,3)B ．a ＝(－2,3)C ．a ＝(2，－3)D ．a ＝(－2，－3) 答案：A解析：依题意a ＝(2,3)故选A.8．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f (m )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积，若f (p )＝(12，x ，y )，则1x ＋4y的最小值是( )A ．18B ．16C ．9D ．8 答案：A解析：由AB →·AC →＝23，得|AB →|·|AC →|＝4，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin30°＝1，x ＋y ＝12，∴1x ＋4y＝2(x ＋y )(1x ＋4y )＝2(5＋y x ＋4xy )≥18(y ＝2x 时取“＝”)．9．(2020·宜昌市调研)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|2a ＋b |＝2，则向量b 在向量a 方向上的投影是( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 答案：B解析：依题意得(2a ＋b )2＝4,4a 2＋b 2＋4a ·b ＝4,4＋4＋4a ·b ＝4，a ·b ＝－1，向量b 在向量a 方向上的投影等于a ·b|a |＝－1，选B.10．(2020·四川绵阳市诊测)△ABC 中，角A 满足sin 4A －cos 4A ≤cos A －sin A ，则( )A ．0<A ≤π6B ．0<A ≤π4C.π4≤A ≤3π4D.π4≤A <π3 答案：B解析：∵sin 4A －cos 4A ＝(sin 2A ＋cos 2A )(sin 2A －cos 2A )＝sin 2A －cos 2A ＝(sin A －cos A )(sin A ＋cos A )，∴原不等式等价于(sin A －cos A )(1＋sin A ＋cos A )≤0，在三角形中有1＋sin A ＋cos A >0，所以sin A ≤cos A ，故选B.11．(2020·西安地区八校联考)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C的值为( )A.58B.85C.53D.35 答案：D解析：依题意得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即72＝52＋AC 2－2×5·AC cos120°，AC 2＋5AC －24＝0，由此解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)．在△ABC 中，由正弦定理得sin B sin C ＝ACAB＝35，选D 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 答案：B解析：|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |·cos120° 代入数据即可解得|b |＝4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，若∠C ＝60°，则a b ＋c ＋bc ＋a＝________.答案：1解析：∵C ＝60°，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－ab .∴a b ＋c ＋bc ＋a ＝a (a ＋c )＋b (b ＋c )(a ＋c )(b ＋c ) ＝a 2＋b 2＋c (a ＋b )ab ＋c (a ＋b )＋c 2＝1. 14．(2008·常州模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 所对角分别为A ，B ，C 且sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则∠A ＝________.答案：π2解析：∵sin A a ＝cos B b ，sin A a ＝sin Bb，∴cos B ＝sin B ，∴tan B ＝sin Bcos B＝1，∴B ＝π4.同理C ＝π4，∴A ＝π－π4－π4＝π2.15．(2020·北京市西城区)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2)，将OA →绕着点O 按逆时针方向旋转90°得到向量OB →，则2OA →＋OB →的坐标为________．答案：(0,5)解析：设点B (m ，n )(其中m <0，n >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝12＋22n m ·21＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝5m ＋2n ＝0，且m <0，n >0，由此解得m ＝－2，n ＝1,2OA →＋OB →＝2(1,2)＋(－2,1)＝(0,5)．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则∠B 的大小是__________．答案：π3解析：本题考查正余弦定理∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8 a sin A ＝b sin B ＝csin C∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8 设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(5k )2＋(8k )2－(7k )22×5k ×8k＝25k 2＋64k 2－49k 22×40k 2＝12在△ABC 中，∴∠B ＝π3三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)， (1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值． (2)求c 在a 在方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b(1)证明：∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)解：cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858，∴c 在a 方向上的投影为|c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)解：∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37.18．(本小题满分12分)(2008·合肥模拟)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，|b |＝1，且a 与b 满足|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．(1)试用k 表示a ·b ，并求a ·b 的最小值；(2)若0≤x ≤π，b ＝(12，32)，求a ·b 的最大值及相应的x 值．解：(1)∵|a |＝1，|b |＝1， 由|k a ＋b |＝3|a －k b |， 得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，整理得a ·b ＝k 2＋14k ＝14(k ＋1k )≥12，当且仅当k ＝1时，a ·b 取最小值12.(2)由a ·b ＝12cos x ＋32sin x ＝sin(x ＋π6)．∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin(x ＋π6)≤1.当x ＝π3时，a ·b 取最大值为1.19．(本小题满分12分)如右图所示，已知AD 为△ABC 的内角A 的平分线，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°.(1)试用正弦定理证明AB AC ＝BDDC；(2)求AD 的长．(1)证明：设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠ADB ＝β， 则∠ADC ＝π－β.在△ABD 中，根据正弦定理AB sin β＝BDsin α①在△ACD 中，根据正弦定理AC sin(π－β)＝CDsin α，即AC sin β＝CD sin α①÷②得：AB AC ＝BDDC.(2)解：在△ABC 中，由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝32＋52－2×3×5cos120°＝49， ∴BC ＝7.设BD ＝x ，则DC ＝7－x .由内角平分线性质AB AC ＝x7－x，即35＝x 7－x ，解得x ＝218， 在△ABD 中，设AD ＝y .由余弦定理：BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， 则(218)2＝9＋y 2－3y ，整理得(y －158)(y －98)＝0，∴y ＝158(y ＝98舍去)，∴AD ＝158.20．(本小题满分12分)(2020·北京市西城区)如右图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈(π2，3π4)．(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求OA →·OB →的值．解：(1)由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ，由正弦定理，得|OB |sin π4＝|OA |sin B ，即222＝|OA |sin(3π4－θ).所以|OA |＝22sin(3π4－θ)．(注：若用直线AB 方程求得|OA |＝2(sin θ＋cos θ)也得分)．(2)由(1)得OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos θ＝42sin(3π4－θ)cos θ.因为tan θ＝－43，θ∈(π2，3π4)．所以sin θ＝45，cos θ＝－35，又sin(3π4－θ)＝sin 3π4·cos θ－cos 3π4·sin θ＝22·(－35)－(－22)·45＝210. 所以OA →·OB →＝42·210·(－35)＝－1225.21．(本小题满分12分)(2020·湖北五市联考)已知m ＝(cos ωx ＋sin ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，若函数f (x )＝m ·n ，且f (x )的对称中心到f (x )对称轴的最近距离不小于π4.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，当ω取最大值时，f (A )＝1，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝m ·n ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin(2ωx ＋π6)． ∵ω>0，∴函数f (x )的周期T ＝2π2ω＝πω，由题意知T 4≥π4，即1ω≥1，又ω>0，∴0<ω≤1.故ω的取值范围是{ω|0<ω≤1}．(2)由(1)知ω的最大值1，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)．∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋π6)＝12.而π6<2A ＋π6<136π，∴2A ＋π6＝56π，∴A ＝π3.由余弦定理可知：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－bc ＝1，又b ＋c ＝2，∴bc ＝1，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝34.22．(本小题满分12分)(2020·成都外国语学校)如右图，凸四边形ABCD 内接于半径R ＝3的圆，∠ABC ＝120°，AB ＝3.(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD的周长、面积的最大值．解：(1)连接AC，在△ABC中，由正弦定理得：ACsin∠ABC=2R，∴ACsin120°=6，AC=3 3.(2)连接BD，在△ABC中，∵AB=3，又由(1)易得：∠ACB=∠BAC=30°，AB=BC=3. 在△ABD、△BCD中，利用正弦定理得：。

一、知识纲要1、向量的相关概念：《必修 4》 第二章平面向量（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为 AB 或a 。

向量又称矢量。

①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。

普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。

②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。

（2） 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。

记作：| AB |或｜ a ｜。

向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

（3） 零 向 量： 长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。

①｜ a ｜＝0； ② 0 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。

（4） 单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。

若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。

2、 向量的表示：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意：方向是“起点指向终点”。

→（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a 的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。

此时｜ a ｜。

若已知 A ( x 1 , y 1 )和B ( x 2 , y 2 ) ，则 AB = ( x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ， 即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

注意 注意 注意 注意a 3、 向量之间的关系：（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系 为平行，记作a ∥ b 。