高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A．3 B ．3- C． D 【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b，则=-a b _______． 【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a=的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu uv【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题， 观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭uu u v ，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ，由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1 C． D【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以1AE AC =uu u v uuu v，对点增分集训又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =．∴ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v ．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡+⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ， 则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu u v 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ，当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ） A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】1．【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡=⎣，可得PB PC +u u v u u u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。

哈哈哈哈哈哈哈哈你好培长处八平面向量1．代数法例：已知向量 a ，b 知足 a =3 ，b =2 3，且 a a b ，则b在 a 方向上的投影为（）1A． 3 B． 3 C．3 3 3 3 2D．2【答案】 C【分析】考虑 b 在 a 上的投影为a b，因此只要求出 a ， b 即可．b由 a a b 可得：a a b a2 a b 0，因此 a b 9．从而a b93 3，应选 C．b 2 3 22．几何法例 2：设a，b是两个非零向量，且a b a b 2 ，则a b = _______．【答案】 2 3【分析】可知 a ， b ， a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由 a b a b 2 可知知足条件的只好是底角为60o，边长 a 2 的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a 2 3 ．3．成立直角坐标系例 3：在边长为uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuv__________ ．1 的正三角形 ABC 中，设 BC 2BD ， CA 3CE，则AD BEAEB D Cuuuv uuuv1【答案】 AD BE4【分析】上周是用适合的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以本题为例，从另一个角度解题，察看哈哈哈哈哈哈哈哈你好到本题图形为等边三角形，因此考虑利用建系解决数目积问题，如图建系： A 0,3， B1,0，C 1,0 ，222下边求 E 坐标：令 E x, yuuuv1, y uuv1 , 3 ， ，∴ CEx， CA2 2 2311 1uuvuuuvxx3 1 3可得：22由 CA3CE 3，∴E ,，3yy3 3 626uuuv 0,3 uuuv5 , 3 uuuv uuuv1 ．∴ AD， BE ，∴ AD BE26 64对点增分集训一、单项选择题．已知向量 a ， b 知足 a 1， b 2 ，且向量 a ， b 的夹角为，若 a b 与 b 垂直，则实14数 的值为（ ）A ．1 1C ． 222B ．4D ．24【答案】 D【分析】 由于 a b 1 2cos2，因此 abb 24 0244 ，应选 D ．2．已知向量 a ， b 知足 a 1 ， b2 ， a b 7 ，则 a b （）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 2哈哈哈哈哈哈哈哈你好【答案】 A【分析】 由题意可得：2 2 2，则 a b 1．应选a b a b 2a b 1 4 2a b 7 ．A 3．如图，平行四边形 ABCD 中， AB ，1 ， A 60 o ，点 M 在 AB 边上，且 AM1 2 ADAB ，uuuv uuuv3则DM DB（ ）A ． 1B ． 1C ．3D ．333【答案】 B【分析】 由于 AMuuuv uuuvuuuvuuuuv uuuv uuuv uuuvuuuv 1AB ，因此 DB AB AD ， DM AM AD 1 ABAD ，uuuv uuuv uuuv 3 1 uuuv uuuv 1 uuuv 4 uuuv uuuv uuuv3 uuuv 2 2 则DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD 3 331 4 1 1 1 ．应选 B ．4 2 13 3 24．如图，在 △ ABC 中， BE 是边 AC 的中线， O 是 BE 边的中点，若 uuuvuuuvb ，则ABa ， AC uuuvAO（ ）A ． 1a 1b B ． 1a 1 bC ． 1a 1 bD ． 1a 1 b2224 4244【答案】 B【分析】 由题意，在 △ ABC 中， BE 是边 AC 的中线，因此 uuuv 1 uuuvAE AC ，2 又由于 O 是 BE 边的中点，因此 uuuv 1 uuuv uuuv ，AO AB AE2uuuv 1 uuuv uuuv 1 uuuv 1 uuuv 1 1因此 AO AB AE AB AE a b ，应选 B ．2 2 2 2 4哈哈哈哈哈哈哈哈你好uuvuuuv uuuv 1 uuuv uuuv uuuv 的最大值为（）在线段 BC 和 CD 上，且 BPBC ， DQDC ，则 AP BQ8A ． 2B ．3 C ．3D ．9248【答案】 D【分析】 由于 AB ∥CD ， CD 1， ABBC 2， BCD 120o ，因此 ABCD 是直角梯形，且 CM3，BCM 30 ，以 AB 所在直线为 x 轴，以AD 所在直线为 y轴，成立如下图的平面直角坐标系：uuv uuuv uuuv 1 uuuv由于 BPBC ， DQ8 DC ，动点 P 和 Q 分别在线段 BC 和 CD 上，则01，，B 2，0，P 2, 3 ， Q1， 3 ，8uuuv uuuv2 ，31，351 4 1因此 APBQ2，84 8令 f51 1 且01， ，484由基本不等式可知，当1 时可获得最大值，则 ff 1 511 9 ．应选 D ．max44886．已知 △ABC 中， AB 2， AC 4 ， BAC60uuv uuuv， P 为线段 AC 上随意一点， 则 PB PC的范围是（ ）A ． 1，4B ． 0，4C ．9，D ． 2，444【答案】 C【分析】 依据题意， △ ABC 中， AB2 ， AC 4 ， BAC 60 ，则依据余弦定理可得BC 24 16 2 2 4 cos60 12 ，即 BC 2 3 ．∴ △ABC 为直角三角形哈哈哈哈哈哈哈哈你好以 B 为原点，BC为x轴， BA 为y轴成立坐标系，则 A 0，2 ， C 23，0 ，则线段 AC 的方程为x y 1， 0 x 2 3 ．3 2 2设 P x, y ，则uuv uuuv，， 2 24 2 10 3．PB PC y 2 3x x x 4y 2 3 x y x33∵ 0 x 2 3，∴9 uuv uuuv．应选 C．4 PB PC 47．已知非零向量a，b，知足 a2b 且 a b 3a 2b 0 ，则a与b的夹角为（）2A．B．C．3D．4 2 4 【答案】 A【分析】非零向量 a ， b ，知足 a 2b 且 a b 3a 2b 0 ，则 a b 3a 2b 0 ，2∴ 3a2 a b 2b22a b cos 2 b20 ，∴ 3 a 0 ，1 2 2b cos 2 0 ，∴ 3 b b 2 b2 2∴ cos 2 ，，∴ a 与 b 的夹角为，应选 A．2 4 48．在 Rt△ ABC 中斜边 BC a ，以A为中点的线段PQuuv uuuv2a ，则BP CQ的最大值为（）A．2 B． 0 C． 2 D．2 2 【答案】 B【分析】∵在 Rt△ ABC 中斜边 BC a ，∴ BA CA ，∵ A 为线段PQ中点，且PQ 2a ，a2 uuv uuuv uuuv uuva2uuuv uuv uuva2uuuv uuva2 a2 cos ，∴原式BA AQ AQ CA AQ BA CA AQ CB当 cos 1 时，有最大值，uuv uuuv0 ．应选 B．BP CQ9．设向量a，b，c，知足 a b 1，a b 1 ， a c,b c 60o，则c的最大值等于2哈哈哈哈哈哈哈哈你好A． 1 B．2 C．3 D． 2 【答案】 Duuv uuuv uuuvc ，由于 a b 1， a c,b o【分析】设OA a ，OB b ，OC c 60 ，2因此 AOB 120 ，ACB 60 ，因此 O，A，B，C四点共圆，uuuv uuv2 2 2 2由于AB b a ，AB b a b a 2a b 3 ，因此 AB 3 ，由正弦定理知 2 R AB 2，即过 O，A，B，C 四点的圆的直径为2，sin120因此 c 的最大值等于直径2，应选 D．．已知 a 与b 为单位向量，且a b，向量c知足c a b 2，则c的取值范围为（）10A．1,1 2 B． 2 2,2 2C．2,2 2 D． 3 2 2,3 2 2【答案】 B【分析】由 a ， b 是单位向量， a b 0 ，可设 a 1,0 ，b 0,1 ， c x, y ，由向量 c 知足 c a b 2 ，∴x 1, y 1 2 ，∴x2y 12，即 x2y 12，半径 r 2 ，1 2 1 4 ，其圆心 C 1,1∴ OC 2，∴2 2 c x2 y2 2 2 ．应选B．uuuv uuuv uuuv3，uuuv uuuv11．平行四边形 ABCD 中， AC ，BD在AB 上投影的数目分别为1，则BD 在 BC 上的投影的取值范围是（）A．1,B．1,3C．0,D．0,3 【答案】 A【分析】成立如下图的直角坐标系：设 B a ,0 ，哈哈哈哈哈哈哈哈你好则 C 3,b ， D a 1,b ，则 3 a 1 a ，解得 a 2 ．因此 D 1,b ， C 3,b uuuv uuuv 上的拍照 BM uuuv 2cos．BD 在 BC BD cos1 b ， 当 b0 时， cos1 ，获得： BM1，当 b时，0，BM，应选 A ．12．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ABAC2，D ，E 是线段 BC 上的点，且DEuuuv uuuv1BC ，则 AD AE 的取值范围是（）3A ． 8,4B ． 4,8C ． 8,8D ． 4,9 3 3 3 9 33【答案】 A【分析】 如下图，以BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的中垂线为 y 轴成立平面直角坐标系，则A0,1，B1,0 ，C 1,0 ，设 D x,0 ，则 E x2 1,0 ，1 x ．33uuuvx, 1 uuuvx2, 1 ，据此有 AD， AE3uuuv uuuv22 2x 1 x18 ．则 AD AE x 3 39据此可知，当 x1 uuuv uuuv获得最小值 8 ； 时， AD AE39哈哈哈哈哈哈哈哈你好当 x1 或 xuuuv uuuv4 ； 1时， ADAE 获得最大值33uuuv uuuv的取值范围是8 4AD AE ,．应选 A ．9 3二、填空题13．已知向量 a 1,2 ， b2, 2 ， c 1,，若 c ∥ 2ab ，则________．【答案】12【分析】 由于 a 1,2 ， b 2, 2 ，因此 2a b 4,2 ， 又 c 1,，且c ∥2a b，则 42 ，即1．2．若向量 a ， b 知足 a 1 ，b2 ，且 a a b ，则 a 与 b 的夹角为__________ ． 14【答案】34【分析】 由 a a b 得， aa b0 ，即 a 2 a b0 ，据此可得 a ba b cos a ,ba 2 ，∴ cos a , b1 1 22 ，2又 a 与 b 的夹角的取值范围为0, ，故 a 与 b 的夹角为3．4uuuv uuuv15．已知正方形ABCD 的边长为 2 ， E 是 CD 上的一个动点，则求的最大值为AE BD ________． 【答案】 4uuuvuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 【分析】 设 DEDCAB ，则 AE ADDE ADAB ，uuuv uuuv uuuv又BDAD AB ，uuuv uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv 2uuuv 2uuv uuuv 4 4 ，∴ AE BD AD ABAD ABADAB1 AB AD∵ 01 ，∴当uuuv uuuv4，故答案为 4．0时， AE BD 获得最大值16．在 △ABC 中， C 90 ， B30，AC2 ， P 为线段 AB 上一点，则uuv uuuvPB PC 的取值范围为 ____．【答案】3,27哈哈哈哈哈哈哈哈你好【分析】以 C 为坐标原点，CB ， CA 所在直线为x ，y轴成立直角坐标系，可得 C 0,0 ， A 0,2 ，B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为x y1 ，2 3 2设 P x, y ，则 y 2 x ，0 xuuv2 3 x, yuuuvx, y ，3 2 3，PB ， PCuuv uuuv 23 2x 2 2则| PB PC2 2 y24x2 4 y2 8 3x 12 4 x2 4 2 x 8 3x 12316 x23x 28 16 5 3240 x 3 ，3 3 3 45 3 uuv uuuv uuv uuuv，可得PB PC 的最小值为，时，则 PB PC 的最大值为由 x 0,2 34uuv uuuv即 PB PC 的取值范围为3,2 7．故答案为3,2 7．。

平面向量培优点八 1．代数法??aaba??a=3a bb3=2b在），：已知向量方向上的投影为，，则，满足且（例133333? C．．．A．3 BD?22【答案】C ba?aa bb，上的投影为，所以只需求出【解析】考虑在即可．b????2baa??0b??aa?b??aa?由可得：，a?b?933???9a???b，故选所以C．进而．b223．几何法2a?2ab?b=aa?b??b_______，则：设．，是两个非零向量，且2例【答案】32a ba?b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，，，【解析】可知a?b?a?b?2a?2o的菱形，由，边长可知满足条件的只能是底角为60从而可求出另一条对角线的长度为．3a?233．建立直角坐标系uuuvuuuvuuvuuuvuuuvuuuvABC中，设，，则__________：例3在边长为1的正三角形．CECA?2BD3?BC?EAD?B A EBCD uuuvuuuv1AD?BE??【答案】4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，??311????,0,0CB?A0,，，如图建系：，????????222??????vuuvuuu??131????y?,CE?xyx,E,CA??下面求坐标：令，，∴，??E????222????11?1?????x?3?x??????22313vuvuuuu????,E?由可得：，∴，????CE3CA???6333?????y?3y??6?2?uuuvuuuv vuuuuvuu????3531,BE??0,?AD?BE?AD?．，∴，∴????????2664????对点增分集训一、单选题?aa2??1ba?b?bbba垂直，则实，，且向量，满足．已知向量，若，的夹角为与14?数）的值为（1122? B．D A．C．．?2244D【答案】?2??2?cos?2a?b?1????????4a?0b?b?2?【解析】因为D．，故选，所以44 a21ab???b?ba7b?a?．已知向量2，）满足，则，，（．2． B1 A．．CD 32A【答案】．2221a?b?7??b4?2a2a?b?a?b?a?b?1?．故选由题意可得：A【解析】．，则1AB?AM ABCD o，，点在边上，且3．如图，平行四边形，中，，AB21AD??ABM60??A3vuuuuuuuv）（则??DBDM33． B．1 CD．A．?1?33B【答案】uvuuuvuuuvuuuvuuuvuuu11vuvuuuuuuvuuAM?ABDM?AM?AD?AB?AD，，【解析】因为，所以ADAB?DB?33uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv411????22ADAD??AB?AB??BM?AB?AD?AB?A DDB则??333??141??4??2?1??1?1．故选B．332uuuvuuuv△ABCACO是边的中点，若是边，4．如图，在的中线，，则中，BEBEbACAB?a?uuuv（）?AO11111111a??a?bbba?ba B ． D．．CA．44222442【答案】B uuuuvvuu1AEAC?AC△ABC的中线，所以【解析】由题意，在中，，是边BE2uuuvuuuvuuuv1??AEAB?AO?O又因为，是边的中点，所以BE2vuvuuuvuuuvuuuuuuvuu11111??b??AB?AE?a?AO?ABAE．所以，故选B42222Q2BC??1AB?∥ABCDABCDCD o分别，，．在梯形5和中，，，动点P120?BCD?vuuuvuuuvuuuuuuv1vuuuuuvDCDQ?CDBC，和上，且的最大值为（），则在线段BQAP??BC?BP?8．933?D．． C．BA．2?428D【答案】2CD?1AB?BC?AB∥CD o，【解析】因为，，，120??BCD??ABCD30?BCM，是直角梯形，且所以，3?CMyx所在直线为轴，以轴，建立如图所示的平面直角坐标系：以所在直线为ADABvuuuvuuu1vuuuvuuQDQ?DC CDBC，上，分别在线段和因为，动点和P?BC?BP?81???????????3Q，01?，02，B3,P2?则，，，，???8??vuuuuuuv111?????????4??2，3??AP?BQ2?5，3?所以，????884??11?????01，????4?f5??，且令?84??1时可取得最大值，由基本不等式可知，当119??????41??f5?f??．故选D．则max488uuvuuuv2AC?AB?4?BACABC?60△?AC 上任意一点，，则6．已知，为线段，中，PPB?PC的范围是（）9????????，?4?4，042，14，．D A ．．C． B??4??【答案】C2AC?AB?4?△BACABC?60?，中，，根据题意，【解析】，2ABC△12?4?2??cos60?24BC??16?32BC?为直角，即则根据余弦定理可得．∴三角形????yx，02A0，2C3BC轴建立坐标系，则为原点，以，，轴，为为BBA．yx??1??32x?0?AC的方程为．，则线段232vuuuvuu3410??????yP,x222，则．设，??PBx?x?4PC?y，23?x?y?x??yx?23x?33uvuuvuu94PC???PB?．．故选∵，∴C320?x?42????aa0?3a?2a?bb?bb 7．已知非零向量的夹角为（，，则且与，满足）b?a2?3??? C．．A． B．D244A【答案】2????????a0?3ba?0?a?b2?a?bb?3a?2b非零向量且，，则，满足，【解析】b?a222?220cos??2b3a?a?b?∴，，∴03a?a?b?2b?2122?，∴0?2bb?b?b3??cos?22??2a???b．，的夹角为，故选，∴∴A与?cos442uuvuuvuaPQ?2aRt△ABCBC?，以为中点的线段（中斜边）则，8．在的最大值为QCBP?A B．A． 0 C．．2D2?22B【答案】CA?BCRt△ABC?aBA，∴中斜边【解析】∵在，aPQPQ?2∵为线段，中点，且Avvuuvuuvuuuuuuvuuuvuuvuuuvuuvuu??22222?cos?a??a??CA?a?AQBA?CA?a?AQ?CBAQBA??a?? AQ??∴原式，vvuuuuu?1?cos B．时，有最大值，当．故选0CQ??BP1o cac1ba??0?6,b?a?cc?a?b?b的最大值等于，满足，，则，，9．设向量，2（）．2． B．A1．CD 32．D【答案】1vuuuvuuuuuv o a?c,b?c?60?b?a?，，，因为，【解析】设，c OC?a?OB b OA?2?AOB?120??ACB?60?OC四点共圆，，所以，，，，所以BAuuuvuuuv22??22AB?3，因为，所以，3?ab?b??a?2aAB??b ab?AB?AB?22R?OC四点的圆的直径为2，，由正弦定理知，即过，，BA sin120?c的最大值等于直径2，故选D．所以ac c?2c?a?b ba?b的取值范围为（，10．已知与）为单位向量，且满足则，向量????22?2,2?21,1?． BA．????????222,3?23?2,22 DC．．????【答案】B??????ayxc1,0?b?0,1,a?0a?b?b，，可设，，是单位向量，，【解析】由??c2b?c?a??2y?1,x?1，，∴满足由向量??22????22????1,1C4x?1??y?1，即，∴，半径，其圆心2?r21x?1???y222OC?．故选B，∴．∴2??c?x??y22?2uuuvvuuuvuuuuuuuuuvv ABCD3，，则上投影的数量分别为在11．平行四边形上的中，，在1?BCACBDABBD投影的取值范围是（）????????????1,??1,30,0,3 B．． D CA．．A【答案】??,0aB，【解析】建立如图所示的直角坐标系：设???????aa?131,DC3,ba?b?a?2．，解得，则，则．uuuvvuuuvuuu????2??bC3,D1,cos1cobBM?BD．在，，所以上的摄影BCBD??0BM?????1b???b?0cos??1BM，故选A．，当时，当，得到：，时，BCABC上的点，且是线段中，12．如图，在等腰直角三角形，，ED2?AC?AB1uuuvuuuvDE?BC，则的取值范围是（）AE?AD38448884????????,??,,, D ．A．C ．．B????????3339393????????【答案】A yx BCBC轴建立平面直角坐标系，所在直线为的中垂线为轴，以【解析】如图所示，以21????????????Ex?,0?1?x?,0?CD1,0A1,00,1xB．，则则，，设，，????33????uuuvuuuv2????AE?x?,?11,AD??x，据此有，??3??2uuuvuuuv218??2AD?AE?x?x?1?x??．则??339??81uuuvuuuvx??时，取得最小值；据此可知，当AEAD?3914uuuvuuuv?x1??x时，取得最大值或；当AE?AD3384uuuvuuuv??,．故选A．的取值范围是AE?AD??39??二、填空题?????????b?2a∥c?ba?1,2?2,2?1,c??．________，则，若，，．已知向量13．1【答案】2??????4,22a2a??1,2bb??2,?，，【解析】因为，所以1?????b2ac?c1,∥????2?4又，即，则，且．2??aa b?1a??aa bb2b?，且的夹角为，则满足，__________14．若向量与，．3?【答案】4????0a?a?ba?b?a?2【解析】由，即得，，0ba?a??122a?,b?a?b?a?b?cosa???a,b?cos，据此可得，∴221?3??aa?0,?bb．与的夹角为的夹角的取值范围为又，故与4uuuvuuuv ABCDCD上的一个动点，则求是的最大值为的边长为2，15．已知正方形EBDAE?________．【答案】4uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv【解析】设，则，???ABAD?AE?ADDE??DC?DEAB?uuuvuuuvuuuv又，AB?AD?BDuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv????22??????41?AB?ADAD?AB?A D?AB?AD?AB??4??AE?BD∴，uuuvuuuv???0?10?时，取得最大值4∵，故答案为4．，∴当BDAE?uuvuuuv ABAC?2PPB?PC?30??ABC△?C90?B?的中，，为线段上一点，则，，．在16取值范围为____．??3,27【答案】??yx CACCB轴建立直角坐标系，【解析】以为坐标原点，，所在直线为，xy????????10,2A0,0C3,02B，可得，，则直线的方程为，AB232uuvuuuvx????????2yyP,xy,?23?PB?xy,PC??x?，，，设，，则3?20?x3uuvuuuv??222??则|y?2PC2xPB??23?2x??22212x?3x12?42?4???4x8?4y?83x???3??2??35163162?40x?28?x?x??3，????4333??uuvuuuv35??CPB?P为，由最小的，可值得30,2?x???4vvuuuuuPCPB?时，则的最大值为vuuuuuv????PC?PB773,23,2的取值范围为．故答案为．即????。

2020届高三好教育精准培优专练培优点八平面向量一、平面向量的建系坐标化应用例1:在A4BC中，BC = 6, 8C边上的高为2,则丽•衣的最小值为二、平面向量中三点共线间］例2:设。

，〃是两个不共线的单位向量.若。

满足。

=(3-2㈤, + (24 —2)〃，且|c| = g,则当|〃一4 最小时，在。

与方的夹角的余弦值为.三、平面向量与三角形的四心问题例3:已知A, B,。

是平面内不共线三点，。

是AABC的外心，动点尸满足OP = -［(l-2)OA + (l-2)OB + (l + 22)OC］(2eR),则P的轨迹一定通过AABC的()A.内心B.垂心C.外心D.重心四、平面向量与三角函数结合例4:已知向量a = (cosox-sin0K,sin5), b = (-cos cox - sin cox, 25/3 cos cox),设函数(1 A/(x)=a・〃 + 4(/leR)的图象关于直线工=兀对称，其中尤为常数，且Ge -J .I，/(1)求函数/(X)的最小正周期；(2) y = /。

)的图象经过点］：,0),求函数/(外在区间］。

，5］上的取值范围.对点增分集训一、选择题1.已知向量” = （cos6-2,sine）,其中8eR,则lai的最小值为（）A. 1B. 2C. >/5D. 32.在ZXABC中，G为AABC的重心，过G作直线分别交直线A8 , AC于点M , N,设丽=x丽,德=沃，则上=（）x+ yA. 3B. -C. 2D.-3 33.若。

为△ABC所在平面内一点，且满足1。

4一。

1=1。

3 +。

-2。

41,则AABC的形状为（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知向量”=（cos25。

,sin 25°）, = （sin200,cos 20°）,若/是实数，且〃 =。

+必，则1〃1 的最小值B. 1・•・•I•已知非零向量而与衣满足•抚=。

2D．【解析】考虑b在a上的投影为a⋅b，所以只需求出a，b即可．培优点八平面向量1．代数法例1：已知向量a，b满足a=3，b=23，且a⊥(a+b)，则b在a方向上的投影为（）A．3B．-3C．-33332【答案】Cb由a⊥(a+b)可得：a⋅(a+b)=a2+a⋅b=0，所以a⋅b=-9．进而a⋅b-933==-．故选C．b2322．几何法例2：设a，b是两个非零向量，且a=b=a+b=2，则a-b=_______．【答案】23【解析】可知a，b，a+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知满足条件的只能是底角为60o，边长a=2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a=23．3．建立直角坐标系uuuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv例3：在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD，CA=3CE，则AD⋅BE=__________．AEB D Cuuuv uuuv1【答案】AD⋅BE=-4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A 0,3⎫⎛1⎛1⎛⎪⎪，B -,0⎪，C ,0⎪，(x,y)，∴CE uv=⎛x-1,y⎫⎪，CA v=⎛ -1,3⎫⎝⎭⎪3 x-⎪=-1x=1⇒⎨333⎪y=⎪⎩3y=2⎪⎩，∴E ,36⎪⎭∴AD= 0,-3⎫⎪⎪，BE=,⎪⎪，∴AD⋅BE=-．⎝2⎭⎝66⎭4，若a-λb与b垂直，则实数λ的值为（v uv v2B．4D．4=2，所以(a-λb)⋅b=2-λ⋅4=0⇒λ=4，故选D．3AB，⎫⎫⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭下面求E坐标：令Euu uu⎝2⎭ 22⎪⎪，由CA=3CE可得：⎨⎪uuu⎛uu⎛53⎫uuu uu uv14对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a=1，b=2，且向量a，b的夹角为π）A．-112C．-224【答案】D【解析】因为a⋅b=1⨯2⨯cosπ22．已知向量a，b满足a=1，b=2，a+b=7，则a⋅b=（）A．1B．2C．3D．2【答案】A【解析】由题意可得：a+b2=a2+b2+2a⋅b=1+4+2a⋅b=7，则a⋅b=1．故选A．3．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60o，点M在AB边上，且AM=13D．【解析】因为AM=AB，所以DB=AB-AD，DM=AM-AD=AB-AD，uuuv uuuv uuuv uuuv)⎛1uuuv uuuv⎫1uuuv24uuuv uuuv uuuv2则DB⋅BM=AB-AD⋅ AB-AD⎪=AB-AB⋅AD+AD()()v2C．uuuuv uuuv则DM⋅DB=（）A．-1B．1C．-333【答案】B1uuuv uuuv uuuv uuu uv uuuv uuuv1uuuv uuuv33⎝3⎭33141=⨯4-⨯2⨯1⨯+1=1．故选B．332uuuv uuuv uuuv4．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB=a，AC=b，则AO=（）11A．a+b2211B．a+b2411C．a+b4211D．a+b44【答案】Buuuv1uuuv【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC的中线，所以AE=AC，2uuuv1uuuv uuuv又因为O是BE边的中点，所以AO=AB+AE，2uuuv1uuuv uuuv1uuuv1uuuv11所以AO=AB+AE=AB+AE=a+b，故选B．222245．在梯形ABCD中，AB∥C D，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，动点P和Q分别在线段BC和CD上，uuv uuuv uuu且BP=λBC，DQ=1uuuv uuuv uuuvDC，则AP⋅BQ的最大值为（）8λA．-2B．-334D．98【答案】D【解析】因为AB∥CD，CD=1，AB=BC=2，∠BCD=120o，因为BP=λBC，DQ=1uuu vuuu v则λ∈(01]，B(2，)，P2-λ,3λ，Q ⎛1⎝8λ，3⎪，()⎛1uu uv uu uv所以AP⋅BQ=2-λ，3λ⋅⎝8λ-2，3⎪=5λ+令f(λ)=5λ+14λ-4-且λ∈(01]，1max=f(1)=5+6．已知△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，P为线段AC上任意一点，则PB⋅PC的范围是（4⎤⎦D．[-2，]C．⎢-，⎥⎡944(0)2则线段AC的方程为x()()设P(x,y)，则PB⋅PC=(-x，-y)23-x，-y=x2+y2-23x=4x2-103x+4．9∵0≤x≤23，∴-≤PB⋅PC≤4．故选C．所以ABCD是直角梯形，且CM=3，∠BCM=30︒，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：uu v uu uv8λDC，动点P和Q分别在线段BC和CD上，，0()⎫⎭⎫⎭114λ-4-8，，8由基本不等式可知，当λ=1时可取得最大值，则f(λ)14-4-18=98．故选D．uu v uu uv）A．[1，]B．[0，]⎣44【答案】C【解析】根据题意，△ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=60︒，则根据余弦定理可得BC2=4+16-2⨯2⨯4⨯cos60︒=12，即BC=23．∴△ABC为直角三角形以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立坐标系，则A(0，)，C23，，23+y2=1，0≤x≤23．u uv u u uv33uu v uu uv42 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 a 与 b 的夹角为（4B ． 2C ． 2 b 且 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，则 (a + b )⋅ (3a - 2b ) = 0 ，2 b 2 +2 b ⨯ b ⨯cos θ - 2 b 2 = 0 ， 2 ， θ =4，∴ a 与 b 的夹角为 4 ，故选 A ．uuu (uu uu)9．设向量 a ， b ， c ，满足 a = b = 1， a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，则 c 的最大值等于（【解析】设 OA = a ， OB = b ， OC = c ，因为 a ⋅ b = - ， a - c , b - c = 60o ，因为 AB = b - a ， AB 2 = (b - a )2 = b 2 + a 2 - 2a ⋅ b = 3 ，所以 AB = 3 ， sin120︒ = 2 ，即过 O ， A ， B ， C 四点的圆的直径为 2，v v v v v v7．已知非零向量 a ， b ，满足 a = 2）A ．ππ3π 4 D ． π【答案】A【解析】非零向量 a ， b ，满足 a =2∴ 3a 2 + a ⋅ b - 2b 2 = 0 ，∴ 3 a 2 + a ⨯ b ⨯ cos θ - 2 b 2 = 0 ，∴ 3 ⨯1 2∴ cos θ =2 π πu uv u uuv8．在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，以 A 为中点的线段 PQ = 2a ，则 BP ⋅ CQ 的最大值为（）A ． -2B ．0C ．2D ． 2 2【答案】B【解析】∵在 Rt △ABC 中斜边 BC = a ，∴ BA ⊥ CA ，∵ A 为线段 PQ 中点，且 PQ = 2a ，uu uuu uuu uu uuuuuv ∴原式 = -a 2 + BA ⋅ AQ - AQ ⋅ CA = -a 2 + AQ BA - CA = -a 2 + AQ ⋅ CB = -a 2 + a 2 cos θ ，uuv uuuv当 cos θ = 1 时，有最大值， BP ⋅ CQ = 0 ．故选 B ．12A ．1B ． 2C ． 3D ．2【答案】Duu v uu uv uuu 1 2所以 ∠AOB = 120 ︒ ， ∠ACB = 60︒ ，所以 O ， A ， B ， C 四点共圆，uu uv u u uv由正弦定理知 2R =AB所以 c 的最大值等于直径 2，故选 D ．10．已知 a 与 b 为单位向量，且 a ⊥ b ，向量 c 满足 c - a - b = 2 ，则 c 的取值范围为（）A ． ⎡⎣1,1 + 2 ⎤⎦B ． ⎡⎣2 - 2,2 + 2 ⎤⎦）⎦⎦v vuuuv uuu v所以D(1,b)，C(3,b)．BD在BC上的摄影BM=BD cosθ=1+b2cosθ，12．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D，E是线段BC上的点，且DE=BC，则AD⋅AE的A．⎢,⎥B．⎢,⎥C．⎢,⎥D．⎢,+∞⎪C．⎡⎣2,22⎤D．⎡⎣3-22,3+22⎤【答案】B【解析】由a，b是单位向量，a⋅b=0，可设a=(1,0)，b=(0,1)，c=(x,y)，由向量c满足c-a-b=2，∴(x-1,y-1)=2，∴(x-1)2+(y-1)2=2，即(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1,1)，半径r=2，∴OC=2，∴2-2≤c=x2+y2≤2+2．故选B．uuuv u u u uuuv uuuv uuu11．平行四边形ABCD中，AC，BD在AB上投影的数量分别为3，-1，则BD在BC上的投影的取值范围是（）A．(-1,+∞)B．(-1,3)C．(0,+∞)D．(0,3)【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设B(a,0)，则C(3,b)，D(a-1,b)，则3-(a-1)=a，解得a=2．uuuv当b→0时，cos→-1，得到：BM→-1，当b→+∞时，θ→0，BM→+∞，故选A．1uuuv uuuv3取值范围是（）⎡84⎤⎣93⎦⎡48⎤⎣33⎦⎡88⎤⎣93⎦⎡4⎫⎣3⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (-1,0) ， C (1,0 ) ，设 D (x ,0 )，则 E x + ,0 ⎪ ， -1 ≤ x ≤ ⎪ ．据此有 AD = (x , -1) ， AE = x + , -1⎪ ，2 1 ⎫2 8 uuuv uuuv 则 AD ⋅ AE = x 2 + x + 1 = x + ⎪ + ．据此可知，当 x = - 时， AD ⋅ AE 取得最小值 ；当 x = -1 或 x = 1 时， AD ⋅ AE 取得最大值 ； uuuv ⎛ 3 的取值范围是 ⎢ , ⎥ ．故选 A ． 1⨯ 2 =- 又 a 与 b 的夹角的取值范围为 [0, π]，故 a 与 b 的夹角为 π ．⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ uuuv 2 ⎫ ⎝⎭⎛ 3 ⎝ 3 ⎭ 91 uuuv uuuv 83 9 uuuv uuuv4 3 3uuuv uuuv AD ⋅ AE⎡ 8 4 ⎤ ⎣ 9 3 ⎦二、填空题13．已知向量 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ， c = (1,λ ) ，若 c ∥(2a + b )，则 λ = ________．【答案】 1．2【解析】因为 a = (1,2 ) ， b = (2, -2) ，所以 2a + b = (4,2 )，又 c = (1,λ ) ，且 c ∥(2a + b )，则 4λ = 2 ，即 λ = 1 2．14．若向量 a ， b 满足 a = 1 ， b = 2 ，且 a ⊥ (a + b ) ，则 a 与 b 的夹角为__________．3【答案】 π4【解析】由 a ⊥ (a + b ) 得， a ⋅ (a + b ) = 0 ，即 a 2 + a ⋅ b = 0 ，据此可得 a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos a , b = -a 2，∴ cos a , b = - 1 2 2，34uuuv uuuv15．已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 是 CD 上的一个动点，则求 AE ⋅ BD 的最大值为________．( )()∴ AE ⋅ BD = AD + λ AB ⋅ AD - AB = AD 2 - λ AB 2 + (λ - 1) A B ⋅ AD = 4 - 4λ ，可得 C (0,0 )， A (0,2 )， B 2 3,0 ，则直线 AB 的方程为 x2 3 +()设 P (x , y )，则 y = 2 - x3 ， 0 ≤ x ≤ 2 3 ， PB = 2 3 - x , - y ， PC = (-x , - y ) ，()+ (2 y ) 2= 4x + 4 y - 8 3x + 12 = 4x + 4 2 - x ⎫2⎪ - 8 3x + 123 x 2 - 40 x - 5 3 ⎫2⎪ + 3 ， ⎝ ⎭ 由 x = 5 3⎣【答案】4uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv【解析】设 DE = λ DC = λ AB ，则 AE = AD + DE = AD + λ AB ，uuuv uuuv uuuv 又 BD = AD - AB ，uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvuuuv uuuv∵ 0 ≤ λ < 1 ，∴当 λ = 0 时， AE ⋅ BD 取得最大值 4，故答案为 4．uuv uuuv16．在 △ABC 中， ∠C = 90 ︒ ， ∠B = 30︒ ， AC = 2 ， P 为线段 AB 上一点，则 PB + PC 的取值范围为____．【答案】 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦【解析】以 C 为坐标原点， CB ， CA 所在直线为 x ， y 轴建立直角坐标系，( ) y2 = 1 ，uuvu uuvu uv u u uv 则| PB + PC 2 = 2 3 - 2 x 2⎛ 2 2 2 ⎝3 ⎭= 16 3 3 x + 28 = 16 ⎛ 3 4 ⎪uuv uuuv 4 ∈ ⎡0,2 3 ⎤⎦ ，可得 PB + PC 的最小值为为uuv uu uv即 PB + PC 的取值范围为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．故答案为 ⎡⎣ 3,2 7 ⎤⎦ ．，uuv uu uv时，则 PB + PC 的最大值。

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ，故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1 BCD ．2【答案】A对点增分集训【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ．5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2-B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+-- ⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ，∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P CQ ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22=c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．【答案】12【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uuu v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+--+ ⎝22161628333x x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡⎣，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。

高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析一、平面向量多选题1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A ．23+ B ．33+ C ．323+ D ．423+ 【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=， 由基本不等式可得()131********μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=当且仅当μ=时，等号成立.所以，λμ+ABC 选项均不满足47λμ++≥. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.4．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =，所以2()3AB BE AB BC+=+,所以1233BE BA BC=+，所以选项B正确；设BD tBE=（0t>），则当n≥2时，由()()1123n n n nBD tBE a a BA a a BC-+==-+-，所以()()111123n n n nBE a a BA a a BCt t-+=-+-，所以()11123n na at--=，()11233n na at+-=，所以()11322n n n na a a a+--=-，易得()114n n n na a a a+--=-，显然1n na a--不是同一常数，所以选项A错误；因为2a-1a=4，114n nn na aa a+--=-，所以数列{1n na a--}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a+-=，所以选项D正确，易得321a=，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中1OA=，则下列结论正确的有（）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．7．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.8．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当()3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -的外接球半径与内切球半径的比值为6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x =-=-，验证当()3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++，即可作出比值．【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误；对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=-， 当()3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，()0,3x ∈， 所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r +=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．10．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF平面MOF l =，则有//l AB 【答案】AD【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ；【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OMOF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A ，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面l AB，故D正确；AB面MOF，由线面平行的性质定理可得：//MOF，所以//故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.。

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C ．D 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，+=a b ⋅=a b （ ）A ．1BC D ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1- B．1C ．D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO=u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuu v uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ）A ．2- B ．32- C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．。

培优点八 平面向量例1：在ABC △中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅的最小值为． 【答案】5-【解析】以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示平面直角的坐标系，则(30)B -，，(30)C ，，(,2)A x ，即(3,2)AB x =---，(3,2)AC x =--，2(3)(3)45AB AC x x x ⋅=---+=-，故当0x =时，取得最小值为5-，此时AB AC =．例2：设a ，b 是两个不共线的单位向量，若c 满足(32)(22)λλ=-+-c a b ，且13=c ，则当-a b 最小时，在a 与b 的夹角的余弦值为．【答案】79-二、平面向量中三点共线问题一、平面向量的建系坐标化应用【解析】作OA =a ，OB =b ，OC =c ，∵(32)(22)λλ=-+-c a b ，且(32)(22)1λλ-+-=，∴,,A B C 三点共线，∵OA OB BA -=-=a b ，13=c ，∴如图所示，当OC AB ⊥时，-a b 最小，又∵a ，b 为单位向量，∴1cos 3AOC ∠=， 即a 与b 的夹角的余弦值为272cos 19AOC ∠-=-．例3：已知A ，B ，C 是平面内不共线三点，O 是ABC △的外心，动点P 满足1[(1)(1)(12)]()3OP OA OB OC λλλλ=-+-++∈R ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．内心B ．垂心C ．外心D ．重心【答案】D【解析】取AB 边的中点M ，则2OA OB OM +=，三、平面向量与三角形的四心问题由1[(1)(1)(12))]()3OP OA OB OC λλλλ=-+-++∈R ，可得322()3(12)OP OM OC OC OM OM MC λλ=++-=++，所以12()3MP MC λλ+=∈R ，即点P 的轨迹为三角形中AB 边上的中线，故选D ．例4：已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ，(cos sin )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x λλ=⋅+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围． 【答案】（1）6π5T =；（2）12⎡--⎣．【解析】（1）由题意得，22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+πcos 222sin(2)6x x x ωωλωλ=-+=-+，∵直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，四、平面向量与三角函数结合∴ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，解得1()23k k ω=+∈Z ， 又∵1(,1)2ω∈，k ∈Z ，∴1k =，56ω=， 即()f x 的最小正周期是6π5． （2）∵()y f x =图象过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭， ∴π()04f =，即πππ2sin()2sin 6264λ5=-⨯-=-=故5π()2sin()36f x x =--∵3π05x ≤≤，∴π5π5π6366x -≤-≤， 即15πsin()1236x -≤-≤，可得5π12sin()236x -≤--≤- 故函数()f x 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为12⎡--⎣．一、选择题1．已知向量(cos 2,sin )θθ=-a ，其中θ∈R ，则||a 的最小值为（）对点增分集训A ．1B ．2CD ．3【答案】A【解析】∵(cos 2,sin )θθ=-a ，∴||===a又∵θ∈R ，∴1cos 1θ-≤≤，即||a 1=．2．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 作直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，设AM xAB =，AN yAC =，则xyx y=+（） A ．3 B ．13C ．2D ．13【答案】B【解析】∵G 为ABC △的重心，∴1133AG AB AC =+， ∵AM xAB =，AN yAC =，∴1133AG AM AN x y=+， 又∵G ，M ，N 三点共线，∴11133x y +=，解得13xy x y =+． 3．若O 为ABC △所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】∵OB OC CB -=，2OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，∴原式化为||||CB AB AC =+，即||AB AC AB AC -=+对角线构成平行四边形为矩形，∴ABC △为直角三角形．4．已知向量(cos 25,sin 25)=︒︒a ，(sin 20,cos 20)=︒︒b ，若t 是实数，且t =+u a b ，则||u 的最小值为（）A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】∵(cos 25,sin 25)=︒︒a ，(sin 20,cos 20)=︒︒b ，∴(cos 25sin 20,sin 25cos 20)t t t =+=︒+︒︒+︒u a b∴||==u==≥=t =时取等号． 5．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC △为（） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】∵()0||||AB ACBC AB AC +⋅=，∴A ∠的角平分线与BC 垂直，即AB AC =，又∵1cos ||||2AB AC A AB AC =⋅=，∴π3A ∠=，即π3B C A ∠=∠=∠=，故三角形为等边三角形．6．在ABC △中，3AN NC =，P 线段BN 上的一点，且(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+ 的最小值时，(,)m n =a 的模为（）A B C D ．2【答案】C【解析】∵3AN NC =，∴4AC AN =，∵AP mAB nAC =+，∴4AP mAB nAN =+，∵,,B P N 三点共线，∴41m n +=，即11114()(4)59m n m n m n m n n m+=++=++≥， 当且仅当4m n n m =，即16n =，13m =时取等号，∴11(,)36=a ，可得6==a ． 7．在平面内有ABC △和点O ，若()()0AB OA OB AC OC OA ⋅+=⋅+=，则点O 是ABC △的（） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心【答案】D【解析】∵()()0AB OA OB AC OC OA ⋅+=⋅+=，AB OB OA =-，AC OC OA =-，∴()()()()0OB OA OA OB OC OA OA OC -⋅+=-⋅+=，即222OA OB OC ==，可得OA OB OC ==，故O 是ABC △的外心．8．O 是平面上定点，,,A B C 是平面内不共线三点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，[0,)λ∈+∞，则P 的轨迹一定通过ABC △的（） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B【解析】设()||AB AB AB '=为AB 上的单位向量，()||ACAC AC '=为AC 上的单位向量，则()||||AB ACAB AC +的方向为BAC ∠的角平分线AD 的方向， 又[0,)λ∈+∞，所以()||||AB AC AB AC λ+与()||||AB ACAB AC +的方向相同， 由()||||AB AC OP OA AB AC λ=++，可得()||||AB AC AP AB AC λ=+，所以点P 在AD 上移动，故P 的轨迹一定是通过ABC △的内心，故选B ． 9．已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++，λ∈R ，则动点P 一定通过ABC △的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【解析】∵()||cos ||cos AB ACAP OP OA AB B AC Cλ=-=+⋅⋅，∴()(||||)0||cos ||cos AB BC AC BCAP BC BC BC AB B AC Cλλ⋅⋅⋅=+=-+=⋅⋅，可得AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，故点P 的轨迹经过ABC △的垂心．10．在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于点H ，记AB =a ，BC =b ，则AH =（）A ．2455-a b B ．2455+a b C ．2455-+a b D ．2455--a b 【答案】B【解析】如图，,E F 分别是BC ，CD 的中点，∵,,A H F 三点共线，∴存在实数m ，使得1()()22mAH mAF m AD DF m BC AB mBC AB ==+=+=+， ∵,,D H E 三点共线，∴存在实数,λμ，且1λμ+=，使得1()()22AH AD AE BC AB BC BC AB μλμλμλμ=+=++=++， 即221m mμλμλμ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得35λ=，45m =，25μ=，故42245555AH BC AB =+=+a b ．11．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34【答案】C【解析】以D 为原点，BC 为x 轴，BC 的垂线为y 轴，建立坐标系，设(,0)B a -，(,0)C a ，(,)A b c ，则(,)33b c F ，22(,)33b c E ， (,)BA b a c =+，(,)CA b a c =-，(,)33b c BF a =+，(,)33b cCF a =-，22(,)33b c BE a =+，22(,)33b cCE a =-， ∵4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，∴2224b a c -+=，222199b c a -+=-，解得2138a =，22458b c +=，即222447998b c BE CE a ⋅=-+=．12．已知O 是ABC △的外心，2AB a =，2AC a=，120BAC ∠=︒，若AO AB AC αβ=+， 则αβ+的最小值为（）A ．2B ．4C ．5D ．【答案】A【解析】如图，以AC 所在直线为x 轴，过点A 作BC 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，()B a -，2(,0)C a ，AC 的中垂线为1x a =，AB 的中垂线为)2a y x =+，求出两直线的交点坐标即圆心坐标1O a ⎛⎝⎭，∴()AB a =-，2(,0)AC a =，1(,)33AO a a =+，∵AO AB AC αβ=+，∴12a a a βα=-+α=，解得21233a α=+，2233a β=+， 即22411()233a a αβ+=++≥（当且仅当221a a=，即1a =时，取等号）．二、填空题13．设π02θ<<，向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，若∥a b ，则tan θ=． 【答案】12【解析】∵向量∥a b ，∴sin 2cos cos 0θθθ-⋅=，又∵cos 0θ≠，∴2sin cos θθ=，即1tan 2θ=． 14．O 是ABC △所在平面上的一点，若()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC △是三角形． 【答案】等腰【解析】∵()(2)OB OC OB OC OA -⋅+-()[()()]OB OC OB OA OC OA --+-()()()OB OC AB AC CB AB AC =-⋅+=⋅+ 22()()||||0AB AC AB AC AB AC =-⋅+=-=， ||||AB AC =．∴ABC △为等腰三角形．15．设++=0a b c ，=c -a b 与c 的夹角为120︒，则(1)t t +-a b 的最小值为．【答案】32【解析】∵++=0a b c ，∴+=-a b c ，又∵-a b 与c 的夹角为120︒，可作OA =a ，OB =b ，OC =-c ，如图所示，令(1)OD t t =+-a b ，∵(1)1t t +-=，∴,,A B D 三点共线，由图可知当OD AB ⊥时，(1)OD t t =+-a b 的值最小，∵=c (1)t t +-a b 的最小值为13sin 6022︒=c ． 16．如图，AB 是半径为3的圆O 的直径，P 是圆O 上异于的A ，B 一点，Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点，且4AQ AB ⋅=，则BQ BP ⋅的值为．【答案】24【解析】如图，以O 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系， 则圆O ：229x y +=，设(3cos ,3sin )P αα，(3,0)A -，(3,0)B ，∵Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点，∴13AQ AP =，解得(2cos ,sin )Q αα-+， 即(1cos ,sin )AQ αα=+，(6,0)AB =，∵4AQ AB ⋅=，∴6(1cos )4α+=，解得1cos 3α=-， 即(5cos ,sin )(3cos 3,3sin )BQ BP αααα⋅=-+⋅-2(5cos )(3cos 3)3sin ααα=-+-+2218cos 153cos 3sin ααα=-+++ 11818cos 1818()243α=-=-⨯-=，故BQ BP ⋅的值为24．三、解答题17．已知向量(sin ,cos )x x =a ，(sin ,sin )x x =b ，(1,0)=-c ．（1）若π3x =，求向量a 、c 的夹角； （2）求函数()f x =⋅a b 的图象的对称中心与对称轴．【答案】（1）5π6；（2）对称中心：ππ1,282k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ，对称轴：π3π28k x =+，k ∈Z ． 【解析】（1）设向量a 、c 的夹角为θ，∵当π3x =时，1)2=a ，(1,0)=-c，∴2cos ||||112θ⋅===-⋅⨯a c a c ， 又∵0πθ≤≤，∴5π6θ=，即向量a 、c 的夹角为5π6． （2）由题意得21cos 21π1()sin sin cos sin 2)2242x f x x x x x x -=⋅=+=+=-+a b ．由ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，得π3π28k x =+，k ∈Z ； 由π2π4x k -=，k ∈Z ，得ππ28k x =+，k ∈Z ． 所以函数()f x 图象的对称轴为π3π28k x =+，k ∈Z ，对称中心为ππ1(,)282k +，k ∈Z ．18．已知向量2(cos ,cos )x x =a ，(sin ,x =b ，且函数()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x 的最大值以及取最大值时x 的取值集合；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2Af =，3a =，b c += 求ABC △的面积．【答案】（1）函数()f x 的最大值为1-，此时x 的取值集合为5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2【解析】（1）∵向量2(cos ,cos )x x =a ，(sin ,x =b ，且函数()f x =⋅a b ，∴21()sin cos sin 221)2f x x x x x x =⋅==+a b1πsin 22sin(2)23x x x ==- 当ππ22π32x k -=+，k ∈Z ，即5ππ12x k =+，k ∈Z 时，()f x 取最大值1，∴函数()f x 的最大值为1-，此时x 的取值集合为5ππ,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ． （2）∵π33()sin()2322Af A =--=-，∴πsin()03A -=， ∵A 为ABC △的内角，∴π3A =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 即2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3a =，23b c +=，故9123bc =-，得1bc =．∴ABC △的面积1133sin 12224S bc A ==⨯⨯=．。

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=uuu v uu u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （ ） A ．1BCD ．2对点增分集训【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-u u uu v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v 14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu vb ，则AO =uuu v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+u u u v u u u v u u u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM 30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+--⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，，由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤u u v u u uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ，∴2213cos 202θ⨯⨯⨯-=b b b ，∴cos θ=，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P C Q ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+uu v uuu v uuu v uu v uuu v uu v uu v uuu v uu v ，当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡-+⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22≤≤c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uuu v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭． 据此有(),1AD x =-u u u v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==u u u v u u u v u u u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y+=，设(),P x y ，则2y =-，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--u u u v，则|()()22222PB PC xy +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+-+ ⎝22161628333x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由0,x ⎡=⎣，可得PB PC +uuv uu u v PB PC +uuv uuu v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。

高三数学数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析一、平面向量多选题1．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线x y e =和ln y x =上的动点，记12,I AQ AB I BP BA =⋅=⋅，则下列命题不正确的是（ ）A ．若12I I =，则()PQ AB R λλ=∈B ．若12I I =，则AP BQ =C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =D ．若AP BQ =，则12I I =【答案】ABD【分析】作出两个函数的图象，利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义分析可得答案.【详解】根据题意，在直线AB 上取点,P Q ''，且满足||||AP BQ ''=，过,P Q ''分别作直线AB 的垂线，交曲线x y e =于1P ，2P ，交曲线ln y x =于12,Q Q ，在曲线xy e =上取点3P ，使13||||AP AP =，如图所示：1||||cos I AQ AB AQ AB QAB =⋅=⋅∠，令||cos ||AQ QAB AQ '∠=，则1||||I AQ AB '=⋅，2||||cos I BP BA BP BA PBA =⋅=⋅∠，令||cos ||BP PBA BP '∠=，则2||||I BP BA '=⋅，若||||AP BQ ''=，则||||AQ BP ''=，若12I I =，则||||AQ BP ''=即可，此时P 可以与1P 重合，Q 与2Q 重合，满足题意，但是()PQ AB R λλ=∈不成立，且||||AP BQ ≠，所以A 、B 不正确；对于选项C ，若PQ AB =λ，此时P 与1P 重合，且Q 与1Q 重合，或P 与2P 重合，且Q与2Q 重合，所以满足12I I =，所以C 正确；对于D ，当P 与3P 重合时，满足13||||AP AP =，但此时3P 在直线AB 上的投影不在P '处，因而不满足||||AQ BP ''=，即12I I ≠，所以D 不正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：利用图象结合平面向量共线知识和平面向量数量积的几何意义求解是解题关键.2．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A ．当0x =时，[]2,3y ∈B ．当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y = C ．若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D ．x y -的最大值为1-【答案】BCD【分析】利用向量共线的充要条件判断出A 错，C 对；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出B 对，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则OP ON OM =+，然后可判断出D 正确.【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故A 错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ 1153(2)222OB OB AB OA OB =+-+=-+，故B 对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故C 对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴，1y ；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故D 正确故选：BCD【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB = C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅= 【答案】BCD【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确； 对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=， 11cos ,212AB ADAB AD AB AD ⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（ ）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．32OA OB OC ++=D ．132DE = 【答案】AC【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =， 所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确；B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误， 故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.5．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC == C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案；【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C C C C =，A 正确. 由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确. 21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+， 同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确.故选：AC .【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．下列各式结果为零向量的有（ ）A ．AB BC AC ++B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.故选：CD【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-．∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC .【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.8．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -， (),0C a ，则()3PA x a y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-即()2,2PB x y PC --+=所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222x y =+-即()PA PB PC ⋅+22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥-故选：BCD.【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.9．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C ．32+D ．32【答案】BCD【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅= 230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅= ()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+-- 故选：BCD【点睛】 本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量，满足=3a，b ()⊥+a a b ，则在方向上的投影为（ ） A ．3B ．C．D【答案】C【解析】考虑在上的投影为⋅a bb，所以只需求出，即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设，是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知，，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量，满足1=a ，2=b ，且向量，的夹角为4π，若λ-a b 与垂直，则实数的值为（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒a b b D ． 2．已知向量，满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ）对点增分集训A ．1B ．C ．D ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点在边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v 14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，是边的中线，是边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u v b ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，是边的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为是边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点和分别在线段和上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ． B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点和分别在线段和上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()1112254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+--⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，为线段上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =．∴ABC △为直角三角形以为原点，为轴，为轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，12y+=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x ⋅=---=+-=-+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量，，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则与的夹角为（ ） A ．4πB ．2πC ．34π D ．【答案】A【解析】非零向量，，满足a 且()()320+⋅-=a b a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴与的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵为线段中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量，，，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则的最大值等于（ ）A ．1B ．C ．D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以，，，四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过，，，四点的圆的直径为2，所以的最大值等于直径2，故选D ．10．已知与为单位向量，且⊥a b ，向量满足2--=c a b ，则的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由，是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22≤≤c B ．11．平行四边形ABCD 中，，在上投影的数量分别为，，则在上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．在上的摄影cos BM BD θθ==uu u v， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，是线段上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则________． 【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ，又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量，满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则与的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b ， 又与的夹角的取值范围为[]0,π，故与的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，是上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v ， ∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，为线段上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B 12y+=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+--+ ⎝22161628333x x x ⎛=-+=-+ ⎝⎭，由x ⎡=⎣，可得PB PC +uuv uu u v 的最小值为 ， 时，则PB PC +uu v uu u v 的最大值为 ，即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。

高三数学 数学平面向量多选题的专项培优练习题(及解析一、平面向量多选题1．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立； 对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭===1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是3D ．若8+=b c ，则ABC 73【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 610222bc A =⨯⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，132BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅<D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为37【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确。

培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题， 如图建系：30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，132CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v 可得：1113223333x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩133E ⎛ ⎝⎭， ∴30,AD ⎛= ⎝⎭uuu v ，536BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）对点增分集训A ．12-B ．12C ．2-D ．2 【答案】D【解析】因为12cos24π⨯⨯=⋅=a b ，所以()22404λλλ-⋅=-⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，7+=a b ，则⋅=a b （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．3D 3 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ， 则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ， 所以ABCD 是直角梯形，且3CM =，30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuu v uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2,3P λλ-，138Q λ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以()111232354848AP BQ λλλλλ⎛⎫⋅=-⋅-=+-- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，，， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即23BC =．∴ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()230C ，，则线段AC 1223y=，(023x ≤≤． 设(),P x y ，则()()2224103232343PB PC x y x y x y x x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，． ∵023x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足22=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ， ∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅uuv uu u v的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v ．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ） A ．1 B C D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤+⎣⎦ B ．22,22⎡⎤-+⎣⎦ C ．2,22⎡⎤⎣⎦D ．322,322⎡⎤-+⎣⎦【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=， ∴()()22112x y -+-=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴2OC =，∴222222x y -≤=+≤+c ．故选B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu uv 上的摄影2cos 1BM BD b θθ==+uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ． 12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，2AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ， 则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴2cos ,12=-=-⨯a b ， 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____． 【答案】3,27⎡⎤⎣⎦【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()23,0B ，则直线AB 的方程为1223xy+=， 设(),P x y ，则23xy =-，023x ≤≤，()23,PB x y =--uu v ，(),PC x y =--uu u v ， 则|()()2222322PB PC x y +=-+uu v uu u v222244831244283123x x y x x x ⎛⎫=+-+=+--+ ⎪⎝⎭221631653402833334x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 由530,234x ⎡⎤=∈⎣⎦，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为 即PB PC +uu v uu u v的取值范围为3,27⎡⎣．故答案为3,27⎡⎣．。

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————培优点八 平面向量1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（ ） A ．3 B ．3- C． D【答案】C【解析】考虑b 在a 上的投影为⋅a bb，所以只需求出a ，b 即可． 由()⊥+a a b 可得：()20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以9⋅=-a b．进而⋅==a b b ．故选C ．2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线， 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形，=．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则A D B E ⋅=u u u v u u u v__________．【答案】14AD BE ⋅=-uuu v uu u v【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下面求E 坐标：令(),E x y ，∴1,2CE x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v，12CA ⎛=- ⎝⎭uu v ， 由3CA CE =uu v uu u v可得：11132233x x y y ⎧⎛⎫⎧-=-= ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E ⎛ ⎝⎭，∴0,AD ⎛= ⎝⎭uuu v，56BE ⎛= ⎝⎭uu u v ，∴14AD BE ⋅=-uuu v uu u v ．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】D【解析】因为12cos4π⨯⨯=⋅=a b ()40λλλ-⋅=⋅=⇒=a b b ，故选D ． 2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+=a b ⋅=a b （ ） A ．1BCD ．2对点增分集训【答案】A【解析】由题意可得：22221427+=++⋅=++⋅=a b a b a b a b ，则1⋅=a b ．故选A ． 3．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =， 则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（ ）A ．1-B ．1C ．D 【答案】B【解析】因为13AM AB =，所以DB AB AD =-uu u v uu u v uuu v ，13DM AM AD AB AD =-=-uuuu v uuu v uuu v uu u v uuu v ，则()22114333DB BM AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v uuu v 14142111332=⨯-⨯⨯⨯+=．故选B ． 4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =u u u vb ，则AO =u u u v（ ）A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b【答案】B【解析】由题意，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，所以12AE AC =uu u v uuu v，又因为O 是BE 边的中点，所以()12AO AB AE =+uuu v uu u v uu u v，所以()1111122224AO AB AE AB AE =+=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v a b ，故选B ． 5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅uu u v uu u v 的最大值为（ ） A ．2- B ．32-C ．34 D ．98【答案】D【解析】因为AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，所以ABCD 是直角梯形，且CM =30BCM ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：因为BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，则(]01λ∈，，()20B ，，()2P λ-，18Q λ⎛ ⎝，所以()111254848AP BQ λλλλ⎛⋅=-⋅-=+--⎝uu u v uu u v ， 令()115448f λλλ=+--且(]01λ∈，， 由基本不等式可知，当1λ=时可取得最大值， 则()()max 119154488f f λ==+--=．故选D ． 6．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅uu v uu u v的范围是（ ） A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，【答案】C【解析】根据题意，ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，则根据余弦定理可得2416224cos6012BC =+-⨯⨯⨯︒=，即BC =ABC △为直角三角形以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立坐标系，则()02A ，，()C ，则线段AC 12y=，(0x ≤≤．设(),P x y ，则()()222443PB PC x y x y x y x x ⋅=---=+-=+uu v uu u v ，，．∵0x ≤≤944PB PC -≤⋅≤uu v uu uv ．故选C ．7．已知非零向量a ，b ，满足=a b 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=ab a b ，则()()320+⋅-=a b a b ，∴22320+⋅-=a a b b ，∴223cos 20θ+⨯⨯-=a a b b ， ∴2213cos 202θ⨯+⨯⨯-=b b b b ，∴cos θ，4θπ=，∴a 与b 的夹角为4π，故选A ．8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则B P CQ ⋅u u v u u uv 的最大值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．【答案】B【解析】∵在Rt ABC △中斜边BC a =，∴BA CA ⊥， ∵A 为线段PQ 中点，且2PQ a =，∴原式()22222cos a BA AQ AQ CA a AQ BA CA a AQ CB a a θ=-+⋅-⋅=-+-=-+⋅=-+u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u v ， 当cos 1θ=时，有最大值，0BP CQ ⋅=uu v uu u v．故选B ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，则c 的最大值等于（ ）A ．1B C D ．2【答案】D【解析】设OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu v c ，因为12⋅=-a b ，6,0--=oa b c c ，所以120AOB ∠=︒，60ACB ∠=︒，所以O ，A ，B ，C 四点共圆，因为AB =-uu u v b a ，()222223AB =-=+-⋅=uu u v b a b a a b ，所以AB =由正弦定理知22sin120ABR ==︒，即过O ，A ，B ，C 四点的圆的直径为2，所以c 的最大值等于直径2，故选D ．10．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（ ）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣【答案】B【解析】由a ，b 是单位向量，0⋅=a b ，可设()1,0=a ，()0,1=b ，(),x y =c ， 由向量c 满足2--=c a b ，∴()1,12x y --=，2=，即()()22141x y +-=-，其圆心()1,1C ，半径2r =，∴OC =22=c B ．11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,3【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系：设(),0B a ，则()3,C b ，()1,D a b -，则()31a a --=，解得2a =．所以()1,D b ，()3,C b ．BD uu u v 在BC uu uv 上的摄影cos BM BD θθ==uu u v ， 当0b →时，cos 1→-，得到：1BM →-，当b →+∞时，0θ→，BM →+∞，故选A ．12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==，D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（ ）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】如图所示，以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,1A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),0D x ，则2,03E x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，113x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭．据此有(),1AD x =-uuu v ，2,13AE x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uu u v ，则222181339AD AE x x x ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭uuu v uu u v ．据此可知，当13x =-时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最小值89；当1x =-或13x =时，AD AE ⋅uuu v uu u v取得最大值43； AD AE ⋅uuu v uu u v 的取值范围是84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选A ．二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________．【答案】12． 【解析】因为()1,2=a ，()2,2=-b ，所以()24,2+=a b ， 又()1,λ=c ，且()2+∥c a b ，则42λ=，即12λ=．14．若向量a ，b 满足1=a ，=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________． 【答案】34π【解析】由()⊥+a a b 得，()0⋅+=a a b ，即20+⋅=a a b ，据此可得2cos ,⋅=⋅⋅=-a b a b a b a ，∴cos ,==a b 又a 与b 的夹角的取值范围为[]0,π，故a 与b 的夹角为34π．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________． 【答案】4【解析】设DE DC AB λλ==uu u v uuu v uu u v ，则AE AD DE AD AB λ=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又BD AD AB =-uu u v uuu v uu u v ，∴()()()22144AE BD AD AB AD AB AD AB AB AD λλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=-uu u v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uuu v uu u v uu u v uuu v，∵01λ≤<，∴当0λ=时，AE BD ⋅uu u v uu u v取得最大值4，故答案为4．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．【答案】【解析】以C 为坐标原点，CB ，CA 所在直线为x ，y 轴建立直角坐标系，可得()0,0C ，()0,2A ，()B ，则直线AB 12y=，设(),P x y ，则2y =，0x ≤≤(),PB x y =-uu v ，(),PC x y =--uu u v ，则|()()22222PB PC x y +=+uu v uu u v2222441244212x y x ⎛=+-+=+--+ ⎝22161628333x x x ⎛=-+=+ ⎝⎭，由x ⎡⎣，可得PB PC +uu v uu u v 的最小值为 ，时，则PB PC +uu v uu u v的最大值为即PB PC +uu v uu u v的取值范围为．故答案为．。

2021届高三理科数学精准培优专练八：平面向量（解析版）1．代数法例1：已知向量a和B满足a=3、B=23和a？？A.B那么B在a方向上的投影是（）a.3[答案]C【解析】考虑b在a上的投影为A.b、所以你只需要a和b.BB？3c。

？332d。

3322被a？？A.B可供选择：a？？A.BA.A.B0所以a?b??9．进而2.几何方法a?b?933．故选c．b223例2：设a，b是两个非零向量，且a?b?a?b?2，则a?b=_______．【答案】23【分析】A，B，A？B是一组相邻的边和一条平行四边形的对角线，它由a？BA.B2.可以看出，只有底角为60o，边长为a？2，所以另一条对角线的长度是3A？23．3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC中，设置BC？加州2bd？3ce，然后是广告？是吗。

aebCduuuv1[答案]广告？是4【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到该图是等边三角形，因此我们考虑使用该系统来解决量积问题。

如图建系：a0,3??2，b12,0???，c??1??2,0??，让我们找到e坐标：让e？x、是吗∴uuceuv1.十、2，y？uuv大约1,3?? 22，?? 由UU？3.十、1.1.1cav？3uuceuv可用：2.2.十、3.∴E13 33? 3,6，? 3y？？2.Y6.∴u uuadv0 3? 乌鲁夫？53? UUUU1？2.是6,6，∴公元是4．对点增分集训一、单选题1．已知向量a，b满足a?1，b?2，且向量a，b的夹角为?4，若a??b与b垂直，则实数?的值为（a．?1122b．2c。

？答案[4D]【解析】因为a?b?1?2?cos?4?2，所以?a??b??b?24?024，故选d．2．已知向量a，b满足a?1，b?2，a?b?7，则a?b?（）a．1b．2c．3d．2[答：]a）【分析】从问题的意义来看：a？BA.B2a？B1.4.2a？B7，那么a？B1.所以选择A.3。

高三数学数学平面向量多选题的专项培优练习题(附解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P 为Rt △ABC 的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立；对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立； 对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y y x x y y a b a b ab a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y =⎪+⎭==1221x y x y =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 610222bc A =⨯⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：12sin 3a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.4．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQB ．2133BP BA BC =+C ．0PA PC ⋅<D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.5．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =-∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系6．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4πD ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.7．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论.当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.8．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.二、立体几何多选题9．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 3C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ． 取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．。