下载文档原格式
高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。
3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。
e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。
4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。
6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。
b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。
7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。
b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。
c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。
这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
平面向量知识点梳理高三平面向量是高中数学中的一个重要概念，它在几何、代数和物理等领域都有广泛的应用。
作为高三学生，我们需要对平面向量的相关知识点进行归纳和总结，以便更好地理解和掌握这一内容。
本文将对高三平面向量的知识点进行梳理，并以合适的格式进行阐述。
一、平面向量的定义和表示方法平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为（x2-x1, y2-y1）。
当然，平面向量也可以用向量的模长和方向角来表示，其中模长表示向量的长度，方向角表示向量与x轴正方向之间的夹角。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量首尾相接形成一个平行四边形，那么这两个向量的和就是平行四边形的对角线向量。
2. 向量的数乘向量的数乘指的是将向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。
数乘可以改变向量的长度和方向，当实数为0时，结果向量为零向量。
3. 向量的减法向量的减法可以理解为将减数取相反数后与被减数相加，即A-B=A+(-B)。
4. 向量的数量积数量积是两个向量的乘积，结果是一个实数。
数量积的计算公式为：A·B = |A||B|cosθ，其中A、B表示向量的模长，θ表示两个向量的夹角。
5. 向量的向量积向量积是两个向量的叉乘，结果是一个向量。
向量积的计算公式为：A×B = |A||B|sinθn，其中A、B表示向量的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示法向量。
三、平面向量的基本性质和定理1. 平行向量的性质如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行向量；如果两个向量的模长成比例，那么它们是共线向量。
2. 平面向量的共线定理如果三个向量共线，那么这三个向量的行列式为0。
3. 平面向量的垂直定理如果两个非零向量的数量积为0，那么这两个向量是垂直的。
高考数学向量知识点梳理向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于多个学科领域，尤其是在高考数学中，向量是一个非常基础且重要的知识点。
本文将对高考数学中的向量知识点进行梳理和总结，帮助同学们更好地掌握和理解这一内容。
一、向量的定义与运算1.1 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段来表示。
向量通常用字母加箭头表示，如→AB。
1.2 向量的表示方法：①点表示法：向量可以由起点A和终点B表示，即→AB；②坐标表示法：向量也可以通过坐标表示，如向量→AB的坐标表示为( x1, y1) - ( x2, y2 )。
1.3 向量的运算：在向量的运算中，主要涉及以下几种基本运算：①向量的加法：→AB + →CD = →AC；②向量的减法：→AB - →CD = →AD；③向量的数乘：k×→AB = →AC，其中k为实数；④向量的共线与共面性：若→AB = k×→CD，则向量→AB与→CD共线；⑤向量的数量积：①两个向量的数量积等于它们长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积；②数量积满足交换律，即→AB·→CD =→CD·→AB；③若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
二、向量的性质和定理2.1 向量的模与单位向量：向量的模表示向量的长度，记作|→AB|。
单位向量是模为1的向量，记作→e。
2.2 向量的平行与垂直关系：两个向量平行的充分必要条件是它们的方向相同或者相反，记作→AB ∥ →CD。
两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为零，记作→AB⊥→CD。
2.3 向量投影：向量→AB在→CD上的投影表示为向量→AD，投影的长度为|→AD|。
2.4 向量的夹角公式：设向量→AB的方向角为α，向量→CD的方向角为β，则有以下夹角公式：① α + β =π，向量方向相反；② α -β = π/2，向量垂直；③ α -β = π/2，向量互余。
三、平面向量的坐标表示对于平面向量→AB，可以用坐标表示来描述它的位置。
对口高考平面向量知识点梳理平面向量是高中数学中的重要概念之一，也是对口高考中的经典考点。
掌握平面向量的相关知识点对于解题和理解几何概念非常重要。
在本文中，将对平面向量的基本概念、运算法则、向量共线以及平面向量与几何知识的关系进行梳理。
一、基本概念1. 平面向量的定义：平面上的箭头表示的有大小有方向的量，我们称之为平面向量。
平面向量通常用小写英文字母加箭头表示，如AB。
2. 平面向量的模：向量AB的模是一个标量，表示向量的长度。
记作|AB|。
3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们即为平行向量。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0，它的方向任意。
二、运算法则平面向量的运算法则是平面向量学习的基础，包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法：向量的加法是满足运算律的，即A+B=B+A。
几何上，向量的加法可以理解为将一个向量从起点移动到另一个向量的终点。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的模与一个实数相乘，记作kA。
三、向量共线向量共线是指两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行的关系。
判断两个向量是否共线有以下方法：1. 数量积为0：如果两个向量的数量积为0，那么它们一定是共线的。
2. 比较方向：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们也是共线的。
向量共线是几何学中的重要概念，我们可以利用共线的性质来解决一些几何问题。
四、平面向量与几何知识的关系平面向量与几何知识密切相关，它可以帮助我们解决几何问题。
1. 向量的线性运算：通过向量的加法和数量乘法，我们可以将几何问题转化为向量的运算，从而更加简洁地解决问题。
2. 向量的模与距离：平面向量的模可以表示向量的长度，通过计算向量的模，我们可以求解两点之间的距离问题。
3. 向量的数量积：向量的数量积可以计算两个向量之间的夹角，这对于解决角平分线、垂直平分线等几何问题非常有帮助。
平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。
平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。
一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。
2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。
平行向量的模长相等。
3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。
零向量的模长为0。
4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。
二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。
向量加法满足交换律和结合律。
2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。
向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。
3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。
4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。
内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。
5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。
外积的结果是一个向量。
三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。
2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。
3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。
4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。
5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。
四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。
2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。
平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量。
2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a、b、c 等来表示向量，手写时可写成带箭头的小写字母。
3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作或。
4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作。
零向量的方向是任意的。
5、单位向量长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量。
6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
二、平面向量的线性运算1、向量的加法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 A，作，，则向量叫做与的和，记作，即。
（2）平行四边形法则：已知两个不共线的向量、，作，，以、为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线上的向量就是与的和。
（3）运算性质：交换律；结合律。
2、向量的减法（1）三角形法则：已知非零向量、，在平面内任取一点 O，作，，则向量叫做与的差，记作，即。
（2）几何意义：可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。
3、向量的数乘（1）定义：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。
（2）运算律：结合律；分配律，。
三、平面向量的基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。
2、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数 x、y，使得，则有序数对叫做向量的坐标，记作，其中 x 叫做在 x 轴上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标。
平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。
平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。
即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。
向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。
2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。
即k×a=(k×a₁, k×a₂)。
4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。
二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。
向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。
2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。
一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。
向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。
2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。
向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。
向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。
四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。
2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。
高三平面向量的知识点总结在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的内容，它不仅是数学学科的基本工具，也常常涉及到物理学、几何学等其他学科中的问题。
在高三这个关键时期，平面向量的知识点更是需要我们熟练掌握。
本文将对高三平面向量的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和运用。
一、平面向量的概念与表示1. 平面向量的定义：平面上的向量是有方向和大小的有序对。
2. 平面向量的表示：用有向线段来表示向量，向量的起点和终点分别代表向量的起点和终点位置。
二、平面向量的运算1. 平面向量的加法：- 几何法：将两个向量的起点放在一起，并在第一个向量的终点处画出第二个向量，连接起点和终点得到所求的向量。
- 代数法：向量的加法可以通过其坐标分量进行运算。
设向量a =a1a +a2a，向量a =a1a +a2a，则向量a+a = (a1+a1)a +(a2+a2)a。
2. 平面向量的数乘：- 几何法：数乘可以改变向量的大小，并保持其方向不变。
数乘为正时，向量与原向量同向；数乘为负时，向量与原向量反向。
- 代数法：向量的数乘可以通过其坐标分量进行运算。
设向量a =a1a +a2a，数a，则a =a1a +a2a。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的共线性：三个向量共线的充分必要条件是其中两个向量的比例相等。
2. 平面向量的共面性：三个非零向量a，a，a共面的必要条件是a，a，a三个向量线性相关。
四、平面向量的数量关系1. 两个向量的夹角：利用向量的数量积可求得两个向量的夹角a，a满足0°≤a≤180°。
2. 两个向量的垂直关系：两个非零向量a，a垂直的充分必要条件是a，a的数量积为0。
即，a•a=0。
五、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积定义：设向量a = (a1, a2)，向量a = (a1, a2)，则a•a = a1a1 + a2a2。
2. 平面向量数量积的性质：- 交换律：a•a = a•a。
专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。
(1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
(2)向量的表示方法：①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。
用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。
(3)向量与有向线段的区别和联系：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段；③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。
向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。
2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。
3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。
4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量0a =。
5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量；(2)规定与任一向量平行。
6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。
7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。
(1)相等向量：=⇔模相等，方向相同；(2)相反向量：b a -=⇔模相等，方向相反。
二、向量的加法1、三角形法则图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。
图示3、多边形法则原理 已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。
图示运算律交换律a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；(2)a a =--)(；(3)0)()(=+-=-+a a a a ；(4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。
2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知：(1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量；(2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；(3)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
四、数乘向量1、数乘向量的定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作aλ。
(1)长度：||||||aa⋅λ=λ，(2)方向：aλ(0≠a)的方向：当0>λ时，与a同方向；当0<λ时，与a反方向。
特别地，当0=λ或0=a时，00=⋅a或00=⋅λ，aλ中的实数λ叫做向量a的系数。
(3)几何意义：就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小。
(4)运算律：设λ、R∈μ，则①aaaμ+λ=μ+λ)(，②aa)()(λμ=μλ；③babaλ+λ=+λ)(。
2、向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算。
3、两个非零向量a、b的夹角：已知非零向量a与b，记aOA=、bOB=，则θ=∠AOB(π≤θ≤0)叫做a与b的夹角。
4、平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量θ⋅⋅cos||||ba叫a与b的数量积，记作ba⋅，即有θ⋅⋅=⋅cos||||baba(π≤θ≤0)。
规定0与任何向量的数量积为0。
5、向量b在a方向上的投影：设θ为a、b的夹角，则θ⋅cos||b为b在a方向上的投影。
投影也是一个数量，不是向量。
当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当 0=θ时投影为||b；当180=θ时投影为||b-。
6、向量的数量积的几何意义：数量积ba⋅等于a的长度与b在a方向上投影θ⋅cos||b的乘积。
7、向量的运算：运算向量形式坐标形式：)(11yxa，=、)(22yxb，=加法求两个向量和的运算平行四边形法则：起点相同，对角线为向量和，记：ACADAB=+。
三角形加法法则：首尾相连，记：ACBCAB=+。
)(2121yyxxba++=+，减法求a与b的相反向量b-的和的运算叫做a与b的差三角形减法法则：)(2121yyxxba--=-，起点相同的两个向量的差，箭头从后指向前，记：BA OB OA =- 终点相同的两个向量的差，箭头从前指向后，记： BC CA BA=-运算律：①交换律：ab b a +=+；②结合律：)()(c b a c b a ++=++；③a a a =+=+00+0。
数乘 实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a λ，a λ是一个向量，||||||a a ⋅λ=λ。
方向：0>λ时，a λ与a 同向；0<λ时，a λ与a 反向；0=λ时，0=λa 。
)(11y x a λλ=λ，运算律：①a b b a ⋅=⋅；②a a μλμ=μλ)()(，)()()(b a b a b a λ=⋅λ=λ；③a a a μ+λ=μ+λ)(，b a b a λ+λ=+λ)(，c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(。
数量积><⋅⋅=⋅b a b a b a ，cos |||| 2121y y x x b a ⋅+⋅=⋅ 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、平面向量的坐标表示：(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使j y i x a +=，把有序数对)(y x ，叫做向量a 的坐标，记作)(y x a ，=，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示。
(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则)(1212y y x x AB --=，，212212)()(||y y x x AB -+-=。
(3)若O 是坐标原点，设j y i x OA +=，则向量OA 的坐标)(y x ，就是终点A 的坐标，即若)(y x OA ，=，则A 点坐标为)(y x ，，反之亦成立。
3、线段的定比分点及λ：设1P 、2P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于1P 、2P 的任一点，则一定存在实数λ，使21PP P P λ=，λ叫做点P 分21P P 所成的比。
有三种情况：0>λ(内分) (外分)0<λ(1-<λ) (外分) 0<λ(01<λ<-)(1)定比分点坐标公式：若点)(111y x P ，，)(222y x P ，，λ为实数，且21PP P λ=，则点P 坐标为)11(2121λ+λ+λ+λ+y y x x ，，我们称λ为点P 分21P P 所成的比。
(2)点P 的位置与λ的范围的关系：①当0>λ时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点；②当0<λ(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点。
(3)若P 分有向线段21P P 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则λ+λ+=121MP MP ； 特别地P 为21P P 的中点⇔221MP +=。
4、向量的重要定理、公式、结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用。
(2)三角形不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-。
(3)重要结论：若||||-=+，则⊥。
(4)向量的模：22||y x +=； 非零向量与b 的夹角：222221212121||||,cos y x y x y y x x b a b a b a +⨯++=⨯>=<。
(5)非零向量)(11y x ，=、)(22y x ，=共线或垂直的坐标表示： ①向量共线：b a //⇔b a λ=⇔1221y x y x =； ②向量垂直：b a ⊥⇔0=⋅⇔02121=⋅+⋅y y x x 。
特别地||||()||||(AC AB AC AB ⊥。
(6)两个向量的数量积的性质：设、b 、c 为两个非零向量，e 是与同向的单位向量。
①θ=⋅=⋅cos ||a a e e a ； ②当与b 同向时，||||⋅=⋅；当与b 反向时，||||⋅-=⋅。
特别的22||a a a a =⋅=或a =|| ③2222||||))((-=-=-+； 222222||2||2||)(b b a a b b a a b a b a +⋅+=+⋅+=+=+；222222||2||2||)(b b a a b b a a b a b a +⋅-=+⋅-=-=-。
④||||||⋅≤⋅。
(7)向量共线定理和向量基本定理①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得λ=。
变形形式：已知直线l 上三点A 、B 、P ，O 为直线l 外任一点，有且只有一个实数λ，使得：⋅λ+⋅λ-=)1(。
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λ+λ=。
(8)线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线l 上三点1P 、2P 、P ，且满足P P PP 21λ=(1-≠λ)，在直线l 外任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，可得b a b a OP λ+λ+λ+=λ+λ+=1111。
重要结论：若直线l 上三点1P 、2P 、P ，O 为直线l 外任一点，则21OP OP OP μ+λ=⇔1=μ+λ。
