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用旋转矢量描述波形及振动曲线与波形的转换杨庆怡;刘奕新;郭进【摘要】类比于简谐振动的旋转矢量描述法, 提出用波动旋转矢量描述波形以及利用振动旋转矢量和波动旋转矢量来实现振动曲线与波形之间相互转换的方法.【期刊名称】《广西科学院学报》【年(卷),期】2010(026)002【总页数】4页(P107-109,115)【关键词】振动曲线;波形;旋转矢量;转换【作者】杨庆怡;刘奕新;郭进【作者单位】广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004;广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004;广西大学物理科学与工程技术学院,广西南宁,530004【正文语种】中文【中图分类】O321Abstract:By comparing w ith harmonic vibration described using the rotation vectorAt,thewave rotating vectorAxwas introduced to describe wave form.A method to realize the transformation between the harmonic vibration curve and the wave form w ith rotation vectorAtwas proposed. Key words:harmonic vibration curve,wave form,rotatingvectors,transformation振动与波是大学物理课程中的基本内容,振动是单一质元在线性回复力的作用下在其平衡位置附近作往复运动的过程;波动则是弹性媒质在弹性力的作用下,由于波源的振动而引起媒质质元从波源开始由里向外依次发生振动的过程.简谐振动和平面简谐波是振动和波动过程中最为简单的情形.振动曲线与波形之间的相互转换是学习振动与波内容时经常遇到的问题,在由x0处质元的振动曲线求时刻的t0波形时,需要考虑该质元的相位、振动方向以及与相邻质元间的相位关系,在明确这些因素之后,即可根据质元的振动曲线作出相应的波形;在由t0的波形求x0处质元振动曲线时,需要根据该时刻的波形确定x0处质元的相位、位移以及振动方向,在明确这些因素之后,即可作出该质元的振动曲线.然而,在大学物理课程的教学过程中,学生在学习了相关的知识之后,并不一定能够熟悉地了解振动过程与波动过程的本质,对振动过程中质元的相位、相位变化以及振动方向和波动过程中质元的位移、振动方向以及质元间的相位关系理解不透彻,从而不能顺利而正确地进行转换.因此,提出一种较为直观的方法可以使学生在学习振动与波的内容时能够更好地掌握振动曲线与波形的转换.类比于简谐振动的旋转矢量描述法,本文提出用波动旋转矢量描述波形以及利用振动旋转矢量和波动旋转矢量来实现振动曲线与波形之间相互转换的方法. 在线性回复力的作用下质元作往复运动时的位移y与时刻t满足的振动称为简谐振动,其中,A为振幅,(ωt+ φ0)为时刻的相位,φ0为初相位.利用(1)式可以求出质元作简谐振动时的速度v和加速度a,由(1)式描述的简谐振动可以用旋转矢量(称为振动旋转矢量)来描述.如图1所示,大小保持不变的矢量At以其始端O为定点以角速度ω沿逆时针方向转动,在初始时刻At与y轴的夹角为φ0,则在时刻t时At与y轴的夹角为(ωt+φ0),则At的终端M在y轴上的投影P为y=Acos(ωt+φ0),从而可以用这样一个旋转矢量来描述质元的简谐振动.利用振动旋转矢量来描述简谐振动的优点是可以方便地作出振动曲线以及直观地了解质元作简谐振动时的相位、位移以及质元的运动方向.根据质元作简谐振动时的速度和加速度,类比于振动旋转矢量描述简谐振动的位移,可以引入速度旋转矢量和加速度旋转矢量来描述简谐振动过程中质元的速度和加速度随时间变化的关系[1].波动的实质是媒质在弹性力的作用下,由于波源的振动引起媒质中一系列的质元从波源开始由里向外先后作简谐振动,描述波源以及所有参与振动的质元振动规律的方程称为波动方程,它反映了波源以及所有参与振动的质元集体作不同步的简谐振动.平面简谐横波的波动方程为其中,“∓”号分别表示波沿x轴正向传播和负向传播,[ω(t∓x/u)+φ0]为x处的质元在时刻t的相位,φ0为坐标原点处质元的初相位,u为波的传播速度.当给定x=x0时(4)式描述的是x0处的质元随时间作简谐振动;当给定t=t0时(4)式描述的是波源以及所有参与振动的质元在时刻t0时的位移,即波形;而当x和t都发生变化时(4)式描述的是所有参与振动的质元的振动规律(即波形随时间的变化),从波形的变化关系来看波形沿波的传播方向移动,因此称为行波.根据(4)式,对于给定的时刻t0波动方程描述的是这一时刻的波形其中,为x= 0处的质元在t0时刻的相位.在用振动旋转矢量描述简谐振动时,At以角速度ω沿逆时针方向转动,在At转动过程中,相位(ωt+φ0)随时间而增大.考虑由(5)式描述的波形,当波沿x轴正向传播时,质元的相位随坐标x而减小,当波沿x轴负向传播时,质元的相位随坐标x而增大;而相距一个波长的两个质元的相位差为2π.根据波形中质元的相位特征以及类比于用振动旋转矢量描述简谐振动,可以引入另一个旋转矢量(称为波动旋转矢量)来描述波动过程中某一时刻的波形[2].如图2所示,大小保持不变的矢量Ax以其始端O为定点以角速度ω转动,在时刻t0,坐标原点处Ax与y轴的夹角为φ′0= ωt0+ φ0,则在Ax的转动过程中,Ax与y 轴的夹角为[∓ (ω/u)x+φ′0],取负号时相位减小,表示Ax沿顺时针方向转动,而取正号时相位增大,表示Ax沿逆时针方向转动.利用关系Δφ = (ω/u)Δx=ωΔt,当Ax旋转一周时,Ax的终端M在y轴上的投影随坐标x的变化即为(5)式描述的在时刻t0时一个周期内的波形,其中,Ax沿顺时针方向转动时得到的是沿x正向传播的波形,而Ax沿逆时针方向转动时得到的是沿x负向传播的波形.通过对振动方程与波动方程的相位以及相位变化的关系进行分析,我们利用旋转矢量法来实现振动曲线与波形之间的相互转换.在振动方程(1)中,质元作简谐振动的相位(ωt+ φ0)随时间而增大,而在波动方程(4)中,对于给定的时刻t0,[ω(t0∓x/u)+φ0]描述了所有参与振动的质元的相位随坐标x变化的关系,当波沿x轴正向传播时,相位随x的增大而减小,而当波沿x轴负向传播时,相位随x的增大而增大.而从振动过程中质元的相位(ωt+ φ0)与波动过程中质元的相位[ω(t-x/u)+ φ0]来看,简谐振动在时刻t0的相位刚好就是该时刻的波形中处于坐标原点处的质元的相位.根据对振动过程和波动过程的相位及变化关系的分析,结合振动曲线和波形的旋转矢量描述方法,可以总结出利用旋转矢量法来描述振动曲线与波形间相互转换的一种便捷而可靠的方法。
大学物理学——振动和波振 动班级 学号 姓名 成绩内容提要1、简谐振动的三个判据（1）；（2）；（3）2、描述简谐振动的特征量： A 、T 、γ；T1=γ，πγπω22==T3、简谐振动的描述：（1）公式法 ；（2）图像法；（3）旋转矢量法4、简谐振动的速度和加速度：)2cos()sin(v00πϕωϕωω++=+-==t v t A dt dx m ； a=）（）（πϕωϕωω±+=+=0m 0222t a t cos -dtxd A 5、振动的相位随时间变化的关系：6、简谐振动实例弹簧振子：，单摆小角度振动：，复摆：0mgh dt d 22=+θθJ ,T=2mghJπ 7、简谐振动的能量：222m 21k 21A A Eω==系统的动能为：）（ϕωω+==t sin m 21mv 212222A E K ；系统的势能为：）ϕω+==t (cos k 21kx 21222A E P8、两个简谐振动的合成（1）两个同方向同频率的简谐振动的合成合振动方程为：）（ϕω+=t cos x A其中，其中；。
＊(2) 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍：当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时，其合振动的振幅表现为时而加强时而减弱的现象，拍频：12-γγγ=＊（3）两个相互垂直简谐振动的合成合振动方程：）（1221221222212-sin )(cos xy 2y x ϕϕϕϕ=--+A A A A ，为椭圆方程。
练习一一、 填空题1．一劲度系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为T 1。
若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m/2的物体，则系统的周期T 2等于 。
2．一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为：A ＝ ；=ω ;=ϕ 。
3．如图，一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，做成一复摆。
已知细棒绕过其一端的轴的转动惯量J ＝3/2ml ，此摆作微小振动的周期为 。
旋转矢量法求解简谐振动初相位唐义思【期刊名称】《科技创新导报》【年(卷),期】2014(0)27【摘要】Abstact:Contains the three elements of the amplitude, frequency, phase angle kinematics equation of simple harmonic vibration, and in these three elements, solving the initial phase of relatively trouble, under normal circumstances are the formula to solve the initial phase,but this method in solving process cumbersome and prone to error, in this paper describes the use of rotation vector method to seek solution of initial phase, the method is used to solve the initial phase is very simple, the operation is also quite small.%简谐振动的运动学方程中包含振幅、角频率、初相位三个要素，而在这三个要素中，初相位的求解相对来说比较麻烦，一般情况下都是采用公式法来求解初相位，但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错，在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法，使用该方法来求解初相位则显得相当简洁，运算量也相当小。
【总页数】1页(P57-57)【作者】唐义思【作者单位】重庆人文科技学院重庆 401524【正文语种】中文【中图分类】G64【相关文献】1.旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用 [J], 樊丽娟;冯云光2.教学中旋转矢量法的应用--以简谐振动为例 [J], 陈新;王赵;唐敏3.旋转矢量法在简谐振动教学中的应用 [J], 王慧娟;管永精;刘奕新4.旋转矢量法在解决简谐振动相关问题中的应用 [J], 陈柯5.用Flash动画和旋转矢量法模拟简谐振动 [J], 岑敏锐因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
旋转矢量法在简谐振动和简谐波问题求解中的应用樊丽娟;冯云光【摘要】求解简谐振动和简谐波问题,一直是大学物理课程中学生学习的难点,其关键是初相位难以确定.若学生掌握了用旋转矢量求解相关问题的方法,则能直观、方便地研究简谐振动,达到化难为易、突破难点的目的.通过实例说明了旋转矢量法在简谐振动和平面简谐波中的运用.【期刊名称】《铜仁学院学报》【年(卷),期】2013(015)006【总页数】4页(P162-165)【关键词】简谐振动;旋转矢量法;初相位;相位差【作者】樊丽娟;冯云光【作者单位】铜仁学院物理与应用工程系,贵州铜仁554300;铜仁学院物理与应用工程系,贵州铜仁554300【正文语种】中文【中图分类】O411在大学物理课程中，求解简谐振动和简谐波的问题一直是学生学习的难点，究其原因，关键是求初相位时遇到困难。
教学中，常用两种方法即解析分析法（由位置坐标和速度的初始条件求初相位）和旋转矢量图示法求初相位，但解析法需要较麻烦的推理过程，学生在求解时常常出现错误，而旋转矢量法充分利用了大家熟悉的几何、三角知识，利用它对简谐振动过程的形象、直观的分析，使求解简谐振动问题变得十分简洁、方便。
1．简谐振动可以用单一频率的谐函数来描述的振动称为简谐振动。
它是周期振动的一种简单形式。
典型的简谐振动有弹簧振子、单摆、复摆和扭摆等。
在忽略阻尼的理想情况下，它们有共同的运动规律。
例如，弹簧振子和扭摆在弹簧的线性范围内的运动；单摆和复摆在小振幅时的运动。
描述它们的振动的动力学方程为：式中x为位移，ω为系统的固有频率，为弹性系数，m为质点质量。
它的解为：，式中 A，φ为待定的积分常数。
此为简谐振动的运动学方程。
2．简谐振动的旋转矢量表示法图1 简谐振动的旋转矢量表示示意图如图 1所示，简谐振动x = Acos(ω t+ φ )可以用一个质点M在以圆心为O，半径为A的圆周上作匀角速度运动来描述。
该圆的半径等于简谐振动的振幅A，M点的角速度ω为振动的圆频率。
精心整理第5章 振动和波动5-1 一个弹簧振子0.5kg m =，50N m k =，振幅0.04m A =，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m 时的瞬时速度、加速度和回复力；(2) (3) 解：式中解： 以平衡位置为坐标原点，水平向右为x 轴正方向。
设物体处在平衡位置时，弹簧1的伸长量为10x ,弹簧2的伸长量为20x ，则应有当物体运动到平衡位置的位移为x 处时，弹簧1的伸长量就为x x +10，弹簧2的伸长量就为x x -20，所以物体所受的合外力为由牛顿第二定律得 2122d ()d xm k k x t =-+即有 2122()d 0d k k x x t m++= 上式表明此振动系统的振动为简谐振动，且振动的圆频率为 振动的频率为 1212π2πk k mων+== 5-4 如图所示，U 形管直径为d ，管内水银质量为m ，密度为ρ，现使水银面作无阻尼自由振动，求振动周期。
解：以平衡时右液面位置为坐标原点，向上为x 轴正方向，建立坐标系。
右液面偏离原点为至x 时，振动系统所受回复力为：振动角频率 2π2d gmρω=振动周期 222ππmT d gρ= 5-5 如图所示，定滑轮半径为R ，转动惯量为J ，轻弹簧劲度系数为k ，物体质量为m ，现将物体从平衡位置拉下一微小距离后放手，不计一切摩擦和空气阻力。
试证明该系统作简谐振动，并求其作微小振动的周期。
习题5-4解：弹簧、滑轮、物体和地球组成的系统不受外力作用，非保守内力作功之和为零，系统机械能守恒，以物体的平衡位置为坐标原点向下为x 轴正方向，建立坐标系。
设平衡时弹簧伸长0l ，有：0kl mg = （1） 物体位于x 位置时（以原点为重力势能零点）： 对上式两边求导：，物体械能于是ω=5-7如图所示，质量为10g的子弹，以01000m sv=速度射入木块并嵌在木块中，使弹簧压缩从而作简谐运动，若木块质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为3810N m⨯，求振动的振幅。
振动与波知识要点一、机械振动1、一种振动：简谐振动掌握：简谐振动的特征；一维简谐振动方程；描述简谐振动的基本物理量（振幅、周期、频率、圆频率、相位）；简谐振动的能量要点：①一维简谐振动方程)cos(ϕω+=t A x →速度方程)sin(ϕωω+-==t A dtdx v (平衡位置处A v m ω=) →加速度方程x t A dt dv a 22)cos(ωϕωω-=+-== (正负最大位移处 A a m 2ω=) ②基本物理量：﹡振幅)0(>A 常量→由振动初始条件决定﹡圆频率)0(>ω常量→由振动系统本身性质决定 （弹簧振子mk =ω ；单摆l g =ω；摆杆l g 23=ω） ﹡周期、频率、圆频率关系：ωπν21==T ； ﹡相位ϕω+=Φt （反映振动状态）： 初相ϕ（0=t ）→常量，由振动初始条件决定；相位差=Φ-Φ=∆Φ12)(12t t -ω（用于单个物体不同时刻间状态变化分析）或相位差=Φ-Φ=∆Φ1212ϕϕ-（用于两个同频率振动相关问题分析） ③振动能量：振动总能量2222121kA A m E E E p k −−−→−=+=弹簧振子ω 动能Φ=2sin E E k ；势能Φ=2cos E E p （相位ϕω+=Φt ）振动过程中，动能和势能随时间变化，变化周期是振动周期的一半，它们相互转化，总能量保持不变2、一种分析方法：旋转矢量法 （※利用旋转矢量法判断时一定要画出旋转矢量图） 掌握：应用旋转矢量法分析初相问题、相位差问题、振动合成问题 要点：①任一时刻旋转矢量相对于x 轴正向的夹角θ表征简谐运动物体此时的振动相位ϕω+=Φt ；在t ＝0时刻，与x 轴正向夹角0θ即表征振动初相ϕ；②任一时刻，旋转矢量端点在x 轴上投影点的位置、运动方向表征简谐运动物体此时的振动位置x 及振动方向；③旋转矢量逆时针方向匀速旋转一周，转过角度πθ2=∆，所用时间ωπ/2=∆t ，表征简谐振动物体作一次完全振动，相位变化π2=∆Φ，振动周期为ωπ/2=T ；某段时间t ∆内旋转矢量旋转过的角度θ∆即表征简谐振动物体在这段时间内的相位变化t ∆=∆=∆Φωθ.3、一种合成：两个同方向同频率简谐振动合成掌握：合振动的分析；振动相长、相消条件要点：同相{),2,1,0(2 =±=∆Φk k π}振动相长，合振幅最大21max A A A +=反相{),2,1,0()12( =+±=∆Φk k π}振动相消，合振幅最小21min A A A -=二、机械波1、平面简谐波的波动方程掌握：①波动方程的几种基本形式； ②波动方程中的物理量分析及相互联系；③波形图的分析； ④由质点振动方程推出波动方程或由波动方程推出某处质点方程的方法；⑤波线上任意两点相位差的分析要点： ①波动方程的基本形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴正向传播 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ϕλνπϕωx t A u x t A y 2cos cos 沿x 轴负向传播 ②基本物理量：﹡波的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）与参与波动的各质点振动的振幅A 、圆频率ω、周期T （频率ν）相同，都仅与波源的振动及性质有关﹡波速u →由传播介质的性质决定﹡波长λ＝两相邻波峰（或波谷）间距【横波】或两相邻密部（或疏部）间距【纵波】与波速u 、周期T （频率ν）间关系为 νλ/u uT == ，而ωπν21==T ﹡同一波线上坐标为x 1和x 2的两质点的振动相位差)(2)(212112x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω→沿x 轴正向传播)(2)(121212x x x x u -=-=Φ-Φ=∆Φλπω →沿x 轴负向传播 ﹡初相ϕ根据x =0处质点在t =0时刻的振动状态确定③波动方程的物理意义：),(t x y﹡代入坐标x →)(t y 坐标为x 处质点的振动方程（注：初相不可化简）﹡代入时刻t →)(x y t 时刻波形（x y -曲线为波形图，判断质点振动速度方向时要注意在振动曲线图和波形图上判断方法的区别）2、波的干涉掌握：①波的干涉现象分析：a. 波的相干条件 ；b. 从相位差角度，从波程差角度分析空间任意点干涉相长和相消问题 ②驻波分析：a. 形成驻波条件； b. 驻波方程的推导；c. 波腹和波节或任意振幅位置的分析d. 半波损失现象分析，由入射波（或反射波）方程推出反射波（或入射波）方程的方法 要点：①波的相干条件：频率相同，振动方向相同，相位差恒定②波的干涉 ﹡两列相干波在叠加点所引起两分振动相位差﹡相长干涉、相消干涉问题（从相位差角度分析；从波程差角度分析）注：从波程差角度分析相长干涉、相消干涉的规律只适用于两相干波源初相相等即21ϕϕ=的情况 λϕϕϕ1212π2r r ---=∆③驻波问题﹡形成条件：相干条件，振幅相同，传播速度相同，沿同一直线相反方向传播﹡驻波方程 21y y y += （要用到2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+）各质点振动频率相同，振幅不同（波腹振幅最大为2A ，波节振幅最小为0，其余质点振幅介于0～2A 之间），相位分布遵循段内同相、邻段反相规律。
简谐振动的三种表示方法“同学们，今天我们来学习简谐振动的三种表示方法。
”我站在讲台上对学生们说道。
简谐振动可是物理学中非常重要的一个知识点啊。
那它的三种表示方法是什么呢？首先就是解析式表示法。
我们可以用一个数学式子来精确地描述简谐振动，比如x=A sin(ωt+φ)，这里的 A 就是振幅，表示振动的幅度大小；ω是角频率，决定了振动的快慢；φ则是初相位。
就好比说钟摆的运动，它的摆动就可以用这样的解析式来表示，我们通过这个式子就能清楚地知道它在不同时刻的位置。
接着是图像表示法。
我们可以通过画出振动的位移随时间变化的图像来直观地了解简谐振动。
就像我们研究弹簧振子的振动时，我们可以把它在不同时间点的位移记录下来，然后画在坐标纸上，这样就能得到一条正弦曲线。
同学们看，这样是不是一下子就能明白它的振动规律了呢？还有就是旋转矢量表示法。
我们可以把简谐振动想象成一个旋转的矢量，这个矢量的长度就是振幅，它旋转的角速度就是角频率。
比如说单摆，我们可以用旋转矢量来很好地理解它的运动过程。
给同学们举个例子吧，大家都见过荡秋千吧。
秋千的来回摆动就是一种简谐振动。
我们可以用解析式来描述它在不同时刻的位置，通过图像看到它的位移变化，还可以用旋转矢量来理解它的运动过程。
这样是不是对简谐振动的理解更深刻了呢？同学们一定要好好理解这三种表示方法，它们在解决很多物理问题时都非常有用。
而且不仅仅是在物理领域，在其他很多方面也都有应用呢。
比如说在机械振动、声波、电磁波等方面都有着重要的意义。
希望同学们通过今天的学习，能真正掌握简谐振动的三种表示方法，以后遇到相关问题就能轻松解决啦。
好了，今天的课就上到这里，同学们还有什么问题吗？。
振动1． 一倔强系数为k 的轻弹簧，下端挂一质量为m 的物体，系统的振动周期为1T ，若将此弹簧截去一半的长度,下端挂一质量为12m 的物体,则系统振动周期2T 等于 （A ）21T （B ）1T （C ）1T /2 （D ）1T /2 （E ）1T /4（C ）弹簧的弹性系数问题：一根弹簧，弹性系数为k ，把它截短以后，k 不是减小了，而是增大了。
为什么？因为我们知道胡克定律为：f kx =（力的大小），即 f k x=。
下面两根弹簧，本来材料、长度、弹性系数都是完全一样的，但是把其中的一根截短，加上相等的拉力f ，截短以后的弹簧伸长量要小于原来长度的弹簧的伸长量，弹性系数k 增大了。
f12T = 22k k =，下端挂一质量为12m的物体，则系统振动周期2T 为：2T 1112222T π⎛=== ⎝2． 图（下左）中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x ，速度v 和加速度a ，下列说法中那一个是正确的？（A ）曲线3、1、2分别表示x 、v 、a 曲线。
（B ）曲线2、1、3分别表示x 、v 、a 曲线。
（C ）曲线1、3、2分别表示x 、v 、a 曲线。
（D ）曲线2、3、1分别表示x 、v 、a 曲线。
（E ）曲线1、2、3分别表示x 、v 、a 曲线。
（E ）位移x 与加速度a 的曲线时刻都是反相的，从图上看曲线1、3反相，曲线2是速度v 曲线；另外，速度比位移的位相超前2π，加速度比速度的位相超前2π，从图上看曲线3比2超前了2π，3是加速度曲线； 曲线2比1超前了2π，1是位移曲线。
3． 在t =0时，周期为T 、振幅为A 的单摆分别处于图（上右）(a)、(b)、(c)三种状态，若选单摆的平衡位置为x 轴的原点，x 轴正向指向右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式分别为（1） ； （2） ； （3） 。
关键是写出初位相，用旋转矢量法最方便：0v (a)(b)t（a ）φ= -π/2（b ）φ= π/2（c ）φ= π所以： （1）Y=Acos (t T π2－2π) （2）Y=Acos (t T π2+2π) （3）Y=Acos (t Tπ2+π)4．一系统作谐振动，周期为T ，以余弦函数表达振动时，初位相为零，在0≤t ≤T /2范围内，系统在t = 、 时刻动能和势能相等。
振 动 学 基 础内容提要一、振动的基本概念1、振动 某物理量随时间变化，如果其数值总在一有限范围内变动，就说该物理量在振动；2、周期振动 如果物理量在振动时，每隔一定的时间间隔其数值就重复一次，称为周期振动；3、机械振动 物体在一定的位置附近作往复运动称为机械振动；4、简谐振动 如果物体振动的位移随时间按余(正)弦函数规律变化，即：()0cos ϕω+=t A x这样振动称为简谐振动；5、周期T 物体进行一次完全振动所需的时间称为周期，单位：秒。
一次完全振动指物体由某一位置出发连续两次经过平衡位置又回到原来的状态。
6、振动频率ν 单位时间内振动的次数，单位：次/秒，称为赫兹〔Ｈz 〕；7、振动圆频率ω 振动频率的π2倍，单位是弧度/秒〔rad /s 〕，即Tππνω22== 8、振幅A 物体离开平衡位置〔0=x 〕的最大位移的绝对值； 9、相位ϕ0ϕωϕ+=t 称为相位或相，单位：弧()rad 。
它是时间的单值增函数，每经历一个周期T ，相位增加π2，完成一次振动； 10、初相位0ϕ 开始计时时刻的相位；11、振动速度v 表示振动物体位移快慢的物理量，即：()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-==2cos sin 00πϕωωϕωωt A t A dt dx v 说明速度的相位比位移的相位超前2π； 12、振动加速度a 表示振动物体速度变化快慢的物理量，即：()()πϕωωϕωω++=+-===020222cos cos t A t A dtx d dt dv a加速度的相位比速度的相位超前2π，比位移的相位超前π； 13、初始条件 在0=t 时刻的运动状态〔位移和速度〕称为初始条件，它决定振动的振幅和初位相，即：⎪⎩⎪⎨⎧-======000000sin cos ϕωϕA v v A x x t t 则可求得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=00022020x v tg v x A ωϕω二、旋转矢量法简谐振动可以用一旋转矢量在x 轴上的投影来表示。
1． 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ⨯ 10－2 m 。
若使物体上下振动，且规定向下为正方向。
（1）t =0时，物体在平衡位置上方8.0 ⨯ 10－2 m处，由静止开始向下运动，求运动方程。
（2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60 m/s 的速度向上运动，求运动方程。
题1分析：求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A 、ω，和ϕ。
其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k ）决定的，即m k /=ω，k 可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相ϕ需要根据初始条件确定。
解：物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F = mg 。
而此时弹簧的伸长量m l 2108.9-⨯=∆。
则弹簧的劲度系数l mg l F k ∆=∆=//。
系统作简谐运动的角频率为1s 10//-=∆==l g m k ω（1）设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向。
由初始条件t = 0时，m x 210100.8-⨯=，010=v 可得振幅m 100.8)/(2210102-⨯=+=ωv x A ；应用旋转矢量法可确定初相πϕ=1。
则运动方程为])s 10cos[()m 100.8(121π+⨯=--t x（2）t = 0时，020=x ，120s m 6.0-⋅=v ，同理可得m 100.6)/(22202022-⨯=+=ωv x A ，2/2πϕ=；则运动方程为]5.0)s 10cos[()m 100.6(122π+⨯=--t x2．某振动质点的x －t 曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达点P 相应位置所需要的时间。
题2分析：由已知运动方程画振动曲线和由振动曲线求运动方程是振动中常见的两类问题。
本题就是要通过x －t 图线确定振动的三个特征量量A 、ω，和0ϕ，从而写出运动方程。
第10章振动与波动一.基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。
2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。
3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。
4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。
5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。
6. 理解机械波产生的条件。
7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。
8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。
9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。
掌握波的相干条件。
能用相位差或波程差概念来分析和确定相干波叠加后振幅加强或减弱的条件。
10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。
二. 内容提要1. 简谐振动的动力学特征作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为2. 简谐振动的运动学特征作谐振动的物体的位置坐标x与时间t成余弦（或正弦）函数关系，即由它可导出物体的振动速度)=tAv-ω+ωsin(ϕ物体的振动加速度)=tAa2cos(ϕ-+ωω3. 振幅A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，即4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间T 称为周期，单位时间内完成的振动次数γ称为频率。
周期与频率互为倒数，即ν=1T 或 T1=ν5. 角频率(也称圆频率）ω 作谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与周期、频率的关系为 ωπ=2T 或 πν=ω26. 相位和初相 谐振动方程中（ϕ+ωt ）项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状态。
t=0时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即应该注意，由此式算得的ϕ在0~2π范围内有两个可能取值，须根据t=0时刻的速度方向进行合理取舍。
7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A ，其角速度等于谐振动的角频率ω，且t=0时，它与x 轴的夹角为谐振动的初相ϕ，t=t时刻它与x 轴的夹角为谐振动的相位ϕω+t 。
Samcef Rotor 在旋转壳体行波振动特性分析方面的应用航空发动机、燃气轮机等旋转机械中的盘-鼓结构，高速转动薄壁轴，篦齿密封组件，高速离心分离机中的薄壁筒等都是高速旋转壳体结构。
这些零、组件均由板、壳或者它们的组合件组成。
板壳零件有承载能力大，重量轻等优点，但却容易引起振动。
这些薄壁的旋转壳体用梁弯曲理论来解释其振动特性已不适用，而应考虑壳体型振动模态，还必须考虑离心力、科氏力对结构固有频率的影响。
高速转动薄壁圆柱壳，周围有气流作用，在转子动力学计算中将其作为杆件考虑计算整个转子的弯曲临界转速和不平衡响应是可以的。
但是本身还有壳体振动的特性，振动特性与转子动力学特性不一样，振动频谱宽广，还具有由于转动而引起的行波振动。
目前对这类结构通常以梁模型或者三维模型进行常规的转子动力学特性分析，但包括行波振动的振动特性分析并不多见。
比利时LMS 国际公司的Samcef Rotors 转子动力学分析软件不但采用利用一维梁模型、二维轴对称模型和三维模型计算分析轴系的临界转速、频率响应和时间域瞬态响应，还可以利用新版本中还增加的旋转坐标系功能，对高速旋转壳体的行波振动特性进行计算分析。
1 旋转体行波振动1.1 转动轮盘行波振动我们知道，轮盘转动是将产生行波振动，在静止坐标观察其前、后行波振动频率为：Ω-=Ω+=m f f m f f d b d f式中：f f —— 前行波频率； b f —— 后行波频率；d f —— 转动时轮盘固有频率（动频）； Ω—— 轮盘旋转频率； m —— 节径数。
共振坎贝尔图（Campbell ）如图1所示。
轮盘振动时位移只考虑轴向位移，与转动矢量一致，因此转动时科氏力没有影响。
在转动轮盘上的传感器感受到的固有频率是动频，前后行波合成是一相对轮盘不转动的振动。
在静止坐标系看，有前后行波分别为Ω+=m f f d f 和Ω-=m f f d b 。
图1 转动轮盘的共振图1.2 转动壳体行波振动在旋转壳体中，由于转动矢量与变形速度矢量不是一致的，不仅有离心力的影响，而且存在科氏力的影响。
