【哈三中高一期末】哈三中2018-2019学年高一上学期期末考试 数学(高清含答案)

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高一上第二次阶段性验收数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题）1.的值是 cos 120∘()A.B.C. D.‒321232‒12【答案】D 【解析】解：cos 120∘=cos (180∘‒60∘)=‒cos 60∘=‒12故选：D ．根据诱导公式，转化为的余弦值．60∘本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，属基础题．2.已知为第四象限角，，则 αcosα=513sinα=()A.B.C.D.‒1213‒5135131213【答案】A【解析】解：为第四象限角，，∵αcosα=513，∴sinα<0∵sinα=‒1‒cos 2α=‒1‒(513)2=‒1213故选：A ．先根据为第四象限角，可知，再根据同角三角函数基本关系式可求的值．αsinα<0sinα本题以三角函数为载体，考查同角三角函数的平方关系，解题时应注意判断三角函数的符号．3.设，则 g(x)={2x ,x ≤0log 2x,x >0g(g(12))=()A. B.C. 2D.‒2‒1212【答案】D【解析】解： ，∵g(12)=log 212=‒1，∴g(‒1)=2‒1=12先求，再求即可．g(12)=‒1g(‒1)=12本题考查了函数的值，属基础题．4.已知扇形的面积是，弧长是4cm ，则该扇形圆心角的弧度数是 4cm 2()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题利用扇形的面积求出扇形的半径，然.后求出扇形的圆心角．【解答】解：因为扇形的弧长为4，面积为4，所以扇形的半径为：，解得：，12×4×r =4r =2则扇形的圆心角的弧度数为．42=2故选B ．5.当时，函数和的图象只可能是 0<a <1y =log a x y =(1‒a)x ()A. B.C.D.【答案】C【解析】解：由得是减函数，是增函数从而确定C <a <1y =log a x y =(1‒a)x .故选：C ．由来确定函数的单调性，再对照图象确定．0<a <1本题主要考查函数的图象在研究性质中的应用．6.已知角的终边过点，则的值是 θ(2,‒4)sin(π‒θ)sin (π2+θ)()A. B.C. 2D.‒2‒1212【解析】解：角的终边过点，则，θ(2,‒4)sin(π‒θ)sin (π+θ)=sinθcosθ=tanθ=‒42=‒2故选：A ．由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．7.若，则x 取值范围为 x 3<x 12()A. B. C. D. (‒∞,1)(1,+∞)(0,1)(‒∞,0)【答案】C【解析】解：在同一坐标系内画出函数和的图象，如图所示；y =x 3y =x 1由图象知，不等式的解集是，x 3<x 12(0,1)故选：C ．在同一坐标系内画出函数和的图象，根据图象写出不等式的y =x 3y =x 12x 3<x 12解集即可．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.在中，，，则的值为 △ABC ∠C =120∘tanA +tanB =233tanAtanB ()A.B.C.D.14131253【答案】B 【解析】解：，tan(A +B)=tan (180∘‒120∘)=3=tanA +tanB 1‒tanAtanB=2331‒tanAtanB故，即．1‒tanAtanB =23tanAtanB =13故选：B ．根据，先求出的值，再求．A +B =180∘‒C =60∘tan(A +B)tanAtanB 本题主要考查两角和与差的正切公式属基础题．.9.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则实数x 的取值范围是 f(x)[0,+∞)f(x ‒1)>f(1)()A. B. (‒∞,0)∪(2,+∞)(0,2)C. D. (‒∞,0)(2,+∞)【答案】B【解析】解：是偶函数，它在上是减函数，f(x)[0,+∞)若，则，f(x ‒1)>f(1)|x ‒1|<1，∴‒1<x ‒1<1解得，0<x <2实数x 的取值范围是．∴(0,2)故选：B ．根据题意把化为，求出解集即可．f(x ‒1)>f(1)|x ‒1|<1本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，是基础题．10.若函数在上有零点，则实数a 的取值范围为 f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)()A. RB. C. D. (‒2,+∞)(‒2,‒1)(‒1,+∞)【答案】D【解析】解：函数在上有零点，∵f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)在上有零点，∴x ‒a =(13)x(0,+∞)令，，g(x)=x ‒a ℎ(x)=(13)xx ∈(0,+∞)由可得，，结合图象可知，，g(0)=1a =‒1‒a <1∴a >‒1故选：D ．由函数在上有零点，可得在上有零点，结合函数的图象可判断f(x)=3x(x ‒a)‒1(0,+∞)x ‒a =(13)x(0,+∞)本题考查了函数的零点，函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．11.若，则 2lgx+5lgy≥5lg 1x+2lg 1y()A. B. C. D. x ≥yx ≤y xy ≥1xy ≤1【答案】C【解析】解：，∵2lgx +5lgy≥5lg 1+2lg 1即，∴2lgx ‒5lg 1x≥2lg1y‒5lgy2lgx ‒(15)lgx ≥(12)lgy ‒5lgy令，则f(x)=2lgx‒(15)lgxf(1y )=2lg 1y‒(15)lg 1y=(12)lgy ‒5lgy 在上单调递增，且，∵f(x)(0,+∞)f(x)≥f(1y )，∴x ≥1y故选：C ．∴xy ≥1由已知可知，，结合不等式的特点，考虑构造函数，结合函数的单调2lgx‒5lg 1≥2lg 1‒5lgyf(x)=2lgx ‒(15)lgx性可判断本题主要考查了利用对数函数的单调性及复合函数单调性的应用，解题的关键是构造函数并能灵活利用函数的单调性．12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数f(x)(‒∞,0)∪(0,+∞)x >0f(x)={2|x ‒1|‒1,0<x ≤21f(x ‒2),x >2的零点个数为 个．g(x)=2f(x)‒1()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】解：函数是定义在上的偶函数，∵f(x)(‒∞,0)∪(0,+∞)当时，，x >0f(x)={2|x ‒1|‒1,0<x ≤212f(x ‒2),x >2在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，由图可得：函数图象与直线有6个交点，f(x)y =12故选：B ．函数的零点个数等于函数图象与直线交点的个数，数形结合可得答案．g(x)=2f(x)‒1f(x)y =12本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数且过定点的坐标是______．f(x)=a x ‒3+2(a >a ≠1)【答案】(3,3)【解析】解：因为当时，函数值，x =3f(3)=3可得函数过定点，f(x)P(3,3)故答案为： 3，．(3)首先根据函数过定点，知道其中的a 是不起作用，然后可知当时，a 不起作用，即可得到定点坐标．x =1本题主要考查了函数的性质，过定点问题是函数中的一类小的题型，一般思路都是设法让函数解析式中的参数不起作用，从而得到定点的坐标．14.若，则的最大值为______．f(α)=3sinα+4cosαf(α)【答案】5【解析】解：，其中，∵f(α)=3sinα+4cosα=32+42sin(α+φ)=5sin(α+φ)≤5tanφ=43的最大值为5．∴f(α)故答案为：5．利用两角和的正弦函数公式化简函数，利用正弦函数的性质即可得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．15.设，且，则______．α,β∈(0,π2)tanα‒tanβ=1cosβ2α‒β=【答案】π2【解析】解：，∵tanα‒tanβ=1cosβ，∴sinαcosα‒sinβcosβ=1cosβ，∴sinαcosα=1cosβ+sinβcosβ=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ‒cosαsinβ=sin(α‒β)由诱导公式可得：，cosα=sin(α‒β)=cos [π2‒(α‒β)]，∵α,β∈(0,π2)，则，即．∴π2‒(α‒β)∈(0,π)α=π2‒(α‒β)2α‒β=π2故答案为：．π2把已知等式化切为弦，整理后利用两角差的余弦及三角函数的诱导公式求解．本题考查由已知三角函数值求角，考查两角和与差的三角函数，是基础题．16.设函数，已知对于任意，如果、满足，f(x)=x 2‒(k 2‒5ak +6)x +7(a,k ∈R)k ∈[0,3]x 1x 2x 1∈[k,k +a]，都有，则正实数a 的最大值为______．x 2∈[k +2a,k +4a]f(x 1)≥f(x 2)【答案】26‒45【解析】解：由，，，k ∈[0,2]x 1∈[k,k +a)x 2∈[k +2a,k +4a]可得，，a >0x 1<x 2对于，f(x)=x 2‒(k 2‒5ak +3)x +7恒成立，f(x 1)≥f(x 2)即为，x 21‒(k 2‒5ak +3)x 1+7≥x 22‒(k 2‒5ak +3)x 2+7化为，(x 1‒x 2)[x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)]≥0即有，x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)≤0即恒成立，k 2‒5ak +3≥x 1+x 2由，，x 1∈[k,k +a)x 2∈[k +2a,k +4a]可得，x 1+x 2<k +a +k +4a =2k +5a 即对恒成立，k 2‒5ak +3≥2k +5a k ∈[0,2]可得，5a ≤k 2‒2k +31+k 由，，t =1+k t ∈[1,3]则，k 2‒2k +31+k=(t ‒1)2‒2(t ‒1)+3t=t +6t ‒4≥26‒4当，即，上式取得等号，t =6∈[1,3]k =6‒1则，5a ≤26‒4的最大值为：∴a 26‒4故答案为：．26‒45运用分解因式，可得，即有，即(x 1‒x 2)[x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)]≥0x 1+x 2‒(k 2‒5ak +3)≤0恒成立，由条件可得对恒成立，可得，运用k 2‒5ak +3≥x 1+x 2k 2‒5ak +3≥2k +5a k ∈[0,2]5a ≤k 2‒2k +31+k 换元法和基本不等式即可得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题的解法、注意运用转化思想和参数分离以及基本不等式求最值，考查了推理能力与运算能力，属于难题．三、解答题（本大题共4小题）17.已知．cosα‒2sinαsinα+2cosα=2求的值；(1)tanα若，求的值．(2)π2<α<πsin(α+π4)【答案】解：已知，．(1)∵cosα‒2sinαsinα+2cosα=2=1‒2tanαtanα+2∴tanα=‒34若，，，，．(2)π2<α<π∵tanα=‒34=sinαcosαsin 2α+cos 2α=1∴sinα=35cosα=‒45．∴sin(α+π4)=22sinα+22cosα=22(sinα+cosα)=22⋅(‒15)=‒210【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值．(1)tanα由题意利用同角三角函数的基本关系，求得和的值，再利用两角和的正弦公式，求得的(2)sinαcosαsin(α+π4)值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于基础题．18.已知定义域为R 的函数是奇函数．f(x)=a ‒22x+1求a 的值；(1)设，当时，求函数的最大值和最小值．(2)g(x)=4x+2f(x)‒1x ∈[‒1,2]g(x)【答案】解：定义域为R 的函数是奇函数，(1)f(x)=a ‒22x+1可得，即，f(0)=a ‒1=0a =1则，，f(x)=1‒21+2x=2x ‒12x +12‒22x +1由，f(‒x)+f(x)=2‒x ‒12‒x +1+2x ‒12x +1=1‒2x 2x +1+2x ‒12x +1=0可得为奇函数，f(x)故；a =1，(2)g(x)=4x +2f(x)‒1=4x +2‒22x +1=4x ‒2x ‒1可令，由，可得，t =2xx ∈[‒1,2]12≤t ≤4则函数，y =t 2‒t ‒1=(t ‒12)2‒54可得函数y 在递增，12≤t ≤4即有即时，取得最小值；t =12x =‒1g(x)‒54即时，取得最大值11．t =4x =2g(x)【解析】由奇函数的性质可得，解方程可得a 的值；(1)f(0)=0求得的解析式，令，由，可得，即有函数，运用二次(2)g(x)t =2xx ∈[‒1,2]12≤t ≤4y =t 2‒t ‒1=(t ‒12)2‒54函数的单调性可得所求最值．本题考查函数的奇偶性的定义和性质，考查指数函数的单调性和可化为二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．19.若．sin2α=55,sin(β‒α)=1010α∈[π4,π],β∈[π,32π]求的值；(1)cos2α求．(2)α+β【答案】解：，，(1)∵α∈[π4,π]∴2α∈[π2,2π]又，，∵sin2α=55>0∴2α∈(π2,π)；∴cos2α=1‒15=255，，(2)∵α∈[π4,π]∴‒α∈[‒π,‒π4]，又∴β‒α∈[‒3π4,3π4]0<sin(β‒α)=1010<22，，∴β‒α∈(0,π2)∴cos(β‒α)=1‒110=31010，∵α+β=2α+(β‒α)∈(π2,3π2)．∴sin(α+β)=sin[2α+(β‒α)]=sin2αcos(β‒α)+cos2αsin(β‒α)=55×31010+255×1010=22．∴α+β=3π4【解析】判断出，确定；(1)2α∈(π2,π)cos2α=1‒15=255由，和可得(2)α+β=2α+(β‒α)∈(π2,3π2)sin(α+β)=sin[2α+(β‒α)]=sin2αcos(β‒α)+cos2αsin(β‒α)．α+β=3π4本题考查的知识点是两角和的正弦公式和平方关系，注意变角，考查推理能力和计算能力．20.已知函数的定义域为，值域为，且为减函数，求实数f(x)=log a x ‒3[m,n)(log a a(n ‒1),log a a(m ‒1)]f(x)a 的取值范围．【答案】解：按题意，得．log a m ‒3m +3=f(x )max =log a a(m ‒1)，即　∴{m ‒3m +3>0m ‒1>0m >3由题意，log a n ‒3n +3=f min (x)=log a a(n ‒1)关于x 的方程，∴log a x ‒3=log a a(x ‒1)在内有二不等实根、n ，(3+∞)x =m 关于x 的二次方程在内有二异根m 、n ，⇔ax 2+(2a ‒1)x +3(1‒a)=0(3,+∞)．⇔{a >0,a ≠12△=(2a ‒1)2‒12a(1‒a)>0‒2a ‒12a >39a +3(2a ‒1)+3(1‒a)>0⇔0<a <14故．0<a <14【解析】由已知中在上为减函数，根据函数的单调性以及对数式中底数及真数的限制条件，可得f(x)[m,n)，关于x 的方程函数在内有二不等实根m 、n ，令m >3f(x)=log a x ‒3x +3=log a a(x ‒1)(3,+∞)，利用零点存在定理以及二次函数的性质列出不等式组，得到答案即可．Φ(x)=ax 2+(2a ‒1)x +3(1‒a)本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，据函数的单调性求出的最大值求出m 的范围，根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程在f(x)log a =log a a(x ‒1)内有二不等实根m 、n ，并由此构造关于a 的不等式组．(3,+∞)。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P⊆∁R QD. Q⊆∁R P【答案】B【解析】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．此题只要求出x2＜4的解集{x|-2＜x＜2}，画数轴即可求出．此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2.已知向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：∵向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，∴，解得λ=．∴实数λ的值为．故选：C．利用向量平行的性质能求出实数λ．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a =2k π+⇒a =k π+（k ∈Z ）， 或2a =2k π-⇒a =k π-（k ∈Z ），故选：A ．本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a =+2k π代入cos2a 易得cos2a =成立，但cos2a =时，a =+2k π（k ∈Z ）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. 已知数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=，则t a na 7等于（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=， 则：，解得：，所以：tan．故选：B ．直接利用等差数列的通项公式的应用和特殊角的三角函数的值求出结果．1本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，三角函数的特殊值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5. 已知变量x 、y 满足的约束条件，则z =3x +2y 的最大值为（ ）A. -3B.C. 4D. -5【答案】C【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由z =3x +2y ，则y =，平移直线y =，由图象可知当直线y =，经过点A 时，直线y =的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A（2，-1），此时z max=3×2-2=4，故选：C．作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6.阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2=-1）（）A. 1B. -1C. iD. -i【答案】D【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=i2019的值．S=i2019=（i4）504•i3=-i．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了程序框图的应用问题，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】D【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则B1O=C1O==，BC1==2，BO==，∴cos∠C1BO===．∴∠C1BO=30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．推导出AD1∥BC1，从而∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AD1与BO所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A. 4B. 2C. 2D. 1【答案】A【解析】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，∴，解得，b=．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：==4故选：A．依题意可求得c，根据c=和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．本题主要考查了双曲线的简单性质．双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练．9.若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A.B.C. 2D.【答案】A【解析】解：几何体为不规则放置的四棱锥P=ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：=．故选：A．作出几何体的直观图，将四棱锥分解成棱柱与两个小三棱锥计算体积．本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．10.已知椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，P为椭圆上的一个动点，则P与定点B（-1，0）连线距离的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】解：椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，可得：，解得a=，椭圆方程为：+x2=l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（-1，0）连线距离：==，当cosθ=时，取得最大值：．故选：C．利用椭圆的离心率求出a，然后设出P，然后利用两点间距离公式，转化求解最值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．11.已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN=3，NP=4，MP=5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，作图，易知∠PNM=90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q-MNP的最大体积为10，可得O′Q=5，在△OO′P中，OP2=OO′2+O′P2，∴R2=（5-R）2+，得R=，∴该球的表面积为：=，故选：B．由三个边长可知MN，NP垂直，可知球心O的位置在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，作出图形，利用直角三角形得到关于半径的方程，即可得解．此题考查了球内接三棱锥问题，难度不大．12.已知函数f（x）=，则函数y=f（f（x））的零点个数为（）A. 6B. 7C. 9D. 10【答案】B【解析】解：x≤5时，f（x）=x3-x2-3x+2，f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1），令f′（x）=0，解得：x＞3或x＜-1，故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值=f（-1）=，f（x）极小值=f（3）=-7，f（5）=，而f（-3）=-7，f（-2）=，f（0）=2，f（1）=-＜0，f（4）=-4，f（5）=，故存在x1∈（-3，-2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）=0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→-2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y=f（f（x））的零点个数即y=f（x）和y=x1，y=x2和y=x3的交点个数，结合图象f（x）和y=x1有4个交点，f（x）和y=x2的图象有3个交点，f（x）和y=x3的图象没有交点，故函数y=f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．根据函数的单调性画出函数f（x）的图象，结合图象求出y=f（f（x）））的零点个数即可．本题考查了函数和方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．【答案】【解析】解：椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，可得a2+b2=4，即c=2，双曲线的离心率为2，所以a=1，则b=，所以双曲线=1的方程为：．故答案为：．求出焦点坐标，得到a，b的关系式，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2-2）＜f（1）的x的取值范围是______．【答案】（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）【解析】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2-2）＜f（1）⇒f（|x2-2|）＜f（1）⇒|x2-2|＞1，解可得：x＜-或-1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）；故答案为：（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）．根据题意，由函数的单调性以及奇偶性可得f（x2-2）＜f（1），解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．15.过点（-4，0）作直线L与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为______．【答案】x=-4或5x+12y+20=0【解析】解：圆x2+y2+2x-4y-20=0 即（x+1）2+（y-2）2=25，∴圆心（-1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8=2∴d=3．当直线L的斜率不存在时，方程为x=-4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y-0=k（x+4），即kx-y+4k=0，由圆心到直线的距离等于3得=3，∴k=-，直线L的方程为5x+12y+20=0．综上，满足条件的直线L的方程为x =-4或5x+12y+20=0，故答案为：x=-4或5x+12y+20=0．先求出圆心和半径，由弦长公式求出圆心到直线的距离为d的值，检验直线ι的斜率不存在时，满足条件；当直线ι的斜率存在时，设出直线ι的方程，由圆心到直线的距离等于3解方程求得斜率k，进而得到直线ι的方程．本题考查利用直线和圆的位置关系求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．16.设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，且S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为______．【答案】62【解析】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，{a2k-1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k=a2k-1+a2k可得，T k==2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32=2112＞2019．由S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，利用等差数列的求和公式即可可得S62，S63，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c-2a）cos B+b cos C=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若=12，b=2，求a，c的值．（其中a＜c）【答案】解：（Ⅰ）已知等式（c-2a）cos B+b cos C=0，利用正弦定理化简得：（sin C-2sin A）cos B+sin B cos C=0，整理得：sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos B，即sin（B+C）=sin A=2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B=，则B=60°；（II）由=12，得：ac cos B=12，①又由（I）知B=60°，∴ac=24，②由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，将b=2及①代入得：a2+c2=52，∴（a+c）2=a2+c2+2ac═52+2×24=100，∴a+c=10，③由②③知a、c是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a=4，c=6．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B的值，即可确定出B的度数；（II）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式ac cos B=12，记作①，把B的度数代入求出ac的值，记作②，然后利用余弦定理表示出b2，把b，ac及cos B的值代入求出a2+c2的值，利用完全平方公式表示出（a+c）2，把相应的值代入，开方求出a+c 的值，由②③可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．同时注意完全平方公式的灵活运用．18.数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n=1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）证明：a1=2，a n+1=S n（neN*），a n+1=S n+1-S n=S n，即为S n+1=2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n=2n；（Ⅱ）a n+1=S n=2n，即a n=2n-1，n≥2，b n=1ga2n=lg22n-1=（2n-1）lg2，则前n项和T n=lg2•（1+3+…+2n-1）=n2lg2．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a n+1=S n+1-S n=S n，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（I）若PA=PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），设=λ（0＜λ＜1），则M（-2λ，λ，（1-λ）），平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=，则，∵二面角M-BQ-C大小为60°，∴=，解得λ=，此时=．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明AD⊥PB；（Ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.在圆O：x2+y2=4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，得x2+4y2=4．所以E的方程为=1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△=（-8mk）2-16（k2+4）k2（m2-1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，依题意OM⊥ON，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，又y1y2=（-x1+m）（-x2+m）=x1x2-（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2=（1+）x1x2-（x1+x2）+m2=0，（1+）-•+m2=0，解得：k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，∴=k•+，=k•+，化为：+=0，把k2=代入上式化为：10m2+m-6=0，解得m=（舍去），或-．∴k2==2，解得k=．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y=x-．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，可得E的方程．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）．利用根与系数可得x1+x2，x1x2，依题意OM⊥ON，可得•=0，即x1x2+y1y2=0，化为k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，可得=k•+，代入化简解出即可得出．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、向量垂直与数量积的关系，考查推理论证能力、运算求解能力、化归与转化思想方法，属于难题．21.已知函数f（x）=ln x+（x-1）（ax-a-1）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n 均成立，其中e为自然对数的底数．【答案】（1）解：当a=0时，f（x）=ln x+1-x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）=0；（2）解：f′（x）=（ax-a-1）+（x-1）•a=．．∵x＞1∴x-1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）=0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）=0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）=0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln=．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．【解析】（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的导数，利用单调性求最大值；（Ⅱ）求得f′（x）=．分：当a≤0时，当a0时，当0＜a0时，讨论即可．（Ⅲ）要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．利用，即可证明本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第3问难度比较大，是一道综合题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x-2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-6ρsinθ+8=0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．【答案】解：（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2-2x-6y+8=0，因此，曲线C2的普通方程为（x-1）2+（y-3）2=2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx-y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2-6k-7≥0，解得k≥7．直线kx+y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k-7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．【解析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可求出曲线C2的直角坐标方程；（2）将曲线C1的方程表示为分段函数的形式，由题意得直线kx-y-2k=0与直线kx+y-2k=0与曲线C2都相交，然后列不等式即可求出k的取值范围．本题考查曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时考查了计算能力，属于中等题．23.已知关于x的不等式|x-a2|+|x+2a-5|＜5．（Ⅰ）当a=时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）a=时，|x-|+|x-2|＜5，故或或，解得：-＜x＜，故不等式的解集是{x|-＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x-a2|+|x+2a-5|≤|x-a2-x-2a+5|=|a2+2a-5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．【解析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）＝（）A．2B．﹣3C．7D．13．（5分）已知集合，B＝{α|0＜α＜π}，A∩B＝C，则C＝（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝2x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②y＝x2，③，④y＝x﹣1B．①y＝x3，②y＝x2，③，④y＝x﹣1C．①y＝x2，②y＝x3，③，④y＝x﹣1D．①，②，③y＝x2，④y＝x﹣16．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）7．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，，则A＝（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．（5分）已知，则cos（α+β）＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）＝tanωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值为，则ω＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知sinα﹣cosα＝﹣，则tanα+的值为（）A．﹣4B．4C．﹣8D．811．（5分）记a＝log sin1cos1，b＝log sin1tan1，c＝log cos1sin1，d＝log cos1tan1，则四个数的大小关系是（）A．a＜c＜b＜d B．c＜d＜a＜b C．b＜d＜c＜a D．d＜b＜a＜c 12．（5分）已知函数f（x）＝cos x，若存在x1，x2，…，x n满足，且，则n的最小值为（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）在0°到360°范围内，与角﹣60°的终边相同的角为．14．（5分）先将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的解析式为．15．（5分）下列说法中，正确的序号是．①y＝|sin x|的图象与y＝sin（﹣x）的图象关于y轴对称；②若sinα+cosα＝1，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1；③若，则cos（sinθ）＞sin（cosθ）；④把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为；⑤在钝角△ABC中，，则sin A＜cos B；⑥sin168°＜cos10°＜sin11°．16．（5分）若函数恰有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知点P（1，1）在角α的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若是函数g（x）＝f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．20．（12分）已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和．（Ⅰ）求f（x）解析式及x0的值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数g（x）＝2f（x）+1+m有两个零点，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝x2+|x﹣1|+2a，a∈R．（Ⅰ）若方程f（x）＝3x在（0，1）上有根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝cos2x+2a sin x，若对任意的，x2∈（0，2）都有，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝sin x+cos x．（Ⅰ）把f（x）的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍，再将横坐标变向右平移φ个单位，可得y＝sin x图象，求A，φ的值；（Ⅱ）若对任意实数x和任意，恒有，求实数a的取值范围．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由特殊角的正弦函数值可得：sin＝．故选：A．2．【解答】解：＝﹣5+log636＝﹣5+2＝﹣3．故选：B．3．【解答】解：，B＝{α|0＜α＜π}；∴；又A∩B＝C；∴．故选：C．4．【解答】解：令＝0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：B．5．【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．6．【解答】解：令t＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3，或x＞1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．根据f（x）＝log2t，复合函数的单调性可得，本题即求函数t＝（x+1）2﹣4 在定义域（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t＝（x+1）2﹣4 在定义域上的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：A．7．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin A＝＝＝，∵a＜b，可得A∈（0°，45°），∴A＝30°．故选：B．8．【解答】解：已知：，所以：，故：，，所以：，则：cos（α+β）＝cos[（）+（）]，＝﹣，＝，＝故选：D．9．【解答】解：∵0＜ω＜1，∴T＝＞π，故f（x）在区间上递增，故f（x）max＝f（）＝，故tan＝，解得：ω＝，故选：A．10．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝﹣，∴两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，∴sin2α＝﹣，∴tanα+＝＝﹣8，故选：C．11．【解答】解：∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，a＝log sin1cos1，b＝log sin1tan1，c＝log cos1sin1，d＝log cos1tan1，∴a＝log sin1cos1＝＝log cos1sin1＞log sin1sin1＝1，∴a＞c＞0．又lg tan1＞0＞lg sin1＞lg cos1，b＝log sin1tan1＝＜＝log cos1tan1＝d＜0，∴0＞d＞b．综上可得：a＞c＞0＞d＞b．∴b＜d＜c＜a．故选：C．12．【解答】解：函数f（x）＝cos x，对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤|f（x）max﹣f（x）min|＝2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j＝1，2，3，…，m）取得最低点，由，且，则按下图取值即可满足条件，∴n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．【解答】解：∵与﹣60°角终边相同的角为：α＝k•360°﹣60°，（k∈Z）∵0°≤α＜360°，∴k＝1时，α＝300°．故答案为：300°．14．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，得到：y＝sin[2（x﹣）]＝﹣cos2x，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）＝1﹣cos2x．故答案为：g（x）＝1﹣cos2x15．【解答】解：①，y＝sin（﹣x）的图象关于y轴对称的函数为y＝sin x，而非y＝|sin x|，故①错误；②，若sinα+cosα＝1，两边平方可得1+2sinαcosα＝1，即sinα＝0，cosα＝1，或sinα＝1，cosα＝0，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1，故②正确；③，若，则sinθ∈（0，1），cosθ∈（0，1），﹣cosθ∈（﹣1，），且sinθ+cosθ＝sin（θ+）＜，即有sinθ＜﹣cosθ，可得cos（sinθ）＞cos（﹣cosθ），即有cos（sinθ）＞sin（cosθ），故③正确；④，把函数的图象向左平移个单位长度后，所得y＝cos（2x+）的图象，由y＝cos（+）＝﹣，不为最值，则一条对称轴方程不为，故④错误；⑤，在钝角△ABC中，，可得A+B＜，即有A＜﹣B，则sin A＜sin（﹣B）＝cos B，故⑤正确；⑥，sin168°＝sin12°，cos10°＝sin80°，可得sin11°＜sin12°＜sin80°，即有sin11°＜sin168°＜cos10°，故⑥错误．故答案为：②③⑤．16．【解答】解：设g（x）＝sin（2x+），h（x）＝cos（2x+），分别令f（x）＝0，g（x）＝0，则：g（x）在[﹣π，]上的零点为﹣π，﹣π，﹣；h（x）在[﹣π，]上的零点为﹣π，﹣，．f（x）恰有4个零点，可得m∈（﹣π，﹣]∪（﹣π，﹣]∪（﹣，]．故答案为：（﹣π，﹣]∪（﹣π，﹣]∪（﹣，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：∵角α终边上有一点P（1，1），∴x＝1，y＝1，r＝|OP|＝，∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝1，∴（Ⅰ）＝＝＝﹣；（Ⅱ）＝＝＝﹣．18．【解答】解：（Ⅰ）∵已知，，∴sinα＝﹣＝﹣，∴＝sinαcos+cosαsin＝﹣•+•＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanα＝＝＝﹣，tan2α＝＝﹣，∴＝＝﹣．19．【解答】解：（Ⅰ）＝2sin（2x+）﹣1，若，则2x+∈[0，]，故2sin（2x+）∈[0，1]，故f（x）∈[﹣1，1]；（Ⅱ）g（x）＝sin2x﹣2sin2x+λcos2x＝sin（2x+θ）﹣1sinθ＝，cosθ＝，若是函数g（x）＝f（x）+λcos2x的一条对称轴，则2×+θ＝，故θ＝，故，解得：λ＝2．20．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和，∴A＝2，2sinφ＝﹣，即sinφ＝﹣，∴φ＝﹣，且•＝，ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x﹣）．令2x0﹣＝，求得x0＝．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）若时，函数g（x）＝2f（x）+1+m有两个零点，即4sin（2x﹣）+1+m＝0有2个实数根，即方程sin（2x﹣）＝﹣有2个解．若时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴结合正弦函数的图象可得，应有≤﹣＜1，解得﹣5＜m≤﹣2﹣1，即实数m的取值范围（﹣5，﹣23﹣1]．21．【解答】（Ⅰ）解：（1）∵方程f（x）＝3x在（1，2）上有根，∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a在（1，2）上有零点．由于在（1，2）上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣2x+2a﹣1是增函数，故有h（1）h（2）＝（2a﹣2）•（2a﹣1）＜0，得﹣＜a＜1．∴实数a的取值范围：（﹣，1）（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）＝，∴f（x）的最小值为f（）＝2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，∴cos2x+2a sin x＜2a+1在[﹣，]恒成立．⇒sin2﹣2a sin x+2a＞0在[﹣，]恒成立，⇒（sin x﹣a）2+2a﹣a2＞0在[﹣，]恒成立．①⇒a≥1．②⇒a∈∅，③⇒0＜a＜1综上实数a的取值范围为（0，+∞）．22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），由题意可得A＝，φ＝；（Ⅱ）不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，由①得a≥②，或a≤③，在②中，1≤sinθ+cosθ≤，＝（sinθ+cosθ）+，显然当1≤x≤时，f（x）＝x+为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1+＝，由此可得a≥；在③中，＝（sinθ+cosθ）+≥2＝，当且仅当sinθ+cosθ＝时取等号，所以的最小值为，由此可得a≤，综上，a≤或a≥．。

哈三中2018-2019学年上学期期末高一数学考试试卷Word版含答案XXX2018-201年上学期期末高一数学考试试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

1.选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 $A=\{y|y=x\}$，$B=\{x|y=ln(1-x)\}$，则$A\cap B=$A。

$\{x|\leq x<e\}$ B。

$\{x|\leq x<1\}$ C。

$\{x|1\leqx<e\}$ D。

$\{x|x\geq 0\}$2.函数 $y=tan(2x-\frac{\pi}{3})$ 的最小正周期是A。

$2\pi$ B。

$\pi$ C。

$\frac{\pi}{2}$ D。

$\frac{2\pi}{3}$3.若 $sin\alpha=\frac{1}{5}$，则 $cos2\alpha=$A。

$\frac{5}{23}$ B。

$-\frac{25}{232}$ C。

$-\frac{25}{525}$ D。

$\frac{5}{2525}$4.下列函数中，当 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 时，与函数$y=x$ 单调性相同的函数为A。

$y=cosx$ B。

$y=sin^3x$ C。

$y=tanx$ D。

$y=sinxcosx$5.若 $a=ln\pi$，$b=log_{\frac{3}{2}}2$，$c=-2$，则它们的大小关系为A。

$a>c>b$ B。

$b>a>c$ C。

$a>b>c$ D。

$b>c>a$6.若函数 $y=log_3x$ 的反函数为 $y=g(x)$，则 $g(81)$ 的值是A。

$3$ B。

$4$ C。

$\frac{1}{4}$ D。

$\frac{1}{3}$7.函数 $f(x)=log_2x-\frac{1}{2}$ 的零点所在区间为A。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A．1B．C．D．23．（5分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则tan a7等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x、y满足的约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．﹣3B．C．4D．﹣56．（5分）阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2＝﹣1）（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A．4B．2C．2D．19．（5分）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．2D．10．（5分）已知椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，则P 与定点B（﹣1，0）连线距离的最大值为（）A．B．2C．D．311．（5分）已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））的零点个数为（）A．6B．7C．9D．10二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．（5分）已知椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．14．（5分）已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2﹣2）＜f（1）的x的取值范围是．15．（5分）过点（﹣4，0）作直线L与圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则L的方程为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，且S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c﹣2a）cos B+b cos C ＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若＝12，b＝2，求a，c的值．（其中a＜c）18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n＝1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD 的中点．（I）若P A＝PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面P AD⊥平面ABCD，且P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．20．（12分）在圆O：x2+y2＝4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P 在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（x﹣1）（ax﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n均成立，其中e为自然对数的底数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x﹣2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣a2|+|x+2a﹣5|＜5．（Ⅰ）当a＝时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．【解答】解：∵向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，∴，解得λ＝．∴实数λ的值为．故选：C．3．【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝反之，当cos2a＝时，有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．4．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则：，解得：，所以：tan．故选：B．5．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，﹣1），此时z max＝3×2﹣2＝4，故选：C．6．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝i2019的值．S＝i2019＝（i4）504•i3＝﹣i．故选：D．7．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B1O＝C1O＝＝，BC1＝＝2，BO＝＝，∴cos∠C1BO＝＝＝．∴∠C1BO＝30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．8．【解答】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，∴，解得，b＝．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：＝＝4故选：A．9．【解答】解：几何体为不规则放置的四棱锥P＝ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：＝．故选：A．10．【解答】解：椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，可得：，解得a＝，椭圆方程为：+x2＝l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（﹣1，0）连线距离：＝＝，当cosθ＝时，取得最大值：．故选：C．11．【解答】解：由题意，作图，易知∠PNM＝90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q﹣MNP的最大体积为10，可得O′Q＝5，在△OO′P中，OP2＝OO′2+O′P2，∴R2＝（5﹣R）2+，得R＝，∴该球的表面积为：＝，故选：B．12．【解答】解：x≤5时，f（x）＝x3﹣x2﹣3x+2，f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＝0，解得：x＞3或x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣7，f（5）＝，而f（﹣3）＝﹣7，f（﹣2）＝，f（0）＝2，f（1）＝﹣＜0，f（4）＝﹣4，f（5）＝，故存在x1∈（﹣3，﹣2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）＝0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→﹣2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y＝f（f（x））的零点个数即y＝f（x）和y＝x1，y＝x2和y＝x3的交点个数，结合图象f（x）和y＝x1有4个交点，f（x）和y＝x2的图象有3个交点，f（x）和y＝x3的图象没有交点，故函数y＝f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．【解答】解：椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，可得a2+b2＝4，即c＝2，双曲线的离心率为2，所以a＝1，则b＝，所以双曲线＝1的方程为：．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2﹣2）＜f（1）⇒f（|x2﹣2|）＜f（1）⇒|x2﹣2|＞1，解可得：x＜﹣或﹣1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）．15．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝25，∴圆心（﹣1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8＝2∴d＝3．当直线L的斜率不存在时，方程为x＝﹣4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y﹣0＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，由圆心到直线的距离等于3得＝3，∴k＝﹣，直线L的方程为5x+12y+20＝0．综上，满足条件的直线L的方程为x＝﹣4或5x+12y+20＝0，故答案为：x＝﹣4或5x+12y+20＝0．16．【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，可得a1+a2＝3，a3+a4＝7，a5+a6＝11，…，a29+a30＝59，a31+a32＝63，{a2k﹣1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k＝a2k﹣1+a2k可得，T k＝＝2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32＝2112＞2019．由S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）已知等式（c﹣2a）cos B+b cos C＝0，利用正弦定理化简得：（sin C﹣2sin A）cos B+sin B cos C＝0，整理得：sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，则B＝60°；（II）由＝12，得：ac cos B＝12，①又由（I）知B＝60°，∴ac＝24，②由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，将b＝2及①代入得：a2+c2＝52，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac═52+2×24＝100，∴a+c＝10，③由②③知a、c是一元二次方程t2﹣10t+24＝0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a＝4，c＝6．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：a1＝2，a n+1＝S n（neN*），a n+1＝S n+1﹣S n＝S n，即为S n+1＝2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n＝2n；（Ⅱ）a n+1＝S n＝2n，即a n＝2n﹣1，n≥2，b n＝1ga2n＝lg22n﹣1＝（2n﹣1）lg2，则前n项和T n＝lg2•（1+3+…+2n﹣1）＝n2lg2．19．【解答】（I）证明：∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设＝λ（0＜λ＜1），则M（﹣2λ，λ，（1﹣λ）），平面CBQ的一个法向量是＝（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z＝，则，∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴＝，解得λ＝，此时＝．20．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2＝4，得x2+4y2＝4．所以E的方程为＝1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y＝﹣x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2﹣8mkx+4k2（m2﹣1）＝0，△＝（﹣8mk）2﹣16（k2+4）k2（m2﹣1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，依题意OM⊥ON，∴•＝0，∴x1x2+y1y2＝0，又y1y2＝（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝x1x2﹣（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2＝（1+）x1x2﹣（x1+x2）+m2＝0，（1+）﹣•+m2＝0，解得：k2＝．由MN的中点（，）在直线y＝kx+上，∴＝k•+，＝k•+，化为：+＝0，把k2＝代入上式化为：10m2+m﹣6＝0，解得m＝（舍去），或﹣．∴k2＝＝2，解得k＝．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y＝x﹣．21．【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝lnx+1﹣x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）＝0；（2）解：f′（x）＝（ax﹣a﹣1）+（x﹣1）•a＝．．∵x＞1∴x﹣1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）＝0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）＝0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）＝0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得lnx＞（x﹣1）[1﹣（x﹣1）]在（1，+∞）恒成立．令x＝1+，k＝1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln＝．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0，因此，曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx﹣y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2﹣6k﹣7≥0，解得k≥7．直线kx+y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k﹣7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）a＝时，|x﹣|+|x﹣2|＜5，故或或，解得：﹣＜x＜，故不等式的解集是{x|﹣＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x﹣a2|+|x+2a﹣5|≤|x﹣a2﹣x﹣2a+5|＝|a2+2a﹣5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．。

黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题（数学）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题,共60分）、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 6,扇形圆心角为2 rad ，则扇形的面积为3 C . 6cos (―213 27(2k ,2k) (k Z ) B . (2k ,2k )(k Z )4 24 4 (2k - ,2k 3 )(k Z ) D . (2k — ,2k -)(k Z )2444已知函数m 2 5m4 Z )）上单调递减，则 y x(m ）为偶函数且在区间（0,2或3B .3C.2D . 1已知函数y sin 2x 3sin x 1 (x[6,］）,则函数的值域为[1,1]B . [1,1]-2）的定义域为函数A . 7. A . & C . A .1. A . 已知一个扇形弧长为 22. 已知函数ysin(x 3），则函数的最小正周期为3.已知ABC 中，a45。

,4.化简sin(）cos （2 ）所得结果为A . sinsinC . coscos5.已知COs3si n .3. 2，则sinsincos 2 .cos sin3cos7 27log 3(2sin x6.1C . [ 1 2, 4]441 sin cos 9.2. 4sin sinA . -B. 2 C .3D . 1210. 设 a tan1 , b tan2 , c tan3, d tan4 ,则a, b,c,d 大小关系为 A . d a c b B . a d bc C .ad c b D . dab11.12已知sin(-) 一，且— (0，-)，则 sin三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17. (本大题10分) 已知：函数f(x) 3sin(2x) (( ,0))的一条对称轴方程为 x 7 ,122求函数y f (x)的解析式；41,5]12. 17 2 26B - 7262 *C .17—2 267 2 26已知2,2]，tan,tan是关于方程2011x 2012 0的两根,3B.—4 C . 一或4第口卷(非选择题,共90 分)(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上 )13 .函数y的值域为sin x 214. ABC中，若 a 5, b 3, 15 .已知(, ), cos — a ,2 216. 若函数 f(x)2x (2m 1)x1 sinm 在区间［1,1］内有零点，贝U m 的取值范围是二、填空题18. (本大题12分)求实数a的取值范围使不等式sinx cosx 4sin x cosx 1 a 0恒成立•19. (本大题12分)、，1 已知函数g(x) sin( x —), f (x) 2cosx g(x)—6 2(1)求函数f (x)的最小正周期及其对称中心坐标；(2) 当x [0,]时，求函数f (x)的值域；2(3) 由y si nx可以按照如下变换得到函数y f(x),(1) (2)y sinx y sin(x ) y sin(2x )，写出(1) (2)的过程.6 620. (本大题12分)1 在 ABC 中，sin(C A) 1 , sin B 3(1)求si nA 的值；(2)设AC 2 3，求 ABC 的面积.(3)是否存在实数 m 使得不等式f(, m 2 2m 3) m 的取值范围.22. (本大题12分)21. (本大题12分) 已知函数f (x) Asin( x 大值和一个最小值，且当 x2(1) 求函数解析式； (2) 求函数的单调递增区)(A 0, 0,0时，函数取到最大值2，—)在(0,5 )内只取到一个最 当x 4时，函数取到最小值f(, m 2 4)成立，若存在，求出已知函数f i (x) lg|xP 1 |, f 2(x) lg(| X P 21 2) ( x R , 口，p ?为常数) 函数f (x)定义为对每个给定的实数 x ( x p ), f (x)(1)当P i 2时，求证：y f i (x)图象关于x 2对称;(2)求f(x) f i (x)对所有实数x ( x p )均成立的条件(用 P i 、P 2表示)；(3)设a, b 是两个实数，满足a b ，且p i ， p 2 (a,b)，若f (a) f (b)求证：函数f(x)在区间［a,b ］上单调增区间的长度之和为(区间［m, n ］、(m, n)或(m, n ］的长度均定义为n m )高一数学答案f l (x) f i (x) f 2(x) f 2(X )f 2(X ) f l (x)一、 选择题1 12 DCBCB BAABC BB二、 填空题22(1)当 P 1 2时f 1 (x) g|x 2,H2 x) lg 2 x 2 lg x, f 1 (2 x) Ig 2 x 2| lg x仏(2x) f 2(2 x),所以对称轴为x 2 即 ig|x pj ig |x P 2 ，由对数的单调性可知xP1P 2 2均成立 xP1Ix P2I2,又x P 1x P 2的最大值为|p 1P 213 [ 2,3]14. 715.. 1 a 216. m 2或 m 1 -32三、解答题17. 〔 1) /(x) — 3sin.(2x(2)图略20. ( 1) sin A(2) S ABC21 .(1)f (X)12sin(— x 3(2) 单调增区间为［6k (3)FT = 7Tr 6)2 ,6k中心±标(挈-害卫)(A(3)① 当 |p i P 2I 2时，由(2)可知 f(x) f i (x) lg|xP i由(1)可知函数f(x) f i (x)关于xP i 对称，由f(a) f(b)，可知P iig(x P i )(x P i ) ig(P i x)(x P i )②当丘-屮』＞ 2时.不妨设“ ＜Zi ＜Pi 即羽一們"当工＜昼时！二迈血一兀)cl 或刃一兀)c 成tr).=当x> p t 时，_AM=lg(x-d ft) = l£(x -j 1 +ft-ft) A /J IQ ， 所以此时/W = /2(x)当円CX S 空时，图義V = fl®与尸三贞交点橫坐标垢盘三卫1：乃十」・由(1 '＞可知!故由y f i (x)与y f 2(x)单调性可知，增区间长度之和为(X 。

哈三中2018-2019学年度上学期高一学年第一模块考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分150分,考试时间为120分钟；（2）第I卷,第n卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•1 •全集U —1,2,3,4,5,6 匚集合A—1,2,5?，集合B 一3,4,5?，则(C u A)PlB 等于A. 4 B .34? C •辽,3,4? D2. f（x） =，.1-2 的定义域为J x+3A. -3,01 B . -3,11 C . ：,-3U -3,01 D . ：,-3U -3,113. 下列四个关系：①（a,b；二：b, a?:②心-'；③:心0 :④〈0二其中正确的个数为A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. 设A={x0兰xE2}, B={y1Ey兰2}，下列图形能表示从集合A到集合B的函数图象的是5.若集合A =「1,2,3?, B =臼,3,4?，则A B的子集个数为A . 16B . 46.已知函数1 1f(x)二-二，则f(lg3) f(lg—)的值等于1 3 3A. 1 B . 2 C . 3 D . 9A . 1B • 3C • 15D • 3010.若函数y 二f X 是定义在R 上的偶函数，在区间(-：：,0］上是减函数，且 f 2 =0, 则 不等式xfx :: 0的解集是A .-2,2B .」,-2C .」：，-2 U(0,2)D • 0,2厂2—ax +3, x c011.若函数f (x )=«. ax 在(一凶,+°0)上单调，则a 的取值范围为 Q a -1 2ax ,x 启0A.(-〜-2]U(1,4] B • [ -2,0)U[1,C.I -2,0 U4 ：： D • [ - 2,0)U 1,4 1* 、丄 x 2 +2x +2, x 兰 012.已知函数f x = 2,若关于x 的方程f x i ；=a 有四个不同的(j log ? x,x A 0实数解 X 1,X 2,X 3,X 4，且 X 1 ：：： X 2 :::X3：：： X 4，则 X 3X 「' x2 的7•若 f (1 - 2x)1 -x 2(X = 0)，则&已知xm,心。

黑龙江哈三中18-19学度高一上年末考试-数学（word 版）考试说明：〔1〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分,总分值150分、考试时间为120分钟；〔2〕第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡、第I 卷〔选择题,共60分〕【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，那么扇形的面积为 A 、2B 、3C 、6D 、92、函数sin()3y x π=--，那么函数的最小正周期为 A 、3B 、πC 、2D 、2π3、ABC ∆中，a =，60B =，45A =，那么b = A 、2B、D、 4、化简sin()cos()cos()22παπαπα+-+所得结果为A 、sin αB 、sin α-C 、cos αD 、cos α-5、cos sin 3αα=，那么sin sin cos cos sin cos 3223αααααα-+=A 、13B 、727C 、19D 、13276、函数log (sin 32y x =-的定义域为 A 、(,)2242k k ππππ++〔k Z ∈〕B 、(,)32244k k ππππ++〔k Z ∈〕 C 、(,)32224k k ππππ++〔k Z ∈〕D 、(,)2244k k ππππ-+〔k Z ∈〕7、函数254m m y x -+=〔m Z ∈〕为偶函数且在区间(,)0+∞上单调递减，那么m =A 、2或3B 、3C 、2D 、18、函数sin sin 231y x x =-+〔[,]6x ππ∈〕，那么函数的值域为 A 、[1,1]-B 、1[,1]4-C 、1[1,]4--D 、[1,5]-9、sin cos sin sin 44241αααα---=A 、32B 、2C 、3D 、1 10、设tan 1a =，tan 2b =，tan 3c =，tan 4d =，那么,,,a b c d 大小关系为 A 、d a c b >>>B 、a d b c >>>C 、a d c b >>>D 、d a b c >>> 11、sin()12413πα+=，且(,)042ππα+∈，那么sin α=A C 、D 、12、,[,]22ππαβ∈-，tan ,tan αβ是关于方程2201120120x x ++=的两根，那么αβ+= A 、4πB 、34π-C 、4π或34π-D 、4π-或4π 第二卷〔非选择题,共90分〕【二】填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分、将答案填在答题卡相应的位置上)13、函数sin sin 22xy x =+的值域为__________________.14.ABC ∆中，假设5a =，3b =，23C π=，那么c =________________.15、(,)2πθπ∈，cos2a θ=+=________________. 16.假设函数()()221f x x m x m =+-+在区间[,]11-内有零点，那么m 的取值范围是 ________________________.【三】解答题(本大题共6小题，共70分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、〔本大题10分〕 ：函数()sin()32f x x ϕ=+〔(,)0ϕπ∈-〕的一条对称轴方程为712x π=， 〔1〕求函数()y f x =的解析式；〔2〕利用五点作图法画出函数()y f x =在区间[,]433ππ内的图象.18、〔本大题12分〕求实数a 的取值范围使不等式sin cos sin cos 410x x x x a ++⋅+-≤恒成立. 19、〔本大题12分〕 函数()sin()6g x x π=+，()cos ()122f x xg x =⋅-〔1〕求函数()f x 的最小正周期及其对称中心坐标；〔2〕当[,]02x π∈时，求函数()f x 的值域；〔3〕由sin y x =能够按照如下变换得到函数()y f x =，sin y x =()1→sin()6y x π=+()2→sin()26y x π=+，写出〔1〕〔2〕的过程. 20、〔本大题12分〕在ABC ∆中，sin()1C A -=，sin 13B = 〔1〕求sin A 的值；〔2〕设AC =，求ABC ∆的面积. 21、〔本大题12分〕函数()sin()f x A x ωϕ=+〔,,0002A πωϕ>>≤≤〕在(,)05π内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时，函数取到最大值2，当4x π=时，函数取到最小值 2-〔1〕求函数解析式；〔2〕求函数的单调递增区间；〔3〕是否存在实数m使得不等式f f >成立，假设存在，求出m 的取值范围.22.〔本大题12分〕函数()lg ||11f x x p =-，()lg(||)222f x x p =-+〔x R ∈，,12p p 为常数〕函数()f x 定义为对每个给定的实数x 〔1x p ≠〕，()()()()()()()112221f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨≤⎩〔1〕当12p =时，求证：()1y f x =图象关于2x =对称；〔2〕求()()1f x f x =对所有实数x 〔1x p ≠〕均成立的条件〔用1p 、2p 表示〕； 〔3〕设,a b 是两个实数，满足a b <，且1p ，2p (,)a b ∈，假设()()f a f b = 求证：函数()f x 在区间[,]a b 上单调增区间的长度之和为2b a-. 〔区间[,]m n 、(,)m n 或(,]m n 的长度均定义为n m -〕高一数学答案【一】选择题112-DCBCBBAABCBB【二】填空题13、[,]223-14、715、2m ≥或1m ≤- 【三】解答题20、〔1〕sin A =〔2〕ABC S ∆= 21、〔1〕()sin()1236f x x π=+ 〔2〕单调增区间为[,]626k k ππππ-+〔k Z ∈〕 〔3〕122m <≤ 22〔1〕当12p =时x x x f x x x f x x f -=--=-=-+=+∴-=lg 22lg )2(,lg 22lg )2(,2lg )(111)2()2(21x f x f -=+∴，因此对称轴为2=x〔2〕假设对任意实数)()(,),()(211x f x f R x x f x f ≤∈∀∴=均成立即()2lg lg 21+-≤-p x p x ，由对数的单调性可知221+-≤-p x p x 均成立212121,2p p p x p x p x p x ----≤---∴的最大值为又因此21,p p 满足221≤-p p〔3〕①当221≤-p p 时，由〔2〕可知11lg )()(p x x f x f -==由〔1〕可知函数)()(1x f x f =关于1p x =对称，由)()(b f a f =，可知21ba p +=而⎩⎨⎧<->-=))(lg())(lg()(11111p x x p p x p x x f 由单调性可知，单调增区间长度为22ab b a b -=+-故由()1y f x =与()2y f x =单调性可知，增区间长度之和为()()012x p b p -+-，由于()()f a f b =，得122p p a b +=++因此()()1201212p p x p b p b +-+-=-+2b a-=. 当12p p >时，同理可证增区间之和仍为2b a-.。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin的值为（）A. B. C. - D. -【答案】A【解析】解：由特殊角的正弦函数值可得：sin=．故选：A．由特殊角的正弦函数值即可解得．本题主要考查了三角函数求值，特殊角的三角函数值一定要加强记忆，属于基本知识的考查．2.=（）A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】解：=-5+log636=-5+2=-3．故选：B．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知集合，B={α|0＜α＜π}，A∩B=C，则C=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，B={α|0＜α＜π}；∴；又A∩B=C；∴．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算，熟悉余弦函数的图象．4.函数f（x）=2x-的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令=0，可得，再令g（x）=2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：B．令函数f（x）=0得到，转化为两个简单函数g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A. ①，②y=x2，③，④y=x-1B. ①y=x3，②y=x2，③，④y=x-1C. ①y=x2，②y=x3，③，④y=x-1D. ①，②，③y=x2，④y=x-1【答案】B【解析】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数．6.函数的单调减区间为（）A. （-∞，-3）B. （-∞，-1）C. （-1，+∞）D. （-3，-1）【答案】A【解析】解：令t=x2+2x-3=（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3，或x＞1，故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞）．根据f（x）=log2t，复合函数的单调性可得，本题即求函数t=（x+1）2-4 在定义域（-∞，-3）∪（1，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=（x+1）2-4 在定义域上的减区间为（-∞，-3），故选：A．令t=x2+2x-3＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=log2t、复合函数的单调性，可得本题即求函数t=（x+1）2-4 在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质可得答案．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．7.在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，，则A=（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin A===，∵a＜b，可得A∈（0°，45°），∴A=30°．故选：B．由已知利用正弦定理可求sin A的值，根据大边对大角可求A的范围，由特殊角的三角函数值可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．8.已知，则cos（α+β）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：已知：，所以：，故：，，所以：，则：cos（α+β）=cos[（）+（）]，=-，=，=故选：D．直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.已知f（x）=tanωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值为，则ω=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵0＜ω＜1，∴T=＞π，故f（x）在区间上递增，故f（x）max=f（）=，故tan=，解得：ω=，故选：A．根据函数的周期，求出函数的单调性得到关于ω的方程，结合ω的范围，求出ω的值即可．本题考查了求三角函数最值，考查三角函数的性质，是一道常规题．10.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为（）A. -4B. 4C. -8D. 8【答案】C【解析】解：∵sinα-cosα=-，∴两边平方可得1-2sinαcosα=，∴sin2α=-，∴tanα+==-8，故选：C．先平方，可得sin2α=-，再切化弦tanα+=，可得结论．本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，比较基础．11.记a=log sin1cos1，b=log sin1tan1，c=log cos1sin1，d=log cos1tan1，则四个数的大小关系是（）A. a＜c＜b＜dB. c＜d＜a＜bC. b＜d＜c＜aD. d＜b＜a＜c【答案】C【解析】解：∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，a=log sin1cos1，b=log sin1tan1，c=log cos1sin1，d=log cos1tan1，∴a=log sin1cos1==log cos1sin1＞log sin1sin1=1，∴a＞c＞0．又lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，b=log sin1tan1=＜=log cos1tan1=d＜0，∴0＞d＞b．综上可得：a＞c＞0＞d＞b．∴b＜d＜c＜a．故选：C．由tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，得到a=log sin1cos1==log cos1sin1＞log sin1sin1=1；由lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，得到b=log sin1tan1=＜=log cos1tan1=d＜0，由此能求出结果．本题考查四个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、三角函数知识的合理运用．12.已知函数f（x）=cos x，若存在x1，x2，…，x n满足，且，则n的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos x，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）-f （x j）|≤|f（x）max-f（x）min|=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j=1，2，3，…，m）取得最低点，由，且，则按下图取值即可满足条件，∴n的最小值为10．故选：C．由余弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）-f（x j）|≤|f（x）max-f（x）min|=2，要使n取得最小值，应尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j=1，2，3，…，m）取得最低点，结合题意画出图象，利用图象求出满足条件n的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在0°到360°范围内，与角-60°的终边相同的角为______．【答案】300°【解析】解：∵与-60°角终边相同的角为：α=k•360°-60°，（k∈Z）∵0°≤α＜360°，∴k=1时，α=300°．故答案为：300°．利用与α终边相同的角度为k•360°+α（k∈Z）即可得到答案．本题考查与α终边相同的角的公式，考查理解与应用的能力，属于基础题．14.先将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的解析式为______．【答案】g（x）=1-cos2x【解析】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到：y=sin[2（x-）]=-cos2x，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）=1-cos2x．故答案为：g（x）=1-cos2x直接利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式．本题考查的知识要点：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.下列说法中，正确的序号是______．①y=|sin x|的图象与y=sin（-x）的图象关于y轴对称；②若sinα+cosα=1，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1；③若，则cos（sinθ）＞sin（cosθ）；④把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为；⑤在钝角△ABC中，，则sin A＜cos B；⑥sin168°＜cos10°＜sin11°．【答案】②③⑤【解析】解：①，y=sin（-x）的图象关于y轴对称的函数为y=sin x，而非y=|sin x|，故①错误；②，若sinα+cosα=1，两边平方可得1+2sinαcosα=1，即sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1，故②正确；③，若，则sinθ∈（0，1），cosθ∈（0，1），-cosθ∈（-1，），且sinθ+cosθ=sin（θ+）＜，即有sinθ＜-cosθ，可得cos（sinθ）＞cos（-cosθ），即有cos（sinθ）＞sin（cosθ），故③正确；④，把函数的图象向左平移个单位长度后，所得y=cos（2x+）的图象，由y=cos（+）=-，不为最值，则一条对称轴方程不为，故④错误；⑤，在钝角△ABC中，，可得A+B＜，即有A＜-B，则sin A＜sin（-B）=cos B，故⑤正确；⑥，sin168°=sin12°，cos10°=sin80°，可得sin11°＜sin12°＜sin80°，即有sin11°＜sin168°＜cos10°，故⑥错误．故答案为：②③⑤．由图象关于y轴对称的特点可判断①；由两边平方可得sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，可判断②；由正弦函数、余弦函数的单调性可判断③；运用图象变换特点和余弦函数的对称性可判断④；由A，B的关系，结合正弦函数的单调性可判断⑤；由诱导公式和正弦函数的单调性可判断⑥．本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的单调性和对称性，以及图象变换，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，属于中档题．16.若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【答案】（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]【解析】解：设g（x）=sin（2x+），h（x）=cos（2x+），分别令f（x）=0，g（x）=0，则：g（x）在[-π，]上的零点为-π，-π，-；h（x）在[-π，]上的零点为-π，-，．f（x）恰有4个零点，可得m∈（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]．故答案为：（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]．设g（x）=sin（2x+），h（x）=cos（2x+），分别令g（x）=0，h（x）=0，求出零点，即可得到所求m的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点P（1，1）在角α的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】解：∵角α终边上有一点P（1，1），∴x=1，y=1，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，tanα==1，∴（Ⅰ）===-；（Ⅱ）===-．【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα，tanα的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】解：（Ⅰ）∵已知，，∴sinα=-=-，∴=sinαcos+cosαsin=-•+•=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanα===-，tan2α==-，∴==-．【解析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinα，再利用两角和的正弦公式求得的值；（Ⅱ）先求得tanα，再求得tanα2α，再利用两角和的正切公式的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的三角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．19.函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若是函数g（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．【答案】解：（Ⅰ）=2sin（2x+）-1，若，则2x+∈[0，]，故2sin（2x+）∈[0，1]，故f（x）∈[-1，1]；（Ⅱ）g（x）=sin2x-2sin2x+λcos2x=sin（2x+θ）-1sinθ=，cosθ=，若是函数g（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，则2×+θ=，故θ=，故，解得：λ=2．【解析】（Ⅰ）化简f（x），根据x的范围，求出函数的值域即可；（Ⅱ）化简g（x）的解析式，根据函数的对称轴，得到关于λ的方程组，解出即可．本题考查了函数值域问题，考查三角函数的性质，是一道常规题．20.已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和．（Ⅰ）求f（x）解析式及x0的值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数g（x）=2f（x）+1+m有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和，∴A=2，2sinφ=-，sinφ=，φ=-，且•=，ω=2，∴f（x）=2sin（2x-）．令2x0-=，求得x0=．（Ⅱ）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）若时，函数g（x）=2f（x）+1+m有两个零点，即4sin（2x-）+1+m=0有2个零点，即方程sin（2x-）=-有2个解．若时，2x-∈[-]，sin（2x-）∈[-，1]，∴结合正弦函数的图象可得，应有≤-＜1，解得-5＜m≤2+1，即实数m的取值范围（-5，23+1]．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ和x0的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间，（Ⅲ）由题意可得若时，方程sin（2x-）=-有2个解，结合正弦函数的图象和性质，求得m的范围．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，正弦函数的图象和性质，属于难题．21.设函数f（x）=x2+|x-1|+2a，a∈R．（Ⅰ）若方程f（x）=3x在（0，1）上有根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=cos2x+2a sin x，若对任意的，x2∈（0，2）都有，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：（1）∵方程f（x）=3x在（1，2）上有根，∴函数h（x）=f（x）-3x=x2+|x-1|-3x+2a在（1，2）上有零点．由于在（1，2）上，h（x）=f（x）-3x=x2-2x+2a-1是增函数，故有h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，得-＜a＜1．∴实数a的取值范围：（-，1）（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）=，∴f（x）的最小值为f（）=2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，∴cos2x+2a sin x＜2a+1在[-，]恒成立．⇒sin2-2a sin x+2a＞0在[-，]恒成立，⇒（sin x-a）2+2a-a2＞0在[-，]恒成立．①⇒a≥1．②⇒a∈∅，③⇒0＜a＜1综上实数a的取值范围为（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得函数h（x）=f（x）-3x=x2+|x-1|-3x+2a在（1，2）上有零点，h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，由此求得a的范围．（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）的最小值为f（）=2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，即cos2x+2a sin x＜2a+1在[-，]恒成立，分类讨论即可．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数的恒成立问题，属于中档题．22.已知函数f（x）=sin x+cos x．（Ⅰ）把f（x）的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍，再将横坐标变向右平移φ个单位，可得y=sin x图象，求A，φ的值；（Ⅱ）若对任意实数x和任意，恒有，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin x+cos x=sin（x+），由题意可得A=，φ=；（Ⅱ）不等式等价于（3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，由①得a≥②，或a≤③，在②中，1≤sinθ+cosθ≤，=（sinθ+cosθ）+，显然当1≤x≤时，f（x）=x+为减函数，从而上式最大值为f（1）=1+=，由此可得a≥；在③中，=（sinθ+cosθ）+≥2=，当且仅当sinθ+cosθ=时取等号，所以的最小值为，由此可得a≤，综上，a≤或a≥．【解析】（Ⅰ）化简函数f（x）=sin（x+），由图象变换即可得到所求值；（Ⅱ）原不等式等价于（3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，从而可得a≥②，或a≤③，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．。