2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 第九章 第三节 用样本估计总体 含解析

2018版高考数学（理科）一轮设计：第9~10章教师用书（人教A版）第1讲直线的方程最新考纲1在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系知识梳理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母表示，即＝tan__α；②斜率公式：经过两点P1(x1，1)，P2(x2，2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为＝2－1x2－x12直线方程的五种形式名称几何条方程适用条斜截式纵截距、斜率＝x＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率－0＝(x－x0)两点式过两点－12－1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋b＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋B＋＝0(A2＋B2≠0)所有直线3线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，1)，(x2，2)，线段P1P2的中点的坐标为(x，)，则x＝x1＋x22，＝1＋22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式诊断自测1判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，0)的直线都可以用方程－0＝(x－x0)表示() ()经过任意两个不同的点P1(x1，1)，P2(x2，2)的直线都可以用方程(－1)(x2－x1)＝(x－x1)(2－1)表示()解析(1)当直线的倾斜角α1＝13°，α2＝4°时，α1＞α2，但其对应斜率1＝－1，2＝1，1＜2(2)当直线斜率为tan(－4°)时，其倾斜角为13°(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程－0＝(x－x0)表示答案(1)×(2)×(3)×(4)×()√2(2017•衡水金卷)直线x－＋1＝0的倾斜角为()A30° B4°120° D10°解析由题得，直线＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°故α＝4°，故选B答案 B3如果A•<0，且B•<0，那么直线Ax＋B＋＝0不通过()A第一象限B第二象限第三象限D第四象限解析由已知得直线Ax＋B＋＝0在x轴上的截距－A>0，在轴上的截距－B>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限答案4已知A(3，)，B(4，7)，(－1，x)三点共线，则x＝______解析∵A，B，三点共线，∴AB＝A，∴7－4－3＝x－－1－3，∴x ＝－3答案－3(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋a＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝所以直线方程为x＋－＝0答案3x－2＝0或x＋－＝0考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线2xs α－－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是()Aπ6，π3 Bπ4，π3π4，π2 Dπ4，2π3(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________解析(1)直线2xs α－－3＝0的斜率＝2s α，因为α∈π6，π3，所以12≤s α≤32，因此＝2•s α∈[1，3]设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3(2)如图，∵AP＝1－02－1＝1，BP＝3－00－1＝－3，∴直线l的斜率∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案(1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)规律方法(1)①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R②正切函数在[0，π)不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围(2)第(2)问求解要注意两点：①斜率公式的正确计算；②数形结合写出斜率的范围，切莫错误想当然认为－3≤≤1【训练1】(1)(2017•惠州质检)直线l经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A－1<<1 B－1<<12>1或<－1 D>12或<－1(2)直线l经过点A(3，1)，B(2，－2)(∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________解析(1)设直线的斜率为，则直线方程为－2＝(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2令－3<1－2<3，解不等式得<－1或>12(2)直线l的斜率＝1＋23－2＝1＋2≥1，∴＝tan α≥1又＝tan α在0，π2上是增函数，因此π4≤α<π2答案(1)D(2)π4，π2考点二直线方程的求法【例2】根据所给条求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(，10)，且到原点的距离为解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而s α＝±31010，则＝tan α＝±13故所求直线方程为＝±13(x＋4)即x＋3＋4＝0或x－3＋4＝0(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9故所求直线方程为4x－＋16＝0或x＋3－9＝0(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－＝0满足题意；当斜率存在时，设其为，则所求直线方程为－10＝(x－)，即x－＋10－＝0由点线距离公式，得|10－|2＋1＝，解得＝34故所求直线方程为3x－4＋2＝0综上知，所求直线方程为x－＝0或3x－4＋2＝0规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性【训练2】求适合下列条的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线＝3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解(1)设直线l在x，轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为＝14x，即x－4＝0若a≠0，则设l的方程为xa＋a＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝，∴l的方程为x＋－＝0综上可知，直线l的方程为x－4＝0或x＋－＝0(2)由已知：设直线＝3x的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4＋1＝0(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1又过点(3，4)，由点斜式得－4＝±(x－3)所求直线的方程为x－＋1＝0或x＋－7＝0考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l：x－＋1＋2＝0(∈R)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，△AB的面积为S(为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程(1)证明直线l的方程可化为(x＋2)＋(1－)＝0，令x＋2＝0，1－＝0，解得x＝－2，＝1∴无论取何值，直线总经过定点(－2，1)(2)解由方程知，当≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2，在轴上的截距为1＋2，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2≤－2，1＋2≥1，解得>0；当＝0时，直线为＝1，符合题意，故的取值范围是[0，＋∞)(3)解由题意可知≠0，再由l的方程，得A－1＋2，0，B(0，1＋2)依题意得－1＋2<0，1＋2>0，解得>0∵S＝12•|A|•|B|＝12•1＋2•|1＋2|＝12•（1＋2）2＝124＋1＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条是>0且4＝1，即＝12，∴Sin＝4，此时直线l的方程为x－2＋4＝0规律方法在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值【训练3】已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△AB的面积的最小值及此时直线l的方程解法一设直线方程为xa＋b＝1(a＞0，b＞0)，点P(3，2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时＝－ba＝－23，从而所求直线方程为2x＋3－12＝0法二依题意知，直线l的斜率存在且＜0则直线l的方程为－2＝(x－3)(＜0)，且有A3－2，0，B(0，2－3)，∴S△AB＝12(2－3)3－2＝1212＋（－9）＋4（－）≥1212＋2（－9）•4（－）＝12×(12＋12)＝12当且仅当－9＝4－，即＝－23时，等号成立，即△AB的面积的最小值为12故所求直线的方程为2x＋3－12＝0[思想方法]1直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率(2)直线的倾斜角α和斜率之间的对应关系：α0°0°<α<90°90°90°<α<180°0>0不存在<02在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况[易错防范]1求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A30° B60° 120° D10°解析直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°答案 B2已知直线l过圆x2＋(－3)2＝4的圆心，且与直线x＋＋1＝0垂直，则直线l的方程是()Ax＋－2＝0 Bx－＋2＝0x＋－3＝0 Dx－＋3＝0解析圆x2＋(－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋＋1＝0垂直，所以直线l的斜率＝1由点斜式得直线l：－3＝x－0，化简得x－＋3＝0答案 D3直线x＋(a2＋1)＋1＝0的倾斜角的取值范围是()A0，π4B3π4，π0，π4∪π2，πDπ4，π2∪3π4，π解析∵直线的斜率＝－1a2＋1，∴－1≤＜0，则倾斜角的范围是3π4，π答案 B4(2017•高安市期中)经过抛物线2＝2x的焦点且平行于直线3x －2＋＝0的直线l的方程是()A6x－4－3＝0 B3x－2－3＝02x＋3－2＝0 D2x＋3－1＝0解析因为抛物线2＝2x的焦点坐标为12，0，直线3x－2＋＝0的斜率为32，所以所求直线l的方程为＝32x－12，化为一般式，得6x －4－3＝0答案 A(2016•广州质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A13 B－13 －32 D23解析依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋＝－13答案 B6(2017•深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋＋b＝0和直线l2：bx＋＋a＝0有可能是()解析当a>0，b>0时，－a<0，－b<0选项B符合答案 B7(2016•衡水一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为()A＝3x＋2 B＝3x－2＝3x＋12 D＝－3x＋2解析∵直线x－2－4＝0的斜率为12，∴直线l在轴上的截距为2，∴直线l的方程为＝3x＋2，故选A答案 A8(2017•福州模拟)若直线ax＋b＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、轴上的截距之和的最小值为()A1 B2 4 D8解析∵直线ax＋b＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba•ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立∴直线在x轴，轴上的截距之和的最小值为4答案二、填空题9已知三角形的三个顶点A(－，0，)，B(3，－3)，(0，2)，则B边上中线所在的直线方程为________解析B的中点坐标为32，－12，∴B边上中线所在直线方程为－0－12－0＝x＋32＋，即x＋13＋＝0答案x＋13＋＝010若直线l的斜率为，倾斜角为α，而α∈π6，π4∪2π3，π，则的取值范围是________解析当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤<1当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，即－3≤＜0，∴∈33，1∪[－3，0)答案[－3，0)∪33，111过点(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________解析①若直线过原点，则＝－43，所以＝－43x，即4x＋3＝0②若直线不过原点，设直线方程为xa＋a＝1，即x＋＝a则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋＋1＝0答案4x＋3＝0或x＋＋1＝012直线l：(a－2)x＋(a＋1)＋6＝0，则直线l恒过定点________解析直线l的方程变形为a(x＋)－2x＋＋6＝0，由x＋＝0，－2x＋＋6＝0，解得x＝2，＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)答案(2，－2)能力提升题组(建议用时：1分钟)13已知直线l过点(1，0)，且倾斜角为直线l0：x－2－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x－3－3＝0 B3x－4－3＝03x－4－4＝0 D4x－3－4＝0解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x －2－2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l的斜率＝tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为－0＝43(x－1)，即4x－3－4＝0答案 D14(2017•成都诊断)设P为曲线：＝x2＋2x＋3上的点，且曲线在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()A－1，－12 B[－1，0][0，1] D12，1解析由题意知′＝2x＋2，设P(x0，0)，则＝2x0＋2因为曲线在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12答案 A1已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________解析设直线l与线段2x＋＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，)则点P(x，)在线段AB上移动，且A(2，4)，B(3，2)，设直线l的斜率为又A＝2，B＝23如图所示，可知23≤≤2∴直线l的斜率的取值范围是23，2答案23，216在平面直角坐标系x中，设A是半圆：x2＋2＝2(x≥0)上一点，直线A的倾斜角为4°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作A的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________解析直线A的方程为＝x，代入半圆方程得A(1，1)，∴H(1，0)，直线HB的方程为＝x－1，代入半圆方程得B1＋32，－1＋32所以直线AB的方程为－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋－3－1＝0答案3x＋－3－1＝0第2讲两直线的位置关系最新考纲1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为1，2，则有l1∥l2⇔1＝2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为1，2，则l1⊥l2⇔1•2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l1：A1x＋B1＋1＝0和l2：A2x＋B2＋2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1＋1＝0，A2x＋B2＋2＝0的解一一对应相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解3距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，1)，P2(x2，2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（2－1）2特别地，原点(0，0)与任一点P(x，)的距离|P|＝x2＋2(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，0)到直线l：Ax＋B＋＝0的距离d＝|Ax0＋B0＋|A2＋B2(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋B＋1＝0，l2：Ax＋B＋2＝0间的距离d＝|1－2|A2＋B2诊断自测1判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有1＝2ͤl1∥l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)已知直线l1：A1x＋B1＋1＝0，l2：A2x＋B2＋2＝0(A1，B1，1，A2，B2，2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0() ()直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()解析(1)两直线l1，l2有可能重合(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率1＝0，则l2的斜率不存在答案(1)×(2)×(3)√(4)√()√2(2016•北京卷)圆(x＋1)2＋2＝2的圆心到直线＝x＋3的距离为()A1 B22 D22解析圆(x＋1)2＋2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由＝x＋3得x－＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝2答案3(2017•郑州调研)直线2x＋(＋1)＋4＝0与直线x＋3－2＝0平行，则＝()A2 B－32或－3 D－2或－3解析直线2x＋(＋1)＋4＝0与直线x＋3－2＝0平行，则有2＝＋13≠4－2，故＝2或－3故选答案4直线2x＋2＋1＝0，x＋＋2＝0之间的距离是________解析先将2x＋2＋1＝0化为x＋＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝|2－12|2＝324答案324(必修2P89练习2改编)已知P(－2，)，Q(，4)，且直线PQ垂直于直线x＋＋1＝0，则＝________解析由题意知－4－2－＝1，所以－4＝－2－，所以＝1答案1考点一两直线的平行与垂直【例1】(1)已知两条直线l1：(a－1)x＋2＋1＝0，l2：x＋a＋3＝0平行，则a等于()A－1 B20或－2 D－1或2(2)已知两直线方程分别为l1：x＋＝1，l2：ax＋2＝0，若l1⊥l2，则a＝________解析(1)若a＝0，两直线方程分别为－x＋2＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线平行，则有a－11＝2a≠13，解得a＝－1或2 (2)因为l1⊥l2，所以12＝－1即(－1)•－a2＝－1，解得a＝－2答案(1)D(2)－2规律方法(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，的系数不能同时为零这一隐含条(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论【训练1】(1)(2017•重庆一中检测)若直线l1：(a－1)x＋－1＝0和直线l2：3x＋a＋2＝0垂直，则实数a的值为()A12 B32 14 D34(2)(2017•西安模拟)已知a，b为正数，且直线ax＋b－6＝0与直线2x＋(b－3)＋＝0平行，则2a＋3b的最小值为________解析(1)由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝34(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)•2a＋3b＝13＋6ab＋6ba≥13＋26ab•6ba＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，故2a＋3b的最小值为2答案(1)D(2)2考点二两直线的交点与距离问题【例2】(1)已知直线＝x＋2＋1与直线＝－12x＋2的交点位于第一象限，则实数的取值范围是________(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，)的距离相等，则直线l的方程为________解析(1)法一由方程组＝x＋2＋1，＝－12x＋2，解得x＝2－42＋1，＝6＋12＋1(若2＋1＝0，即＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为2－42＋1，6＋12＋1又∵交点位于第一象限，∴2－42＋1＞0，6＋12＋1＞0，解得－16＜＜12法二如图，已知直线＝－12x＋2与x轴、轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)而直线方程＝x＋2＋1可变形为－1＝(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为的动直线∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率需满足PA＜＜PB∵PA＝－16，PB＝12∴－16＜＜12(2)法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为－2＝(x＋1)，即x－＋＋2＝0由题意知|2－3＋＋2|2＋1＝|－4－＋＋2|2＋1，即|3－1|＝|－3－3|，∴＝－13∴直线l的方程为－2＝－13(x＋1)，即x＋3－＝0当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意法二当AB∥l时，有＝AB＝－13，直线l的方程为－2＝－13(x＋1)，即x＋3－＝0当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4)∴直线l的方程为x＝－1故所求直线l的方程为x＋3－＝0或x＝－1答案(1)－16，12(2)x＋3－＝0或x＝－1规律方法(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条写出直线方程(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线＝b的距离d＝|0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，的系数分别化为对应相等【训练2】(1)曲线＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3，2)到直线l的距离为()A722 B922 1122 D91010(2)(2017•河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l1：x＋a＋6＝0与l2：(a－2)x＋3＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A2 B823 3 D833解析(1)曲线＝2x－x3上横坐标为－1的点的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)切线斜率为＝′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋＋2＝0由点到直线的距离公式，得点P(3，2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722 (2)因为l1∥l2，所以1a－2＝a3≠62a，所以a（a－2）＝3，2a2≠18，a≠2，a≠0，解得a＝－1，所以l1：x－＋6＝0，l2：x－＋23＝0，所以l1与l2之间的距离d＝6－232＝823，故选B答案(1)A(2)B。

第三节 用样本估计总体———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．1．频率分布直方图 (1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图9­3­1)．图9­3­1横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．2．茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.3．样本的数字特征1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中. ( )(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．( )(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．( )[解析] (1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势． (2)错误．方差越大，这组数据越离散． (3)正确．小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率．(4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图9­3­2所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )图9­3­2A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92A [这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96. ∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x ＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.]3．(2017·南昌二模)如图9­3­3所示是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20)内的频数是( )图9­3­3A ．50B ．40C ．30D ．14C [因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×100＝30，故选C.]4．(2016·江苏高考)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________．0．1 [5个数的平均数x ＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，所以它们的方差s 2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.]5．(2017·山东淄博模拟)某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图9­3­4，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________．图9­3­42 [170＋17×(1＋2＋x ＋4＋5＋10＋11)＝175，则17×(33＋x )＝5，即33＋x ＝35，解得x ＝2.](1)(2015·广东高考)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．(2)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．①若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差．并比较甲、乙两组的研发水平；②若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． (1)11[由条件知x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn＝5，则所求均值x＝2x 1＋1＋2x 2＋1＋…＋2x n ＋1n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋nn＝2x ＋1＝2×5＋1＝11.](2)①甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均数为x 甲＝1015＝23.3分方差s 2甲＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×5＝29.乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝35.方差s 2乙＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352×9＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－352×6＝625.因为x 甲＞x 乙，s 2甲＜s 2乙， 所以甲组的研发水平优于乙组.6分 ②记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，共7个．因此事件E 发生的概率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.12分[规律方法] 1.平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小．进行均值与方差的计算，关键是正确运用公式.2．可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种做出评价或选择．[变式训练1] (2017·郑州模拟)为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图9­3­5所示的茎叶图．考虑以下结论：图9­3­5①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④B [甲地5天的气温为：26,28,29,31,31， 其平均数为x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29；方差为s 2甲＝15[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；标准差为s 甲＝ 3.6.乙地5天的气温为：28,29,30,31,32， 其平均数为x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30；方差为s 2乙＝15[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；标准差为s 乙＝ 2.∴x 甲＜x 乙，s 甲＞s 乙．]50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[解](1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.3分50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.5分(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.8分(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大.12分[规律方法] 1.茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．2．(1)作样本的茎叶图时，先要根据数据特点确定茎、叶，再作茎叶图；作“叶”时，要做到不重不漏，一般由内向外，从小到大排列，便于数据的处理．(2)根据茎叶图中数据的数字特征进行分析判断，考查识图能力、判断推理能力和创新应用意识；解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确提炼信息．[变式训练2] (2017·雅礼中学质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图9­3­6所示，若两组数据的中位数相同，平均数也相同，那么m＋n＝________.【导学号：31222364】图9­3­611[∵两组数据的中位数相同，∴m ＝2＋42＝3.又∵两组数据的平均数也相同， ∴27＋33＋393＝20＋n ＋32＋34＋384，∴n ＝8， 因此m ＋n ＝11.]☞角度1 利用分布直方图求频率、频数(2016·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图9­3­7所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )图9­3­7A ．56B ．60C ．120D ．140D [由直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.] ☞角度2 用频率分布直方图估计总体(2016·四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图9­3­8所示的频率分布直方图．图9­3­8(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数．[解](1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.5分(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.8分(3)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.10分由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.12分[规律方法] 1.准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，易误认为纵轴上的数据是各组的频率．2．(1)例3－2中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键．(2)利用样本的频率分布估计总体分布．[思想与方法]1．用样本估计总体是统计的基本思想．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．2．(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质．(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大．(3)茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用图表直观描述样本数据的分布规律的．[易错与防范]1．使用茎叶图时，要弄清茎叶图的数字特点，切莫混淆茎与叶的含义．2．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．直方图与条形图不要搞混．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．课时分层训练(五十六) 用样本估计总体A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．重庆市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图9­3­9，则这组数据的中位数是( )图9­3­9A ．19B ．20C ．21.5D ．23B [由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20＋202＝20.]2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石B [254粒和1 543石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169.故这批米内夹谷约为169石．]3．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图9­3­10，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图9­3­10A．45 B．50C．55 D．60B[由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝150.3＝50.]4．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图9­3­11中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )图9­3­11A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个D[对于选项A，由题图易知各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10 ℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20 ℃的月份有七月、八月，共2个月份，故D错误．]5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为( )A．8 B．15C．16 D．32C [已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16.]二、填空题6．如图9­3­12所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ＋y ＝________.【导学号：31222365】图9­3­1210 [x 甲＝75＋82＋84＋＋x ＋90＋936＝85，x ＝6.又∵乙同学的成绩众数为84，∴y ＝4. ∴x ＋y ＝10.]7．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图9­3­13所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.【导学号：31222366】图9­3­1324 [底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.] 8．(2017·郑州调研)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：2 [易知x 甲＝90，x 乙＝90.则s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.s 2乙＝15[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.]三、解答题9．(2017·郑州调研)某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图9­3­14所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.【导学号：31222367】图9­3­14(1)求出m ，n 的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s 2甲和s 2乙，并由此分析两组技工的加工水平．[解] (1)根据题意可知：x 甲＝15(7＋8＋10＋12＋10＋m )＝10，x 乙＝15(9＋n ＋10＋11＋12)＝10，3分∴m ＝3，n ＝8.5分(2)s 2甲＝15[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2，8分s 2乙＝15[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2，10分∵x 甲＝x 乙，s 2甲＞s 2乙，∴甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.12分10．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：图9­3­15(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费．[解] (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.3分所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意，w 至少定为3.5分(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元).12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：【导学号：31222368】图9­3­16则7个剩余分数的方差为( ) A.1169B.367 C ．36D.677B [由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x ＋917＝91，解得x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367.]2．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图9­3­17所示．图9­3­17(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．(1)3(2)6 000[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.]3．(2017·广州模拟)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图9­3­18.图9­3­18(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？[解](1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.4分 (2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.8分(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽样比为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户).12分。

第三节用样本估计总体1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．3．能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．知识点一用样本的频率分布估计总体分布1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．2．在频率分布直方图中，纵轴表示______，数据落在各小组内的频率用__________________表示，各小长方形的面积总和等于____．3．连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的______增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为____________，它能够更加精细的反映出总体在各个范围内取值的百分比．4．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．答案2.频率组距各小长方形的面积 13．组数总体密度曲线1．判断正误(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率．( )(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1.( )答案：(1)×(2)√2．(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A．56 B．60C．120 D．140解析：由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.答案：D3．甲、乙两个班各随机选出15名同学进行测验，所得成绩的茎叶图如图．从图中看________班的平均成绩较高．解析：结合茎叶图中成绩的情况可知，乙班平均成绩较高．答案：乙知识点二用样本的数字特征估计总体的数字特征1．众数、中位数、平均数(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝__________________.在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积______．2．样本方差、标准差标准差s ＝________________________________________.其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．答案1．(3)1n(x 1＋x 2＋…＋x n ) 相等2.1nx 1－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2]4．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a<b<c.答案：D5．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下： 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________． 解析：(1)x ＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.答案：(1)7 (2)2热点一频率分布直方图及应用考向1 求频率与概率【例1】某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________.(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3，消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.【答案】(1)3 (2)6 000考向2 求样本的数字特征【例2】某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．【解】(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示．(2)平均分：45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分).(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求直方图中a的值；(Ⅱ)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数．解：(Ⅰ)由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.(Ⅱ)由(Ⅰ)，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(Ⅲ)设中位数为x吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．热点二茎叶图及应用【例3】(2017·福州模拟)某大学为调查来自南方和北方的大学生的身高差异，从2013级的年龄在18—19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量得他们的身高(单位：cm)如下：南方：158,170,166,169,180,175,171,176,162,163.北方：183,173,169,163,179,171,157,175,178,166.画出题中两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对来自南方和北方的大学生的身高进行比较，写出两个统计结论．【解】题中两组数据的茎叶图如图所示：统计结论：①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；③南方大学生的身高的中位数是169.5，北方大学生的身高的中位数是172；④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较分散.(1)某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x＋y的值为( )A．6 B．8 C．9 D．11题图题图(2)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列说法正确的是( )A.x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B.x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.x甲<x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.x甲<x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛解析：(1)由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80,80＋x,85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知x＝5.由茎叶图可知，乙班学生成绩为76,81,81,80＋y,91,91,96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知y＝3.所以x＋y＝8.故选B.(2)由茎叶图知x甲＝72＋78＋79＋85＋86＋926＝82.x乙＝78＋86＋88＋88＋91＋936≈87.33.所以x甲<x乙，又由乙的茎集中在8，而甲较分散，即乙比甲成绩稳定．故选D.答案：(1)B(2)D热点三样本的数字特征【例4】(必修③P79练习第3题改编)将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知( )A．甲、乙两队得分的中位数相等B．甲、乙两队得分的平均数相等C．甲、乙两队得分的极差相等D．甲、乙两队得分的方差相等【解析】由中位数定义知，甲的中位数为36＋382＝37，乙的中位数为34＋412＝37.5，故选项A错误；由平均数定义得x甲＝110(24＋26＋33＋33＋36＋38＋43＋47＋49＋51)＝38，x乙＝110(22＋25＋32＋33＋34＋41＋44＋45＋51＋53)＝38，故选项B正确；由极差定义得，甲的极差为51－24＝27，乙的极差为53－22＝31，故选项C错误；由方差定义知，s2甲＝110[(24－38)2＋(26－38)2＋…＋(51－38)2]＝79，s2乙＝110[(22－38)2＋(25－38)2＋…＋(53－38)2]＝99，故选项D 错误．故选B .【答案】 B(1)对于一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋C (i ＝1,2,3，…，n )，其中C ≠0，则下列结论正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变，方差保持不变C ．平均数不变，方差变D ．平均数与方差均发生变化(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( )A .1169B .367C ．36D .677解析：(1)依题意，记原数据的平均数为x ，方差为s 2，则新数据的平均数为x 1＋C ＋x 2＋C ＋…＋x n ＋Cn＝x ＋C ，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n{[(x 1＋C )－(x ＋C )]2＋[(x 2＋C )－(x ＋C )]2＋…＋[(x n ＋C )－(x ＋C )]2}＝s 2，即新数据的方差不变．(2)根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91，所以x ＝4.所以s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367. 答案：(1)B (2)B1．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．2．茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．3．若取值x1，x2，…，x n的频率分别为p1，p2，…，p n，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋x n p n；若x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则a x1＋b，a x2＋b，…，a x n＋b的平均数为a x＋b，方差为a2s2.频率分布直方图易误点梳理利用频率分布直方图估计总体的基本数字特征，简单地说，就是能“制图”，会“用图”，而我们在应用中产生的错误也主要发生在这两个过程中．错误一、制图——分组不对，频数统计错误【例1】某校在开学之初，以班级为单位，对学生自行购买保险的情况进行了抽样统计，得到了如下20个班级购买保险人数情况：12,9,5,11,10,22,28,6,30,14,15,12,16,26,18,27,22,14,12,5试作出该样本的一个频率分布直方图．【错解】这组数据的极差为30－5＝25，将组距定为5，组数定为5，则可将20个数据分为[5,10]，[10,15]，[15,20]，[20,25]，[25,30]这5组，得到每组的频数分别为5,8,3,2,4.(剩余解答略)【正解】 在上述解答中，各小组频数之和为22，大于样本容量，显然是错误的．原因是分组区间全是双闭区间，则数据“10”在第一组和第二组均被计入频数，数据“15”也是如此．在分组时，应将20个数据分为[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30]这5组，得到每组的频数分别为4,7,3,2,4.(剩余解答略)【易错总结】 分组时，每组所在区间一般是选择“左闭右开”，而不是“双闭”或“双开”，防止某些数据漏选或被多次计入不同小组，从而导致频数统计失误．规避这种失误，可以检查各组频数之和是否等于样本容量．错误二、用图——将频率分布直方图的纵坐标“频率组距”误认为是“频率” 【例2】 某校高一年级有400名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．求该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数．【错解】 根据频率分布直方图知，成绩不低于80分的频率为0.025＋0.01＝0.035.∴该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为400×0.035＝14.【正解】 根据频率分布直方图知，成绩不低于80分的频率为(0.025＋0.01)×10＝0.35.∴该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为400×0.35＝140.【例3】 对某校七年级100名学生每周的零用钱(单位：元)进行统计，得到频率分布直方图如图所示，其中第3小组的频率为0.34，第1,2,4,5小组的频率形成了公差为0.03的等差数列，求图中a 的值．【错解】 由于各小组的频率之和为1，且第3小组频率为0.34，则第1,2,4,5小组频率之和为0.66.这4个小组的频率形成了公差为0.03的等差数列，设首项为a 1，则由等差数列前4项之和为0.66，可得a 1＝0.12，则第2小组的频率为0.15，故a ＝0.15.【正解】 第2小组频率的计算过程完全正确，第2小组的频率等于0.15，但并不意味着a ＝0.15.因为第2小组的矩形的面积才是第2小组的频率，故矩形的高为0.155＝0.03，即a ＝0.03.【易错总结】 频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率．最高矩形的中点是众数，将直方图的面积一分为二的垂直横轴的直线所对应的数值是中位数．总之，我们要明确对频率分布直方图的绘制及结构认识．事实上频率分布直方图中的每个小矩形的面积表示该组的频率，纵轴表示“频率组距”．。

课时作业60 用样本估计总体一、选择题1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：解析：求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是0.45.答案：B2．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20C．21.5 D．23解析：根据茎叶图可知，这组数据从小到大依次是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，处于正中间的两个数都是20，故中位数是20.答案：B3．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3解析：由题意得，年龄在[20,25)的网民出现的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的网民出现的频率为0.07×5＝0.35，又[30,35)、[35,40)、[40,45]的网民人数成递减的等差数列，则其频率也成等差数列，又[30,35]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.答案：C4．从甲、乙两个城市分别随机抽取16统计数据用茎叶图表示(如图所示)，中位数分别为m甲，m 乙，则( )D.x 甲>x 乙，m 甲<m 乙解析：由茎叶图知m 甲＝22＋182＝20，m 乙＝27＋312＝29，∴m 甲<m 乙；x 甲＝116(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝34516，x 乙＝116(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝45716，∴x 甲<x乙．答案：B5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9，所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错． 答案：C6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x 和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x ，s 2＋1002B.x ＋100，s 2＋1002C.x ，s 2D.x ＋100，s 2解析：由题意，得x ＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，s 2＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]．因为下月起每位员工的月工资增加100元， 所以下月工资的均值为x 1＋＋x 2＋＋…＋x 10＋10＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋10×10010＝x ＋100下月工资的方差为110[(x 1＋100－x －100)2＋(x 2＋100－x －100)2＋…＋(x 10＋100－x －100)2]＝110[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 10－x )2]＝s 2，故选D.答案：D 二、填空题7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________．解析：由茎叶图可知甲监测点的数据较为集中，乙监测点的数据较为分散，所以甲地的方差较小．答案：甲8．(2017·南昌一模)在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．解析：根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x＝81.该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v的值为－2＋－2＋－2＋－2＝5.4答案：5三、解答题9．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283(1)完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；(2)估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限.解：(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：0.05)＝3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无269(小时)，所以样本的平均无故障连续每人月用水量中不超过w立方米的10元/立方米收费．从该市随机调查了10(Ⅰ)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(Ⅰ)由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．1．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x 代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为( )A.15B.310C.35D.710解析：由茎叶图可知0≤x ≤9且x ∈N ，中位数是10＋7＋x 2＝27＋x 2，这位运动员这8场比赛的得分平均数为18(7＋8＋7＋9＋x ＋3＋1＋10×4＋20×2)＝18x ＋115)≥27＋x2，得3x ≤7，即x ＝0,1,2，所以这位运动员这8分中位数的概率为310，故选B.答案：B2．农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的平均产量如下(单＋9502＋502到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失，依据此图可得：(1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为________； (2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为________．解析：(1)因为各个小长方形的面积之和为1，所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为15[1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)]＝0.04.(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，人数为0.55×800＝440. 答案：(1)0.04 (2)4404．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数； (2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，96≤x <98，5，98≤x <104，4，104≤x ≤106，求这批产品平均每个的利润．解：(1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴36n＝0.300，∴n＝120.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.(2)产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100，(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750,0.075×2＝0.150，∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.75＝90,120×0.150＝184×18)＝4.65(元)．。