2018年高考理科数学第一轮复习教案34 不等关系与不等式

高三一轮复习 6.1不等关系与不等式【教学目标】1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．【重点难点】1.教学重点：掌握不等式的性质及比较两个数大小的方法；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b .2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a >b a ∈R ，b，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b ，a b<1⇔a <b a ∈R ，b知识点2 不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性)(6)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．(单向性)1．必会结论；(1)不等式的倒数性质①⎩⎨⎧a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a >0>b ⇒1a >1b .评分标准：65分以上为能力超强60~65分为能力强55~60分为能力较强50~55分为能力一般50分以下为能力差凡事发生，必有利我！因为凡事都是我赋予它意义，它才对我有意义。

§选修4－5不等式选讲考纲展示►1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．考点1含绝对值不等式的解法1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤________，当且仅当________时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤________，当且仅当________时，等号成立．答案：(1)|a|＋|b|ab≥0(3)|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法不等式a>0 a＝0 a<0|x|<a ________ ________ _______|x|>a ________ ________ R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔____________；②|ax＋b|≥c⇔____________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案：(1){x|－a<x<a}∅∅{x|x>a，或x<－a}{x|x∈R，且x≠0}(2)①－c≤ax＋b≤c②ax＋b≥c或ax＋b≤－c[典题1]解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.[解]解法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时|A1A|＋|A1B|＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时|B1A|＋|B1B|＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔Error!或Error!或Error!解得x≥2或x≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法三：将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝Error!作出函数的图象如图所示．由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[点石成金]形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.x 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.2解：①当x＜－3时，x 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，2解得x＜10，∴x＜－3.1 ②当－3≤x＜时，2x 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，22解得x＜－，52∴－3≤x＜－.51 ③当x≥时，2x 原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，2解得x＞2，∴x＞2.2 综上可知，原不等式的解集为xx<－或x>2.5考点2含参数的绝对值不等式问题[典题2]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；2- 3 -[解](1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝Error!其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.∴原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．a 1(2)∵a＞－1，则－＜，2 2∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|＝Error!a 1当x∈[－，2)时，f(x)＝a＋1，2a 1即a＋1≤x＋3在x∈[ 2)上恒成立．－，2a 4∴a＋1≤－＋3，即a≤，2 34( 3].∴a的取值范围为－1，[点石成金]不等式有解是不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.- 4 -(3)不等式的解集为∅.解：解法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝|PA|－|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|－|PB|的最大值为|AB|＝4，最小值为－|AB|＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.解法二：由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4，|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，则a＜4.(2)若不等式的解集为R，则a＜－4.(3)若不等式解集为∅，则a≥4.考点3不等式的证明方法1.基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．a＋b定理2：如果a，b为正数，则≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2a ＋b＋c定理3：如果a，b，c为正数，则≥3 abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．3定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，a n为n个正数，则a1＋a2＋…＋a n≥，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．n a1a2…a nn2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．①求差比较法a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法aa>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种b方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．a答案：(1)①a－b>0②>1(2)充分条件b(4)相反[典题3]设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；a b c(2) ＋＋≥3( a＋b＋c)．bc ac ab[证明](1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号2 2 2成立)证得．∴原不等式成立．a b c a＋b＋c(2) ＋＋＝.bc ac ab abc由于(1)中已证a＋b＋c≥3，1因此要证原不等式成立，只需证明≥a＋b＋c，abc即证a bc＋b ac＋c ab≤1，即证a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca.ab＋ac而a bc＝ab·ac≤，2ab＋bc bc＋acb ac≤，c ab≤，2 2∴a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝∴原不等式成立．3时等号成立).3[点石成金] 1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.[2015·新课标全国卷Ⅱ]设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2) a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为( a＋b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋d)2＝c＋d＋2 cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得( a＋b)2＞( c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则( a＋b)2＞( c＋d)2，即a＋b＋2 ab＞c＋d＋2 cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.[方法技巧] 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．[易错防范] 1.理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)f(x)＝Error!y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；1当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.3故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；所以|f(x)|>1的解集为2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.所以当x∈R时，- 9 -f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．a a3．[2016·江苏卷]设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.3 3a a证明：因为|x－1|< ，|y－2|< ，3 3所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|a a≤2|x－1|＋|y－2|<2×＋＝a.3 31 14．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x－＋x＋，M为不等式f(x)<2的解集．2 2(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.(1)解：f(x)＝Error!1当x≤－时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；21 1当－<x< 时，f(x)<2；2 21当x≥时，由f(x)<2得2x<2，2解得x<1.所以f(x)<2的解集M＝{x|－1<x<1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)·(1－b2)<0.因此|a＋b|<|1＋ab|.5．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，2 解得＜x＜1；3当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.- 10 -所以f(x)＞1的解集为Error!.(2)由题设可得，f(x)＝Error!2a－1所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ( ，0)，B(2a＋1,0)，C(a，3a＋1)，2△ABC的面积为(a＋1)2.32由题设得(a＋1)2＞6，故a＞2.3所以a的取值范围为(2，＋∞)．课外拓展阅读绝对值三角不等式的应用应用绝对值三角不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|可以很方便地解决很多问题，比如求最值、证明等，但要注意在应用绝对值三角不等式的过程中，至少有一步是放大或缩小的，在放大或缩小时，若从小的一边入手，则只能放大；若从大的一边入手，则只能缩小．[典例1]求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．对原绝对值利用绝对值三角不等式转化不等式求最值[思路分析]→[解]|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(x＋1)≥0，即－1≤x≤1时等号成立．故当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.[温馨提示](1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．1 1[典例2]已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.6 4[思路分析]先将x＋5y写成3(x＋y)－2(x－y)，然后利用绝对值三角不等式即可证得．[证明]∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|，∴由绝对值不等式的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|1 1≤3×＋2×＝1.6 4即|x＋5y|≤1.[典例3]若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．- 11 -[思路分析][解析]因为a<|x＋1|－|x－2|对任意实数x恒成立，所以a<(|x＋1|－|x－2|)min.因为||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.所以(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.所以a<－3，即a的取值范围为(－∞，－3)．- 12 -。

7.1 不等关系与不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景.1．实数的大小顺序与运算性质的关系a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0． 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)；(单向性) (7)倒数性质：设ab ＞0，则a ＜b ⇔1a ＞1b.(双向性)1．(人教A 版教材习题改编)对于实数a ，b ，c ，“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 a ＞6D /⇒ac 2＞bc 2，如c ＝0时，ac 2＝bc 2，但ac 2＞bc 2⇒a ＞b ， ∴“a ＞b ”是“ac 2＞bc 2”的必要不充分条件． 『答案』 B2．在城区限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是( )A ．v ＜40 km/hB ．v ＞40 km/hC ．v ≠40 km/hD ．v ≤40 km/h 『答案』 D3．(2013·合肥质检)已知a ，b 为非零实数，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 4＞b 4 B.1a ＜1bC ．|a |＞|b |D ．2a ＞2b『解析』 当a ＝1，b ＝－2时，A 、B 、C 均不正确，由y ＝2x 的单调性知，D 正确． 『答案』 D4．(2012·湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 『解析』 ∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb，故①正确．当c ＜0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 『答案』 D 5.12－1与3＋1的大小关系为________． 『解析』 12－1－(3＋1)＝(2＋1)－(3＋1)＝2－3＜0，∴12－1＜3＋1. 『答案』12－1＜3＋1利用不等式(组)表示不等关系用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1k (k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，请从这个实例中提炼出一个不等式组．『思路点拨』 由题意，找出题目中相应的不等式关系，特别是“一个铁钉受击3次后全部进入木板”，然后用不等式(组)将它们表示出来．『尝试解答』 依题意得，第二次钉子没有全部进入木板；第三次全部进入木板，∴⎩⎨⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k 2≥1，(k ∈N *)．,1．本题常见的错误：(1)没能准确理解“一个铁钉受击3次后全部进入木板”的含义，导致遗漏不等式47＋47k＜1；(2)忽视变量k ∈N *.2．求解此类问题一定要准确将题目中文字语言转化为数学符号语言(如不等式等)，特别是注意“不超过”、“至少”、“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．『解』 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式性质的应用(2013·包头模拟)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋bc＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的命题为________． 『思路点拨』 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『尝试解答』 ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，则ad ＜bc ，(1)错误．由a ＞0＞b ＞－a ，知a ＞－b ＞0，又－c ＞－d ＞0，因此a ·(－c )＞(－b )·(－d )，即ac ＋bd ＜0， ∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故(2)正确．显然a －c ＞b －d ，∴(3)正确． ∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确． 『答案』 (2)(3)(4),1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推理判定失误． 2．对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括 “单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．(2012·浙江高考)设a >0，b >0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >bB ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a <bC ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a >bD ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a <b 『解析』 当0＜a ≤b 时，显然2a ≤2b ，2a ≤2b ＜3b ，∴2a ＋2a ＜2b ＋3b ， 即2a ＋2a ≠2b ＋3b .∴它的逆否命题“若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞b ”成立， 因此A 正确． 『答案』 A比较大小(1)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，试比较f (a )与f (b )的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)的大小．『思路点拨』 (1)计算出f (a )与f (b )，用作差法或综合法比较大小；(2)幂式比较大小，用作商法比较大小．『尝试解答』 (1)法一 ∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2(a a －1－bb －1)＝m 2·a （b －1）－b （a －1）（a －1）（b －1）＝m 2·b －a（a －1）（b －1）， 当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )，即f (a )≤f (b )．法二 ∵f (x )＝m 2x x －1＝m 2(1＋1x －1)，∴f (a )＝m 2(1＋1a －1)，f (b )＝m 2(1＋1b －1)，由于a ＞b ＞1，∴a －1＞b －1＞0，∴1＋1a －1＜1＋1b －1，当m ＝0时，m 2(1＋1a －1)＝m 2(1＋1b －1)，即f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2(1＋1a －1)＜m 2(1＋1b －1)，即f (a )＜f (b )，∴f (a )≤f (b )．(2)根据同底数幂的运算法则，采用作商法，a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝(ab )a －b ，当a ＞b ＞0时，a b ＞1，a －b ＞0，则(a b )a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1，a －b ＜0，则(a b)a －b ＞1，∴a a b b ＞a b b a ，当a ＝b ＞0时，(a b )a －b ＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．,1．第(1)中，若注意到m 2≥0，亦可构造函数φ(x )＝xx －1(x ＞1)，判断出φ(x )是减函数，f (a )≤f (b )．2．(1)“作差比较法”的过程可分为四步：①作差；②变形；③判断差的符号；④作出结论．其中关键一步是变形，手段可以有通分、因式分解、配方等．(2)“作商比较法”的依据是“ab ＞1，b ＞0⇒a ＞b ”，在数式结构含有幂或根式时，常采用比商法．若a ＞b ＞0，试比较a a ＋b b 与a b ＋b a 的大小．『解』 (a a ＋b b )－(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )，∵a ＋b ＞0，(a －b )2＞0，∴(a a ＋b b )－(a b ＋b a )＞0，∴a a ＋b b ＞a b ＋b a .两点注意1.运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件，切忌弱化或强化性质成立的条件． 2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围． 两种方法作差比较法与作商比较法是判定两个数或式大小的两种基本方法，其中变形是关键． 两条性质1.倒数性质，若ab ＞0，则a ＞b ⇔1a ＜1b.2．真分数的性质，若m ＞0，a ＞b ＞0，则b a ＜b ＋ma ＋m.从近两年的高考试题来看，不等关系、不等式的性质及应用是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中低档，客观题突出对不等式性质及应用的考查，主观题与其他知识交汇，考查不等式的性质及综合分析问题、解决问题的能力．在涉及求范围问题时，应特别注意不等式性质的应用，防止出错．易错辨析之十 忽视不等式的隐含条件致误(2012·陕西高考改编)设函数f (x )＝x n ＋bx ＋c (n ∈N *，b ，c ∈R )． (1)设n ≥2，b ＝1，c ＝－1，证明f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点；(2)设n 为偶数，|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，求b ＋3c 的最大值和最小值．『错解』 (1)当b ＝1，c ＝－1，n ≥2时，f (x )＝x n ＋x －1，f (12)f (1)＝(12n －12)×1＜0，∴f (x )在区间(12，1)内有零点，又当x ∈(12，1)时，f ′(x )＝n ·x n －1＋1＞0，∴f (x )在(12，1)上是单调递增的，∴f (x )在(12，1)内存在唯一零点．(2)∵n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.因此－1≤b ≤1，且－2≤c ≤0.∴－7≤b ＋3c ≤1，故b ＋3c 的最大值为1，最小值为－7.错因分析：(1)忽视字母b 、c 相互制约的条件，片面将b ，c 分割开来导致字母范围发生变化．(2)多次运用同向不等式相加这一性质，不是等价变形，扩大变量的取值范围，致使最值求解错误．防范措施：(1)利用待定系数法先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．(2)运用线性规划，根据t ＝b ＋3c 的几何意义，数形结合求t 的最值． 『正解』 (1)同上述解法．(2)法一 由n 为偶数，且|f (－1)|≤1，|f (1)|≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤f （－1）≤1，－1≤f （1）≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －c ≤2，－2≤b ＋c ≤0.作上述不等式组表示的可行域，如图所示．令t ＝b ＋3c ，则c ＝t 3－b3.平移b ＋3c ＝0，知直线过原点O 时截距最大，过点A 时截距最小，∴t ＝b ＋3c 的最大值为0＋3×0＝0；最小值为0＋3×(－2)＝－6.法二 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ，f （1）＝1＋b ＋c ，解得b ＝f （1）－f （－1）2，c ＝f （1）＋f （－1）－22，∴b ＋3c ＝2f (1)＋f (－1)－3.又∵－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，∴－6≤b ＋3c ≤0. 当b ＝0，c ＝－2时，b ＋3c ＝－6；当b ＝c ＝0时，b ＋3c ＝0， ∴b ＋3c 的最小值为－6，最大值为0.1．(2013·青岛质检)设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 『解析』 当0＜x ＜π2时，0＜sin x ＜1，∴x sin x ＜1⇒x sin 2x ＜sin x ＜1.如果x sin 2x ＜1⇒x sin x ＜1sin x ，因为1sin x ＞1，则不能保证x sin x ＜1，因此“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的必要不充分条件． 『答案』 B2．(2013·西城模拟)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④『解析』 对于①可直接利用不等式的性质求解，也可作差，即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )>0，知①正确；对于②由条件知a >b >b －1，结合指数函数f (x )＝2x 的单调性知2a >2b －1，②正确．也可作商，即2a 2b －1＝2a －b ＋1. ∵a >b >0，∴a －b >0，∴a －b ＋1>0，∴2a－b ＋1>1，故2a >2b －1；对于③，∵a >b >0，∴a －b >0，a －b >0，原不等式⇔a －b >a －2ab ＋b ⇔b －ab <0⇔b (b －a )<0，显然成立，故③正确； 对于④，a 3＋b 3－2a 2b ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－a 2b )＝a 2(a －b )－b (a －b )(a ＋b )＝(a －b )(a 2－ab －b 2)＝(a －b )『(a －b 2)2－54b 2』由于(a －b 2)2－54b 2符号不定，故④不一定成立．。

第一节 不等关系与不等式【考纲下载】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 1．比较两个实数大小的法则 设a ，b∈R ，则： (1)a ＞b ⇔a －b ＞0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a ＜b ⇔a －b ＜0.(1)倒数性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则： ①真分数的性质 b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②假分数的性质 a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)． 1．同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致．同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立．2．(1)a >b ⇔1a <1b 成立吗？(2)a >b ⇒a n>b n(n ∈N ，且n >1)对吗？提示：(1)不成立，当a ，b 同号时成立，异号时不成立． (2)不对，若n 为奇数，成立，若n 为偶数，则不一定成立．1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －d D ．a ＋c >b ＋d解析：选D 由不等式的性质知，a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d .2．已知a ，b ，c ∈R ，则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B ac 2>bc 2⇒a >b ，但当c ＝0时，a >bD ⇒/ac 2>bc 2.故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．3．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 2解析：选B ∵a 2＋a <0，∴－1<a <0.不妨令a ＝－12，易知选项B 正确．4．已知a <b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a >1bB ．a 2>b 2C ．2－a >2－bD ．2a >2b解析：选C ∵a <b ，∴－a >－b ，∴2－a >2－b .5．(教材习题改编)已知－2<a <－1，－3<b <－2，则a －b 的取值范围是________，a 2＋b 2的取值范围是________．解析：∵－2<a <－1，－3<b <－2，∴2<－b <3,1<a 2<4,4<b 2<9.∴0<a －b <2,5<a 2＋b 2<13. 答案：(0,2) (5,13) 易误警示(六)忽视不等式的隐含条件致误[典例] (2014·海门模拟)已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．[解题指导] 用x ＋y 和x －y 整体代换2x －3y ，进而求出z 的取值范围． [解析] 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．又⎩⎪⎨⎪⎧－2<－12x ＋y <12，5<52x －y <152，所以两式相加可得z ∈(3,8)． [答案] (3,8)[名师点评] 1.本题易忽视题目中字母x ，y 相互制约的条件，片面地将x ，y 分割开来考虑，导致字母的范围发生变化，从而造成解题的错误．2．当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时，若题目中出现的两个变量是相互制约的，不能分割开来，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的范围，以免扩大范围．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解：因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －1＝a －b ≤2，3≤f 1＝a ＋b ≤4.由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6， 所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值范围是[6,10]．。

【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景． 预 习 案1．两个实数的大小比较：(1)a >b ⇔ . (2)a ＝b ⇔ . (3)a <b ⇔ .2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔ . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c .(3)可加性：a >b ⇔a ＋c b ＋c ； a >b ，c >d ⇒ .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac bc ； a >b ，c <0⇒ac bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac bd .(5)可方性：a >b >0，n ∈N ＋⇒a n b n ； a >b >0，n ∈N ＋(6)倒数性质：a >b ，ab >0⇒1a 1b ； 1a <1b ，ab >0⇒a b .【预习自测】1．已知a ＜b ＜0，c ＞0，在下列空白处填上恰当的不等号：①若ad ＞bd ，则d ________0； ②(a －2)c ________(b －2)c ；③|a |________|b |； ④c a ________c b.2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是 ( )A ．a 2>b 2B ．a |c |>b |c | C.1a <1b D.a c 2＋1>b c 2＋13．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是 ( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (c －a )>05．已知a <0，－1<b <0，则a ，ab ，ab 2的大小关系是_______ _．探 究 案题型一：不等式的性质例1.对于实数a ，b ，c ，判断下列命题的真假．(1)若a >b ，则ac >bc ； (2)若a >b ，则ac 2>bc 2；(3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a <b <0，则1a >1b ； (5)若a <b <0，则b a >a b.拓展1.适当增加不等式条件使得下列命题成立：(1)若a >b ，则ac ≤bc ；(2)若ac 2>bc 2，则a 2>b 2；(3)若a >b ，则lg(a ＋1)>lg(b ＋1)．题型二：比较大小例2.(1)比较a ＋mb ＋m 与a b (其中实数b >a >0，实数m >0)的大小．(2)已知a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与(ab )a ＋b 2的大小．拓展2.(1)若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12(2)设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．题型三：综合应用例3.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)拓展3.设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．当堂检测：1．设a ∈R ，则a >1是1a<1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设a >b >0，下列各数小于1的是 ( )A ．2a －b B ． C ．(a b )a －b D ．(b a )a －b3．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知一个三边分别为15,19,23个单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 个单位长度且构成钝 角三角形，试用不等式写出x 满足的不等关系____ ____．5.设a ，b 为正实数．现有下列命题：①若a 2－b 2＝1，则a －b <1； ②若1b －1a＝1，则a －b <1； ③若|a －b |＝1，则|a －b |<1； ④若|a 3－b 3|＝1，则|a －b |<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。

一、教学目标⒈了解日常生活中的不等关系及不等式（组）的实际背景，能通过具体情境建立不等式模型；⒉掌握不等式的一些简单性质，并能运用其解决相关问题；⒊对含参数的不等式，要把握分类讨论的标准和技巧．二、基础知识回顾与梳理回顾∙不等式证明的基本方法：比较法、分析法、综合法∙不等式的常见性质、不等式的运算性质性质1:如果a>b,b>c,那么 (不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么 (不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么 ;如果a>b,c<0,那么 如果a>b,c>d,那么 .性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么 .∙回顾函数单调性的定义与导数证明单调性定义解析⒈ 不等式证明的三种基本方法应掌握，在解题中常常用到，注意其基本步骤；⒉ 不等关系是现实世界和日常生活中大量存在的一种关系，不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，反应了事物在量上的区别。

因此，不等式在解决实际问题中有着广泛的应用。

在学习时，要注意不等式和等式之间的相同点和不同点。

三、 诊断练习⒈ 某地规定本地最低生活保障金x （元）不低于400元，用不等式可表示为 . 【答案】400x ≥ ⒉ 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量x 应不少于2.5%，蛋白质的含量y 应不少于2.3%,可用不等式表示为 . 【答案】 2.5%,2.3%.x y ≥⎧⎨≥⎩ ⒊ 已知0,a b <<给出下列不等式 ① a b > ② 11a b a >- ③ 11a b> ④ 22a b > 其中正确不等式的序号是 . 【答案】 ①③④⒋已知2＜m ＜4,3＜n ＜5，则m n 的取值范围是 。

【答案】25＜m n ＜43四、范例导析例1 已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b bc .a b a c a c ---＞＞[来源:学+科+网Z+X+X+K]答案为：∵b ＞c,∴-b ＜-c ．∴a-b ＜a-c ．∵a ＞b ＞c,∴0＜a-b ＜a-c ．11.a b a c ∴--＞又∵b ＞0,b b ,a b a c ∴--＞1b c b b c b c 0,0...a c a c a c a b a c a c∴∴------＞＞＞＞＞＞ 【点拨】观察好结论中相邻两项的关系，然后利用不等式性质寻找证明方法．例2 ⑴ 设0,x y <<试比较()()22x y x y +-与()()22xy x y -+的大小； ⑵ 设0,0a b >>且,a b ≠试比较a b a b 与b aa b 的大小.分析：作差（商）比较是比较两式大小和证明不等式的基本方法.解 ⑴ 方法一：()()()()()()()()()()()()2222222222220,0,0,20,.x y x y x y x y x y x y x y xy x y x y xy x y xy x y x y x y x y x y ⎡⎤+---+=-+-+=--⎣⎦<<∴>-<∴-->∴+->-+ 方法二：()()()()()()()()()()()()2222222222222222220,0,,0,0,0,01,.2x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y xyx y x y <<∴-<>+<∴+-<-+<+-+∴<=<∴+->-+++-+⑵ 0,0,,a b a b a b b a a b a b a a a b a b b b ---⎛⎫>>== ⎪⎝⎭① 01,0,1,;a b a b b a a a a b a b a b a b b b -⎛⎫>>⇒>->>∴> ⎪⎝⎭② 001,0,1,.a b a b b a a a b a a b a b a b b b -⎛⎫>>⇒<<-<>∴> ⎪⎝⎭综上：a b b a a b a b > 点评：比较两个数或代数式的大小通常有两种方法. 其一，作差比较法，0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<来进行比较大小，在应用此方法时，关键在于作差后的变形，变形通常情况下有：因式分解，配方法，分母有理化法等. 另外，有的问题还要进行乘方后来进行作差. 其二，作商比较法.思考题：已知,,a b c 是不全相等的正数，求证：222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>.证明：∵2()0b c -≥，∴22 20b c bc +-≥，即222b c bc +≥.又0a >，∴22()2a b c abc +≥.同理2222()2()2b c a abc c a b abc +≥+≥，.∵,,a b c 不全相等，∴ 以上三个式子中至少有一个式子取不到等号（这在论证中极易被忽略的）. 故222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>.点评：具有一定对称关系的不等式的证明有特殊办法例3、设f (x )＝ax 2＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．分析：1、为了求4a-2b 的范围，可分别求得a,b 的范围，再由不等式的性质求出:2、 由1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4可得出关于a,b 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4，能将两式相加减分别求出a,b 的范围，这样得出4a-2b 的范围，方法对吗？错在哪？解方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1) (m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝a －bf (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧ a ＝12[f (－1)＋f (1)]b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤22≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5， 当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10.五、当堂反馈1. 向一杯未饱和的糖水中加入一些糖，溶解后糖水更甜了，请根据这个事实写出一个不等式 . 【答案】()0,0,0b b m a b m a a m+<>>>+ 2. 已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2+b 2+c 2+3,Q=2（a+b+c ）,那么P 与Q 的大小关系是 。

7.1 不等关系与不等式『考纲要求』结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本应用．『复习指导』不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，近几年高考中多以小题出现，题目难度不大，复习时，应抓好基本概念，少做偏难题．『基础梳理』1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ .另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b＜1⇔a ＜b . 3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)．『助学微博』一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b；②a ＜0＜b ⇒1a ＜1b； ③a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞b d； ④0＜a ＜x ＜b 或a ＜x ＜b ＜0⇒1b ＜1x ＜1a. (2)若a ＞b ＞0，m ＞0，则①真分数的性质：b a ＜b ＋m a ＋m ；b a ＞b －m a －m(b －m ＞0)； ②假分数的性质：a b ＞a ＋m b ＋m ；a b ＜a －m b －m(b －m ＞0)．『考向探究』考向一 比较大小『例1』►已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小．『训练1』 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b＞1 B ．a 2＞b 2 C ．lg(a －b )＞0 D.⎝⎛⎭⎫12a ＜⎝⎛⎭⎫12b考向二 不等式的性质『例2』►若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4『训练2』 已知三个不等式：①ab ＞0；②bc ＞ad ；③c a ＞d b.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3考向三 不等式性质的应用『例3』►已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (－2)的取值范围．『训练3』 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．考向四 利用不等式的性质证明简单不等式『例4』►设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.『训练4』 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e （a －c ）2＞e （b －d ）2.『专题突破』难点突破——数式大小比较问题数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式，涉及的知识点和问题求解的方法不仅局限于不等式知识，而且更多的关联到函数、数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识，内容丰富多彩．命题的方式主要是选择题、填空题，考查不等式性质、函数性质的应用．一、作差法『示例』►设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )．A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b二、作商法『示例』► 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，则|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系是( )．A ．|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|B ．|log a (1－x )|＜|log a (1＋x )|C ．不确定，由a 的值决定D ．不确定，由x 的值决定三、中间量法『示例』► 若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )． A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a答案『基础梳理』1．＞、＜、≥、≤、≠ 2．a ＞b a ＝b a ＜b 3．(2)a ＞c (3)＞ ＞ (5)＞『例1』『审题视点』 采用作差法比较，作差后构造完全平方式即可．解 ∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12『(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2』≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .比较大小的方法常采用作差法与作商法，但题型为选择题时可以用特殊值法来比较大小．『训练1』『解析』令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立，排除A ；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立，排除B ；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0，排除C ；f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )．『答案』D『例2』『审题视点』 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假．『解析』∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，∴(1)错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd＜0，∴(2)正确． ∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，∴(3)正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，∴(4)正确，故选C.『答案』C在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．『训练2』『解析』命题1：若ab ＞0，c a ＞d b，则bc ＞ad ； 命题2：若ab ＞0，bc ＞ad ，则c a ＞d b； 命题3：若c a ＞d b，bc ＞ad ，则ab ＞0. 『答案』D『例3』『审题视点』 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)，f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用不等式的性质求f (－2)的范围．解 f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.由a ＜f (x ，y )＜b ，c ＜g (x ，y )＜d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．『训练3』解 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，∴两式相加，得1≤α＋3β≤7.『例4』『审题视点』 充分运用已知条件及不等式性质进行求证．证明 ∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a－c＞a－b＞0，∴1a－b＞1a－c＞0.∴1a－b＋1c－a＞0.又b－c＞0，∴1b－c＞0.1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.(1)运用不等式性质解决问题时，必须注意性质成立的条件．(2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式．『训练4』求证：ea－c2＞eb－d2.证明∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.∴0＜1a－c2＜1b－d2.又∵e＜0，∴ea－c2＞eb－d2.。

3.1 不等关系学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法．知识点一不等关系思考1 限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？思考2 试用不等式表示下列关系：(1)a大于b a________b(2)a小于b a________b(3)a不超过b a________b(4)a不小于b a________b梳理(1)不等式的定义用数学符号“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的________________，含有这些不等号的式子叫做不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．知识点二作差法思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？梳理依照下列性质，(1)a－b＞0⇔a________b；(2)a－b＝0⇔a________b；(3)a－b<0⇔a________b.把比较两实数a，b的大小问题转化为实数a－b的正负问题叫作差法．因为作差法集中了原来不等号两端的信息，更便于抵消、变形，所以是比较大小的基本方法．类型一用不等式(组)表示不等关系命题角度1 用不等式表示单个约束条件例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．跟踪训练1 将下列问题转化为数学模型(不求解)．(1)出生大一天，终生都是哥．(2)函数f(x)在R上的函数随x的增大而减小．命题角度2 用不等式组表示多个约束条件例2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？反思与感悟(1)当问题存在多个制约因素(如上例500 mm，600 mm的钢管个数)时，可以引入多个变量(如上例用两个变量x，y)；(2)当问题存在多个约束条件(如上例总长度不超过4 000 mm，600 mm的钢管个数不能超过500 mm钢管个数的3倍等)可以用多个不等式表示不等关系；(3)当多个约束条件要求同时满足时，可以用大括号“{”联立这些不等式，相当于求这些不等式的解集的交集．跟踪训练2 (1)试用不等式表示第一象限内距原点距离不超过1的点．(2)三角形任两边之和大于第三边．类型二作差法比较大小例3 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练3 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，试用不等式表示上述关系为________．2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系用不等式表示为________．3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．用不等式刻画不等关系，要注意“大于”、“不小于”之类条件的准确翻译．当存在多个条件时，要注意这些条件是“且”还是“或”．答案精析问题导学 知识点一 思考1 v ≤40.思考2 (1)＞ (2)< (3)≤ (4)≥ 梳理 (1)不等关系 知识点二思考 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 梳理(1)> (2)＝ (3)< 题型探究例1 解 设杂志社的定价为x 元， 则销售的总收入为⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.跟踪训练1 解 (1)设x (天)为弟弟的年龄，则哥哥年龄为x ＋1，有x ＋1>x . (2)设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)>f (x 2)．例2 解 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm ；(2)截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： ⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0.跟踪训练2 (1)解 设满足条件的点P (x ，y )，则x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x 2＋y 2≤1.(2)解 设△ABC 三边分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a .例3 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2) ＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.跟踪训练3 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵(x －12)2＋34＞0，x －1＜0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]＜0，∴x 3－1＜2x 2－2x . 当堂训练1.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >452.a >－b >b >－a3．解 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．解 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1 800.。

专题33 不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．1．不等式的基本性质2.(1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．高频考点一 比较不等式的大小例1、(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④【答案】 (1)A (2)C(2)法一 因为1a ＜1b＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b＜1ab，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 【感悟提升】比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【变式探究】(1)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③【答案】 (1)A (2)D(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c b，①正确；构造函数y ＝x c，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c＜b c，知②正确； ∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 高频考点二 不等式的性质例2、已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0【答案】 A【解析】 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．【感悟提升】解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误【答案】．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 【变式探究】若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋bc<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 C高频考点三不等式性质的应用例3、已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】 A【解析】方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 【感悟提升】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．【变式探究】(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a－b>1bB．a2<abC.|b||a|<|b|＋1|a|＋1D．a n>b n(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①ca>cb；②a c<b c；③log b(a－c)>log a(b－c)．其中所有的正确结论的序号是( )A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】(1)C (2)D(2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，所以c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c<b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 1．【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B2.【2015高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②： 2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根。

高三数学不等关系与不等式教案教案：高三数学不等关系与不等式一、教学目标：1. 理解不等关系的含义和性质；2. 掌握不等式的基本性质和解法方法；3. 能够应用不等式解决实际问题。

二、教学内容：1. 不等关系：a. 不等关系的定义；b. 不等关系的性质。

2. 不等式：a. 不等式的定义；b. 不等式的基本性质；c. 不等式的解法方法；d. 不等式的实际应用。

三、教学过程：1. 不等关系：a. 引入不等关系的概念，通过实际例子说明不等关系的含义；b. 讲解不等关系的定义，并通过例题让学生理解不等关系的性质。

2. 不等式：a. 讲解不等式的定义和基本性质，包括加减乘除等运算对不等式的影响；b. 教授不等式的解法方法，包括图像法、试数法和代数法；c. 通过例题和练习让学生掌握不等式的解题技巧。

3. 不等式的实际应用：a. 引导学生观察和分析实际问题中的不等关系；b. 结合实际问题，讲解不等式在解决实际问题中的应用；c. 练习解决实际问题的不等式。

四、教学评价：1. 课堂练习：通过课堂上的例题和练习题，考察学生对不等关系和不等式的理解和掌握程度；2. 作业完成情况：布置相关的作业，检查学生对知识点的掌握情况；3. 课堂参与度：评价学生在课堂上的积极参与程度以及对问题的思考和解答能力。

五、教学资源：1. 教材：高中数学教材；2. 教具：黑板、彩色粉笔、多媒体投影仪等。

六、教学反思：1. 需要注重练习：不等式解题需要通过大量的练习来提高方法和技巧；2. 注意引导思考：教师要注重引导学生思考，让学生在解题过程中不仅能够得到正确答案，更重要的是理解解题的原理和思路；3. 结合实际应用：要注重将不等式的知识点与实际问题相结合，让学生能够在实际生活中灵活运用。

第1讲 不等关系与不等式会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加 了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ．2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n＞b n(n∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若a b>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)(x －4)，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ≥B B ．A ＞BC ．A ≤BD ．A ＜B解析：选B.A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，所以A ＞B .故选B.已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b >0，ab >0.又当ab >0时，a 与b 同号，由a ＋b >0知a >0，且b >0.12－1________3＋1(填“>”或“<”)．解析：12－1＝2＋1<3＋1. 答案：<下列不等式中恒成立的是__________．①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ；③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m . 解析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②比较两个数(式)的大小[典例引领](1)已知a >b >0，m >0，则( ) A.b a ＝b ＋ma ＋mB.b a >b ＋ma ＋m C.b a <b ＋ma ＋mD.b a 与b ＋ma ＋m的大小关系不确定(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)选C.b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）.因为a >b >0，m >0. 所以b －a <0，a ＋m >0，所以m （b －a ）a （a ＋m ）<0.即b a －b ＋m a ＋m <0.所以b a <b ＋ma ＋m.(2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 8 9＞1， 所以a ＞b .若本例(1)的条件不变，试比较b a 与b －ma －m的大小．解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）.因为a >b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0， 所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －ma －m >0，故b a >b －ma －m. (2)当a <m 时，a (a －m )<0. 所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a <b －ma －m.比较大小常用的方法[提醒] 用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．[通关练习]1．设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0， 所以m <n .故选B.2．比较a 2b ＋b 2a与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题． 高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度： (1)应用性质判断命题真假； (2)应用性质求代数式的范围．[典例引领]角度一 应用性质判断命题真假(1)(特值法)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. (2)因为a ＞0＞b ，c ＜d ＜0， 所以ad ＜0，bc ＞0， 所以ad ＜bc ，故①错误．因为0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0， 因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，所以a (－c )＞(－b )(－d )， 所以ac ＋bd ＜0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．因为c ＜d ，所以－c ＞－d ，因为a ＞b ，所以a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．因为a ＞b ，d －c ＞0，所以a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 【答案】 (1)C (2)C角度二 应用性质求代数式的范围(整体思想)已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．【解】 因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4， 所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[6，10]．(1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假． (2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．[通关练习]1．(2018·河南百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当(a －b )a 2≥0时，由a 2≥0得a －b ≥0，即a ≥b ，反之也成立，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的充要条件．2．若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12. 又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132真假分数的性质(1)真分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变大． (2)假分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变小．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定限制条件的选择题，用特殊值验证的方法更简单．易错防范(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．1．已知a >b ，则下列结论正确的是( ) A ．a 2>b 2B ．ac 2>bc 2C.a >bD ．a －1>b －2解析：选D.因为a >b 时，a 与b 的符号不确定，所以A 、C 不正确； 当c ＝0时，B 不正确；对于D ，a >b ⇒a －1>b －1， 又b －1>b －2，所以a －1>b －2正确． 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D.由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误．选D.3．若x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)，则x ，y 满足的条件是( ) A ．x 、y ∈R B ．x ≥1且y ≥1 C ．x ≤1且y ≤1D ．x ＝1且y ＝1解析：选D.因为x 2＋y 2－2(x ＋y －1) ＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋1 ＝(x －1)2＋(y －1)2≥0，当且仅当x ＝1且y ＝1时，取等号， 即x 2＋y 2≥2(x ＋y －1)． 又因为x 2＋y 2≤2(x ＋y －1)， 所以x 2＋y 2＝2(x ＋y －1)． 所以x ＝1且y ＝1，故选D.4．(2018·湖北黄冈检测)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C.因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， 所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z 得xy >xz .故选C. 5．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a >b ，c >d ，则ac >bd ； ④若a >b ，则1a >1b.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B.由ac 2>bc 2知c ≠0，c 2>0，所以a >b ，故①正确；由不等式的同向可加性易知②正确；对于③，当a ＝－1，b ＝－4，c ＝－2，d ＝－3时，ac <bd ，故③不正确；对于④，若a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但12>11不成立，故④不正确．6．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．已知a ，b ∈R ，则a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b.所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b8．若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是________．解析：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β) ＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围为[1，7]． 答案：[1，7]9．设实数a ，b ，c 满足 ①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确立a ，b ，c 的大小关系．解：因为c －b ＝(a －2)2≥0，所以c ≥b ，又2b ＝2＋2a 2，所以b ＝1＋a 2，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，所以b >a ，从而c ≥b >a .10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）>e（b －d ）.证明：因为c <d <0，所以－c >－d >0. 又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0. 所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.又因为e <0，所以e （a －c ）2>e（b －d ）2.1．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A. 1x －1y＞0B ．sin x －sin y ＞0C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0解析：选C.法一：(通性通法)因为x ＞y ＞0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1＜0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1＜0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln 1＝0，排除D.故选C.法二：(光速解法)因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上单调递减，且x ＞y ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0，故选C.2．(2017·高考山东卷)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a . 3．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，3)D ．(0，3) 解析：选B.由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a，1＋c a >b a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，－1<c a －b a <1， 两式相加得，0<2×c a <4，所以c a 的取值范围为(0，2)，故选B.4．(2018·安徽合肥模拟)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，则( ) A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a 解析：选 A.由c a ＋b <a b ＋c <b c ＋a ，可得c a ＋b ＋1<a b ＋c ＋1<b c ＋a ＋1，即a ＋b ＋c a ＋b <a ＋b ＋c b ＋c <a ＋b ＋c c ＋a，又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，所以a ＋b >b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a <b .故选A.5．某公司组织员工去某地参观学习需包车前往，甲车队：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队：“团体票可按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据去的人数选择收费优惠的车队．解：设该公司员工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，选择甲车队需花y 1元，选择乙车队需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．6．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15.又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15，所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)．因为136<1b <115， 所以1236<a b <6015， 所以13<a b <4， 即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

专题33 不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．3.掌握不等式的性质及应用．1．不等式的基本性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒1a<1 b.②a<0<b⇒1a<1 b.③a>b>0,0<c<d⇒ac>b d.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．高频考点一 比较不等式的大小例1、(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③C.①③D.②④法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab，即①正确；②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1b＞0，所以a －1a ＞b －1b，故③正确；④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C【感悟提升】比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【变式探究】(1)已知p ＝a ＋1a －2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2，其中a >2，x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( )A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 答案 (1)A (2)D高频考点二 不等式的性质例2、已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0答案 A解析 由c <b <a 且ac <0知c <0且a >0. 由b >c 得ab >ac 一定成立．【感悟提升】解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 【变式探究】若a >0>b >－a ，c <d <0，则下列结论：①ad >bc ；②a d ＋b c<0；③a －c >b －d ；④a (d －c )>b (d －c )中成立的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C∵c <d ，∴－c >－d ，∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )，a －c >b －d ，故③正确．∵a >b ，d －c >0，∴a (d －c )>b (d －c )， 故④正确，故选C.高频考点三不等式性质的应用例3、已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③a－b>a－b；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④答案 A故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③a－b>a－b均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A. 【感悟提升】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．【变式探究】(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是( )A.1a－b>1bB．a2<abC.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n >b n(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)D解析 (1)(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |， ∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C. (2)由不等式性质及a >b >1知1a <1b，又c <0，所以c a >c b，①正确； 构造函数y ＝x c，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数， 又a >b >1，∴a c<b c ，知②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，知③正确．1. 【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( ) （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ．1．【2015高考湖北，理10】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B2.【2015高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B3．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 3【答案】D【解析】因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D. 4．（2014·四川卷）若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c【答案】D【解析】因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－bc＞0，所以a d <bc.故选D.5．（2014·安徽卷）若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 【答案】D 【解析】当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎪⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8.当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫x >－a 2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.6．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y ＝ax ＋b(a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12【答案】B∵a>0，∴b 21－2b >0 b<12，当a ＝0时，极限位置易得b ＝1－22，故答案为B.7．（2013·新课标全国卷Ⅱ）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c 【答案】D【解析】a －b ＝log 36－log 510＝(1＋log 32)－(1＋log 52)＝log 32－log 52>0， b －c ＝log 510－log 714＝(1＋log 52)－(1＋log 72)＝log 52－log 72>0， 所以a>b>c ，选D.1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x ) C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x<2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，45 8.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.答案 [－8，4]9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}.(2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 即a 的值为3±3，b 的值为－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ).(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a ＜x ＜2.。