2018届高考数学(理)第一轮总复习全程训练考点集训：第1章 集合与常用逻辑用语 天天练1

组专项基础训练(时间：分钟)．(·山东)设集合＝{＝，∈}，＝{－＜}，则∪＝()．(－，)．(，)．(－，＋∞) ．(，＋∞)【解析】∵＝＞，∴＝{＞}．又－＜，∴－＜＜，∴＝{－＜＜}．故∪＝{＞}∪{－＜＜}＝{＞－}．故选.【答案】．(·开封模拟)设集合＝{＝－，∈}，＝{－＞}，则∩(∁)＝()．{－，} ．{－，－，，，}．{，} ．∅【解析】＝{＞或＜－}，∴∁＝{－≤≤}，∴∩(∁)＝{－，}．【答案】．(·日照模拟)集合＝{＝}，＝{＝，＞}，则∩等于()．．∅．．(－，]．∪．．(－∞，－]∪[，＋∞)【解析】由∪＝，可得⊆.∵＝{≤}＝{－≤≤}，∴－≤≤.故选.【答案】．若∈，则∈，就称是伙伴关系集合，集合＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是．【解析】具有伙伴关系的元素组是－；，，所以具有伙伴关系的集合有个：{－}，，.【答案】．(·贵阳监测)已知全集＝{，，，}，集合是集合的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若∈，则∈；②若∉，则∉；③若∈，则∉.则集合＝．(用列举法表示)【解析】若∈，则∈，则由若∉，则∉可知，∈，假设不成立；若∈，则∉，则∉，∉，假设不成立，故集合＝{，}．【答案】 {，}．已知集合＝{(，)，(，)，(－，)}，＝{(，)＋－＝，，∈}，则∩＝．【解析】、都表示点集，∩即是由中在直线＋－＝上的所有点组成的集合，代入验证即可．【答案】 {(，)，(－，)}．已知集合＝{∈＋＜}，集合＝{∈(－)(－)＜}，且∩＝(－，)，则＝，＝．【解析】＝{∈＋＜}＝{∈－＜＜}，由∩＝(－，)可知＜，则＝{＜＜}，画出数轴，可得＝－，＝.【答案】－组专项能力提升(时间：分钟)．(·天津)已知集合＝{，，，}，＝{＝－，∈}，则∩＝()．{} ．{}．{，} ．{，}【解析】由题意，得＝{，，，}，∴∩＝{，}．【答案】．(·北京)已知集合＝{＜}，＝{－，，，，}，则∩＝()．{，} ．{，，}．{－，，} ．{－，，，}【解析】∵＝{＜}＝{－＜＜}，又＝{－，，，，}，∴∩＝{－，，}．故选.【答案】．(·浙江临海台州中学第三次统练)已知集合＝{，}，＝{－∈}，则∪＝()．{} ．{，}．{，，} ．∅【解析】∵＝{，}，∴＝{－∈}＝{，}，∴∪＝{，，}．【答案】．(·成都模拟)已知集合＝{＞}，＝，则∩＝．【解析】对于集合，由＞，解得＜＜，∴＝{＜＜}，∵＜＜，∴＜＜，∴＜＜，∴＝，∴∩＝.【答案】．(·兰州模拟)集合＝{＋－≤}，＝{＝，≤≤}，则∩(∁)＝．。

真题演练集训．命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是( )．∀∈，∃∈*，使得<．∀∈，∀∈*，使得<．∃∈，∃∈*，使得<．∃∈，∀∈*，使得<答案：解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选.．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是( )．∀∈*，()∉*且()>．∀∈*，()∉*或()>．∃∈*，()∉*且()>．∃∈*，()∉*或()>答案：解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．．设命题：∃∈，＞，则綈为( )．∃∈，≤．∀∈，＞．∀∈，≤．∃∈，＝答案：解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．故选.．若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．答案：解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于.又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．给定命题：对任意实数都有＋＋>成立；：关于的方程－＋＝有实数根．如果“∨”为真命题，“∧”为假命题，那么实数的取值范围为．(－∞，)∪当为真命题时，“对任意实数都有＋＋>成立”⇔＝或(\\(>，,Δ<，))所以≤<.当为真命题时，“关于的方程－＋＝有实数根”⇔Δ＝－≥，所以≤.因为“∨”为真命题，“∧”为假命题，所以，一真一假．若真假，则<<；若假真，则<.综上，实数的取值范围为(－∞，)∪.根据命题的真假求参数取值范围的方法步骤：()求出当命题，为真命题时，所含参数的取值范围；()判断命题，的真假性；()根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．考法总结含分式不等式的命题的否定对于含分式不等式的命题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定．设函数()＝的定义域为，若命题：∈与命题：∈有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．由题意，可知，两个命题一真一假，命题等价于{≤<}，命题等价于<)))).()若真假，则需满足(\\(≤<，<()或≥))⇒∈∅.()若假真，则需满足(\\(<或≥，,()≤<))⇒∈∪[)．综上所述，的取值范围为∪[)．点评对于含分式不等式的命题的否定，有两种解法，一是先写出否定形式，再求范围，二是先求范围，再对范围进行否定，但解法一容易遗漏分式无意义的情况，推荐使用解法二进行解题．。

第一章错误!集合与常用逻辑用语第一节集合本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念;2。

集合间的基本关系；3。

集合的基本运算.突破点(一）集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念（1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.（3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N＋Z Q R 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数）或已知元素个数求参数［例1](1))A．1 B．3C．5 D．9（2）若集合A＝｛x∈R|ax2－3x＋2＝0｝中只有一个元素，则a＝(）A.错误!B。

错误!C．0 D．0或错误!［解析］(1）∵A＝｛0，1，2},∴B＝｛x－y｜x∈A，y∈A｝＝｛0,－1，－2，1，2}．故集合B中有5个元素．(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时,Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝错误!。

故a＝0或错误!.［答案］（1)C（2）D［方法技巧]求元素(个数）的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝｛z|z＝x＊y,x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数),其中‘*’表示题目设定的某一种运算"．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*"，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想）,从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素,即得该集合元素的个数．元素与集合的关系［例2](1)设集合A＝｛2,3,4｝，B＝{2,4，6｝，若x∈A，且x∉B，则x＝()A．2 B．3 C．4 D．6（2)(2017·成都诊断)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m},若3∈A，则m的值为________．［解析］（1）因为x∈A，且x∉B，故x＝3.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3。

量词与存在量词1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *(或N ＋)ZQR表示 关系自然语言符号 语言Venn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，x ∈B )A ⊆B (或B ⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中 A B (或B A )集合相等集合A ，B 中元素相同A ＝B集合的并集 集合的交集 集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1．辨明三个易误点(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2．活用几组结论(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B．(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.(6)若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.1.教材习题改编已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆DB2.教材习题改编设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝( )A．{x|3≤x<5} B．{x|2≤x≤3}C．{3，4} D．{3，4，5}C 因为A＝{x|2≤x<5}，B＝{x∈Z|3x－7≥8－2x}＝{x∈Z|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}．3．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A．0 B．1C．2 D．3C 集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.4.教材习题改编已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝________．由题意得∁U B＝{2，5，8}，所以A∩∁U B＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}．{2，5}5.教材习题改编已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则(∁R A)∪B＝________．由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}，又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．{x |x ≤1或x >2}集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．9(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】 (1)当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0，1，2. 故集合B ＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B 中有6个元素．(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b＝1.所以b －a ＝2.【答案】 (1)C (2)C1．设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B 因为a ∈A ，b ∈B ，所以x ＝a ＋b 为1＋4＝5，1＋5＝2＋4＝6，2＋5＝3＋4＝7，3＋5＝8.共4个元素．2．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.－32集合间的基本关系(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}． 由题意知B ＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}． (2)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3. 【答案】 (1)D (2)(－∞，3]1.在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求解？若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值范围为∅.2．若将本例(2)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，如何求解？ 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R PC 因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x，x ∈R }＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的范围为________． 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述m 的范围为m ≤1. m ≤1集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年各地高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．高考对集合运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求集合间的交或并运算； (2)求集合的交、并、补的混合运算； (3)已知集合的运算结果求参数的值(范围)．(1)(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2016·高考山东卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，5}，B ＝{3，4，5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{2，6}B ．{3，6}C ．{1，3，4，5}D ．{1，2，4，6}(3)已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________．【解析】 (1)由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3. (2)由题知A ∪B ＝{1，3，4，5}，所以∁U (A ∪B )＝{2，6}． (3)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ， 又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，又U ＝{1，3，5，7，9}，假设1∈A ，由A ∩B ＝{3}， 知1∉B ，所以1∈∁U B ，则与(∁U B )∩A ＝{9}矛盾， 所以1∉A ，同理5，7∉A ，则A ＝{3，9}． 【答案】 (1)D (2)A (3){3，9}集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解； (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．角度一 求集合间的交或并运算1．(2016·高考全国卷甲)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1，2}C ．{0，1，2，3}D ．{－1，0，1，2，3}C 由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，所以A ∪B ＝{0，1，2，3}，故选C.角度二 求集合的交、并、补的混合运算2．(2017·海口市调研测试)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，76B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－76A 依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <76；B ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}，因此(∁U A )∩B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <76，选A.3．(2017·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ，因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x|0≤x<6}，故选C.角度三已知集合的运算结果求参数的值(范围)4．(2017·河南省六市第一次联考)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B 有4个子集，则实数a的取值范围是( )A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3)C．(0，1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3且a≠1，即实数a的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B．)——集合中的创新问题以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．【答案】{0，6}解决集合创新型问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．1.设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A ＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，结合数轴得A ⊗B ＝{0}∪ {0}∪ 符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．6)1．(2016·高考天津卷)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{4}C ．{1，3}D ．{1，4}D 由题意得，B ＝{1，4，7，10}，所以A ∩B ＝{1，4}．2．设集合M ＝{x |x 2－2x －3<0，x ∈Z }，则集合M 的真子集个数为( ) A ．8 B ．7 C ．4D ．3B 依题意，M ＝{x |(x ＋1)·(x －3)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <3，x ∈Z }＝{0，1，2}，因此集合M 的真子集个数为23－1＝7，故选B ．3．(2017·南昌月考)设集合P ＝{a 2，log 2a }，Q ＝{2a，b }，若P ∩Q ＝{0}，则P ∪Q ＝( ) A ．{0，1} B ．{0，1，2} C ．{0，2}D ．{0，1，2，3}B 因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，只能log 2a ＝0，所以a ＝1，a 2＝1，又0∈Q ，因为2a＝21＝2≠0，所以b ＝0，所以，P ＝{0，1}，Q ＝{2，0}，所以P ∪Q ＝{0，1，2}．4．(2017·河南省八市重点高中质量检测)若U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，则A ∩(∁U B )等于( )A ．{4，6}B ．{1，8}C ．{1，4，6，8}D ．{1，4，6，8，9}B 因为U ＝{1，4，6，8，9}，A ＝{1，6，8}，B ＝{4，6}，所以∁U B ＝{1，8，9}，因此A ∩(∁U B )＝{1，8}，故选B ．5．(2017·湖南省东部六校联考)已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤2x ≤4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( )A ．{－2，－1，0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，1}D ．{0，1}C 由12≤2x≤4，解得－1≤x ≤2，即集合N ＝{－1，0，1，2}，所以M ∩N ＝{－1，0，1}，故选C.6．(2017·石家庄教学质量检测(二))设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x<2，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．M ⊆NC ．M ∩N ＝∅D ．M ∪N ＝RB 因为1x －2<0，即2x －1x >0，解得x <0或x >12，因为N ＝(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，又M ＝{1，－1}，所以可知B 正确，A ，C ，D 错误，故选B ．7．已知全集U ＝Z ，P ＝{－2，－1，1，2}，Q ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{－1，－2}B ．{1，2}C ．{－2，1}D ．{－1，2}A 因为Q ＝{1，2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.8．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6C 由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，m ＋n ＝7.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，ba，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}A 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为( )A．147 B．140C．130 D．117B 由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5有相同的元素，当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B．11．(2017·开封市第一次模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则A∩(∁R B)＝( )A．{－1，2} B．{－2，－1，1，2，4}C．{1，4} D．∅A 当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n ＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁RB ＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．12．(2017·临沂质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，所以∁U B＝{x|x>a}．因为∁U B⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D．13．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.414．(2017·山西省高三考前质量检测)设全集U＝{x∈Z|－2≤x≤4}，A＝{－1，0，1，2，3}．若B⊆∁U A，则集合B的个数是________．由题意得，U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以∁U A＝{－2，4}，所以集合B的个数是22＝4.415．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B＝________．因为全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U(A∪B)＝{1，3}，得A∪B＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A∩(∁U B)＝{2，4}知，{2，4}⊆A，{2，4}⊆∁U B．所以B ＝{5，6，7，8，9}． {5，6，7，8，9}16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]． (－∞，－1]17.设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}，A ∪B ＝(－∞，1)，A ∩B ＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)．(－∞，－1]∪(0，1)18．已知集合M ＝{1，2，3，4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有_____个．当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1，2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个． 1719．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B ． (1)因为9∈(A ∩B )，所以2a －1＝9或a 2＝9，所以a ＝5或a ＝3或a ＝－3. 当a ＝5时，A ＝{－4，9，25}，B ＝{0，－4，9}；当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，不满足集合元素的互异性； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7，9}，B ＝{－8，4，9}， 所以a ＝5或a ＝－3. (2)由(1)可知，当a ＝5时，A ∩B ＝{－4，9}，不合题意，当a ＝－3时，A ∩B ＝{9}．所以a ＝－3.20．(2017·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系（1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;（2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；（2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q的充分不必要条件;（3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；（4）如果q⇒p,且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；（5）如果p⇏q,且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件．【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x)}，B＝｛x|q（x）｝，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；（3）若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；（5）若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3〈0”是命题．( ×）（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p,则綈q”．（×)（3）若一个命题是真命题,则其逆否命题也是真命题．（√)（4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（√）（5）当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．（√)(6）若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件．（√）1．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x>y，则x>｜y|"的逆命题B．命题“若x>1,则x2>1"的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0"的否命题D．命题“若x2〉0，则x>1”的逆否命题答案A解析对于A，其逆命题是若x〉｜y|，则x>y，是真命题，这是因为x>｜y|≥y，必有x〉y。

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1．已知集合A＝｛y|x2＋y2＝1}和集合B＝{y|y＝x2}，则A∩B等于（）A．(0,1）B．[0，1] C．（0,＋∞) D．｛（0，1）,（1,0）}解析∵A＝{y｜x2＋y2＝1}，∴A＝｛y｜－1≤y≤1}．又∵B＝{y｜y＝x2}，∴B＝{y|y≥0｝．A∩B＝｛y｜0≤y≤1｝．答案B2。

设全集U＝M∪N＝{1，2,3,4，5}，M∩∁UN＝｛2，4｝，则N ＝( )A．｛1,2，3} B．{1,3,5} C．｛1，4，5} D．｛2，3，4｝解析由M∩∁UN＝｛2,4}可得集合N中不含有元素2，4，集合M中含有元素2，4，故N＝｛1,3，5｝．答案B3．设集合U＝｛x｜x<5，x∈N*},M＝{x｜x2－5x＋6＝0｝，则∁U M ＝( )．A．{1,4} B．｛1,5｝C．{2,3｝D．｛3，4｝解析U＝{1，2，3，4｝，M＝｛x|x2－5x＋6＝0｝＝{2,3｝，∴∁U M＝｛1，4｝．答案A4．若A＝｛2，3,4｝，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n｝，则集合B中的元素个数是（）．A．2 B．3 C．4 D．5解析B＝｛x|x＝n·m，m，n∈A,m≠n}＝｛6，8，12}．答案B5．设集合M＝｛1，2｝,N＝{a2｝，则“a＝1"是“N⊆M”的（)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析若N⊆M，则需满足a2＝1或a2＝2,解得a＝±1或a＝±错误!.故“a＝1”是“N⊆M"的充分不必要条件．答案A6．设集合A＝错误!，B＝｛y｜y＝x2｝，则A∩B＝( ）．A．［－2,2] B．[0,2]C．［0，＋∞）D．｛（－1,1），(1，1)}解析A＝｛x｜－2≤x≤2｝,B＝｛y|y≥0｝，∴A∩B＝{x｜0≤x≤2}＝［0,2］．答案B二、填空题7．设集合A＝｛－1,1，3｝，B＝{a＋2，a2＋4｝，A∩B＝{3},则实数a＝________。

1．集合与元素（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．（3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＊（或N＋)Z Q R2。

集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中（即若A⊆B（或B⊇A）x∈A，则x∈B）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B（或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B｝并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B}合补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝｛x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅;A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A。

【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”)(1）任何一个集合都至少有两个子集．( ×）（2）{x|y＝x2＋1｝＝｛y｜y＝x2＋1｝＝｛(x,y)｜y＝x2＋1}．( ×）(3）若｛x2，1}＝{0，1｝，则x＝0,1.（×)（4)｛x｜x≤1}＝｛t｜t≤1}．（√)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．（√)（6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.（×)1．（教材改编)若集合A＝｛x∈N｜x≤错误!｝,a＝2错误!，则下列结论正确的是（）A．｛a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案D解析由题意知A＝{0,1,2,3},由a＝2错误!，知a∉A。

第2讲 简单不等式的解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ；(2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ．2．(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解集1．辨明三个易误点(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 2．分式不等式的四种形式求解思路 ①f （x ）g （x ）>0⇔f (x )g (x )>0； ②f （x ）g （x ）<0⇔f (x )g (x )<0； ③f （x ）g （x ）≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f （x ）g （x ）≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. 3．绝对值不等式的解法 (1)|f (x )|>|g (x )|⇔2>2；(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．1.教材习题改编 不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)D 将x 2－3x ＋2<0化为(x －1)·(x －2)<0，解得1<x <2.2．若不等式4x 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．1D ．－1A 由不等式4x 2＋ax ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－12知，－a 2×4＝－12.所以a ＝4.故选A.3．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪ 由不等式x －12x ＋1≤0 可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 4．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________．由不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6.65．若不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4. (－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度为中档题． 高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度： (1)解一元二次不等式；(2)已知一元二次不等式的解集求参数．解下列不等式： (1)－2x 2＋3x ＋2<0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 (1)－2x 2＋3x ＋2<0，即为2x 2－3x －2>0. Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0.方程2x 2－3x －2＝0的两实根为x 1＝－12，x 2＝2.所以2x 2－3x －2>0的解集为{x |x <－12或x >2}，即原不等式的解集为{x |x <－12或x >2}．(2)因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.角度一 解一元二次不等式 1．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0<x 2－x －2≤4.(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43.(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．角度二 已知一元二次不等式的解集求参数2．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为______．依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝c a ，所以解得a ＝－12，c ＝2，所以不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． (－2，3)简单的分式不等式的解法解下列不等式： (1)1－x 3x ＋5≥0； (2)x －1x ＋2>1. 【解】 (1)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－53<x ≤1.(2)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， 所以x －1－（x ＋2）x ＋2>0，所以－3x ＋2>0，则x <－2. 故原不等式的解集为{x |x <－2}．解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3.(1)不等式x ＋1x －3≥0可以转化为(x ＋1)(x －3)≥0且x ≠3，所以解集为{x |x >3或x ≤－1}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可以改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2（x －1）x ＋1<0，故原不等式的解集为{x |－1<x <1}．简单的绝对值不等式的解法设函数f (x )＝|2x －3|－1. (1)解不等式f (x )<0；(2)若方程f (x )＝a 无实数根，求a 的范围． 【解】 (1)f (x )<0即为|2x －3|<1. 即－1<2x －3<1. 所以1<x <2.所以不等式f (x )<0的解集为{x |1<x <2}． (2)法一：方程f (x )＝a 无实数根， 即|2x －3|＝a ＋1无实数根， 因为|2x －3|≥0， 所以a ＋1<0，即a <－1.所以当a <－1时，方程f (x )＝a 无实数根．法二：方程f (x )＝a 无实数根，即函数f (x )＝|2x －3|－1与y ＝a 的图象无交点(如图)．所以a 的范围为a <－1.含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：a 为正实数，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号，适用于|x －a |<|x －b |或|x －a |>|x －b |型的不等式的求解．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．1．不等式|2x －1|>3的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}C 由|2x －1|>3得2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2，故选C. 2．不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为________． 由|2x －3|<3x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－（3x ＋1）<2x －3<3x ＋1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－13，x >25，即x >25.故不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为{x |x >25}．{x |x >25}——分类讨论思想在解不等式中的应用解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．【解】 原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0(a >0)，①若0<a <1，则1a>1，所以1<x <1a；②若a ＝1，则1a＝1，所以不等式无解；③若a >1，则1a <1，所以1a<x <1.综上知，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1.(1)本题利用了分类讨论思想，所谓分类讨论思想，是在研究和解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，从而达到解决整个问题的目的，这一思想方法，我们称为“分类讨论思想”．分类讨论是“化整为零，各个击破，积零为整”的解题策略．(2)本题根据1a和1的大小进行比较，对于含参数的不等式一般要分类讨论，对于含绝对值的不等式也要分类讨论．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5得x ≤－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5得无解； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5得x ≥2.即所求的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． {x |x ≤－3或x ≥2}1．不等式－2x 2＋x <－3的解集为( ) A ．{x |－32<x <1}B ．{x |－1<x <32}C ．{x |x <－32或x >1}D ．{x |x <－1或x >32}D －2x 2＋x <－3， 即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为{x |x <－1或x >32}，故选D ．2．不等式x －43－2x<0的解集是( )A ．{x |x <4}B ．{x |3<x <4}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪32<x <4 C 不等式x －43－2x <0等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32(x －4)>0，所以不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32或x >4.3．关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D ．32D －12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D ．4．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}B 因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．5．(2017·福建晋江高二检测)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )B 因为不等式的解集为(－2，1)，所以a <0，排除C 、D ；又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B ．6．若0<a <1，则不等式x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3≤0的解集为( ) A ．{x |3a 2≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2} C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a }D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2}A 因为0<a <1，所以0<3a 2<3a ，而方程x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3＝0的两个根分别为3a 和3a 2，所以不等式的解集为{x |3a 2≤x ≤3a }．7．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －bx －2>0的解集是( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |－1<x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x >2}A 依题意，a >0且－b a＝1.ax －b x －2>0⇔(ax －b )(x －2)>0⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b a (x －2)>0， 即(x ＋1)(x －2)>0⇒x >2或x <－1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，1)C ．(－∞，1]D ．(1，＋∞)C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x －x 2≤2， 解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]，故选C.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3A 由题意得，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.10．若不等式－x 2＋2x ＋m >0的解集是∅，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－1 B ．m ≥－1 C ．m ≤1D ．m ≥1A －x 2＋2x ＋m >0， 即为x 2－2x －m <0.由题意得Δ＝(－2)2－4×1×(－m )≤0， 即4＋4m ≤0，所以m ≤－1.故选A.11．不等式x ＋5（x －1）≥2的解集是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，3] D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3] D 由x ＋5（x －1）2≥2，得x ＋5－2（x －1）2（x －1）2≥0， 即－2x 2＋5x ＋3（x －1）2≥0. 所以原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋5x ＋3≥0，x －1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1.解得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，所以原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1，3]． 12．(2017·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 D 不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D ． 13．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.{x |0<x <2}14．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________． 原不等式即(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a，所以a <x <1a. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |a <x <1a 15．不等式x －1x ≥2的解集为________． 不等式x －1x ≥2，即x －1x －2≥0，即－x －1x ≥0，所以x ＋1x≤0，等价于x (x ＋1)≤0且x ≠0，所以－1≤x <0.原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，1－2x －2x －1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，1－2x ＋2x ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，2x －1＋2x ＋1≤6，解得－32≤x ≤32，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤3217．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有a ＝________，b ＝________.由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.－3 －418．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，则关于x 的不等式42－36＋45<0的解集为________．由42－36＋45<0，得32<<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，＝n ，所以＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为 (1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12， 即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12.20．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1，或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a， 所以x －m <0，1－an ＋ax >0.所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。