高中数学新课标人教A版选修2-2《1.4生活中的优化问题举例》讲课

解析：(1)∵当 x＝5 时，y＝11，∴a2＋10＝11，∴a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中 3<x<6. ∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时 10 千 时，燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，轮船的速 是多少时，航行 1 千米所需的费用总和为最小？ 解析：设速度为每小时 v 千米的燃料费为每小时 p 元，由题意得 p＝k·v3，其中 为比例系数，当 v＝10，p＝6，解得 k＝1603＝0.006. 于是有 p＝0.006v3. 设当速度为每小时 v 千米时，行 1 千米所需的总费用为 q 元，那么每小时所需的总
综上，当 1≤t≤2 时，投入23a万元，y 的最大值为3227a3； 当 0<t<1 时，投入22t＋at1万元，y 的最大值为23t2＋a31t23.
求解利润最大问题方法： 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本” 建立函数关系式，再利用导数求最大值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商 获得的利润最大．
∴当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的基本思路
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解决优化问题的一般步骤： (1) 审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论， 找出问题的主要关系． (2) 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把
待求最值的对象表示为该变量的函数．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
(3) 解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学 方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定
性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单 1 3 位：万件)的函数关系式为 y＝－3x ＋81x－234，则使该生产厂 家获取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 )
1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的 思想意识．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格
v3 5 2 ＝48－2v ＋6 000(0<v≤100)．

栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设矩形广告的高和宽分别为 x cm,y cm,面积为 S cm2. 则每栏的高和宽分别为(x-20) cm, 由两栏面积之和为 2(x-20)· 得 y=
18 000 + 25. x-20 y-25 2 y-25 2
cm,其中 x>20,y>25.
= 18 000,
广告的面积 S=xy=x 所以 S'=
(x-20)
2
18 000 18 000x + 25 = + 25x. x-20 x-20 18 000[(x-20)-x] -360 000
+ 25 =
(x-20)
2
+ 25.
令 S'>0,得 x>140, 令 S'<0,得 20<x<140. 所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当 x=140时,S取得最小值. 当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 栏目 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小导引 .
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设容器底面一条边长为 x m,则另一条边长为(x+0.5) m,高为
14.8-4������-4(������+0.5) 4
= (3.2 − 2������) m.
3.2-2������ > 0, 解得0<x<1.6. ������ > 0, 设容器的容积为 y m3, 则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以 y'=-6x2+4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1.6. 令 y'=0,则 15x2-11x-4=0, 由 解得 x1=1,x2=−

+x)
=51
840 ������
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51������8240+240x=2���4���20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预 计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
������
=4
3-
1 3
������
3
,
Q(a)=
9(6-������),3
≤
������
<
9 2
,
4
3-
1 3
������
3
,
9 2
≤
������
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为

课前探究学习
课堂讲练互动第二页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
自学导引 1．优化问题
生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、 效率最高 等问题， 这些问题通常称为优化问题。 2．用导数解决优化问题的基本思路
课前探究学习
课堂讲练互动第三页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
想一想：设两正数之和为常数 c，能否借助导数求两数之积的最大 值，并由此证明不等式a＋2 b≥ ab(a，b>0)? 提示 设一个正数为 x，则另一个正数为 c－x，两数之积为 f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0<x<c)，f′(x)＝c－2x. 令 f′(x)＝0，即 c－2x＝0，得 x＝2c.
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课堂讲练互动第十八页，编辑活于星页期一规：范点 十训八分练。
令 S′(R)＝－2RV2＋4πR＝0，解得 R＝ 3 2Vπ，
从而 h＝πVR2＝ π
V＝
3
V
2
3
4πV＝2
3
2Vπ，即 h＝2R.
2π
因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以，当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
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课堂讲练互动第五页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
名师点睛 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
第一步：建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式y＝f(x)； 第二步：求函数的导数f′(x)，令f′(x)＝0，求出极值点； 第三步：比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小，确定其 最大值或最小值．
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课堂讲练互动第八页，编辑于活星期页一：规点范十八训分。练
[思路探索] 分析各已知条 件之间的关系 ―→ 适当选取变量 ―→ 构造函数关系 ―→

解 设靠墙的一面长 x m，围成的场地面积为 y m2，此时
40－x 矩形的宽为 2 >0， 40－x 1 2 ∴y＝x· ＝－ x ＋20x.(0<x<40) 2 2 y′＝－x＋20.
令 y′＝0 得，x＝20. 当 0<x<20 时，y′>0， 当 20<x<40 时，y′<0. ∴x＝20 时，y 最大＝20×10＝200. 答： 靠墙的一面长 20 m 时， 围成的场地面积最大， 为 200 m2.
4．某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确定它的高与 底半径，才使得所用材料最省？
解 设圆柱的高为 h，底半径为 R，则表面积
S(R)＝2πRh＋2πR2， V 又 V＝πR2h，则 h＝πR2，所以 V 2V 2 2 S(R)＝2πR· ＋ 2π R ， 2＋2πR ＝ πR R 2V 由 S′(R)＝－ R2 ＋4πR＝0，

二
用料最省问题
【例2】
要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知
侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之 比为何值时造价最省？ 【分析】 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造
价表示为r的函数．
V 【解】 由V＝πr h，得h＝πr2，
解析 如图所示，矩形长为 10cosθ，宽为 5sinθ，则矩形的 面积 S＝50sinθcosθ＝25sin2θ≤25， ∴当 θ＝45° 时， 矩形的面积 有最大值 25.
答案
B
2．周长为 20 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱 体积的最大值为________．
解析 设矩形的一边长为 x，则另一边长为 10－x，则 V＝ 20 πx (10－x)＝π(10x －x )．令 V′＝π(20x－3x )＝0，得 x＝ .x 3

V′(r)＝S－26πr2， 令 V′(r)＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，因为 V′(r)只有一个极值 点，故当 h＝2r 时圆柱的容积量大．
又 r＝ 6Sπ，∴h＝2 6Sπ＝ 36ππS.
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 36ππS.
答案：
6πS 3π
2．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一 段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 解：设弯成圆的一段长为 x(0＜x＜100)，另一段长为 100－x， 记正方形与圆的面积之和为 S，则 S＝π2xπ2＋1004－x2(0＜x ＜100)，则 S′＝2xπ－18(100－x)． 令 S′＝0，则 x＝1π0＋0π4.
谢谢观看！
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””

第一章 导数及其应用
§1.4 生活中的优化问题举例
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
实
新知探究 点点落
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题， 这些问题通常称为 优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 求函数最值 3.解决优化问题的基本思路是：
数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型的
过程.
答案 返回
题型探究
破
重点难点 个个击
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ，
成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为
________ cm.
解析答案
800 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
解析答案 返回
达标检测
1
2 3 4
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A A.4 B.6 C.4.5 D.8
)
解析 设底面边长为x，高为h，
256 则 V(x)＝x · h＝256，∴h＝ x2 ，
2
256 2 4×256 ∴S(x)＝x ＋4xh＝x ＋4x·x2 ＝x ＋ x ，
2 2
4×256 ∴S′(x)＝2x－ x2 .

512
S'(x) 2 x2
精品课件
2dm
S (x)2x51 x 28 ， S'(x)25 x 1 2 2 令 S ' ( x ) 0 可 解 得 x 1 （ 6 x - 1 6 舍 去 ）
列表讨论如下：
x S '(x) S (x)
(0，16)
-
减函数↘
16
0
极小值
(16，+∞)
+
增函数↗
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 1 2 8 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S(x)(x4)(1282)128 x
2x5128 (x0) x
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
y
1
x33x8 (0x1 2 0 ).
1 2 8 0 0 0 8 0
若已知甲、乙两地相距100千米。
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油
最少？最少为多少升？
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
精品课件
例2、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，