解答题训练检测10 练习-贵州省凯里市第一中学2021届高考数学一轮复习

专题四、指数函数、对数函数、幂函数抓住4个高考重点重点 1 指数与对数的运算1.两个重要公式（1）,(0)||,(0)n n a n a a a a n a a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪-<⎩⎩为奇数为偶数（2）n n a a =（）（注意a 必须使n a 有意义） 2.分数指数幂mn m n a a =， *1(0,,,1)mn n m a a m n N n a -=>∈>3.（1）对数的性质：log a N a N =，log N a a N =，log log log b a b N N a =，1log log a b b a =，log log m n a a n b b m = （2）对数的运算法则：log log log a a a MN M N =+，log log log aa a M M N N=-，log log n a a M n M = [高考常考角度]角度1计算121(lg lg 25)100=4--÷ 20- . 解析：12111(lg lg 25)100lg 20410010--÷=÷=-角度2 （2010上海）已知02x π<<，化简：)2sin 1lg()]4cos(2lg[)2sin 21tan lg(cos 2x x x x x +--+-+⋅π. 解析：原式lg(sin cos )lg(sin cos )lg(1sin 2)x x x x x =+++-+ 2(sin cos )1sin 22lg(sin cos )lg(1sin 2)lg lg lg101sin 21sin 2x x x x x x x x++=+-+====++ 重点 2 指数函数的图象与性质1.指数函数及其性质[高考常考角度]角度1若点(,9)a 在函数3x y =的图象上，则tan 6a π的值为（ D ） A.0 B. 3 C. 1 D. 3解析：2393a ==，2a =，tan tan 363a ππ==，故选D. 角度2设232555322555a b c ===（）,（），（），则,,a b c 的大小关系是 （ A ） A. a c b >> B. a b c >> C. c a b >> D. b c a >>解析：25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。

专题六、三角函数 抓住5个高考重点重点 1 三角函数的概念1.角度制与弧度制的互化：基本换算关系 0180π=2.扇形的弧长与面积公式：（1）扇形的弧长公式：||l r α= （2）扇形的面积公式：211||22S lr r α== 3.三角函数的定义与符号：六个比值定义，在四个象限的正负号4.三角函数线及其应用：单位圆中的有向线段表示的正弦线、余弦线、正切线[高考常考角度]角度1已知扇形的中心角是α，所在圆的半径为R .（1）若060,10,R cm α=＝求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积（2）若扇形的周长是定值(0),c c >当α为多少弧度时，扇形有最大面积？求出最大面积. 解析：（1）101033l ππ=⋅=cm ，S S S =-弓形三角形扇形21101501010sin 25323233πππ=⋅⋅-⋅⋅=-2cm（2）222,2cc R l R R αα=+=+=>=+2222111()222244c c S R αααααα=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅+++22221142442164c c c ααααα=⋅⋅=⋅≤++++当且仅当4αα=，即2α=时，扇形有最大面积216c角度2已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是（ C ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 解析：cos tan 0,cos θθθ⋅<∴Q 与tan θ异号，故选C 角度3 函数2()lg(34sin )f x x =-的定义域是____(,)()33k k k Z ππππ-+∈__________________解析：应有23334sin 0sin x x ->=>-<<，利用单位圆中的正弦线可得 24(2,2)(2,2)()3333x k k k k k Z ππππππππ∈-+++∈U ，即(,)()33k k k Z ππππ-+∈重点 2 同角三角函数关系与诱导公式1.同角三角函数基本关系式：三个基本22sin sin cos 1,tan ,cos ααααα+==原来有八个关系，可酌情增加.2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限，掌握规律，就可以记住所有公式了.[高考常考角度]角度1 若2sin cos 5αα+=-，则tan α=（ B ）A.12 B. 2 C. 12- D. 2- 解析：由已知cos 2sin 5αα=--，代入22sin cos 1αα+=中得222sin (2sin 5)1(5sin 2)0ααα+--==>+=，255sin ,cos ,tan 255ααα∴=-=-=>=，故选B角度2记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（ B ）A.21k -B. 21k --C. 21k- D. 21k --点评：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.解析1：222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-ooo,所以tan100tan80︒=-o2sin 801.cos80k k-=-=-o o解析2：cos(80)k -︒=cos(80)k ⇒︒=，()()00000sin 18080sin100sin 80tan100cos100cos80cos 18080oo o-︒===--21k -=角度3已知sin(2)23sin cos 1cos()πθθθπθ--⋅=+,(0,),θπ∈则θ的值为（ ） A.3π B. 23π C. 3π或23π D. 6π或56π 解析：由已知条件得cos 23sin cos 1cos θθθθ-⋅=-. 即23sin 2sin 0θθ-=.解得3sin θ=或sin 0θ= 由0θπ<<知3sin θ=，从而3πθ=或23πθ=，故选C重点 3 三角恒等变换1.三角恒等变换的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同角、异名化同名、高次化低次等.2.要求熟练、灵活运用以下公式：（1）两角和与差的三角函数:sin()αβ+=_______________________;cos()αβ+=_____________________; tan()αβ+=____________________（2）二倍角公式:sin 2α=_______________;cos2α=_______________=__________________=_________________（3）升降幂公式:2cos α=________________;2sin α=_____________ （4）辅助角公式:22sin cos sin(),a b a b αααϕ+=++其中tan baϕ=,①3sin cos αα+=____________; ②sin 3cos αα+=__________________;③sin cos αα+=_________________.可以当作公式直接使用的. 3.除了掌握公式的顺用，还需掌握逆用公式、变形用公式，如tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-的变形用法.[高考常考角度]角度1 若tan 3α=，则2sin 2cos αα的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6解析：由22sin 22sin cos 2tan 6cos cos αααααα===，故选D角度2 若130,0,cos(),cos(),2243423ππππβαβα<<-<<+=-=则cos()2βα+=（ ） A.33 B. 33- C. 539 D. 69- 解析：cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442βππβππβππβαααα+=+--=+-++-3226(,),(,)sin(),sin()444424243423ππππβππππβαα+∈-∈=>+=-= 1322653cos()233βα∴+=⨯+⨯=，故选C角度3已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,)αβπ∈，求2αβ-的值. 解：1tan tan[()],tan(2)tan[()]13ααββαβααβ=-+=-=+-=11tan 1,tan 0,37αβ=<=-<Q (0,),(,)2(,0)42ππαβπαβπ∴∈∈=>-∈- 324παβ∴-=-点评：此题的角的范围讨论尤其重要，否则很容易错解.角度4已知7cos 2,.252πθθπ=<< （1）求tan θ（2）求22cos sin 22sin()4θθπθ-+的值.解：（1）219343sin (1cos 2),,sin ,cos tan 2252554πθθθπθθθ=-=<<∴==-=>=-Q（2）22cos sin 1cos sin 22sin cos 2sin()4θθθθπθθθ-+-==++重点 4 三角函数的图象与性质 1.熟悉正弦曲线、余弦曲线、正切曲线2.熟悉正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、对称轴、对称中心3.熟练掌握sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的单调性、对称轴、对称中心的求法4.熟练掌握“五点作图法”，熟悉由函数图象求解sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>解析式的步骤及过程5.熟悉sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象的相位变换、周期变换和振幅变换[高考常考角度]角度1函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f =62解析：由图可知：72,,2,41234T A T ππππω==-=∴==>= 利用五点作图法知 2,,33ππϕπϕ⨯+==()2sin(2)3f x x π∴=+6(0)2sin32f π∴==角度2 如果函数3cos(2)y x ϕ=+的图象关于点4(,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ） A. 6π B. 4π C. 3π D. 2π解析：小心了，这是余弦函数的题，从而4132()()326k k Z k k Z πππϕπϕπ⨯+=+∈=>=-∈ 当2k =时，||ϕ的最小值为6π角度3已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()|()|6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ C ）A. [,]()36k k k Z ππππ-+∈ B. [,]()2k k k Z πππ+∈ C. 2[,]()63k k k Z ππππ++∈ D. [,]()2k k k Z πππ-∈点评：本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题. 解析：若()|()|6f x f π≤对x R ∈恒成立，则|()||sin()|163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)sin sin πϕπϕϕϕ+>+=>->，即sin 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=-+，由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+，故选C.或者：由|()||sin()|1sin()1633f πππϕϕ=+==>+=±22326k k πππϕπϕπ=>+=+=>=+或522326k k πππϕπϕπ=>+=-=>=-，sin 0ϕ<时，有526k πϕπ=-，5()sin(2)6f x x π∴=-由5222226263k x k k x k πππππππππ-≤-≤+=>+≤≤+，得263k x k ππππ+≤≤+，故选C.角度4设函数()3sin cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(,)P x y ，且0θπ≤≤．（Ⅰ）若点P 的坐标为13(,)22，求()f θ的值； （Ⅱ）若点(,)P x y 为平面区域1Ω:11x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．点评：本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等。

专题十四、概率 抓住6个高考重点重点1 随机事件的概率 1．频率与概率（1）频率：在相同条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 的频数，那么事件A 出现的频率()n mf A n=，频率的取值范围为[0,1]. （2）概率：对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率稳定在某个常数附近，我们把这个常数记为P(A)，称为事件A 的概率．频率与概率有本质的区别，不可混为一谈，频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率向概率靠近.只要试验次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率. 2．事件的关系及运算（1）对于事件A 和事件B ，如果事件A 发生，事件B 一定发生，称事件B 包含事件A (或事件A 包含于事件B )． （2）若事件A 发生当且仅当事件B 也发生，称事件A 等于事件B ．（3）若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，称该事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B +(或A B U )．（4）若某事件发生当且仅当事件A 且事件B 都发生，则称该事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作AB (或A B I )．（5）若A B I 为不可能事件，则称事件A 与事件B 互斥．（6）若A B I 为不可能事件，而A B U 为必然事件，则称A 与B 为对立事件． 3．概率的性质（1）()[0,1]P A ∈，其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0． （2）若事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+． （3）若事件A 与事件B 对立，则()1()P A P B =- [高考常考角度]角度1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心的次数m 8 19 44 90 178 455 906 击中靶心的频率m n（1）计算表中击中靶心的各个频率；（2）这个运动员击中靶心的概率约是多少？ 解析：本题考查频率与概率．（1）依据频率的计算公式，可以依次计算出表中击中靶心的的频率． 8194490(1)0.8,(2)0.95,(3)0.88,(4)0.9,102050100f f f f ======== 178455906(5)0.89,(6)0.91,(7)0.9062005001000f f f ======（2）由（2）知，射击的次数不同，计算得到的频率值也不同，但随着射击次数的增多，频率都在常数0.9的附近摆动，所以击中靶心的概率约为0.9 角度2 （1）以下命题：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A ：“两次都出现正面”，事件B ：“两次都出现反面”，则事件A 与事件B 是对立事件；②在命题①中，事件A 与事件B 是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，事件A ：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B ：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件.正确命题的个数为A．0 B．1 C．2 D．3（2）盒中有4只白球，5只黑球，从中任意取出一只球．①“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？②“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解析：本题考查随机事件与随机事件的概率.（1）将一枚硬币抛掷两次，除去A、B的结果，还可能出现“一次正面，一次反面”或“一次反面，一次正面”两种情况，因此①不正确，②正确；对于③，A与B有可能出现共同结果“1件正品，2件次品”，即事件A与事件B 不是互斥事件，故③不正确．故选B（2）①“取出的球是黄球”在题设条件下不可能发生，是不可能事件，概率为0②“取出的球是白球”是随机事件，概率是4 9③“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，是必然事件，概率为1重点2 古典概型1．古典概率模型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．并不是所有的试验都是古典概型，例如，在适宜的条件下种下一粒种子并观察它是否“发芽”，这个试验的基本事件空间为{发芽，不发芽}，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的．2．古典概型的概率公式：()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数3．学会用最原始的方法计算基本事件个数，许多古典概型的试题其基本事件个数的计算没有直接的公式可以套用，这时就要回归到最原始的方法解基本事件的个数，一般就是列举法，通过列举把所有的基本事件找出来，在列举时注意借助于图表、坐标系等进行．4．对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的方法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，进而用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．[高考常考角度]角度1 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. 13B.12C.23D.34解析：（理科解法）由题知1321()33CP A==，故选A.（文理解法）记三个兴趣小组分别为1，2，3，甲参加1组记为“甲1”则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9种记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A包含的基本事件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A==，故选A角度2甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是（ ）A.136 B. 19 C. 536D. 16点评：本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．理科使用排列组合反而复杂解析：（理科解法）甲、乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅种；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556A A ⋅⨯种，所以33554466616A A P A A ⋅⨯==⋅．（文理科解法）若用{1,2,3,4,5,6}代表6处景点，显然甲、乙两人选择结果为{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36种；其中满足题意的“同一景点相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6个基本事件， 故所求的概率为61()366P A ==，故选D 对一些情境较为简单、基本事件个数不是太多的古典概型问题，用枚举法即可求事件发生的概率，但应特别注意：枚举时要严防遗漏，绝不重复．角度3 电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ）A ．1180 B ．1288 C ．1360 D ． 1480解析：本题考查古典概型概率的求解，数字之和为23的只有09：59，18：59，19：49，19：58四种可能，一天显示的时间总共24×60 =1 440种，故所求概率为41()1440360P A ==，故选C 点评：本题中，如何得出随机事件“任一时刻的四个数字之和为23”所包含的基本事件的个数是解题的关键．在小时上的两个数字之和最大为10，即19点，最小为0；在分钟上的两个数字之和最大为14，即每个小时段的第59分钟．要想使四个数字之和等于23，只有以下两种情形：当分钟上的两个数字之和等于14时，小时上的两个数字之和只能等于9，也即只有9点和1 8点；当分钟上的两个数字之和等于13时，即每个小时段的第49分钟和第58分钟，小时上的两个数字之和只能等于10，即19点.角度4 （理科）已知一组抛物线211,2y ax bx =++其中a 为2，4，6，8中任取的一个数，b 为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625 D. 516解析：本题结合抛物线、导数的应用考查古典概型概率的求解．这一组抛物线共4416⨯=条，从中任意抽取两条，共有216120C =种不同的方法．它们在与直线1x =交点处的切线的斜率1|x k y a b ='==+若3a b +=，只有一种情形，（2+1），不合题意；若5a b +=，有两种情形，（2+3，4+1），从中取出两条，有22C 种取法； 若7a b +=，有三种情形，（2+5，4+3，6+1）从中取出两条，有23C 种取法； 若9a b +=，有四种情形，（2+7，4+5，6+3，8+1）从中取出两条，有24C 种取法； 若11a b +=，有三种情形，（4+7，6+5，8+3）从中取出两条，有23C 种取法； 若13a b +=，有两种情形，（8+5，6+7）从中取出两条，有22C 种取法； 若15a b +=，只有一种情形，（8+7），不合题意由分类加法计数原理知任取两条抛物线且满足题目要求的情形共有222222343214C C C C C++++=故所求概率为147()12060P A==，故选B本题中所有的抛物线共16条，这些抛物线在1x=处的斜率可以是3，5，7，9，11，13，15，按照这个斜率对16条抛物线进行分类，每一类中取出的两条抛物线在与直线1x=交点处的切线斜率是相等的，随机事件的总数就是所有这些取法之和，而基本事件的总数就是在16条抛物线中选取两条．角度5甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析：（Ⅰ）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种，从中选出的两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为49 P=（Ⅱ）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F)(C，D)(C，E)(C，F)(D，E)(D，F)(E，F)共15种，从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F)(E，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为62155P==.重点3 几何概型1．几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式：()AP A=构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．均匀随机数：在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们做大量的重复试验，从而求得几何概型的概率，一般地，利用计算机或计算器的rand()函数可以产生0~1之间的均匀随机数．a~b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0~1之间的均匀随机数x= rand()，然后利用伸缩和平移变换x= rand()*（b-a）+a，就可以产生a~b之间的均匀随机数．4．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型和用古典概型求解概率问题的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占的总面积（总体积、总长度）”之比来表示．5．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，两者的共同点是基本事件是等可能的，不同点是基本事件数前者是无限的（基本事件可以抽象为点），后者是有限的．对于几何概型而言，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的，根据等可能性，其中某个点落在某区域上的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关．6．几种常见的几何概型概率的求法：（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，此点落在线段l 上的概率为L l P =的长度的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，此点落在区域g 上的概率为G g P =的面积的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域v 上任投一点，此点落在区域V 上的概率为V v P =的体积的体积7．化解几何概型问题要从以下三方面做起：（1）明确几何概型的意义．几何概型是基本事件个数有无限个，每个基本事件发生的可能性相等的一个概率模型，这个概率模型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例．（2）记住几何概型的计算公式．几何概型的计算就是找随机事件所占有的几何度量值和整个基本事件所占有的几何度量值的比值．即如果整个基本事件占有的几何度量值为M ，随机事件A 所占有的几何度量值为N ，则事件A 发生的概率()N P A M=（3）掌握转化策略．很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看作坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.[高考常考角度]角度1 已知菱形ABCD 的边长为2，030,A ∠=则该菱形内的点到菱形的顶点A ，B 的距离均不小于1的概率是（ ）A ．4π B. 14π- C. 112π- D. 5112π-解析：本题考查几何概型的意义以及几何概型概率的求解．如图所示，只有当点位于菱形内的空白区域时，其到A ，B 的距离才均不小于1，菱形的面积为022sin 302⨯=两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆，其面积为2π，故空白区域的面积为22π-，所求的概率是22124P ππ-==-，故选B点评：经分析可知本题中以点B 为圆心的扇形，其圆弧恰好与菱形的边AB ，CD 相切.几何概型所依据的知识背景极为广阔，面对不同的试题要认真进行分析.角度2 已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+，其中实数,a b 满足8000a b a b +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩，则函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率是_______解析：本题结合不等式组所表示的平面区域考查几何概型概率的求解，函数2()41f x ax bx =-+在[1,)+∞上单调递增的充要条件是21b a ≤，即2ab ≤.作出平面区域如图所示. 问题等价于向区域OAB 中任意掷点，点落在区域OAC （点C 的坐标是168(,)33）中的概率，这个概率值是18812313882P ⨯⨯==⨯⨯ [答案] 13角度3 蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”概率为（ ） A ．427 B ．19 C ．49D. 127 解析：本题考查几何概型概率的求解．蜜蜂“安全飞行”需要距正方体各表面距离均大于1，故其活动范围在大正方体内的一个棱长为l 的小正方体中，所以蜜蜂“安全飞行”的概率为3311327P ==，故选D几何概型有“线型”的，其概率是随机事件所在线段和所有基本事件所在线段的长度之比；“面积型”的，其概率是随机事件所在面和所有基本事件所在面的面积之比；“体积型”的，其概率是随机事件所在的空间几何体和所有基本事件所在的空间几何体的体积之比.角度4如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E H 分别是棱1111,A B D C 上的点（点E 与1B 不重合），且11//EH A D ，过EH 的平面与棱11,BB CC 相交，交点分别为,F G . （Ⅰ）证明：//AD 平面EFGH ；（Ⅱ）设122,AB AA a ==在长方体1111ABCD A B C D -内随机选取一点，记该点取自于几何体11A ABFE D DCGH - 内的概率为p .当点,E F 分别在棱111,A B B B 上运动且满足EF a =时，求p 的最小值.点评：本题考查空间直线、平面的位置关系，以及空间几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、推理推证能力、运算求解能力.解析：（Ⅰ）方法一：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AD A D 又11//EH A D ，//AD EH ∴AD ⊄Q 平面EFGH ， EH ⊂平面EFGH //AD ∴平面EFGH ；（Ⅱ）设BC b =，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为222V a a b a b =⋅⋅=， 几何体11EB F HC G -的体积11111111()22bV EB B F B C EB B F =⋅⋅=⋅ 222211EB B F EF a +==Q ，222111122EB B F a EB B F +∴⋅≤=，当且仅当112EB B F ==时等号成立， 从而221127411428a bV a b V p V a b ≤∴=-≥-=，当且仅当1122EB B F a ==时等号成立， p ∴的最小值为78方法二：（Ⅰ）同方法一（Ⅱ）设BC b =，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为222V a a b a b =⋅⋅=， 几何体11EB F HC G -的体积11111111()22bV EB B F B C EB B F =⋅⋅=⋅ 设001(090)B EF θθ∠=≤<，则11cos ,sin EB a B F a θθ==2221111sin cos sin 222EB B F a a a θθθ∴⋅==≤，当且仅当sin 21θ=，即045θ=时等号成立， 从而221127411428a bV a b V p V a b ≤∴=-≥-=，当且仅当sin 21θ=，即045θ=时等号成立，p ∴的最小值为78重点4 n 次独立重复试验的概率问题（理科）1. n 次独立重复试验概型：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，在n 次独立重复试验中，如果事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),k k n kn n P k C p p -=-这是概率计算中应用非常广泛的一种概率模型．2．明确n 次独立重复试验概型的适用环境：根据定义，n 次独立重复试验是在相同条件下的重复试验，也就是说每次试验时事件A 要么发生要么不发生，但事件A 发生的概率是相同的．在实际问题中，我们往往把一些发生的概率相等，互相之间没有必然联系的事件看作独立重复试验，如5位同学参加竞赛，每位同学获奖的概率都是0.4，则获奖的人数就可以看作5次独立重复试验中事件发生的次数，可以根据独立重复试验概型进行解决.明确n 次独立重复试验概型的适用环境，善于将实际问题归结到这个概率模型是化解这类概率应用问题的关键.3．注意部分中的独立重复试验概型：在实际问题中，往往一个随机事件其中的一部分或若干部分符合独立重复试验概型的条件，这时可以在这些部分中使用独立重复试验概型的计算公式，以达到简化计算的目的．[高考常考角度]角度1 在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x 轴正方向移动的概率是23，沿y 轴正方向移动的概率为13，则该智能汽车移动6次恰好移动到点(3，3)的概率为____．解析：本题考查独立重复试验的概率．若该智能汽车移动6次恰好到点(3，3)，则智能汽车在移动过程中沿x 轴正方向移动3次、沿y 轴正方向移动3次，因此智能汽车移动6次后恰好位于点(3，3)的概率为333622160()(1)33729P C =-=角度2 一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，用X 表示取球的次数，则(12)P X ==______________解析：本题考查相互独立事件的概率、独立重复试验概型.由已知，一次取球取到红球的概率为38，取到白球的概率为58，12X =Q ，说明第12次取到的是红球，前11次取到9个红球和2个白球 9922102111135335(12)()()()()88888P X C C ==⋅=角度3 有一种旋转舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面上安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5．若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要维修这个面． （1）求恰好有两个面需要维修的概率； （2）求至少3个面需要维修的概率．解析：（1）因为一个面不需要维修的概率为3545555555551111(3)(4)(5)()()()2222P P P C C C ++=++=所以一个面需要维修的概率为12因此，6个面中恰好有两个面需要维修的概率为2666115(2)()264P C == （2）设需要维修的面为X 个，则1~(6,)2X B ，又0616266666661113115(0)(),(1)(),(2)(),264232264P C P C P C ====== 故至少3个面需要维修的概率是 6661315211(0)(1)(2)164326432P P P ---=---= 即至少3个面需要维修的概率是2132点评：本题的难点是计算一个面不需要维修的概率．每个面上的5只彩灯正常发光的概率都相等，故可以看作是5次独立重复试验，一个面不需要维修的概率也即是5次独立重复试验中事件至少发生3次的概率，按照独立重复试验的概率公式计算即可．重点5 离散型随机变量的分布列、期望、方差（理科） 1.期望：1122......n n E x p x p x p ξ=++++2.方差：2221122()()...()...n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+3.标准差：D δξξ=4.222(),(),()E a b aE b D a b a D D E E ξξξξξξξ+=++==- 5.求离散型随机变量的分布列（1）求离散型随机变量的分布列，应按下述三个步骤进行： ①明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； ②利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率； ③按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证．（2）如果分布列中某一栏的概率比较复杂；可以利用分布列的性质12...1n p p p +++=求解．（3）求随机变量的分布列，基础是概率的计算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试验有k 次发生的概率等． 6．期望、方差的求法（1）对离散型随机变量的数学期望应注意如下几点：①数学期望是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均．②E ξ是一个实数，由ξ的分布列唯一确定，即作为随机变量ξ是可变的，可取不同值，而E ξ是不变的，它描述ξ取值的平均状态.③1122......n n E x p x p x p ξ=++++直接给出了E ξ的求法，即随机变量的取值与相应概率值分别相乘后相加． ④教材中给出的()E a b aE b ξξ+=+，说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ的数学期望的线性函数.（2）对离散型随机变量的方差应注意如下几点：①D ξ表示随机变量ξ对E ξ的平均偏离程度．D ξ越大，表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散．反之，D ξ越小，ξ的取值越集中；在E ξD ξ来描述ξ的分散程度． ②D ξ与E ξ一样，也是实数，由ξ的分布列唯一确定．③对于结论：2()D a b a D ξξ+=，在记忆和使用此结论时，请注意(),()D a b aD b D a b aD ξξξξ+≠++≠. （3）求离散型随机变量ξ的期望与方差韵方法： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取每个值的概率； ③写出ξ的分布列； ④由期望的定义求E ξ； ⑤由方差的定义求D ξ.（4）当断定随机变量ξ服从二项分布时，可不用列出分布列，直接求出E ξ与D ξ.（5）在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后准确应用公式．充分利用期望和方差的性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度．如22()D E E ξξξ=-．（6）求离散型随机变量的期望与方差的关键在于求出分布列，求离散型随机变量的分布列的关键是过好四关： ①过好“题目的理解关”．要抓住题中关键字句，尽可能转化为自己熟悉的模型． ②过好“随机变量的取值关”．准确无误地找出随机变量的所有可能取值．③过好“事件的类型关”，事件通常包括等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验事件等，在计算相应的概率前要先确定事件的类型，尤其注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别． ④过好“概率的运算关”．运用公式(),()()(),()()(),mP A P A B P A P B P A B P A P B n=+=+⋅=⋅ ()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=，确保正确无误.[高考常考角度]角度1 （2011.江西）（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望.解析：本题综合考查了排列组合、互斥事件的概率、古典概型、随机变量的分布列及期望等知识，以及数学建模、运算求解的能力.（1）X 的所有可能取值为0,1,2,3,4, 则44448()(0,1,2,3,4)i i C C P X i i C -=== 即0444481(0)70C C P X C ===，13444816(1)70C C P X C ===，22444836(2)70C C P X C ===， 31444816(3)70C C P X C ===，4044481(4)70C C P X C ===. 则X 的分布列为X0 1 2 3 4P 170 16703670 1670 170（2）令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能的取值为2 100，2 800，3 500，则1(3500)(4)70P Y P X ====，16(2800)(3)70P Y P X ====，53(2100)(2)70P Y P X ==≤= 11653()3500280021002280707070E Y ∴=⨯+⨯+⨯=或者 11636161()35002800()210022807070707070E ξ=⨯+⨯+++⨯=所以 此员工月工资的期望为2280角度2 （2011辽宁）（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙． （Ⅰ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．解析：（Ⅰ）X 可能的取值为0,1,2,3,4，且132244444448883144448811818(0),(1),(2),703535811(3),(4).3570C C C C P X P X P X C C C C C P X P X C C ===============则X 的分布列为X0 1 2 3 4P 170 1670 3670 1670 170X 的数学期望为()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：1(403397390404388400412406)400,8x =+++++++=甲2222222221[3(3)(10)4(12)0126]57.25.8S =+-+-++-+++=甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 1(419403412418408423400413)412,8x =+++++++=乙 2222222221(7(9)06(4)11(12)1)56.8S =+-+++-++-+=乙 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.重点6 二项分布（理科）二项分布：若~(,),,(1)B n p E np D np p ξξξ==-，判断随机变量是否服从二项分布的关键是看某一事件是否进行了n 次独立重复试验，且每次试验是否只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.[高考常考角度]角度1（本小题满分12分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X解析：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、二项分布、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.(Ⅰ)（i ）设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件i A ()0,1,2,3i =，则 ()213232253C C 1C C 5P A =⋅=． (ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =U ，2112133222222225353C C C C C 1()C C C C 2P A =⋅+⋅=， 因为2A 和3A 互斥，所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=． (Ⅱ) X 的所有可能值为0,1,2 279(0)(1)10100P X ==-=，127721(1)(1)101050P X C ==⋅-=,2749(2)()10100P X === 所以X 的分布列是X0 1 2 P9100 2150 49100 921()012100501005E X ∴=⨯+⨯+⨯=． 突破2个高考难点难点1 事件的互斥与对立（文、理）解决互斥事件和对立事件问题的难点就是对事件的互斥性与对立性的辨别，在解题中要根据问题的具体情况作出准确的判断．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若,A B 互斥，则。

贵州省黔东南州凯里市第一中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题110y -+=的斜率是（ ）A B C ．D ．2．函数()f x =） A ．[0,4] B ．[0,4) C ．(0,4] D ．(0,4) 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，321S =，则公比q =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．已知,,a b c 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//,a b b α⊂，则//a α B ．若,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂，则a α⊥C ．若,,a b a αβαβ⊥=⊥，则b α⊥D ．若,a a αβ⊥⊥，则//αβ5．已知0.333log 0.3,3,0.3a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >> 6．在直角坐标系xOy 中，已知点(2,0),(0,2),(1,1)A B C --，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．87．函数3sin 2x y x =的图象可能是（ ）.A ．B ．C ．D ．8．若实数,x y 满足约束条件1223x y x x y ⎧≤≤⎪⎨⎪+≤⎩，则x y -的最大值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．29．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c 且有cos cos a A b B =，则此三角形是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示，下列那个值最接近该几何体的体积（ ）A ．8B ．12C ．16D ．2411．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，ABC ∆是正三角形，若12AA AB == ）A ．323πB ．8πC ．16πD ．64π12．若向量,,a b c 满足：a 与b 的夹角为23π，且()()0c a c b -⋅-=，则||||||a b a b c ++-的最小值是（）A ．1BC D ．2二、填空题 13．若数列{}n a 满足12,111,1n n n a n a -=⎧⎪=⎨->⎪⎩，则3a =_____. 14．在直角坐标系xOy 中，直线1:1l y kx =-与直线2l 都经过点(3,2)，若12l l ⊥，则直线2l 的一般方程是_____.15．已知算式202-=⨯，在方框中填入两个正整数．．．，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.16．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大，约为0.618，这一数值也可以近似地用2sin18m ︒=表示，则22cos 271︒=-_____.三、解答题17．已知集合{}{}2|230,|4,1x A x x x B y y x =--<==≤.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若集合()C A B Z =⋂⋂，写出集合C 的所有子集.18．已知函数)22()2sin sin cos sin 2f x x x x x π⎛⎫=⋅-+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求方程()2f x =的解构成的集合.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：BD PC ⊥；（Ⅱ）若60BAD BPA ︒∠=∠=，求直线PC 与平面ABCD 所成角的余弦值.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：BD PC ⊥；（Ⅱ）若60BAD BPA ︒∠=∠=，求二面角P CD A --的余弦值.21．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，ABC ∆的面积4abc S =，222sin a b c C ab +=+（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若ABC ∆中，BC 边上的高h =a 的值.22．在公差不为零的等差数列{}n a 中，213115,,,a a a a =成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2354n n n b a a =++，设数列{}n b 的前n 项和n S ，求证1163n S ≤<. 23．在直角坐标系xOy 中，点(0,1)A ，圆C 的圆心为(3,2)C a a -，半径为2.（Ⅰ）若2a =，直线l 经过点A 交圆C 于M 、N 两点，且||MN =l 的方程；（Ⅱ）若圆C 上存在点P 满足()0AP OA OP ⋅+=，求实数a 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】直线方程y kx b =+中k 为斜率.【详解】1y =+故选：A【点睛】本题考查直线的斜率，属于基础题.2．D【分析】由对数函数的定义域、被开方数非负及分母不为0列出不等式组求解即可.【详解】00440x x x >⎧⇒<<⎨->⎩，函数()f x =(0,4). 故选：D【点睛】本题考查求具体函数的定义域，属于基础题.3．C【分析】由321S =及等比数列的通项公式列出关于q 的方程即可得求解.【详解】2312333321S a a a q q =++=++=，即有260q q +-=，解得2q或3q =-，又{}n a 为正项等比数列，2q ∴=故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，属于基础题.4．D【分析】由线面平行的判定定理即可判断A ；由线面垂直的判定定理可判断B ；由面面垂直的性质可判断C ；由空间中垂直于同一条直线的两平面平行可判断D .【详解】对于A 选项，加上条件“a α⊄”结论才成立；对于B 选项，加上条件“直线b 和c 相交”结论才成立；对于C 选项，加上条件“b β⊂”结论才成立.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，涉及线面平行的判定、线面垂直的判定、面面垂直的性质，属于基础题.5．B【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质借助中间量0,1即可比较出大小.【详解】由指数函数与对数函数的图像可知：3log 0.30a =<，0.331b =>，30.3(0,1)c =∈，则有b c a >>.故选：B【点睛】本题考查指数函数与对数函数的图像与性质，属于基础题.6．B【分析】求出直线AB 的方程及点C 到直线AB 的距离d ，再求出AB ，代入12S AB d =⋅即可得解. 【详解】 201,:202AB AB k l y x -==-=-+-，即20x y +-=，点C 到直线AB 的距离d ==，AB ==ABC ∆的面积为：11422AB d ⋅=⨯=. 故选：B【点睛】本题考查直线的点斜式方程，点到直线的距离与两点之间的距离公式，属于基础题. 7．D【分析】 首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <判断选项. 【详解】3x y =是偶函数，sin 2y x =是奇函数，()3sin 2xf x x =是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π ，当(,)2x ππ∈时，30x y =>，sin 20y x =< 3sin 20xy x ∴=<，排除C.故选D .【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.8．C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标代入目标函数即可得解.【详解】作出可行域如图，设z x y =-，联立12213x y x y y x ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=-+⎩，则()2,1B ， ()y x z =+-，当直线()y x z =+-经过点()2,1B 时，截距z -取得最小值，x y -取得最大值1.故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题.9．D【分析】利用正弦定理进行边化角运算，化简可得到sin 2sin 2A B =，结合三角形中角的范围则可得到角的关系.【详解】解：cos cos a A b B =，sin cos sin cos A A B B ∴=，即sin 2sin 2A B =，因为A ，B 为ABC ∆中的角，所以0,0A B ππ<<<<，则有22A B =或22A B π+=， 即A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D.【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查解三角形边角互化的应用，考查根据三角函数值判断角的关系，考查学生对三角函数的熟练应用能力，属于基础题.10．C 【解析】 【分析】由三视图确定此几何体的结构，圆柱的体积减去同底同高的圆锥的体积即为所求. 【详解】该几何体是一个圆柱挖掉一个同底同高的圆锥，圆柱底为2，高为2， 所求体积为22116222216.7533πππ⨯⨯-⨯⨯⨯=≈， 所以C 选项最接近该几何体的体积. 故选：C 【点睛】本题考查由三视图确定几何体的结构及求其体积，属于基础题. 11．C 【分析】设球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，求出1OO 与1O A ，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可. 【详解】设球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，则1112OO AA ==1213O A ==，球的半径2R ==， 所以球的表面积为2416S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题. 12．D 【分析】设,,OA a OB b OC c ===作图，由()()c a c b -⊥-可知点C 在以线段AB 为直径的圆上，由图可知c OD ≤，=22a b a b OE BE ++-+，代入所求不等式利用圆的特征化简即可. 【详解】如图，设,,OA a OB b OC c ===，取线段AB 的中点为E ，连接OE 交圆于点D ， 因为()()0c a c b -⋅-=即()()c a c b -⊥-，所以点C 在以线段AB 为直径的圆上(E 为圆心)，且c OD ≤，于是22a b a bOE BEcOD++-+≥222OE EDOD+==.故选：D 【点睛】本题考查向量的线性运算，垂直向量的数量积表示，几何图形在向量运算中的应用，属于中档题. 13．1- 【分析】由递推公式逐步求出123,,a a a . 【详解】123121112,1,112a a a a a ==-==-=-. 故答案为：1- 【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题. 14．50x y +-= 【分析】点(3,2)代入1l 的方程求出k ，再由12l l ⊥求出直线2l 的斜率，即可写出直线2l 的点斜式方程. 【详解】将点()3,2代入直线1:1l y kx =-得，231k =-，解得1k =，又12l l ⊥，21l k =-，于是2l 的方程为()213y x -=-⨯-，整理得50x y +-=. 故答案为：50x y +-= 【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题. 15．15. 【分析】设填入的数从左到右依次为,x y ，则220x y +=，利用基本不等式可求得xy 的最大值及此时,x y 的和. 【详解】设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为,x y ，则220x y +=，于是220x y +=≥，50xy ≤，当且仅当210x y ==时取等号，此时10515x y +=+=.故答案为：15 【点睛】本题考查基本不等式成立的条件，属于基础题. 16．2 【分析】2sin18m ︒=代入分式利用同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式化简即可. 【详解】22sin184sin18cos182cos 271cos54cos54︒︒==︒-︒︒2sin 362sin 36︒==︒.故答案为：2 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系、二倍角公式及三角函数诱导公式，属于基础题. 17．（Ⅰ）(1,4]A B =-（Ⅱ）{}{}{},1,2,1,2φ.【分析】（Ⅰ）求解二次不等式从而求得集合A ，利用指数函数的图像求出集合B ，再进行并集运算即可；（Ⅱ）依次求出A B ，()C A B Z =⋂⋂，即可写出集合C 的子集.【详解】（Ⅰ）由2230x x --<，得()()130x x +-<，即有13x ，于是()13A ,=-.作出函数4,1xy x =≤的图象可知04y <≤，于是(0,4]B =,所以(1,4]A B =-，（Ⅱ）(0,3)AB =，(){}1,2C A B ==Z ，集合C 的所有子集是：{}{}{},1,2,1,2∅. 【点睛】本题考查集合的基本运算，集合的子集，属于基础题. 18．（Ⅰ）π（Ⅱ）|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式化简函数，再逆用两角和的正弦公式进一步化简函数，代入最小正周期公式即可得解；（Ⅱ）由()2f x =得sin(2)13x π+=，则22,32x k k πππ+=+∈Z ，求解x 并写成集合形式. 【详解】（Ⅰ）)22()2sin cos cos sin f x x x x x =⋅+-sin 22x x =2sin(2)3x π=+，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. （Ⅱ）由()2f x =得sin(2)13x π+=，22,32x k k πππ∴+=+∈Z ，解得,12x k k ππ=+∈Z因此方程()2f x =的解构成的集合是：|,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z . 【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，已知三角函数值求角的集合，属于基础题.19．【分析】（Ⅰ）由PA ⊥底面ABCD 推出BD PA ⊥，由菱形的性质推出BD AC ⊥，即可推出BD ⊥平面PAC 从而得到BD PC ⊥；（Ⅱ）根据已知条件先求出AB ，再利用菱形的对角线垂直求出AC ，由PC =求出PC ，即可求得余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：连接AC ，∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ,∴BD PA ⊥. ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥. 又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD PC ⊥.（Ⅱ）设直线AC 与BD 交于点O ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴直线PC 与平面ABCD 所成角的是PCA ∠.设PA =“1”，由60BAD BPA ∠=∠=︒，可得BA =∵四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥在ABC ∆中，30BAC BA ∠=︒=，23AC AO ===，于是PC =，∴cos AC PCA PA ∠==∴直线PC 与平面ABCD . 【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直的证明，菱形的性质，直线与平面所成的角，属于基础题.20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）13【分析】（Ⅰ）由PA ⊥底面ABCD 推出BD PA ⊥，由菱形的性质推出BD AC ⊥，即可推出BD ⊥平面PAC 从而得到BD PC ⊥；（Ⅱ）作AE CD ⊥，交CD 的延长线于E ，连接PE ，则二面角P CD A --的平面角是PEA ∠，由已知条件求出AD ，进而求出AE 、PD ，即可求得cos PEA ∠. 【详解】（Ⅰ）证明：连接AC ，∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ,∴BD PA ⊥. ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥.又∵PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD PC ⊥.（Ⅱ）作AE CD ⊥，交CD 的延长线于E ，连接PE . 由于,,AE CD PA CD AEPA A ⊥⊥=，于是CD ⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，PE CD ∴⊥，所以二面角P CD A --的平面角是PEA ∠. 设PA =“1”，60BAD BPA ∠=∠=︒且底面ABCD 是菱形，BA AD ∴==30DAE ∠=3cos302AE AD ∴==，PE ==，∴cos AE PEA PE ∠==. 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的证明，二面角的余弦值，属于中档题. 21．（Ⅰ）3C π=（Ⅱ）1a =【分析】（Ⅰ）由面积公式推出2sin c C =，代入所给等式可得222a b c ab +-=，求出角C 的余弦值从而求得角C ；（Ⅱ）首先由2sin c C =求出边c ，再由面积公式11sin 22S ab C ah ==代入相应值求出边b ，利用余弦定理即可求出边a . 【详解】（Ⅰ）由1sin 42abc S ab C ==得2sin c C = ① 于是2222sin a b c C ab c ab +=+=+， 即222a b c ab +-=∴222cos 122a b c C ab +-==又()0,C π∈，所以3C π=（Ⅱ）2sin c C == 由11sin 22S ab C ah ==得2b =，将2,3b c C π===代入222sin a b c C ab +=+中得2210a a -+=，解得1a =. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于基础题. 22．（Ⅰ）31,*n a n n =-∈N （Ⅱ）见解析 【分析】（Ⅰ）根据题意列出方程组，利用等差数列的通项公式化简求解即可；（Ⅱ）将{}n a 的通项公式代入所给等式化简求出{}n b 的通项公式，利用裂项相消法求出11(1)31n S n =-+，由101n >+推出13n S <，由数列{}n S 是递增数列推出11=6n S S ≥. 【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为2211135a a a a =⎧⎨=⎩，所以()()121115102a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得123a d =⎧⎨=⎩，所以31,*n a n n =-∈N . （Ⅱ）()()223354315314n n n b a a n n ==++-+-+()1111()3131n n n n ==-++，1111111()()()312231n S n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦11(1)31n =-+. 因为101n >+，所以13n S <， 又因为()1031n b n n =>+，所以数列{}n S 是递增数列，于是11=6n S S ≥.综上，1163n S ≤<. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，裂项相消法求和，数列性质的应用，属于中档题. 23．（Ⅰ）4330x y +-=或0x =.（Ⅱ）60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）勾股定理求出圆心到直线的距离d ，利用d =1以直线的斜率存在、不存在两种情况进行分类讨论；（Ⅱ）设(,)P x y ，由()0AP OA OP ⋅+=求出x 、y 满足的关系式，可得点P 在圆22:1O x y +=上，推出圆C 与圆O 有公共点，所以1212r r OC r r -≤≤+，列出不等式求解即可. 【详解】（Ⅰ）当2a =，圆心C 为()1,4-， 圆C 的方程为()()22144x y ++-=，设圆心C 到直线l 的距离为d，则1d ==. ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，1d ==，解得43k =-，此时l 的方程为413y x =-+，即4330x y +-=. ②若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为0x =，验证满足1d =，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为4330x y +-=或0x =.（Ⅱ）设(,)P x y ，则()()(),1,0,1,,AP x y OA OP x y =-==， 于是(),1OA OP x y +=+由()0AP OA OP ⋅+=得()2210x y +-=，即221x y +=，所以点P 在圆22:1O x y +=上，又点P 在圆C 上， 故圆C 与圆O 有公共点，即13OC ≤≤,于是13≤≤，解得605a ≤≤， 因此实数a 的取值范围是60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，向量的数量积，根据圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.。

专题八、数 列 抓住5个高考重点重点1 数列的概念与通项公式 1.数列的定义2.通项n a 与前n 项和n S 的关系：112111,1...,,,2n n n n n n n n S n S a a a a a S S S S n ++-=⎧=+++==-⎨-≥⎩3.数列的一般性质：（1）单调性；（2）周期性-若*(,)n k n a a n k N +=∈，则{}n a 为周期数列，k 为{}n a 的一个周期.4.数列通项公式的求法：观察、归纳与猜想[高考常考角度]角度1 已知数列{}n a 满足*434121,0,,n n n n a a a a n N --===∈，则2009____,a =2014____,a =解析：主要考查对数列中项数的分析处理能力，2009503431,a a ⨯-==2014100721007250410a a a a ⨯⨯-====角度2 已知数列{}n a 的前n 项和为29,n S n n =-第k 项满足58,k a <<则k =（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6解析：当1n =时，118a S ==-；当2n ≥时，1210n n n a S S n -=-=-，故*210,n a n n N =-∈由58521087.59,8k a n n n <<=><-<=><<∴=，故选B重点2等差数列及其前n 项和1.等差数列的通项公式：*1(1),(),(,)n n m a a n d a a n m d m N m n =+-=+-∈<2.等差数列的前n 项和公式：211()1(1)22n n n a a S na n n d an bn +==+-=+，,a b 为常数 3.等差数列的性质与应用：23243,,,,...p q s t n n n n n n p q s t a a a a S S S S S S +=+=>+=+---也成等差数列 4.等差数列前n 项和的最值：（1）若0d >，数列的前几项为负数，则所有负数项或零项之和为最小；（2）若0d <，数列的前几项为正数，则所有正数项或零项之和为最大；（3）通过2n S an bn =+用配方法或导数求解.5等差数列的判定与证明：（1）利用定义1n n a a d +-=，（2）利用等差中项122n n n a a a ++=+，（3）利用通项公式,,n a pn q p q =+为常数，（4）利用前n 项和2n S an bn =+，,a b 为常数[高考常考角度]角度1在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________ 解析：由等差数列的性质知246846372()2()74a a a a a a a a +++=+=+=.角度2已知{}a 为等差数列，其公差为2-，且a 是a 与a 的等比中项，S 为a 的前n 项和，*n N ∈，则S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．110解析：∵2739,2a a a d ==-g ，∴)16)(4()12(1121--=-a a a ，解之得201=a ，∴101091020(2)1102S ⨯=⨯+-=. 故选D. 角度3设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =，所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值.选A角度4已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++L L ．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ； （3）设数列21{}n n a a +的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）由于()23331212n n a a a a a a +++=+++L L ， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++L L ． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++L L ，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++L ． ③同样有()21212n n na a a a a -=++++L ，2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+． 所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． 故n a n =． （3）211111,()(2)22n n n a n a a n n n n +=∴==-++Q13243511211111...n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++1111111111[(1)()()...()()]232435112n n n n =-+-+-++-+--++11113111(1)()22124212n n n n =+--=-+++++ 1311131111[()][()]042234212(1)(3)n n S S n n n n n n +-=-+--+=>++++++数列{}n S 是递增数列，故min 11|3n S S == 要使不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n 恒成立 只须11log (1)33a a >-，又10,01a a ->∴<<Q 故11,2a a a ->=>< 102a ∴<< 所以 实数a 的取值范围是1(0,)2角度5 （2011.福建）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值． 解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，则1(1)n a a n d =+-，由题设，313212a a d d =-=+=+，所以2d =-．1(1)(2)32n a n n =+--=-． （Ⅱ）因为1()(132)(2)3522k k k a a k k S k k ++-===-=-， 所以22350k k --=，解得7k =或5k =-．因为*k N ∈，所以7k =．重点3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的通项公式：1*1,,,n n m n n m a a q a a q m N m n --==∈<2.等比数列的前n 项和公式：11,1(1),11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩3.等比数列的性质与应用: 23243,,,,...p q s t n n n n n n p q s t a a a a S S S S S S +=+=>⋅=⋅---也成等比数列4.等比数列的判定与证明：（1）利用定义1,n na q q a +=为常数（2）利用等比中项212n n n a a a ++=⋅，[高考常考角度]角度1若等比数列{}n a 满足116nn n a a +=，则公比为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16解析：由题有2231223116,16164a a a a a q q a ==⇒==⇒=，故选择B.角度2在等比数列{}n a 中，若141,4,2a a ==则公比q = ； 12n a a a ++⋯+= . 解析：由已知得34182a q q a ==⇒=；所以121(21)12(21)212nn n a a a -++==--L .角度3设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式。

2021-2022学年黔东南州凯里一中高一上学期期末数学复习卷 (2)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)={2x+1x 2,x <−12ln(x +1),x ≥−12，g(x)=x 2−4x −4，设b 为实数，若存在实数a 使f(a)+g(b)=0，则b 的取值范围( )A. [−1,5]B. (−1,5)C. (−∞,−1)∪(5,+∞)D. (−∞,−1]∪[5,+∞)2.设tan(π+α)=2，则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=( )A. 3B. 13C. 1D. −13.设集合，，则等于( )A.B.C.D.4.已知α∈(π4,π2)，a =log 3sinα，b =2sinα，c =2cosα( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. b >c >a5.已知函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1，x 2，x 1<x 2，则下面说法正确的是( )A. x 1+x 2<2B. a <eC. x 1x 2>1D. 有极小值点x 0，且x 1+x 2<2x 06.已知AB ⇀=(1,k )，AC ⇀=(4,2)，|AB ⇀|≤5，k ∈Z 则△ABC 是钝角三角形的概率为( )A. 19B. 49C. 59D. 237.若α，β为锐角，tan(α+β)=3，tanβ=12，则α的值为( )A. π3B. π4C. π6D. π128.已知函数与函数的图象关于轴对称，若存在，使时，成立，则的最大值为( )A.B. C. D.9.已知tan140°=k ，则cos50°的值为( )A. √1+k 2√1+k 2C. √1+k 2√1+k 210. 设若f(x)={lgx,x >0x +∫3a 0t 2dt,x ≤0，f(f(1))=8，则a 的值是( )A. −1B. 2C. 1D. −211. 已知函数f(x)=sin(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π，则f(π8)=( )A. 1B. 12C. −1D. −1212. 函数f(x)=√16−x 2|x+8|−8( )A. 是奇函数不是偶函数B. 是偶函数，不是奇函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 既不是奇函数，又不是偶函数二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =cos 2(x +π4)+sin 2(x −π4)的单调递增区间是______ ．14. 已知f(x)=√12−x 4+x2x3+4，(x ∈[−1,0)∪(0,1])的最大值为A ，最小值为B ，则A +B = ______ ． 15. 已知函数f(x)={e x −2(1−2a)x +2a x ≤0,x >0对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围是．______ ．16. 已知平面单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 满足e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =12，且a ⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，x ∈R ，b ⃗ =2λe 1⃗⃗⃗ +(1−λ)e 2⃗⃗⃗ ，若使|b ⃗ −a ⃗ |=1成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={y|y =(12)x ,x ≥0}，B ={x|y =lg(ax −x 2)}． (1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B =⌀，求实数a 的取值范围．18. 已知tanβ=−13，tanα=2，α，β∈(0,π)，求： (1)求：α+β；(2)求：tan(β−2α)的值．19. 已知函数f(x)=12sin2x −√3cos 2x (1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若将f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，当x∈[π2,π]时，求函数g(x)的值域．20.已知幂函数f(x)=(m2−m−1)·x−2m−1在(0,+∞)上单调递增，又函数g(x)=2x+m2x．(1)求实数m的值，并说明函数g(x)的单调性；(2)若不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0恒成立，求实数t的取值范围．21. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx+2cos2x−1．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的对称中心的坐标；(Ⅲ)求函数f(x)在的区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．22. 已知a∈R，讨论函数f(x)=x+ax(x>0)的单调性(写出过程)．参考答案及解析1.答案：A解析：解：当x <−12，f(x)=2x +(1x )2=(1x +1)2−1， ∵x <−12，−2<1x <0，则−1≤f(x)<0，当x ≥−12时，x +1≥12，则ln(x +32)∈[−ln2,+∞)， 综上f(x)≥−1，若存在a ∈R 使得f(a)+g(b)=0， 则g(b)=b 2−4b −4≤1， 即b 2−4b −5≤0， 解得b ∈[−1,5]， 故选：A利用二次函数的性质和对数函数的单调性，求出函数f(x)值域，进而根据存在a ∈R 使得f(a)+g(b)=0，得到g(b)=b 2−4b −4≤1，解不等式可得实数b 的取值范围．本题考查的知识点是分段函数，函数的值域，基本不等式，对数函数的性质，存在性问题，二次不等式，是函数和不等式较为综合的应用，难度中档．2.答案：A解析：本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于中档题．由已知得tan(π+α)=tanα=2，然后利用诱导公式及同角关系式，把要求代数式转化为tanα的代数式即可求解．解：由tan(π+α)=2，得tanα=2， 则sin(α−π)+cos(π−α)sin(π+α)−cos(π+α)=−sinα−cosα−sinα−(−cosα) =sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1tanα−1=3． 故选A ．3.答案：C解析：试题分析：，，．考点：1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算．4.答案：D解析：解：∵α∈(π4,π2)，∴0<cosα<√22<sinα<1，∴b=2sinα>2cosα=c>0>log3sinα=a．∴b>c>a．故选：D．由α∈(π4,π2)，可得√22<0<cosα<√22<sinα<1，再利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题目．对于A：根据对数的运算性质判断即可，对于B：利用导数判断函数的单调性，以及结合零点定理即可求出a>e；对于C：f(0)=1>0，0<x1<1，x1x2>1不一定，对于D：f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增即可得出结论．解：∵x1+x2=ln(a2x1x2)=2lna+ln(x1x2)>2+ln(x1x2)，取a=e22，f(2)=e2−2a=0，∴x2=2，f(0)=1>0，∴0<x1<1，∴x1+x2>2，A不正确；∵f(x)=e x−ax，∴f′(x)=e x−a，令f′(x)=e x−a>0，①当a≤0时，f′(x)=e x−a>0在x∈R上恒成立，∴f(x)在R上单调递增，f(x)只有一个零点，不符合题意．②当a>0时，∵f′(x)=e x−a>0，∴e x−a>0，解得x>lna，∴f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增．∵函数f(x)=e x −ax 有两个零点x 1<x 2， ∴f(lna)<0，a >0， ∴e lna −alna <0， ∴a >e ，B 不正确； f(0)=1>0，∴0<x 1<1，x 1x 2>1不一定，C 不正确； f(x)在(−∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增， ∴有极小值点x 0=lna ，且x 1+x 2<2x 0=2lna ，D 正确． 故选：D ．6.答案：C解析：本题主要考查古典概型的概率，平面向量的数量积，平面向量的坐标运算． 解：因为|AB →|=√1+k 2≤5， 解得：−2√6≤k ≤2√6， 又因为k ∈z ，所以k =0，±1，±2，±3，，±4，共9种情况． 因为BC →=AC →−AB →=(3,2−k )， 若AB →·AC →<0，解得k <−2， 所以k =−3，−4；若BA →·BC →<0，解得−1<k <3， 所以k =0，1，2；若CA →·CB →<0，解得k >8(舍)．所以满足△ABC 是钝角三角形的k =0，1，2，−3，−4，共5种情况． 所以P =59． 故选C ．7.答案：B解析：解：因为tan(α+β)=3，tanβ=12，所以tanα=tan[(α+β)−β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ =3−121+3×12=1，又α为锐角，则α=π4， 故选B ．由α=(α+β)−β和两角差的正切函数求出tanα的值，由α的范围和特殊角的正切函数值求出α． 本题考查两角差的正切函数，以及特殊角的正切函数值的应用，注意角的之间的关系，考查化简、变形能力．8.答案：C解析：:由于函数与函数的图象关于轴对称，因此，由得，把代入得，当时，，解之得，因此的最大值为．考点：函数图象的对称性．9.答案：A解析：解：tan140°=sin140°cos140∘=cos50°−sin50∘=−1tan50∘=k ⇒tan50°=−1k>0，即sin50°cos50∘=√1−cos250°cos50°=−1k，∴cos50°=√k 2+1，故选：A ．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos50°的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．10.答案：B解析：解：f(x)={lgx,x >0x +∫3a 0t 2dt,x ≤0，f(f(1))=8，f(1)=lg1=0，f(f(1))=f(0)=0+∫3a0t 2dt =t 3|0a =a 3=8，解得a =2． 故选：B ．直接利用分段函数，以及方程求解即可．本题考查分段函数的应用，函数的零点以及定积分的运算，考查计算能力．11.答案：A解析：本题主要考查三角函数值的求解，根据函数的周期求出ω是解决本题的关键，根据三角函数的周期公式求出ω即可．解：∵函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，∴周期T=2πω=π，解得ω=2，即f(x)=sin(2x+π4)，则f(π8)=sin(2×π8+π4)=sin(π4+π4)=sinπ2=1，故选A．12.答案：A解析：首先求出函数f(x)的定义域为{x|−4≤x≤4,且x≠0}，进而可得将函数化简为f(x)=√16−x2x，进而分析可得f(−x)=−f(x)，即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意要求奇偶性之前要先分析函数的定义域．解：对于函数f(x)=√16−x2|x+8|−8，有16−x2≥0且|x+8|−8≠0，解可得−4≤x≤4，且x≠0，则|x+8|−8=x，此时f(x)=√16−x2x ，有f(−x)=−√16−x2x=−f(x)，则f(x)是奇函数不是偶函数，故选A．13.答案：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z解析：解：y=cos2(x+π4)+sin2(x−π4)=sin2(x−π4)+sin2(x−π4)=2sin2(x−π4)−1+1=1−cos(2x−π2)=1−sin2x．由2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，k∈Z，可得x∈[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．函数的单调增区间为：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．故答案为：[kπ+π4,kπ+3π4],k∈Z．利用诱导公式以及二倍角的余弦函数，化简函数的解析式，然后求解函数的单调增区间．本题考查二倍角公式的应用，三角函数的单调性的应用，考查计算能力．14.答案：8解析：解：设g(x)=√12−x4+x2x3，由于x∈[−1,0)∪(0,1]，则定义域关于原点对称．g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数，设g(x)的最大值为M，最小值为N，即有M+N=0，则f(x)的最大值为A=M+4，最小值为B=N+4，即有A+B=(M+N)+8=0+8=8．故答案为：8．设g(x)=√12−x4+x2x3，判断g(x)为奇函数，最值之和为0，即可得到f(x)的最值之和．本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的奇偶性的性质，考查运算能力，属于中档题．15.答案：[−12,1 2 )解析：解：由题意知函数f(x)在R上单调递增；∴f(x)的两段函数在各自区间上单调递增；∴1−2a>0，即a<12；又e0−2≤(1−2a)⋅0+2a；∴−1≤2a；∴a≥−12；∴实数a的取值范围是[−12,1 2 ).故答案为：[−12,1 2 ).根据已知条件便知函数f(x)在R上为增函数，从而x≤0，和x>0时，f(x)都应为增函数，从而得到a<12，并且有e0−2a≤(1−2a)⋅0+2a，从而1−2a≤2a，解该不等式与前面a的范围求交集即可得出实数a的取值范围．考查增函数的定义，分段函数的单调性的判断方法，以及指数函数、一次函数的单调性，要掌握分段函数为单调函数时应满足的条件．16.答案：{2}解析：本题考查的知识要点：向量的数量积与向量的模，平面向量基本定理，考查了一元二次方程的根的应用，考查运算能力和转化能力，属于中档题．首先利用向量的减法和向量的数量积运算将|b⃗ −a⃗|=1整理成关于λ的一元二次方程，进一步利用根的判别式即可求出x的范围．解：a⃗=x e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，x∈R，b⃗ =2λe1⃗⃗⃗ +(1−λ)e2⃗⃗⃗ ，则|b⃗ −a⃗|=|(2λ−x)e1⃗⃗⃗ +(1−λ−1)e2⃗⃗⃗ |=1，所以|(2λ−x)e1⃗⃗⃗ −λe2⃗⃗⃗ |2=1，所以(2λ−x)2−(2λ−x)λ+λ2=1，故3λ2−3λx+x2−1=0．由于使|b⃗ −a⃗|=1成立的正数λ有且只有一个，故关于以λ为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故△=9x2−12(x2−1)=0，解得x=±2．当x=−2时，λ<0故舍去，则x=2．故x的范围是唯一一个实数{2}．故答案为：{2}．17.答案：解：(1)A={y|y=(12)x,x≥0}=(0,1],B={x|y=lg(ax−x2)}={x|x(x−a)<0}．①a=0⇒B=⌀，②a<0⇒B=(a,0)，③a>0⇒B=(0,a)．∵A⊆B，∴a∈(1,+∞)．(2)∵A∩B=⌀，∴a∈(−∞,0]．解析：(1)分别求出集合A=(0,1]，B={x|y=lg(ax−x2)}={x|x(x−a)<0}.由此利用A⊆B，能求出a的取值范围．(2)由A∩B=⌀，能求出a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：(1)∵tanβ=−13，tanα=2，又∵α，β∈(0,π)，∴β∈(π2,π)，α∈(0,π2)，∴α+β∈(π2,3π2)由两角和的正切公式可得tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−131+23=1，∴α+β=5π4;(2)∵tanα=2，∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43，∴tan(β−2α)=tanβ−tan2α1+tanβtan2α=913．解析：(1)由已知数据可缩小角的范围，并可得tan(α+β)的值，可得结论；(2)由二倍角公式可得tan2α，再由两角差的正切公式可得tan(β−2α)本题考查两角和与差的正切函数公式以及二倍角的正切公式，注意缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．19.答案：解：(1)∵f(x)=12sin2x−√3cos2x=12sin2x−√32(1+cos2x)=12sin2x−√32cos2x−√32=sin(2x−π3)−√32，因此f(x)的最小正周期为2π2=π．令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，所以，f(x)的单调增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z．(2)将f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(x−π3)−√32的图象，当x∈[π2,π]时，x−π3∈[π6,2π3]，sin(x−π3)∈[12,1]，即函数g(x)的值域为[1−√32,1−√32].解析：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论；(2)根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．20.答案：解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2−m−1=1，解得m=−1或m=2，又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以−2m−1>0，即m<−12，即m=−1，则g(x)=2x−12x，因为y=2x与y=−12x均在R上单调递增，所以函数g(x)在R上单调递增．(2)因为g(−x)=2−x−12−x =−(2x−12x)=−g(x)，所以g(x)是奇函数，所以不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0可变为g(1−3t)≥−g(1+t)=g(−1−t)，由(1)知g(x)在R上单调递增，所以1−3t≥−1−t，解得t≤1.故实数t的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查实数值的求法，考查函数的单调性的判断，考查实数的取值范围的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由f(x)是幂函数，得到m2−m−1=1，再由f(x)在(0,+∞)上单调递增，得到−2m−1>0，从而求出m=−1，进而g(x)=2x−12x，由此能求出函数g(x)在R上单调递增．(2)由g(−x)=2−x−12−x =−(2x−12x)=−g(x)，得到g(x)是奇函数，从而不等式g(1−3t)+g(1+t)≥0可变为g(1−3t)≥−g(1+t)=g(−1−t)，由此能求出实数t的取值范围．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，则f(x)的最小正周期T=2π2=π，(Ⅱ)由2x+π6=kπ，k∈Z，得x=12kπ−π12，k∈Z，即f(x)的对称中心的坐标为(12kπ−π12,0)，k∈Z．(Ⅲ)当−π6≤x≤π4时，−π6≤2x+π6≤2π3，则当2x+π6=π2时，函数取得最大值，最大值为2sinπ2=2，当2x+π6=−π6时，函数取得最小值，最小值为2sin(−π6)=2×(−12)=−1．解析：(Ⅰ)利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可(Ⅱ)根据三角函数的对称性进行求解(Ⅲ)求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的周期性，对称性以及最值的性质是解决本题的关键．难度不大．22.答案：解：f(x)=x+ax(x>0)，设x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=(x1+a x1)−(x2+ax2)=(x1−x2)(1−ax1x2)，当a>0时，若0<x2<x1≤√a，则恒有a x1x2>1，此时f(x1)−f(x2)<0，f(x)在(0,√a]上是减函数；若x1>x2≥√a，则恒有0<a x1x2<1，此时f(x1)−f(x2)>0，f(x)在[√a,+∞)上是增函数；当a≤0时，x1−x2>0，1−a x1x2>0，此时f(x1)−f(x2)>0，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数；综上，a>0时，f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数；a≤0时，f(x)在(0,+∞)上是单调增函数．解析：利用单调性的定义，进行作差，对a的值进行讨论，即可判断函数f(x)的单调性．本题考查了函数的单调性的判断与证明问题，作差法是证明和判断单调性的最常用方法，是基础题目．。

高三上学期 解答题 第一轮得分训练检测（三）理科数学 2021届用解题时间 班级 姓名 得分____________三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{},{}n n a b 满足：112n n a a n ++=+，n n b a n -=，12b =． （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答题得失与反思】18．（本小题满分12分）为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3，其中体重在[50,55]的有5人．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在[65,75]学生中任选3人，设X 表示体重超过70kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．【答题得失与反思】19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，90ABC ∠=︒，3AB =1BC =，23AD =4CD =，E 为CD 的中点．（1）求证：AE ∥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值．【答题得失与反思】22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点()1,1P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若5PA PB ⋅=，求a 的值．【答题得失与反思】高三上学期 解答题 第一轮得分训练检测（三）理科数学 2021届用解题时间 班级 姓名 得分____________三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{},{}n n a b 满足：112n n a a n ++=+，n n b a n -=，12b =． （1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）方法一：由已知n n b a n =+，121n n a a n +=+-1112112()2n n n n n n n n b a n a n n a n b a n a n a n+++++-+++====+++，又12b =， 所以{}n b 是以2为公比，2为首项的等比数列. 方法二：因为n n b a n -=，所以n n b a n =+．又121n n a a n +=+-，所以()()112n n a n a n +++=+，即12n n b b +=，又12b =， 所以{}n b 是以2为公比，2为首项的等比数列. 所以1222n n n b -=⨯=，即*,2n n N b n =∈（2）由（1）可得2n n n a b n n =-=-，所以123(2222)(123)n n S n =++++-++++2(12)(1)122n n n -+=+- 21222n n n++=--【答题得失与反思】18．（本小题满分12分）为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3，其中体重在[50,55]的有5人．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）从该校报考飞行员的体重在[65,75]学生中任选3人，设X 表示体重超过70kg 的学生人数，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设该校报考飞行员的人数为n ，前三个小组的频率分别为k ，2k ，3k ，则230.03050.02051k k k +++⨯+⨯=，解得18k =，即第1组的频率为18．又5k n=，故40n =，即该校报考飞行员的总人数是40人．（2）由（1）知：这40人中体重在区间[]65,70的学生有400.03056⨯⨯=人，体重超过70kg 的有400.02054⨯⨯=人，现从这10人中任选3人，则X 可能的值为0，1，2，3()3064310C C 20101206C P X ∴====，()2164310C C 60111202C P X ====， ()1264310C C 363212010C P X ====，()0364310C C 41312030C P X ====，∴随机变量X 的分布列为X123P1612310130所以()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【答题得失与反思】19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，90ABC ∠=︒，3AB =1BC =，23AD =4CD =，E 为CD 的中点．（1）求证：AE ∥平面PBC ； （2）求二面角B PC D --的余弦值． 解：（1）3AB =1BC =，90ABC ∠=︒，2AC ∴=，60BCA ∠=︒，在ACD △中，23AD =，2AC =，4CD =，222AC AD CD ∴+=，ACD ∴△是直角三角形，又E 为CD 的中点，12AE CD CE ∴==，tan 3ADACD AC∠=60CAE ∴∠=︒，ACE ∴△是等边三角形，60CAE BCA ∴∠=︒=∠，BC AE ∴∥，又AE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，AE ∴∥平面PBC ．（2）由（1）可知90BAE ∠=︒，以点A 为原点，以AB AE AP ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(3,0,0)B ，(3,1,0)C ，(3,3,0)D -，(0,2,0)E ，(3,0,2)PB ∴=-，(3,1,2)PC =-，(3,3,2)PD =--，(0,2,2)PE =-，设111,(),n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则00n PB n PC ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=，即111112020z y z -=+-=， 令12x =，则1z =10y =，(2,0,3)n =，设()222,,m x y z =为平面PDC 的一个法向量，则00m PE m PC ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩，所以22222020y z y z -=+-=⎧⎪，即2222y z y ==⎧⎪ 令21x =，则2z =2z =(1,3,m =，5cos<,>7||||7n m n m n m ∴===⋅， 由图可知，二面角B PC D --为钝二面角 所以二面角B PCD --的余弦值为57-． 【答题得失与反思】22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos a ρθθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点()1,1P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若5PA PB ⋅=，求a 的值． 解：（1）2:sin 2cos C a ρθθ=，22sin 2cos a ρθρθ∴=，所以22,(0)y ax a =>为曲线C 的直角坐标方程而直线l的参数方程为11x y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数），则l 的普通方程是210x y -+=．（2）由（1）得：22y ax =①，l的参数方程为11x y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数）②，将②代入①得2)5(12)0t t a ++-=，设A ，B 对应于12,t t，则()112),512t t t t a =-=-+， 由5PA PB ⋅=，即12|52|15t t a -==， 所以1a = 【答题得失与反思】。

专题七、平面向量 抓住4个高考重点重点 1 平面向量的概念与线性运算 1.平面向量的概念 2.平面向量的线性运算3.一个向量与非零向量共线的充要条件及其应用[高考常考角度]角度1如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r=（ D ）A. 0B.BE u u u rC. AD u u u rD. CF uuu r解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选择D角度2 ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若,,||1,||2,CB a CA b a b ====u u u r r u u u r r r r则CD =uu u r（ B ）A. 1233a b +r rB.2133a b +r rC. 3455a b +r rD.4355a b +r r点评：本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 解析:因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA 2=DB CB 1=，所以D 为A B 的三等分点， 且22AD AB (CB CA)33==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r，故选B.重点 2 平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理及其应用2.平面向量的坐标表示3.平面向量的坐标运算4.平面向量共线的坐标表示 [高考常考角度]角度1给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB ，它们的夹角为0120,如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧»AB 上变动.若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，其中x y R ∈，，则x y +的最大值是 2 .解析：设AOC α∠= ,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v g g g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u vgg g ，即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩ ∴02[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤角度2.已知向量(2,1),(1,),a b m =-=-r r (1,2)c =-r ，若()//,a b c +r r r则m =__－1_____ 解析：(1,1),a b m +=-r r 由()//,a b c +r r r得12(1)(1)1m m ⨯--⨯-=>=-角度3已知,a b r r 为平面向量，且(4,3),2(3,18)a a b =+=r r r ，则,a b r r夹角的余弦值等于（ C ）A.865 B. 865- C. 1665 D. 1665-解析：由(4,3),2(3,18)(5,12)a a b b =+==>=-r r r r 203616cos 51365||||a b a b θ-+=>===⨯r rg r r角度4已知(3,2),(1,0)a b =-=-r r，向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直，则实数λ的值为（ A ）A. 17-B. 17C. 16- D. 16解析：由已知得向量22()(2)0220a b a b a a b a b b λλλ+-==>-⋅+⋅-=r r r r r r r r r r 1136320,7λλλ=>-+-=∴=-重点 3 平面向量的数量积1.数量积的几何意义2.数量积的运算律3.数量积的坐标表示4.数量积的性质[高考常考角度]角度1已知1e u r 、2e u u r 是夹角为π32的两个单位向量，12122,,a e e b ke e =-=+r u r u u r r u r u u r 若0a b ⋅=r r ，则k 的值为____54______解析：由2121212120(2)()2(12)0a b e e ke e ke e k e e ⋅==>-+=-+-⋅=r r u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r 152(12)()024k k k =>-+--==>=角度2 (2011 江西) 已知||||2a b ==r r ，(2)()2a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角为 3π.解析：根据已知条件2)()2(-=-•+→→→→b a b a ，去括号得：22||2||422cos 242a a a b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r r r r ，1cos ,23πθθ=>== 角度3若a r ，b r ，c r 均为单位向量，且0a b =r r g，()()0a c b c --≤r r r r g ，则||a b c +-r r r的最大值为( ) A ．12- B ．1 C ．2 D ．2解析：22()()00a c b c a b a c b c c a c b c c --≤⇒--+=--+≤r r r r r r r r r r r r r r r r g g g g g g ，2222||()222a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++--r r r r r r r r r r r r r r r g g g 2322321a c b c c =--≤-=r r r r r g g ，故选择B 。