苏教版数学高一必修3学案 3.4互斥事件

3.4互斥事件第2课时互斥事件及其发生的概型 学习要求 1、进一步巩固两个互斥事件的概率加法公式． 2、提高两个互斥事件的概率加法公式的综合应用能力。

【课堂互动】自学评价1、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、一个黄球．现从中摸出1个球：事件A ： “从盒中摸出1个球，得到红球”；事件B ：“从盒中摸出1个球，得到绿球”；事件C ：“从盒中摸出1个球，得到黄球”，上述事件中，哪些是互斥事件？答：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件．上述事件中，事件A 和B 、B 和C 、A 和C 是互斥事件．2、互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A 发生且事件B 不发生；（2）事件A 不发生且事件B 发生；（3）事件A 与事件B 同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A 发生B 不发生；（2）事件B 发生事件A 不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．【精典范例】例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”，B 为“出现偶数点”，已知P(A)=21，P(B)=21，求 “出现奇数点或偶数点”的概率． 【分析】抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．【解】记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A ∪B,因为A 、B 是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=21+21=1． 答：出现奇数点或偶数点的概率为1．例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品．【解】从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．(1)取到的2只都是次品情况为4种．因而所求概率为91364=． (2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为9423624=⨯⨯=P ．(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件．因而所求概率为98911=-=P ．例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A ）的概率是41，取到方块（事件B ）的概率是41，问： （1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？【分析】事件C 是事件A 与事件B 的并，且A 与B 互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．【解】（1）P(C)=P(A)+ P(B)=21； （2）P(D)=1—P(C)=21． 例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【分析】利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．【解】从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B ＋C)=P(B)＋P(C)=125；P(C ＋D)=P(C)＋P(D)=125；P(B ＋C ＋D)=1－P(A)=1－31=32,解得 P(B)=41,P(C)=61,P(D)=41 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41． 追踪训练1、下列说法中正确的是（ D ）A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件2、一辆班车接送职工上下班，规定有10个车站，车上有30人，如果某站无人下车，则班车在此站不停，求下列事件的概率．（1）班车在某一站停车的概率；（2）班车停车不少于2次的概率．答：(1)3011(1)10-- ；(2)2911()10-． 3、从一副52张（不含大小王）扑克牌中抽出一张，放回后重新洗牌，再抽出一张，（1）前后两张为同花色的概率是多少？（2）是同一张的概率是多少？答：（1）41, （2）521．第10课时7.4.2 互斥事件及其发生的概率(2)分层训练1、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是123,,P P P ，则（ ）A .123P P P =<B .123P P P <<C .123P P P <=D .321P P P =<2、已知直线36y x =-+与4y x =-+,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为x ,第二次得的点数为y ,则点(x ,y )在已知直线下方的概率为_____________.3、 某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率为_______________.4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ）=61，求出现奇数点或2点的概率之和．5、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?拓展延伸6、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率．7、．某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．8、一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．若甲队全投3分球，则有8次投篮机会．若甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0 .8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？。

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3。

4 互斥事件1．了解互斥事件、对立事件的概念和实际意义，能根据定义辨别事件的互斥、对立关系．(易混、易错点)2．了解两种互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算．（重点）3．注重思维习惯的培养，在顺向思维受阻时，知道转而采用逆向思维．（难点)［基础·初探]教材整理互斥事件、对立事件阅读教材P112～P113“例1”上边的内容,并完成下面的问题．1．互斥事件的概念不能同时发生的两个事件称为互斥事件．2．互斥事件概率的加法公式（1）如果事件A,B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B）＝P(A)＋P(B）．(2)一般地,如果事件A1，A2，…,A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P（A n）．3．对立事件及概率公式（1)如果两个互斥事件必有一个发生,那么称这两个事件为对立事件,事件A的对立事件记为错误!。

(2）对立事件A与错误!必有一个发生，故A＋错误!是必然事件．对立事件的概率公式：P （错误!)＝1－P（A)．填空:(1）若事件A与事件B为对立事件，且P（A)＝错误!,则P（B)＝________.【解析】因为事件A与事件B为对立事件，则P（B）＝1－P(A)＝1－14＝错误!.【答案】错误!（2)抛掷一骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现1点"，事件B为“出现3点"，事件C为“出现5点"，则“出现奇数点”的概率为________．【解析】由条件知事件A，B，C为互斥事件，设“出现奇数点"为事件D,则D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P（D)＝P(A＋B＋C)＝P(A）＋P(B）＋P（C)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.【答案】1 2［小组合作型]互斥事件、对立事件的判断各事件是否是互斥事件，是否是对立事件．并说明理由．（1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2）至少有1名男生和全是女生;(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4）至少有1名男生和全是男生．【精彩点拨】找出各事件对立的试验结果，然后根据互斥事件、对立事件的定义判断．【自主解答】（1)是互斥事件，但不是对立事件．理由是：“恰有一名男生”即选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)是互斥事件,也是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况,它与“全是女生"不可能同时发生,且其和事件是必然事件,所以是对立事件．(3）不是互斥事件，从而也不是对立事件．理由是:“至少有1名男生"包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种情况．“至少有1名女生"包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种情况，他们可同时发生,故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生"和“两名都是男生”，与“全是男生”可同时发生．1．判断两个事件是不是互斥事件时，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看他们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，再看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析,对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．［再练一题］1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中,任取一张．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1）“抽出红桃”与“抽出黑桃"；(2）“抽出红色牌"与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】(1）是互斥事件，但不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃"和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此,二者不是对立事件．(2）是互斥事件,又是对立事件．理由是:从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌"两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以他们既是互斥事件，又是对立事件．(3）不是互斥事件，也不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10,因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件。

3.4互斥事件（2）姜堰市蒋垛中学孟进教学目标：1．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；2．了解两个互斥事件概率的加法公式；3．了解对立事件概率之和为1的结论；4．会用相关公式进行简单概率计算．教学重点：用相关公式进行简单概率计算；教学难点：含“至多，至少”等量词的简单概率计算．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、复习回顾1．什么是互斥事件？2．什么是对立事件？对立事件和互斥事件的关系是什么？二、学生活动互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．对立事件：必有一个发生的互斥事件互称对立事件．对立事件必互斥,互斥事件不一定对立．三、建构数学1．概率的计算：一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生（即A1，A2，…，A n中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1＋A2＋…＋A n) ＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)对立事件的概率的和等于1 ，即P(A)＋P()＝1在求某些复杂事件（如“至多、至少”）的概率时，通常有两种方法：（1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；（2）求此事件的对立事件的概率．四、数学运用1．例题．例1某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次，至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率．解：记“射击1次，命中k环”为事件Ak（k∈N，且k≤10），则事件Ak 两两互斥．（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A，则当A10，A9，A8或A7之一发生时，事件A发生．故P(A)=P(A10+A9+A8+A7)= P(A10)+P(A9)+P(A8)+P(A7)=0.12+0.18+0.28+0.32=0.9 （2）事件“射击1次，命中不足7环”为事件A的对立事件，即A表示事件“射击1次，命中不足7环”．故P(A)＝1－P(A)＝1－0.9＝0.1．答：此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9，命中不足0.7环的概率为0．1．例2黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何血型的人可以输给AB血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？分析：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率．2．练习．练习1一只口袋有大小一样的5只球，其中3只红球，2只黄球，从中摸出2只球，求两只颜色不同的概率．解：从5只球中任意取2只含有的基本事件总数为10．记：“从5只球中任意取2只球颜色相同”为事件A，“从5只球中任意取2只红球”为事件B，“从5只球中任意取2只黄球”为事件C，则A＝B＋C．则“从5只球中任意取2只球颜色不同”的概率为：答：从5只球中任意取2只球颜色不同的概率为．练习2袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1）3只全是红球的概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率．解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33,（1）3只全是红球的概率为；（2）3只颜色全相同的概率为；（3）“3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”．故“3只颜色不全相同”的概率为．思考：“3只颜色全不相同”概率是多少？若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．基本概念：（1）互斥事件、对立事件的概念及它们的关系；（2）n个彼此互斥事件的概率公式：P（A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)2．在求某些复杂事件（如“至多、至少”）的概率时，通常有两种方法：（1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；（2）求此事件的对立事件的概率．。

互斥事件及其发生的概率班级________姓名________【学习目标】1．了解互斥事件和对立事件的概念，能判断某两个事件是否为互斥事件，进而判断它们是否为对立事件2．了解互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率和为13．运用互斥事件概率和公式及对立事件的概率和进行简单的概率计算【预学单】〔一〕问题情境问题1：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，从中任取 1个小球。

求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;3得到红球或绿球的概率想一想:“得到红球〞和“得到绿球〞这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗事件得到“红球或绿球〞与上两个事件又有什么关系它们的概率间的关系如何【研学单】〔二〕建构数学1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥．2．互斥事件的概率如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．一般地，如果事件两两互斥，那么问题2：互斥事件一定不能同时发生,那么是否可以同时不发生？举例说明问题3：“从盒中摸出1个球，得到的不是红球〔即绿球或黄球〕〞与“得到是红球〞之间有什么关系？3．对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而．因此，我们可以得到一个重要公式．备注：对立事件是互斥事件的特殊情形；前者两个事件都可以不发生，但后者两个事件必有一个发生概念理解问题4、抛掷一颗骰子一次，记“向上的点数是4，5，6〞为事件A，“向上的点数是1，2〞为事件B，“向上的点数为1，2，3〞为事件C，“向上的点数是1，2，3，4〞，为事件D，判别以下每件事件是不是互斥事件1A与B 〔2〕A与C 〔3〕A与D问题5、判断以下给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。

从40张扑克牌〔红桃、黑桃、梅花、方块点数从1~10各10张〕中，任取一张〔1〕“抽出红桃〞与“抽出黑桃〞；〔2〕“抽出红色牌〞与“抽出黑色牌〞；〔3〕“抽出的牌的点数为5的倍数〞与“抽出的牌的点数大于9〞问题6、一只口袋内装有大小一样的4只白球和4只黑球，从中任意摸出2只球。

互斥事件　[新知初探]1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．[点睛](1)若事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，则在这些事件中，至多有一个发生，即可以有一个发生，而其他的均不发生，也可以是均不发生．(2)如果事件A 与B 是互斥事件，那么A 与B 同时发生的概率为0.(3)从集合的角度来看，事件A ，B 彼此互斥，是指事件A ，B 所含的结果组成的集合彼此不相交，也就是它们的交集是空集，所有事件结果构成全集I ，如图所示．2．互斥事件的概率加法公式(1)A ＋B 表示在一次试验中A ，B 至少有一个发生．(2)如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(3)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[点睛]运用上述公式必须判断事件间的互斥性，然后再判断它们当中是否必有一个发生，否则不能用公式．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为.A(2)性质：P(A)＋P()＝1，P()＝1－P(A)．A A[点睛](1)两个事件是对立事件，则必然为互斥事件；但两个互斥事件不一定是对立事件；(2)对立事件是一种特殊的互斥事件，在一次试验中，对立事件有且只有一个发生，而互斥事件则可能两个都不发生，即互斥事件至多有一个发生；(3)从集合的角度看，表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集；(4)两个对立事件的概率之和一定等于1，而两个互斥事件的概率之和小于或等于1.[小试身手]1．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名同学去参加比赛．(1)“恰有一名男生”和“恰有两名男生”；(2)“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；(3)“至少有一名男生”和“全是男生”；(4)“至少有一名男生”和“全是女生”．试判断以上各对事件是不是互斥事件，并说明理由．解：(1)是互斥事件．理由如下：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出“一名男生，一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有一名女生”包括“一名女生，一名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由如下：“至少有一名男生”包括“一名男生，一名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，所以一定是互斥事件．2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中射中10环或7环的概率．解：记“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件．∴射中10环或7环的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.21＋0.28＝0.49.[典例]　某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与D ；(4)B 与C ；(5)C 与E .[解]　(1)由于事件C “至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报”与事件E “一种报也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 发生可导致事件E 一定不发生，且事件E 发生会导致事件B 一定不发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B 发生，事件D 也可能发生，故B 与D 不互斥．(4)事件B “至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C “至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E “一种报也不订”只是事件C 的一种可能，故事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．互斥事件、对立事件的判断方法(1)利用基本概念①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断互斥事件、对立事件的判断设事件A与B它们所含的结果组成的集合分别是A，B：①若事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②若事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁I B或B＝∁I A；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B. [活学活用]1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)即是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.互斥事件的概率[典例]　一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．[解]　记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝，P (A 2)＝，P (A 3)＝，P (A 4)＝，512412212112根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝＋＝.51241234(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝＋＋＝.5124122121112针对这个类型的题目，首先要判断所给已知事件是否为互斥事件，再将要求概率的事件写成几个已知概率的互斥事件的和．最后用概率加法公式求得． [活学活用]1．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为________．解析：记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A ，B ，C ，D ，E ，则A ，B ，C ，D ，E 互斥，取到理科书的概率为事件B ，D ，E 概率的和．∴P (B ＋D ＋E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝＋＋＝.15151535答案：352．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：年最高水位(单位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于14 m.解：设水位在[a ，b )范围内的概率为P ([a ，b ))．由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：(1)P ([10,16))＝P ([10,12))＋P ([12,14))＋P ([14,16))＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P ([8,12))＝P ([8,10))＋P ([10,12))＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P ([14,18))＝P ([14,16))＋P ([16,18))＝0.16＋0.08＝0.24.对立事件的概率[典例]　某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示．随机选出一个成员，求(1)此人至少参加2个小组的概率；(2)此人参加不超过2个小组的概率．[解]　(1)由图知3个课外兴趣小组的总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则表示“选取的成员至少参加2个小组”．A 于是P ()＝1－P (A )＝1－＝.A 6＋8＋106035(2)设B ＝“选取的成员参加不超过2个小组”，则P ()＝“选取的成员参加3个小组”，B ∴P (B )＝1－P ()＝1－＝.B 8601315(1)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率．(2)涉及到“至多”“至少”型的问题，可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解，当涉及的互斥事件多于两个时，一般用对立事件求解． [活学活用]有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，求2个人在不同层离开的概率．解：用A 表示“2个人在同一层离开电梯”，则表示“2个人在不同层离开电梯”．因2A 个人中的每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，故每人离开电梯的方法有6种，2个人离开电梯的所有方法共有6×6＝36种，而在同一层离开电梯的方法有6种，故P (A )＝＝.63616∴P ()＝1－P (A )＝1－＝.A 1656即2个人在不同层离开电梯的概率是.56[层级一　学业水平达标]1．从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥但不对立的两个事件是________．①至少有一个红球；至少有一个白球②恰有一个红球；都是白球③至少有一个红球；都是白球④至多有一个红球；都是红球解析：对于①，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球，一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于②，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取两个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于③，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于④，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件．答案：②2．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．解析：∵摸出红球的概率P 1＝＝0.45，45100∴摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.答案：0.323. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.15,0.20，0.45，则不中靶的概率是________．解析：设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A ，B ，C ，D 彼此互斥，故射手中靶概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，所以不中靶的概率P (D )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.80＝0.20.答案：0.204．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则(1)甲获胜概率为________．1213(2)甲不输的概率为________．解析：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，∴“甲获胜”的概率P ＝1－－＝.121316∴甲获胜的概率是.16(2)设事件A 为“甲不输”，看做是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，∴P (A )＝＋＝.161223答案：(1)　(2)16235．从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．[层级二　应试能力达标]1．把红、黑、黄、白4球随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1球，事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是________事件．解析：因为两个事件不能同时发生，但可能同时不发生，所以是互斥事件，但不对立．答案：互斥但不对立2．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ＋B )＝________.(结果用最简分数表示)解析：一副混合后的扑克牌(52张)中有1张红桃K,13张黑桃，事件A 与事件B 为互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝＋＝.1521352726答案：7263．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，则：(1)小明在数学考试中取得80分以上的概率是________；(2)小明考试及格的概率是________．解析：(1)P ＝0.51＋0.18＝0.69.(2)P ＝1－0.07＝0.93.答案：(1)0.69　(2)0.934．某产品分甲，乙，丙三级，其中乙，丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________．解析：记事件A ＝{甲级品}，B ＝{乙级品}，C ＝{丙级品}，事件A ，B ，C 彼此互斥且A 与B ∪C 是对立事件，所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.965．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，若表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ＋发生的概率为________．B B 解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝＝，P (B )＝＝，26134623∴P ()＝1－P (B )＝1－＝，B 2313∵表示“出现5点或6点”的事件，B 因此事件A 与互斥，B 从而P (A ＋)＝P (A )＋P ()＝＋＝.B B 131323答案：236．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为________．解析：依题意得Error!∴P (A )＝0.6.答案：0.67．现有8名翻译人员，其中A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一个组成一个翻译小组，则B 1和C 1不全被选中的概率为________．解析：用列举法可求出所有可能的结果共18个用N 表示“B 1，C 1不全被选中这一事件”，则表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由N 于由(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个基本事件组成，N∴P ()＝＝，∴P (N )＝1－P ()＝.N 31816N 56答案：568．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，则得到黑球、黄球、1451212绿球的概率分别为________．解析：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，D .由于A ，B ，C ，D 为互斥事件，故由已知得Error!解得Error!答案： 1416139．在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个同颜色的球的概率；(3)至少取得一个红球的概率．解：设“取得两个红球”为事件A ，“取得两个绿球”为事件B .易知A ，B 为互斥事件，“至少取得一个红球”为事件C .7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，所有基本事件有10×9＝90(个)．其中使事件A 发生的基本事件有7×6＝42(个)，使事件B 发生的基本事件有3×2＝6(个)，所以P (A )＝，P (B )＝.4290690(1)取得两个红球的概率为P (A )＝.715(2)两球同色的概率为P (A )＋P (B )＝＋＝.4290690815(3)至少取得一个红球概率即为P ()＝1－P (B )＝.B 141510．如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所有时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L 1的人数612181212选择L 2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60 L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.。

2016年春节前夕，南京市某超市进行有奖促销活动，有一等奖与二等奖奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，假设每位顾客只有一次机会．问题1：假设顾客甲获奖，说明什么？提示：说明顾客甲中一等奖或二等奖．问题2：通过上述问题“中一等奖”与“中二等奖”能否同时发生？提示：不能同时发生．问题3：在上述问题中“中奖”与“不中奖”这两个事件必有一个发生吗？提示：必有一个发生．1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．(3)规定：设A，B为互斥事件，若事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作A＋B.2．互斥事件的概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为A．(2)性质：P(A)＋P(A)＝1，P(A)＝1－P(A)．1．从集合的角度理解互斥事件与对立事件．设两个事件分别为A和B，则(1)事件A和B互斥可用图(1)表示．(2)事件A和B对立可用图(2)表示．2．运用互斥事件的概率公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．[例1] 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件．并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和至少有1名女生；(3)至少有1名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．[思路点拨] 根据互斥事件、对立事件的定义判断．[精解详析] (1)是互斥事件. 不是对立事件．道理是：在所选的两名同学中，“恰有一名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．(2)不可能是互斥事件．从而也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件．也不是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．(4)是互斥事件．也是对立事件．道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．[一点通]对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和是不是必然事件，这是判断两个事件对立的基本方法．1．下列说法：①将一枚硬币抛两次，设事件A：“两次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A＋B为必然事件其中，正确的个数是________．解析：由对立事件与互斥事件的定义知，只有②④正确．答案：22．一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环．事件B：命中环数为10环．事件C：命中环数小于6环．事件D：命中环数为6，7，8，9，10环．解：事件A与C互斥(不可能同时发生)，B与C互斥，C与D互斥．又因为事件C与事件D 至少有一个发生，所以C与D也是对立事件．[例2] (12分)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等。

互斥大事的概率苏教版必修3教学案课题 互斥大事及概率(1) 第 008 课时学案同学完成所需时间 20分钟班级 姓名 第 小组一、［学习目标］(1）了解互斥大事及对立大事的概念，能推断某两个大事是否是互斥大事，进而推断它们是否是对立大事．（2）了解两个互斥大事概率的加法公式，知道对立大事概率之和为1的结论．会用相关公式进行简洁概率计算．（3）留意同学思维习惯的培育，在顺向思维受阻时，转而逆向思维．二、［重点难点］互斥大事和对立大事的概念，互斥大事中有一个发生的概率的计算公式。

三、［学问链接］一、问题情境1．情境：2．问题：•在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成果为“优良”（优或良）的概率是多少？二、活动感受体育考试的成果的等级为优、良、中、不及格的大事分别记为D C B A ,,,．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即大事B A ,是不行能同时发生的．在上述关于体育考试成果的问题中，用大事B A +表示大事“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有 9+15种，从而大事B A +发生的概率50159)(+=+B A P ． 另一方面509)(=A P ，5015)(=B P ，因此有)()()(B P A P B A P +=+ 三、建构数学 由上述过程可得：1．互斥大事的定义是 。

2、互斥大事的概率公式是 。

3、对立大事的定义是 。

其计算公式是 。

四、［学法指导］(1)一般地，假如大事n A A A ,,,21 两两互斥，则)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ．(2)对立大事和互斥大事的区分和联系是 。

四、数学运用例1： 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为大事A ，摸出1只白球和1只黑球为大事B ．问大事A 和B 是否为互斥大事？是否为对立大事？例2：某人射击1次，命中7---10环的概率如下表所示：（2）求射击1次，命中不足7环的概率．例3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB型血的人，其他不同血型的人不能相互输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？五、［学习小结］六、［达标检测］、巩固练习：（1）假如大事A、B互斥，那么（）A． A+B 是必定大事B．A +B是必定大事C．A与B肯定互斥D．A与B肯定不互斥（2）在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?（3）课本108页练习1，2，3 ．教学案课题互斥大事及概率(2)第 009 课时学案编制人宋振苏同学完成所需时间 20分钟班级姓名第小组一、［学习目标］(1）了解互斥大事及对立大事的概念，能推断某两个大事是否是互斥大事，进而推断它们是否是对立大事．（2）了解两个互斥大事概率的加法公式，知道对立大事概率之和为1的结论．会用相关公式进行简洁概率计算．（3）留意同学思维习惯的培育，在顺向思维受阻时，转而逆向思维．二、［重点难点］互斥大事和对立大事的概念，互斥大事中有一个发生的概率的计算公式。

高中数学-打印版备课资料备用习题1.抛掷一个均匀的正方体玩具，各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，记事件A 为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？(1)A与B(2)A与C(3)B与C2.若记在同一时期内，河流这一处的年最高水位在［8，10)，［10，12)，［12，14)，［14，16)，［16，18)(m)范围内为事件A、B、C、D、E，则这5个事件彼此互斥.最高水位在［10，16)(m)可记为事件B＋C＋D，最高水位在［8，12)(m)可记为事件A＋B，最高水位在［14，18)(m)可记为事件D＋E.求水位在下列范围的概率：（1）［10，16），（2）［8，12），（3）［14，18）.3.某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，计算这一射手在一次射击中不够8环的概率.解答：1.(1)∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生.∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.(2)∵事件A与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与C可能同时发生.∴A与C不是互斥事件，因而也不是对立事件.(3)∵事件B与C都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与C可能同时发生.∴B与C不是互斥事件，故也不是对立事件.2.记最高水位在［8，10)、［10，12)、［12，14)、［14，16)、［16，18)范围内为事件A、B、C、D、E，且彼此互斥.(1)由题意可知，最高水位在［10，16)(m)为事件B＋C＋D，其概率P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)最高水位在［8，12)(m)为事件A＋B，其概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)最高水位在［14，18)(m)为事件D＋E，其概率为P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.3.分析：由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.解：设事件A：“一次射击击中不够8环”，事件B：“一次射击击中8环或8环以上”，∴事件A与B是互斥事件.∵事件A与B中必有一个发生，∴事件A与B又是对立事件，∴P(A)＝1-P(B).∵P(B)＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，∴P(A)＝1-0.71＝0.29.∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.点评：注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.(设计者：王国冲)最新版高中数学。

3.4 互斥事件庖丁巧解牛知识·巧学一、与〔并〕事件假设某事件发生当且仅当事件A或事件B至少有一个发生，那么称此事件为事件A与事件B与事件〔或与并事件〕，记作A+B〔或A∪B〕知识拓展事件与运算满足交换率，事件A与事件B与事件等于事件B与A与事件，即A+B=B+A.深化升华与集合并集运算定义类似，并集事件可用图3-4-2中阴影局部表示，即事件A+B所包含结果所组成集合等于事件A与B 所包含结果所组成集合并集.图3-4-2二、互斥事件在一次试验中，不能同时发生两个事件称为互斥事件.推广：如果事件C1，C2，…,C n中任何两个事件都互斥，就称事件C1，C2，…，C n彼此互斥.要点提示对于互斥事件要抓住如下特征进展分析：第一，互斥事件研究是两个事件之间关系;第二，所研究两个事件是在一次试验中涉及;第三，两个事件互斥是从试验结果不能同时出现来确定.深化升华从集合角度来看，A、B两个事件互斥，那么表示A、B这两个事件所含结果组成集合交集是空集.2.互斥事件概率加法公式如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生概率，等于事件A、B 分别发生概率与，即P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕推广：如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么事件“A1+A2+…+A n〞发生〔是指事件A1，A2，…，A n中至少有一个发生〕概率，等于这n个事件分别发生概率之与，即P〔A1+A2+…+A n〕=P〔A1〕+P〔A2〕+…+P〔A n〕.方法点拨利用互斥事件概率加法公式来求概率，首先要确定事件是否彼此互斥.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生概率一个重要指导思想.三、对立事件两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件.集合A对立事件记作A.要点提示第一，事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.第二，对立事件是一种特殊互斥事件，两个事件对立，那么两个事件必是互斥事件；反之，两事件是互斥事件，但未必是对立事件；第三，对立事件是针对两个事件来说，且A∪B〔或A+B〕为必然事件.深化升华事件A、B互为对立事件，从集合角度看，由事件B 所含结果组成集合，是全集中由事件A所含结果组成集合补集.即A∪A=U，A∩A= .图3-4-3A=B.图3-4-32.对立事件概率公式对立事件概率公式P(A)=1-P(A).方法点拨这个公式为我们求出P〔A〕提供了一种方法，当计算事件A概率P〔A〕比拟困难时，常可以转化为求其对立事件A概率.四、互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是研究两个事件关系,它们既有区别又有联系.在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，也就是不可能同时发生；而对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者之一必须有一个发生.因此,对立事件是互斥事件,是互斥中特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥〞是“对立〞必要而非充分条件.从集合角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含结果组成集合彼此互不相交,而事件A对立事件A所含结果组成集合,是全集中由事件A含结果组成集合补集，不仅不相交，而且它们并集必须是全集.典题·热题知识点一判断事件类型例1 某小组有3名男生与2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛.判断以下每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生.思路分析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否不能同时发生，判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.解：(1)因为“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当“恰有2名女生〞时，它们都不发生，所以它们不是对立事件.(2)因为“恰有2名男生〞时，“至少1名男生〞与“全是男生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.(3)因为“至少1名男生〞与“全是女生〞不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们对立.(4)由于选出是一名男生一名女生时“至少1名男生〞与“至少1名女生〞同时发生，所以它们不是互斥事件.拓展延伸两个互斥事件是否对立要依据试验条件.此题条件假设改为“某小组有3名男生与1名女生，任取2人〞，那么“恰有1名男生〞与“恰有2名男生〞便是对立事件.知识点二互斥事件与对立事件计算公式例2 抛掷一均匀正方体玩具(各面分别标有数1,2,3,4,5,6)，假设事件A为“朝上一面数是奇数〞,事件B为“朝上一面数不超过3”,求P(A+B),下面解法是否正确假设不正确,指明原因.解：P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕而P 〔A 〕=63=21，P 〔B 〕=63=21， ∴P(A+B)=21+21=1. 思路分析：此题利用互斥事件定义、互斥事件概率公式.此解法是否正确,主要取决于事件A 、B 是否互斥.解：事件A 包含“朝上一面是1,3,5”三种情况,事件B 包含“朝上一面是1,2,3”三种情况，显然两个事件不互斥,故解法错误,事件A+B 包含“朝上一面是1,2,3,5”四种情况,由等可能性事件角度考虑:P(A+B)=.误区警示 在选择概率公式求解之前,必须分清题目所涉及事件关系以及各概率公式使用条件.例3 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环概率分别为0.21，0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中: 〔1〕射中10环或7环概率；〔2〕不够7环概率.思路分析：由于射手在一次射击中,射中10环与射中7环不可能同时发生,故这两事件为互斥事件,且求又是两事件与概率,故可考虑用公式P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环.但由于这些概率都未知，故不能直接下手，可考虑从反面入手，不够7环反面是大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于这两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件方法处理.解：〔1〕记“射中10环〞为事件A，记“射中7环〞为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件.“射中10环或7环〞事件为A+B，故P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环概率为0.49.〔2〕记“不够7环〞为事件E,∴P〔E〕=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P〔E〕=1-P〔E〕=1-0.97=0.03.∴射不够7环概率为0.03.方法归纳必须分析清楚事件A、B互斥原因,且所求事件必须是几个互斥事件与.满足上述两点才可用概率与公式.当直接求某一事件概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件概率.例4 袋中有红、黄、白3种颜色球各1只,从中每次任取1只,有放回地抽取3次,求:(1)3只全是红球概率；(2)3只颜色全一样概率；(3)3只颜色不全一样概率；(4)3只颜色全不一样概率.思路分析：(1)(4)用等可能性事件概率观点求解.(2)可分拆成三个互斥事件“三只红球〞“三只黄球〞“三只白球〞利用互斥事件概率与公式求解.〔3〕情况较多,但其对立面却是(2),故可用对立事件概率公式求解.解：(1)记“3只全是红球〞为事件A.从袋中有放回地抽取3次,每次取1只,共会出现3×3×3=27种等可能结果,其中3只全是红球结果只有一种,故事件A 概率为P 〔A 〕=271. (2)“3只颜色全一样〞只可能是这样三种情况:“3只全是红球〞(设为事件A);“3只全是黄球〞(设为事件B);“3只全是白球〞(设为事件C),且它们之间是或者关系,故“3只颜色全一样〞这个事件可记为A+B+C,由于事件红、黄、白球个数一样,故不难得到P 〔B 〕=P 〔C 〕=P 〔A 〕=271. 故P 〔A+B+C 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕+P 〔C 〕=91.(3)3只颜色不全一样情况较多,如有两只球同色而与另一只球不同色,可以两只同红色或同黄色或同白色等等;或三只球颜色全不相等.考虑起来比拟麻烦,现在记“3只颜色不全一样〞为事件D,那么事件D 为“3只颜色全一样〞,显然事件D 与D 是对立事件.∴P(D)=1-P(D )=1-91=98.(4)要使3只颜色全不一样,只可能是红、黄、白各一只,要分三次抽取,故3次抽到红、黄、白各一只可能结果有3×2×1=6种,故3只颜色全不一样概率为.误区警示 〔1〕有放回抽取跟无放回抽取其根本领件数是不一样. 〔2〕搞清“全一样〞对立面是“不全一样〞,而不是“全不一样〞. 问题·探究思想方法探究问题 能否从频率角度说明互斥事件概率加法公式？探究过程：假定A 、B 是互斥事件，在n 次试验中，事件A 出现频数是n 1，事件B 出现频数是n 2，那么事件A∪B 出现频数正好是n 1+n 2，所以事件A∪B 频率为 而n n 1是事件A 出现频率，nn 2是事件B 出现频率.因此，如果用f n 表示在n 次试验中事件出现频率，那么总有f n 〔A∪B〕=f n 〔A 〕+f n 〔B 〕；由此得到概率加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，那么P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕.探究结论：能从频率角度说明互斥事件概率加法公式.。

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4 互斥事件（2)教学目标：1．能判断某两个事件是否是互斥事件、是否是对立事件；2．了解两个互斥事件概率的加法公式；3．了解对立事件概率之和为1的结论;4．会用相关公式进行简单概率计算．教学重点：用相关公式进行简单概率计算；教学难点：含“至多,至少”等量词的简单概率计算．教学方法:谈话、启发式．教学过程：一、复习回顾1．什么是互斥事件？2．什么是对立事件？对立事件和互斥事件的关系是什么？二、学生活动互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，A n彼此互斥．对立事件：必有一个发生的互斥事件互称对立事件．对立事件必互斥,互斥事件不一定对立．三、建构数学1．概率的计算:一般地，如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1,A2,…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A＋A2＋…＋A n) ＝P(A1）1＋P(A2)＋…＋P（A n)对立事件的概率的和等于1 ，即P(A)＋P(A）＝1在求某些复杂事件(如“至多、至少”)的概率时，通常有两种方法：(1）将所求事件的概率化为若干互斥事件的概率的和；（2)求此事件的对立事件的概率．四、数学运用1．例题．例1 某人射击1次，命中7～10环的概率如下表所示：（1）求射击1次,至少命中7环的概率；（2）求射击1次，命中不足7环的概率．解：记“射击1次，命中k环”为事件Ak（k∈N，且k≤10）,则事件Ak两两互斥．（1）记“射击1次，至少命中7环”为事件A,则当A10，A9,A8或A7之一发生时，事件A 发生．故P（A)=P（A+ A9+ A8+A7)= P（A10)+P(A9)+P（A8)+P（A7)=0。