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平面向量(沪教版)

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专题：平面向量的概念知识梳理1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。

2．表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母a ，b…或用AB ，BC ，…表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3．模：向量的长度叫向量的模，记作a.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 注意：0和0是不同，0是一个数字，0 代表一个向量，不要弄混. 5．单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

6．共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量b a,，若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习：★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的. ( × ) 解：有可能方向相反.2、与零向量相等的向量必定是零向量. ( √ )3、零向量与任意的向量方向都相同。

( √ )4、向量就是一条有向的线段。

( × )5、若m n =，n k =，则m k =. ( √ )6、若,b a =，则.0=-b a(× )解：注意区分0和零向量.典例精讲例1（★）下列说法正确的是（D ）A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、向量的大小与方向有关.D 、向量的模可以比较大小.解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥若b c b a ∥∥,，则.c a ∥正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A,B,C,D 有可能在一条直线上，⑥b可能是零向量例3. （★★）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ C ）.A AB DC = .B AD AB AC += .C AB AD BD -= .D 0AD CB +=课堂检测1（★）下列说法中错误的是（ A ）(A)零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行 (C)零向量的长度为零 (D)零向量的方向是任意的2（★★）已知O 在ABC ∆所在平面内，且OC OB OA ==，且则点O 是ABC ∆的（ B ） A.重心 B.外心 C.垂心 D.内心 解：向量经常会放在三角形中考虑，重心：中线交点，外心：垂直平分线交点，垂心：高（垂线）的交点，内心：角平分线的交点。

BA CD3（★★★）判断下列各命题的真假：（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向一定相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ C ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个解：假命题是（2）（4）（5）（6）;（2）向量a 与向量b 有一个为零向量，专题：平面向量的数量积知识梳理1、向量的夹角：已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角θ叫做向量a 与b 的夹角．θ的取值范围是0θπ≤≤ （1） 当0θ=时，表示向量a 与b 方向相同； （2） 当θπ=时，表示向量a 与b 方向相反； （3） 当2πθ=时，表示向量a 与b 相互垂直。

【注意：一定牢记夹角的取值范围，特别是0和π的实际意义。

】2、 向量的数量积已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ（0θπ≤≤），则把cos a b θ叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅．即||||cos a b a b θ⋅=（1）两个向量的数量积是一个实数；（2）20a a a ⋅=≥，当且仅当0a a ⋅=时，0a =（3）已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影．显然b 在a 方向上的投影等于||a ba ⋅．（4）a b ⋅的几何意义： a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在向量a 的方向上的投影cos b θ的乘积．【数量积a b ⋅中的运算符号“•”不能写作“⨯”，也不能省略。

a 在b 方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量；】3、向量数量积的运算律 ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()R b a b a b a ∈⋅=⋅=⋅λλλλ③分配律成立：()c b c a c b a ⋅±⋅=⋅±()b a c ±⋅=特别注意：（1）结合律不成立：()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅； （2）消去律不成立ca b a ⋅=⋅不能得到⋅=c b（3）b a ⋅=0不能得到a =0或b =0④但是乘法公式成立： ()()22b a b a b a =-=-⋅+；()2222b b a a ba +⋅±=±2b a +⋅±=；等等。

⑤两个向量垂直的充要条件是：0a b ⋅= 4、向量数量积的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

a 与b 夹角为θ，则cos θ=a 与b 的夹角为锐角等价于12120x x y y +>且1221x y x y ≠a 与b 的夹角为钝角等价于12120x x y y +<且1221x y x y ≠ 【引进向量的坐标表示和运算，揭示了向量的方向的本质属性。

】典例精讲例1. （★★）（1）已知向量a 与b 的夹角为θ，且3sin ,||55a θ==，则a 在b 的方向上的投影是 ；（2）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，||3AC =，求AC AB ⋅的值。

解：（1）a 与b 的夹角为θ，且3sin 5θ=，又0,||5a θπ≤≤=，4cos 5θ∴==±， 所以向量a 在向量b 方向上的投影是4||cos 5()45a θ=⋅±=±。

（2）90,ACB AC CB ∠=∴⊥，又,||3AB AC CB AC =+=，()(0)9AC AB AC AC CB AC AC AC CB AC CB ∴⋅=⋅+=⋅+⋅⋅== 【（1）a 在b 方向上的投影是数值（其正负由夹角的大小而定），而不是长度，也不是向量； （2）找准向量的夹角，用好数量积公式是解决有关向量数量积问题的两个要点。

】 例2. （★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为4π，当向量a b +与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

解：a b +与a b λ+夹角为锐角，∴ ()()0a b a b λ+⋅+>即22(1)0a a b b λλ++⋅+>23cos34a b π⋅=⨯⨯= 5120λ∴+>,得125λ>-易知当1λ=时，a b +与a b λ+夹角为0︒1λ∴≠ 从而得12(,1)(1,)5λ∈-+∞ 【当两个向量的数量积大于0时，它们的夹角取值范围是[0,90)︒︒】 巩固练习1. （★★★）已知||3a =，||3b =，a 与b 的夹角为6π，试求2a b +与a b -的夹角的余弦值。

解：2a b +与a b -的夹角的余弦值31-2. （★★★★）已知||2,||3,a b ==a 与b 的夹角为4π，当向量a b λ+与a b λ+夹角为锐角时，求实数λ的取值范围。

解：λ<或λ>且1λ≠ 【0a b ⋅>是两向量夹角为锐角的必要不充分条件】例3. （★★★★）已知ABC ∆，()()=-1,2,=-1,2.AB k AC （1）若k =4，求ABC S ∆；（2）若三角形为直角三角形，求ABC S ∆. 解：(1)(3,2)AB =,设AB 与AC 为θ，cos||||AB ACAB AC θ⋅== ，则sin θ=1||||sin 42ABCSAB AC θ∴== （2）若90A ︒∠=,0AB AC ⋅=得5k =5ABCS ∴=若90,B ︒∠=0AB CB ⋅=得k =1或0（舍）1ABCS ∴=若90C ︒∠=,0AC CB ⋅=，得k =0（舍） 【向量在垂直关系中的应用】巩固练习（★★★）在直角三角形ABC ，(2,3),(1,)AB AC k ==，求实数k 的取值范围解：23k =-或113或32例4．（★★★）已知向量(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,且,a b 满足关系||3||ka b a kb +=-,(k为正实数).(1)求证:()()a b a b +⊥-; (2)求将a b ⋅表示为k 的函数f(k).(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时,a b 的夹角θ. 解(1)证明: 2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-=(2)||3||ka b a kb +=-22()3()ka b a kb ∴+=-⇒2222222363k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+22222222cos sin 1,cos sin 121363a b k ka b ka b k ααββ=+==+=+⋅+=-⋅+又故2211,()(0)44k k a b f k k k k++⋅==>得故(3)110,()42k k k f k +>=≥= 当且仅当1k k =即k=1时,故f(x)的最小值是12， 此时1cos .0180.||||23a b a b πθθθ⋅==︒≤≤︒∴=又，【向量具有独立的一整套运算体系，它可以上下贯通，左右协调，前后衔接，具有很强的工具性。

】例5. （★★★）已知三角形ABC 的面积为30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A = （1） 求AB AC ⋅；（2） 若1c b -=，求a 的值。

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平面向量(沪教版)

平面向量(沪教版)

专题:平面向量的概念知识梳理1．向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.例如:力，速度.2．表示方法：用有向线段来表示向量。

有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。

用小写字母a ，b…或用AB ，BC ，…表示.注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.3．模:向量的长度叫向量的模，记作a。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.4．零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 注意：0和0是不同,0是一个数字,0 代表一个向量,不要弄混.5．单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量。

aaa =0注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆.6．共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.注意：由于向量可以进行任意的平移,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量b a,,若存在非零常数λ使b a λ=是b a ∥的充要条件.7．相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 练习:★判断下列命题的真假1、平行向量的方向一定相同的。

( × ) 解：有可能方向相反。

2、与零向量相等的向量必定是零向量。

( √ ）3、零向量与任意的向量方向都相同。

（ √ ）4、向量就是一条有向的线段. ( × ）5、若m n =，n k =,则m k =。

( √ )6、若,b a=，则.0=-b a (× ）解：注意区分0和零向量.典例精讲例1（★）下列说法正确的是（D ）A 、数量可以比较大小,向量也可以比较大小。

B 、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小。

C 、向量的大小与方向有关。

D 、向量的模可以比较大小.解析：任何都向量不能比较大小，模可以比较大小例2（★★）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同; ②若||||a b =，则a b =；③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； ⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥若b c b a∥∥,，则.c a ∥正确的是____④⑤______解析：①把一个向量平移后向量是不变的，③A ，B,C,D 有可能在一条直线上,⑥b可能是零向量例3. （★★）在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ C ）.A AB DC = .B AD AB AC += .C AB AD BD -= .D 0AD CB +=课堂检测1（★）下列说法中错误的是（ A ）（A ）零向量没有方向 (B)零向量与任何向量平行 (C ）零向量的长度为零 （D)零向量的方向是任意的2（★★）已知O 在ABC ∆所在平面内，且OC OB OA ==，且则点O 是ABC ∆的（ B ） A.重心 B 。

沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件

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沪教版数学高二上册-平面向量的应用 PPT全 文课件 【完美 课件】
1. a b a b 0 线 线 垂 直
cos a b 求 角 大 小 或 证 明 角 相 等判 断 角 形 状
ab
2.
a
2
x2
2
y2
边长、距离
a a
3. b/ / a(a 0) b a 线线平行、点共线
F
O
BO // BD, B,O, D三点共线
B
A
E
BO为ABC的角平分线四边形ABCD为菱形.
BA AD 2
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由 1 BA 1 BC 3 BD 即BO 3 BD,
BA
BC
BD
BD
2
2
两
边
平
方
得：BA
2 BA • BC
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课本第8章平面向量的坐标表示一页中有这样 一段话： ……当向量与其坐标建立起对应关系后，向量可以
表示成有序的实数对，这是一种数学的抽象。 这种抽象的好处是，使向量可以在更大的范围内
加以利用，并由此建立起向量与代数、几何、三角的 紧密联系。
小 ？ 并 求 此 时OB与OA xOB的 夹 角 。
方法一：利用
a
2
2
a
向量的数量积可以计算长度和角。
方法二：建立坐标系，可以降低问题的难度。我们要有运
用坐标的意识，将几何问题中形的问题转化为数的运算。
方法三：向量的几何背景也是解决几何问题的有效工具
1.长度、距离、夹角几何问题可以运用向量的数量积（代数角度）. 2.建立坐标系是几何问题代数化的重要工具（代数角度）. 3. 向量的几何背景是解决几何问题的有效工具（几何角度）。 4.我们应从问题条件入手，多角度思考问题。 5.在探究的过程中我们运用了函数思想、数形结合思想。 沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件【完美课件】
第8章 平面向量(单元复习课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

第8章 平面向量(单元复习课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

第8章 平面向量
单元复习课件
知识体系
知识梳理
知识点1： 向量的相关概念 1.向量的概念 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. 2.有向线段 (1)概念:具有① 方向 的线段叫做有向线段.以A为起点、B为终点的有向线
段记作②
,线段AB的长度也叫做有向线段 的长度,记作③ | | .
(2)三要素:④ 起点、方向、长度 .
【答案】B 【解析】向量的模相等,向量不一定相等,故A错误;两个向量是相反向量, 则两个向量平行,故B正确;向量不能比较大小,故C错误;当b=0时,若 a∥b,b∥c,则a与c不一定平行,故D错误.故选B.
2.(2022上海嘉定第二中学期末)设a,b,c为任意非零向量,且相互不共线,则下列
命题中是真命题的有( )
其中正、负号分别表示与a同向和反向. 3.设非零向量a=(x,y),则与a垂直的单位向量的坐标是±
. ,
.
易错分析
易错点1 对向量的相关概念、运算律理解不透致错
1.关于向量a,b,下列命题中正确的是( )
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若a=-b,则a∥b
C.若|a|>|b|,则a>b
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
(3)向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ
=
=⑤
.
知识梳理
知识点19：重要结论 1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a·b|≤|a||b|⇔|x1x2+y1y2 |≤ 2.设非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是±
知识梳理
知识点5：向量的减法
相反向量 与向量a长度相等,方向⑨ 相反 的向量,叫做a的相反向量,记作-a.零向量的相反 向量仍是零向量 已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =⑩ a-b .
沪教版初三上册平面向量的运算讲义

沪教版初三上册平面向量的运算讲义

,a b 作图，那么a a a ++= )()()a a a +-+-= ？即几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？以上面问题作图说明一下。

,3a a -；OA AB BC a ===，现在OC a a a =++，又由于OC 与a 方向相同且3OC a =3OC a =，∴3a a a a ++= 同理：()()()3a a a a -+-+-=-类似的也能够有：13OC OA =依照实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳，,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．a 为向量，我们用na 表示n 个a 相加；用na 表示n 个a 相加．又当a 为向量；假如0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当a 同方向；当0时，ka 与a 反方向。

假如或0a =，那么0ka =；依照实数与向量相乘的意义：ka a中，E 、M 、F 、N 是AB 、DC 的三等分点，,AB a DA b ==试用向量,a b 表示向量1,3AE a AD b ==-；摸索：如图，已知非零向量,a b ，求作（a a + （2）32a （3）2()ab + （4）22a b + （5）2(3a 。

观看、比较（1）与（2），（3）与（），（5）与（6）的结果，你有什么发觉？ 参考答案：图略；132a a a +=；2()22ab a b +=+；2(3)6a a = 讨论：通过前面的发觉，讨论总结一下实数与向量相乘运算的一样规律。

注意引导实数变成一样字母的规律；同时注意让学生体会实数为负数同样成立的举例验证,a b 为向量，则）实数与向量相乘的结合律：)()na mn a =；）实数与向量相乘关于实数加法的分配律：()m n a ma ma +=+；）实数与向量相乘关于向量加法的分配律：()m a b ma nb +=+．a ，恒有(m a ma na =-,a b ，若ma mb =，则有a b =和向量a ，若(0)ma na a =≠，则m n =11322)8()63443a b c a b c -++-+⨯. ,,a b x 满足关系式3()5()a b b x +=-，试用向量,a b 表示向量x .．C ．5710a b c -+ 3．3255x a b =-+a 是非零向量，(0)b ma m =≠，那么向量a 与b 有什么位置关系？m 为正数，则a 与b 同向，a b ；m 为负数，则a 与b 反向，a b ．ABCD 中，AD BC ，EF 是梯形中位线，AD a =,能将向量a 表示出来吗？参考答案：∵AD BC EF ∴AD CB EF 且EF 结合图形可知CB 与a 同向，EF 与a 反向；又2,4,3,a CB EF ===32,2CB EF aa==∴32,2CB a EF a =-=备注：老师适当给出规范过程供学生仿照；讨论：已知a 是非零向量，假如a b ，那么b 能用a 表示出来吗？答案：假如b 是非零向量，那么由a b 可知a 与b 同向或反向；设b k a=，得b k a =；当a 与b 同向时，b ka =；当a 与b 反向时，b ka =-，假如0b =，那么0b a =；平行向量定理：假如向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯独实数m ，使b ma =. 练习：1．设非零向量a ，b ，满足2()a b a b -=+，判定向量a ，b 是否平行？2．已知15,3a cbc ==-，其中c 是非零向量，判定向量a ，b 是否平行？ 参考答案：1．平行； 2．平行精选例题：（此环节设计时刻在20－30分钟）例题1：我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号e 表示，模长表示为：1e =，则下列说法错误的是（ ）A . e 有许多个B . 不同的单位向量，它们的方向不同C . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =D . 设a 是非零向量，且a e ，则a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念； 试一试：若向量b 与单位向量e 的方向相同，且1||||2b e =，则b ＝________．（用e 表示） 参考答案：12e例题2： 如图，已知两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）13(3)()22a b a b +-+,2OA a AB b =-=则2OB a b =-+为所求老师注意总结引出以下概念：．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的,a b 是两个不平行的向量，xa yb +叫做,a b 线性组合：如图，梯形AD 、BC 的中点，若AB a =，CD b =，那么用b 的线性组合表示向量EF = 解：∵AB CD EF ∵AB EF =∵1()22AB DC EF a b +==-． 备注：注意已知向量和所求向量的方向，要求学生适应性在图中标出。